21037 - EPE
I. Em determinada empresa existe uma Base de Dados com os dados referentes a cada trabalhador, constam várias informações entre as quais: sexo, idade, estado civil, salário actual, categoria profissional, antiguidade, habilitações literárias, número de filhos, avaliação obtida no ano transacto. Classifique cada item.
II. Num inquérito à opinião pública, visando conhecer as intenções de voto de um certo partido político, ocorre a pergunta seguinte: «Caso as eleições fossem hoje, em que partido votaria?
Assinale com «X» a sua escolha:
Partido A Partido B Partido C Partido D ».
A seguir indicam-se as respostas de 10 pessoas escolhidas ao acaso:
Pessoa Resposta Nº A B C D 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X
a) Resuma, usando uma tabela de frequências, as intenções de voto nos quatro partidos (indique frequências absolutas e relativas).
b) Admita que os partidos A e B são de «direita» e os partidos C e D são de «esquerda». Construa agora uma tabela de frequências em que ocorrem apenas essas duas categorias.
III. Complete a seguinte tabela de frequências justificando os resultados:
xi ni Ni fi Fi
A 12
B 0.36
C 40 0.8
D
IV. Numa escola foram registados a altura (em cm) e o peso (em Kg) de 18 crianças, tendo-se obtido os registos seguintes:
Criança Altura (cm) Peso(Kg) 1 137.6 40.2 2 147.8 42.5 3 136.8 35.8 4 140.7 40.0 5 132.7 36.6 6 145.4 39.5 7 135.0 34.2 8 133.0 33.0 9 148.5 44.3 10 148.3 42.8 11 147.5 40.9 12 148.8 39.6 13 133.2 32.5 14 158.7 50.3 15 152.0 52.0 16 150.6 48.5 17 165.3 53.4 18 149.9 45.0
a)
Construa o gráfico de dispersão que relaciona a altura com o peso das crianças. Comente.b) Represente num histograma as alturas das crianças. Determine a amplitude amostral, a média e o desvio padrão.
c) Utilize a coluna das frequências relativas acumuladas para calcular a frequência relativa da 3ª classe.
V. Os jogadores de duas equipas de futebol, cada uma com 20 elementos (contando com todo o plantel disponível), foram submetidos a uma prova e obtiveram classificações numa escala de 1-4. Os resultados obtidos constam na tabela de frequências:
Eq. A Eq. B Resultado fi Fi fi 1 0.2 0.05 2 0.55 0.3 3 0.5 4 0.2 1 0.15
a) Complete a tabela de frequências para a equipa A.
b) Indique o primeiro decil da equipa A e a mediana da equipa B.
c) Qual a equipa que apresenta maior moda? Justifique. Qual é a frequência absoluta ni da moda de cada uma das equipas?
d) O desvio padrão é uma medida da dispersão das observações que pode ser calculado por diferentes fórmulas. Entre as quais 2 1 2
x
f
x
s
n i i i−
=
∑
= e∑
=−
=
n i i ix
f
x
s
1 2)
(
.Calcule o desvio padrão dos resultados da equipa B e diga se os dados são muito ou pouco dispersos.
e) Suponha que se escolhe ao acaso um dos quatro resultados possíveis para cada uma das equipas. Para qual das equipas é maior a incerteza?
VI. No ensino secundário há uma quebra nos desempenhos dos alunos do 12º ano na disciplina de Física. Recolheram-se as notas finais de 20 alunos escolhidos ao acaso. Os resultados obtidos foram os seguintes:
9 18 12 8 8 6 15 12 10 10 13 11 5 9 14 17 10 12 7 4
a) Construa a tabela de distribuição de frequências para estes dados. b) Agrupe os dados de acordo com a seguinte classificação:
• Maus Desempenhos (Nota < 10);
• Desempenhos Suficientes (10 ≤ Nota ≤ 13); • Bons Desempenhos (13 < Nota ≤ 16);
• Excelentes Desempenhos (Nota> 16). Obtenha o respectivo histograma e o polígono de frequências acumuladas.
c) Qual a percentagem de alunos que demonstraram Maus Desempenhos na disciplina?
VII. Os complementos salariais concedidos aos empregados de uma empresa em função da respectiva antiguidade estão escalonados em quatro categorias. Em relação aos 100 funcionários da empresa, observaram-se os resultados constantes da tabela seguinte:
Categoria (milhares de u.m.) ]0,5] ]5,10] ]10,15] ]15,20] Frequência relativa 0.35 0.40 0.15 0.10
a) Construa o histograma correspondente.
b) Calcule a média, o desvio-padrão e a mediana dos complementos salariais.
c) Pretendendo actualizar os montantes de complementos salariais procedeu-se a um aumento de 15% nos mesmos. Qual será a repercussão a nível da média e da variância dos complementos?
d) Não concordando com a proposta, os empregados apresentaram uma contraproposta de aumento de 3000 u.m. (unidades monetária) para todos, independentemente do escalão. Qual será, nesta situação, a repercussão a nível da média e variância dos complementos?
VIII. A associação de moradores de determinada zona numa grande cidade está preocupada com o crescente de assaltos na zona. Os responsáveis pela segurança na zona, pretendendo aferir da necessidade de aumentar o policiamento, registaram o número de assaltos ocorridos durante um mês em todos os fogos, obtendo os seguintes resultados:
N°°°° de assaltos por fogo 0 1 2 3 4 N°°°° de fogos 989 1903 3010 2520 1578
a) Represente graficamente a função de distribuição empírica correspondente à amostra considerada.
b) Calcule a média, a moda e a mediana do número de assaltos por fogo. O que pode dizer quanto à simetria da distribuição de frequências?
c) Com a informação disponível, pode considerar-se que os moradores têm razão quanto às suas queixas?
IX. Considere a situação seguinte:
«Uma máquina automática de levantamento de dinheiro está instalada à entrada de um banco. Regista-se o número de clientes que se servem da máquina entre as 8 horas e as 8h30 minutos de um dia escolhido ao acaso».
a) Explicite a experiência aleatória associada a esta situação, isto é, diga em que consiste a experiência, qual é o espaço de resultados e qual é o espaço de acontecimentos. b) Sejam os acontecimentos
A = «Entre as 8h e as 8h30min chegam mais do que 4 clientes» B = «Entre as 8h e as 8h30min chegam 3 clientes»
C = «Entre as 8h e as 8h30min chegam menos do que 10 clientes» Expresse em termos dos símbolos A, B, C os acontecimentos
U = «Entre as 8 horas e as 8h e 30 min ou chegam 3 clientes ou pelo menos 10» V = «Entre as 8 horas e as 8h e 30 min chegam entre 4 e 10 clientes»
X = «Entre as 8 horas e as 8h e 30 min chegam entre 3 e 10 clientes»
X.
O histograma que se segue foi construído com base numa pequena amostra de diferentes preços de televisores, gama média, actualmente praticados em Portugal.
a) Sugira um valor plausível para o valor do coeficiente de assimetria de Pearson correspondente às observações usadas para construir o gráfico. Justifique a razão da sua escolha e dê o significado desse valor no contexto dos dados.
b) Use os valores inscritos no gráfico para obter um valor aproximado do intervalo inter-quartis.
XI. Numa roleta viciada com casas numeradas de 1 a 20, a probabilidade de sair uma casa com numeração superior a 14 é o quádruplo da probabilidade de sair uma casa com numeração inferior a 15.
a) Indique o espaço de resultados.
b) Calcule a probabilidade de sair uma casa com número superior a 17. c) Calcule a probabilidade de sair uma casa com número primo.
XII. A seguinte lista de proposições contém uma inconsistência. Detecte-a e justifique
.
P(A) > 0 P(B) > 0 A ∩ B= ∅
P (A|B) × P(B) > 0
P (A ∪ B)= P(A) + P(B) > 0.
XIII. Numa região desértica de África a seca é um dos problemas com que a população mais frequentemente se depara. Numa tentativa de minorar este problema, pretende-se abrir um furo que permita o abastecimento de água à população. Depois de alguns estudos, chegou-se à conclusão que a probabilidade de existir água no subsolo numa determinada área é de 0.3 e que, caso esta exista, a probabilidade de a encontrar na primeira tentativa é 0.5.
a) Qual é a probabilidade de não se encontrar água na primeira tentativa?
b) Sabendo que na primeira tentativa não se encontrou água, qual é a nova probabilidade atribuída à existência de água nessa área?
XIV. Numa linha de produção estão envolvidas três máquinas: M1, M2, M3. Essas máquinas produzem um item que obedece a certas especificações de fabrico. As máquinas M1 e M2 produzem, cada uma, 30% dos itens e a máquina M3 produz os restantes.
O sistema de controlo de qualidade da fábrica acaba de detectar um item defeituoso. a) Calcule a probabilidade de que o sistema produza um item defeituoso.
b) Calcule a probabilidade de que a peça defeituosa tenha sido produzida pela máquina número três.
XV. Ao dirigir-se a uma loja de brinquedos para escolher uma boneca, uma criança pode escolher entre 10 modelos diferentes, podendo ainda optar, para cada um deles, por olhos azuis, verdes, castanhos ou pretos e pela cor do cabelo: preto, castanho ou loiro. Quantas bonecas diferentes podem ser escolhidas pela criança?
XVI. Considere a experiência aleatória que consiste em lançar dois dados e uma moeda. Tanto os dados como a moeda são equilibrados.
a) Calcule o número de resultados possíveis dessa experiência. b) Calcule a probabilidade de obter um seis e uma face.
XVII. Admita que uma v.a. X, discreta, tem função de probabilidade definida pela tabela seguinte:
Valores de X
0 1 2 3 4 5
P (X= xi) 0.25 0.25 0.3 0.1 0.05 0.05
Use esta função de probabilidade para calcular a esperança matemática, a variância, o desvio-padrão e a mediana da v. a. X.
XVIII. Considere uma v.a. X cuja função de probabilidade é dada pela seguinte tabela: Valores de X
x1= 1 x2= 2 x3= 3 x4= 4 x5= 5
P (X= xi) 0.1 0.2 0.5 0.1 0.1
Calcule os momentos centrados de ordens 1, 2, 3, 4 correspondentes a esta função de probabilidade. Qual o significado do momento centrado de ordem 2?
XIX. A Escola “Ensino do Futuro” abriu concurso para admissão de professores. Das 80 candidaturas recebidas, 40 possuíam somente experiência anterior, 30 possuíam somente certificado profissional e 10 possuíam ambos (experiência anterior e certificado profissional) a) Qual é a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência
anterior ou certificado profissional?
b) Qual a probabilidade de que um candidato aleatoriamente escolhido tenha experiência anterior ou certificado mas não ambos?
c) Seleccionou-se ao acaso uma das 80 candidaturas e verificou-se que o candidato possuía experiência anterior. Qual a probabilidade de ter também certificado profissional?
XX. Para analisar a viabilidade do alargamento da sua rede de balcões, uma instituição bancária estudou o comportamento da sua clientela e a capacidade das 100 agências actualmente existentes no País (60 na zona Norte, 30 na zona Sul e 10 na zona Centro). A percentagem de reclamações recebidas pelo banco devido ao tempo de espera nos balcões, relativamente a cada zona, é de 5% para a zona Norte, 3% para a zona Sul e 4% na zona Centro.
a) Qual a probabilidade de o banco receber uma reclamação vinda de qualquer ponto do país?
b) A instituição bancária recebe uma nova reclamação. Qual a probabilidade de ser proveniente da zona Sul?
XXI. A secção de documentação de determinada empresa tem três funcionárias que cometem, por vezes, determinados erros de arquivo. A percentagem total de documentos arquivados e a percentagem de erros de arquivo, devidas a cada uma das funcionárias, distribuem-se do seguinte modo:
Funcionária Papel arquivado Erro
Maria 25% 3% Ana 55% 2% Teresa 20% 3%
a) Qual a probabilidade de, escolhendo um documento ao acaso, ter sido cometido um erro de arquivo?
b) Tendo sido detectado um erro de arquivo, qual a probabilidade de ter sido cometido pela
