GERAÇÃO DE NÚMEROS ALEATÓRIOS PARA A SIMULAÇÃO DE AMBIENTES

WCMC 2002 – IV Brazilian Workshop on Wirless Communications and Mobile Computing

G

ERAÇÃO DE

N

ÚMEROS

A

LEATÓRIOS PARA A

S

IMULAÇÃO DE

A

MBIENTES

DE

P

ROPAGAÇÃO NÃO

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C

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VILA(1)

, R

AUSLEY

A. A.

DE

S

OUZA(2) E

S

ANDRO

A

DRIANO

F

ASOLO(2)

(1)

_{CEDET – Centro de Desenvolvimento Profissional e Tecnológico}

R. Ângelo Vicentin, 70 – Campinas – SP – CEP 13.084-640

telefone : +55-19-3249-1698 fax: +55-19-3249-0580

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(2)

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RESUMO

Este artigo apresenta uma solução para o problema de

geração de números aleatórios, procedimento

fundamental para a simulação de canais rádio-móveis, em ambientes de propagação não-homogêneos. Os ambientes de propagação não-homogêneos podem ser descritos por

distribuições estatísticas como a κ−µ [1], que é uma

distribuição geral que tem como casos particulares as

distribuições de Rice, Rayleigh e Nakagami-m

amplamente utilizadas em análises de sistemas de

comunicação digital sem fio. A distribuição κ−µ atende

com melhor precisão a descrição estatística de canais rádio-móveis, modelando situações em que as outras distribuições tem dificuldade de ajuste. Entretanto, a

distribuição κ−µ apresenta grandes dificuldades na

geração de números aleatórios para a simulação de canal devido a sua complexidade e da dificuldade de obtenção de uma CDF (Cumulative Distribution Function) inversível. Desenvolvemos um procedimento de geração

de números aleatório para a distribuição κ−µ, baseado

no método de Aceitação-Rejeição [2] que apresenta grande conformidade com as curvas teóricas.

1. INTRODUÇÃO

Na análise de desempenho e no projeto de sistemas de comunicação digital sem fio, existe a necessidade de um modelo estatístico que descreva as características de desvanecimento do ambiente de propagação. Com esse modelo, é possível avaliar a probabilidade de erro nas transmissões digitais e com isso projetar proteções adequadas para a informação ou avaliar o desempenho de outras quando submetidas às degradações impostas pelo canal.

A grande maioria dos modelos estatísticos propostos na literatura tratam de ambientes homogêneos, tais como Nakagami-m, Rice e Rayleigh. Essas distribuições são obtidas a partir da hipótese de um campo de espalhamento difuso homogêneo, ou seja, aquele no qual as seguintes características são normalmente aceitas como válidas [3]:

• grande número de ondas parciais,

• amplitude das ondas parciais idênticas,

• nenhuma correlação entre as diferentes ondas parciais,

• nenhuma correlação entre fase e amplitude de uma onda parcial, e

• distribuição de fase homogênea entre 0 e 2π. Entretanto, na prática, os ambientes são não-homogêneos e portanto, distribuições como a κ−µ são mais precisas na descrição do ambiente de propagação. A distribuição κ−µ é dada por [1]: ×     Ω Ω + = Ω ₋ + µ µ µ µκ κ κ µ κ µ r r p ) exp( ) 1 ( 2 ) , , ; ( 2 1 2 1

(

)

        Ω +             Ω + −µ(1 κ) r Iµ− 2µ κ 1 κ r exp 1 2 , (1)

onde Ω=E(r2 ) é a potência média, Iν(.) é a função de

Bessel modificada de primeiro tipo e ordem arbitrária ν (ν real), κ é a taxa entre a potência total das componentes dominantes e a potência das ondas espalhadas, e a variável

( )

2 2 2 2 1 2 1 κ + κ + × = µ ) r ( Var ) r ( E . (2) onde

(

)

2 1 2 1 1 2 _≥ + + κ κ µ . (3)

Em um ambiente não-homogêneo, o sinal é composto de vários clusters com ondas provenientes dos múltiplos percursos. Dentro de cada cluster, as fases das ondas são aleatórias e tem atrasos temporais semelhantes e, entre os vários clusters, os atrasos das ondas são relativamente grandes. Por hipótese, no caso κ−µ, assume-se que as ondas dos múltiplos percursos dos vários clusters possuem potências idênticas, mas dentro de cada cluster existe uma componente dominante [4]. A Figura 1 ilustra um ambiente de propagação que pode ser descrito por uma distribuição

κ−µ.. Prédio Móvel Cluster Cluster Cluster Prédio Direção da ERB

Fig. 1 : Ilustração do mecanismo de propagação em um ambiente κ−µ.

Note que a distribuição κ−µ pode derivar outras distribuições através de transformações extremamente simples, como a distribuição de Rice fazendo µ=1 na

Equação 1. A estatística de Rice gera a de Rayleigh quando κ→0e aproxima a de Nakagami-m fazendo

(

1

)

1+ −

− =

κ m mm , onde m é o parâmetro de Nakagami. Neste artigo iremos apresentar uma proposta para a geração de números aleatórios com a distribuição κ−µ, procedimento fundamental para a simulação de canais com essa característica. A grande complexidade da distribuição

κ−µ nos trouxe dificuldades para a utilização de procedimentos tradicionais de simulação como o método da Inversão, e por isso a proposta deste trabalho é a utilização do método da Aceitação-Rejeição que apresenta grande conformidade com as curvas teóricas.

2. GERAÇÃO DE NÚMEROS

ALEATÓRIOS PARA A SIMULAÇÃO DE

AMBIENTES DE PROPAGAÇÃO

Dentre as ferramentas necessárias para a simulação de sistemas de transmissão digital destaca-se a geração de números aleatórios distribuídos de acordo com uma determinada PDF (Probability Density Function – Função Densidade de Probabilidade). A geração de números aleatórios de acordo com uma certa distribuição é o ponto inicial para a simulação dos canais rádio móvel. Dentre as contribuições mais recentes está o trabalho de Yacoub et al. [5] para a geração de números aleatórios com a distribuição de Nakagami-m para valores de m múltiplos de 1/2.

Existem vários métodos para a geração de números aleatórios tais como Inversão, Composição e Convolução. A escolha de qualquer um dos métodos citados depende de sua eficiência e adequação de aplicabilidade para uma determinada distribuição.

Como exemplo, vamos analisar o uso do método da inversão para a distribuição κ−µ. No método da inversão procura-se inicialmente obter a CDF da distribuição de probabilidades. Para κ−µ. a CDF é dada por

(

)

[

]

(

)

[

2 1 y

]

dy I y ) 1 ( exp y ) exp( ) 1 ( 2 , ; F 1 0 2 2 1 2 1 κ κ µ κ µ µκ κ κ µ µ κ ρ µ ρ µ µ µ + × + − + = − − +

∫

(4)

obtida pela substituição da Equação 1 na própria definição de CDF:

( )

∫

( )

∞ −

∞

<

<

∞

=

≤

=

x

x

,

du

u

p

)

x

X

(

P

x

F

(5)

Depois de definida a CDF, devemos achar a função inversa, o que no caso da Equação 4 não foi possível obter. Desta forma, aplicar o tradicional método da Inversão para a distribuição κ−µ não é possível, já que a CDF de κ−µ não é inversível.

Avaliamos as possibilidades de métodos para a geração de números aleatórios com a distribuição κ−µ e encontramos no método da Aceitação-Rejeição uma eficiência e adequação suficientes. O método é genérico podendo ser aplicado para quaisquer valores de κ e µ.

2.1 Método da Aceitação-Rejeição

O método da Aceitação-Rejeição [2] necessita que especifiquemos uma função t(x) que seja majoritária em relação a PDF p(x) que se deseja gerar, ou seja,

)

(

)

(

x

p

x

t

≥

para todo x. A função t(x) não será uma FDP já que

( )

( )

∫

∫

∞ ∞ − ∞ ∞ −

=

≥

=

t

x

dx

p

x

dx

1

c

(6) mas a função

( ) ( )

x

t

x

c

r

=

(7)

claramente é uma PDF. Este método é capaz de gerar uma variável aleatória Y com PDF r e segue o procedimento do seguinte algoritmo geral:

1. Gerar Y tendo uma distribuição qualquer (Uniforme, gaussiana, exponencial, etc).

2. Gerar uma distribuição uniforme U ~ U(0,1), independente de Y.

3. Se

U

≤

p

( ) ( )

Y

t

Y

, retornar X = Y. Caso contrário, retornar para o passo 1 e tentar novamente. O algoritmo continua realizando o processamento até serem gerados N números aleatórios X distribuídos de acordo com a distribuição p(x) desejada. A formalização da validade deste método pode ser encontrada em [2], sendo que, como demonstrado também em [2] a probabilidade de aceitação no passo 3 do algoritmo é

1

c

.

3. GERAÇÃO DE NÚMEROS

ALEATÓRIOS DE ACORDO COM A

DISTRIBUIÇÃO

κ−µ

κ−µ

κ−µ

κ−µ

Utilizando o método da Aceitação-Rejeição descrito na Seção 2.1 deste artigo geramos números aleatórios distribuídos de acordo com a PDF de κ−µ. (Equação 1). Como exemplo de aplicação, vamos considerar a distribuição κ−µ com κ = 0,69, µ = 1,25 e m = 1,5. O valor máximo para a PDF da distribuição κ−µ neste caso é 0,9725. Para simplificar, vamos assumir que a função t(x),

que é majoritária em relação a PDF de κ−µ, é uma reta, o que levará r(x) a ser uma função uniformemente distribuída. Desta forma, temos que t(x) = 0,9725. Calculando-se a constante c através da Equação 6, com limites de integração de 0 a 3, obtemos c =2,9175 logo, através da Equação 7, r(x) = 1/3 que é uma função uniformemente distribuída de 0 a 3. A Figura 2 ilustra as funções t(x), r(x) e p(x). 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 t(x) r(x) p(x) 0,9725 1/3 x

Fig. 2: f(x), t(x) e r(x) para o método de Aceitação-Rejeição para a distribuição κ−µ com os parâmetros κ =

0,69, µ = 1,25 e m = 1,5.

As Figuras 3 a 6 apresentam um comparativo entre a PDF teórica e a PDF gerada a partir do método da Aceitação-Rejeição para vários valores de κ, µ e m, demonstrando a grande precisão obtida no processo de geração de números aleatórios adotado. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 κ = 0,69;µ = 1,25 ρ p( ρ ) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Fig. 3: Comparativo entre a PDF teórica de κ−µ e a PDF

gerada a partir do método da Aceitação-Rejeição para

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ρ p(ρ ) κ = 10,48;µ = 0,25

Fig. 4: Comparativo entre a PDF teórica de κ−µ e a PDF gerada a partir do método da Aceitação-Rejeição para

κ=10,48, µ=0,25 e m=1,5. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,2 0,4 0,6 0,8 ρ p(ρ ) κ = 0,69;µ = 0,625

Fig. 5: Comparativo entre a PDF teórica de κ−µ e a PDF gerada a partir do método da Aceitação-Rejeição para

κ=0,69, µ=0,625 e m=0,75. 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 0 0,5 1 1,5 2 2,5 κ = 10,48;µ = 0,125 p( ρ ) ρ

Fig. 6: Comparativo entre a PDF teórica de κ−µ e a PDF

gerada a partir do método da Aceitação-Rejeição para

κ=10,48, µ=0,125 e m=0,75.

4. CONSIDERAÇÃO SOBRE O MÉTODO

DA ACEITAÇÃO-REJEIÇÃO

A aplicação do método da Aceitação–Rejeição pressupõe a geração de um grande número de amostras e a utilização de parte destas amostras, se a condição do passo 3 no algoritmo anteriormente descrito, for atendida. Por isso um grande número de amostras podem ser rejeitadas dentro processo de geração dos números. Para efeito de avaliação da proporção entre aceitação e rejeição de amostras, a Tabela 1 apresenta o número de amostras geradas e o percentual de aproveitamento dessas amostras para cada par de valores de κ e µ. Como pode ser observado a porcentagem de aproveitamento está exatamente de acordo com a razão 1/c que foi utilizada como função t(x) [2].

Tabela 1: Comparativo entre as porcentagens de

amostras aceitas utilizando o Método da Aceitação – Rejeição na distribuição κ−µ.

% de aproveitamento κ µ m Amostras geradas Teórico (1/c) Prático 0,01 1,5 1,5 457644 10,93 10,92 0,69 1,25 1,5 434734 11,43 11,47 1,37 1 1,5 425711 11,70 11,74 2,41 0,75 1,5 422091 11,86 11,84 4,45 0,50 1,5 420554 11,93 11,88 10,48 0,25 1,5 418446 11,97 11,94 28,49 0,10 1,5 426828 11,98 11,71 0,01 0,750 0,75 350213 14,28 14,27 0,69 0,625 0,75 323921 15,40 15,43 1,37 0,500 0,75 298281 16,73 16,76 2,41 0,375 0,75 531365 9,37 9,40 4,45 0,250 0,75 894655 5,67 5,58 10,48 0,125 0,75 1124681 4,68 4,44 28,49 0,05 0,75 825359 6,96 6,05

É importante ressaltar que foi utilizada uma função t(x) constante o que produz uma PDF r(x) uniformemente distribuída.

Vimos também que o método desenvolvido é geral e, portanto, não precisamos utilizar apenas uma PDF uniforme. Para aumentar a porcentagem das amostras aceitas, podemos utilizar várias funções uniformemente distribuídas, ou mesmo outro tipo de PDF, com o objetivo de diminuir a área abaixo de t(x). Com isto estaremos aumentando a probabilidade de aceitação de amostras e, portanto, aumentando a eficiência do método em termos de aceitação das amostras.

4. CONCLUSÕES

Este artigo apresentou uma solução para o problema de geração de números aleatórios em ambientes de propagação não-homogêneos descritos pela distribuição de probabilidades κ−µ. Como essa distribuição é geral pois apresenta como casos particulares as distribuições de Rice, Rayleigh e Nakagami-m, temos que indiretamente o trabalho se aplica a essas distribuições também. Como vimos, a distribuição κ−µ apresenta grandes dificuldades de geração de números aleatórios para a simulação de canal devido a sua complexidade e da dificuldade de obtenção de uma CDF inversível. Por isso desenvolvemos um procedimento de geração de números aleatórios baseado no método de Aceitação – Rejeição que apresenta grande conformidade com as curvas teóricas como pode ser observado nas figuras da seção 3 deste artigo. É importante ressaltar a importância desse trabalho para a implementação de simuladores de canal rádio-móvel, que dependem de um procedimento eficiente e preciso para a geração de números aleatórios como o que foi desenvolvido.

5. REFERÊNCIAS

[1] M. D. Yacoub, “The κ−µ Distribution”. XIX Simpósio

Brasileiro de Telecomunicações, 2001.

[2] Law, Averill, M. Simulation modeling and analysis, 3rd ed. 2000

[3] W R. Braun and U. Dersch, “A physical mobile radio

channel model.” IEEE Trans. Veh. Technol. Vol. 40, no.

2, pp. 472-482, May 1991.

[4] R. A. A. de Souza, “Análise de desempenho de técnicas de comunicação digital em canais com distribuição

κ−µ, desvanecimento lento e não seletivo em freqüência”, Dissertação de Mestrado – Inatel, Junho de 2002.

[5] M. D. Yacoub, J. E. V. Bautista, L. G. R. Guedes “On

Higher Order Statistics of the Nakagami-m distribution”

IEEE Transaction on Vehicular Technology, vol. 48, No. 3, May 1999.