UNIVERSIDADE DE CAXIAS DO SUL CENTRO DE FILOSOFIA E EDUCAÇÃO – CEFE
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO – CURSO DE MESTRADO
MÁRCIA FERNANDES
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE ESCALAS A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA INTERDISCIPLINAR
Caxias do Sul 2010
MÁRCIA FERNANDES
UMA INVESTIGAÇÃO SOBRE ESCALAS A PARTIR DE UMA PERSPECTIVA INTERDISCIPLINAR
Dissertação de Mestrado submetida à Banca Examinadora designada pela Coordenação do Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade de Caxias do Sul, como parte dos requisitos necessários para a obtenção do título de Mestre em Educação. Linha de Pesquisa: Epistemologia, Linguagem e Educação.
Orientador: Prof. Dr. Francisco Catelli
Caxias do Sul 2010
Dedico este trabalho ao Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade de Caxias do Sul.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a todos que de uma forma ou de outra contribuíram para o desenvolvimento desta dissertação. Em especial agradeço:
Ao Professor Dr. Francisco Catelli, pela motivação, compreensão, confiança e ensinamentos.
A Professora Dra. Eliana Maria do Sacramento Soares, pelo apoio e incentivo ao trabalho.
Ao Professor Dr. Jayme Paviani, pela motivação na construção do trabalho.
Aos meus pais, pela espera, compreensão e paciência.
A Fabio Casarotto, pelo apoio e incentivo à nunca desistir.
Aos amigos que compreenderam minha ausência e estiveram presentes quando mais precisei.
Aos colegas e professores da Universidade de Caxias do Sul, pela troca de experiências, que fizeram com que eu aprendesse tanto, durante esta caminhada.
A Deus, que mesmo em dias de tempestades deu-me forças para continuar a caminhada.
“Aprender é a única coisa de que a mente nunca se cansa, nunca tem medo e nunca se arrepende”.
RESUMO: O presente trabalho tem por objetivo analisar o papel das ações interdisciplinares
na formação do conceito de escala do estudante. Para isso, investigou-se, a literatura e os livros-texto sobre o assunto, assim como a posição dos docentes e a legislação estabelecida pelos Parâmetros Curriculares Nacionais sobre o tema. A pesquisa insere-se na linha de Epistemologia e Linguagem, do Programa de Pós-Graduação em Educação da Universidade de Caxias do Sul, coordenado pelo Professor Doutor Jayme Paviani e orientada pelo Professor Doutor Francisco Catelli que trabalha na investigação de abordagens alternativas no ensino de ciências. No primeiro capítulo é feita uma análise do objeto de pesquisa, “escala”, buscando-se elementos na história da Matemática e da Física e relacionando-os com a Educação, especialmente com a construção do conhecimento. No segundo capítulo é realizada uma investigação na literatura sobre o conceito de interdisciplinaridade, consultando principalmente autores como Jayme Paviani e Olga Pombo, a fim de examinar a presença da noção de interdisciplinaridade no processo de construção do conhecimento. No terceiro capítulo procura-se identificar o processo de construção, leitura e interpretação do objeto escala na perspectiva dos professores de matemática e de física do ensino médio, verificando suas concepções sobre esse objeto e em que ele contribui para a formação do aluno. Observou-se, antes mesmo do início desta pesquisa, que o objeto escala não estava suficientemente esclarecido ao aluno de Ensino Médio que, frequentemente, apresenta dificuldades em construí-la e interpretá-la. Procura-se então responder à pergunta: “Que argumentos ajudam a sustentar o encaminhamento de ações interdisciplinares no ensino de escalas e medidas no Ensino Médio?” Buscando compreender a forma com que o objeto escala está sendo desenvolvido, foi feita uma análise de alguns livros didáticos de matemática e física distribuídos aos professores e alunos das escolas públicas de Ensino Médio pelo Programa Nacional do Livro Didático. Para conhecer o posicionamento dos professores sobre a forma com que o conceito de escala é trabalhado, foi feita uma entrevista semi-estruturada com um grupo de docentes que trabalha rotineiramente com esses livros. A partir da análise das respostas procurou-se verificar como eles acreditam que o aluno aprende, não apenas esse conceito, mas as definições fundamentais para a formação do estudante, e, se acreditam que ações interdisciplinares possam promover a melhoria na apreensão de conceitos. Através desta pesquisa foi possível perceber que os conceitos de escala e de medida são vistos, muitas vezes, apenas como ferramentas e não como formas de comunicação e representação. Esses conceitos não pertencem a uma disciplina somente, justificando a necessidade da presença da interdisciplinaridade, conceito pouco desenvolvido no contexto escolar atual. O presente trabalho tem como relevância científica a percepção da necessidade de se ampliar o campo de visão da ciência, extrapolando o conhecimento de apenas uma disciplina e interagindo com outras áreas. Além disso, esta investigação é relevante pedagogicamente na medida em que pretende contribuir para o preenchimento de uma importante lacuna existente no processo de ensino-aprendizagem de Matemática e de Física, a saber, a consciência limitada, por parte de alunos e professores, do caráter inerentemente interdisciplinar dos conceitos de escala e de medida, caráter esse que dá a elas a devida amplitude.
ABSTRACT: The current paper aims to analyze the role of disciplinary actions in shaping the
formaction of the concept of the scale of the student. In order to do so, the literature, didactics about the subject, the position of the docents who work in the areas and the legislation established by the National Curricula Parameters were investigated. The research is held in the line of Epistemology and Language, of the Post Graduation Program in Education at the University of Caxias do Sul, coordinated by Professor Doctor Jayme Paviani and monitored by Professor Doctor Francisco Catelli who works in the investigation of alternative approaches in the teaching of sciences. In the first chapter an analysis of the research object, “Scale”, is made in order to search for elements in the history of Mathematics and Physics and relate them with Education, especially concerning the of knowledge building. In the second chapter an investigation on the literature about interdisciplinarity is held, consulting mainly to authors Jayme Paviani and Olga Pombo, to examine the presence of the concept of interdisciplinarity in the construction of knowledge. In the third chapter the aim is to identify the process of building, reading and interpretation of the scale object in the perspective of mathematics and physics teachers of high school, verifying their conceptions about this object, and in what it contributes on the pupils’ formation. It was observed even before the beginning of this research that the scale object was not clear enough for the High School student who often has difficulty in building it and interpreting it. It was then necessary to answer the question: "What arguments give support of implementation of actions interdisciplinary teaching of scales and measures in high school?" In order to understand the way in which the scale object is being developed, an analysis of didactic materials was made, having books of Math and Physical aproved in the National Program of Didactic Book, and delivered for teachers and students of public high schools selected as samples.So that we could find out the positioning of the docents about the way the concept of scale is worked, a semi-structured interview was conducted with a group of mathematics and physics teachers who work with these books every day. From the analysis of their answers it was verified how they believe their pupils learn, not only this concept, but the fundamental definitions of the student’s formation, and, if they believe that interdisciplinary actions can foster the improvement in grasping concepts. Through this research it was possible to notice that the concepts of scale and of measure are often seen only as tools and not as ways of communication or representations. These concepts do not belong to a unique subject, that is why the interdisciplinarity is needed, a concept which is not enough developed in the school context. The realization of the need to broaden the view camp of science gives scientific relevance to the research, going beyond the knowledge of only one subject and interacting with other areas. Furthermore, this investigation is pedagogically relevant as it intends to contribute for the bridging of an important gap existing in the process of teaching-learning of Mathematics and Physics, the limited awareness of teachers and pupils of the inherent character of the concepts of scale and measure, a character that gives them the due extension.
SUMÁRIO
APRESENTAÇÃO...10
INTRODUÇÃO...11
1 ANÁLISE DO OBJETO “ESCALA”...16
1.1 ESCALAS E MEDIDAS, UMA VISÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA...16
1.1.1 Origens da contagem...17 1.1.2 Babilônia e Egito...19 1.1.3 Grécia e Roma...20 1.1.4 Euclides...24 1.1.5 Arquimedes...26 1.1.6 Descartes...29
1.2 ESCALAS NA HISTÓRIA DA FÍSICA...30
1.2.1 O universo relógio de Newton...32
1.2.2 O universo em evolução de Einstein...34
1.3 ESCALAS E SISTEMA INTERNACIONAL DE UNIDADES: UMA NECESSIDADE DE COMUNICAÇÃO...35
1.3.1 Do Sistema Métrico Decimal ao Sistema Internacional de Unidades...36
1.3.2 Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial – INMETRO...43
1.4 ESCALAS, MEDIDAS E EDUCAÇÃO...44
1.4.1 Georges Cuisenaire...47
1.5 CONSTRUÇÃO DO CONHECIMENTO EM SALA DE AULA...49
2 INTERDISCIPLINARIDADE: CAUSA OU CONSEQUÊNCIA DO PROCESSO DE ENSINO APRENDIZAGEM?...50
2.1 INTERDISCIPLINARIDADE: ALGUMAS DEFINIÇÕES...51
2.1.1 A fragmentação das disciplinas...51
2.1.2 Inter, trans e multidisciplinaridade: a disciplina e seus prefixos...54
2.1.3 A interdisciplinaridade como uma possível alternativa na solução de problemas complexos...54
2.2 A INTERDISCIPLINARIDADE COMO INTEGRADORA DE CONHECIMENTO58 2.3 A INTERDISCIPLINARIDADE E SUA IMPORTÂNCIA PARA A EDUCAÇÃO...61
2.3.1 Educação para compreender e interagir com o mundo...61
2.4 A INTERDISCIPLINARIDADE NO ENSINO DE MATEMÁTICA E CIÊNCIAS NATURAIS. ...65
2.4.1 Interdisciplinaridade no processo de construção do conhecimento...65
2.4.2 Os Parâmetros Curriculares Nacionais e a interdisciplinaridade: um possível caminho para a resposta da questão pesquisada...67
2.5 AS DISCIPLINAS E AS IDEIAS ESTRUTURADORAS...69
3 ANÁLISE DAS ENTREVISTAS...71
3.1 SOBRE A METODOLOGIA...71
3.2 ANÁLISE DOS DADOS COLETADOS...72
3.2.1 Escalas, Medidas e os Parâmetros Curriculares Nacionais de Ensino Médio de Matemática e Física...73
3.2.2 Livro texto de Física...75
3.2.3 Livro texto de Matemática...78
3.2.4 Entrevistas com os professores...82
CONSIDERAÇÕES FINAIS...92
REFERÊNCIAS:...95 APÊNDICE A: HISTÓRIA DA MATEMÁTICA: PITÁGORAS E O PROBLEMA DA
INCOMENSURABILIDADE...101 APÊNDICE B: ESTRUTURA DAS ENTREVISTAS VOLTADAS AOS PROFESSORES108
APRESENTAÇÃO
A autora do presente trabalho vem de um curso bi-disciplinar, o antigo curso de Matemática com habilitação em Física, o qual trabalhava as duas áreas de conhecimento, integrando-as sempre que possível por meio de seus conceitos, conteúdos e aplicações. Isso despertou na autora o interesse em aprofundar o conhecimento a respeito da interdisciplinaridade.
Durante os anos que esteve na Universidade, cursando a graduação, aprendeu que o conhecimento é um conjunto indivisível. Como destaca Morin (1996, p. 275), “... a química, num nível experimental, está no campo da microfísica. E sabemos também que a história ocorre num território, numa geografia. [...] Fica bem distinguir estas matérias, mas não é necessário estabelecer separações absolutas”. Da mesma forma, não é conveniente isolar a matemática da química ou da física, por exemplo, elas estão interligadas em diversos contextos, como unidades, grandezas, escalas e outros tantos conhecimentos.
Quando a autora atuou em sala de aula, nos estágios com séries finais dos ensinos fundamental e médio, procurou construir com os alunos algumas percepções a respeito de problemas de escalas e medidas. Através dessa experiência, foi possível verificar, com auxílio dos professores atuantes nessas séries e com seus professores da graduação, que alguns alunos apresentavam dificuldades em esboçar e interpretar gráficos, que são utilizados frequentemente para representar dados de pesquisas e fenômenos ocorrentes em diversos contextos, como os da ciência, da política, da sociedade, entre outros.
Além disso, alguns estudantes sentiam necessidade de compreender melhor sua localização no ambiente em que estavam inseridos, como por exemplo, do bairro onde moravam em relação a diferentes pontos da cidade. A partir dessas dificuldades de representação, e localização espacial apresentada por alguns alunos e confirmada pelos professores, a autora procurou refletir se poderia existir algum problema de aprendizagem referente ao ensino de escalas, e em caso afirmativo, onde estaria essa lacuna e como encontrar alternativas que pudessem amenizar esse problema.
O estudo pretende contribuir para a compreensão de alguns problemas que existem no processo de ensino-aprendizagem de Matemática e de Física, auxiliando na percepção das relações entre as disciplinas e, consequentemente, melhorando a aprendizagem.
INTRODUÇÃO
A educação científica da população passa por uma competência mínima no que diz respeito à leitura e interpretação de escalas. Essa noção do entendimento de escalas muitas vezes não é suficiente para que o aluno consiga fazer as devidas interpretações e representações de determinadas situações do cotidiano, como por exemplo, interpretar dados estatísticos fornecidos pelos diversos meios de comunicação, interpretar mapas, projetos técnicos simples, enfim, compreender as representações que as medidas associadas às suas unidades, oferecem.
Para Tiles (2002, p. 375) “os números só são atribuídos após a seleção de uma unidade de medida”. A medida é fundamental para a física. Reforçando essa ideia Eddington (1981 apud CATELLI, 1999, p. 105) afirma que “a física é a ciência não dos objetos, mas das medidas”, e Lebesgue (1975 apud CATELLI, 1999, p. 103) afirma que “não existe assunto mais fundamental: a medida é o ponto de partida de todas as aplicações matemáticas”.
Escalas são representações de grandezas umas pelas outras. De acordo com Catelli (1999, p. 95) “a grandeza se manifesta por uma variedade muito grande de domínios: comprimentos, distâncias, massas, superfícies, volumes, forças, densidades, capacidades, resistências, temperaturas, correntes, velocidades, intervalos de tempo, energias,...”. Medir uma grandeza é compará-la com outra, sendo assim, grandezas de mesma espécie podem se compor uniformemente.
Do ponto de vista matemático, as escalas são utilizadas abundantemente, em especial, na resolução de problemas em geral. Uma das bases da matemática é a medida, a representação de grandezas. Ao fazer comparações simples como verificar qual maçã da fruteira é maior, ou quanto de água é preciso ingerir durante o dia para saciar a sede, está se usando matemática na sua forma mais básica, ao verificar o mapa de uma região a qual não se conhece, para saber quanto longe se está ou como chegar a um determinado ponto, também está se utilizando escalas. Porém, a matemática não é detentora exclusiva do estudo de escalas. Escalas são encontradas em todas as disciplinas que envolvem as ciências naturais, ou seja, surge naturalmente uma noção de interdisciplinaridade como necessidade para compreender todas as relações envolvidas na solução de um problema complexo.
Escalas são formas de representar grandezas, utilizadas em todas as áreas do conhecimento. E representar grandezas nada mais é do que medir. Sendo assim, no primeiro capítulo deste trabalho é feita uma análise do objeto de pesquisa “escala”, iniciando com uma
pesquisa bibliográfica, remetendo-se inicialmente à história da matemática e da física. Para a análise da historicidade dessas disciplinas foram consultadas obras de Carl Boyer e Howard Eves que apresentaram alguns fatos considerados importantes para o desenvolvimento desta dissertação. A seguir foi feita uma análise da importância do objeto de pesquisa na comunicação entre os povos, citando conquistas tais como a criação do Sistema Métrico Decimal, do Sistema Internacional de Unidades e do Instituto Nacional de Metrologia, Normalização e Qualidade Industrial (INMETRO).
Tornou-se necessário também fazer uma análise da presença da medida e, consequentemente, das escalas na educação. Foi feita uma incursão na história da Educação, voltando-se, em especial, à história da educação matemática e da física, consultando, em especial, textos de Ubiratan D'Ambrósio. Relatou-se ainda, no primeiro capítulo, uma experiência importante para a educação matemática e para a construção do conhecimento realizada por Georges Cuisenaire.
Matemática e Física são didaticamente disciplinas. Então, no segundo capítulo foi feita uma tentativa de definir o que é disciplina e a melhor definição, a partir da perspectiva à qual este trabalho se propõe, pode levar a alguns dividendos importantes. Por exemplo: para construir a noção de escala é necessário lançar mão de ideias que originalmente nascem de vários campos do conhecimento. Além disso, a relação entre as ciências (mais especificamente, seus resultados) e as sociedades levou – o legado da história humana mostra – a acordos que superaram fronteiras. Tal é o caso do Sistema Métrico. É redundante discutir aqui a importância de tais eventos. Ela é, sem dúvida, enorme. Mas qual a importância de tais eventos no quotidiano da escola? Seria o fato de eles serem considerados “como propriedade de outras matérias” que faz com que eles nem sejam, na maioria das vezes, evocados? Do ponto de vista do “objeto didático complexo” - a escala - que intenta-se construir, a perda é grande. A fragmentação das disciplinas pode deixar lacunas na formação do estudante. Para tentar esclarecer a necessidade de uma visão interdisciplinar do conhecimento foram consultadas, principalmente, obras de Jayme Paviani e Olga Pombo. Dessa forma, este trabalhado percebe a interdisciplinaridade, não como causa, mas como consequência do processo de ensino-aprendizagem.
Outro aspecto, não menos relevante, que se pretende abordar nesta dissertação, em especial, no terceiro capítulo, refere-se ao papel da escola, e por extensão das disciplinas. Deveria a escola e suas disciplinas, darem conta desse “objeto complexo” com a dimensão que lhe é dada aqui? Em caso afirmativo, por que esse objeto e não os outros? Essas e tantas outras questões puderam – acredita-se – ser discutidas com proveito nesta dissertação. É claro
que para examinar tais conjecturas foram necessários instrumentos de pesquisa cuja abrangência fosse suficientemente ampla. Foi feita uma entrevista semi-estruturada com professores de uma escola púbica de médio porte da região nordeste do estado a fim de analisar sua posição sobre o papel das ações interdisciplinares para a formação do conceito de escala no estudante. É portanto, objetivo deste trabalho analisar o papel das ações interdisciplinares na formação do conceito de escala do estudante.
Pretende-se com este estudo, contribuir para a Educação em Matemática e em Física, auxiliando na percepção das relações entre as disciplinas e, consequentemente, melhorando a aprendizagem, em especial, desses dois campos do conhecimento.
1 ANÁLISE DO OBJETO “ESCALA”
1.1 ESCALAS E MEDIDAS, UMA VISÃO DA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA.
Aprender matemática não é simplesmente aceitar fórmulas ou métodos prontos para resolver problemas, não obstante, muitas vezes o ensino de matemática é feito de forma “pronta e acabada”, sem que, nem mesmo um conhecimento breve e preliminar da razão e da importância do que se está aprendendo seja evocado. Uma forma para compreender determinado conteúdo é através de sua contextualização histórica, da origem desse conhecimento. Para D'Ambrósio (1996, p. 29) “ter uma idéia, embora imprecisa e incompleta, sobre por que e quando se resolveu levar o ensino de matemática à importância que tem hoje são elementos fundamentais para se fazer qualquer proposta de inovação em educação matemática e educação em geral.” Nessa perspectiva, parece interessante analisar alguns fatos que levaram à Matemática a ter tamanho valor na sociedade atual.
Brasil (2002a, p. 25) complementa ao afirmar que “o caráter histórico” da construção do conhecimento científico é um traço geral de cada uma das disciplinas que compõem as ciências naturais1 e a matemática. Sob esse aspecto, o presente capítulo busca encontrar alguns dos principais fatos que marcaram a história da Matemática e da Física, focalizando o desenvolvimento e a construção dos principais conceitos presentes no estudo das de escalas e medidas.
Inicialmente foi feita uma abordagem sobre a origem da contagem, o desenvolvimento da matemática e de outras disciplinas na Grécia, com destaque para a aritmética, geometria, astronomia e música. Nesse período destaca-se a crise dos incomensuráveis, talvez uma das maiores crises da matemática, que provocou uma revolução no desenvolvimento do conhecimento. Foram examinadas também algumas ideias dos principais pensadores ao longo da história que contribuíram para o crescimento da Matemática e da Física. Em seguida buscou-se investigar a “contribuição” das escalas para as diversas formas de comunicação social, bem como alguns aspectos correlacionados à Educação.
1.1.1 Origens da contagem
“Se não tivéssemos primeiro a habilidade de contar, seríamos incapazes de medir.” (CARNAP, 1996).
Não existem muitos registros sobre a origem da contagem, visto que a maior parte deles perdeu-se no decorrer do tempo. Acredita-se que o ser humano começou a utilizar-se da matemática muito antes de estabelecer a contagem. Os primeiros homens, na idade da pedra, viviam da caça e da coleta de alimentos, para isso utilizavam-se da comparação de grandezas constantemente. Por exemplo, qual seria o maior peixe? Ou quantos frutos seria necessário comer para saciar sua fome?
Com a evolução da espécie humana, os homens passaram a viver em comunidade, formando uma sociedade de caçadores nômades. De acordo com Boyer (1996), para caçar eles desenvolveram algumas ferramentas pequenas e, percebendo que a pele dos animais era uma forma de se aquecerem, começaram a fabricar suas roupas. Mas ainda existia um problema: estando muito tempo em determinado local, iam se acabando os frutos e os animais se afastando. Assim, cada vez que se acabavam os alimentos, os homens precisavam ir em busca de novas fontes, deixando para trás suas casas e correndo novos riscos. As margens de rios, por haver maior diversidade de plantas e animais, eram os locais mais escolhidos. Encontram-se dados que mostram que as primeiras civilizações egípcias e mesopotâmia se estabeleceram às margens dos rios Nilo, Tigre e Eufrates.
Para sobreviver, o homem precisava saber qual era o maior animal e qual o menor, era necessário comparar para ver quanto seria o ideal para alimentar todos os membros da comunidade. Segundo Boyer (1996, p. 1), “as noções primitivas de número, grandeza e forma poderiam estar relacionadas com contrastes mais do que com semelhanças – a diferença entre um lobo e muitos, a desigualdade de tamanho entre uma sardinha e uma baleia.” (Grifo do autor). Boyer afirma ainda que a matemática pode ter nascido dessa percepção de semelhanças e diferenças em número e forma.
Porém, a natureza se modifica constantemente, e o homem sentiu necessidade de observá-la com mais cuidado. Percebeu que as plantas nasciam de sementes, e que os animais, desde que não se sentissem ameaçados, poderiam se aproximar, e conviver passivamente, passaram então a domesticá-los para serem presas mais fáceis.
Para domesticar os animais o homem precisava ter alguns tipos de controle: saber quantos tinha, se algum havia fugido se existiam predadores, e assim por diante. Para isso,
começou a registrar os números, fazendo grupos de pedras, ou registrando em pedaços de osso ou bastões de madeira. Conforme Eves (1995, p. 26) era possível “contar fazendo-se ranhuras no barro ou numa pedra, produzindo-se entalhes num pedaço de madeira ou fazendo-se nós numa corda.”
Quando o homem começou a cultivar seus alimentos, percebeu que se plantasse e não chovesse as sementes não nasceriam; então começou a prestar atenção nas épocas de chuva e de seca. Assim saberia quando deveria plantar suas sementes para obter uma boa colheita. Chiqueto (1996, p. 15) cita um exemplo fictício que mostra como, possivelmente, o ser humano começou a identificar as estações de seca e de chuva. É provável que esse episódio imaginário tenha se dado no Egito ou Mesopotâmia. “Um agricultor em determinada noite, pouco antes do clarear do dia, viu uma estrela muito brilhante, na direção do Sol”. Alguns dias depois de tê-la visto choveu. Muito tempo depois, esse homem viu a estrela no mesmo lugar pouco antes do Sol nascer. Dias depois, choveu. Na terceira vez que o agricultor “viu a mesma estrela no horizonte antes do nascer do Sol, achou que poderia chover novamente e se preparou para plantar. Realmente choveu, e a colheita foi boa.”.
Assim, o homem começou a analisar o céu com mais frequência, para verificar as estações de chuva e seca. A estrela que o autor se refere é hoje conhecida por Sírius. Os homens logo perceberam que não era apenas a estrela Sírius que tinha um ciclo, mas que as demais também tinham. Essas observações podem indicar as origens da astronomia.
Segundo Schenberg (1984, p. 15) as observações dos astros “podem ser consideradas o ponto de partida da cinemática2, que combina as idéias geométricas com o conceito de tempo”.
A partir dessas observações o homem passou a medir o tempo, dividindo os anos pelos períodos de frio e calor, pela posição da estrela Sírius no céu. A observação da estrela Sírius no leste, fez com que o homem verificasse que a cada duas vezes que a estrela aparecia no mesmo ponto no céu, logo ao anoitecer, marcava um intervalo de 365 dias. Verificou também que a lua também tinha um ciclo, e que a cada doze aparições da mesma fase da lua, iniciava um novo ciclo na natureza, então se definiu o ano. A divisão de cada fase da lua serviu para que os homens se organizassem no plantio e colheita dos alimentos, definindo assim, os meses e, por extensão, construindo calendários.
Com o desenvolvimento da agricultura, da escrita e da engenharia, tornou-se necessário organizar um calendário mais preciso, para registrar a produção. Novas tecnologias
2 De acordo com Sampaio e Calçada (1998, p. 1) “a cinemática é a parte da Mecânica que descreve os
movimentos dos corpos através dos conceitos de posição, velocidade e aceleração.” Para trabalhar a Cinemática são necessários os conceitos de instante e de tempo.
foram surgindo como a construção de barragens e sistemas de irrigação. De acordo com Eves (1995, p. 57) o desenvolvimento de sistemas de irrigação e outros “projetos extensivos dessa natureza não só serviram para ligar localidades anteriormente separadas, como também a engenharia, o financiamento e a administração desses projetos, e os propósitos que os motivaram solicitaram o desenvolvimento de considerável tecnologia e matemática concomitante”. Dessa forma a matemática originou-se como uma ciência prática, capaz de resolver problemas ligados ao cotidiano dos povos.
Os agricultores não precisavam mais fazer grandes viagens, mudando constantemente de lugar. Construíram aldeias e tiveram tempo para se dedicar às novas tecnologias e sistemas de contagem. Segundo Eves (1995, p. 24) “Depois de 3000 a.C. emergem comunidades agrícolas densamente povoadas ao longo do Nilo na África, dos rios Tigre e Eufrates no Oriente Médio e ao longo do rio Amarelo na China. Essas comunidades criaram culturas nas quais a ciência e a matemática começam a se desenvolver.”
1.1.2 Babilônia e Egito
Várias contribuições para a matemática tiveram origem com os babilônicos. Esses registravam em tabletas de barro, documentos importantes, acontecimentos históricos e tábuas matemáticas3. Os babilônicos e egípcios tiveram grande importância na geometria, por tratarem de problemas práticos de medida. Os egípcios procuravam medir e demarcar suas terras, atividade que segue até os dias de hoje, quando topógrafos, geólogos, arquitetos e engenheiros fazem mapeamentos e plantas; o cálculo de áreas permanece até hoje como um dos grandes marcos da história da Matemática. Conforme Eves (1995, p. 60) por volta de 2000 a.C. a 1600 a.C. os babilônicos “deviam estar familiarizados com as regras gerais da área do retângulo, da área do triângulo retângulo e do triângulo isósceles”.
Para Osserman (1997, p. 18), os babilônicos desenvolveram a matemática de forma muito mais elevada do que os egípcios. “Tinham um sistema mais sofisticado de representar os números e uma álgebra básica, assim como a geometria.”. E mesmo mil anos antes da prova dada por Pitágoras, os babilônicos já conheciam a relação do Teorema de Pitágoras. “A chave para obter um ângulo reto era que o quadrado do lado mais comprido fosse igual à
3 Segundo Eves (1995, p. 60), as tábuas matemáticas envolviam, tábuas de multiplicação, de inversos
soma dos quadrados dos outros dois lados.” A maioria dos problemas da época estavam relacionados a problemas de medida de áreas de terras.
No Egito, o ensino da matemática era baseado na resolução de problemas. Não se sabe ao certo os objetivos de alguns dos problemas registrados no Papiro de Rhind, o mais extenso dos papiros voltados à matemática. Segundo Boyer (1996, p. 11) o problema 79 do Papiro se refere a um homem que tinha sete mulheres, cada uma com sete gatos, cada gato com sete ratos e cada rato com sete espigas de trigo. O objetivo era que os alunos descobrissem quantos eram todos os presentes no problema.
O desenvolvimento desses problemas pode ter sido movido por diversos motivos, o de ludicidade, por exemplo, associada à resolução de enigmas, uma forma de treinar cálculos ou uma técnica para desenvolver o raciocínio lógico. De acordo com Miorin (1998, p. 11) “... é bem provável que a prática tenha dado o hábito, persistente até hoje, de colocar problemas totalmente absurdos para os alunos, apenas com a intenção de treinar os algoritmos, ou até mesmo de desenvolver o raciocínio.” A hipótese citada por Miorin parece pertinente, visto que, como não havia muitas formas de registrar a aprendizagem na época, os iniciantes deveriam organizar uma forma de guardar o que aprendiam, e a prática talvez fosse o melhor instrumento.
Mas a matemática egípcia não estava restrita apenas a problemas abstratos. Era extremamente precisa em problemas de contagem e medidas. O cálculo de áreas na construção de pirâmides, a mensuração de territórios, são exemplos de problemas que eram rotineiramente resolvidos pelos egípcios.
Conforme Manacorda (2000) a civilização egípcia foi uma das que mais tempo durou, cerca de 4.000 anos. Era o pai, de forma autoritária, que ensinava o filho, que deveria decorar o que era considerado importante para a civilização.
1.1.3 Grécia e Roma
As cidades que mais se destacam nesse período são Esparta, que buscava a formação do patriota guerreiro e Atenas que formava o homem para a liberdade. A Grécia é considerada “berço da civilização ocidental” para a educação e para a democracia e, segundo Guaydier (1984, p. 10), foi também “o grande centro intelectual da Antiguidade”, dando importantes passos para o desenvolvimento das Ciências.
A mais de 2.000 anos atrás, os gregos tiveram como ambição explorar a Terra, a fim de determinar sua forma e tamanho. Sabiam apenas que a Terra era muito grande, mas não tinham ideia de sua dimensão. Segundo Osserman (1997, p. 17) descobrir o tamanho da Terra “exigia também um desenvolvimento sistemático de um ramo inteiramente novo de conhecimento que os gregos chamariam de geometria, que literalmente significa medir a terra”.
Eratóstenes, um matemático e geógrafo grego, tentou descobrir a medida do raio da Terra por volta de 240 a.C.. Segundo Barreto (2009), tendo acesso ao catálogo da biblioteca de Alexandria, o matemático e geógrafo verificou, que no dia do solstício de verão do hemisfério norte ao meio-dia, o Sol refletiria nas águas de um poço em Siene, localizada ao mesmo meridiano de Alexandria. Para isso deveriam estar alinhados, sobre o mesmo ponto imaginário, o Sol, o raio da Terra e o poço. Sabendo que distância entre Siene e Alexandria era de 800 Km, Eratóstenes verificou que o ângulo formado entre uma coluna em Alexandria e a sombra da Terra ao meio dia era de 7 1/2º, aproximadamente 1/50 do comprimento do meridiano terrestre de 360º. Através de alguns cálculos simples, Eratóstenes pode concluir que o raio da Terra era de aproximadamente 5.400 Km. Essa é talvez a primeira (e surpreendentemente precisa) medida do raio da Terra que se tem notícia.
De acordo com D'Ambrósio, “os primeiros avanços da matemática grega são atribuídos a Tales de Mileto (625-547 a.C.) e a Pitágoras de Samos (560-480 a.C.).” Sabe-se também que além da matemática, em especial a aritmética e a geometria, os gregos se dedicavam à astronomia, à ginástica e à música. E é curioso notar que, à sua maneira, cada uma dessas disciplinas fazem uso extensivo da ideia de medida.
Chamado de “um dos sete sábios da Grécia” Tales é considerado o primeiro matemático, por fazer as primeiras proposições a respeito da geometria dedutiva. Boyer (1996, p. 32) afirma que Tales “mediu a altura das pirâmides no Egito observando os comprimentos das sombras no momento em que a sombra de um bastão vertical é igual à sua altura.” Tales foi pioneiro nos cálculos astronômicos, todavia não há muitos registros sobre suas descobertas. Apesar de muitas dúvidas, “diz a tradição que em 585 a.C. Tales assombrou seus contemporâneos ao predizer um eclipse solar.”
Nascido em Samos, Pitágoras viajou pelo Egito e Babilônia, adquirindo um grande conhecimento em matemática e astronomia. Voltando à Grécia se estabeleceu em Crotona, hoje sudeste da Itália, e fundou uma espécie de sociedade secreta fundamentada na matemática, filosofia e ciências naturais. A escola Pitagórica selecionava seus discípulos por sua índole e capacidade.
Na sua escola distinguiam-se quatro graus: os acústicos (ou acusmáticos), que tinham acesso à primeira educação musical, com mitos, cultos e cantos religiosos, memorização de poesias, instrumentos musicais, dança e ginástica; os matemáticos, que estudavam aritmética, geometria, astrologia e música; os físicos, que eram introduzidos aos estudos da natureza ou filosóficos; e os sebásticos, que eram introduzidos na ciência sagrada e esotérica. (MANACORDA, 2000, p.47).
Para os pitagóricos tudo era explicado através dos números (inteiros). Pitágoras afirmava que para qualquer segmento de reta existiria outro que por menor que fosse poderia dividir o primeiro. Com a descoberta dos números irracionais, houve uma catástrofe, toda a base pitagórica foi por água abaixo. De acordo com Eves (1995, p. 107) a descoberta dos irracionais desestabilizou a ordem pitagórica.
... pois não só ela parecia perturbar a suposição básica da escola, de que tudo dependia dos números inteiros, como também porque a definição pitagórica de proporção, assumindo como comensuráveis duas grandezas quaisquer similares, fazia com que todas as proposições da teoria pitagórica das proporções se limitassem a grandezas comensuráveis, invalidando sua teoria geral das figuras semelhantes”. (EVES, 1995, p. 107).
O problema da incomensurabilidade4 de Pitágoras foi talvez a principal crise da matemática. Na perspectiva de Thomas Kuhn as crises são os motores do desenvolvimento da ciência. Essa crise da matemática surgiu a partir de um problema de medida, e consequentemente de escalas.
Catelli (1999, p. 123) cita um problema semelhante ao de Pitágoras, nesse problema são criadas duas escalas, a partir de um quadrado. Uma é constituída de réplicas do lado do quadrado, a outra de réplicas de sua diagonal. Mesmo que coincidindo o início de ambas, nunca mais haverá coincidência de traços de ambas, ou seja, não existem dois números inteiros, sejam quais forem, tais que a divisão de um pelo outro gere o número π (pi).
Aqui, parece interessante chamar a atenção do leitor para uma particularidade da noção de medida. Do ponto de vista da física, uma medida leva em geral a um “ato de medida”. O metro padrão, depositado nos porões do Palácio de Sèvres, nos arredores de Paris, é um “objeto”, construído e conservado com extremo cuidado, mas mesmo assim, um “objeto”. Entretanto, o “ato de medida” matemático não envolve uma operação, no sentido de uma manipulação “concreta” de grandezas, nem leva a um “objeto” no sentido físico. A raiz quadrada de dois é um “objeto matemático”, construível, é certo, mas num significado que é específico da matemática. A catástrofe dos incomensuráveis não seria uma catástrofe se ela se restringisse a operações concretas de medida. A catástrofe dos incomensuráveis vem de uma demonstração da impossibilidade de representar a diagonal de um quadrado por meio de um de seus lados. Essa ideia essencial de medida sob uma perspectiva essencialmente matemática não pode ser perdida de vista.
A crise dos incomensuráveis, conforme Eves (2004, p. 106) nasceu pela “descoberta da existência dos números irracionais”; até então acreditava-se que todas as medidas poderiam ser expressas por um número racional. Para Schenberg (1984, p. 16) a descoberta dos incomensuráveis “foi talvez a primeira grande revolução científica da História da Humanidade”. A Academia de Platão deu continuidade aos trabalhos da Escola Pitagórica. Eudoxo de Cnido (408-355, a.C.), membro destacado da Academia de Platão é considerado por Schenberg o descobridor da teoria dos incomensuráveis, do método axiomático e do método de exaustão. A geometria de Euclides está baseada nas ideias de Eudoxo.
Ilustração 1: Um quadrado girando sobre um de seus lados gera uma escala. Uma segunda escala pode ser produzida se o quadrado girar sobre sua diagonal.
1.1.4 Euclides
Autor de um dos mais importantes documentos matemáticos, a obra Os Elementos foi uma das poucas da época que sobreviveu ao tempo. No decorrer de seu texto podem ser encontradas definições que pertencem à geometria plana, como a definição de ponto (“é o que não tem partes, ou o que não tem grandeza nenhuma”), de reta, (“uma linha reta é aquela, que está posta igualmente entre suas extremidades”) e de ângulo (“ângulo plano é a inclinação recíproca de duas linhas, que se tocam em uma superfície plana, sem estarem em direitura5 uma com outra.”) (Euclides, 1944, p. 4). Essas definições permanecem até hoje na iniciação à geometria e, posteriormente são ampliadas para dar continuidade ao ensino de matemática. Euclides é considerado por muitos historiadores de matemática como pioneiro na formulação de definições da geometria. Euclides destaca-se também na geometria no espaço, que trata do estudo das superfícies descritas por uma reta ou semicírculo que gira em volta de uma reta imóvel (Dieudonné, 1990).
Para realizar suas medições Euclides utilizava apenas régua e compasso, por isso esses são chamados instrumentos euclidianos. Segundo Eves (1995, p. 134) a régua euclidiana “não tem escala”. Dessa forma, Eves afirma que “com a régua permite-se traçar uma reta de comprimento indefinido passando por dois pontos distintos dados. Com o compasso permite-se traçar uma circunferência com o centro num ponto dado passando por um permite-segundo ponto qualquer dado.”.
Uma das grandes contribuições de Euclides diz respeito a grandezas, razões e
5 Direitura: Qualidade de direito ou reto. Direção retilínea.
Ilustração 2: O centro da circunferência está definido a partir do ponto P1 da reta e sua extremidade no segundo ponto P2, selecionado na reta.
proporções. Seu texto, começa com definições simples e a partir delas demonstra diversos teoremas, fazendo dessa obra uma das principais, senão, a maior das obras matemáticas de todos os tempos. Tamanha é sua importância que, nos tempos modernos, essa obra (ou pelo menos parte dela) tornou-se um elemento básico da educação matemática em praticamente todo o planeta.
Vista originalmente como um instrumento e um modelo para pesquisa em matemática e outras ciências, a obra transformou-se gradualmente no componente básico da educação padrão – uma peça de equipamento intelectual com a qual se esperava que todo jovem estudante devesse pelejar, incorporando-a depois. (OSSERMAN, 1997, p. 19)
É pena que estes teoremas, utilizados até hoje no ensino fundamental e médio, muitas vezes não venham acompanhados de uma consideração atenta sobre sua historicidade, ausência de reflexão esta que escamoteia em grande parte a enorme importância que eles possuem para a matemática e a ciência modernas.
É preciso destacar que grande parte do conhecimento matemático da época estava relacionado a problemas de medida e consequentemente de escalas. Mesmo sendo um tema muito antigo, permanecem até hoje algumas lacunas na aprendizagem do conceito de medida, lacunas essas localizadas na geometria, mas não somente nela, de certa forma, todas as demais áreas do conhecimento são atingidas, principalmente nas ciências naturais. Uma hipótese plausível pode ser a de que: como a medida aparece naturalmente quando a obra de Euclides é vista sob um prisma histórico, talvez esta relação se tenha ocultado justamente pela quase que total ausência do enfoque histórico no cotidiano da educação matemática. Esse tema será retomado mais adiante.
Mais do que geometria, Os Elementos abordam questões relativas a toda matemática da época, aritmética, geometria e álgebra, de forma inédita e incomparável. Para Boyer (1996, p. 82) “certamente nenhuma obra matemática teve influência comparável à de Os Elementos de Euclides. Como é apropriado o nome que os sucessores de Euclides lhe deram, 'o Elementador'!”.
Conforme Eves (2004, p. 176) provavelmente Os Elementos foram escritos como texto de introdução de matemática geral, pois, conforme o autor, Euclides escrevera também sobre matemática superior. O título da obra Os Elementos é discutido por Eves ao afirmar que:
Segundo Proclo, os gregos antigos definiam os “elementos” de um estudo dedutivo como teoremas-mestre, ou teoremas-chave, de uso geral e amplo no assunto. Já se comparou sua função à das letras do alfabeto em relação à linguagem; aliás em grego as letras recebem o mesmo nome. (EVES, 2004, p. 176)
Sobre sua vida não se sabe muito, nem ao menos seu nome correto. Ele foi chamado de Euclides de Alexandria por ter fundado nessa cidade uma escola, por volta de 306 a.C. após a morte de Alexandre, o Grande.
Além de Os Elementos, Boyer (1996) cita outras importantes obras de Euclides que sobreviveram ao tempo. Os Dados, que serve de complemento a Os Elementos, aborda relações entre grandezas e aponta algumas regras e fórmulas algébricas. Divisão de figuras, outra importante obra que aponta para questões relativas à divisão de figuras geométricas planas. E também Óptica, que se contrapõe ao pensamento de Aristóteles que afirmava que a imagem ia em linha reta do objeto para o olho; para Euclides, é o olho que envia raios que chegam até o objeto. A matemática nesse caso é, em princípio, a mesma, o que provoca contradições são as descrições físicas conflitantes.
As ideias de Euclides para a Geometria foram, segundo Schenberg (1984, p. 16), fundamentais para a o “desenvolvimento da Física”, sendo “o principal instrumento matemático até a época de Kepler e Galileu”.
1.1.5 Arquimedes
Nascido em Siracusa, uma cidade localizada na Grécia, por volta de 287 a.C., Arquimedes foi um precursor do cálculo diferencial e integral. Fez muitas descobertas importantes nas áreas da matemática e da física, dentre elas o sistema de roldanas para mover corpos muito pesados de um lugar para outro. Uma das mais famosas descobertas de Arquimedes está ligada ao princípio que leva seu nome, o qual enuncia, conforme Tipler (2000, p. 354), que “um corpo total ou parcialmente imerso num fluido sofre um empuxo que é igual ao peso do fluido deslocado.” Assim era possível medir a força que qualquer líquido exerce sobre um corpo nele mergulhado. Conta a história que Arquimedes fez a descoberta por acaso: o rei de Siracusa havia encomendado uma coroa de ouro, mas estava desconfiado de que havia prata na composição dessa, então solicitou a Arquimedes que descobrisse se a coroa era verdadeiramente de ouro. Ao banhar-se, Arquimedes percebeu que quando entrava
em uma banheira o nível da água subia. Muito feliz saiu correndo pelas ruas gritando Eureca! (Achei!), completamente despido. Assim foi fácil descobrir de que era feita a coroa. Arquimedes colocou uma barra de ouro puro, de massa igual a da coroa, e recolheu a água que transbordou. Depois colocou uma massa igual a da coroa só que de prata pura, verificou que o volume de água que transbordou era maior, devido à densidade da prata ser menor.
Ao colocar a coroa na água percebeu que o volume da água recolhido era intermediário entre o valor que transbordou da massa de ouro e o valor da massa da prata. Assim, verificou que a coroa não era de ouro puro. É curioso notar que o problema da coroa do rei é de fato um problema de medida.
Arquimedes fez ainda diversas descobertas interessantes, algumas façanhas matemáticas, conforme afirma Guaydier (1984, p.13)
Arquimedes, que soube, contrariamente aos seus contemporâneos, praticar o método experimental, determinou a lei do equilíbrio da alavanca e compreendeu a sua importância, como mostra a famosa frase: <<dêem-me um ponto de apoio e levantarei o mundo>>; tirou daqui uma teoria do centro de gravidade e conseguiu indicar a sua posição nalguns casos particulares. Foi pois o fundador da estática. ... É ainda o autor de uma quantidade de invenções: cadernal, parafuso sem-fim, parafuso de Arquimedes, e sem dúvida também o aereómetro. Enfim, para defender Siracusa sitiada pelos romanos, imaginou uma enorme quantidade de máquinas e dispositivos muito engenhosos.
No que diz respeito ao cálculo de áreas, Arquimedes escreveu o texto “Sobre espirais”, que segundo Boyer (1996, p. 88) fora “muito admirada mas pouco lida, pois era geralmente considerada a mais difícil obra de Arquimedes.” Essa obra utilizava principalmente o método de exaustão e, conforme afirma Boyer, apenas Arquimedes conseguiu resolver a questão de quadrar um segmento de parábola (Quadrar significa aqui medir a área de um segmento de parábola tendo como “unidade” de medida de área um quadrado de lado dado). Ele elabora assim, o axioma que leva seu nome: “Que o excesso pelo qual a maior de duas áreas diferentes excede a menor pode, sendo somada a si mesma, vir a exceder qualquer área finita dada”, eliminando, assim, o indivisível fixo, muito discutido na época de Platão.
A medida de áreas bastante complexas, sem o auxílio do cálculo diferencial e integral, que nem existia na época, faz com que Arquimedes seja hoje considerado o precursor do cálculo, conforme afirma Anton (2000, p. 4) “as atuais aplicações do cálculo têm raízes que remontam ao trabalho do matemático grego Arquimedes”, mesmo que os princípios fundamentais do cálculo atual tenham sido feitos independentemente por Isaac Newton e por
Gottfried Leibniz.
Segundo Netz e Nöel (2009) Arquimedes fez ainda várias determinações de centros de gravidade, o do triângulo, por exemplo. Mas, mais que isso, ele se serviu da ideia de equilíbrio para a determinação da área de um segmento parabólico. É uma operação de medida, mas não envolve uma “ação” concreta de medição. Essa diferença pode ser crucial na delimitação do âmbito da matemática no que diz respeito à medida. Encontra-se aqui uma noção diferente sobre o que seja medir (“representar as grandezas umas pelas outras”).
Em 1998 foi realizado o leilão de um palimpsesto6, o “Códex”, um livro de orações escrito por volta do ano 1000. Posto sobre um outro texto, escrito originalmente sobre pergaminho há muito mais tempo, que havia sido previamente raspado e apagado, o texto original continha nada menos que o único manuscrito de Arquimedes conhecido até hoje que contém o livro “Corpos Flutuantes”. Além do “Corpos Flutuantes”, encontram-se lá versões de dois outros textos extraordinários, o revolucionário “Método” e o lúdico “Stomachion”, um belo e curioso jogo de montar. (Netz e Noel, 2009, pg. 12).
O que há nesse livro que poderia ter interesse para esta dissertação? Os gregos deram à matemática a característica que hoje lhe é peculiar de ciência precisa e rigorosa. Mas faziam isso evitando a armadilha do infinito. Os números dos gregos eram eventualmente muito grandes ou muito pequenos. Mas nunca eram infinitamente grandes. Ou infinitamente pequenos. O infinito, tal como os matemáticos o concebem hoje, só veio a ser domado no século XIX. O “Método” trata basicamente da “medição” de objetos matemáticos. Essa medição é na verdade uma operação matemática, literal e essencialmente não experimental (não configura um ato concreto de medida), que resulta no que os estudantes de hoje denominariam de “fórmula”, a fórmula de uma área, por exemplo. Por volta de março de 2001, técnicas extremamente sofisticadas de análise de imagens permitiram uma leitura de trechos até então ilegíveis do “Códex”. Essa leitura revelou pela primeira vez que Arquimedes, para realizar esta operação de medição, havia feito uma correspondência de um para um com todos os elementos de dois conjuntos infinitos, o que mostra que, nas palavras de Netz e Noel (2009, p. 209), “Arquimedes calculou com infinitos reais, em oposição direta a tudo que os historiadores da matemática sempre acreditaram sobre sua disciplina”. Convém lembrar aqui que o instrumento de um para um7 foi o que permitiu, no final do século XIX, a estruturação do conceito de infinito. Ainda nas palavras de Netz e Noel, “trata-se de nada menos do que a pedra fundamental para a moderna Teoria dos Conjuntos”.
6 Do grego “palin”, novamente e “psan”, esfregar. O termo “palimpsesto” denomina um pergaminho que foi
raspado mais de uma vez, com a finalidade de ser reaproveitado. Neste caso, os textos de Arquimedes foram raspados e, sobre eles, foram reescritas orações.
1.1.6 Descartes
Passando vários séculos adiante, encontra-se outro grande personagem da história da matemática, cuja relação com a representação mental de escalas e medida é bastante intensa. Nascido em 1596, René Descartes viveu num dos períodos mais importantes da história da matemática. Na sua época já era possível identificar nas matemáticas o seu caráter lúdico, estético e prático, como afirma Descartes (s.d., p. 3) “as matemáticas têm invenções bastante sutis, e que podem servir muito, tanto para satisfazer os curiosos quanto para facilitar todas as artes e reduzir o trabalho dos homens.” Esses aspectos, prático, lúdico e estético estando presentes no ambiente da sala de aula nos dias de hoje podem auxiliar para que o aluno possa compreender, não só a importância do caráter histórico mas, principalmente a utilidade da matemática no cotidiano do cidadão.
Mesmo não sendo considerado matemático, por ter dedicado sua vida à ciência e à filosofia, Descartes contribuiu muito para a geometria cartesiana, conhecida hoje por geometria analítica, em sua obra “La Géométrie” (um dos apêndices do Discurso do método). Segundo Boyer (1996, p. 231) Descartes inicia o capítulo com a seguinte frase: “Todo problema de geometria pode facilmente ser reduzido a termos tais que o conhecimento dos comprimentos de certos segmentos basta para a construção.” Para Descartes, a geometria não era pensada em termos de incógnitas, mas através de segmentos de medida.
7 Um exemplo simples desta correspondência de um para um é o seguinte: comparando-se o número de
números inteiros com o número de números pares (Essa é, a rigor, uma operação de medida, pois comparamos grandezas de mesma espécie). Associamos ao primeiro número inteiro, 1, o primeiro número par, 2. Ao segundo número inteiro, 2, corresponderá o segundo número par, 4. E assim sucessivamente. Compando-se as duas linhas abaixo:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11, etc
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22, etc.
Para cada número inteiro, existe um número par que lhe corresponde. E vice versa. A conclusão, surpreendente, é a de que o número de números inteiros é igual ao número de números pares, embora haja, num certo sentido, duas vezes mais números inteiros do que há de números pares. O infinito é difícil de trabalhar justamente pelo número de paradoxos que produz. (Netz e Noel, 2009, pg. 192).
1.2 ESCALAS NA HISTÓRIA DA FÍSICA
“Existe pelo menos um problema filosófico que interessa a todos os homens que pensam: é o problema da cosmologia - o problema de compreender o mundo – nós inclusive – e nosso conhecimento, como fazendo parte do mundo” (Popper, 1972 apud CATELLI, 1999, p. 18).
De acordo com Osserman (1997, p. 35), para os gregos, “... a Terra era uma esfera situada dentro da grande esfera de estrelas fixas, enquanto o Sol, a Lua e os planetas estavam ligados a esferas intermediárias.” Ptolomeu acreditava na forma esférica da Terra, afirmando, conforme Osserman (1997, p.35), que “... se a Terra fosse plana do Oriente ao Ocidente, as estrelas nasceriam ao mesmo tempo, para os orientais e para os ocidentais, o que é falso.” O universo dos gregos seria eterno e imutável: a abóbada celeste, os movimentos circulares perfeitos, os planetas seriam astros “errantes”, mal comportados, que não se movem como as estrelas da esfera maior.
Segundo Boyer (1996, p. 36), os pitagóricos acreditavam que no centro do universo havia um fogo, no qual todos os planetas, o Sol e a Lua girariam uniformemente, as estrelas seriam fixas, e a Terra em sua revolução teria seu movimento conservando sempre a mesma face não habitada voltada para o fogo central e por isso “nem o fogo, nem a contraterra eram jamais vistos.” Essa concepção permaneceu por mais de 2000 anos, até que Copérnico demonstrou que essa ideia não era compatível com o que era observado.
Para Copérnico não haveria lugar privilegiado no universo; conforme Ray (1993, p. 116) “Nem o sistema solar, nem nossa galáxia, nem qualquer outra galáxia, nesse caso, seriam considerados 'centrais' ou possuidores de um status especial no universo como um todo. O universo se expande, mas não precisa ter um 'centro' como tal”. Essa não é uma noção trivial. Como podem diversos observadores, em lugares diferentes, observarem a mesma coisa, ou seja, as estrelas se afastando do ponto em que eles se encontram? É possível fazer a seguinte analogia: inflar um balão, no qual estão pintados muitos pontos e imaginar-se sobre qualquer um desses pontos, é possível ver os outros se afastando, não importa o ponto que se escolheu!
No sistema solar, o Sol seria o centro. De acordo com Copérnico (Apud. Silveira, 2002 p. 3) “... o Sol senta-se como num trono real governando os seus filhos, os planetas que giram à volta dele”. Mas essa reflexão copernicana não era novidade conforme afirma Lucie (1978, p. 52):
... mil e oitocentos anos, portanto, antes de Copérnico, Aristarco enunciou corretamente a hipótese segundo a qual a Terra tinha um duplo movimento de rotação: em torno do eixo dos pólos (movimento diurno) e ao redor do Sol (movimento anual).
No entanto a hipótese de Aristarco não foi aceita na época, pois agredia o modelo aristotélico firmemente estabelecido, a Terra perderia seu lugar central no universo e segundo Lucie (1978, p. 52), essa nova representação “destruía a hierarquia do Cosmos e com ela toda a filosofia erguida sobre o senso comum, sobre os lugares naturais e sobre a essência das coisas.” Além disso, como se justificaria o fato de um corpo cair no chão, se a Terra girasse de oeste para leste? E mais, se a Terra girasse ao redor do Sol, como seria possível resistir aos ventos, que seriam muito violentos? Essas e outras questões levantadas dificultavam a ordem da física, levando ao abandono do heliocentrismo de Aristarco de Samos.
Por volta de 1500 d.C. Copérnico explica um modelo que substituiria Ptolomeu e tentaria explicar Aristarco. Para Copérnico os corpos não iam para o centro do Mundo, iam para a Terra porque eram semelhantes e por isso tendiam a se unir. O Sol estaria localizado entre os astros.
Mesmo rejeitando a teoria de Copérnico, os astrônomos da época reconheceram que graças a sua hipótese errada, foi possível calcular os movimentos das esferas celestes. Para Lucie (1978, p. 94), apesar de ter repetido Aristarco, Copérnico surgiu como o homem que “preparou e permitiu a verdadeira revolução do século XVII. As alterações à estrutura do Universo, que propunha, não poderiam concretizar-se sem que se processasse primeiro uma renovação total na própria estrutura da epistemologia científica.” As premissas de Copérnico influenciaram as descobertas de Newton que posteriormente formalizou a ideia de universo em movimento regular.
Essa breve digressão sobre Copérnico e sua imagem de mundo parece desconectada do tema central desta dissertação: as escalas e as medidas. Mas, não é bem assim. A observação dos fenômenos da Natureza, é considerada por Schenberg (1984, p. 15) o “objetivo da Física desde os tempos antigos” e seu ramo mais antigo “a Geometria”, por fornecer uma descrição quantitativa das “grandezas físicas tais como comprimentos, áreas, volumes e ângulos”. Convém lembrar: “geometria” significa medir a Terra; e como será visto mais adiante, uma das medidas mais cuidadosas da circunferência da Terra foi executada por astrônomos, por intermédio de visadas precisas a algumas estrelas, e levou a nada menos do que ao metro padrão. Esse episódio da história abre a possibilidade de considerar a interdisciplinaridade como necessidade desde os tempos antigos, pois, de acordo com
Schenberg, os “desenvolvimentos primitivos da Geometria estiveram naturalmente relacionados com a Agrimensura, sobretudo no antigo Egito e na Mesopotâmia.”
Problemas de geometria e consequentemente de medidas, como cálculo de áreas e volumes estiveram relacionados com o desenvolvimento do Cálculo Diferencial e integral no Século XVII, tornando-se um instrumento importante para a Física Teórica, que, conforme Schenberg (1984, p. 17), permitiram “a Newton dar as equações diferenciais fundamentais da Dinâmica”.
1.2.1 O universo relógio de Newton
A geometria baseia-se na prática mecânica, e nada mais é que aquela parte da mecânica universal que propõe e demonstra com rigor a arte de medir. (NEWTON, 1987, p. 151. Grifo do autor)
Nascido em 1642, Isaac Newton ingressou no Trinity College em 1661. Interessando-se inicialmente pela química; após Interessando-seu primeiro ano de estudo, dedicou-Interessando-se também à leitura de Euclides, Galileu, Kepler, Fermat e outros. Suas primeiras descobertas foram à respeito de funções das séries infinitas. Segundo Boyer (1996, p. 269) “Newton começou a pensar, em 1665, na taxa de variação, ou fluxo, de quantidades variáveis continuamente, ou fluentes – tais como comprimentos, áreas, volumes, distâncias, temperaturas.”
Uma de suas mais conhecidas descobertas foi a da atração universal, a qual havia intrigado muitos sábios. Diversas hipóteses a respeito do movimento dos planetas haviam sido propostas, mas todas constituíam-se de fato em representações intuitivas, muito vagas. Newton enuncia, então, a primeira lei do movimento (1987, p. 162) afirmando que “todo o corpo permanece em seu estado de repouso ou de movimento uniforme em linha reta, a menos que seja obrigado a mudar seu estado por forças impressas nele”, mas justifica que “os corpos maiores que são os planetas e os cometas conservam por mais tempo seus movimentos, tanto os progressivos como os circulares, por causa da menor resistência dos espaços.” Para Newton todos os corpos, sejam eles terrestres ou celestes, obedecem às mesmas leis, inclusive as estrelas, sendo assim, elas não seriam fixas como dizia Descartes. Sua obra, segundo Guaydier (1984), é considerada fundadora da mecânica celeste, por sua perfeição avançada:
relativamente ao foco (como acontece com os planetas), é devido a uma atracção inversamente proporcional ao quadrado da distância; demonstrava a seguir a recíproca, provando assim a identidade das leis de Kepler e da sua lei da atração; concluía com o enunciado do famoso princípio da atracção universal. (GUAYDIER, 1984, p. 24)
No universo de Newton toda a matéria está interligada por forças gravitacionais, mas essa força gravitacional – que age à distância e cujos efeitos se fazem notar de forma instantânea – independe de outras forças da natureza, como por exemplo, a força eletromagnética. Segundo Parker (1986, p. 17) “a mecânica newtoniana como é conhecida actualmente, baseava-se numas poucas leis simples a partir das quais se podiam fazer previsões sobre qualquer tipo de movimento.” Newton é reconhecido como um dos maiores matemáticos do mundo conforme afirma Leibniz (apud EVES 2004, p. 447), “tomando a matemática desde o início do mundo até a época em que Newton viveu, o que ele fez foi, em grande escala, a metade melhor.”
A geometria euclidiana é a “métrica” do Universo de Newton. Por exemplo, no mundo de Newton, retas paralelas só se encontrarão no infinito. A soma dos ângulos internos de triângulos é 180°. Essas teorias eram excelentes para a época (e de certa forma ainda são, hoje); tudo poderia ser explicado por alguns poucos postulados, mas havia algumas limitações.
Após as ideias de Newton, surgiram outras sobre a eletricidade, o magnetismo e o calor, formando o que hoje é conhecido como Física Clássica. Segundo Parker (1986, p.18) “quando os cientistas começaram a tentar aplicar a teoria clássica no domínio do átomo e no do macrocosmos descobriram que ela não dava bom resultado. Algo estava errado.”
Em 1900, através de suas observações Max Plank concluiu que a luz se propagava em partes ou partículas e não continuamente como alguns pensavam até então. Em 1923 Louis de Broglie em sua tese de doutorado, sugeriu que a matéria apresentava uma dualidade onda-partícula. Conforme Parker (1986, p. 19) o júri de doutorado sentiu-se embaraçado com as ideias de de Broglie8, então chamaram um especialista para aceitar ou rejeitar a ideia, o especialista era Albert Einstein e, “para a surpresa do júri, Einstein ficou fascinado com a proposta e disse-lhes estar convencido que a idéia era correcta.” O princípio da incerteza9,
8 Segundo Serway (1996, p. 56) em sua tese de doutorado Louis de Broglie “postulou que, em virtude de os
fótons terem características ondulatórias e corpusculares, talvez todas as formas de matéria tenham propriedades ondulatórias e também corpusculares”.
9 Conforme Serway (1996, p. 62) a teoria quântica prevê que “é fisicamente impossível medir simultaneamente
a posição exata de uma partícula e o momento exato da mesma partícula”. O princípio da incerteza de acordo com Serway enuncia que “se uma medida da posição for feita com precisão ∆x e se uma medida simultânea do momento for feita com precisão ∆p, então o produto das duas incertezas nunca poderá ser menor do que um número da ordem de ћ. Isto é, ∆x∆p≥ ћ”.
como será visto a seguir, terá implicações na noção de medida.
1.2.2 O universo em evolução de Einstein
Para os gregos, o universo era eterno e estático. Para Newton, ele era móvel, porém regular como um relógio. Com os estudos de Albert Einstein houve uma evolução na concepção de universo. Grande parte do que até então era tido como verdade, vai, agora, por água abaixo. Pode-se considerar o universo de Einstein como turbulento. Estrelas nascem, envelhecem, morrem. Galáxias evoluem. Matéria e energia se transformam uma na outra.
No universo de Einstein, a grande descoberta seria a teoria que unificasse as quatro forças no universo: a gravitacional (a maçã de Newton caindo da macieira), a eletromagnética (que aparece, por exemplo, ao ligar um motor elétrico), a nuclear forte e a nuclear fraca (estas últimas só aparecem em escala subatômica). Três delas já foram unificadas: a eletromagnética, a nuclear forte e a nuclear fraca. Falta, paradoxalmente, a força gravitacional.
No universo de Einstein até mesmo as escalas se comportam de maneira diferente. Um exemplo disso é traçar um triângulo sobre a superfície de uma esfera. Seus ângulos internos não somarão mais 180°. Retas sobre esta superfície viram geodésicas. Elas podem se encontrar e ao mesmo tempo serem paralelas, pelo menos localmente. A extensão desta imagem leva a uma outra métrica, a métrica do espaço tempo. Como é possível ver, a ideia de medida permeia as visões de mundo da civilização ocidental dos últimos três ou quatro séculos, todas elas.
Essa visão de mundo, de aparência bizarra e até mesmo improvável, a partir de um certo senso comum, é a base para todas as telecomunicações do mundo atual, que em algum momento são mediadas por princípios da teoria da relatividade. O GPS é um exemplo de objeto relativístico; ele revela uma métrica fantástica. É possível saber com precisão da ordem do metro em que ponto do planeta se está, dispondo-se, por exemplo, de um telefone móvel de tecnologia recente. Tem-se aqui a prova de uma medida extremamente refinada, que seria inviável sem o concurso de uma visão de mundo “einsteniana” ou relativística, a qual se revela aqui por seu lado “métrico”.
