Publicações do PESC Contribuição Teórica para Entender os Problemas de Síntese e Ampliação de Redes

"CONTRIBUIÇÃO T E ~ R I C A PARA ENTENDER OS PRO- BLEMAS DE S ~ N T E S E E AMPLIAÇÃO DE REDES

'!

L u i z C a r l o s G a l e t t i

T E S E SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DA COORDENAÇÃO DOS PROGRAMAS DE P~S-GRADUAÇÃO DE ENGENHARIA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO R I O DE J A N E I R O COMO PARTE DOS R E Q U I S I T O S

NECESSARIOS

PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIA ( M . S c . ) .

A p r o v a d a p o r :

~ r o f . N e l s o n M a c u l a n ~ G h o

P i o f . J o s é M a n o e l C . d e M e l l o

ESTADO DO R I O DE J A N E I R O

-

B R A S I L MARÇO DE 1 9 7 6

D E D I C A T Ó R I A

- - -

à L y l i a , companheira i n c a n s ã v e l na l u t a d i z

-

r i a , e

2

Ana, recém n a s c i d a a o s 2 O / O 2 / 1 9 7 6 .

A Nelson Maculan F i l h o , p e l a c o l a b o r a ç ã o e e s t h u l o n e s t e t r a b a l h o .

A Angela Maria Schwartz C u p o l i l l o p e l a be

-

l e z a do t e x t o b a t i d o .

R E S U M O

- - -

L A c o n t r i b u i ç ã o p r i n c i p a l d e s t e t r a b a l h o e e s c l a r e c e r como s ã o as s o l u ç õ e s do problema d e a m p l i a ç ã o , v i s t a s no p o l i t o p o d e s o l u ç õ e s do problema d e programação l i n e a r , que c o r

-

r e s p o n d e f o r m u l a ç ã o m a t e m á t i c a do problema d e a m p l i a ç ã o . Ma s í n t e s e d e r e d e s d i s c u t i m o s o s i g n i f i c a

-

do do e n u n c i a d o t e ó r i c o do problema e f i c o u m o s t r a d a a p o s s i b i l i d a

-

de d e r e s o l v e r um problema d e s í n t e s e d e r e d e a t r a v é s do método Simplex. Outro a s p e c t o p r e s e n t e

é

_{o e n t e n d i m e n t o a m}

_-

pPo do que s i g n i f i c a m as v a r i á v e i s r e q u i s i t o d e f l u x o , c a p a c i d a d e d e a r c o , c u s t o de a m p l i a ç ã o , e t c .

,

que precedem

2

f o r m u l a ç ã o do pm

-

blema d e a m p l i a ç ã o e do problema de s í n t e s e .

V e r i f i c a m o s que o s d o i s problemas s ã o seme

-

I h a n t e s . E l e s foram r e s o l v i d o s , com r e s u l t a d o s num&icos, b a s t a n

-

do l a n ç a r mão d a b i b l i o g r a f i a c i t a d a .

No c a p í t u l o I escrevemos -os c o n c e k t o s . No c a p í t u l o

I1

p a r t i m o s do s i g n i f i c a d o do problema d e a m p l i a ç ã o , _{e x}

_-

p l i c a m o s as v a r i á v e i s , f i z e m o s a c o l o c a ç ã o m a t e m á t i c a e a n a l i s a m o s o c o n j u n t o d e s o l u ç õ e s . No ~ a p i t u l o I11 estudamos a s í n t e s e de uma r e d e . Um c a s o r e a l d e s í n t e s e de uma r e d e t e l e f ô n i c a f o i e s t u d a d o , n a p a r t e do equacionamento e p o s t e r i o r d e s e n v o l v i m e n t o t e Õ r i c o , c h e

-

gando a o p o n t o d e r e s o l u ç ã o p r á t i c a . O s r e s u l t a d o s o b t i d o s no t r a b a l h o d a Tese foram: 1. P o l i t o p o de s o l u ç õ e s do problema d e a m

-

p l i a ç ã o .

2 . Rede s i n t e t i z a d a f i n a l d e uma r e d e dada. A s c o n c l u s õ e s s ã o :

O s problemas d e s í n t e s e e a m p l i c a ç ã o e n v o l - vem v a r i á v e i s s e m e l h a n t e s . A f o r m u l a ç ã o m a t e m á t i c a também s e r á qua

-

s e i g u a l . Ao r e s o l v e r um problema r e a l as d i f e r e n ç a s s ã o m u i t a s .

Merece a t e n ç ã o o e n f o q u e conduzido no s e n t i

-

do d e e n t e n d e r o s problemas p o r a n a l o g i a com c a s o s r e a i s . Usamos exemplos d e problemas d e e n g e n h a r i a , p a r a e n t e n d e r a d e f i n i ç ã o d e f l u x o em r e d e s . Quando f o i p o s s ~ v e l comparar um c o n c e i t o , d e f i n i

-

ç ã o , com f i g u r a s , e c o n c e i t o s mais f á c e i s , usamos e s t e a r t i f l c i o

.

Do ~ ~ ê n d i c e _{vemos que um problema d e r e d e s p o d e , em g e r a l , s e r r e}

-

s o l v i d o p o r programação l i n e a r .

H;,

n e s t e campo d e t r a b a l h o m u i t a s p u b l i c a - ç õ e s , s o b r e t u d o e s t r a n g e i r a s . Mo Brasil, o s t r a b a l h o s n e s t e a s s u n

-

t o contam-se nos d e d o s . A C i ê n c i a e s t á d o e n t e .

The c o n t r i b u t i o n o f t h i s work i s t e 1 1 how a r e t h e s o l u t i o n s ' o f t h e e x p a n s i o n problem, i n t h e p o l y t o p e s o l u

-

t i o n s o f t h e l i n e a r programming problem, wich i s r e l a t e d w i t h t h e m a t e m a t i c a l f o r m u l a t i o n o f t h e e x p a n s i o n problem.

I n network s y n t h e s i s we d i s c u s s what i s t h e t h e o r e t i c a l s i g n i f i c a n c e o f t h e problem. We show t h a t t h e s i m p l e x p r o c e d u r e c a n b e a p p l i e d t o a s y n t h e s i s l i k e t h i s .

I t ' s i m p o r t a n t t o know i n a l a r g e s e n s e what a r e t h e v a r i a b l e s . For example, t o know what a r c c a p a c i t y means. With d o n b t s l i k e t h i s , we a r e a s k i n g a b o u t r e q u i r e d f l o w s , e x p a n s i o n c o s t s , and a n o t h e r s .

We o b s e r v e d t h a t e x p a n s i o n and s y n t h e s i s a r e s i m i l a r problems. They a r e r e s o l v e d i n many books.

I n c h a p t e r I w e w r i t e c o n c e p t s . I n c h a p t e r 11, we s t u d y t h e e x p a n s i o n problem. I n c h a p t e r I11 w e d i s c u s s t h e s y n t h e s i s problem. We h a v e g o t some r e s u l t s : 1. P o l y t o p e s o l u t i o n s t o f t h e e x p a n s í o n p r o

_-

blem

2 . A s y n t h e s i z e d network o f a g i v e n network. The c o n c l u s i o n s a r e :

Both problems c a n b e f o r m u l a t e d l i k e l i n e a r programs. When we are working i n a e n g i n e e r i n g p r o b l e m , w i t h many c a b l e s and s t a t i o n s , and we need t o expand t h e t o t a l c a p a c i t y o f t h e s y s t e m , many ques- t i o n s and some p h i l o s o p h i c a l a s p e c t s w i l l b e s o l v e d b e f o r e .

I n most c a s e s t h e p u b l i c a t i o n s a r e made in

f o r e i g n c o u n t r i e s . I n B r a s i l , works l i k e t h i s one a r e r a r e . S c i e n c e i s s i c k . . .

viii

I N D I C E

.

.

.

.

.

.

4

...

CAPITULO 11. -34

11.1. Colocação ~ a t e m á t i c a do problema de Ampliasão

de capacidade de uma rede

...

34

11.2. Estudo do Politopo de s o ~ u ç õ e s do problema de

programação linear formulado

...

5 3

111.1. O problema de ~ Z n t e s e

...

76

111.2. síntese de uma Rede de ComunicaçÕes

...

8 5

BIBLIOGRAFIA

...

.

.

96

APENDICE

...

A s metas d e um t r a b a l h o c i e n t í f i c o e s u a r e a l i z a ç ã o s ã o o avanço d e conhecimentos que permitem r e s o l v e r um p r o

-

blema d e n t r o d e uma r e a l i d a d e s o c i a l . A T e s e d e Mestrado e x i g e um método d e p e s q u i

-

s a , e n t r e o u t r a s c o i s a s . O método usado c o n s i s t e em c o n h e c e r , a t r a v ê s d a l e i t u r a d e t e x t o s e o u t r a s p u b l i c a ç õ e s , o panorama g e r a l r e

-

l a t i v o a problemas d e t e o r i a d e r e d e s , l o c a l i z a ç ã o de r e c u r s o s , c a

-

minhos m a i s c u r t o e n t r e v á r i o s nós d e uma r e d e , e s t a b i l i d a d e e _ou

_-

t r o s , usando f o r m u l a ç ã o m a t e m á t i c a c o n h e c i d a d a programação l i n e a r . Como sabemos n a programação l i n e a r o problema c o n s i s t e em p r o c u r a r um máximo ( o u ml"nimo1 d e n t r o d e c e r t a s c o n d i ç õ e s . Desde o L e v a n t a

-

mento d e p u b l i c a ç õ e s a f i n s n a s r e v i s t a s " O p e r a t i o n s R e s e a r c h " , "Ma- nagement S c i e n c e "

,

" I n f o r m a t i o n and C o n t r o l "

,

p a s s a n d o p o r t r a b a l h 0 s d e c o l e g a s , n a forma d e a l g o r í t m o s d e f l u x o máximo, c i r c u l a ç ã o d e f l u x o s , d e s í n t e s e e e x p a n s ã o a c u s t o mínimo em r e d e s c a p a c i t a d a s

,

a t e a l e i t u r a dos c l á s s i c o s L . R . Ford e D.R. F u l k e r s o n , T.C. Hu

,

e t c . , que

t ê m

l i v r o s c o n h e c i d o s n a á r e a . O modo d e d e s e n v o l v e r um problema n e s s e s es t u d o s c i t a d o s

é

o s e g u i n t e : equacionamento d a s f u n ç õ e s m a t e m á t i c a s

e r e s t r i ç õ e s , v e r i f i c a ç ã o d e que o problema se s i t u a d e n t r o d e um problema p a d r ã o j á r e s o l v i d o p e l a s formas t r a d i c i o n a i s d e programa

-

ç ã o l i n e a r , f a l a n d o d e o u t r o j e i t o , usam o s métodos S i m p l e x , Sim

-

p l e x R e v i s a d o , Simplex Revisado P r i m a l , e t c . Muitas v e z e s um p r g blema não f o i a i n d a e s t u d a d o e as formas d e r e s o l v ê - l o p o d e r ã o s e r novas. Que método s e g u i r para o b t e r r e s u l t a d o s a p l i c ~ v e i s

,

d e n t r o d e uma e x p o s i ç ã o d i d á t i c a a c e s s ~ v e l a o e n t e n d i m e n t o r á p i d o , e e f i

-

c i e n t e m e n t e u t i l i z á v e i s , d e n t r o d e um c o n t e x t o t e c n o l Ó g i c o c o n h e c i

-

do ?

Um d o s o b j e t i v o s d a t e s e

é

s e r um t r a b a l h o c i e n t í f i c o adequado a uma r e a l i d a d e s o c i a l . Que p e r m i t a r e s o l v e r problemas r e a i s e a t u a i s .

Fazendo um p a r a l e l o , p e r g u n t o como t r a b a l h a uma empresa p a r a s o l u c i o n a r problemas d e s s a n a t u r e z a . A p r á t i c a mostrou que uma d e t e r m i n a d a empresa t e m c u s t o s que e l a conhece p e l a s s u a s a t i v i d a d e s , p e h s p o s t e s que c o l o c a , p e l o número d e _{v a}

_-

l a s c a v a d a s , q u a n t i d a d e d e homens u t i l i z a d o s n e s s e t r a b a l h o , quan

-

t i d a d e d e m a t e r i a l i m p o r t a d o , c o l o c a n d o em t e r m o s m a t e m á t i c o s , f u n

-

çÕes e s p e c i f i c a s do n í v e l d a t e c n o l o g i a u s a d a . Assumir q u e o s c u s

-

t o s d e a m p l i a ç ã o d e uma r e d e s ã o f u n ç õ e s l i n e a r e s , f u n ç õ e s conve x a s ou números r e a i s depende d a aproximação m a i o r , d a p r e c i s ã o me

-

l h o r , e n f i m , dos o b j e t i v o s que queremos a l c a n ç a r .

A s d i f i c u l d a d e s no empreendimento d e uma t e

-

se d e m e s t r a d o s ã o a i n s u f i c i ê n c i a d e dados e i n f o r m a ç õ e s r e c e n t e s no campo do conhecimento que estamos p e s q u i s a n d o , i n e x i s t ê n c L a d e

c e n t r a l i z a ç ã o d a s p u b l i c a ç õ e s d e n t r o d a á r e a

especifica

d e p e s q u i - s a , grande q u a n t i d a d e de p e s q u i s a c i e n t i f i c a t e ó r i c a não v e r i f i c a - d a e não r e a l i m e n t a d a s p e l a r e s o l u ç ã o d e problemas r e a i s n a s indÜs

-

t r i a s , e s c o l a s e n a s o c i e d a d e como um t o d o .

T o r n a r d e u s o m a i s f á c i l , com e f i c i ê n c i a m a

-

i o r , e com c u s t o s m a i s b a i x o s , sem u s a r a p e n a s o s métodos t r a d i c i o

-

n a i s p a r a t o r n a r o p e r a c i o n a l um s i s t e m a d e equações c o n s t i t u e m t a m

-

bém o b j e t i v o s d a t e s e . O método p a r a r e s o l v e r o s problemas d a t e s e f o i : e s t u d o t e ó r i c o d e t e x t o s d e n t r o d a s colocaçÕes a n t e r i o r e s e t e n t a t i v a d e l e v a r o s problemas f o r m u l a d o s p a r a o b t e r r e s u l t a d o s

.

S e l e ç ã o d e a r t i g o s d e r e v i s t a s , o r d e n a ç ã o d i d á t i c a , e p r o c u r a d e encadeamento e n t r e t r a b a l h o s de p e s q u i s a já p u b l i c a d o s , conhecimen t o d e d e f i n i ç õ e s e s s e n c i a i s , t e o r e m a s m e s t r e s e p r i n ~ ; ~ i o s u n i v e r - s a l m e n t e a c e i t o s n a b i b l i o g r a f i a e x i s t e n t e no campo d e t r a b a l h o . O d i a a d i a de p e s q u i s a r e v e l o u d i f i c u l d a c k s d e m e t o d o l o g i a e s i s t e m a t i z a ç ã o p e l a g r a n d e q u a n t i d a d e e d k v e r s i f i

-

c a ç ã o d e temas i n t e r r e l a c i o n a d o s . C o n s i s t i a em d e f i n i r o problema c e n t r a l , e o u t r o s menores, s u p l e m e n t a r e s ou complementares que formassem um t o d o , que f o s s e uma pequena c o n t r i b u i ç ã o c r l t i c a p a r a a c i ê n c i a .

A c r i a ç ã o c i e n t l f i c a a l i a a i m a g i n a ç ã o e o método, p a r t i n d o d e c o n d i ç õ e s h i s t ó r i c a s d a d a s do conhecimento em um d e t e r m i n a d o n í v e l d e d e s e n v o l v i m e n t o c i e n t í f i c o d e uma nação

.

A p r e o c u p a ç ã o em a d e q u a r o problema

2

r e a l i d a d e , o b t e r r e s u l t a d o s , t i r a r conclusÕes e v e r o s f r u t o s d a s t e o r i z a ç õ e s f o i a b u s c a c o n s

-

t a n t e no c o r r e r d e s t e t r a b a l h o . Quais s ã o as metas do t r a b a l h o c i n e t f f i c o ? O que

é

um t r a b a l h o c i e n t í f i c o ? E s c l a r e c e r p r i m e i r o o que d e t e r m i v n a e a e s s ê n c i a que c a r a c t e r i z a o t r a b a l h o de n a t u r e z a c i e n t z f i c a

.

O t r a b a l h o c r i a t i v o d e v a l o r e s , d e c o n h e c i m e n t o s , d e a q u i s i ç ã o d e novos i n s t r u m e n t o s e métodos de abordagem d e um equacionamento mate

-

m á t i c o .

Desde e x p l i c a r o s c u s t o s d e a m p l i a r c a p a c i d a

-

d e s d e a r c o s , as c a p a c i d a d e s d e s s e s a r c o s , o s i g n i f i c a d o d e um f l u x o d e r e c u r s o s materiais p o r e n t r e v á r i o s p o n t o s d e uma con

-

f i g u r a ç ã o d e r e d e , ou s e j a , uma c o l o c a ç ã o o r d e n a d a ou

não

d e _{p o p} t o s i n t e r l i g a d o s p o r v á r i o s ramos ou l i n h a s . Onde e s t á a e s s ê n c i a d e d o i s p o n t o s l i g a d o s e n t r e s i a t r a v é s d e uma l i n h a . Dois p o n t o s no c a s o s ã o d u a s c i d a d e s , d o i s p o s t e s , d u a s p e s s o a s . Duas l i n h a s s ã o d u a s e s t r a d a s , d o i s f i o s t e l e f ô n i c o s , d u a s r e l a ç õ e s s o c i a i s . Sa

-

bemos que as l i n h a s s ã o i n s u f i c i e n t e s p a r a c o n d u z i r uma q u a n t i d a d e m a t e r i a l dada q u e s a i d e um p o n t o e s e d e s t i n a a o o u t r o p o n t o . A c a

-

p a c i d a d e d a l i n h a não i g u a l

ã

q u a n t i d a d e d e m a t e r i a l q u e v a i c i r - c u l a r d e um p o n t o a o o u t r o do s i s t e m a .

Onde r e s i d e a d i f i c u l d a d e ? N a r e l a ç ã o x d a c i d a d e A

=

y da c i d a d e B e x p r e s s o q u e x e s t r a d a s saem d e A e vão p a r a B. E que y e s t r a d a s saem d e B e vão p a r a A. O s v e í c u l o s c i r

-

culam d e A p a r a B. Acontece que uma e s t r a d a g e n & i c a d e A p a r a B t e m

uma c a p a c i d a d e d a d a , d e f i n i d a , d e t e r m i n a d a t e c n i c a m e n t e , que p o s s i

-

b i l i t a um f l u x o normal médio d e c a r r o s d e A p a r a B.

Aumentando a q u a n t i d a d e n u m é r i c a d e c a r r o s a

-

cima do f l u x o normal médio p o s s o r e s o l v e r o problema aumentando em c o r r e s p o n d ê n c i a a l a r g u r a d e s s a e s t r a d a . Ou c o n s t r u i n d o o u t r a e s

-

t r a d a . P a r a d e c i d i r f i x o q u a l o o b j e t i v o que me i n t e r e s s a .

A;

e s t a

-

mos no a s p e c t o q u a n t i t a t i v o do problema. A s o l u ç ã o s e r á a que p r g p o r c i o n a r c u s t o s menores. A s s i m também as mentes s e a l a r g a m n a s d i f e - r e n t e s a t i v i d a d e s d e t r a b a l h o humano. Desejamos p a s s a r t r a n q u i l o s o s c a r r o s p e l a s d i f e r e n t e s v i a s d e comunicação. Vamos a l a r g a r as e s t r a d a s d e uma q u a n t i d a d e a p e n a s que b a s t e p a r a t o r n a r o t r â n s i t o normal. U m a s o l u ç ã o p o s s I v e l p a r a o problema. Tomamos as d i f e r e n ç a s e x i s t e n t e s e n t r e c a p a

-

c i d a d e d e f l u x o d e c a d a v i a e o f l u x o d e c a r r o s que v a i p a s s a r em c a d a v i a . Podemos t o m a r e s s a d i f e r e n ç a l i n h a p o r l i n h a , e s t r a d a p o r e s t r a d a . E n t ã o vamos a l a r g a r c a d a e s t r a d a p e l a d i f e r e n ç a encon

-

t r a d a . O a l a r g a m e n t o d e e s t r a d a p o r e s t r a d a d a r á uma s o l u ç ã o p a r a t o d a s as h o r a s do d i a e p a r a q u a l q u e r c o n d i ç ã o d e t r â n s i t o . porém e s s a s o l u ç ã o

é

a que c u s t a m a i s c a r o . Porque e s t a m o s tomando a

má-

xima d i f e r e n ç a e m c a d a e s t r a d a . O b s e r v a r que p a r a c a d a h o r a d o t r â n

-

s i t o t e r e m o s d i f e r e n t e s t r á f e g o s , p o r t a n t o d i f e r e n t e s l a r g u r a s d e e s t r a d a s p o d e r i a m r e s o l v e r o problema. Não q u e s t i o n a m o s , e a h i

-

p ó t e s e não f o i a s s u m i d a d e c a r r o s s e d e s v i a r e m de s e u s t r a j e t o s

,

p o r q u e uma d e t e r m i n a d a v i a e s t a v a s a t u r a d a , i s t o

é,

t r a f e g a n d o no

s e u l i m i t e máximo d e c a p a c i d a d e .

A s o l u ç ã o de a l a r g a m e n t o mãximo s a t i s f a z a t o d a s as o u t r a s c o n d i ç õ e s d e t r á f e g o . porém podemos t e r um c o n j u n t o

L d e s o l u ç õ e s h o r á r i a s . P a r a c a d a h o r a do d i a um d e t e r m i n a d o f l u x o e c o n h e c i d o . Teremos uma s o l u ç ã o bem d e t e r m i n a d a . E as s o l u ç õ e s vão d e f i n i r d e h o r a p a r a h o r a . ~ n t ã o temos a s s o l u ç õ e s : 1. A l a r g a r t o d a s a s v i a s de t r á f e g o n a d i f e - r e n ç a máxima, o b t e n d o as c a p a c i d a d e s máximas de v a z ã o do t r á f e g o . 2 . T e r s o l u ç õ e s h o r á r i a s d i f e r e n t e s , i s t o

é,

a l a r g a n d o n a s q u a n t i d a d e s máximas de c a d a p e r í o d o h o r á r i o . 3 . P e s q u i s a r , d e n t r o d e o u t r a c o l o c a ç ã o a1

-

t e r n a t i v a p a r a o p r o b l e m a , as e s t r a d a s que a p r e s e n t a m menor c u s t o de a l a r g a m e n t o . A p a r t i r da; d e s c u b r o o caminho d e menor c u s t o d e a l a r g a m e n t o t o t a l e n t r e d u a s c i d a d e s d e f i n i d a s . E s s e caminho, que

é

uma s u c e s s ã o d e e s t r a d a s s e r á a l a r g a d o de modo a t e r c a p a c i d a d e que p e r m i t a o f l u x o normal d e t o d o o t r á f e g o e x c e d e n t e .

Como exemplo e x p l i c a t i v o vou t o m a r um s i s t e - m a d e d o i s p o n t o s l i g a d o s p o r uma l i n h a , ou d u a s c i d a d e s A e B li- g a d a s p o r uma e s t r a d a .

A

cidade

A

se liga a cidade B através de uma

estrada.

A cidade A

é

diferente da cidade B. São Pau

-

10 e Rio de Janeiro são dois nomes de realidades diversas. Em con

-

teÜdo e forma. Estando

em

_{são Paulo posso ir ao Rio de Janeiro pg}

la via Dutra. ~ a m b é m a Belém

-

~rasllia

é

uma estrada acessível,p~ rém o trajeto

é

mais longo. Saindo de são Paulo passo por v&ios lu

-

gares e atinjo a antiga e ensolarada Rio.

Sejam uma cidade A, outra B, outra C. Posso

ir de

A

para B, diretamente. Posso também ir de A para B passando

por C. As circunstâncias de ir de A para

B

diretamente ou passando

por um ponto intermediário C não interessam no momento. Fazendo o

caminho direto com tráfego normal médio da estrada e condições téc

-

nicas conhecidas e equivalentes dos dois caminhos possíveis, mais rapidamente irei pelo caminho direto. ~ n t ã o para dois caminhos

-

_i dênticos geograficamente, com condição de trânsito normal médio e

para um mesmo vekulo, gastarei menos tempo fazendo o caminho d e m -

-

nor distância quilométrica.

Estamos sempre vendo um carro circular en

-

tre duas cidades, três cidades ou mais cidades em condições norma-

is dadas e

já

determinadas em média.

A

situação complexa e completa do problema

A

e: vãrias cidades interligadas e vários carros circulando pelas es

-

tradas de ligação. Os dados indicam a quantidade de carros que

d i a . A s e s t r a d a s foram c o n s t r u í d a s p o r t r a b a l h a d o r e s e s ã o d e uma l a r g u r a c o n h e c i d a o que f o i o d i s p ê n d i o d e uma q u a n t i a d e h o r a s d e t r a b a l h o que r e p r e s e n t a m um v a l o r s o c i a l , a s s o c i a d a s d e alguma m a

-

n e i r a dando o s c u s t o s d a c o n s t r u ç ã o . A l a P g a r as e s t r a d a s s i g n i f i c a d e d i c a r m a i s h o r a s d e t r a b a l h o e empregar máquinas adequadas p a r a e s s e p r o c e s s o t é c n i c o .

O p o n t o A pode g e r a r f l u x o s , 1 Z q u i d o s , ou c o r r e n t e s . Pode s e r também um p o n t o e s t é r i l , do p o n t o d e v i s t a que não g e r a n a d a , m a s a p e n a s p e r m i t e a passagem de e l e m e n t o s m a t e r i a i s p e l a s u a e s t r u t u r a .

f

e n t ã o um p o n t o i n t e r m e d i á r i o .

~á

p o n t o s _que não dão passagem, m a s s Õ absorvem, sugam e recebem. L a n ç a r , d e um p o n t o i n i c i a l , uma q u a n t i d a d e m a t e r i a l p a s s a n d o p o r um ou v á r i o s p o n t o s i n t e r m e d i á r i o s ,

a t é

a t i n g i r um p o n t o f i n a l , c o n s t i t u i umpro

_-

c e s s o que s e vê em v á r i o s fenômenos f i s i c o s . C o m o o

inicio

e o f i m

2s

v e z e s c o i n c i d e m , e não e x i s t e o meio. poderiamos f i c a r jogando

as p a l a v r a s i n i c i o , f i m e meio, f a z e n d o combinações d i f e r e n t e s d e l a s . porém a c i ê n c i a não

é

jogo d e p a l a v r a s . Procuramos a o r i g e m

,

o i n t e r m e d i á r i o e o d e s t i n o em uma r e d e .

Muitas v e z e s nos d e f r o n t a m o s com v á r i a s o r i

_-

g e n s , m u i t a s i n t e r m e d i ã r i a s e g r a n d e número d e d e s t i n o s . ~ a m b é m a s o r i g e n s e o s d e s t i n o s podem s e r o s mesmos. Qual a i m p o r t â n c i a e m d e t e t a r a o r i g e m e o d e s t i n o , quando pesquisamos c u s t o s d e um s i s - tema d e p o n t o s i n t e r l i g a d o s e n t r e s i ? Muitas v e z e s g r a n d e o nÚ- mero dos p o n t o s de i n f c i o , dos i n t e r m e d i á r i o s e dos f i n a i s . O nÚme

_-

r o d e ramos que l i g a m o s v á r i o s p o n t o s também

é

g r a n d e . Um p r o b l e -

m a g i g a n t e l e v a tempo p a r a r e s o l v e r , também p e l o emaranhado e e n t r e

-

laçamento e m g r a n d e q u a n t i d a d e de s u a s l i g a ç õ e s i n t e r n a s . S i m p l i f i - c á - l o c o n s t i t u i t a r e f a e s s e n c i a l . Por que não r e d u z i - l o a d o i s pon t o s l i g a d o s e n t r e s i ? P e r d e r p a r t i c u l a r i d a d e s e d e t a l h e s i n t e r n o s na e s t r u t u r a c o n s t i t u i um l i m i t e p a r a a s i m p l i f i c a ç ã o .

P r o c u r a r s i m p l i c i d a d e s e m p e r d e r p a r t i c u l a - r i d a d e s e c a r a c t e r h t i c a s f u n d a m e n t a i s , também sem a l t e r a r a n a t m e

-

z a e s s e n c i a l do problema.

través

d e um s i s t e m a de d o i s p o n t o s e uma l i n h a que o s i n t e r l i g a o que poderemos s a b e r ? Ora, o que e s s e s i s t e m a pode nos r e v e l a r . Quantidade de f l u x o material que s a i d e um p o n t o e chega no o u t r o . Capacidade d a l i n h a d e l i g a ç ã o . A quan

-

t i d a d e d e f l u x o que f l u i e n t r e o s d o i s p o n t o s pode ou não e s t o u r a r a c a p a c i d a d e l i m i t e d a l i g a ç ã o . P a r a tempos d i f e r e n t e s , as q u a n t i d a

-

d e s i r ã o mudando e o s a c o n t e c i m e n t o s t e r ã o n a t u r e z a v á r i a . A o _{p r P}

-

meiro p o n t o a p l i c a m o s a l e i de c o n s e r v a ç ã o d e f l u x o ( e também a o

s e g u n d o ) . Quantificamos as v á r i a s g r a n d e z a s , medimos o s f l u x o s , a v a

-

l i a m o s as a m p l i a ç õ e s d e c a p a c i d a d e , c a l c u l a m o s o s c u s t o s p a r a o s a u

-

mentos de c a p a c i d a d e . porém um s i s t e m a de d o i s p o n t o s e uma l i n h a de l i g a ç ã o não s e r á nunca a e x p r e s s ã o v e r d a d e i r a d e um s i s t e m a g r a n

-

de d e p o n t o s , quando queremos q u a n t i f i c a r g r a n d e z a s , c a l c u l a r c u s

-

t o s p a r a c a d a p o n t o do s i s t e m a g r a n d e . Assumindo uma v i s ã o macroscó

-

p i c a , e x t e r n a e s i m p l i s t a , perdemos a v i s ã o r n i c r o ~ c ~ ~ i c a , i n t e r n a e que d á as c a r a c t e r h t i c a s p e c u l i a r e s de p o n t o p o r p o n t o , l i n h a p o r Linha.

Podemos e x t r a i r do sistema d o i s p o n t o s i n

-

t e r l i g a d o s p o r uma l i n h a t o d a s as g r a n d e z a s , v a r i á v e i s , i n c ó g n i t a s ,

e n f i m , e l e m e n t o s p a r a f o r m a l i z a r as d ú v i d a s e p e n s a r no c o n j u n t o d e e q u a ç õ e s .

Mo c a p í t u l o I vão c o l o c a d o s o s a l i c e r c e s t e ó r i c o s , n a forma d e c o n c e i t o s , d e f i n i ç õ e s , t e o r e m a s i m p o r t a n t e s no d e s e n v o l v i m e n t o do c o r p o d a t e s e . E s t e c a p ~ t u l o não p r e t e n d e es

-

g o t a r o amplo embasamento matemático e x i s t e n t e no campo d a t e o r i a d e g r a f o s e r e d e s . Porque o i n s t r u m e n t a l m a t e m ~ t i c o

é

enorme . e

vem c r e s c e n d o com as v a r i a d a s a p l i c a ç õ e s d a t e o r i a d e g r a f o s .

No r e f e r e n t e

2

n o m e n c l a t u r a e s i r n b o l o g i a

é

f a t o n o t á v e l a q u a n t i d a d e d e nomes que exprimem o mesmo c o n c e i t o , e que no f u n d o

têm

o mesmo s i g n i f i c a d o . F a l t a , p o r t a n t o p a d r o n i

-

z a r nomes, ou e n t ã o homogeneizar o s c o n c e i t o s e o s s h b o l o s . En

-

t r e t a n t o , t a l a t i t u d e d e v e r á o c o r r e r sem t o l h e r a c r i a t i v i d a d e e sem b a r r a r d e s i g n a ç õ e s n o v a s , as v e z e s m a i s p r e c i s a s e s i g n i f i c a - t i v a s , d e n t r o d e c a d a r e a l i d a d e e s p e c i f i c a . P o r exemplo, a designa7

-

ç ã o " s h t e s e d e uma r e d e " não exprime um método que r e ú n e o s e l e - mentos s i m p l e s p a r a f o r m a r o composto, p o r t a n t o

é

um nome i n a d e

-

quado

.

No ~ a ~ ~ t u l o 1 1 1 e x p l i c a m o s o que

é

a s h t e

-

se e d e l i n e a m o s o s p a s s o s p a r a a s o l u ç ã o d e um problema d e s h t e

-

s e d e uma r e d e d e comunicaçÕes.

O problema

é

á r i d o . Exige um pensamenzo l ó g i c o m a t e m á t i c o , p e l o s encadeamentos d e T e o r i a dos Conjuntos

,

com Espaços V e t o r i a i s d e m u i t a s d i m e n s õ e s , e com Á l g e b r a L i n e a r

,

a p l i c a d o s a um problema g r a n d e . O tamanho do problema medimos p e l o L número d e i n c ó g n i t a s que desejamos s a b e r q u a n t o valem e p e l o nume r o d e dados que s ã o f o r n e c i d o s . v i s ã o e imaginação e s p a c i a i s , con c r e t i z a d o s em d e s e n h o s , t o r n a m menos n e b u l o s o o e n t e n d i m e n t o .

O problema d e s h t e s e

é:

" E n c o n t r a r as ca

-

p a c i d a d e s d e uma r e d e que vamos c o n s t r u i r , d e t a l m a n e i r a que _{f i}

-

quem s a t i s f e i t o s o s r e q u i s i t o s d e f l u x o d a d o s , com um c u s t o t o t a l d e c o n s t r u ç ã o m h i m o "

.

E n t ã o , conhecemos o s r e q u i s i t o s d e f l u x o de p o n t o p a r a p o n t o , em v á r i o s p e r f o d o s d e tempo, e desejamos as c a p a c i d a d e s dos a r c o s d a r e d e que s a t i s f a ç a m a o s r e q u i s i t o s , com c u s

_-

t o t o t a l mínimo p a r a c o n s t r u i r e s s a s c a p a c i d a d e s .

No c a p í t u l o

I1

vem o problema d e a m p l i a ç ã o de c a p a c i d a d e d e uma r e d e .

O problema de a m p l i a ç ã o

é:

"Dada uma r e d e c a p a c i t a d a , onde não e s t ã o sendo a t e n d i d o s o s r e q u i s i t o s d e f l u x o s . E n c o n t r a r as c a p a c i d a d e s f i n a i s dos a r c o s d a r e d e , d e t a l m a n e i r a que f i q u e m s a t i s f e i t o s o s r e q u i s i t o s d e f l u x o . Pede-se também que o c u s t o t o t a l d e a m p l i a ç ã o de c a p a c i d a d e s s e j a m h i m o . "

E n t ã o , conhecemos a s c a p a c i d a d e s de c a d a a r c o d e uma r e d e dada. Conhecemos o s r e q u i s i t o s de f l u x o d e p o n t o L p a r a p o n t o , e em v á r i o s p e r í o d o s de tempo. Um f a t o c o n s t a t a d o e que o s r e q u i s i t o s d e f l u x o não e s t ã o s e n d o a t e n d i d o s . Queremos sa

-

b e r de q u a n t o vamos aumentar a c a p a c i d a d e d e c a d a a r c o , p a r a que a r e d e ampliada s a t i s f a ç a a o s r e q u i s i t o s de f l u x o , com c u s t o t o t a l d e a m p l i a ç ã o de c a p a c i d a d e s mínimo.

Quando dizemos que o s r e q u i s i t o s de f l u x o não e s t ã o sendo a t e n d i d o s , s i g n i f i c a que e s p e c i f i c a m o s p a s s a r en t r e d o i s nós d e t e r m i n a d o s c e r t a q u a n t i d a d e de f l u x o , m a s a c a p a c i - d a d e do a r c o , que l i g a o s d o i s p o n t o s não e s t á p e r m i t i n d o a p a s s a - gem d e s s e f l u x o .

~ n t ã o aumentaremos a c a p a c i d a d e d e s s e a r c o p a r a que e l e dê passagem a o f l u x o r e q u e r i d o . Observar que pode

-

_o c o r r e r o problema o p o s t o . Um determinado a r c o p e r m i t e uma vazão de f l u x o s u p e r i o r a o r e q u i s i t o de f l u x o c o r r e s p o n d e n t e . ~ e r í a m o s en

-

t ã o de d i m i n u i r a c a p a c i d a d e d e s s e a r c o e f a z e r p a s s a r o f l u x o es

-

t r i t a m e n t e i g u a l a o r e q u i s i t o e s p e c i f i c a d o .

J; o 8 " s e n t i d o d a p a l a v r a a m p l i a ç ã o , a q u i empregada, c o r r e s p o n d e a o s e u s i g n i f i c a d o o r t o g r á f i c o u s u a l . É ma- n e j a d a no s e n t i d o de que vamos aumentar as c a p a c i d a d e s d a r e d e , va

-

mos i n c r e m e n t a r algum e l e m e n t o e s t r u t u r a l c a r a c t e r i s t i c o do s i s t e

-

m a d e p o n t o s e l i n h a s em e s t u d o . O s i g n i f i c a d o d a e x p r e s s ã o "os r e q u i s i t o s de f l u x o e s t ã o sendo a t e n d i d o s "

é

que p a r a t o d o a r c o a c a p a c i d a d e de f l u x o

é

i g u a l ou s u p e r i o r ao r e q u i s i t o de f l u x o e s p e c i f i c a d o p a

-

r a a q u e l e a r c o . P o r e x c l u s ã o , um r e q u i s i t o de f l u x o não e s t á sendo a t e n d i d o em um d e t e r m i n a d o a r c o , quando a c a p a c i d a d e d e f l u x o d e s

-

t e a r c o f o r i n f e r i o r a o r e q u i s i t o de f l u x o e s p e c i f i c a d o p a r a e s t e a r c o .

Por exemplo, um r e q u i s i t o de f l u x o em um determinado a r c o

é

um número i n t e i r o p o s i t i v o . A cada a r c o d a r e d e associamos um r e q u i s i t o d e f l u x o , e m um c e r t o perzodo d e tempo

.

E l e p o d e r á s e r z e r o , como poderá também s e r um numero pequeno, ou um nÜmero comumente u s a d o , e

a t é

um número extremamente g r a n d e , m s não s e r á nunca n e g a t i v o . Dados o s r e q u i s i t o s de f l u x o , a s s o c i a d o s a c a d a a r c o , a r e d e

e s t á

amarrada, d e f i n i d a , c a r a c t e r i z a d a . S e j a A o c o n j u n t o dos r e q u i s i t o s d e f l u x o . Podemos c a r a c t e r i z á - l o s também m J t r i c i a l

-

mente. S e j a P a m a t r i z de r e q u i s i t o s de f l u x o .

P

é

uma matriz quadrada, simétrica, e

-

-

-

PIL

-

P22

-

" "

-

Pnn = O. Estamos supondo que não circula flu

-

xo de um nó para ele mesmo.

Uma representação desenhada de dez requi

-

sitos de fluxo

p12

,

p13, p14, * .

..

,

p4 5 vemos na figura 0.1..

No problema de shtese desejamos encon

-

trar as capacidades da rede a construir.

Seja

V

o conjunto de capacidades da rede.

'454)

Figura 0.2

Q

e

uma matriz quadrada, simétrica, onde

Um

esquema usual para dez capacidades de

uma rede q12

,

qi3 > q14,

.

.

.

_,

_{q Q 5}

é

a figura 0.2..

O aspecto financeiro da questão surge com

a grandeza custos para construção de capacidades unitãrias da re

_-

de, tratando-se do problema de shtese.

Supomos conhecido o custo para construir um arco de capacidade unitária na rede.

Colocando os no chão e a cabeça no lu-

gar, e olhando ao longe vejamos, sem abstrações ou mistificações

.

Na realidade, num problema concreto de construção de uma rede _en

-

tregam-nos a demanda de mercado para o fluxo entre dois pontos. Es

-

sa demanda de fluxo

é

também conhecida, no decorrer de um dia so

-

lar, isto

é,

_{sabemos seu máximo, mhimo, outros picos e vales. Po}

_-

demos discretizar essa demanda e aproximá-la, em vários periodosde

tempo, de números inteiros. Uma estimativa do crescimento da deman

-

da de fluxo pode ser feita ao longo dos anos. Os requisitos de fPu

-

xos então conhecemos, teórica e praticamente. A menos de situações de crise, onde entram fatores e acontecimentos imprevis~veis, as vezes revolucionários.

As capacidades dos arcos são medidas por

instrumentos mecânicos ou elétricos, ou outros, nos problemas pura

-

mente técnicos. As capacidades de grupos sociais envolvem variáveis

não facilmente quantificáveis, de natureza humana, emocional, fu

-

gindo muitas vezes da racionalidade matemática.

Diremos que os custos de construção de ca

-

pacidades unitárias são conhecidos quantitativamente, e eles tradu

-

zem fatores sociais, pol$ticos e econômicos. Apenas estaremos in

teressados em cálculos, que máquinas de somar, ou computadores rea

-

lizam.

A

matriz de custos

é:

é

a figura 0.3..

A

matriz S

é

quadrada e simétrica

A

representação diagramática para cinco nÔs

Conhecemos a i n d a a d e f i n i ç ã o d e f l u x o numa r e d e . No problema de s h t e s e vamos manobrar com e s t a s v a r i á v e i s :

r e q u i s i t o s d e f l u x o , c a p a c i d a d e d e a r c o , c u s t o de c o n s t r u ç ã o d e ca

-

p a c i d a d e u n i t & i a d e r e d e , e f l u x o em r e d e .

A e x i s t ê n c i a e u n i c i d a d e d e s o l u ç ã o do p r o

-

blema d e s í n t e s e o u t r o p o n t o p a r a p e s q u i s a . C o n s t r u i r uma r e d e c u j a s c a p a c i d a d e s atendam a o s r e q u i s i t o s d e f l u x o , e t e n h a c u s t o d e c o n s t r u ç ã o mínimo um problema que t e m s o l u ç ã o ? Ainda m a i s

,

a s o l u ç ã o

é

Ünica ? O q u e s t i o n a m e n t o s e a p l i c a também a o problema de a m p l i a ç ã o .

Um c o m e n t á r i o d e a l g u n s a r t i g o s v a i anexo

à

B i b l i o g r a f i a . O o b j e t i v o f o i a p a n h a r c o n t r i b u i ç õ e s p a r a a r e s o l u

-

ç ã o dos d o i s problemas a b o r d a d o s . I n f e l i z m e n t e , d e n t r o d e s s a f i n a

-

l i d a d e não t i v e r a m u s o algum. Apenas foram r i q u e z a t e ó r i c a i n c o r p o

-

r a d a e s o l i d i f i c a r a m a l g u n s c o n c e i t o s . D ~ O uma t r i s t e i d é i a do qua

-

d r o a t u a l e m que se e n c o n t r a a p e s q u i s a c i e n t í f i c a no p a í s .

Um e s t u d o que p e r m i t a a p r o f u n d a r m a i s a s r e

_-

laçÕes e n t r e a programação L i n e a r e o Fluxo em Redes i m p o r t a n t e . F o i d e s e n v o l v i d o como ~ p ê n d i c e um q u a d r o i n t r o d u t õ r i o do a s s u n t o

.

O o b j e t i v o f o i t e n t a r d a r b a s e s t e ó r i c a s p a r a a a n á l i s e dos p r o b l e

-

m a s .

Quais s ã o as d i f e r e n ç a s e n t r e o s problemas d e s í n t e s e e a m p l i a ç ã o ? E l e s s ã o b a s t a n t e s e m e l h a n t e s e n t r e s i .

No problema d e s h t e s e podemos c o n s t r u i r uma r e d e Ó t i m a , e x a t a . O c o n c e i t o d e o t i m i z a ç ã o a q u i s i g n i f i c a n d o que a p a r t i r d e r e q u i s i

-

t o s d e f l u x o e s t a b e l e c i d o s , vamos c o n s t r u i r uma r e d e n o v a , onde a c a p a c i d a d e d e q u a l q u e r a r c o um r e s u l t a d o Õtimo r e l a t i v a m e n t e ao r e q u i s i t o d e f l u x o que l h e c o r r e s p o n d e . Teremos r e s o l v i d o um p r g blema d e o t i m i z a ç ã o do p r o d u t o dos c u s t o s p e l a s c a p a c i d a d e s procu- r a d a s , com a Única r e s t r i ç ã o d e que o f l u x o em c a d a a r c o a t e n d a ao r e q u i s i t o d e f l u x o c o r r e s p o n d e n t e . A s c a p a c i d a d e s s ã o v a r i á v e i s não n e g a t i v a s . O Ótimo o b t i d o no p r o d u t o dos c u s t o s p e l a s c a p a c i d a d e s

L p r o c u r a d a s s e r á um Ótimo g l o b a l ou l o c a l ? Vai d e p e n d e r d e como e L a f u n ç ã o p r o d u t o d o s c u s t o s p e l a s c a p a c i d a d e s . Se e s t a f u n ç ã o e convexa o problema tem s o l u ç ã o r e l a t i v a m e n t e f á c i l . porém, s e a f u n ç ã o não f o r convexa o problema não

é

f á c i l d e r e s o l v e r .

No problema d e a m p l i a ç ã o e s t a r e m o s p r o c u

-

r a n d o o Õtimo p a r a uma r e d e

já

e x i s t e n t e . Algum a r c o pode e s t a r com o c o r r e p o n d e n t e r e q u i s i t o d e f l u x o a t e n d i d o . Mais do que i s s o , pode e s t a r t r a b a l h a n d o de modo não e f i c i e n t e , do p o n t o de v i s t a d e o t i - mização d o s g r a f o s t o t a i s d a r e d e . Estamos d i z e n d o que um d e t e r m i n a

_-

do a r c o tem uma c a p a c i d a d e a l t a m e n t e g r a n d e , que p e r m i t e uma vazão d e f l u x o b a s t a n t e s u p e r i o r a o r e q u i s i t o d e f l u x o que l h e c o r r e s p o n

_-

d e . Como o problema

é

d e a m p l i a ç ã o , p o r o u t r a p a l a v r a , de expansão de c a p a c i d a d e s

,

não vamos d i m i n u i r a c a p a c i d a d e d e s s e a r c o . Um canode d e z m e t r o s d e d i â m e t r o i n t e r n o , p o r onde c i r c u l e um t ê n u e f i o z i n h o d ' á g u a ,

é

do p o n t o d e v i s t a d e o t i m i z a ç ã o d e c u s t o s um s i s t e m a i n e f i c i e n t e . A s s i m , a o d e p a r a r com um c a s o r e a l , uma r e d e

já

c o n s t r u z

-

da, talvez tenhamos que resolver um problema de ampliasão, ou de sFntese, ou algum outro de nome desconhecido, ainda não batizados teoricamente.

C A P f T U L O I

- - -

CONCEITOS Uma r e d e

é

um c o n j u n t o d e nós e um conjun- t o d e a r c o s l i g a n d o e s s e s nós. O s nós também s ã o chamados v é r t i c e s , ou p o n t o s e o s a r c o s , a r e s t a s , l i n h a s , ramos ou l i g a ç õ e s . Se um a r c o tem um s e n t i d o e n t ã o

é

chamado de um a r c o o r i e n t a d o . Em c a s o c o n t r á r i o s e r á um a r c o nao o r i e n t a d o . Uma r e d e

é

convexa s e p a r a c a d a p a r t i ç ã o d e nós d a r e d e nos s u b c o n j u n t o s X e

X

,

há um a r c o Aij ou A j i com

Wi i n d i c a o nó i Aij i n d i c a o a r c o o r i e n t a d o l i g a n d o Ni a N j Se o a r c o e n t r e Ni e N não o r i e n t a d o , e n t ã o podemos u s a r A ou j i j Vamos a s s u m i r que e n t r e d o i s nós q u a i s q u e r de uma r e d e h á no máximo d o i s a r c o s o r i e n t a d o s , um a r c o A i j e _ou

_-

t r o a r c o A j i . N a m a i o r p a r t e dos c a s o s um a r c o não o r i e n t a d o pode-

c o s que l i g a m um nÔ a e l e

F i g u r a 1.1

Rede com a r e o s o r i e n t a d o s

A s e q u ê n c i a M1, A l e , M 2

,

A 2 4 , Nq

é

uma c a d e i a d e N1 p a r a N 4 , n a f i

-

g u r a I. 1.. A s e q u ê n c i a N 2 , A2

,

N3

,

A a i , N 2

é

um c i c l o . U m a c a d e i a

é

chamada s i m p l e s s e não contém c i c l o s . Muitas v e z e s dizemos a p e

-

n a s c a d e i a e e s t a m o s f a l a n d o d e c a d e i a s i m p l e s . Um caminho

é

uma s e q u ê n c i a d e n6s e a r c o s , m a s o s a r c o s podem s e r o r i e n t a d o s em q u a l q u e r s e n t i d o , ou podem s e r a r c o s não o r i e n t a d o s . N a f i g u r a 2 . 1 .

é

um caminho. mesma c o i s a .

Estamos chamando r e d e e g r a f o como s e n d o a

p o s i t i v o y i j que

é

a c a p a c i d a d e do a r c o .

Um c o n j u n t o d e nfmeros i n t e i r o s não n e g a t i vos x _{i j}

é

um f l u x o em uma r e d e s e s a t i s f a z e m as s e g u i n t e s condições:

v (se j

=

4

v

&

um número não n e g a t i v o , chamado o v a l o r do f l u

-

XO

.

A c o l o c a ç ã o b ) i n d i c a que o f l u x o em um a r

-

co

é

sempre l i m i t a d o p e l a c a p a c i d a d e y i j do a r c o . A c o l o c a ç ã o a ) e x p r e s s a a l e i m a i s g e r a l da c o n s e r v a ç ã o d e f l u x o em c a d a nó, e x c e ç ã o - . f e i t a p a r a o n ó o r i g e m ( nó 1) e o n ó d e s t i n o (nó 4 ) . Vamos f a z e r uma a n o l o g i a d a d e f i n i ç ã o d e f l u x o com um c a s o r e a l d e f l u x o d e p a p e i s d a produção em uma peque

_-

n a f á b r i c a . Um esquema s i m p l i f i c a d o d a f á b r i c a a f i g u r a 1.2..

/i

Almoxarifado

Custos

F i g u r a I. 2

PCP

-

s e ç ã o d e p l a n e j a m e n t o e c o n t r o l e d a produção. Almoxarifado

-

s e t o r onde e s t ã o e s t o c a d a s as metêri

_-

as p r i m a s , a c e s s õ r i o s , ( p a r a f u s o s

,

p o r c a s , a r r u e l a s , e t c . ) , materiais de manutenção d e máquinas e m a t e r i a i s de u s o g e r a l n a f á b r i c a . ~ a b r i c a ç ã o

-

s e t o r d e c o n f e c ç ã o d e g a b a r i t o s p a r a p e ç a s , d e f a b r i c a ç ã o d e p e ç a s a u x i l i a - r e s e d e o u t r o s t r a b a l h o s , p o r exemplo, d e p i n t u r a , s e r r a l h e r i a , f o r j a r i a , pren

_-

sagem, p e r f u r a ç ã o , e t c .

Montagem

-

s e ç ã o d e l i n h a s d e montagem d e pe- ç a s . L o c a l onde as v á r i a s p a r t e s componentes d e uma p e ç a s ã o a c o p l a

-

d a s , dando as p e ç a s mais complexas p r o n t a s .

C u s t o s

-

s e t o r d e c o n t a b i l i d a d e d e c u s t o s . C$.

-

cubo dos c u s t o s d e uma p e ç a p r o n t a

,

d e a c o r d o com a q u a n t i d a d e d e matê

-

r i a prima e a c e s s Õ r i o s g a s t o s , e dos m a t e r i a i s d e manutenção de máquinas, e n e r g i a e l é t r i c a , h o r a s d e t r a b a l h o humano d i r e t o e i n d i r e t o , e d e s g a s t e d o s i n s t r u m e n t o s d e t r a b a l h o , e t c . O esquema e s t á c o l o c a d o d e modo a d a r um e n

-

t e n d i m e n t o m a i s f á c i l do problema. É e v i d e n t e que h á o u t r o s s e t o

-

r e s que não e s t ã o a p a r e c e n d o no d e s e n h o . Do PCP saem as O . R . , o r d e n s d e r e q u i s i ç ã o d e m a t e r i a i s que vão p a r a o Almoxarifado. ~ a z saem acompanhadas dos materiais p e d i d o s e vão p a r a a s e ç ã o d e montagem. Acompanhando o p r o d u t o , d e l e s e d e s l i g a m n a e t a p a f i n a l d e montagem e vão p a r a a s e ç ã o d e c u s t o s , não d e modo f a n t a s m a m a s p e l a mão d e algum _{h o}

_-

mem ou s i s t e m a montado p a r a e s t a t a r e f a , p a r a d e t e r m i n a ç ã o do p- ç o d e p r o d u ç ã o , p o r exemplo.

t i d a s no P l a n e j a m e n t o e C o n t r o l e d a Produção e vão p a r a a Montagem. O f a t o v a i o c o r r e n d o no tempo. P o r t a n t o , podem o c o r r e r g a r g a l o s n a produção. A s O . M . , acompanham as p e ç a s e d e p o i s vão p a r a o s Custos. A s O . F.

,

o r d e n s d e f a b r i c a ç ã o , e m i t i d a s no PCP, chegam F a b r i c a

-

ç ã o e da; saem com o s m a t e r i a i s t r a b a l h a d o s , d i r i g i n d o - s e

2

Monta- gem. P o r exemplo, um g a b a r i t o d e a ç o l i g a e s p e c i a l p a r a s u p o r t e d e p e ç a s d e asa d e a v i ã o , e s t á acompanhado - d e uma O.F. e o g a b a r i t o

não s a i r á d a o f i c i n a , m a s s e r v i r a p a r a a c o n f e c ç ã o d e v á r i a s p e ç a s . P o r f i m , a O.F., v a i p a r a o s C u s t o s .

Considerando que a O . R . , a O.F.,, e a O . M . , s ã o

t r ê s

p a p é i s d i f e r e n t e s e n t r e s i , no s e u s i g n i f i c a d o e n a t u r e z a d e o p e r a ç ã o ou e x p l i c i t a ç ã o d e m a t e r i a i s , vamos t e r

t r ê s

f l u x o s d i

-

f e r e n t e s em q u a l i d a d e e q u a n t i d a d e , o c o r r e n d o s i m u l t a n e a m e n t e no tempo.

F i g u r a I . 3

Diagrama do caminho d a s O.R.

Almoxarifado

2

PCP Montagem + C u s t o s

F i g u r a 1 . 4 .

Rede de nós e a r c o s d a s O.R.

D e modo i g u a l podemos d e s e n h a r diagramas p a

-

r a as O.M. e O.F.

A f i g u r a 1 . 2 . que

é

o esquema de c i r c u l a ç ã o d a s v á r i a s o r d e n s de produção d e n t r o d a f á b r i c a pode s e r m a i s com

-

p l e x a . Por exemplo, a f i g u r a 1 . 5 . :

Uma p e ç a

é

t o t a l m e n t e c o n f e c c i o n a d a n a F a b r i

-

c a ç ã o e não n e c e s s i t a d a Montagem. N e c e s s i t a d e m a t e r i a i s do Almoxa

-

r i f a d o . O nGmero d e s e t o r e s ( d e p a r t a m e n t o s ) d e uma f á b r i c a quasesem

-

p r e

é

um número g r a n d e . A s l i g a ç õ e s , b u r o c r á t i c a s ou t é c n i c a s , e n

-

t r e o s v á r i o s s e t o r e s d a produção tambêm s e r ã o em g r a n d e número. Po

-

demos a i n d a desmembrar c a d a s e t o r n a s s u a s v á r i a s a t i v i d a d e s , e o tamanho dos esquemas e s u a complexidade v a i aumentar. Um problemano

-

t á v e l que s u r g e

<

o s e g u i n t e : Como d i m e n s i o n a r , em t e r m o s m a t e r i a i s e humanos o s v á r i o s s e t o r e s , PCP, F a b r i c a ç ã o , A l m o x a r i f a d o , Monta

-

gem e C u s t o s , t a l que não ocorram g a r g a l o s d e produção ? Q u a n t i f i

-

c a r a p r o d u t i v i d a d e d e c a d a s e t o r , a s u a d e p e n d ê n c i a e m r e l a ç ã o a o s c e n t r o s p r o d u t o r e s e d i s t r i b u i d o r e s e x t e r n o s , as i n t e r l i g a ç õ e s e n

-

t r e o s d e p a r t a m e n t o s , s ã o p r o b l e m a s , e n t r e o u t r o s , que vão e n t ã o s u r

-

g i s .

U m a aproximação m a t e m á t i c a pode s e r u s a d a pa

-

r a o c a s o , n a forma de uma r e d e d e p o n t o s e a r c o s . ~arnbém uma forma n a c i o n a l d e d i s t r i b u i r o s s e t o r e s , pensando em t e r m o s d e d i s t â n c i a e n t r e as v á r i a s s e ç õ e s

é

uma d a s c o n s i d e r a ç õ e s a s e r l e v a d a em con

-

t a .

Associamos a c a d a s e t o r um p o n t o d a r e d e . D a

-

dos d o i s s e t o r e s que s e l i g a m e n t r e s i p o r um a r c o , a c a p a c i d a d e do a r c o

será

a menor p r o d u t i v i d a d e e n t r e as duas p r o d u t i v i d a d e s dos s e

-

t o r e s em p a u t a .

Voltando a a n a l i s a r a a n a l o g i a e n t r e a d e f i - n i ç ã o de f l u x o e o c a s o r e a l do f l u x o d e d a p r o d u ç ã o , s a b m

que nenhum p r o c e s s o r e a l s e g u e a d e f i n i ç ã o m a t e m á t i c a d e f l u x o a

-

p r e s e n t a d a . Muitas o r d e n s d e produção s ã o e x t r a v i a d a s , 2 s v e z e s o r d e n s não s ã o e x e c u t a d a s d e v i d o a mudanças n a s t é c n i c a s de produ

_-

ç ã o , ou mesmo p e ç a s d e f e i t u o s a s s ã o p r o d u z i d a s no p r o c e s s o .

P e r g u n t o :

~ t é

onde uma aproximação a t r a v é s de um problema d e ~ r o g r a m a ç ã o l i n e a r p a d r ã o uma forma a c e i t á v e l p a r a s o l u c i o n a r um problema como o e x p o s t o l i n h a s

a t r á s

? Paremos, no t e x t o , u s o d a a f i r m a ç ã o d e que um problema d e r e d e s pode s e r f o r m u l a d o como um problema l i n e a r .

I? i m p o r t a n t e c a r a c t e r i z a r a l i n e a r i d a d e ou a não l i n e a r i d a d e d a s e q u a ç õ e s que t r a d u z e m um escoamento d e f l u x o em um s i s t e m a .

P a r t i n d o d a d e f i n i ç ã o

já

v i s t a d e f l u x o , de

T.C. Hu, " I n t e g e r Programming and Network Flows", p a g s . 1 0 6 , 1 0 7 , e t c . : Um c o n j u n t o d e i n t e i r o s não n e g a t i v o s x i j

é

chamado um f l u

-

xo em uma r e d e s e s a t i s f a z e m as s e g u i n t e s r e s t r i ç õ e s :

s

-

nó origem t

-

nó d e s t i n o

v

-

número não n e g a t i v o , chamado o v a l o r do f l u x o . b i j

-

c a p a c i d a d e do a r c o ( i , j ) O s i s t e m a d e f i n i d o em (1) e ( 2 dá um con

-

j u n t o d e equações ( e i n e q u a ç õ e s ) l i n e a r e s . ~ n t ã o n a r e s o l u ç ã o de r e d e s com b a s e n e s s a d e f i n i ç ã o e s t a r e m o s t r a b a l h a n d o com f l u x o s li

_-

n e a r e s

.

Outros c a s o s podem a c o n t e c e r . Por exemplo

,

o s f l u x o s podem p e r t e n c e r a o c o n j u n t o dos numeros r e a i s . Levando em c o n t a a v a r i a ç ã o d e f l u x o s no tempo podemos t e r f l u x o s v a r i a n d o n ã o l i n e a r m e n t e no tempo. N a r e a l i d a d e s ã o o s c a s o s que acontecem.

~arnbém a l e i d e c o n s e r v a ç ã o d e f l u x o s não s e v e r i f i c a n a m a i o r i a d o s c a s o s . D i z e r que num nó g e n é r i c o duma r e d e o s f l u x o s d e m a t é r i a , d e i n f o r m a ç õ e s s e conservam

é

um f a t o a s s u m i do em b a s e s m a t e m á t i c a s , com fundamentos que visam uma aproximação nem sempre v e r d a d e i r a d o s c a s o s r e a i s . N ~ O há uma l e i g e r a l u n i v e r

-

s a l d a c o n s e r v a ç ã o de q u a n t i d a d e d a m a s r i a , nem d a c o n s e r v a ç ã o d a q u a n t i d a d e d e f l u x o s , como há um ~ r i n c f ~ i o U n i v e r s a l d e Conserva

-

ç ã o d a E n e r g i a .

U m a á r v o r e

é

um g r a f o conexo, não o r i e n t a d o , que não contém c i c l o s .

P o r t a n t o e n t r e d o i s n6s q u a i s q u e r de uma

á r

-

v o r e há uma Única c a d e i a l i g a n d o o s d o i s n ó s .

Arvore g e r a d o r a d e um g r a f o G

é

um s u b g r a f o d e G t a l que t o d o nó d e G

e s t á

n a á r v o r e .

Se G

é

um g r a f o com n n ó s , uma á r v o r e com n

_-

nós

é

uma á r v o r e g e r a d o r a

.

Vamos a s s o c i a r a c a d a a r c o d e uma r e d e um 1) numero d i j U m a á r v o r e g e r a d o r a m h i m a (máxima) d e uma r e d e

é

uma á r v o r e g e r a d o r a t a l que a soma dos d i j dos a r c o s na a r

_-

"ore

é

mínima (máxima) com r e s p e i t o a t o d a s as á r v o r e s g e r a d o r a s da r e d e .

De importância no correr do texto serão os teoremas :

1. Lema de Mimkowski-Farkas: Um sistema de desigualdades lineares

A

x

-

< d tem uma solução não negativa

x

_-

_{> O}

se e somente se a'd

-

> O para todo vetor IT tal que: IT

-

> O e IT'A

-

> 0.

2.

A

solução do sistema de equações lineares

do problema de ~rogramação Linear correspondente ao Problema de Am

-

pliação de Capacidade de uma Rede

é

um politopo convexo e ilimita-

do, com número finito de vértices.

3. No R ~ , o politopo convexo e ilimitado

_-

_a presenta duas arestas paralelas aos eixos coordenados.

C A P E T U L O I1

_ - - -

11.1. COLOCAÇÃO MATEMÃTICA

-

DO PROBLEMA

-

DE AMPLIAÇÃO DE

-

CAPACIDADE DE UMA REDE

---

Conhecemos:

1. U m a r e d e não o r i e n t a d a ( N , A, y e )

N = { L , 2 ,

...

,

n ) c o n j u n t o d e nós

A = { f ' i , j ) , i E N, j E N , i # j ) conjun- t o d e a r c o s .

ye = (Y:, Y;,

. .

.

,

y e ) _m v e t o r c u j o s com

-

p o n e n t e s s ã o as c a p a c i d a d e s e x i s t e n

-

t e s dos a r c o s .

2 . Um c o n j u n t o r _ij ( t ) de f l u x o s r e q u e r i d o s d i s t r i b u í d o s a r c o s p o r a r c o n a r e d e p a r a um p e r z o d o d e tempo t .

3 . Um v e t o r d e c u s t o s p a r a aumentar u n i d a d e d e c a p a c i d a d e p a r a c a d a a r c o . c

=

(c1, c 2 ,

. .

.

,

e m ) . Cada componente do v e t o r c o c u s t o p a r a aumentar d e uma u n i d a d e a c a p a c i d a d e do a r c o c o r r e s p o n d e n

-

t e . Desejamos :

Uma r e d e não o r i e n t a d a ( N , A , Y ) t a l que o c u s t o t o t a l d e a m p l i a r o s a r c o s s e j a m h i m o , e o s f l u x o s r e q u e r i

-

dos e m t o d o s o s p e r i o d o s d e tempo s e j a m s a t i s f e i t o s . Em t e r m o s m a t e m ~ t i c o s o problema d e amplia- ç ã o

e :

T ( e ) min C

(Y

-

ye) S u j e i t o a:

As equações se verificam para todo t = l

,

.

.

.

,T

,

o tempo t estando dividido em perzodos que vão de 1,2,

...,

etc,

...

até

T.

As variáveis ackha são:

cT

-

é

o vetor custo de ampliação de capacidade unitá

y

-

ye

-

i n c r e m e n t o d e c a p a c i d a d e , c a p a c i d a d e f i n a l a m

-

p l i a d a menos a c a p a c i d a d e i n i c i a l e x i s t e n t e . xPq _i ( t )

-

f l u x o que s a i do nó p e s e d e s t i n a a o nó q

,

j p a s s a n d o p e l o a r c o ( i , j ) no tempo t . xPq ( t )

-

f l u x o que s a i do n ó p e s e d e s t i n a a o nó q

,

j K p a s s a n d o p e l o a r c o ( j , K ) no tempo t . f p q ( t )

-

q u a n t i d a d e d e f l u x o que s a i de p e s e d e s t i n a a q no p e r í o d o t . k r ( t

-

r e q u i s i t o de f l u x o e n t r e o n ó p e o nÕ q no P9 p e r l o d o d e tempo t . O c o n j u n t o d o s v e t o r e s c a p a c i d a d e d e a r c o q u e vão a t e n d e r a o s r e q u i s i t o s d e f l u x o em t o d o s o s p e r í o d o s d e tempo forma um p o l i t o p o convexo e i l i m i t a d o . P o r t a n t o , e x i s t e um número f i n i t o d e p o n t o s e x t r e m o s d e s s e p o l i t o p o . O s a r c o s d a r e d e s ã o em ncmem d e m

.

O p g l i t o p o

é

d e f i n i d o no R ~ . P o r t a n t o , s e n d o o p o l i t o p o P: temos _que A s e q u a ç õ e s ( a ) , ( b ) , ( c ) , ( d ) e ( e ) formam um Problema d e Programação L i n e a r . O f a t o não c o n s t i t u i s u r p r e s a . %

_-

bemos que problemas d e r e d e s podem s e r formulados como problemas li

_-

n e a r e s

.

c a d a uma d a s e q u a ç õ e s ou inequaGÕes d e s s e Problema d e programação L i n e a r . Como vimos e l e

e s t á

e x p r e s s o p e l o s i s t e m a formado p o r ( a ) ,

( b ) , ( c ) , ( d l e ( e ) .

A r e d e e x p l i c i t a d a obedece a l e i de c o n s e g v a ç ã o d e f l u x o s . P o r t a n t o devemos t e r :

S i g n i f i c a n d o a c o n s e r v a ç ã o do f l u x o xi ( t 1, v a r i á v e l no tempo e tomada p a r a um nÓ g e n é r i c o j d a r e d e . Podemos também d i z e r , d e o u t r a forma que o f l u x o p r o v e n i e n t e d e nós a n t e - c e s s o r e s a j e o f l u x o d e c o r r e n t e d e nós s u c e s s o r e s a j

é

i g u a l

.

Exceção f e i t a p a r a o c a s o em que j

=

c , o nó j

é

nÕ começo ( o r i

-

gem), ou j = t , o nó j

é

o n 0 " f i n a l ( d e s t i n o ) .

O u t r a p r o p r i e d a d e

é

que o f l u x o em um d e t e r

-

minado a r c o não e x c e d e r á a c a p a c i d a d e d e s s e a r c o , s o b pena d e ''es

-

t o u r a r m o s " a r e d e e a l t e r a r m o s s u a c o n f i g u r a ç ã o e s t r u t u r a l . E n t ã o ,

P a r a a t e n d e r o s f l u x o s r e q u e r i d o s em c a d a a r

-

c o , o s f l u x o s que p a s s a r ã o p o r esse a r c o d e v e r ã o no mznimo s u p e r a r o s r e q u i s i t o s d e f l u x o d a d o s . O que exprimimos n a s e g u i n t e forma :

O b s e r v a r que s e t r a t a d e e n t e n d e r o que s i g - n i f i c a a t e n d e r o s r e q u i s i t o s d e f l u x o . Podemos t e r onde 1 '

-

c o n j u n t o dos i n t e i r o s p o s i t i v o s . Podemos a t e n d e r o s r e q u i s i t o s de f l u x o p o r e x c e s s o ou p o r f a l t a , ou a t e n d ê - l o s e s t r i t a m e n t e , no c a s o d e o f l u - xo no arco s e r i g u a l a o r e q u i s i t o no arco. Estamos assumindo que o s f l u x o s que passam no a r c o vão i g u a l a r ou s u p e r a r o s r e q u i s i t o s c o r - r e s p o n d e n t e s .

O problema

6

de ampliação. Portanto iremos

L

aumentar ou manter a capacidade de qualquer arco. Ela nunca sera diminuida. ~ n t ã o

Desejamos: min

cT

(Y

-

y e )

com as restrições (a), (b), (c) e (d).

Que relações guardam as colocaçÕes (a), (b 1,

(C) e (d) entre si ? As equações (a) se situam no campo da geração,

emissão, modo como se propagam, se transmitem ou são absorvidos os escoamentos de fluxo. Leis matemáticas e físicas regem um escoamen-

to de materia, de informações ou outras grandezas assumidas como va

-

riáveis num processo. Escoamentos lineares e conthuos, ou não _li

-

neares, exponenciais, desconthuos, etc., podem ocorrer. Mas assumi

-

da a lei de conservação de fluxos para qualquer nÕ da rede, não es

-

tamos indagando a forma de propagação, ou outras caracter~sticas im

-

portantes do processo. N ~ O _{estamos perguntando o comportamento pon}

to a ponto de uma linha de fluxo, nem estamos traçando superfícies equipotenciais para a matéria circulante nos arcos da rede.

Um nÕ genérico j da rede dirá: "chegaram cin

-

co unidades de fluxo e sairam cinco unidades de fluxo. Nenhuma uni- dade ficou retida aqui dentro".