ESCOAMENTO POTENCIAL. rot. Escoamento de fluido não viscoso, 0. Equação de Euler: Escoamento de fluido incompressível cte. Equação da continuidade:

(1)

ESCOAMENTO POTENCIAL

Escoamento de fluido não viscoso

,

 

0 

Equação de Euler:

Escoamento de fluido incompressível

 

cte



Equação da continuidade:

Escoamento Irrotacional



Se o escoamento for irrotacional, uma grande simplificação pode ser

obtida na obtenção do campo de escoamento: o campo de

P

g

ρ

t

D

V

D

ρ







grad



0 

V



div

0 











rot

V



V



(2)

Angela Nieckele – PUC-Rio

Para situações bi-dimensionais, pode-se utilizar o conceito de função

de corrente

Escoamento bi-dimensional, incompressível, não viscoso,

irrotacional

função de corrente:



satisfaz a equação da continuidade

Se obrigarmos o escoamento a ser irrotacional, temos

para situações 2-D, e escoamento plano,

 satisfaz a equação de Laplace, para escoamento plano, não

viscoso, irrotacional, incompressível

2

u

y

v

x



 

 



 



,

  

V



0

_z _ v _ _  _ _  _ x u y x x y y  0   _ _{ } _ _{ }



2 



0

(3)

Procedimento de solução:

1. Resolve-se



2





0 com as condições de contorno apropriadas

2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função de corrente



3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler

Condições de contorno:



velocidade ao longe conhecida:

 

_

 

_

y

,

x

conhecidos



superfície sólida:



_corpo



cons

tan

te

Coordenadas polares: função de corrente u

r u r r    1         ,

 

_z  _  _{ }r _  _ _{ }  _{ } r r u r _r u r r r r r r  0 1  1  1 _ _{ } 1 _1 _{ } 2   0 Condições de contorno:

 velocidade ao longe conhecida:  _  _{ }

(4)



Sabemos que esta equação será sempre verdadeira se definirmos

onde



é um potencial, já que o rotacional do gradiente de qualquer

função potencial é sempre zero, .

4

  

V



0 



V

   

   



0

u x v y w z    _ ,    _ ,    _ u r u _r u z r    z              , 1 ,

coordenadas cartesianas:

coordenadas cilíndricas:

Escoamento Tri-dimensional, Incompressível, Não

Viscoso, Irrotacional



Para situações 3-D, não podemos utilizar o conceito de função de

corrente, já que a mesma só é definida para situações 2-D.



Introduziremos um novo conceito:

FUNÇÃO POTENCIAL DE VELOCIDADE



função potencial de velocidade é definida de forma a satisfazer a

condição de escoamento irrotacional:

(5)

Se obrigarmos o escoamento irrotacional a satisfazer a equação de conservação de massa para fluidos incompressíveis,

  



V

0

, temos                x  x y y z z           0  2   0

 satisfaz a equação de Laplace, para escoamento não viscoso, irrotacional, incompressível, 2-D ou 3-D.

Condições de contorno:

 velocidade ao longe conhecida:  _  _  _

x , y , z conhecidos

 superfície sólida, velocidade normal nula:  

 n  0

NÃO HÁ CONDIÇÃO IMPOSTA PARA O COMPONENTE

(6)

6

LINHAS DE CORRENTE E EQUIPOTENCIAIS SÃO ORTOGONAIS

Procedimento de solução:

1. Resolve-se 2   0 com as condições de contorno apropriadas

2. Obtém-se os componentes da velocidade u e v pela definição de função potencial  3. Obtém-se a pressão p pela equação de Euler

Obs: Podemos resolver  e 

a) linhas de corrente  = constante são sempre tangente ao campo de velocidade b)



V

   





V

é perpendicular as linhas de  constante (equipotenciais)



(7)

Pergunta:

Existe alguma vantagem em resolver a

equação de Laplace, ao invés da equação de

Euler?

SIM!!!

A análise da equação de Laplace está bastante

desenvolvida. Existem diversas técnicas disponíveis



superposição de soluções elementares



análise numérica



mapeamento conforme



analogia elétrica

(8)

SOLUÇÕES ELEMENTARES PARA ESCOAMENTOS

PLANOS

Vários problemas interessantes de escoamento potencial

podem ser construídos a partir de três tipos de soluções

elementares:



escoamento uniforme



fonte ou sorvedouro



vórtice

As soluções destes problemas podem ser combinadas produzindo

resultados úteis. Para isso, usamos o fato que a equação de Laplace é

linear e o princípio de superposição

Se



₁

e



₂

são soluções da equação de Laplace, a soma de



₁

 

₂

também é solução.

8



2 













1

0

2

0

2

1

2

0

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

14

Exemplo 6.11: Escoamento sobre um Cilindro:

Superposição de Dipolo e Escoamento Uniforme.

Determine: (i) função corrente (ii) função potencial (iii) campo de velocidade

(iv) localize pontos de estagnação (v) campo de pressão

(vi) força resultante sobre o cilindro: arraste e sustentação

Solução:



escoamento uniforme:





U

y

;







U

x



dipolo:









sen



r

;











cos

r

(i) Função corrente:









sen





U

r

sen



r

(ii) Função potencial:















cos

U

r

cos

(15)

u

r

u

r



 

1  

 

 





,







_









_



_



r

1 u

r

u

_r

,







u

e

u

e

V



_r



_r



ou

(iii) Campo de velocidade:

       cos U r cos r













_













































_





























 ₂ ₂ 2 2 r

r

U

1 sen

U

sen

U

sen

r

1 u

r

U

1 U

U

r

u

/

cos

(iv) pontos de estagnação: ponto onde

V





0

logo

u

_r



0

e

u

_



0

Note que

u

_r



0

para qualquer  se

r





/

U



(r=cte  círculo) logo o raio do cilindro é

a





/

U

Para ambos os componentes serem nulos, é preciso verificar se o componente angular pode ser nulo sobre a superfície do cilindro.

(16)

16

A função de corrente pode representar um escoamento sobre um cilindro ou um semi- hemisfério             U r sen a r 1 2 2 a A B

O perfil de velocidade sobre a superfície do cilindro é

u



u







2 U

sen



;





u

e

V



;

V



V





2 U

sen



0 45 90 135 180  0 1 2

|

u

/U

|

B A

(17)

(v) campo de pressão:

Para escoamento irrotacional podemos utilizar a EQUAÇÃO DE Bernoulli entre quaisquer dois pontos: ponto no infinito e ponto sobre a superfície do cilindro

2 V

p

2 U

p

2

2 



















2



2

2 sen

4

1

2 U

p

2 V

2 U

p































_

Coeficiente de pressão:







2



2 p

1

4 sen

2 U

p

C















/

0

45

90

135

180 

-3

-2

-1

0

1 C

p

(18)

18

Força resultante sobre o cilindro:

R F



_A



i

F j

_S



p dA

p n a L d



cilindro







_



 

_





0 2



n



e

_r



i

cos





j sen







  

R  



p i cos jsen a L d  F_A  



p cos a L d e F_S  



p sen a L d

   0 2 0 2 0 2  _     _   2 _ 0 2 2 2 A U 4sen aLd 2 1 U 2 1 p F cos              _ _   _ U aL  d 2 U aL sen d 2 1 p F 2 0 2 2 2 0 2 A cos cos ₃ 0 sen U 2 sen U 2 1 p L a F 2 0 3 2 2 0 2 A _ _ _  _     _ _     

F

_A



0 



_













_







2 _ 0 2 2 2 S

U

4 sen

sen

a

L

d

2

1 U

2

1 p

F

F a L p U U sen S _  _        1 2 2 3 2 0 2 0 2 2 2 0 2  cos   cos( ) 

F

_S



0 Força de arraste:

Força de sustentação:

             _ _ 

 _ U aL sen d 2 U aL sen sen d

2 1 p F 2 0 2 2 2 0 2 S

(19)

Obs:

1. Na realidade existe arraste, veremos que o escoamento separa, ocorre a formação de

esteira.

(20)

20

Exercício: Meia Superfície de Rankine

Conhecendo o seguinte campo potencial    mlnr U r cos , determine: 

i) o campo de velocidades ii) pontos de estagnação iii) as linhas de corrente iv) forma do corpo

r



x

y

a

Sabe-se que x= r cos  y= r sen  , logo





   mln_ x2 y2_{ }U x   m ln x2 y2 U x 2 i) u x U m x x y U m r r U m r               2 2 2 cos cos v y m y x y m r sen r m r sen            2 2 2

Sabe-se que x= r cos  y= r sen  , logo





   mln_ x2 y2_{ }U x   m ln x2 y2 U x 2 i) u x U m x x y U m r r U m r               2 2 2 cos cos v y m y x y m r sen r m r sen            2 2 2

(21)

ii) Ponto de estagnação: V  0 ,

i) velocidade vertical: v = 0 para  = 0 e  ii) velocidade horizontal :

 em  = 0 , u = U + m / r = 0  r < 0 impossível  em  =  , u = U - m / r = 0  r = m/U = a x = - a iii) u y U m x x y dy f x U y m y x f x                 



     2 2 1 ( ) tan ( ) v x m y x y dx g y m y x g y         



     2 2 1 ( ) tan ( )  f(x) = 0 e g(y) = U y    U y m  y       x U r sen m tan 1

iv) o ponto de estagnação deve estar localizado sobre o corpo, logo o valor de  no ponto de estagnação é    m ou    m

O lugar geométrico da linha de corrente   m , a qual separa o escoamento da fonte do

escoamento uniforme é  m   U r sen m  r  m(  )

u x U m x x y U m r r U m r               2 2 2 cos cos v y m y x y m r sen r m r sen            2 2 2

ii) Ponto de estagnação: V  0 ,



escoamento uniforme é  m  U r sen m  r  m  U sen

    



( ) ii) Ponto de estagnação: V  0 ,



(22)

22



uniforme







U

_

r sen





dipolo





 





r

sen



vórtice

   

K

r

a

ln

Definindo: a

2





/

U

_

, a referência



























U

r sen

a

r

K

r

a

1

2 2

ln

r = a é uma linha de corrente (



= 0)

u

r

U

a

r



















1

2 2

 

 

cos



Velocidade:

u

r

U

sen

a

r

K

r



 

 

_

 





















1

2 2

Exercício: Escoamento ao redor de um cilindro com rotação

(23)

(24)

24

Distribuição de pressão:

p

V

p

U

V

u

U

sen

K

a











 











  

1

2

1

2

2 2 2 2 2



_



p

U

sen

K

a

U

K

a

sen

























1

  

2

1

2

4

2 2 2 2 2





Força resultante sobre o cilindro:

R F



_A



i

F j

_S



p dA

p n a L d



cilindro







_



 

_





0 2



n



e

_r



i

cos





j sen









R

 



p i

cos





jsen



a L d





F

_A

 



p

cos



a L d



e

F

_S

 



p sen



a L d



   0 2 0 2 0 2

(25)

Força de arraste:        _ _   _ _ 2 0 2 A U aL d 2 1 p F cos







































 _   

sen

d

a

K

U

4 d

a

K

d

sen

U

4 L

a

2

2 0 2 0 2 2 2 0 2 2

cos

F a L p U K a sen U sen U K a sen A _{ } _  _   _                       2 2 3 2 2 0 2 2 0 2 2 3 0 2 ₂ 0 2  F_A  0 Força de sustentação F p U K a a L sen d a L U sen d U K a sen d S        _                                      2 2 4 4 2 2 2 0 2 2 3 0 2 2 0 2

 

F a L p U K a U a L sen U K a a L sen U K a a L S       _                 _                      2 2 3 2 2 2 2 4 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 cos cos ( )  Força de arraste:        _ _   _ _ 2 0 2 A U aL d 2 1 p F cos







































 _   

sen

d

a

K

U

4 d

a

K

d

sen

U

4 L

a

2

2 0 2 0 2 2 2 0 2 2

cos

F a L p U K a sen U sen U K a sen A _{ } _  _   _                       2 2 3 2 2 0 2 2 0 2 2 3 0 2 ₂ 0 2  F_A  0 Força de sustentação F p U K a a L sen d a L U sen d U K a sen d S        _                                      2 2 4 4 2 2 2 0 2 2 3 0 2 2 0 2

 

F a L p U K a U a L sen U K a a L sen U K a a L S       _                 _                      2 2 3 2 2 2 2 4 0 0 2 2 2 2 0 2 2 2 0 2 0 2 cos cos ( ) 

(26)

26

1a Questão: Um cilindro é formado ao aparafusar duas calhas semi-cilíndricas pelo lado interno,

como mostra a figura. Existem 10 parafusos por comprimento de largura em cada lado, e a pressão interna é 50 kPa (manométrica). Determine a força em cada parafuso, se o fluido externo é ar a CNTP (  12 kg/m3). Utilize a teoria de escoamento potencial, logo, o escoamento ao redor do cilindro pode ser aproximado pela soma de um dipolo (



 



sen



r

) com um escoamento uniforme (

 

U

_

y

).

U



=25 m/s

p



= p

atm

p

in

D = 20 cm

(27)







 







2 2

1 _r

U

r

U

r

u

_r

cos





cos



cos





/















 













2 2

1 _r

U

r

U

r

u

sin



sin





sin





/









em r=(



/U)

0.5

_{, u}

r

=0,

u

_

= -2 U sin



Entao R=D/2=(



/U)

0.5    V t ds V g z d p cons te s s      2 2 tan



 p u p U _ _ _ _ 2 2 2 2









2 2

4

1

2 

sin





p

_

U

p

Para =cte, regime permanente = >





              L Rd U p p L Rd p p F _in   _in         

 ( ) sin 0( sin ) sin

2 2 0 4 1 2 2





 





 













3 4 2 3 0 3 2 2 0 2 0 2 0

4

2

         













          









sin cos cos

sin

)

(

p

U

R

L

d

U

R

L

d

F

_in U F _  _ _ 10 _ 2  1 F _

(28)

28 2a Questão: Uma usina nuclear despeja Q = 8,5 m3/s de água quente, utilizada no processo de

refrigeração no fundo do mar. O jato de água sai verticalmente do fundo do mar, que está a uma profundidade de b = 7,6 m. A corrente marinha é igual a U = 0,4 m/s. Por razões ecológicas é necessário saber, a que distância da saída da tubulação a corrente marinha é afetada pela água quente. De acordo com a figura, deseja-se saber a e L. Note que este escoamento pode ser representado por uma combinação de uma fonte e um escoamento uniforme.

Sabe-se:  Escoamento uniforme:   U y  Fonte:     2 b / Q  x = r cos    y  r sen    r2  x2  y2  ) x / y ( tan1  