I-4 Espetro de sinais periódicos A Série de Fourier

I-4

Espetro de sinais periódicos

A Série de Fourier

Sumário

1. Sinais periódicos

• Sinusóide

• Onda quadrada

2. Espetro de amplitude e de fase

• Unilateral • Bilateral

3. Série de Fourier

4. As tabelas de pares típicos

5. Cálculos de indicadores

• Potência e valor médio • Largura de banda

6. Exemplos de aplicações

7. Exercícios

1. Sinais periódicos

)

(

)

(

t

x

t

kT

_o

x





… … 2 0 T 2 0 T  0 T 0 0 1 T f  ) (t x_T

• Sinais periódicos ou estritamente repetitivos

• Repetem-se a cada período fundamental T_o – menor valor de tempo para o qual o sinal se repete

• No domínio contínuo ou analógico (período T_o seg) temos

• Para o domínio discreto (período N amostras) temos

]

[

]

[

n

x

n

kN

x





• Exemplos: Onda Quadrada Sinusóide

k é inteiro relativo.

1. Sinusóide

)

2

cos(

)

(

t



A



f

₀

t





v

A – valor máximo de amplitude

f_o – frequência fundamental (n.º de períodos por segundo) T_o = 1 / f_o, é o período fundamental

1. Sinusóide

v

(

t

)



A

cos(

2



f

₀

t





)

• Tem valor médio nulo

• A potência é

• apenas depende da amplitude

• não depende da frequência nem da fase

2

2

A P_v 

1. Sinusóide

Aplicação nas modulações: • OOK • FSK • PSK

1. A onda quadrada

2. Espetro de amplitude e de fase

 A sinusóide representada por um fasor (fase + vector)



( )

 

( )



0 0 j 0 0

)

cos(

complexa

l

exponencia

da

real

à

e

correspond

sinusóide

A

1

com

sin

cos

e

Euler

de

Fórmula

    















  























t j t j

Ae

e

A

t

A

t

j

j

2. Espetro de amplitude e de fase

• O fasor tem comprimento A • Roda a fo rotações por segundo

• Faz um ângulo de  radianos com o eixo real, para t = 0

• Para descrever o fasor no domínio da frequência precisamos de lhe associar a amplitude e a fase

2. Espetro de amplitude e de fase

Convenções na representação espetral:

 Variável independente é a frequência f em Hz (ciclos/seg)  _{w=2*pi*f (rad/seg) é a frequência angular}

 Os ângulos de fase são medidos relativamente a função co-seno

(origem do referencial):

 sen(ωt) = cos (ωt - 90º ) = cos (ωt – /2 )

 _{A amplitude é sempre positiva. Amplitudes negativas são}

referidas na fase

2. Espetro de amplitude e de fase

v(t) = 20 cos (2 1000 t – /3)

A sinusóide

/3 corresponde a 60º Espetro de Amplitude Espetro de Fase

Soma de sinusóides com componente DC não nula

Domínio do tempo

2. Espetro de amplitude e de fase

Domínio da frequência: • Amplitude

• Fase (em graus)

)

60

2

(

sen

4

3

20

2

cos

10

7

)

(

t

t

t

v





















_





2. Espetro de amplitude e de fase

)

60

2

(

sen

4

3

20

2

cos

10

7

)

(

t

t

t

v





















_

















_















_

_





2

60

2

cos

4

3

20

2

cos

10

7



t







t















_















_





2

60

2

cos

4

3

2

20

2

cos

10

7



t





t



• Amplitude sempre positiva • Co-seno indica a referência de fase

Fasores Conjugados

Espetro bilateral e frequências “negativas”

 

* 2 * 2 2 2 1 ( ) 2 cos(2 ) 2 2 o o o o j f t j j f t j j f t j j f t j o z z z z Ae e z Ae e A A A f t e e e e        





            Simetria par Simetria ímpar

2. Espetro de amplitude e de fase

2

.

Espetro de amplitude e de fase

Versão bilateral do espetro

)

60

2

(

sen

4

3

20

2

cos

10

7

)

(

t

t

t

v





















_

















_















_





2

60

2

cos

4

3

2

20

2

cos

10

7



t





t



2

.

Espetro de amplitude e de fase

Espetro Unilateral _{Espetro Bilateral}

Domínio do Tempo

)

2

cos(

)

(

t



A



f

t





x

_o )) 2 ( cos( 2 ) 2 cos( 2







 







 A f_ot A f_ot )) ) ( 2 cos( 2 ) 2 cos( 2











 



 A f_ot A f_o t

2. Espetro de amplitude e fase

 Constituem representações gráficas de sinusóides no

domínio da frequência

 Uma linha no espetro unilateral representa uma sinusóide  Essa mesma sinusóide é representada por duas linhas no

espetro bilateral

 _{O espetro de amplitude fornece indica a distribuição de}

potência pelas frequências

 _{O espetro de fase indica o desfasamento de cada}

3. Série de Fourier

Qualquer função ou forma de onda periódica pode ser

expressa pela soma de sinusóides com frequências

múltiplas inteiras (designadas harmónicas) da

frequência fundamental, com as amplitudes e fases

apropriadas

Jean-Baptiste Joseph Fourier

(1768 – 1830 )

...

)

2

2

cos(

)

2

cos(

)

(

t



A

₀



A

₁



f

t





₁



A

₂



f

t





₂



x

_{o o}

)

2

cos(

1 0 o k k k

kf

t

A

A













 

3. Série de Fourier

)

2

cos(

)

(

1 0 o k k k

kf

t

A

A

t

x













 

Espetro Unilateral Espetro Bilateral

)

2

cos(

|

|

)

(

_{o k} k k

kf

t

c

t

x









  



0

|,

|

|

|

0

,

2

0

,

|

|





















c

k

c

k

A

k

A

c

k k k k k

0

,

0

,



















k

k

k k k k



3. Série de Fourier (trigonométrica)

)

2

cos(

)

(

1 0 o k k k

kf

t

A

A

t

x













  Espetro Unilateral )) 2 ( sen ) ( sen ) 2 cos( ) (cos( 1 0 A kf t kf t A _{k o k o} k k       



 

)

2

(

sen

)

(

sen

)

2

cos(

)

cos(

1 1 0

A

kf

t

A

kf

t

A

_{k o} k k o k k k













   







) 2 ( sen ) 2 cos( 1 1 0 a kf t b kf t a _o k k o k k 







      













0

),

(

cos

0

,

k

A

k

A

a

k k k k



bk  Aksen(k) ) ( sen ) ( sen ) cos( ) cos( ) cos(ab  a b  a b

3. Série de Fourier (trigonométrica)

)

2

cos(

)

(

1 0 o k k k

kf

t

A

A

t

x













  Espetro Unilateral ) 2 ( sen ) 2 cos( 1 1 0 a kf t b kf t a _o k k o k k 







      













0

),

(

cos

0

,

k

A

k

A

a

k k k k



bk  Aksen(k) 2 2 k k k a b A           k k k a b atan



3. Série de Fourier (exponencial 1/2)

Espetro Bilateral ) 2 ( sen ) 2 cos( ) ( 1 1 0 a kf t b kf t a t x _o k k o k k 







                         





    2 ) 2 exp( ) 2 exp( 2 ) 2 exp( ) 2 exp( 1 1 0 j t kf j t kf j b t kf j t kf j a a o o k k o o k k    





           _        _   1 1 0 exp( 2 ) 2 2 ) 2 exp( 2 2 k o k k k o k k _j b _{j kf t} a _j b _{j kf t} a a  





           _        _   1 1 0 exp( 2 ) 2 2 ) 2 exp( 2 2 k o k k k o k k _j b _{j kf t} a _j b _{j kf t} a a  

3. Série de Fourier (exponencial 2/2)

Espetro Bilateral





           _        _   1 1 0 exp( 2 ) 2 2 ) 2 exp( 2 2 ) ( k o k k k o k k _j b _{j kf t} a _j b _{j kf t} a a t x  



    k o k j kf t c exp( 2 ) 2 2 1 4 4 | | 2 2 2 2 k k k k k k A b a b a c      ) exp( | | _{k k} k c j c  

0

,

0

,



















k

k

k k k k



3. Série de Fourier (exponencial 2/2)

Coeficientes da Série de Fourier

)

exp(

|

|

_{k k} k

c

j

c









x

(

t

),

exp(

j

2



kf

_o

t

)

dt

t

kf

j

t

x

T

o T o o







1

(

)

exp(

2



)

dt

t

kf

t

x

T

j

dt

t

kf

t

x

T

o o T o o T o o









1

(

)

cos(

2



)

1

(

)

sen

(

2



)

3. Série de Fourier

Frequência fundamental fo é aquela à qual o sinal se repete

T_o = 1 / f_o

O período fundamental T_o é o mínimo múltiplo comum dos períodos das várias

componentes de frequência T_o = mmc( T₁, T₂, .... )

3. Série de Fourier

3. Série de

Fourier

Exemplos de

3. Série de Fourier

• x(t) é sinal periódico real com frequência fundamental f_o • Espetro de amplitude é dado pelos coeficientes A_k

• Espetro de fase é definido pelos coeficientes _k

•A₀ é o valor médio do sinal (componente DC) •kf_o são as componentes harmónicas do sinal • f_o é a primeira harmónica

...

)

2

2

cos(

)

2

cos(

)

(

t



A

₀



A

₁



f

t





₁



A

₂



f

t





₂



x

_{o o}

)

2

cos(

1 0 o k k k

kf

t

A

A













 

3. Série de Fourier

• Sequência de pulsos rectangulares (onda quadrada) • Sinal periódico de potência

Espetro da sequência de pulsos rectangulares

Espetro da onda quadrada Amplitude unitária

3. Série de Fourier

Espetro de fase Espetro de amplitude

Espetro da onda quadrada (amplitude unitária)

 As linhas do espetro ocorrem às frequências múltiplas de

f₀ (kf₀ são as harmónicas)

 _{Na frequência 0 temos a componente DC do sinal}  f₀ é a frequência fundamental

 d é o duty cycle

 As amplitudes das harmónicas são dadas por

A_k = 2d sinc(kd)

Onda quadrada: soma de sinusóides

3. Série de Fourier

)

2

cos(

)

(

1 0 o k k k

kf

t

A

A

t

x













 

0

0

),

(

sinc

2

0

,















k k

k

kd

Ad

k

Ad

A



Nota: nesta representação A_k toma

4. Tabela de pares típicos

• Espetro unilateral

(

)

cos(

2

)

1 0 o k k k

kf

t

A

A

t

x













 

4. Tabela de pares típicos

• Espetro bilateral

(

)

|

|

cos(

2

o k

)

k k

kf

t

c

t

x









  



• A potência é calculada a partir do espetro de amplitude, recorrendo ao Teorema de Parseval

5. Cálculos de indicadores



 





1 2 2 0

2

k k x

A

A

P

) 2 cos( ) ( 1 0 o k k k kf t A A t x  









  Espetro Unilateral Espetro Bilateral

• O valor médio (ou componente DC) é dado pelo coeficiente A₀ =|c₀| (contribuição da frequência 0)

) 2 cos( | | ) ( _{o k} k k kf t c t x 



    



  



k k x

c

P

|

|

2

5. Cálculos de indicadores

A largura de banda (LB) é definida como a largura da faixa de frequências ocupada pelo sinal

Frequências “negativas” não são consideradas

5. Cálculos de indicadores

5. Cálculos de indicadores

Uso do MATLAB x(t)  2cos(2500t) 10cos(21000t)

Pouco detalhe na representação do sinal Baixo número de pontos usado na representação

5. Cálculos de indicadores

6. Exemplos de Aplicações

• Marcação DTMF – Dual Tone MultiFrequency

• Cada tecla corresponde à soma de duas sinusóides

• Tabela com pares

de frequências

utilizadas

6. Exemplos de Aplicações

Demonstração Matlab - phone

Marcação telefónica

DTMF

Dual-Tone

6. Exemplos de Aplicações

Notas musicais = Sinusóides organizadas em frequência (escalas)

7. Exercícios

A figura apresenta o espetro unilateral de amplitude do sinal x(t).

a) Apresente o respectivo espetro bilateral de amplitude

b) Indique a potência, a largura de banda, a frequência fundamental e o valor médio do sinal

7. Exercícios

Considere o sinal periódico x(t), de frequência fundamental 10 kHz, definido por

a) Esboce os espetros unilaterais de amplitude e de fase de x(t).

b) Indique a largura de banda do sinal e a percentagem de potência contida na banda de 0 a 15 kHz.

Sejam

a) Esboce o sinal z(t) b) Calcule Ez, mz e Pw

c) Esboce os espetros dos sinais z(t) e w(t).

/3)

t

3f

cos(2

5

/4)

t

f

cos(2

5

x(t)







_o









_o





z(t). ) /2 t 20 2 sen( 5 1 w(t) e ) t 10 2 ( cos 2 3 -z(t)       

7. Exercícios

ISEL - ADEETC - Comunicações

• Exercícios sugeridos (de enunciados de testes de

semestres anteriores):

• Exercício #1, do teste de época normal, verão 2014/2015, 9 de julho de 2015

• Exercício #3, alíneas a) e b), do 1.º teste parcial, verão 2014/2015, 4 de maio de 2015

• Exercício #3, alíneas a) e b), do 1.º teste parcial, inverno 2014/2015, 26 de novembro de 2014

• Exercício #2 do 1.º teste parcial, verão 2013/2014, 29 de abril de 2014 • Exercício #4, do 1.º teste parcial, inverno 2013/2014, 13 de novembro de