INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
MESTRADO PROFISSIONAL EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ANDERSON ANTONIO ALVES CESÁRIO
A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO POR MEIO DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM UM CONTEXTO DO ENSINO TÉCNICO DE
NÍVEL MÉDIO
VITÓRIA 2016
ANDERSON ANTONIO ALVES CESÁRIO
A CONSTRUÇÃO DO CONCEITO DE FUNÇÃO POR MEIO DE UMA ATIVIDADE DE MODELAGEM MATEMÁTICA EM UM CONTEXTO DO ENSINO TÉCNICO DE
NÍVEL MÉDIO
Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Educação em Ciências e Matemática do Instituto Federal do Espírito Santo como requisito parcial para a obtenção do Título de Mestre em Educação em Ciências e Matemática.
Orientador: Prof. Dr. Antonio Henrique Pinto
Vitória 2016
À minha família, pelo apoio incondicional, compreensão e incentivo em todos os momentos.
AGRADECIMENTOS
A Deus, por seu amor, por suas bênçãos e pela oportunidade de concluir mais uma etapa.
À memória de meus pais, Ilson Cesário e Antonia Alves Cesário, por me ensinarem os valores que me guiam em minha jornada.
A minha esposa Sirlene, pelo carinho, compreensão e companheirismo em todos os momentos.
A meus filhos Igor e Lara, por compreenderem minha ausência e pela inspiração na busca por um amanhã melhor.
Às minhas irmãs Andréa e Amanda, pelo companheirismo e incentivo.
Ao meu orientador Antonio Henrique, pelas sábias considerações, pela paciência, pela sensibilidade e por sua maneira única de inspirar e motivar.
Aos demais membros da banca, pelas valiosas contribuições.
Aos colegas da turma 2013 do Educimat, pelos momentos especiais que vivemos juntos, em especial às amigas Lisandra e Marcela, por tornarem o percurso do mestrado ainda mais especial.
Aos demais professores do Educimat, por ampliar nossos horizontes.
Ao Alessandro, por sua gentileza e prontidão em nos ajudar em todos os momentos. Aos professores Marinaldo e Carol, por seu apoio na busca por novas metodologias de ensino e aprendizagem que aproximem o conhecimento matemático do conhecimento técnico.
Aos colegas professores e técnicos administrativos do Ifes Campus Itapina, pelo incentivo e apoio e, em especial, aos professores Evandro e Messenas, por seu valioso auxílio nos momentos mais cruciais na caminhada do mestrado.
Aos alunos da turma 1ª A, por participarem de forma brilhante nessa empreitada na busca por novos caminhos de fazer Matemática.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Autarquia criada pela Lei nº 11.892 de 29 de Dezembro de 2008
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
RESUMO
O presente estudo investigou as contribuições da utilização da Modelagem Matemática como abordagem metodológica para a construção do conceito de função, observando os pressupostos da teoria histórico-cultural de Vygotsky. A pesquisa foi realizada com alunos do primeiro ano do Ensino Médio Integrado ao Técnico em Agropecuária do Instituto Federal do Espírito Santo - campus Itapina, localizado no município de Colatina/ES. Foi adotada uma abordagem qualitativa na pesquisa e como instrumentos de análise dos dados foram utilizados o diário de campo, os trabalhos produzidos pelos alunos durante a atividade de Modelagem e uma entrevista realizada com grupo de discussão. Para o desenvolvimento da investigação utilizou-se uma atividade de modelagem, cuja problemática estava no Setor de Horticultura, buscando, dessa forma, integrar conhecimentos matemáticos e técnicos na solução do problema. A análise dos dados indicou que a Modelagem como abordagem metodológica contribui para a construção do conceito de função na medida em que permite explorar as ideias de variável, dependência e regularidade por meio da observação e análise de fenômenos do cotidiano dos alunos. Essa abordagem metodológica proporciona também mediações que auxiliam na construção do conhecimento. Como produto educacional foi elaborado um guia didático para a abordagem do conceito de função baseado em fenômenos e situações da realidade vivenciada pelo estudante.
Palavras-chave: Modelagem Matemática. Conceito de função. Ambiente de aprendizagem.
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO INSTITUTO FEDERAL DO ESPÍRITO SANTO
Autarquia criada pela Lei nº 11.892 de 29 de Dezembro de 2008
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
ABSTRACT
This study investigated the contribution of the use of mathematical modeling as a methodological approach to the construction of the concept of function, observing the assumptions of cultural-historical theory of Vygotsky. The survey was conducted with first year students of the Technical Course Integrated to Secondary School at Instituto Federal Espírito Santo - Campus Itapina, located in Colatina / ES. We adopted a qualitative approach to research and, as data analysis tools, we used field notes, the students' assignment done during the Modeling activity and an interview with a discussion group. For the development of research, we carried out a Modeling activity whose problem was located in the horticulture sector, thus seeking to integrate mathematical and technical knowledge in solving it.Data analysis indicated that the modeling as methodological approach contributes to the construction of the concept of function since it allows to explore the concept of variable, dependence and regularity through observation and analysis of the students' daily life phenomena. This methodological approach also provides mediation that helps in the construction of knowledge. As an educational outcome, we designed a didactic guide to the approach the concept of function from phenomena and situations of the reality experienced by the student.
LISTA DE FIGURAS
Figura 1 - Gráfico do resultado final da disciplina de Matemática no ano de 2013 ... 18
Figura 2 - Gráfico do resultado final da disciplina de Matemática no ano de 2014. ... 18
Figura 3 - Gráfico do resultado final da disciplina de Matemática no ano de 2015 ... 19
Figura 4 - Ciclo de modelagem segundo Almeida (2012) ... 41
Figura 5 - Foto de Estufas para hidroponia no setor de Horticultura do Ifes campus Itapina 59 Figura 6 - Espuma fenólica com mudas de alface ... 60
Figura 7 - Mudas de alface hidropônico na bancada de crescimento ... 60
Figura 8 - Mudas de alface hidropônico na bancada de produção ... 61
Figura 9 - Foto de espuma fenólica com mudas de alface ... 62
Figura 10 - Mudas de alface na bancada de crescimento ... 63
Figura 11 - Mudas de alface colocadas em bandeja para transporte para a bancada de produção ... 64
Figura 12 - Gráfico da altura da parte aérea da alface em função do tempo (construído pelos alunos do grupo 4) ... 66
Figura 13 - Esquema ilustrativo da medição do número de folhas no canteiro no solo ... 73
Figura 14 – Foto do canteiro no solo ... 74
Figura 15 - Medição do comprimento da raiz do pé de alface ... 76
Figura 16 - Esquema ilustrativo das medições da altura da parte aérea, o comprimento da raiz e o diâmetro do caule. ... 77
Figura 17 - Planilha do número de folhas dos pés de alface do campo por dia de medição. 85 Figura 18 - Planilha do número de folhas dos pés de alface do campo por dia de medição, com número médio de folhas. ... 88
Figura 19 - Planilha do número de folhas dos pés de alface hidropônicos por dia de medição ... 89
Figura 20 - Gráfico do Número médio de folhas dos pés de alface do campo em função do tempo. ... 91
Figura 21 - Gráfico da altura da parte aérea (campo e hidroponia). ... 95
Figura 22 - Gráfico do comprimento do sistema radicular (raiz) (campo e hidroponia). ... 96
Figura 23 - Gráfico do diâmetro do caule (campo e hidroponia). ... 96
Figura 24 - Exemplo de resposta aos itens “g” e “h” da Atividade I. ... 100
Figura 25 - Resposta do grupo do aluno Gean aos itens “g” e “h” da Atividade I. ... 100
Figura 26 - Resposta do grupo do aluno Luciano aos itens “g” e “h” da Atividade I Resposta do grupo do aluno. ... 101
Figura 27 - Exemplo de resposta ao item “d” da Atividade II. ... 103
Figura 28 - Exemplo de resposta ao item “d” da Atividade II. ... 104
Figura 29 - Exemplo de respostas dadas ao item “a” da Atividade III. ... 106
Figura 30 - Exemplo de resposta dada ao item “c” da Atividade III. ... 108
Figura 31 - Exemplo de resposta dada ao item “d” da Atividade III. ... 109
Figura 32 - Exemplo de resposta dada ao item “a” da Atividade IV. ... 111
LISTA DE QUADROS
Quadro 1 - Casos de modelagem na perspectiva de Barbosa (2009) ... 38
Quadro 2 - Grupos responsáveis por cada lote de mudas ... 63
Quadro 3 - Momentos vivenciados na atividade de modelagem 2 ... 69
SUMÁRIO 1 INTRODUÇÃO ... 13 1.1 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO ... 23 2 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS ... 24 2.1 TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL ... 24 2.2 MODELAGEM MATEMÁTICA ... 34
2.3 ALGUMAS CONSIDERAÇÕES SOBRE O CONCEITO DE FUNÇÃO ... 44
2.4 UM PANORAMA SOBRE PESQUISAS REALIZADAS QUE ENFOCAM A ABORDAGEM DE FUNÇÃO POR MEIO DA MODELAGEM MATEMÁTICA . 47 3 PERCURSO METODOLÓGICO DA PESQUISA ... 51
3.1 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS ... 51
3.2 O LOCAL E OS SUJEITOS DA PESQUISA ... 55
3.3 ANSEIOS DA PESQUISA ... 56
4 DESCRIÇÃO E ANÁLISE DOS DADOS ... 58
4.1 ATIVIDADE DE MODELAGEM 1: MODELANDO O CRESCIMENTO DA ALFACE HIDROPÔNICA ... 58
4.2 ATIVIDADE DE MODELAGEM 2: MODELANDO O DESENVOLVIMENTO DA ALFACE DA HIDROPONIA E DO CAMPO ... 67
4.2.1 O Convite para a Atividade de Modelagem ... 67
4.2.2 No setor de Horticultura ... 70
4.2.3 No laboratório de Informática ... 83
4.2.4 Atividades de ensino ... 97
4.3 ANÁLISE DA ENTREVISTA SEMIESTRUTURADA ... 115
4.4 PRODUTO EDUCACIONAL ... 130
5 CONSIDERAÇÕES FINAIS ... 131
REFERÊNCIAS ...136
APÊNDICE A - Formulário de coleta de dados da alface cultivada no solo e na hidroponia ...141
1 INTRODUÇÃO
Começo esse texto expondo as inquietações e angústias que me motivaram a buscar o Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática, ofertado pelo Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes). Atuando como professor de Matemática há quase 20 anos, não poucas vezes ouvi de meus alunos a seguinte pergunta: “Onde vou usar esse conteúdo na minha vida?” Por vezes alguns estudantes até mesmo citavam a profissão que pretendiam seguir e que, na perspectiva deles, provavelmente não precisariam da Matemática. Embora me esforçasse para responder satisfatoriamente a essas questões, algumas vezes ficava com a sensação de que não convencia. Mesmo sabendo que o valor da Matemática não está determinado por suas aplicações no cotidiano, me incomodava a ideia de precisar reconhecer que nem sempre conseguia fazer a ligação entre o conhecimento matemático e suas aplicações para a vida do aluno.
Na tentativa de explicar como essas inquietações nos motivaram a uma busca por estratégias, metodologias ou teorias que tornassem nossa prática mais inovadora, buscando não só proporcionar mais sentido ao conhecimento matemático explorado, como também propor um processo de ensino e aprendizagem que privilegiasse ao estudante uma postura de protagonista do processo, é fundamental fazer um pequeno relato de nosso percurso profissional.
Fui aluno da então Escola Técnica Federal do Espírito Santo (ETFES) no curso de Eletrotécnica (1990 a 1993). Seguindo uma trajetória natural, ingressei em 1994 na Universidade Federal do Espírito Santo para cursar Engenharia Elétrica. Cursei o que se costuma chamar de básico na Engenharia, que são os primeiros cinco semestres, em que se estuda muito Cálculo e Física. Por motivos pessoais fiz (re) opção de curso para Licenciatura em Matemática e, paralelamente à licenciatura, comecei a lecionar na rede estadual da região metropolitana da Grande Vitória/ES.
Após concluir a graduação, voltei para Colatina/ES, minha cidade de origem, e comecei a lecionar em escolas da rede pública (estadual e municipal). Trabalhei também em uma escola privada no período de 2000 a 2007. Importante ressaltar que durante quase todo o período de atividade docente relatado, lecionei também a disciplina de Física para o ensino médio. Esse fato me permitiu um olhar sobre as
diversas aplicações da Matemática dentro de outros campos do conhecimento, em especial, os vários ramos da Física.
Após a graduação, cursei duas especializações, uma no Ensino de Matemática e outra no Ensino de Física. Participei também de cursos de formação continuada oferecidos pelas redes em que atuava. Sempre buscando caminhos para melhorar a prática de sala de aula. Atuei também como tutor presencial do curso de Licenciatura em Física oferecido pela Ufes no polo UAB de Colatina. Em outubro de 2010 ingressei, por meio de concurso público, no Instituto Federal do Espírito Santo (Ifes) - campus Itapina, antiga Escola Agrotécnica Federal de Colatina, que fica na zona rural desse município. Nessa instituição tive minha primeira experiência como professor em uma modalidade de ensino denominada técnico integrado ao ensino médio.
De acordo com o Projeto Pedagógico Institucional (PPI) do Ifes, (2014), a educação profissional e tecnológica não deve acontecer de forma separada da formação humana e da ciência. Ao contrário, deve evoluir em um contexto envolto de conhecimentos, princípios e valores que potencializem a ação humana na busca por caminhos mais dignos de vida. Uma educação que motive o ser humano, enquanto integralidade, no desenvolvimento de sua capacidade de gerar conhecimento por meio da sua interação com a realidade, na expectativa de sua emancipação. Tecendo algumas considerações sobre a formação integrada, Frigotto (2005) propõe a superação do homem dividido historicamente pela divisão social do trabalho entre a ação de efetuar e a ação de pensar, coordenar ou planejar. Nesse sentido, o autor pondera que a formação humana deve:
[...] garantir ao adolescente, ao jovem e ao adulto trabalhador o direito a uma formação completa para a leitura do mundo e para a atuação como cidadão pertencente a um país, integrado dignamente à sua sociedade política. Formação que, neste sentido, supõe a compreensão das relações sociais subjacentes a todos os fenômenos (FRIGOTTO, 2005, p. 85)
Nesse cenário, o PPI propõe uma concepção educacional mais abrangente que tem como objetivo contribuir para a educação integral do cidadão capaz de interpretar e interferir na vida social e produtiva. Corroborando com este pensamento, Frigotto (2005) categoricamente considera que o ensino médio integrado ao ensino técnico é aquele em que:
[...] a educação geral se torne parte inseparável da educação profissional em todos os campos onde se dá a preparação para o trabalho: seja nos processos produtivos, seja nos processos educativos como a formação inicial, com o ensino técnico, tecnológico ou superior. Significa que buscamos enfocar o trabalho como princípio educativo, no sentido de superar a dicotomia trabalho manual/trabalho intelectual, de incorporar a dimensão intelectual ao trabalho produtivo, de formar trabalhadores capazes de atuar como dirigentes e cidadãos (FRIGOTTO, 2005, p.84)
O autor afirma ainda que, ao agregar a dimensão intelectual ao trabalho produtivo, formamos trabalhadores capazes de atuar como dirigentes e cidadãos. Para isso, é necessário pensar na concepção de trabalho como uma atividade estruturante do ser social.
De acordo com Frigotto (2005),
[...] o trabalho como princípio educativo deriva do fato de que todos os seres humanos são seres da natureza e, portanto, têm a necessidade de alimentar-se, proteger-se das intempéries e criar seus meios de vida. (FRIGOTTO, 2005, p. 60).
O autor afirma que compreender o trabalho como princípio educativo é mais que formar para o exercício do trabalho meramente como produtor de mercadorias, é antes entender o ser humano como gerador de sua realidade, como sujeito que dela se apropria para modificá-la. Para contemplar o trabalho como princípio educativo no contexto da educação profissional é preciso pleitear o direito ao acesso à cultura, à ciência e à tecnologia para todos. É buscar uma prática pedagógica que comporte, como um dos fundamentos do currículo, a integração entre cultura, ciência, tecnologia e trabalho, não de forma enciclopedista ou exclusivamente profissionalizante.
Como exposto anteriormente, a instituição em que atuo oferece ensino médio integrado ao técnico e tem como pretensão promover um ensino que contribua para a formação de um cidadão pleno, capaz de agir dignamente na sociedade. Uma peculiaridade da dinâmica acadêmica do campus Itapina é que os cursos técnicos integrados são ofertados em tempo integral. As aulas se iniciam às 7h20min. da manhã e se encerram às 15h35min. Durante esse período, os estudantes têm aulas das disciplinas do núcleo comum, que acontecem geralmente no prédio pedagógico, e aulas dos componentes curriculares técnicos. Estas usualmente são realizadas nas unidades de produção – setores específicos do campus em que são
desenvolvidas atividades relacionadas à parte técnica dos cursos. Algumas dessas unidades são: Horticultura, Bovinocultura, Avicultura, Aquicultura, entre outras.
Nesse ambiente surge uma nova oportunidade de trabalhar a matemática de forma que os alunos possam visualizar suas aplicações, ou seja, de forma que a matemática seja mais significativa para eles. No início de 2011, em uma tentativa de contribuir para a integração entre os conhecimentos das disciplinas básicas e os das disciplinas técnicas, os profissionais da coordenação pedagógica do campus Itapina promoveram uma visita dos professores das disciplinas do núcleo comum às diversas unidades de produção. Consideramos esse momento uma excelente oportunidade para que pudéssemos perceber quais eram os saberes matemáticos que permeavam as atividades técnicas desenvolvidas pelos alunos nessas unidades e, não menos importante, estreitar relações com os professores das áreas técnicas, visando um planejamento conjunto que buscasse a integração dos saberes.
Esse contato inicial e algumas conversas informais com alguns professores que ministravam os componentes curriculares técnicos a respeito das atividades desenvolvidas nas unidades de produção fizeram-nos perceber que existia no campus um ambiente propício para realizar a desejada integração entre os saberes. Nesse contexto, algumas ações foram implementadas nas aulas de matemática com o intuito de buscar uma aproximação entre a matemática e as disciplinas técnicas. Entretanto, o baixo desempenho acadêmico dos alunos em matemática apontado pelos relatórios da coordenação pedagógica e a dificuldade de aprendizagem nessa disciplina percebida em nossa prática indicavam que essas ações ainda pareciam incipientes. Apesar de o contexto do campus Itapina oportunizar um estreitamento das relações da matemática com as disciplinas técnicas, na prática essa integração ainda era fraca.
Em 2013, ao ingressar no Mestrado Profissional em Educação em Ciências e Matemática, cursei uma disciplina intitulada Modelagem Matemática. Antes do mestrado, possuía um conhecimento muito superficial do que seria essa tendência dentro da Educação Matemática. Mas, ao conhecer mais sobre Modelagem, pude perceber que no campus Itapina havia um contexto favorável à sua utilização como abordagem metodológica. Algumas das atividades realizadas pelos alunos nas unidades de produção ligadas às disciplinas técnicas eram permeadas de saberes
matemáticos. Além disso, os professores das áreas técnicas desenvolvem pesquisas de campo dentro do contexto agropecuário, na maioria das vezes em conjunto com os alunos e, durante as várias etapas da pesquisa, utilizam conceitos e procedimentos matemáticos. Na verdade, utilizam-se da modelagem, mas em uma perspectiva diferente da proposta pela Educação Matemática.
Assim, me questionei se essa abordagem metodológica não poderia ser um caminho para mostrar aos alunos a relação entre o saber matemático e outros saberes. Mostrar aos estudantes que os conhecimentos produzidos nas aulas de matemática podem contribuir para entender não só os fenômenos que acontecem no contexto da área técnica de sua formação, mas os presentes na própria vida. Fazer com que, à medida que enxergam essas relações, os conteúdos matemáticos trabalhados tenham mais significado para eles.
Consideramos que a abordagem com a Modelagem pode ser útil para dar mais significado ao conhecimento matemático trabalhado em sala de aula, e também para contribuir para a tão almejada integração do ensino técnico com o ensino médio. Dessa forma, embora não seja nosso objetivo aprofundar a discussão sobre o tema, acreditamos que nosso trabalho perpassa pelas questões da formação integrada, visto que propõe uma abordagem da matemática baseada em problemas reais, que podem muito bem ser do contexto da área técnica dos alunos. Ou seja, na tentativa de solucionar um problema da área técnica, os estudantes podem mobilizar conhecimentos matemáticos e de outras áreas, trabalhando de forma multidisciplinar.
Em nossa prática cotidiana de sala de aula, observamos que a dificuldade de se apropriar dos conhecimentos matemáticos se agravava entre os alunos da 1ª série do Ensino Médio Integrado do campus. Percebemos também que, em sua maioria, esses alunos ainda não haviam se apropriado de conteúdos matemáticos básicos do ensino fundamental, tais como: sistema métrico decimal, proporcionalidade, cálculo de áreas de superfícies planas, equações do 1º e 2º graus, operações com números decimais, entre outros. Por sua vez, essa dificuldade com a Matemática prejudicava o desempenho acadêmico dos alunos tanto em algumas disciplinas da área técnica como em algumas do núcleo comum (como Física e Química, por exemplo) que, de certa forma, dependiam do conhecimento desses conteúdos.
Essa problemática se apresentava como um elemento desmotivador para uma parcela significativa dos alunos dessa série e que acabavam tendo insucesso tanto na disciplina de matemática quanto em outras disciplinas que dependiam desse conhecimento. Este quadro muitas vezes se traduzia em índices consideráveis de retenção e transferência. Para melhor compreender essa realidade, a seguir apresentamos nos gráficos das Figuras 1, 2 e 3 o resultado final em Matemática dos alunos das três séries do ensino médio integrado nos últimos três anos.
Figura 1 - Gráfico do resultado final da disciplina de Matemática no ano de 2013
Fonte: Relatório do Núcleo de Gestão Pedagógica Ifes - campus Itapina
Figura 2 - Gráfico do resultado final da disciplina de Matemática no ano de 2014.
Fonte: Relatório do Núcleo de Gestão Pedagógica Ifes - campus Itapina 0 20 40 60 80 100
primeira série segunda série terceira série
Resultado final de Matemática -
2013
Aprovados Matr. cancelada Reprovados Transferidos 0 20 40 60 80 100 120 140 160primeira série segunda série terceira série
Resultado final de Matemática -
2014
Aprovados Matr. cancelada Reprovados Transferidos
Figura 3 - Gráfico do resultado final da disciplina de Matemática no ano de 2015
Fonte: Relatório do Núcleo de Gestão Pedagógica Ifes - campus Itapina
Podemos observar um elevado índice de retenção em Matemática na primeira série e uma discrepância considerável para com os índices de insucesso na mesma disciplina nas demais séries. Notamos ainda um elevado índice de transferência somente entre os alunos da primeira série. Julgamos que a dificuldade de adaptação ao ensino em tempo integral e às particularidades do ensino médio integrado seja um dos fatores que contribui para o percentual de transferência. Entretanto, nossa experiência de sala de aula nos permite considerar que a dificuldade de aprendizagem em Matemática também colabora para que os alunos da primeira série optem pela transferência. Ressaltamos ainda que o baixo aproveitamento em Matemática, observado principalmente nas primeiras séries, reforça entre os discentes a visão já conhecida da Matemática como uma disciplina difícil, acessível para poucos, distante da realidade, restrita a códigos e regras, e pouco significativa para a vida do aluno.
Nesse sentido, Ferreira (1998) afirma que:
Ao perceber a Matemática como algo difícil e não se acreditando capaz de aprendê-la, os estudantes, muitas vezes desenvolvem crenças aversivas em relação à situação de aprendizagem, o que dificulta a compreensão do conteúdo e termina por reforçar sua postura inicial, gerando um círculo vicioso. (FERREIRA, 1998, p. 33) 0 20 40 60 80 100 120 140 160 180
primeira série segunda série terceira série
Resultado final de Matemática -
2015
Aprovados Matr. cancelada Reprovados TRansferidos
Assim, considerando que o professor desempenha um papel fundamental no processo de ensino e aprendizagem, torna-se crucial a esse profissional refletir sobre suas práticas pedagógicas. Mais que isso, refletir sobre o seu papel diante da sociedade e, a partir disso, buscar caminhos para contribuir na formação de um cidadão consciente de seus direitos e deveres; capaz de compreender e transformar a realidade, capaz também de refletir e intervir na expectativa de possibilitar as transformações econômicas, políticas, culturais e sociais no meio em que vive (Projeto Pedagógico Institucional Ifes, 2014).
Nesse sentido, Fiorentini (1994, p.38) afirma que o modo de ensinar depende da “concepção que o professor tem do saber matemático, das finalidades que atribui ao ensino da matemática, da forma como concebe a relação professor-aluno e, além disso, da visão que tem de mundo, de sociedade e de homem”.
Com relação à concepção do saber matemático, concordamos com D’Ambrósio (2009) quando afirma ser a matemática uma estratégia desenvolvida pela espécie humana no decorrer de sua história para entender, descrever, dominar e conviver com a “realidade sensível, perceptível, e com o seu imaginário, naturalmente dentro de um contexto natural e cultural”. D’Ambrósio (2009) pondera ainda que não há sentido na educação matemática se o educador não considerar o como sua prática pode contribuir para a construção de uma humanidade ancorada em respeito, solidariedade e cooperação.
No mundo de hoje, em que o acesso à informação é tão trivial, é importante buscar uma prática que seja diferente da “educação bancária1”, tão criticada por Freire
(2011). Prática essa que considera o aluno como uma tábua rasa e o professor como detentor do conhecimento a ser transmitido ao aluno. Assim, o papel esperado para o professor é o de mediador do processo de aprendizagem, é atuar de forma a auxiliar o aluno a construir seu conhecimento. Nesse sentido, D’Ambrósio (2009) salienta que:
[...] O professor que insistir no seu papel de fonte e transmissor de conhecimento está fadado a ser dispensado pelos alunos, pela escola e pela sociedade em geral. O novo papel do professor será o de gerenciar, de
1
Esse sistema foi nomeado por Freire (2011) como “educação bancária”, em uma crítica à abordagem tradicionalista que objetivava transformar o aluno em um ser passivo, em um depósito de informações escolhidas e elaboradas por outras pessoas.
facilitar o processo de aprendizagem e, naturalmente, de interagir com o aluno na produção crítica de novos conhecimentos [...] (D’AMBRÓSIO, 2009, p. 79)
Diante do exposto, investigamos a Modelagem na perspectiva de abordagem metodológica como um caminho que se alinha com os anseios evidenciados anteriormente na medida em que sugere uma nova dinâmica do processo ensino e aprendizagem. Uma dinâmica que promove mudanças na postura de alunos e professor. Este deixa de ser protagonista e passa a ser um coadjuvante no processo. Enquanto aqueles se tornam protagonistas, tendo uma atitude mais autônoma e crítica diante do conhecimento matemático.
A Modelagem Matemática não coaduna com uma postura prescritiva por parte do professor e estática dos alunos. Estes, na busca da solução para um problema extraído da realidade, são estimulados a levantar hipóteses, pesquisar, coletar dados, organizá-los, expressar/dividir suas opiniões e seus planos para solucioná-lo. E o professor estimula os alunos a terem uma postura mais autônoma e investigativa. De acordo com Almeida (2012), ao vivenciar episódios de ensino que possibilitam contato com o contexto real, os alunos podem se sentir motivados para o envolvimento nas atividades e para a construção do conhecimento. Schliemann, Carraher e Carraher (1993) enfatizam ainda a importância da aprendizagem de Matemática ser um momento de interação entre a Matemática formal, acadêmica e a Matemática cotidiana, enquanto atividade humana.
Mais detalhes sobre a Modelagem Matemática serão apresentados no Capítulo 2, por ocasião da explanação dos pressupostos teóricos que balizaram este estudo. Tendo em vista que o Plano de Ensino de Matemática do Ifes campus Itapina para a primeira série contempla predominantemente o conteúdo Funções, julgamos oportuno abordar esse assunto em nossa atividade de Modelagem Matemática.
Assim, diante da problemática apresentada, chegou-se ao seguinte problema de pesquisa:
Como a atividade de Modelagem Matemática, como abordagem metodológica, tendo como pressupostos os princípios da Teoria Histórico-Cultural, contribui para a construção do conceito de função em uma turma de Ensino Médio Técnico?
Para responder à pergunta central desta investigação, a pesquisa pautou-se em alcançar o seguinte objetivo geral: Analisar a construção do conceito de função, por meio de uma atividade de Modelagem Matemática, baseado nos princípios orientadores da Teoria Histórico-Cultural.
Com esse objetivo mais amplo, foram definidos os seguintes objetivos específicos:
a) Elaborar atividades de ensino que integrem o conhecimento matemático aos conhecimentos que perpassam as disciplinas técnicas, fazendo emergir um ambiente de modelagem matemática;
b) Realizar e analisar práticas pedagógicas fundamentadas na perspectiva da Modelagem Matemática visando à construção do conceito de função, pela compreensão das ideias fundamentais à construção desse conceito (variável, dependência, regularidade e generalização);
c) Elaborar um produto educacional para o estudo de noções de função, tendo como suporte as etapas do ciclo de Modelagem Matemática e seguindo os pressupostos da Teoria Histórico-Cultural.
Evidenciaremos a seguir os pressupostos teóricos que balizaram a produção deste trabalho. O processo de ensino e aprendizagem vem sendo observado, estudado, discutido e analisado por vários estudiosos com o objetivo de obter respostas para questionamentos do tipo: “Como garantir uma aprendizagem mais eficaz?”, “Qual tipo de atividade desperta mais interesse nos alunos?”, “Por que alguns conteúdos não parecem ser significativos para os alunos?”, “Por que os alunos frequentemente se queixam de que a Matemática trabalhada na escola não tem relação com o seu cotidiano?”, enfim, “Como obter sucesso no processo ensino e aprendizagem”?
Embora não seja nosso objetivo neste trabalho responder a esses questionamentos, eles nos motivam a sair da inércia e investigar referenciais que possam nos orientar na busca por respostas.
1.1 ORGANIZAÇÃO DA DISSERTAÇÃO
Este texto está estruturado em 5 capítulos. O primeiro capítulo destaca a relevância da temática abordada, a justificativa para o estudo, a questão orientadora e os objetivos da investigação.
No segundo capítulo encontram-se os pressupostos teóricos que balizaram as discussões deste estudo. São evidenciados alguns conceitos fundamentais da Teoria Histórico-Cultural de Vygotsky, que preconiza a construção do conhecimento como um processo social e histórico. Entre esses conceitos, a mediação ocupa lugar de destaque em meio às discussões. Também se apresenta um breve histórico da Modelagem na perspectiva da Educação Matemática e algumas concepções de Modelagem, pontuando as principais características dessa tendência na Educação Matemática.
O capítulo 3 trata dos procedimentos metodológicos utilizados, informando os instrumentos selecionados para a coleta de dados. Neste capítulo também se caracteriza o local e os sujeitos da pesquisa e os anseios da investigação.
No capítulo 4 são apresentadas as atividades realizadas, os resultados obtidos e as análises construídas, consubstanciadas pelos referenciais adotados. Há também um breve comentário sobre o produto educacional.
Por fim, no capítulo 5, desenvolvemos nossas considerações finais sobre o trabalho realizado.
2 PRESSUPOSTOS TEÓRICOS
Para esta investigação, o apoio se encontra em dois pressupostos teóricos que nos permitiram analisar o processo de construção do conhecimento matemático no contexto considerado. Primeiramente, a perspectiva histórico-cultural de Vigotsky. Em seguida, a perspectiva de desenvolvimento do ensino de Matemática por meio da abordagem da Modelagem Matemática.
2.1 TEORIA HISTÓRICO-CULTURAL
Entre as várias teorias desenvolvidas relacionadas ao processo de ensino e aprendizagem, consideramos que a Teoria da Histórico-Cultural, cujos pilares foram propostos inicialmente por Lev Semyonovitch Vygotsky (2005, 2007), apresenta relações estreitas com a pesquisa relatada neste trabalho.
De acordo com Vygotsky (2007), as relações interpessoais influenciam o pensamento e o raciocínio humano. Diante disso, procuramos em sua teoria contribuições para compreender melhor conceitos concernentes à aprendizagem, em especial a aprendizagem da matemática.
Vygotsky (2007), em sua teoria, pressupõe que o homem se constrói em sua relação com o mundo exterior e com os demais, mediatizado pela cultura, sendo por isso um ser social e histórico. Para ele, o desenvolvimento das funções psicológicas superiores (atenção voluntária, memória lógica, pensamento verbal) acontece na interação com seus pares, que já se apropriaram da cultura construída.
Nesse sentido, Oliveira (2002, p. 24) pontua que “o homem transforma-se de biológico em sócio-histórico, num processo em que a cultura é parte essencial da constituição da natureza humana”.
Vygotsky (2007) empenhou-se no estudo das funções psicológicas superiores ou processos mentais superiores, típicas dos seres humanos. Essas funções se diferenciam de mecanismos mais elementares, tais como: ações reflexas, reações automatizadas ou processos de associação simples entre eventos. Os processos mentais superiores são aqueles que envolvem o controle consciente do
comportamento, a ação intencional e a liberdade do indivíduo em relação às características do espaço e momento presentes.
O conceito de mediação também é fundamental para se compreender as concepções de Vygotsky (2007) sobre o funcionamento psicológico. Por exemplo, se uma criança coloca o dedo em uma tomada elétrica e o retira rapidamente após receber um choque elétrico, estabeleceu-se uma relação direta entre o choque elétrico da tomada e a retirada do dedo. Todavia, se a criança desistir de encostar o dedo na tomada por lembrar-se do choque que tomou em outra oportunidade, então, a relação entre a retirada do dedo e o choque elétrico da tomada é uma relação mediada pela lembrança da tentativa anterior. Se ainda a criança deixar de colocar o dedo na tomada quando alguém lhe disser que há perigo de choque elétrico, a relação estará sendo mediada pela interferência dessa outra pessoa.
No decorrer do desenvolvimento do indivíduo, as relações mediadas predominam sobre as relações diretas. Nessa configuração, Vygotsky afirma que a relação do homem com o mundo não é uma relação direta, mas mediada. E aponta como principais elementos mediadores, os instrumentos e os signos.
Ao fazer uma analogia entre instrumentos e signos, Vygotsky (2007) salienta que:
A invenção e o uso de signos como meios auxiliares para solucionar um dado problema psicológico (lembrar, comparar coisas, relatar, escolher, etc.) é análoga à invenção e uso de instrumentos, só que agora no campo psicológico. O signo age como um instrumento da atividade psicológica de maneira análoga ao papel de um instrumento no trabalho (VYGOTSKY, 2007, p. 52).
Influenciado pela teoria marxista, Vygotsky destaca a relevância dos instrumentos para a atividade humana. Segundo ele, a constituição da sociedade humana com base no trabalho é o que vai tornar o homem uma espécie diferenciada.
Desse modo, Oliveira (2002) ressalta que:
É o trabalho que, pela ação transformadora do homem sobre a natureza, une homem e natureza e cria a cultura e história humanas. No trabalho desenvolvem-se, por um lado, a atividade coletiva e, portanto, as relações sociais, e, por outro lado, a criação e utilização de instrumentos (OLIVEIRA, 2002, p. 28).
De acordo com Vygotsky (2007), o instrumento é um elemento intermediário entre o trabalhador e o objeto de seu trabalho, que foi criado ou procurado com o objetivo de
ampliar a capacidade do homem de transformar a natureza. É um produto social e mediador da relação entre o indivíduo e o mundo, pois carrega a finalidade para a qual foi criado e a forma de utilização desenvolvida durante a história do trabalho coletivo.
Da mesma forma que os instrumentos são utilizados pelo indivíduo para potencializar seu controle sobre a natureza, os signos são usados para controlar as ações psicológicas. Oliveira (2002) define signos como elementos que retratam outros objetos, situações ou episódios. A palavra caneta, por exemplo, é um signo que representa o objeto caneta; o símbolo 7 é um signo para a quantidade sete; a luz vermelha de um semáforo é um signo indicativo de parada obrigatória para o motorista.
Ao procurar esclarecer sobre o tipo de analogia que faz entre instrumentos e signos, Vygotsky (2007) fala sobre a diferença entre esses dois conceitos:
A diferença mais essencial entre signo e instrumento, e a base da divergência real entre as duas linhas, consiste nas diferentes maneiras com que eles orientam o comportamento humano. A função do instrumento é servir como um condutor da influência humana sobre o objeto da atividade; ele é orientado externamente; deve necessariamente levar a mudanças nos objetos. Constitui um meio pelo qual a atividade humana externa é dirigida para o controle e domínio da natureza. O signo, por outro lado não modifica em nada o objeto da operação psicológica. Constitui um meio da atividade interna dirigido para o controle do próprio indivíduo; o signo é orientado internamente (VYGOTSKY, 2007, p. 55).
Vygotsky e seus colaboradores tinham especial interesse em estudar a atribuição dos signos na atividade psicológica. Por isso, realizaram vários experimentos com esse objetivo. Em um desses experimentos, Leontiev investigava a mediação dos signos na atenção voluntária e na memória.
Ele utilizou um jogo em que fazia perguntas sobre cores a algumas crianças e elas deveriam responder sem usar o nome de duas cores definidas previamente. Na primeira etapa do experimento, perguntas eram feitas oralmente e as crianças respondiam. Se a criança usasse uma das cores proibidas, a resposta era considerada errada. Na segunda etapa, a criança recebia cartões coloridos que podia utilizar como quisesse para auxiliá-la no jogo.
Algumas crianças separaram os cartões com as cores proibidas e, quando eram arguidas, olhavam para os cartões antes de dar a resposta. Observou-se um melhor
aproveitamento das crianças na segunda etapa, ou seja, houve um menor índice de respostas erradas com as crianças que usaram os cartões como auxiliares externos para sua atenção e memória.
Após a realização desse e outros experimentos, Vygotsky e seus colaboradores observaram que o uso de mediadores ampliou a capacidade de atenção e memória, permitindo também mais controle voluntário do indivíduo sobre a própria atividade.
Esse processo de mediação não é estático na vida do indivíduo, mas se modifica ao longo do seu desenvolvimento. Na atividade relatada anteriormente, percebeu-se que as crianças pequenas (até por volta de 8 anos) não utilizaram o recurso dos cartões como auxiliar de sua atividade psicológica. Na realização da tarefa de responder às perguntas, elas executaram uma atividade direta e não mediada.
Algumas pessoas adultas foram submetidas ao mesmo experimento e também não utilizaram os cartões. Sua performance na primeira etapa do experimento (sem cartões) foi similar à da segunda etapa (com cartões). Porém, de acordo com Vygotsky (2007), isso não implica que esses adultos tenham regredido a uma atividade psicológica não mediada. A mediação existe, mas está ocorrendo de forma interna.
Nessa perspectiva, Oliveira (2002) declara que:
Ao longo do processo de desenvolvimento, o indivíduo deixa de necessitar de marcas externas e passa a utilizar signos internos, isto é, representações mentais que substituem os objetos do mundo real. Os signos internalizados são, como as marcas exteriores, elementos que representam objetos, eventos, situações. Assim como um nó num lenço pode representar um compromisso que não quero esquecer, minha ideia de “mãe” representa a pessoa real da minha mãe e permite lidar mentalmente com ela, mesmo na sua ausência. (OLIVEIRA, 2002, p. 35).
Ainda segundo Oliveira (2002), o processo de mediação é imprescindível para viabilizar as atividades psicológicas voluntárias, intencionais, controladas pelo próprio indivíduo.
De acordo com Vygotsky, no decorrer do desenvolvimento do indivíduo acontecem duas alterações significativas no emprego dos signos. Em primeiro lugar, a utilização de marcas externas vai se transformando em processos internos. Ele chama essa transformação de processo de internalização. A respeito desse conceito, Vygotsky
(2007, p. 56) diz que “Chamamos de internalização a reconstrução interna de uma operação externa”. Em segundo lugar, ocorre o desenvolvimento de sistemas simbólicos, nos quais os signos são organizados em estruturas complexas e articuladas.
Esse processo de internalização dos signos permite ao indivíduo operar mentalmente sobre o mundo, por meio de representações mentais. Quando pensamos em uma bola de futebol, por exemplo, não há na mente a própria bola. Trabalha-se com uma imagem, uma ideia, uma representação mental, um signo que representa o objeto real.
Podemos pensar em uma bola que não esteja em nossa presença. Lembrar um drible “genial” feito por um jogador, imaginar uma jogada que nunca vimos ou até mesmo planejar algo com esse objeto, sem que ele sequer esteja perto de nós. Essa habilidade de operar com representações que substituem o objeto real permite ao indivíduo um desprendimento do espaço e tempo presentes e, assim, imaginar, fazer planos, efetuar relações mentais na falta do próprio objeto. As operações realizadas mentalmente não são relações diretas com o mundo real e sim relações mediadas pelos signos que foram internalizados. Ao lidar com as funções psicológicas superiores, esses signos, que são representações mentais dos objetos do mundo real, são os mediadores que predominam no vínculo do homem com o mundo.
Na perspectiva de Vygotsky (2007), o trabalho oportunizou o desenvolvimento das atividades coletivas, das relações sociais e da utilização de instrumentos. Nesse contexto, as representações mentais da realidade se articularam em sistemas simbólicos. Os signos passaram a ser compartilhados pelos componentes dos grupos, favorecendo a comunicação entre os indivíduos e aperfeiçoando a integração social.
Então, se um indivíduo aprende o significado de “machado”, esse conceito que foi internalizado por esse sujeito e que é compartilhado por outros integrantes do seu grupo social, torna-se um signo mediador para o seu entendimento do mundo. Ou seja, se o indivíduo ouvir um relato em que figure o objeto “machado”, ainda que ele não esteja vendo o machado, poderá entender o relato, pois a representação mental
que ele tem de machado fará a mediação entre o objeto real e a ação psicológica (imaginá-lo nas ações do relato).
Entretanto, supondo que esse indivíduo pertença a um grupo cultural que não conheça o objeto “machado”, então, se ele ouvir uma história sobre um machado ou se alguém lhe mostrar essa ferramenta, ele não terá possibilidade de interpretá-lo como tal. Não possuirá representação mental, instrumental psicológico para compreendê-lo.
É o grupo cultural em que o sujeito se desenvolve que lhe proporciona maneiras de perceber e organizar o real. Essas maneiras vão constituir os instrumentos psicológicos que farão a mediação entre o sujeito e o mundo.
Mas a cultura, na visão de Vygotsky não é um arranjo estático e acabado, de onde o sujeito vai se apropriar dos conceitos e esquemas. Oliveira (2002) a compara a um “palco de negociações”, em que seus integrantes estão em um contínuo movimento de reinterpretação e recriação de conceitos e significados.
Nesse sentido, Oliveira (2002) destaca que
É a partir de sua experiência com o mundo objetivo e do contato com as formas culturalmente determinadas de organização do real (e com os signos fornecidos pela cultura) que os indivíduos vão construir seu sistema de signos, o qual consistirá numa espécie de “código” para decifração de mundo. (OLIVEIRA, 2002, p. 37).
Para Vygotsky (2007, p. 58), as origens das atividades psicológicas superiores precisam ser procuradas nas relações sociais entre os indivíduos e os outros homens. Ele pressupõe que “Todas as funções superiores originam-se das relações reais entre indivíduos humanos”. Argumenta ainda que os sistemas simbólicos, e principalmente a linguagem, realizam um papel primordial na comunicação entre os sujeitos e na consolidação de significados compartilhados que possibilitam interpretar objetos, eventos e cenários do mundo real. O princípio do funcionamento psicológico característico do homem é, portanto, social e histórico.
Outro aspecto central na teoria de Vygotsky (2007) é a relação entre desenvolvimento humano e aprendizado. Ele não deixou uma teoria estruturada sobre o desenvolvimento humano, talvez porque não tenha tido tempo, mas nos proporcionou profundas reflexões e dados de pesquisa sobre o assunto.
Para Vygotsky (2007), o aprendizado não é desenvolvimento, porém:
[...] o aprendizado adequadamente organizado resulta em desenvolvimento mental e põe em movimento vários processos de desenvolvimento que, de outra forma, seriam impossíveis de acontecer. Assim, o aprendizado é um aspecto necessário e universal do processo de desenvolvimento das funções psicológicas culturalmente organizadas e especificamente humanas. (VYGOTSKY, 2007, p. 103).
O aprendizado ativa certos processos internos de desenvolvimento que não existiriam se não houvesse o contato do indivíduo com determinado ambiente cultural.
Um conceito importante na teoria de Vygotsky (2007), que pode contribuir para entender, na perspectiva dele, as relações entre aprendizado e desenvolvimento é o que ele chama de “zona de desenvolvimento proximal”. Ele postula que há dois níveis de desenvolvimento da criança: o nível de desenvolvimento real e o nível de desenvolvimento potencial.
Ao considerar a existência desses dois níveis, Vygotsky (2007) define o conceito de zona de desenvolvimento proximal.
Ela é a distância entre o nível de desenvolvimento real, que se costuma determinar através da solução independente de problemas, e o nível de desenvolvimento potencial, determinado através da solução de problemas sob a orientação de um adulto ou em colaboração com companheiros mais capazes.(VYGOTSKY, 2007, p. 97).
O nível de desenvolvimento real é dado pelas funções psicológicas já estabelecidas, fruto de processos de desenvolvimento já consolidados. É reconhecido pelas tarefas que uma criança consegue realizar sozinha, sem a ajuda de outra pessoa. Isto é, caracteriza o desenvolvimento de forma retrospectiva. Entretanto, Vygotsky (2007) adverte que, para entender satisfatoriamente o desenvolvimento de uma criança, deve-se atentar também para o seu nível de desenvolvimento potencial.
Esse nível é determinado pelas tarefas que a criança não faria sozinha, mas que, com a ajuda de um adulto ou de outra criança com o desenvolvimento mais avançado, ela seria capaz de realizar. Vale lembrar que não é qualquer tarefa que um indivíduo conseguirá fazer com a ajuda de outra pessoa. Uma criança de 5 anos pode, por exemplo, conseguir amarrar os sapatos com a ajuda de outra pessoa, mas uma de 1 ano não conseguirá realizar a tarefa, mesmo com a ajuda de um adulto.
A capacidade de se favorecer da cooperação de outra pessoa vai acontecer em um dado nível de desenvolvimento. Por isso, o nível de desenvolvimento potencial revela um momento que, ao invés de retratar as etapas já consolidadas, capta etapas posteriores, nas quais a intervenção do outro influencia significativamente o resultado da atividade individual.
De acordo com Vygotsky (2005), outro aspecto importante a ser considerado quando se estuda o aprendizado e o desenvolvimento humano é a relação entre pensamento e linguagem.
Como já pontuado, na perspectiva de Vygotsky (2007), as funções psicológicas superiores descritivas do pensamento próprio do homem – memorização ativa, ações conscientemente controladas, atenção voluntária, comportamento intencional, pensamento abstrato – são processos mediados por sistemas simbólicos. Ao considerar que a linguagem é o sistema simbólico capital de todos os grupamentos humanos, o quesito do desenvolvimento da linguagem e suas relações com o pensamento destaca-se nos escritos de Vygotsky.
Vygotsky (2005) pressupõe duas funções básicas para a linguagem: intercâmbio social e pensamento generalizante. De acordo com Vygotsky (2005, p. 06), “A função primordial da fala é a comunicação, o intercâmbio social”. Para se comunicar com seus pares, o homem cria e usa os sistemas de linguagem. Um bebê, mesmo sem dominar as palavras, consegue comunicar seus desejos e seus estados emocionais aos outros por meio de sons, expressões e gestos. (Oliveira, 2002).
Entretanto, para se estabelecer uma comunicação mais refinada, mais complexa, torna-se indispensável que sejam utilizados signos, compreensíveis pelos semelhantes. Esses signos se encarregarão de traduzir pensamentos, ideias, vontades, sentimentos, de maneira categórica. Para Oliveira (2002), cada ser humano vivencia sua experiência de maneira singular e complexa. Por isso, esse mundo intrincado da experiência vivida individualmente precisa ser simplificado e generalizado para poder ser expresso em signos que possam ser comunicados a outros.
Nesse contexto, segundo Vygotsky (2005), aparece a segunda função da linguagem: a de pensamento generalizante. Sendo assim, a respeito da comunicação humana, Vygotsky (2005) ressalta:
Assim, a verdadeira comunicação humana pressupõe uma atitude generalizante, que constitui um estágio avançado do desenvolvimento do significado da palavra. As formas mais elevadas da comunicação humana somente são possíveis porque o pensamento do homem reflete uma realidade conceitualizada. (VYGOTSKY, 2005, p. 07).
Tomemos como exemplo a palavra LIVRO. Ela tem um significado específico, compartilhado por todos que utilizam a língua portuguesa. Independentemente dos livros concretos que um indivíduo conheça ou da relação afetiva que ele tenha com os mesmos, a palavra LIVRO denomina certo conjunto de elementos do mundo real. Isso significa que o conceito de livro pode ser traduzido por essa palavra e será apropriadamente compreendido por outras pessoas, ainda que suas experiências concretas com livros sejam distintas do indivíduo que utilizou a palavra.
O significado de uma palavra ocupa lugar fundamental no estudo de Vygotsky sobre a relação entre pensamento e linguagem. Ele considera o significado um elemento essencial da palavra e um ato de pensamento, pois no significado da palavra pensamento e fala se unem constituindo o pensamento verbal. As duas funções básicas da linguagem – intercâmbio social e pensamento generalizante – se encontram no significado. A mediação simbólica entre o indivíduo e o mundo real é construída pelos significados. Dessa forma, os significados são como “decodificadores” que permitem ao homem interpretar o mundo e agir sobre ele.
Sobre a complexidade dos significados, Vygotsky (2005) afirma:
O significado de uma palavra representa um amálgama tão estreito do pensamento e da linguagem, que fica difícil dizer se se trata de um fenômeno da fala ou de um fenômeno do pensamento. Uma palavra sem significado é um som vazio; o significado, portanto, é um critério da “palavra”, seu componente indispensável. Pareceria, então, que o significado poderia ser visto como um fenômeno da fala. Mas, do ponto de vista da psicologia, o significado de cada palavra é uma generalização ou um conceito. E como as generalizações e os conceitos são inegavelmente atos de pensamento, podemos considerar o significado como um fenômeno do pensamento. (VYGOTSKY, 2005, p. 150).
De acordo com Oliveira (2002), Vygotsky diferencia dois elementos do significado de cada palavra: o significado propriamente dito e o sentido. O significado propriamente dito reporta-se ao sistema de relações objetivas realizadas no processo de
desenvolvimento da palavra, traduzindo-se em um cerne relativamente estável de compreensão da palavra, compartilhado por todos que a utilizam. O sentido, entretanto, refere-se ao significado da palavra para cada indivíduo, constituído por relações que dizem respeito ao contexto de uso da palavra e às experiências afetivas do sujeito.
Outro ponto relevante na Teoria Histórico-Cultural de Vygotsky que está intimamente relacionado ao significado e ao sentido é a formação de conceitos. Vygotsky (2005) caracteriza os conceitos em duas categorias: espontâneos e científicos. Conceitos espontâneos são aqueles desenvolvidos no decorrer da vida diária e da prática do indivíduo, nas suas relações com objetos, fenômenos e acontecimentos. Segundo Vygotsky (2005), o indivíduo não está consciente na assimilação dos conceitos espontâneos. Assim sendo, ele argumenta que:
A caracterização que Piaget faz dos conceitos espontâneos da criança como sendo não conscientes e assistemáticos tende a confirmar a nossa tese. A sugestão de que espontâneo, quando aplicado a conceitos, é sinônimo de não consciente é óbvia em todos os seus trabalhos, e pode-se facilmente descobrir é a base em que isso se assenta. Ao operar com conceitos espontâneos, a criança não está consciente deles, pois sua atenção está sempre centrada no objeto ao qual o conceito se refere, nunca no próprio ato do pensamento. (VYGOTSKY, 2005, p. 115).
Por sua vez, os conceitos científicos são aqueles estruturados em sistemas consistentes de inter-relações. São assimilados por meio do ensino formal, geralmente com a ajuda de um adulto, portanto, ocorrem de forma mediada. De acordo com Vygotsky (2005), o processo de mediação está sempre presente na aquisição de conceitos científicos pelas crianças na escola. Como essa mediação é feita por outros conceitos, Vygotsky argumenta que a própria noção de conceito científico implica um lugar dentro de um sistema de conceitos.
Ao conjecturar sobre o ganho obtido com o desenvolvimento de conceitos científicos, Vygotsky (2005) salienta:
É nossa tese que os rudimentos de sistematização primeiro entram na mente da criança, por meio do seu contato com os conceitos científicos, e são depois transferidos para os conceitos cotidianos, mudando a sua estrutura psicológica de cima para baixo. (VYGOTSKY, 2005, p. 116).
Vygotsky (2005) enaltece o valor do aprendizado escolar que, em sua perspectiva, induz o tipo de percepção generalizante. Percepção essa que o autor julga ser fundamental na conscientização da criança dos seus próprios processos mentais.
Nesse sentido, Vygotsky (2005), ao analisar a importância dos conceitos científicos para o desenvolvimento da consciência, pontua que:
Os conceitos científicos, com o seu sistema hierárquico de inter-relações, parecem constituir o meio no qual a consciência e o domínio se desenvolvem, sendo mais tarde transferidos a outros conceitos e outras áreas do pensamento. A consciência reflexiva chega à criança através dos portais dos conhecimentos científicos. (VYGOTSKY, 2005, p. 115).
2.2 MODELAGEM MATEMÁTICA
Qual professor de matemática nunca precisou responder a algumas dessas perguntas: “Pra que serve esse conteúdo?” ou “Onde vou aplicar isso na minha vida?”. Por vezes, as respostas dadas nem sempre satisfazem os alunos. Para respondê-las e na busca por novos caminhos para um “fazer matemático” mais motivador e interessante aos alunos, que imbricasse mais significado aos conceitos matemáticos trabalhados, encontramos na Modelagem Matemática uma possibilidade de transformação da realidade vivida em sala de aula.
O nascimento da Modelagem Matemática não aconteceu dentro da área que conhecemos hoje como Educação Matemática. Na verdade, ela foi “importada” da área denominada Matemática Aplicada, dentro da qual surgiram os primeiros conceitos e procedimentos qualificadores de uma atividade de Modelagem. (Almeida, 2012).
De acordo com Biembengut (2000), os dois precursores da Modelagem Matemática dentro da Educação Matemática no Brasil foram Aristides Camargos Barreto e Rodney Carlos Bassanezi. Por volta de 1970, o professor da PUC/Rio (Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro) Aristides C. Barreto adotou modelos matemáticos como método de ensino nas disciplinas de Cálculo Avançado em um programa de pós-graduação para engenheiros e Fundamentos da Matemática Elementar e Prática de Ensino da Licenciatura em Matemática.
Como um dos mais ilustres adeptos do professor Aristides, Rodney C. Bassanezi foi um dos maiores disseminadores da modelagem matemática no Brasil. Em 1982, ao coordenar um curso de pós-graduação na Universidade Estadual de Guarapuava, no
Estado do Paraná, Bassanezi propôs a seguinte alteração: fazer visitas às empresas da cidade e levantar problemas reais para serem investigados.
Assim, essa iniciativa promoveu o primeiro curso de pós-graduação em modelagem e que fomentou muitos outros coordenados por Bassanezi nas mais diversas instituições de Ensino Superior. Os fatos relatados retratam esses dois estudiosos como precursores e ícones da modelagem matemática no Brasil.
Biembengut (2000) argumenta que é provável que o questionamento – para que aprender matemática – vindo dos estudantes e a dificuldade dos professores em respondê-lo com base em aplicações nas variadas áreas do conhecimento tenham concorrido para Bassanezi defender a modelagem como estratégia de ensino de matemática.
De acordo com Bassanezi (2006), a modelagem matemática constitui-se na arte de tomar problemas do mundo real, convertê-los para a linguagem matemática, resolvê-los e interpretar suas soluções na linguagem do mundo real. É um processo que concatena teoria e prática, “motiva seu usuário na procura do entendimento da realidade que o cerca e na busca de meios para agir sobre ela e transformá-la”. (Bassanezi, 2006, p. 17).
Ressaltamos, porém, que Barreto e Bassanezi trabalhavam apenas com o Ensino Superior e com a Pós-graduação. Isso nos motivou a procurar por outros referenciais que pudessem fornecer mais subsídios para compreender melhor as aplicações da modelagem na educação básica.
A busca nos conduziu às concepções de Maria Salett Biembengut, Ubiratan D’Ambrósio, Jonei Cerqueira Barbosa e Lourdes Werle de Almeida sobre o papel da modelagem dentro da Educação Matemática.
Biembengut (2009) caracteriza a modelagem matemática como um processo artístico, dado que aquele que modela não sabe perfeitamente o curso que o processo de modelagem irá tomar. Utiliza meramente sua intuição para relacionar o modelo a conteúdos matemáticos.
Segundo a autora, um modelo matemático pode ser expresso por meio de fórmulas, gráficos, diagramas, tabelas, equações algébricas ou programas computacionais. O
tema da atividade de modelagem deve emergir baseado na realidade do aluno. Deve utilizar um problema do cotidiano dele e é preciso possibilitar obter dados e produzir questões.
D’Ambrósio (1986), também um dos precursores da modelagem na Educação Matemática no Brasil, define modelagem como um processo abundante de enfrentar situações que resultam em soluções efetivas para problemas reais. Contrasta, desse modo, com práticas em que se buscam soluções formais para problemas artificiais sem nenhum significado para o aluno.
Souza et al. (2015), confirmando D’Ambrósio (1986), afirma que:
O que torna a modelagem um recurso pedagógico promissor para o ensino de Matemática é o fato de utilizar problemas reais, do interesse dos sujeitos da aprendizagem, o que não acontece com os problemas hipotéticos, comumente apresentados em sala de aula e nos livros texto, e que não despertam a curiosidade e a necessidade de investigação e problematização por parte dos alunos. (SOUZA et al., 2015, p. 130).
Barbosa (2009) advoga que um ambiente de modelagem é aquele que atende a duas características principais: tem referência no dia a dia, nas ciências ou no mundo do trabalho e apresenta um problema para os alunos. Esse ambiente deve proporcionar um convite à investigação, questionamento e análise de alguma situação ligada à realidade, e permitir que os alunos encontrem seus próprios caminhos para solucionar o problema.
Mas, segundo Barbosa (2009), os benefícios da modelagem não são apenas no sentido de potencializar e facilitar a aprendizagem dos conceitos matemáticos. Ao analisar alguns modelos matemáticos da realidade, como, por exemplo, os utilizados por empresas de transporte público para relacionar seus custos e receitas, Barbosa faz um questionamento sobre a neutralidade dos mesmos, isto é, por que foram feitos assim? Poderiam ser de outra maneira? Dessa forma, entrevê outros desdobramentos da modelagem para além da motivação e da aprendizagem de conceitos e/ou algoritmos matemáticos.
Assim, Barbosa (2009) salienta:
Parece-me que, do ponto de vista da cidadania, há um argumento mais crucial: a necessidade de os alunos perceberem a natureza enviesada dos modelos matemáticos e o papel que eles podem ter na sociedade e nas
ciências. Isso não significa o esquecimento do conteúdo matemático, mas seu posicionamento como um “meio” para convidar os alunos a enxergarem seu uso para além dos limites da disciplina escolar (BARBOSA, 2009, p.2).
Uma postura prescritiva por parte do professor não encontra espaço nesse tipo de ambiente. Os alunos são estimulados a levantar hipóteses, pesquisar, coletar dados, organizá-los, expressar/dividir suas opiniões e seus planos para solucionar o problema.
Dessa forma terão a oportunidade de ponderar sobre a Matemática que pode ser usada em cada situação e até mesmo refletir sobre a Matemática utilizada em algumas situações, como a que foi citada no exemplo das planilhas de empresas de transporte público e outras.
Barbosa (2009) classifica as diferentes maneiras de preparar as atividades de Modelagem em três casos, nos quais as responsabilidades de professor e aluno apresentam variações.
Apresentaremos os três casos de forma sintetizada:
No caso 1, o professor fornece a situação-problema e as variáveis (qualitativas e quantitativas) aos alunos. Estes terão a incumbência de estruturar os dados e responder o problema. Todas as informações necessárias para a resolução do problema são fornecidas pelo professor.
No caso 2, o professor também apresenta o problema, mas deixa sob a responsabilidade dos alunos a busca pelas informações relevantes para resolvê-lo e a própria resolução da situação-problema.
O caso 3 é a maneira mais aberta de organizar uma atividade de Modelagem. O professor permite que os alunos escolham um tema de interesse e, de acordo com esse tema, devem formular o problema, coletar os dados e solucioná-lo.
O quadro abaixo mostra os três casos apresentados por Barbosa (2009), apontando as diferentes divisões de responsabilidades entre alunos e professor.
Quadro 1 - Casos de modelagem na perspectiva de Barbosa (2009)
Caso 1 Caso 2 Caso 3
Elaboração do problema
Professor Professor Professor/ Alunos Coleta de dados Professor Professor/ Alunos Professor/ Alunos Resolução Professor/ Alunos Professor/ Alunos Professor/ Alunos Fonte: Barbosa, 2009
Ainda segundo Barbosa (2009), o desenvolvimento do trabalho de Modelagem nessa perspectiva oportuniza três tipos de discussões entre os alunos:
Discussões matemáticas – que são aquelas referentes a ideias, conceitos, conteúdos e algoritmos matemáticos.
Discussões técnicas – as relacionadas à tradução das informações coletadas para a linguagem matemática, à luz dos conceitos matemáticos conhecidos, na busca de um modelo matemático que represente a situação dada.
Discussões reflexivas – aquelas que se referem aos parâmetros utilizados na composição dos modelos e os resultados decorrentes.
Quanto ao papel do professor nas atividades de Modelagem, fica evidente que há uma mudança considerável em relação a uma prática tradicional, por exemplo. Entretanto, isso não implica em uma diminuição da importância do professor, pois em um ambiente de Modelagem ele atua de forma intensa, interagindo com os alunos, fazendo questionamentos, provocando reflexões, sistematizando conhecimento, percebendo momentos propícios para a revisão de conteúdos estudados anteriormente ou a formalização de novos conceitos.
Na perspectiva de Almeida (2012), uma atividade de modelagem pode ser representada por meio de três elementos: uma situação inicial, que ela chama de problemática; uma situação final desejada, que seria uma solução para a situação inicial e um conjunto de procedimentos e conceitos essenciais para se passar da situação inicial para a final.
