Cap4-Analise de Circuitos AC

Capítulo 4 - Análise de Circuitos AC

Prof. Marco Pereira

Escola Náutica Infante D. Henrique

Departamento de Engenharia Marítima

Tensão e Corrente Sinusoidal

Corrente alternada (AC) é aquela que alterna a sua direção no circuitos de forma cíclica. Esta corrente surge porque a fonte de tensão alterna a sua polaridade entre o positivo e o negativo.

No caso de o circuito elétrico ser composto só por resistências, em metade do ciclo a fonte da tensão impõe uma corrente elétrica no circuito numa direção e vice-versa:

Fontes AC (Geradores)

A rotação de uma espira de fio condutor num espaço onde há um campo magnético faz variar o fluxo magnético que passa na espira de forma cíclica. Essa variação de fluxo magnético irá induzir uma força eletromotriz (fem) na espira de acordo com a lei de Faraday.

Em metade do ciclo da rotação o fluxo magnético está a diminuir produzindo tensão positiva (arcada positiva) e na outra metade o fluxo magnético está a aumentar produzindo tensão negativa (arcada negativa).

Amplitude, Valor Pico-a-Pico

Amplitude: é a distância entre o valor médio e o valor máximo (ou o valor mínimo

porque à simetria).

Valor pico-a-pico: é a distância entre o valor máximo e o valor mínimo (E_pp).

Frequência

Frequência: número de ciclos por segundo. Unidade da frequência: hertz [Hz]

f

= 1 Hz = 1 ciclo por segundo O range de frequências é imenso:

• 50 Hz  rede de energia elétrica (60 Hz USA) • 20 Hz até 20 kHz  som

• 88 MHz até 108 MHz  rádio FM • 2.4 GHz até 2.5 GHz  Wi-Fi

Período

Período: duração de cada ciclo. Unidade do período: segundo [s]

T =

1

𝑓

[s]

Frequência Angular

Frequência angular: numero de ciclos de 360º por segundo. Unidade (rad/s).

ω = 360º f = 2 π f

[rad/s] 

ωt

corresponde à posição angular [ º ]

Função que representa uma onda sinusoidal

v(t) = V

_m

sin(ωt)

Fase

Se a sinusoide não começar em zero quando

t

= 0 s, diz-que tem um desvio de fase.

Fase = θ [graus º]

Função que representa uma sinusoide fica: v = V_m sin(ωt + θ)

A onda pode estar em avanço ou em atraso em relação à origem. Este conceito também se pode estender quando temos duas sinusoides.

Expressão Matemática da Sinusoide

O comportamento da grandeza elétrica sinudoidal é representado da seguinte forma:

E_m– corresponde à amplitude da sinusoide

E_média– corresponde ao valor médio da sinusoide.

α – corresponde à posição angular relativa da espira durante a sua rotação no gerador.

Posição angular para uma rotação constante:

No instante inicial (t=0s) a sinusoide pode não estar na posição zero, ou seja, a posição angular é diferente de zero radianos. Diz-se que há deslocamento de fase de

θ radianos.

( )

_m

sin

_média

e t



E





E

t

Valor Médio

Valor médio: numa função períodica corresponde ao cálculo da área da função a

dividir pelo valor do período:

Ou seja, o valor médio é valor DC de um sinal. O valor médio de uma sinusoide é zero.

0 1 ( ) T média E e t dt T 



Valor Eficaz (RMS) de uma Sinusoide

Apesar da corrente alternada mudar de direção no circuito em cada ciclo, os componentes elétricos puramente resistivos dissipam energia em ambas as direções! Portanto, a multiplicação do valor médio da sinusoide da corrente (que é nulo) pelo valor médio da tensão (também nulo), não representa a potência dissipada na resistência!

O valor eficaz é calculado da seguinte forma:

A energia é medida através do valor eficaz (ef) ou valor rms:

ou

Assim, a potência dissipada numa resistência será: ou 0.707 2 m ef m V V   V 0.707 2 m ef m I I   I 2 2 2 m ef R I P  R I  2 ₂ 2 ef _m V _V P R R   2 0 1 ( ) T ef rms V V v t dt T  



Fasor

Fasor é um vetor de fase a rodar em torno de um ponto, cuja projeção num eixo

vertical representa o valor da grandeza elétrica sinusoidal num determinado instante. O comprimento do fasor é igual à amplitude E_m, a sua velocidade de rotação é a frequência angular ω, e o ângulo no instante inicial é a fase θ.

Típicamente representa-se o fasor no instante inicial (t=0):

Notação fasoral:

m

Representação da Tensão e Corrente AC com

Números Complexos

Somar e subtraír grandezas sinusoidais no domínio do tempo resulta em calculos bastante complicados. Por exemplo se somar duas tensões AC:

e A tensão resultante fica:

Trabalhar com somas/subtrações de funções trigonométricas é complicado! Portanto, é necessário arranjar um método alternativo que facilite as contas com grandezas sinusoidais.

E se recorrermos aos fasores?

Repare que um fasor é uma forma vetorial de representar uma sinusoide.

1

10sin(

)

v





t

v

₂



15sin(



t



60º )

1 2

10sin(

) 15sin(

60º )

Representação da Tensão e Corrente AC com

Números Complexos

Um fasor é um vetor e como tal pode ser representado por um número complexo (na forma polar ou na forma retangular). A estas grandezas representadas por fasores (através de números complexos) chama-se de tensão complexa / corrente complexa. Por exemplo uma corrente sinusoidal pode ser convertida diretamente para o fasor da corrente (corrente complexa) na forma polar:

O mesmo acontece para uma tensão sinsusoidal, por exemplo:

Diz-se que houve transformação do domínio do tempo para o domínio complexo.

Nota: No fasor não há informação sobre a frequência! Considera-se que a frequência é conhecida.

( )

2sin(400

40º )

2 40º

i t



t



  

I

1

( )

15sin(

60º )

1

15 60º

Representação da Tensão e Corrente AC com

Números Complexos

Resumindo: V t Vm -Vm 50 100 150 200 250 300 350 0 400 -6 0 6 -12 12 time, nsec TR A N .vd c, V _φ Im Re φ Vm Diagrama Vetorial Diagrama Temporal

sin(

)

m

V



V



t





V



V

_m





Revisão Números Complexos

Forma algébrica (retangular): 𝑍 = 𝑎 + 𝑗𝑏

Forma trigonométrica (polar): 𝑍 = 𝜌∠𝜃 𝜌 = 𝑎2 _{+ 𝑏}2 _{, 𝜃 = tan}−1 𝑏 𝑎 𝑎 = 𝜌 cos 𝜃 , 𝑏 = 𝜌 sin 𝜃 𝜌 Exemplo

Revisão Números Complexos

Relações da grandeza imaginária j

• 𝑗2 = −1, 𝑗3 = −𝑗, 𝑗4 = 1, 𝑗5 = 𝑗, 𝑒𝑡𝑐 … • 𝑗 × −𝑗 = 1 • 1 𝑗 = −𝑗 • Soma e subtração • 𝑍₁ ± 𝑍₂ = 𝑎 + 𝑗𝑏 ± 𝑐 + 𝑗𝑑 = 𝑎 ± 𝑐 + 𝑗 𝑏 ± 𝑐 • Multiplicação • 𝑍₁ × 𝑍₂ = 𝜌₁∠𝜃₁ × 𝜌₂∠𝜃₂ = 𝜌₁𝜌₂∠ 𝜃₁ + 𝜃₂ • Divisão • 𝑍1 𝑍₂ = 𝜌₁∠𝜃₁ 𝜌₂∠𝜃₂ = 𝜌₁ 𝜌₂∠ 𝜃1 − 𝜃2 • Inverso • 1 𝑍 = 1 𝜌∠𝜃 = 1 𝜌∠ − 𝜃 • Conjugado • 𝑍∗ = 𝑎 + 𝑗𝑏 ∗ = 𝑎 − 𝑗𝑏

Representação da Tensão e Corrente AC com

Números Complexos

O fasor é a representação complexa da grandeza sinusoidal. A representação complexa da grandeza sinusoidal tem as seguintes propriedades:

1. Unicidade : Há uma correspondência biúnivoca entre a grandeza sinusoidal e a

sua amplitude complexa.

2. Linearidade: A amplitude complexa de uma combinação linear de grandezas

sinusoidais com a mesma frequência é a combinação linear das amplitudes complexas.

3. Derivação: A amplitude complexa da derivada de uma grandeza sinusoidal

obtém-se multiplicando por j𝝎 a amplitude complexa da grandeza,

19

x(t) Xcorrespondência_biunívoca

a₁ x₁(t) + a₂ x₂(t) a₁ X₁ + a₂ X₂

𝒅

𝒅𝒕 x(t) j𝝎X

Representação da Tensão e Corrente AC com

Números Complexos

Todas as leis de análise de circuitos DC (lei de Ohm, lei das malhas, lei dos nós, etc..) podem ser aplicas igualmente nos circuitos AC.

Se uma corrente 𝑖(𝑡 = 2sin(400𝑡 + 40 atravessar uma resistência de 150Ω pela lei de Ohm tem-se:

Segundo a propriedade da linearidade é possível fazer o mesmo processo no domínio complexo:

( )

( )

300sin(400

40º )

v t



R i t



t



150

2 40º

300 40º

V



R I



 





v(t) i(t) R V I R

Representação da Tensão e Corrente AC com

Números Complexos

A lei das Malhas (KVL) também se aplica no domínio complexo:

Aplicando a lei das malhas no domínio do tempo: No domíno complexo:

Voltando novamente ao domínio do tempo:

21

Nota: a soma de números complexos na forma retangular é muito simples.

3

( )

1

( )

2

( )

3

( )

10sin(

) 15sin(

60º )

v t



v t



v t



v t





t





t



M1 v1(t) M1 V3 V1 V2 v2(t) v3(t) v1(t) = 10 sin(ωt) v2(t) = 15 sin(ωt + 60º) 1 2 10 0º 15 60º 10 0 7,5 13 17,5 13 21,8 37º V V       j   j   j   3

( )

21,8sin(

37º )

v t





t



Representação da Amplitude do Fasor

Típicamente a amplitude do fasor corresponde ao valor eficaz (rms) da grandeza elétrica (corrente/tensão) em vez da amplitude.

Por exemplo, a tensão AC: Onde a amplitude é

Logo o valor rms será

Então o fasor (ou tensão complexa) será

( )

10sin(

30º )

v t





t



10 V

m

V



10 2 2 m rms V V  

10

30º

2

V





Impedância

A impedância (também conhecida por resistência complexa) é a oposição que um elemento elétrico faz à passagem de corrente AC quando é submetido uma tensão AC. Aplicando a lei de Ohm no domínio complexo:

A magnitude da impedância equivale à razão entre as amplitudes da tensão e da corrente (Z), enquanto que a fase da impedãncia corresponde ao desfasamento entre a tensão e a corrente (θ_Z).

A impedância é um número complexo, logo também pode ser representado na forma retangular: Z V Z I 

V



Z I

( ) m Z v i m V Z Z Z I







       V I Z Z Z  Z



 Z  R jX

R – parte real da impedância - Resistência

Admitância

A admitância é o inverso da impedância:

A admitância é um número complexo, na sua forma retangular tem-se:

A admitância é útil para cálculos com circuitos paralelo nas redes reativas (tal como acontece com a condutância nas redes resistivas):

1

Y

Z



Y

 

G

jB

G – parte real da admitância - Condutância

B – parte imaginária da admitância - Susceptância

Y1

Y

Yeq=Y1+Y2

Resistência com excitação AC

Os elementos resistivos, capacitivos ou indutivos quando excitados por uma fonte AC, as tensões e correntes elétricas no elementos também são sinusoidais com a mesma frequência da fonte AC.

No caso de uma resistência:

No caso de elementos puramente resistivos a corrente e tensão estão sempre em fase! No domínio complexo tem-se:

A impedância de uma resistência é R, ou seja, só tem parte real.

( ) _R( ) _m sin( ) e t  v t V t ( ) ( ) R m sin( ) sin( ) R m V v t i t t I t R R      R R R R V V I R R I    R R R V Z I  

Bobina com excitação AC

Seja a função da corrente elétrica imposta na bobina, a tensão aos terminais da bobina a qualquer instante será:

Numa bobina (elemento indutivo) a corrente elétrica tem atraso de 90º em relação à tensão nos seus terminais, ou seja, a tensão tem um avanço de 90º em relação à corrente.

A tensão complexa será , onde: e

A impedância de uma bobina tem apenas parte imaginária (positiva): ( ) sin( ) L m i t  I t ( ) L cos( ) sin( 90º ) L m m di v t L L I t L I t dt         m m V L I _v  90º L m v V V  90º 0 L L L V Z L j L I





     Reatância indutiva X_L= ωL

Condensador com excitação AC

Seja a função da tensão elétrica imposta no condensador, a corrente aos terminais do condensador a qualquer instante será:

Num condensador (elemento capacitivo) a corrente elétrica tem avanço de 90º em relação à tensão nos seus terminais, ou seja, a tensão tem um atraso de 90º em relação à corrente. A corrente complexa será , onde:

e

A impedância de um condensador tem apenas parte imaginária (negativa): ( ) sin( ) C m v t V t ( ) C cos( ) sin( 90º ) C m m dv i t C C V t C V t dt         m m I C V _i  90º L m i I  I  1 1 90º 0 C C C V Z j C C I





      Reatância Capacitiva X_C= 1/(ωL)

Associação de Impedâncias

A

série

de impedâncias é igual à soma das impedâncias. Para facilitar os cálculos a soma deve ser efetuada com a notação retangular.

Caso particular de duas impedâncias em série:

eq i

Z





Z

I

Z1 Z2 I Zeq

Associação de Impedâncias

O

paralelo

de impedâncias é igual à soma das admitâncias.

Caso particular de duas impedâncias em paralelo:

eq i

Y





Y

Z1 Z2 Z_eq Z1+Z2 Zeq = 1 1 1

Divisor de Tensão

A equação do divisor de tensão resistivo pode ser aplicada da mesma maneira num circuito com impedâncias, basta substituir as resistências por impedâncias.

Nota:As impedâncias devem ser usadas na forma polar por questões de simplicidade de cálculos. Caso particular para a divisão de tensão entre duas impedâncias:

Z1 Z2 E V1 V2 x x Zx x E eq eq eq Z Z V E E Z Z  _       1 1 1 2 E Z V E Z Z     2 2 1 2 E Z V E Z Z    

Divisor de Corrente

A equação do divisor de corrente resistivo pode ser aplicada da mesma maneira num circuito com admitâncias (impedâncias), basta substituir as resistências por impedâncias.

Caso particular para a divisão de corrente entre duas impedâncias:

x x Yx x I eq Yeq eq Y Y I I I Y Y  _       2 1 1 2 I Z I I Z Z     1 2 1 2 I Z I I Z Z     Z1 Z2 I1 I I2

Teorema da sobreposição, equivalentes Thévenin e

Norton em AC

O teorema da sobreposição e os equivalentes de Thévenin e de Norton são aplicados nas redes AC de forma idêntica à sua aplicação nas redes DC.

Efeito da frequência na impedância

A reatância indutiva e capacitiva é dependente da frequência:

Circuito RC série Circuito RC paralelo Circuito RL série Circuito RL paralelo 𝑍_𝑇 = 𝑅 − 𝑗 1 𝜔𝐶 𝑍𝑇 = 𝑅 1+𝑗𝜔𝑅𝐶 𝑍𝑇 = 𝑅 + 𝑗𝜔𝐿 𝑍𝑇 = 1 1−𝑗 𝑅 𝜔𝐿 Frequência 𝑋𝐿 = 𝜔𝐿 𝑋𝐶 = 1 𝜔𝐶 DC – 0 Hz 0 Ω – Curto-circuito ∞ Ω – Circuito-aberto Alta-frequência ∞ Ω – Circuito-aberto 0 Ω – Curto-circuito

Ressonância e resposta em frequência

Vimos que nos condensadores e nas bobinas a sua impedância variava com a

frequência. Mas também sabemos que a reatância da bobina equivale a um número

complexo imaginário positivo e para o condensador equivale a um número complexo

imaginário negativo. Quando a reatância da bobina é igual à reatância do

condensador a impedância do circuito será somente o elemento puro resistivo.

Chama-se a este ponto a ressonância do circuito.

Ressonância no circuito série RLC

A impedância total do circuito é dada por:

𝑍_𝑇 = 𝑅 + 𝑗 𝑋_𝐿 − 𝑋_𝐶 Onde a sua magnitude será:

𝑍_𝑇 = 𝑅2 + 𝑋_𝐿 − 𝑋_𝐶 2 Na ressonância:

𝑋_𝐿 = 𝑋_𝐶 ⟺ 𝜔𝐿 = 1

𝜔𝐶 logo a frequência de ressonância: 𝜔0 = 1 𝐿𝐶 Da lei de Kirchhoff:

𝐸 = 𝑉_𝑅 + 𝑉_𝐿 + 𝑉_𝐶 = 𝑅 𝐼 + 𝑗𝑋_𝐿 𝐼 − 𝑗𝑋_𝐶 𝐼 Multiplicando pela corrente complexa conjugada:

𝐸 𝐼∗ = 𝑅𝐼2 + 𝑗𝑋_𝐿𝐼2 − 𝑗𝑋_𝐶𝐼2 = 𝑃_𝑅 + 𝑗𝑄_𝐿 − 𝑗𝑄_𝐶 Na ressonância:

Fator de Qualidade (Série)

Nos circuitos ressonantes define-se o fator de qualidade como a razão entre a potência reativa num elemento L ou C e a potência ativa no elemento R.

𝑄 = 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

No caso de associarmos o fator de qualidade aos elementos R e L em série temos o fator de qualidade da bobina em série

𝑄_{𝐿(𝑠é𝑟𝑖𝑒} = 𝑋𝐿𝐼 2 𝑅𝐼2 =

𝜔𝐿 𝑅

No caso de associarmos o fator de qualidade aos elementos R e C em série temos o fator de qualidade do condensador em série:

𝑄_{𝐶(𝑠é𝑟𝑖𝑒} = 𝑋𝐶𝐼 2 𝑅𝐼2 =

1 𝜔𝐶𝑅

Largura de banda

Define-se a largura de banda (BW) como o intervalo de frequências onde o circuito opera “acima” da meia potência. Sendo a potência máxima quando a ocorre a ressonância:

𝑃_𝑚á𝑥 = 𝑅𝐼_𝑚á𝑥2

𝐵𝑊 = 𝜔₂ − 𝜔₁ Relação com o fator de qualidade:

𝐵𝑊 = 𝜔0 𝑄

Ressonância no circuito paralelo RLC

A admitância equivalente do circuito é dada por:

𝑌_𝑒𝑞 = 1 𝑅 + 𝑗 1 𝑋_𝐶 − 1 𝑋_𝐿 Onde a sua magnitude será:

𝑌_𝑒𝑞 = 1 𝑅 2 + 1 𝑋_𝐶 − 1 𝑋_𝐿 2 Na ressonância: 𝑋_𝐿 = 𝑋_𝐶 ⟺ 𝜔𝐶 = 1

𝜔𝐿 logo a frequência de ressonância: 𝜔0 = 1 𝐿𝐶 Da lei de Kirchhoff: 𝐼 = 𝐼_𝑅 + 𝐼_𝐿 + 𝐼_𝐶 = 𝑉 𝑅 + 𝑗 𝑉 𝑋_𝐶 − 𝑗 𝑉 𝑋_𝐿 Multiplicando pela tensão complexa conjugada e invertendo o conjugado final:

𝑉 𝐼∗ = 𝑉 2 𝑅 − 𝑗 𝑉2 𝑋_𝐶 + 𝑗 𝑉2 𝑋_𝐿 = 𝑃𝑅 − 𝑗𝑄𝐶 + 𝑗𝑄𝐿 Na ressonância: 𝑄_𝐿 = 𝑄_𝐶 ⟺ 𝑆 = 𝑃_𝑅

Fator de Qualidade (paralelo)

Nos circuitos ressonantes define-se o fator de qualidade como a razão entre a potência reativa num elemento L ou C e a potência ativa no elemento R.

𝑄 = 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑟𝑒𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎 𝑃𝑜𝑡ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

No caso de associarmos o fator de qualidade aos elementos R e L em série temos o fator de qualidade da bobina em série

𝑄_{𝐿(𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜} = 𝑉2 𝑋_𝐿 𝑉2 𝑅 = 𝑅 𝜔𝐿

No caso de associarmos o fator de qualidade aos elementos R e C em série temos o fator de qualidade do condensador em série:

𝑄_{𝐶(𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜} = 𝑉2 𝑋_𝐶 𝑉2 𝑅 = 𝜔𝐶𝑅

Potência no regime AC

A potência instantânea é sempre dada pela expressão:

Numa impedância puramente resistiva (resistência) a potência é sempre um valor positivo. Significa que a carga recebe (dissipa) energia durante todo o ciclo, mesmo quando a corrente tem o sentido oposto.

Como θ = θ_v = θ_i

( ) ( ) ( )

p t  v t i t

2

( ) _m sin( ) _m sin( ) _{m m} sin ( )

p t V



t 



 I



t 



V I



t 



2 2 2 m m m m média ef ef V I V I P    V I

Potência no regime AC

Quando a impedância não é puramente resistiva há um desfasamento entre a tensão e a corrente elétrica. O produto pode originar um valor positivo (energia recebida) ou um valor negativo (energia fornecida). Isto significa que a fonte pode estar a fornecer energia à carga ora pode receber energia da carga.

Potência Ativa: valor médio da potência instantânea na carga, ou seja, o valor médio de energia

dissipada na carga.  P

Potência no regime AC

Quando a impedância não é puramente resistiva há desfazagem entre a tensão e a corrente elétrica. Portanto, θ_v ≠ θ_i, assim a potência instantânea fica:

onde θ = θ_v – θ_i

A potência média dissipada numa carga (ou potência Ativa) depende do desfasamento entre a tensão e a corrente na carga. Se a corrente e a tensão estiverem em fase a dissipação de potência é máxima (cos(0º)=1). Por outro lado, se a corrente e a tensão tiverem um desfasamento de 90º entre si, a potência dissipida é zero (cos(90º)=0 e cos(-90º)=0).

Então, que tipo de cargas (impedâncias) geram potência ativa igual a zero?

( ) sin( ) sin( ) cos( ) cos(2 )

2 2 m m m m m v m i V I V I p t V



t 



 I



t 











t 



cos( ) cos( ) 2 m m média ef ef V I P 



V I



Potência Ativa (P) :

Potência no regime AC

Cargas indutivas puras (θ = 90º)

Uma carga composta só por uma bobina irá impor uma corrente elétrica no circuito com um atraso de 90º em relação à tensão. Portanto, a potência instantânea será:

O valor médio da potência é nulo! Isto significa que a potência recebida na bobina é devolvida à fonte. Na bobina ideal a potência ativa é nula.

A potência reativa na bobina é ou [VAR]

43

( )

cos(2

90º )

sin(2

)

L ef ef ef ef

p t



V I



t





V I



t

L ef ef

Q



V I

2 2 ef L L ef L

V

Q

X I

X





Potência no regime AC

Cargas capacitivas puras (θ =-90º)

Uma carga composta só por um condensador irá impor uma corrente elétrica no circuito com um avanço de 90º em relação à tensão. Portanto, a potência instantânea será:

O valor médio da potência é nulo! Isto significa que a potência recebida no condensdor é devolvida à fonte. No condensador ideal a potência ativa é nula.

A potência reativa no condensador é ou [VAR]

( )

cos(2

90º )

sin(2

)

C ef ef ef ef

p

t



V I



t



 

V I



t

c ef ef

Potência no regime AC

Cargas genéricas

Nas cargas genéricas (Z) complexas coexistem as duas potências. A potência ativa em Watts:

A potência reativa em VARs:

A potência ativa corresponde à energia dissipada nas resistências, a potência reativa corresponde à energia devolvida pelas bobinas e/ou condensadores.

cos( )

ef ef

P



V I



sin( )

ef ef

Q



V I



Potência no regime AC

Potência Aparente:

corresponde ao valor de amplitude da potência instantânea na rede. É com base no valor desta potência (ou das correntes respetivas) que se faz o dimensionamento das cablagens e sistemas de proteção das instalações elétricas. A sua unidade é o VA.

Chama-se potência aparente porque caso a carga seja composta por parte resistiva e por parte reativa, o valor da potência não representa (v_efI_ef) não representa a potência ativa nem a

potência reativa.

2

m m ef ef

V I

S



V I



2 2 ef ef

V

S



Z I



Potência no regime AC

Potência Complexa:

Considerando o fasor da tensão e da corrente com os seus valores eficazes:

Considerando o fasor da tensão e da corrente com os seus valores de pico (amplitude):

Nota: ef v

V



V





*

S



V I

ef i

I



I





2

m m _v

V

V







2

m m _i

I

I







1

*

2

m m

S



V I

* cos( ) sin( ) V I V I   jV I 

S

 

P

jQ

 

S



Potência no regime AC

Triângulo de Potências:

A relação entre as três potências é dada pelo triângulo de potência, não sendo mais do que as relações trignométricas do triângulo retângulo, ou as relações de um número complexo na forma retangular e polar.

S

 

P

jQ

 

S



S Real Img Q P φ 2 2 2

S



P



Q

Fator de Potência

Fator de potência relaciona a potência ativa e a potência aparente. Isto porque a fonte

fornece o equivalente de energia da potência aparente (S) mas o circuito apenas consome a energia da potência ativa (P) a restante energia volta para a fonte (potência reativa).

Se o fator for positivo trata-se de um fator indutivo, se for negativo trata-se de um fator capacitivo.

Idealmente quer-se que o circuito receba toda a energia que a fonte fornece: F_p=1

Assim a eficiência na entrega de energia por parte da fonte será máxima! Caso contrário a potência reativa que “volta para trás” irá introduzir perdas adicionais devido ao efeito de Joule.

cos( )

P

P

F

S







Porquê rotular os equipamento em VA?

Supondo que temos um gerador com as especificações de 600V e 120kVA.

Se for ligada uma carga resistiva ao gerador ele consegue entregar uma corrente máxima de: 200 A max S I V  

Porquê rotular os equipamento em VA?

Agora quer-se ligar um equipamento ao gerador. O equipamento a ligar tem indicado no rótulo que consome uma potência ativa de 120 kW e que tem um fator de potência de 0,6.

A potência aparente do equipamento é

O gerador só consegue fornecer uma potência aparente de 120kVA. Logo o gerador irá trabalhar acima das especificações (sobrecarga). A corrente máxima de fornecimento que o equipamento precisa é: E se Fp = 1? S = 𝑃 𝐹_𝑃 = 120 0,6 = 200 kVA I_max = 200k 600 = 333 A

Correção do Fator de Potência

Se corrigir o fator de potência para 1 então a potência reativa será nula. O consumo do motor (potência ativa) será igual à potência do gerador (potência aparente). O pico de corrente será menor.

A correção de potência é feita quando a potência reativa total do circuito é zero:

Q_total = Q_condensador + Q_equipamento = 0 VAr

Q_equipamento= 𝑆2 − 𝑃2 = 160 kVAr Q_condensador= - 160 kVAr

Coloca-se um condensador em paralelo com a carga indutiva. O condensador deve gerar uma potência reativa de -6 kVAr de modo a cancelar a potência recativa de 6 kVAr do equipamento.

Correção do Fator de Potência

Na prática quase todas as cargas (industrias,residências, edifícios comerciais)

são indutivas devido à auto-indução dos fios condutores, dos motores e

lâmpadas fluorescentes. Consequentemente a correção do fator de potência é

feita utilizando um banco condensadores em paralelo com a fonte de tensão.

Teorema da máxima transferência de potência

complexa

“A potência entregue a uma carga é máxima quando a impedância da carga é igual ao conjugado da impedância do equivalente de Thévenin”