LINGUAGEM LOGO NAS AULAS DE MATEMÁTICA: ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FORMA DIFERENCIADA.

LINGUAGEM LOGO NAS AULASDE MATEMÁTICA: ABORDAGEM DE CONCEITOS DE FORMA DIFERENCIADA.

Resumo

Este trabalho quer contribuir na

constru-ção e aplicação de conceitos (conteúdos) de

Ma-temática em sala de aula, especialmente no

En-sino Fundamental e Médio. A Linguagem de Programação LOGO, atualmente muito pouco

usada pelo professor, éo foco e a ferramenta

prin-cipal no estudo dos conceitos desenvolvidos nas

aulas de Matemática. Para este estudo, além de

um embasamento teórico, o projeto foi aplicado

na prática numa Escola de Ensino Fundamental.

O uso da Linguagem LOGOnaconstrução de projetos emambiente LOGO favorece a a

prendiza-gem significativa de conceitosmatemáticos nas

au-las, no nosso caso, do Ensino Fundamental. Neste

re-latosãoabordadosconceitos como rotinas periódicas, geometria plana, trigonometria,teorema dePitágoras, _númerosIrracionais e formulaçõesalgébricas.

) A proposta metodológica étrasndisciplinar, exigindo uma aproximação e o entrelaçamento de diferentes áreas do conhecimento. Neste sentido,

requer e instaura uma contextualização dos

con-teúdos escolares com o mundo doaluno vivenciado

fora da aula,o que contribuisignificativamente para

aaprendizagem de conceitos.

Palavras-chave: Educação matemática,

Lingua-gem LOGO,informática educativa, programação,

interação, projetos. Introdução

A linguagem Logojá é bastante conhecida

comolinguagem de aplicação matemática, apesar

Alexandre Molter 1 Vanderlei Kriesang Z

disso, poucousada porprofessores e alunosem aulas de Matemática. Por seruma linguagem comuma interface tão simples e,ao mesmo tempo, permi-tindo uma abrangência vasta detemas matemáti-cos, é extremamente importante que elaseja mais explorada por professores em suas aulas. Isto vem ao encontro daatual tendência de informatização dos processos educacionais dasescolas.

A linguagem Logo pode oferecer diversas vantagens, até mesmo em relação a Softwares elaborados especialmente para o ensino da Ma-temática que existem atualmente no mercado.

Apesar do seu amplo conjunto de comandos e funções, ela é de simples compreensão e fácil

interação permitindo sua utilização em todas as séries do ensino básico. Porabordar diversos con-teúdos Matemáticos - dosmais simples aosmais complexos - ela não se torna obsoleta ao longo de um ano letivo e pode ser utilizada em cada uma das séries. A LOGO,por possibilitar a cria-ção de projetos e por ser flexível quanto à pro-gramação ea interação em sua linguagem, pe r-mitea interdisciplinaridade. Assim, diversas áreas do conhecimento comoartes egeografia, línguas, ciências, entre outras, podem se valer dessa fer-ramenta para também desenvolver seus assun-tos abordados. Além disso, a Linguagem LOGO também é disponibilizada gratuitamente em di-versas versões, inclusive na plataforma LINUX.

O propósito deste trabalho é apresentar possíveis interações do professor de Matemática e seus alunos com a Linguagem LOGO. Assim, o focoestará centrado naabordagem metodológica interacionista onde alunos e professores explo-ram alguns conteúdos matemáticos, tornando-os

"mais interessantes" do que numa abordagem meramente "tradicional". Também comentamos o resultado dessa interação, tomando como refe-rência anossa práxis (práticateorizada) pedagó-gica como professores de Matemática e de Informática Educativa.

1. Abordagem de temas matemáticos com o Megalogo3•

A Linguagem de programação do compu-tador Logo, elaborada por Seymour Papert tem seu aparte pedagógico na teoria da construção do conhecimento desenvolvida por J ean Piaget. Ela é uma linguagem algorítmica que, através de comandos (primitivas) comanda um objeto (tar-taruga) numa malha cartesiana na tela gráficado computador. Estas primitivas introduzem simples ordens de deslocamento (parafrente, paratrás), de giro (gireesquerda, giredireita); bem como funções matemáticas mais complexas como arco tangente, seno, co-seno, raiz quadrada, entre outras. Após cada comando há a necessidade de secolocar um parâmetro. Por exemplo:paratrente 40giredireita 90, fará com que a tartaruga dese-nho um traço de 40 pixels (unidade de medida da tela docomputador) de comprimento e um giro de 90graus para adireita.

Nesta linguagem de programação, há uma lista de comandos chamada de "primitivas" apartir das quais podemos criar novos comandos e funções. Para acessar o diretório onde se en-contram estas primitivas comexemplos e expli-cações"on-line", basta clicarem: ajuda -

>

lista de primitivas. Muitas destas primitivas encon-tram-se também em formatoabreviado, como por exemplo, parafrente

=

pt.gireesquerda

=

ge.Para criar novos comandos, basta digitar o comando para seguido do nome que se quer dar ao novo comando,na linhaseguinte coloca-se a(s) função (ões)que se deseja atribuir aonovo comando e, por último, numa nova linha, escreve-se o co-mando fim. Comoexemplo, ver projeto barco, mais adiante.

Várias versões e traduções desta lingua-gem estão disponíveis hoje no mundo da informática eda educação - inclusive no mundo do Software Livre LINUXdo qual destacamos a

KTURTLES,em inglês ea XLOGO(em JAVA)r em

português. Neste trabalho, nos valemos de uma das versões do ambiente windows chamada MEGALOGO.

Usar o software Megalogo para abordar conteúdos escolares damatemática requer uma proposta de trabalho a partir da construção do conhecimento trasdisciplinar baseado num pro-jeto de estudos. O trabalho que ora apresenta-mos, pressupõe uma aproximação prévia do alu-no comoambiente Logo.

Os professores freqüentemente montam situações, que, segundo eles, levam ascriençes a "vir a co -nhecer" certos conceitos -sem mes -mo perceber que estão fazendo. En-tretanto, a Tartaruga é diferente

-ela permite à criança agir com deli -beração e conscientemente para

ge-rar um tipode aprendizagem com a

qualse sente familiarizada econfor -tável, e que conduz àmatemática e

àfísica. (PAPERT,p. 167)

No nosso projeto, temos como pressupos-to que oaluno também domine alguns assuntos da matemática que serão necessários para mon-tar os projetos no ambiente Logo. Entre eles: números Naturais, Inteiros, Racionais e Irracio-nais, geometria básica fundamentalmente o es-tudo de ângulos, relações entre ladosde triângu-los e seus ângutriângu-los, o teorema dePitágoras e rela-ções métricas em polígonos regulares e na cir-cunferência.

2. Interagindo como aplicativo:criação de pro-jetos (baseados principalmente na projeção de

polígonos regulares)

Paraa montagem deprojetos no Megalogo há um comando importante e que "simplifica" o algoritmo quando setrabalha com rotinas perió-dicas, que é ocomando repita. A sua utilização exige doaluno o idéia básica derotinas periódi-cas, o que mais tarde facilitará sua compreensão sobre funções periódicas. Quando sedeseja usar rotinas periódicas na montagem deum quadrado

'MEGALOGOéuma versão da Linguagem Logo para MS Windows 95e 98comercializado pela CNOTINFOR. Atualmente a nova

versão da Linguagem éo IMAGINEeincorpora osmais variados recursos on-line daInternet eprogramação orientada a objetos

em três dimensões.

épossível usar ocomando repita, porque setem

aíuma rotina periódica que se repete quatro ve -zes. Neste caso, é só entrar com o comando:

? repita 4 [parafrente :x gire direita 90]

a

:xrepresenta o quanto se deseja irpara frente

em pixels e 90 éo que se deve girar para formar

um oângulo reto.

a

mesmo procedimento poderá

ser adotado paraprojetar qualquer outro polígono

regular: entrar comovalor damedida do lado e o

ângulo de giro. Éimportante lembrar que para

gi-rar sempre se considera o ângulo externo.

Além de rotinas periódicas, há vários outros

assuntos dentro da matemática que irão rapidamen -te entrar na elaboração dos projetos. Paramontar,

por exemplo, umbarquinho, com seguinte formato:

para Barco ge45 pfsqrt (3200) gd 135 pf 160 gd 135 pfsqrt (3200) gd 45 pf 80 pf -40 gd 90 un pf 40ul pf 100 gd 135 pf sqrt ( 5000 ) gd 135 pf 50 gd 90 un pf 80 fim

1" linha -inicia construção de novo comando (programa); 2" linha - comandos que constroem a base do barco (trapézío):

3" linha - faz o mastro do barco; 4" linha - faz a vela;

5" linha - termina aprogramação.

)

Deagoraem diante, o computador reconhece a palavra Barco

como sendo um comando que executa o desenho ao lado.

oaluno terá que compreender bem o teorema de

Pitágoras, o que inclui também os números Irra -cionais, além de dominar a idéia de giro nos

ân-gulos internos e externos de polígonos

regula-res. Para se mensurar os ângulos, pode-se usar a

formulação da soma interna dos ângulos.

Partin-dodopressuposto que a soma externa dos

ângu-los de qualquer polígono regular é 360°, uma das

formas de se chegar à fórmula da soma interna

dos ângulos de qualquer polígono regular é:

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á- um ângulo interno dopolígono;

n - número delados do polígono;

~- soma dos ângulos internos de um polígono

regular;

Se - soma dos ângulos externos deum polígono

regular.

Sabe-se que a soma dos ângulos externos

(S) é 360°, eque o número de ângulos internos

ou externos de um polígono regular é igual ao número delados desse polígono:

S

e

=

n(1800-a

)

=

360° e

Si

=

na.

18

0n

-

na

=

360,

-

na

=

360

-18

0

n,

na

=

180(n

-

2

),

Si

=

180(n

-

2),

que é a fórmula que permite calcular os ângulos internos de qualquer polígono regular.

a

aluno poderá usar esta formulação diretamen-te nos seus projetos.

Já aprojeção de círculos ou diagonais de polígonos regulares com diversos lados exige co-nhecimento de mais assuntos da matemática. É importante que o aluno compreenda o conceito de 1t e saiba aplicá-lo. domine os conceitos de raio, perímetro, diâmetro e diagonal. Para a

pro-jeção docírculoéindispensável entender que no aplicativo se monta um polígono devários lados - que não pode ser um deinfinitos lados, segun-do o conceito de círculo. Aqui o uso de rotinas periódicas se torna extremamente útil (com o comando repÍta), porque fica inviável escrever todos oscomandos separadamente. Então, para a projeção de polígonos regulares, oque inclui o

círculo, devemos observar alguns aspectos:

com quantos lados se deseja formar o polígono;

quetamanho delado se deseja, isso

impli-cará no tamanho dopolígono,

qual o ângulo de inclinação se deve usar para fechar o giro (ou polígono), ;

qual será o tamanho do diâmetro da figura

que foi projetada.

Esses aspectos precisam ser levados em conta quando se projeta qualquer figura que en-volva polígonos regulares. Por exemplo, o projeto

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de um caminhão, construído junto com os alunos:

para caminhão

(inicia a programação do desenho);

pf 30gd 90 pf120ge90pf50 gd90pf 5 gd 90pf 10 ge 90 (faz acarroceria);

pf 30 gd 45 pfsqrt (1800) gd45pf40 gd 90 pf 20 gd 90 (faz a parte externa dacabine);

repita 100 [pf2·3,1416· 15/200 ge 360/200] gd 90 pf 45 (faz um semicírculo - local que abrigará a roda dianteira); gd 90 repita 100 [pf2 ·3,1416·15/200 ge 360/200] gd 90 (faz o local queabrigará a roda domeio);

pf 5gd90repita 100 [pf2·3,1416· 15/200 ge 360/200] (faz o localdaroda traseira);

gd 90pf25 un pt 28gd90

(fazo chassi e se posiciona para iniciar a roda traseira);

ulrepita 200 [pf 2 ·3,1416· 12/200 gd360/200] gd 90 (faz um círculo - a rodatraseira);

un pf35 ge 90

(desloca até a posição daroda domeio);

ul repita 200 [pf 2 ·3,1416· 12/200 gd 360/200] gd 90 (faz a roda do meio);

un pf75ge 90

(desloca até aposição da roda dianteira);

ul repita 200 [pf 2•3,1416· 12/200 gd 360 / 200]

(faz arodadianteira);

un pf30 gd90 ul pf 30 ge 135 pfsqrt ( 1800) ge 135 pf 30 (vai até a posição e fazajanela docaminhão);

unpf80

(desloca atartaruga para fora do desenho); fim.

(terminÁoprograma).

Nesta figura, para a elaboração do círculo tem-se que:

.

[,{"

2nr

d

3

60

]

r

ep

ita y

p

j

y

g

y

sendo:

y número de lados dopolígono (ou

aproxi-mação da circunferência, se for

conside-rado somente meia circunferência,

divi-dir esse valor pordois);

21tr - perímetro da circunferência;

21tr y

360 Y

tamanho de cada lado;

- inclinação,ou seja,ângulo de giro (em graus);

Percebe-se que entram aí diversos con cei-tos matemáticos como: teorema de Pitágoras, ângulos, raio, diâmetro eperímetro de círculos.

Inicialmente osalunos irãopelas tentativas, mas isso será bem mais complicado do que usar os

conceitos matemáticos. Aío professor tem uma ótima oportunidade defazerabordagens teóricas

nos projetos práticos dos alunos. Oaluno se con-frontará também com a necessidade de muito

raciocínio lógico eacontextualização do cotidia -no nomesmo, vinculando-o com outras áreas do

conhecimento objetivadas pelos professores

en-volvidosnoprojeto.

Noestudo da geometria, além do visto aci -ma é possível desenvolver, de forma prática, um estudo sobre asrelações entre os lados das

figu-ras geométricas, suas diagonais e seus ângulos de contorno (externos e internos), construindo figuras inscritas e circunscritas, como:

0

1

(! /

\~-

o

para Inscrito un ge 90pf 300gd 90ul repita 4 [pf100 gd90]ge 45 repita 300 [pf 2 • 3,1416 • 70,7107/300 gd360/300] gd 90 pf100• sqrt (2) un pt 100• sqrt ( 2)gd 45pf 180ge90 pt 10 ul repita 4[pf 100• sqrt (2 )gd 90] pf 50· sqrt ( 2 ) repita 300[pf2' 3,1416' 70,7107/300 gd360/300] gd 90 pf100 • sqrt (2) un ge 90pt50 • sqrt (2) gd 90pf 80 ge 90pf 25 ul repita 6 [pf 70,7107 gd60]ge 30 repita 300 [pf2· 3,1416' 70,7107/300 gd360/300] gd 90 pf100• sqrt (2) fim.

Para elaborar essas figuras o aluno deve

conhecer bem relações entre lados, ângulos e diagonais das figuras. Esses conceitos também aparecerão quando se deseja elaborar projetos maiores e/ou mais complexos.

As idéiasapresentadas neste artigo

detêm-se basicamente aos conteúdos da disciplina de matemática dentro doensino fundamental, prin-cipalmente de 5a à sa série. Já trabalhar com

polígonos irregulares seria uma ótima indicação para projetos detrabalho com os alunos do

no médio, pois eles exigem conhecimentos mais aprofundados dageometria e datrigonometria.

Num primeiro momento é interessante o professor levar alguns projetos "estruturados" ou pré-elaborados, que sejam simples, para que os alunos possam interpretá-los no papel. Assim ele amplia a sua habilidade de interpretação das ro-tinas no aplicativo e exigindo uma solidificação no conhecimento dos conteúdos matemáticos acima comentados.

Junto aos processos deapropriação dos sa be-res de matemática oeducando vaiconstruindo sua auto-estima, seu desejode aprender, sua capacidade inventiva,entrelaçando-os com asvivências do dia-a-dia, complexificandoassim, seu mundo de saberes. 3. Resultados obtidos na interação dos alunos com o aplicativo

As idéias propostas neste trabalho foram postas

em

prática, nasaulas dematemática, numa escolada rede municipal, da qual somos profe sso-res.O acesso a computadores erabem restrito.Havia um computador para cada grupo detrês a quatro alunos,contando com asortede não ter algum com problemas técnicos de funcionamento. Éclaro que nessas condições oprofessor sempre ficacom certo receioemusufruir dessa ferramenta para odese n-volvjrnentodos conteúdos propostos na disciplina. Por outro lado, a curiosidade dosalunos em man u-searam essa máquina, era grande.

Antes de trabalharmos com o Megalogo fi

-zemos uma aula explicando seu funcionamento. Os alunos logo compreenderam o sentido dos coman-dos e sua utilização namontagem de projetos.

Inicialmente os alunos tiveram a liberdade de criar figuras arbitrárias. Comisso puderam ex

-plorar bem a estrutura dos comandos (primitivas) de deslocamento e giro do software. À medida que fomos propondo a criação de novos projetos, s en-tiu-se a necessidade de ter mais embasamento matemático, o que foifeito em sala de aula sem o uso do computador. Percebendo sua necessidade, os alunostiveram boa aceitação ecompreensão dos conteúdos desenvolvidos. Na medida em que no-vos projetos exigiamnovos conhecimentos de ma-temática, estes foram sendo propostos sempre que se aproximavam dos objetivos daaula na amplia-ção dos conhecimentos de matemática e áreas afins. Assim vários conteúdos foram desenvolvi -dos surgindo da aplicação direta nos projetos cria-dos pelosalunos no Megalogo.Assuntos como:

sis-EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EMREVISTA - RS

temas de medidas, ângulos, números Irracionais, relações métricas entre triângulos (teorema de Pitáqoras). trigonometria, relações métricas em polígonos regulares e em círculos. Em meio ae s-sesconteúdos maisvoltados àgeometria, também foi possível desenvolver bastante aparte algébri-ca, que está diretamente relacionada aisso.

Os projetos finais elaborados pelos alunos envolviam grande parte desses assuntos da mate -mática em seu contexto. Foram criadas diversas figuras: comoasmostradas noitem anterior (bar -cos e automóveis), casas em perspectiva 3D, rádi-os, robôs eoutros.

Ointeressante disso tudo é que por mais precários que tenham sido osrecursos, o acesso aos computadores, otrabalho em grupos grandes, as dificuldades iniciais dedomínio das primitivas e o auxílio do professor emcada grupo, o aprovei -tamento cognitivo dosalunos foi excelente. Diver-sosalunos queantes não se mostravam i nteressa-dosnasaulas dematemática, agora estavam aten-tos e participativos aos processos que ali ocorri-am. Além disso, os projetos finais, de produção dospróprios alunos, tiveram oque mais se espe-rava deles, um bom embasamento matemático. Considerações finais

Na aplicação feita percebeu-se o extremo interesse queosalunos têm para explorar o com-putador. Não aproveitar esse entusiasmo para in-tercalar aíassuntos queserelacionam diretamente com as aulas deMatemática seria uma perda de potencial nadesenvoltura das aulas. Esse interesse dos alunos nãodeveser desperdiçado, poisauxiliar naaprendizagem denovosconteúdos Matemáticos usando somente quadro e giz pode causar muito desconforto aoprofessor,e, por vezes, frustrações nos educandos. É claro que há várias barreiras a serem-rompidas, comoo acessoaos computadores, quecontinua precário emdiversas escolas,ea mo-tivação dealguns alunospara participarem das au-las (pois há diversos alunos que estão na escola, não por interesse próprio). Essas barreiras que o professor encontra sãomais fáceis de serem rompi -dasquando sebusca oconhecimento nointeresse do aluno, permitindo que ele apresente suas ne-cessidades.Neste caso, umaplicativo computacional como a linguagem LOGO,ébemvindo, pois faz com que o alunotenha que se aprofundar em Matemá -tica para explorá-Iadandosignificado as saberes de que ela (a Matemática) trata.

EDUCAÇÃO MATEMÁTICA EM REVISTA - RS

Aprender a conhecer; aprender a fazer; aprender

a ser eaprender aviver juntos.

Sabemos que estamos apenas fazendo um

corte parcial. analisando alguns aspectos especí

-ficos, mas acreditamos que desta forma ajuda

-mos o aluno a construir seus conhecimentos,

de-volvendo-lhe a participação ativa nos processos

de apropriação dos saberes, em especial, neste

caso, da matemática.

Mais do que fenômeno tecnológico, a

cibercultura se afirma como realidade social de

outro estilo, capaz derevitalizar a efervescência

que a modernidade tentou reduzir e canalizar para

os intentos de uma racionalidade instrumental

apenas monolítica (MARQUES,p.143)

No entanto, não podemos deixar de

relaci-onar estes saberes com a formação geral do edu

-cando. Ousamos afirmar que o trabalho com

pro-jetos emambiente delinguagem LOGOno ensino

da Matemática corrobora a educação proposta pe

-los quatro pilares explicitados por DELORSna sua

obra "Educação: Um Tesouro a Descobrir", que são:

Referências

PAPERT,Seyrnour. LOGO:computadores e

edu-cação. 3ed. São Paulo: Brasiliense, 1988.

PAPERT,Seyrnour.A máquina das crianças -

re-pensando a escola na era da informática. 1 ed.

Porto Alegre: Artes Médicas, 1994.

VALENTE,José Armando. O professor no

ambi-ente LOGO:Formação e Atuação. Campinas:

UNlCAMP/NIED,1996.

MARQUES, Mario Osorio. A escola no

computa-dor: Linguagens rearticuladas, educação outra.

ljuí: UNIJUÍ,1999.

DELORS, Jacques. EDUCAÇÃO: um tesouro a

descobrir. 5ed.São Paulo: Cortez; Brasília: MEC:

UNESCO,2001.

'Autor responsável - Mestre em Modelagem Matemática. Professor da Rede Municipal de Ensino Fundamental de Ivoti

-alexandremolter@bol.com.br. Mestre em Educação. 2Professor-coordenador da Informática Educativa, Instituto Superior de

Educação Ivoti - ISEI.vanderlei@isei.edu.br