Gráficos e Funções
Alex Oliveira
Noção de Função
O conceito de função é um dos mais importantes da matemática. Vejamos alguns exemplos:
o Número de litros de gasolina e preço a pagar.
Nesse caso, temos:
P = 2,30x, lei da função ou fórmula matemática da função.
Números de litros Preço a pagar
1 2,30
2 4,60
3 6,90
Noção de Função
o A distância percorrida em função do tempo.
Teremos:
D = 90t, lei da função ou equação da função.
Tempo(h) 1 2 3 t
Noção de Função
o A máquina de dobrar
o Nesse caso, temos:
O número de saída n é igual a duas vezes o número de entrada x. A lei da função é n = 2x.
Dobrar Entrada Saída 1 2 3 3,5 5 x 2 4 6 7 10 2x
Noção de Função
Observe que em ambos os casos, o preço a
pagar
e
a
distância
percorrida
são
determinados em função do número de
litros e do tempo, respectivamente. Onde:
o P = 2,30x
P é a variável dependente.
x é a variável independente.
o D = 90t
D é a variável dependente.
t é a variável independente.
Vamos praticar...
Um cabeleireiro cobra R$12,00 pelo corte para clientes com hora marcada e R$10,00 sem hora marcada. Ele sempre atende por dia um número fixo de 6 clientes com hora marcada e um certo número variável de clientes sem hora marcada. Qual a lei que fornece a quantia Q arrecadada por dia em função de x.
RESPOSTA: Como o cabeleireiro trabalha com um número fixo de 6 clientes com hora marcada por dia e cada cliente desse tipo paga R$12,00 pelo serviço, há uma arrecadação fixa de R$72,00 (resultado da multiplicação de 6 por R$12,00). De maneira semelhante, para cada x clientes sem hora marcada atendidos, como cada um paga R$10,00, ele arrecada 10x (resultado da multiplicação de x por R$10,00). Perceba que essa última quantia arrecadada é variável, pois depende do número de clientes atendidos sem hora marcada. Portanto, se chamarmos de Q a quantia total arrecadada, a lei da função que representa a quantia arrecadada em relação a um certo número x de clientes sem hora marcada é obtida pela soma das quantias variável e fixa, ou seja:
Vamos praticar...
• Qual a quantia arrecadada num dia em
que foram atendidos 16 clientes?
Q = 10.10 + 12.6
Q = 100 + 72
Q = 172
Vamos praticar...
• Qual foi o número de clientes atendidos num
dia em que foram arrecadados R$212,00?
O x representa a quantidade de clientes sem hora
marcada, logo o número de clientes atendidos será
a quantidade fixa de clientes com hora marcada
mais a quantidade de clientes sem hora marcada.
212 = 10x + 72
10x = 212 - 72
10x = 140
x = 140/10
x = 14
(quatorze sem hora marcada)C = 14 + 6
C = 20
Noção de função em conjuntos
Vejamos a noção de função junto à nomenclatura de conjuntos. Exemplo:
• Dados A e B, usando o diagrama de flechas devemos associar cada elemento de A a seu triplo em B.
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa por y = 3x.
-1. 0. 1. 2. . -6 . -3 . 0 .3 .6 x A y B -1 -3 0 0 1 3 2 6 A B
Noção de função em conjuntos
Observa-se que para que tenhamos uma
função de A em B:
• Todos os elementos de A têm correspondentes
em B;
• A cada elemento de A corresponde um único
elemento em B.
Vamos praticar...
Dados os conjuntos A e B, determine quais representam
uma função de A em B.
0. 4. .2 . 3 .5 A B 2. 5. 10. 20. . 1 . 0 . 2 A B -2. -1. 0. 1. 2. . 0 . 1 . 4 .8 .16 A BVamos praticar...
Analisaremos o diagrama de flechas abaixo:
o Observamos que para os elemento de A, há um correspondente em B.
o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Observamos que há elementos em B que tem 2 correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo,
-2. -1. 0. 1. 2. . 0 . 1 . 4 .8 .16 A B
Vamos praticar...
Trataremos o diagrama de flechas abaixo:
o Observamos que para os elemento de A, há um correspondente em B.
o A cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Observamos que há um elemento em B que tem 3 correspondentes em A, mas isso não é problema. Logo, temos uma função de A em B.
2. 5. 10. 20. . 1 . 0 . 2 A B
Vamos praticar...
Analisaremos o diagrama de flechas abaixo:
o Observamos que para os elemento de A, há um
correspondente em B.
o Entretanto, há um elemento de A
que corresponde a
mais de um único elemento
de B. Sendo assim,
essa característica NÃO permite existir uma função de
A em B.
0. 4. .2 . 3 .5 A BVamos praticar...
Podemos concluir então que:
2. 5. 10. 20. . 1 . 0 . 2 A B -2. -1. 0. 1. 2. . 0 . 1 . 4 .8 .16 A B
É uma função É uma função
0. 4. .2 . 3 .5 A B
Domínio
Dada uma função f de A em B, o conjunto A
chama-se domínio da função, pois representa
as entradas para a função f. Ou seja, os
valores que podem ser usados na função. O
domínio da função indicaremos por D(f).
0. 1. 2. 3. .0 .2 .4 .6 .1 .3 .5
Contradomínio
Dada uma função f de A em B, o conjunto B chama-se
contradomínio da função, pois representa as possíveis
saídas para a função f. Ou seja, os possíveis
resultados para quando aplicamos um valor do x do
domínio
na
função.
O
contradomínio
da
função
indicaremos por CD(f).
0. 1. 2. 3. .0 .2 .4 .6 .1 .3 .5Imagem
Dada uma função f de A em B, o conjunto de todos
os valores de y obtidos através de x é chamado de
conjunto imagem da função f. Ou seja, ele é o
resultado de f(x), que representa os valores reais
obtidos quando aplicamos um x do domínio na
função e é indicado por Im(f).
0. 1. 2. 3. .0 .2 .4 .6 .1 .3 .5
Componentes de uma função
Para caracterizar uma função é necessário
conhecer seus três componentes: o domínio
A, o contradomínio B e a regra que associa
cada elemento de A apenas a um único
elemento y = f(x) de B.
Nos dados anteriores, o domínio é A = {0; 1;
2; 3}, o contradomínio é B = {0; 1; 2; 3; 4; 5;
6}, a regra é dada por y = 2x e o conjunto
Vamos praticar...
Considere g uma função de A em B, para a
qual A = {1; 3; 4}, B = {3; 9; 12} e g(x) é o triplo
de x para todos x
A.
• Construa o diagrama de flechas da função;
1. 3. 4. .3 .9 .12
Vamos praticar...
• Determine D(g), CD(g) e Im(g);
o De acordo com o diagrama de flechas dado, o conjunto A representa o conjunto de todos os valores reais de x que podem ser aplicados na função, caracterizando-se assim o domínio. Logo, D(g) = {1; 3; 4}.
o De forma semelhante, o conjunto B representa o conjunto de todos os possíveis valores que podem ser resultados da aplicação de x na função, caracterizando-se assim o contradomínio. Logo, CD(g) = {3; 9; 12}.
o Obtemos o conjunto imagem através da aplicação dos valores de x do domínio da função em g. Como g(x) = 3x, aplicando:
o x = 1, g(1) = 3.1 g(1) = 3 o x = 3, g(3) = 3.3 g(3) = 9 o x = 4, g(4) = 3.4 g(4) = 12 Assim, Im(g) = {3; 9; 12}
Perceba que, neste caso, o conjunto imagem da função é igual ao contradomínio. Isto nem sempre é verdadeiro, apenas em casos especiais como este!
Vamos praticar...
• Determine g(3);
Como g(x) = 3x, então para g(3), usa-se x = 3,
pois o 3 representa o valor que substituirá x,
assim:
g(3) = 3.3
g(3) = 9
• Determine x para o qual g(x) = 12.
Como g(x) = 3x, e segundo o enunciado para
g(x) utilizaremos 12, então:
Funções definidas por fórmulas
• No início vimos uma correspondência
entre o número de litros e o preço a pagar
expressa por:
P = 2,30x
• Essa função pode ser expressa pela
fórmula matemática:
Funções definidas por fórmulas
Numa
indústria,
o
custo
operacional
de
uma
mercadoria é composto de um custo fixo de
R$300,00 mais um custo variável de R$0,50 por
unidade fabricada. Vamos expressar, por meio de
uma
fórmula
matemática,
a
função
do
custo
operacional.
o Seja f(x) o custo operacional de uma mercadoria e x o
número de unidades fabricadas. Como a indústria
cobra um custo de R$0,50 por unidade fabricada, o
custo para x unidades fabricadas é 0,50x (o produto).
Ela também cobra uma custo fixo de R$300,00 na
fabricação. Assim, o custo operacional é dado soma
da parte variável com a fixa,
f(x) = 0,50x + 300.
Vamos praticar...
Uma firma que conserta televisores cobra uma
taxa fixa de R$40,00 de visita e mais R$20,00,
por hora de mão de obra. Então o preço que se
deve pagar pelo conserto de um televisor é
dado em função do número de horas de
trabalho. Determine essa função.
o Seja f(x) o preço a ser pago pelo conserto do televisor e x o número de horas trabalhadas. Como a firma cobra R$20,00 por hora trabalhada, o custo para x horas trabalhadas é de 20x (o produto). Há também uma taxa fixa de R$40,00 de visita. Logo, o custo total é dado pela soma da parte variável com a fixa, f(x) = 20x + 40
Vamos praticar...
Dada uma função cuja lei envolve mais de uma sentença
f(x) =
3𝑥 + 1 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 ≤ 2
𝑥
2𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑥 > 2
. Vamos determinar:
• f(5)
Para f(5), utilizaremos x = 5, pois o 5 representa o valor que substituirá x, como 5 > 2 utilizaremos a segunda sentença, ou seja, x2. Assim:
f(x) = x2 f(5) = 52f(5) = 25
• f(0)
Para f(0), utilizaremos x = 0, pois o 0 representa o valor que substituirá x, como 0 2 utilizaremos a primeira sentença, ou seja, 3x + 1. Assim:
Vamos praticar...
• f
52
Para f 52 , utilizaremos x = 𝟓𝟐, pois o𝟓𝟐representa o valor que substituirá x, como 𝟓
𝟐 = 2,5; e 2,5 2 utilizaremos a segunda
sentença, ou seja, x2. Assim:
f(x) = x2 f 5 2 = 5 2 2 f 5 2 = 25 4
• f
1 3Para f 13 , utilizaremos x = 𝟏𝟑, pois o 𝟏𝟑representa o valor que substituirá x, como 𝟏
𝟑 0,3; e 0,3 ≤ 2 utilizaremos a primeira
sentença, ou seja, 3x + 1. Assim: f(x) = 3x + 1 f 1 3 = 3. 1 3 + 1 f 1 3 = 1+ 1 f 1 3 = 2
Domínio de uma função real
Vimos
que
em
uma
função
há
três
componentes: domínio, contradomínio e
lei da função.
Às vezes, porém, é dada somente a lei da
função, sem que A e B sejam citados. Assim
para que possamos usar algum valor na
função é necessário saber se ele pertence
ao domínio da função.
Domínio de uma função real
Vejamos alguns exemplos:
• f(x) =
1
𝑥
1
𝑥
só é possível se x
0, pois não existe divisão
por 0.
Assim, 0 (zero) não pode fazer parte do
domínio. Logo, D(f) = R – {0} = R*
Domínio de uma função real
• g(x) =
3 − 𝑥
3 − 𝑥 só é possível se 3 – x
0, pois não há
raiz quadrada de número negativo.
3 – x
0
-x
- 3
x
3.
Assim, x
3 é o domínio da função. Portanto,
D(f) = {x
R | x
3}
Domínio de uma função real
• h(x) =
7 −𝑥
𝑥 −2
7 − 𝑥 só é possível se 7 – x
0, pois não há
raiz quadrada de número negativo.
7 – x
0
- x
- 7
x
7.
𝑥 − 2 só é possível se x - 2
0, pois não há
raiz quadrada de número negativo e como
𝑥 − 2 é o denominador ele não pode ser nulo.
x - 2
0
x
2.
Domínio de uma função real
• Devemos considerar o intervalo que satisfaz a
ambas ao mesmo tempo. Então faremos
a
intersecção de x
7 e x
2.
• Assim, teremos como domínio o intervalo (2, 7] ou
2
x
7.
• Logo, D(f) = {x
R | 2
x
7}
7 − 𝑥 7 2 𝑥 − 2 2 7 7 − 𝑥 𝑥 − 2Vamos praticar...
Explicite o domínio das seguintes funções:
• f(x) =
1𝑥 −6
Para que a função dada possa existir, o denominador
x
– 6
0, pois não existe divisão por ZERO.
Logo, x – 6
0
x
6.
D(f) = {x
R | x
6}
• y =
𝑥+1𝑥
Para que a função dada anteriormente possa existir o
denominador x
0, pois não existe divisão por ZERO.
Logo, x
0.
D(f) = {x
R | x
0} ou R*
Vamos praticar...
• y =
3𝑥
Dada a função, para qualquer que seja o x
existe um valor para sua raiz cúbica, pois tanto
para valores positivos quanto negativos a raiz
cúbica nos retorna um resultado. Sendo
diferente da raiz quadrada, que só retorna
resultado quando trata de valores positivos ou
nulo.
Vamos praticar...
• g(x) =
𝑥 −2𝑥 −3
x – 2
0
x
2.
x – 3
0
x
3.
Logo, o domínio da função é x
2 e x
3.
D(g) = {x
R | x
2 e x
3}
𝑥 − 2 2 𝑥 − 3 3 𝑥 − 2 𝑥 − 3 2 3Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Como vimos o domínio de uma função representa as entradas para a função, ou seja, os valores que podem ser usados na função. Façamos um paralelo entre essa definição e nossas experiências cotidianas. Por exemplo: Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmos x como sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retorna um resultado f(x), então essas frutas (x) fazem parte do domínio da função (liquidificador).
Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a
função liquidificador não poderá processar
esse x (pedra),
NÃO
sendo possível obter
f(x). Sendo assim, o x (pedra) não faz parte
do domínio da função (liquidificador).
Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Concluímos então que, o domínio de uma
função
serve para sabermos que
valores x podem ser usados na
função f para obtermos f(x).
Exercendo,
assim,
uma
importância
Gráfico de uma função
• Em livros, revistas e jornais frequentemente
encontramos
gráficos
e
tabelas
que
procuram
retratar
uma
determinada
situação.
• Esses gráficos e tabelas, em geral,
representam FUNÇÕES, e por meio deles
podemos
obter
informações
sobre
a
situação que retratam, bem como sobre as
funções que representam.
Gráfico de uma função: Definições
1. O Gráfico facilita à análise de dados,
que, muitas vezes, estão dispostos em
planilhas ou tabelas complexas.
2. Gráficos, consiste em recursos visuais
que facilitam a compreensão dos dados
expostos.
Gráfico de uma função
• O gráfico de uma função auxilia na análise
da variação de duas (ou mais) grandezas
quando uma depende da outra.
• Analisemos o gráfico a seguir um gráfico
que mostra pontos de consumo de água
em uma residência (em porcentagem).
Analisando gráficos
Analisando o gráfico, vemos que:
• O lavatório e o tanque consomem a mesma
quantidade de água;
• A bacia sanitária consome aproximadamente 5
vezes mais água do que o tanque;
• A bacia sanitária e o chuveiro são os que mais
consomem água;
• Desta lista, a máquina de lavar louças é o
aparelho que menos consome água.
Vamos Praticar?
(Adaptado de Enem 2007) Explosões solares emitem
radiações eletromagnéticas muito intensas e ejetam,
para o espaço, partículas carregadas de alta energia,
o que provoca efeitos danosos na Terra. O gráfico
seguinte mostra o tempo transcorrido desde a
primeira detecção de uma explosão solar até a
chegada dos diferentes tipos de perturbação e seus
respectivos efeitos na Terra.
Vamos Praticar?
Considerando-se o gráfico, é correto afirmar que a
perturbação por ondas de rádio geradas em uma
explosão solar:
a) dura mais que uma tempestade magnética.
b) chega à Terra dez dias antes do plasma solar.
c) chega à Terra depois da perturbação por raios X.
d) tem duração maior que a da perturbação por
raios X.
Resolução
FALSA!
Podemos perceber que a duração T das ondas
de rádio é tal que 1min<T<10h e a tempestade magnética
Duração inferior à 10 h Duração de, aproximadamente10 dias
Resolução
Percebe-se, que este item ressalta a necessidade
de sabermos analisar gráficos que NÃO ESTÃO EM
ESCALA, deixando assim de confiarmos apenas na
nossa
percepção
visual
de
comprimento,
e
passando
analisar
cuidadosamente
todas
as
informações de um gráfico!
Resolução
Diferença na Chegada é um pouco maior que 1 dia!
FALSA! Pelo esquema acima, analisando cuidadosamente o eixo horizontal do gráfico percebemos que as perturbações por ondas de rádio chegam na Terra, aproximadamente, um
b)
Resolução
Diferença na Chegada é menor que 1 minuto!
FALSA!
Pode-se perceber pelo esquema acima
que as perturbações por ondas de rádio e de raios
X chegam, praticamente, simultaneamente à Terra.
Resolução
d) VERDADEIRA. Percebam que a perturbação por raio X tem duração de pouco mais de dez minutos, enquanto as perturbações por ondas de raio dura algumas horas.
d)
Duração de pouco mais
Coordenadas cartesianas
• A notação (a,b) é usada para indicar o par
ordenado de números reais a e b, no qual o
número a é a primeira coordenada e o
número b é a segunda coordenada.
• Observe que os pares ordenados (3;4) e
(4;3)
são
diferentes,
pois
a
primeira
coordenada de (3;4) é 3, enquanto a
Sistema de Eixos Ortogonais
• Um
sistema
de
eixos
ortogonais
é
constituído por dois eixos perpendiculares,
Sistema de Eixos Ortogonais
• Damos o nome de plano cartesiano a um
plano munido de um sistema de eixos
ortogonais.
• Os eixos ortogonais dividem o plano
cartesiano em quatro regiões chamadas
quadrantes. A figura a seguir ilustra melhor a
noção de quadrante.
Sistema de Eixos Ortogonais
• Usamos esse sistema para localizar pontos
no plano. Dado um ponto P desse plano,
dizemos que os números a e b são as
coordenadas cartesianas do ponto P, em
que a é a abscissa e b é a ordenada.
• Por exemplo, vamos localizar em um plano
cartesiano os pontos A(4;1), B(1;4), C(-2;-3),
D(2;-2), E(-1;0).
Construção de Gráficos de Funções
Para construirmos o gráfico de uma função
dada por y=f(x), com x
ϵ D(f), no plano
cartesiano devemos:
1. Construir uma tabela com valores de x e y;
2. A cada par ordenado da tabela associar um
ponto do plano cartesiano;
3. Marcar o número suficiente de pontos, até
Exemplos
Vamos construir o gráfico da função dada por f(x)
= 2x+1, sendo o domínio D=(0,1,2,3,4).
Façamos uma tabelados valores de x e f(x), para
termos uma noção do comportamento da função.
x
y = f(x)
0
1
1
3
2
5
Exemplos
• Diante dos valores
da tabela podemos
construir o gráfico
de
f
(gráfico
ao
Exemplos
Vamos construir o gráfico da função dada por
f(x) = 2x+1, sendo o domínio D = IR.
Façamos uma tabelados valores de x e f(x),
para termos uma noção do comportamento da
função.
x
y=f(x)
-2
-3
-1
-1
0
1
1
3
2
5
Exemplos
• Diante dos valores
da tabela podemos
construir o gráfico
de
f
(gráfico
ao
Construção de Gráficos de Funções
Vamos Praticar?
(Enem 2007. Adaptado) O gráfico da página
seguinte, obtido a partir de dados do Ministério
do Meio Ambiente, mostra o crescimento do
número
de
espécies
da
fauna
brasileira
ameaçadas de extinção.
Se mantida, pelos próximos anos, a tendência
de
crescimento
mostrada
neste
gráfico,
o
número de espécies ameaçadas de extinção em
2011 será igual a:
Vamos Praticar?
a) 465.
b) 493.
c) 498.
d) 538.
e) 699.
Alternativas:
Resposta
Se observarmos o comportamento do gráfico,
notaremos que este pode ser modelado por uma
função do 1º grau, da forma f(x) = ax+b.
Admitindo f(x) como o número de espécies
ameaçadas
de
extinção,
e
x
como
seus
respectivos anos. Podemos escrever a equação
da reta que passa por dois pontos: P1(1983;239)
Resposta
A partir destes dados podemos formar um
sistema de equações. Como f(x) = ax+b.
L1
L2
Vamos resolver este sistema 2X2:
L2 = L2 - L1
222=24a
a=9,25
b
a
b
a
2007
461
1983
239
Resposta
Como já descobrimos o valor de a, podemos
encontrar, facilmente, o valor de b:
L1
239=1983*9,25+b
b = - 18103,75
Desta forma a função que procurávamos é:
f(x)=9,25x-18103,75.
Basta descobrir o valor de f(2011):
f(2011) = 9,25*2011-18103,75 = 498
Função Crescente e Decrescente
De modo geral, analisando o gráfico de uma
função,
podemos
observar
propriedades
importantes dela, tais como:
1. Onde ela é positiva (f(x)>0), onde ela é
negativa (f(x)<0) e onde ela se anula
(f(x)=0). Os valores de x nos quais ela se
anula (f(x)=0) são chamados de zero da
função f.
Função Crescente e Decrescente
2. Onde ela é crescente (se x
1<x
2, então
f(x
1)<f(x
2)), onde ela é Decrescente (se
x
1<x
2, então f(x
1)>f(x
2)) e onde ela assume
um valor máximo ou um mínimo, se
existirem. Por exemplo, vamos considerar
o gráfico seguinte e analisá-lo no intervalo
Analisando o Gráfico
f é positiva em (-5,-1) e em (5,6);
f é negativa em (-6,-5) e em (-1,5);
f é nula em x=-5, x=-1 e x=5. Esses são os zeros
da função
f é crescente em (-6,-3] e em [2,6);
f é decrescente em [-3,2];
O ponto com x=-3 é um ponto de máximo e f(x)=2 é
o valor máximo de f;
O ponto com x=2 é um ponto de mínimo e f(x) = -3
é o valor mínimo de f.
Vamos Praticar?
• Um rapaz desafia seu pai para uma
corrida de 100m. O pai permite que o filho
comece 30 m à sua frente. Um gráfico
bastante simplificado dessa corrida é dado
Vamos Praticar?
• Pelo gráfico, quem ganhou a corrida e
qual foi a diferença de tempo?
Esta linha verde representa a corrida garoto, pois no tempo inicial a distância vale 30m
O pai chegou, aproximadamente, 14s após a largada
O garoto chegou, aproximadamente, 17s após a largada
R= Portanto o Pai Ganhou a corrida com 3s de diferença!
Vamos Praticar?
• A que distância do início o pai alcançou
seu filho?
70m
R= Como a ordenada do ponto de intersecção vale 70 m, logo o pai ultrapassou o garoto nesta distância.
Vamos Praticar?
• Em que momento depois do início da
corrida ocorreu a ultrapassagem?
10s
R= Como a abscissa do ponto de intersecção vale 10s, logo o pai ultrapassou o garoto neste momento.
Gráficos no Enem!
Vendas 1º Tri 2º Tri 3º Tri 4º Tri• O ângulo central de cada setor está relacionado com a frequência relativa de cada variável.
• A circunferência (360º) corresponderá a 100% da frenquência relativa.
Gráficos no Enem!
• Esses Gráficos são muito usados principalmente para mostrar a evolução das frequências dos valores de uma variável durante um certo período.
• A posição de cada segmento indica se ocorreu crescimento, decréscimo ou estabilidade.
0 2 4 6 1 2 3 4 Série 1 Série 2 Série 3
Gráfico de linhas
Gráficos no Enem!
Gráfico de barras
• Este gráfico é normalmente usado para comparar as frequências dos valores de uma mesma variável em um período estabelecido. 0 2 4 6 1 2 Série 3 Série 2 Série 1
Para treinar mais...
47% 22% 14% 10% 6% 1% Brizola Brancos e nulos Bittar Nelson Ronaldo JussaraCaiu no Enem- (Adaptado)
Essa era uma questão referente à uma pesquisa eleitoral.
Ela pedia apenas que calculasse o ângulo central referente
ao candidato Brizola.
Basta calcular a porcentagem de 360°:
Para treinar mais...
(ENEM 2009 - Questão 136
– Prova Azul)
Dados
da
Associação
Nacional
de
Empresas
de Transportes Urbanos (ANTU) mostram que o número de
passageiros transportados mensalmente nas principais
regiões
metropolitanas
do
país
vem
caindo
sistematicamente. Eram 476,7 milhões de passageiros em
1995, e esse número caiu para 321,9 milhões em abril de
2001. Nesse período, o tamanho da frota de veículos
mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o
mesmo tamanho que tinha em 2001.
Para treinar mais...
O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade utilizado
pelas empresas do setor, que é a razão entre o total de
passageiros transportados por dia e o tamanho da frota de
veículos.
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Supondo
que
as
frotas
totais
de
veículos
naquelas regiões metropolitanas em abril de 2001 e
em outubro de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados
do gráfico permitem inferir que o total de passageiros
transportados
no
mês
de
outubro
de
2008
foi
aproximadamente igual a:
a) 355 milhões
b) 400 milhões
c) 426 milhões
d) 441 milhões
e) 477 milhões
Resolução
Segundo o enunciado, o número de passageiros era 321,9 milhões em abril de 2001 e de acordo com o Gráfico neste mesmo período tínhamos 400 passageiros transportados por veículos.
Em outubro de 2008 o número de passageiros transportados por veículos foi para 441. Precimaos descobrir qual foi o número de passageiros nesse período. Como o enunciado afirma que o tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha em 2001. Basta montar uma Regra de Três Simples.
Resolução
Nº de passageiros p/ veículo Nº de passageiros (milhões)
400 321,9
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ENEM 2010 - Questão 166
– Prova Rosa
Em sete de abril de 2004, um jornal publicou o ranking de
desmatamento,
conforme gráfico, da
Chamada Amazônia
Legal, integrada por
nove estados.
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Considerando-se que até 2009 o desmatamento cresceu
10,5%
em
relação
aos
dados
de
2004,
o
desmatamento médio por estado em 2009 está entre
A) 100 km² e 900 km²
B) 1000 km² e 2700 km²
C) 2800 km² e 3200 km²
D) 3300 km² e 4000 km²
E) 4100 km² e 5800 km²
Resolução
2004 Desmatamento total: 23750 Km² 2009 -> 100% + 10,5%= 110,5% de 23750 Km²= 110,5 . 23750 Km² 100 26243,75 Km² 26243,75 29,16 Km² 9Referências
• DANTE, L. R. Matemática: Ensino Médio. 1.ed. São Paulo: Ática, 2004.
• NIEDERAUER,J.Z. Funções. Disponível em: < http://www.somatematica.com.br/zips/funcoes1.zip>. Acesso em:19 maio 2012.
_______. Função. Disponível em: <
http://www.matematicadidatica.com.br/Funcao.aspx >. Acesso em:19 maio 2012.
