Universidade Federal do Paraná 2◦ semestre 2015.
Algebra Linear, CM 005 Olivier Brahic
Lista de exercícios 2
Sistemas de equações lineares II
Exercício 1: As matrizes aumentadas seguintes estão na forma linha degrau. Em cada caso, indique se o sistema linear corespondente é consistente. Se o sistema tiver uma solução única, encontre-a. a) 1 2 4 0 1 3 0 0 1 b) 1 3 1 0 1 −1 0 0 0 c) 1 −2 4 1 0 0 1 3 0 0 0 0 d) 1 −2 2 −2 0 1 −1 3 0 0 1 2 e) 1 3 2 −2 0 0 1 4 0 0 0 1 f) 1 −1 3 8 0 1 2 7 0 0 1 2 0 0 0 0
Exercício 2: As matrizes aumentadas seguintes estão na forma linha degrau reduzida. Em cada caso, encontre o conjunto solução dos sistemas lineares corespondentes.
a) 1 0 0 −2 0 1 0 5 0 0 1 3 b) 1 4 0 2 0 0 1 3 0 0 0 1 c) 1 −3 0 2 0 0 1 −2 0 0 0 0 d) 1 2 0 1 5 0 0 1 3 4 e) 1 5 −2 0 3 0 0 0 1 6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 f) 0 1 0 2 0 0 1 −1 0 0 0 0
Exercício 3: encontre o conjunto solução dos seguintes sistemas lineares.
a) ( x1− 2x2 = 3 2x1− x2 = 9. b) ( 2x1− 3x2 = 5 −4x1+ 6x2 = 8. c) x1+ x2 = 0 2x1+ 3x2 = 0 3x1− 2x2 = 0. d) 3x1+ 2x2− x3= 4 x1− 2x2+ 2x3= 1 11x + 2x + x = 14. e) 2x1+ 3x2+ x3 = 1 x1+ x2+ x3 = 3 3x1+ 4x2+ 2x3 = 4. f) x1− x2+ 2x3 = 4 2x1+ 3x2− x3 = 1 7x1+ 3x2+ 4x3 = 7. g) x1+ x2+ x3+ x4 = 0 2x1+ 3x2− x3− x4 = 2 3x1+ 2x2+ x3+ x4 = 5 3x + 6x − x − x = 4. h) x1− 2x2= 3 2x1+ x2= 1 −5x1+ 8x2= 4. i) −x1+ 2x2− x3 = 2 −2x1+ 2x2+ x3 = 4 3x1+ 2x2+ 2x3 = 5 −3x1+ 8x2+ 5x3 = 17. j) x1+ 2x2− 3x3+ x4= 1 −x1− x2+ 4x3− x4= 6 −2x − 4x + 7x − x = 1.
k) x1+ 3x2+ x3+ x4 = 3 2x1− 2x2+ x3+ 2x4 = 8 x1− 5x2 + x4 = 5. l) x1− 3x2+ x3 = 1 2x1+ x2− x3 = 2 x1+ 4x2− 2x3 = 1 5x1− 8x2+ 2x3 = 5. m) ix1+ (1 + i)x2 = i, (1 − i)x1+ x2 −ix3 = 1, i.x2 +x3 = 1.
Exercício 4: Use a redução Gauss-Jordan para resolver cada um dos seguintes sistemas:
a) ( x1+ x2 = −1 4x1− 3x2 = 3. b) ( x1+ x2+ x3= 0 x1− x2− x3= 0. c) −4ix1 − 8x2 = 0 2x1 − 4ix2 = 0 d) 4ix1 − 8x2 = 0 2x1 + 4ix2 = 0 e) x1+ 3x2+ x3+ x4 = 3 2x1− 2x2+ x3+ 2x4 = 8 3x1+ x2+ 2x3− x4 = −1. f) x1+ x2+ x3+ x4 = 0 2x1+ x2− x3+ 3x4 = 0 x1− 2x2+ x3+ x4 = 0.
Exercício 5: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada tem a forma: 1 2 1 1 −1 4 3 2 2 −2 a 3 . Para que valores de a o sistema tem uma única solução ?
Exercício 6: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: 1 2 1 0 2 5 3 0 −1 1 β 0 .
a) É possível que o sistema seja inconsistente ? Explique.
b) Para que valores de β o sistema terá um número infinito de soluções ? Exercício 7: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma:
1 2 1 0 2 5 3 0 −1 1 a b .
a) Para que valores de a e b o sistema tem um número infinito de soluções ? b) Para que valores de a e b o sistema é inconsistente ?
Correções:
Correção do Exercício 1:
a) o sistema é inconsistente: S = ∅.
b) o sistema tem uma solução única: S = {(4, −1)} ⊂ R2
c) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−11 + 2α, α, 3) onde α ∈ R .
Note que em general, jà que um sistema admite soluções diferentes, tem várias maneiras de escrever o conjunto solução. Por exemplo, neste caso, as seguintes descrevem o mesmo conjunto solução: S = (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−11 + 2α , α , 3 ) onde α ∈ R = (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−11 + α0 , α0/2 , 3 ) onde α0 ∈ R = (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (−10 + α00 , 1/2 + α00/2 , 3 ) onde α00∈ R .
Neste caso, é facil passar de uma linha a outra, pegando α0 = 2α, e α00 = α0 + 1. Caso o sistema tem mais de uma variavel livre, pode ser mais complicado passar de uma escritura à outra (pois pode ter duas variaveis livres α e β, ou mais). Parte do programa deve permitir entender isto.
d) o sistema tem uma solução única: S = {(12, 5, 2)} ⊂ R3 e) o sistema é inconsistente: S = ∅.
f) o sistema tem uma solução única: S = {(5, 3, 2)} ⊂ R3 Correção do Exercício 2:
a) o sistema tem uma solução única: S = {(−2, 5, 3)} ⊂ R3
b) o sistema é inconsistente: S = ∅. c) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (2 + 3α, α, −2) onde α ∈ R .
d) o conjunto solução é um plano em R4:
S = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (5 − 2α − β , α , 4 − 3β , β) onde α, β ∈ R .
e) o conjunto solução é um plano em R4:
S = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (3 − 5α + 2β , α , β , 6) onde α, β ∈ R .
f) o conjunto solução é uma reta em R3:
Correção do Exercício 3:
a) o sistema tem uma solução única: S = {(5, 1)} ⊂ R2 b) o sistema é inconsistente: S = ∅.
c) o sistema tem uma solução única: S = {(0, 0)} ⊂ R2 d) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (9/7 − 2α/7 , α , −1/7 + 8α/7) onde α ∈ R .
e) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (8 − 2α/7 , −5 + α , α) onde α ∈ R .
f) o sistema é inconsistente: S = ∅. g) o sistema é inconsistente: S = ∅. h) o sistema é inconsistente: S = ∅.
i) o sistema tem uma solução única: S = {(0, 3/2, 1)} ⊂ R3 j) o conjunto solução é uma reta em R4:
S = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (−16 + 6α , 7 − α , α , 3 − α) onde α ∈ R .
k) o conjunto solução é uma reta em R4:
S = (x1, x2, x3, x4) ∈ R4 | (x1, x2, x3, x4) = (5 − α , 0 , −2 , α) onde α ∈ R .
l) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (1 + 2α/3 , α , 7α/3) onde α ∈ R .
m) o sistema tem uma solução única: S = {( i, 1, 1 − i)} ⊂ C3 Correção do Exercício 4:
a) o sistema tem uma solução única: S = {(0, −1)} ⊂ R2 b) o conjunto solução é uma reta em R3:
S = (x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (0 , −α , α) onde α ∈ R .
c) o conjunto solução é uma reta complexa em C2:
S = (x1, x2) ∈ C2 | (x1, x2) = (α , −iα/2 ) onde α ∈ C .
d) o conjunto solução é uma reta complexa em C2:
S = (x1, x2) ∈ C2 | (x1, x2) = (α , iα/2 ) onde α ∈ C .
e) o conjunto solução é uma reta em R4:
Correção do Exercício 5: Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equiva-lente triangular da seguinte maneira:
L1 L2 L3 1 2 1 1 −1 4 3 2 2 −2 a 3 ; L01:= L1 L02:= L2+ L1 L03:= L3− 2L1 1 2 1 1 0 6 4 3 0 −5 a − 2 1 ; L001 := L01 L002 := L02 L003 := L03+ L02 1 2 1 1 0 6 4 3 0 0 a + 2 4 Deduzemos facilmente da linha L003, e efetuando a substituição reversa quando for possível, que:
• se a = −2, o sistema é inconsistente, • se a 6= 0, o sistema tem uma única solução.
Correção do Exercício 6: Considere um sistema linear cuja matriz aumentada é da forma: 1 2 1 0 2 5 3 0 −1 1 β 0 .
a) Por causa da coluna direita de zeros, é fácil ver que o sitema sempre admite (x1, x2, x3) =
(0, 0, 0) como solução, logo não pode ser inconsistente (S 6= ∅).
b) Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equivalente triangular da seguinte maneira: L1 L2 L3 1 2 1 0 2 5 3 0 −1 1 β 0 ; L01 := L1 L02 := L2− 2L1 L03 := L3− L1 1 2 1 0 0 1 1 0 0 −1 β − 1 0 ; L001 := L01 L002 := L02 L003 := L03+ L02 1 2 1 0 0 1 1 0 0 0 β 0 Deduzemos facilmente da linha L003, e efetuando a substituição reversa que:
• se β 6= 0, o sistema tem uma única solução (0, 0, 0), i.e: S = {(0, 0, 0)}. • se β = 0, o sistema tem infinidade de soluções:
S =(x1, x2, x3) ∈ R3 | (x1, x2, x3) = (α, −α, α), onde α ∈ R
Correção do Exercício 7: Por operações elementares em linhas, obtemos o sistema equiva-lente triangular da seguinte maneira:
L1 L2 L3 1 2 1 0 2 5 3 0 −1 1 a b ; L01 := L1 L02 := L2− L1 L03 := L3+ L1 1 2 1 0 0 3 2 0 0 3 a + 1 b ; L001 := L01 L002 := L02 L003 := L03− L0 2 1 2 1 0 0 3 2 0 0 0 a − 1 b
Deduzemos facilmente da linha L003, e efetuando a substituição reversa quando for poosível que:
• se a = 1 e β = 0, o sistema tem uma infinidade de soluções, • se a = 1 e b 6= 0, o sistema é inconsistente, S = ∅,
• se a 6= 1, o sistema tem uma solução única: tem infinidade de soluções: S = b 3(a − 1), −2b 3(a − 1), b 3(a − 1) .