UNIVERSIDADE DL SAO PAULO INSTITUTO DE FÍSICA O MODELO SIMPLÉTICO PARA AS RESSONÂNCIAS GIGANTES MONOPOLARES. Manuel Máximo Bastos Malheiro de Oliveira

U N I V E R S I D A D E DL S A O P A U L O I N S T I T U T O DE F Í S I C A O M O D E L O S I M P L É T I C O P A R A A S R E S S O N Â N C I A S G I G A N T E S M O N O P O L A R E S M a n u e l M á x i m o B a s t o s M a l h e i r o de O l i v e i r a (0 s v • S'fVI'O "" [l".U.,TLCA £

Dissertação de Mestrado apresentada no I n s t i t u t o de F í s i c a da USP

São Paulo 19&5

I n s t i t u t o de F í s i c a da Universidade da São

Oliveira, Manuel Maximo Bastos Malheiro de

O modelo simplético áas ressonâncias gigantes nono polares. São Paulo, 1985.

Discertação (Mestrado) - Universidade de São Paulo. Instituto de Física. Departamento de Física Matemática.

Area de Concentração: Física Nuclear

.Orientador: Prof. Dr. Bnerson José Veloso de Passos. Uhitermost 1.Modelo Simpiético Sp(2,R); 2.Aplicação s Nücl<

relações.

aos Núcleos 16O e 40Ca ; 3.Regras de Soma Modelo e Cor

AOA mtu* pa.it.

Ao Prof.- Or. Emerson J. Veloso de Passos, não só pela valiosa orientação recebida, mas também pelo apoio e compreen-são que sempre demonstrou durante todo este tempo.

• ' Aos colegas do IFUSP, de um modo especial ao João Ha nuel pelo convfvio e amizade e ao Marcus Aluísio pelos auxílios prestados com tanta paciência na parte de computação.

Aos meus pais, pelo carinho e preocupação constantes. A Maria Neuza dos Santos, pelo excelente* trabalho de datilografia. .

-.'..'.- . A FAPESP, pelo apoio financeiro.

A todos que, direta ou indiretamente, .me incentivaram para a conclusão deste trabalho.

ItESUHO

Investigamos, baseados em artigos que surgira» recent temente, coso o nodeIo simplitico pod* ser aplicado ao estudo da* ressonâncias gigantes monopolares em núcleos esféricos. Re. produzidos os mesmos resultados obtidos nesses trabalhos para as energias do modo monopolar, funções de onda, raios e -imeom-pressibí I idade dos núcleos " O e % iCa. Analisamos como os efe_i.

tos espúrios do movimento do centro de massa influenciam nas energias de ressonância.

Calculamos as regras de soma m^, O i l s 3» do opera-dor de monopolo, mostrando primeiro que .estas são conservadas no modelo simplêtico. Estudamos a importância, para esses cãj_ culos, das correlações de n-bõsons no estado fundamental, que ê uma'extensão para essas regras de soma, da análise feita pa-ra a incompressibi1 idade nuclear nos artigos mencionados.

ABSTRACT

Following recently published articles, we investigate how to apply the sympletic model, to the study of giant monopole resonances in spherical nuclei. The results obtained agree •with those already published for monopole mode energies, wave

functions, radii and nuclear (ncompressibi I i ty of " 0 and "°Ca nuclei. We analyse how the spurious center-of-mass motion.in-fluence resonance energies.

The sum rules of the monopole operator, in., 0 S l< 3, mrt calculated, demonstrating at first that they are conscrvated in the sympletic model. Ti)en we study, for those sum rules, the Importance of n-bóson correlations in the fundamental state, which is an extension to those sum rules, Of the analysis for the nuclear Incompressibi1ity, performed in above mentioned articles. •

CAPITULO 1 - IHTRODUÇAO 1 tAPfTULO 2 - O 6RUP0 SIMPLÉTICO Sp(2,«).. k 2.1 • Definição, algebra e representações % 2.2 - Estados coerentes do grupo 9 CAPÍTULO 3 - 0 MODELO SIMPLETICO PARA AS VIBRAÇÕES

MONO-POLARES ISOESCALARES 15 3.1 - 0 Modelo simplétíco 15 3.2 - Efeitos espúrios do centro de massa.. . 23' 3.3 - Método da função geratriz.... 28 3.% - Cálculo do núcleo de energia 32 3.5 - Apl i cação aos núci eos »• 0 e • *• Ca 39 CAPÍTULO V - REGRAS OE SOMA E CORRELAÇÕES ..:. *3

*,1 - Introdução «. *3 %.2 - Regras de soma modelo. Conservação de uma

regra de soma... :. k& k.y - Regras de soma no modelo símplético e a

incompressibiI idade nuclear. 0 efeito das , correlações do estado fundamental 52' ' ' • í CAPÍTULO 5 - CONCLUSÃO. 63 . 1 APÊNDICE A . 69 TÁBUAS , 72

REFERENC I AS 84

CAHTULO 1

UlTRODUÇftO

O «odeio simp)ético ê uma teoria Microscópica cole-tiva que possibilita identificar as configurações do modelo de camadas do oscilador, necessárias para a descrição das vibra-ções coletivas monopolares e quadrupolares do núcleo.

Recentemente *l t 2' surgiram vários trabalhos utilizar^

do esse modelo para estudar as propriedades das ressonâncias gj_ gantes monopolares de núcleos esféricos.

Na descrição do movimento coletivo quadrupolar e mo-nopolar do núcleo por este modelo 1'2*3 , supomos que o núcleo

está sujeito apenas a excitações coletivas. A escolha dessas ex citações- ê baseada em considerações fenômeno lógicas sobre a n£ tureza do movimento coletivo em questão. Essas excitações col£ tivas sio geradas pela ação de operadores coletivos, cuja álg£ bra» é a álgebra do grupo simple tico Sp(6, R)> num estado de referência. As configurações de muitas partículas, assim cor\» trufdas, estão definidas numa representação irredutível desse grupo simplético qut, por sua vez, é um sub-espaço do modelo de camadas de oscilador. Esse sub-espaço é identificado com o sub-espaço coletivo e a dinâmica coletiva é descrita pela res-trição da Hamilton!ana de muitos corpo» a esse sub-espaço.

nos-Ha descrição das oscilações monopoiares de núcleos es feri cos, a álgebra dos operadores coletivos se reduz â algebra do grupo simpleticb Sp(2, R ) . As referências 1 e 2 calculam, pa ra uma série de núcleos, utilizando este modelo, a energia da ressonância gigante monopolar e a incomeressibi I idade com excel en te acordo com os dados experimentais. Em particular, esses tra_ balhos mostram que,.apesar do estado fundamental ser dominado pelo vácuo do bóson de Holstein-Primakoff do grupo Sp(2, K),a presença de pequenas misturas de componentes com 2-bósons no estado fundamental tem um efeito apreciável no cálculo da incom pressibilidade.

No nosso trabalho, estendemos o estudo feito nesses trabalhos ãs regras de soma do operador de monopolo. Para is-so, procuramos distinguir cuidadosamente as regras de soma "exa-tas" das regras de soma "modelo". Ao compararmos, de um modo significativo, essas duas quantidades, introduzimos o conceito d* conservação de uma dada regra de soma por um dado modelo. Ir» tuitivamente, esse conceito pode ser entendido como uma condi* çio para que a regra de soma exata seja exaurida no espaço mo-delo.. Mostramos que as regras de soma m^ , 0 i ti }, são con- (i servada» no modelo simplétfco. /

Além disto, o cálculo dessas regras de soma mostra que a intensidade das mesmas está concentrada no primeiro estado sx . citado (ao se calcular a percentagem exaurida por esse estado)

• confirma a importância das correlações de 2 bôsons no estadc fundamental.

No Capítulo 2 fazemos uva rápida discussão das pro-priedades do grupo simplêtico Sp(2,R) e dos seus estados co£ rentes» que serão importantes no desenvolvimento do modelo sim plético.

No Capítulo 3 apresentamos uma discussão razoávelmeft te completa desse modelo. É dada uma certa ênfase ao desenvol-vimento da tecnologia necessária para efetuar os cálculos, no contexto do modelo, das funções de onda e níveis de energia p£ ra os núcleos " 0 e %*Ca. Apresentamos uma discussão sobre a

influência dos efeitos espúrios do centro de massa, nesses re-sultados. Nesse capítulo procuramos, sempre que' possível, com-parar os nossos resultados com os das referências 1 e 2.

. . Discutimos, no Capítulo 4, as propriedades das regras de soma "exata" e das regras de soma "modelo" e introduzimos o conceito de conservação de uma dada regra dè soma. Apresentamos o cálculo e resultados para as regras de soma m^ , 0 S m . i 3 ,' > do operador de monopolo. Investigamos a importância, nesses r£ ' sultados, das correlações de. n-bósons no estado fundamental. D£ > fínimos e calculamos as energias médias e mostramos como são im pórtentes, para compreender a concentração da distribuição de

intensidade nos dois núcleos e também na discussão da incompres »ibfI idade nuclear,

O Ç.RUPO SIHPlCTICO S p ( 2 , W )

2.1 - Definicio. Algebra e Representações

O grupo simplético Sp(2n,lft) é p grupo de matrizes A reais e regulares de n(2n+1) parâmetros, que deixam

ante a forma bilinear anti-simétrica nio degenerada

(x-y)

onde J • (Jjj) ê uma matriz de ordem 2n da forma

U.s> .

Como essa matriz é anti-simétrica, J * -J, então:

detJ - (-1)v • det J , _(2.3)

onde v é a dimensão da matriz J. Por essa última relação fj^ ca claro que o grupo simplético só pode ser definido para espji ços de dimensão par (v > 2n) pois, para v ímpar, detJ - 0 e

a forma bilinear seria degenerada.

A invariâhcié do produto anti-simétrico pelas trans formações do grupo, lap li ca que:

ATJA - J . (2.*)

0 grupo Sp(2n, R) i, portanto, o grupo de «atrizes reais de ordem 2n da forma:

A2

(2.5)

A, -AÍ

onde todas as matrizes reais A. sio de ordem n e A2 e A, sio

• • » - *

matrizes simétricas.

0 Sp(2, R ) , o grupo simplético em duas dimensões (n>i), é.localmente isomorfo ao grupo SU(1,1) e ao S0(2,1), o grupo de "rotações" num espaço pseudo-euclidiano de três dimensões.

Assim, devido ao isomorfismo, é conveniente estudar-mos o grupo $0(2,1). Este possui uma série de representações

irredutíveis unitárias, e nós vamos estudar apenas as séries dis, cretas, pois nelas cstio contidas as representações relevantes para • Física **•*..

0 $0(2,1) possui duas séries discretas, conhecidas por D* e 0 . lasta que consideremos uma delas, a D4 por exem

tero a infinito.

A Algebra de Lie do grupo S0(2,1) (e pelo iscformi^ mo, também a do Sp(2, R ) ) ê gerada por três operadores Ai, A2,

A», que satisfazem as seguintes regras de comutação:

- iÂ2 . (2.6)

Estas regras de comutação diferem das do grupo S0(3) (o grupo de rotações em um espaço euclidiano de três dimensões) pelo sinal do primeiro comutador.

Podemos mostrar que o operador' de Casimir do grupo, isto é, o operador que comuta com todos os operadores da Álge-bra é:

C, - A | - *| - *| . (2.7)

• . • '

Escolhendo uma base que diagonaliza simultaneamente Ca e A», notamos pela expressão (2.7), que para qualquer estado. que é simultaneamente uma autofunção de C2 e Ag, o autovalor

de. C2 é menor qi;e o aut&valor de Ao.

£ conveniente introduzir novos geradores:

At • A, t iA2 , . (Aw ) + - A+ , (2.8)

[A,,A

] - ±A

, [ A . ,A

] - 2A, , (2.9)

que diferem da algebra do momento angular (o grupo S0(3)) pelo sinal do último comutador.

0 operador de Casimir pode ser escrito em função dos' novos geradores:

C* - AJ - { (A

A_ + A-A

). . (2.10)

Seja |o,u> a base de vetores que diagonalizam si-multaneamente os operadores C2 e Ao:

C2 | a,u > - <x|a,u > ,

(2.11) A( | a,u > « u|a,u > .

0 autovalor do operador de Casimir a define as re. presentações irredutíveis do grupo. Usando as regras de comut£ çio (2.9)i mostra-se que: . •

A± | a,\i > - /y(y±i) - a |a, y±l > . (2.12)

x Como já fizemos referência, os autovalores de Ac sio

maiores ou iguais aos de C2, ou seja, yz>a . Portanto, deve ha.

ver um valor mínimo de u2 para um determinado valor de a .

Então, deve existir um estado de peso mínimo |a,K> tal que:

Através das relações (2.12) e (2.13), obtemos que a « • K(K-l) e que u • K+n onde n ê um número inteiro, não ne gativo e K > 0 . Assim, u vai crescendo em degraus de uma unj_ dade de K a •». As séries discretas D são obtidas com um estado de peso mínimo } a, -K > tal que A+ | o, - K > « 0 , onde p,

U • -K-n, vai diminuindo em degraus de uma unidade de -K a

£ melhor escrevermos a base de vetores para o espaço das representações irredutíveis unitárias T (g) do grupo Sp(2, R) como |K,n > onde a ação dos operadores nesta base pode ser re escrita: C í | K , n > - K(K-1) | K , n > , (2.15a) * . • A0| K , n > - (K+n) | K , n > , (2.15b) A1'2 n)(n+1) ) |K, n+1 > , (2.15c) A . | K , n > - f(2K + n - 1 ) n ) |K, n-1 > . (2.15d)

Assim, para cada multipleto, que ê definido pelo a^i tovaior K(K*1) do operador de Casimir C2 , temos um nume- !)

ro infinito de estados começando no estado de peso mfnimo J0> » V • |K,0> cujo autovalor é o índice K da representaçio:

A0|0 > - K|0 > , (2.16a)

P o r t a n t o , e s t e e s t a d o f i x a u m a r e p r e s e n t a ç ã o i r r e d u -tível u n i t á r i a d e d i m e n s ã o i n f i n i t a , c u j a b a s e ê g e r a d a p e l a £ ç ã o s u c e s s i v a de  • n e s t e e s t a d o : r ( 2 K ) r ( 2 K ) ( A ) " |0> , ( 2 . 1 7 ) n ! r ( 2 K + n ) / + o n d e K é o í n d i c e d a r e p r e s e n t a ç ã o i r r e d u t í v e l ( m a i s p r e c i s £ m e n t e K ( K - l ) ) . Um g r u p o c u j a s r e p r e s e n t a ç õ e s i r r e d u t í v e i s u n i t á r i a s s ã o d e d i m e n s ã o i n f i n i t a , isto é , q u e c o n t ê m um n ú m e r o i n f i n i -to d e e s t a d o s , é c h a m a d o g r u p o n ã o c o m p a c t o . 2.2 - E s t a d o s C o e r e n t e s d o G r u p o P a r a u m g r u p o d e L i e G s e m p r e é p o s s í v e l definir os e s t a d o s c o e r e n t e s g e n e r a l i z a d o s ( G C S ) d e s s e g r u p o . C o m o u m a f o r m u l a ç ã o g e r a l , o c o n j u n t o d o s G C S d e u m a r e p r e s e n t a ç ã o i r r e d u t í v e l g. •*• T ( g ) d e u m g r u p o d e L i e G s ã o d e f i n i d o s c o m o e s t a d o s o b t i d o s p e l a a p l i c a ç ã o d e t o d o s o s T(g) a g i n d o em um e s t a d o d e r e f e r ê n c i a |i|'o>» g e r a l m e n t e o estado de m e n o r (ou m a i o r ) p e s o da r e p r e s e n t a ç ã o i r r e d u t í v e l ' : i

GCS - ill» >> . onde U > - T(g)|i|»

> . (2.18)

v

p r e s e n t a ç S o de T ( g ) ê o espaço de H i l b e r t . Os GCS têm todas as p r o p r i e d a d e s dos estados coerentes o r d i n á r i o s , conhecidos c £ mo estados coerentes de G l a u b e r . Em m u i t o s c a s o s , eles são os estados q u i n t i c o s , cujas propriedades s ã o p r ó x i m a s à s dos esta dos clássicos e , p o r t a n t o , facilitam a p a s s a g e m de uma maneira n a t u r a l , do caso clássico para o q u â n t i c o .

Os o p e r a d o r e s Ao, A ! e A2 d o grupo S 0 ( 2 , 1 ) geram

transformações que deixam invariante a forma q u a d r i t i c a :

X. " X , * X, - const. 0 2 1 ( 2 . 1 9 ) O b t e m o s u m a r e a l i z a ç ã o d a á l g e b r a d o g r u p o : - i 9 A0

o o

o |

onde vemos uma rotação usual em torno de Xo e duas rotações

pseudo-euc)idianas (hiperbólicas) em torno de Xi * X2 •

Assim, qualquer representação T (g) do grupo pode ser escrita como:

T*(g) - T«>,T»I|;) - e

- Í T A2

11

Escolhendo como estado de referência o estado de pe-so mínimo da representação 10> • |K,0> , definido nas relações

(2.16), os estados coerentes do grupo são: ia -i*A0 - Í T A2

|<P,T> - e e e |0> . (2.22)

onde e1 é a p e n a s . u m f a t o r de f a s e . A s s i m , cada e s t a d o c o e

-r e n t e d e p e n d e a p e n a s d e d o i s p a -r â m e t -r o s , t e $. Esse fato-r de fase p o d e ser e s c o l h i d o c o n v e n i e n t e m e n t e , p o i s , s e n d o e uma t r a n s f o r m a ç ã o u n i t á r i a , e n t ã o :

-iiJ>Ao . Í « Ã0 - ,

itíAisiniP - A2cosip)

« e e j 0 >

e e s c o l h e n d o o f a t o r de f a s e , t a l que o • i{>K , obtemos os e s -tados c o e r e n t e s do g r u p o : | T , I | » - |n> - D ( n ) | 0 > , ( 2 . 2 3 a ) Ort) - e + Í T ( i ; ; J ) " (2.23b) o n d e in • ( 0 , s i n i p , - c o s i p ) e t • ( As, A i , A2) . R e a l m e n t e podemos a s s o c i a r c a d a e s t a d o c o e r e n t e a um v e t o r u n i t á r i o p s e u d o - e u c I i d i a n o : n. * ( n a » H i » H a ) • ( c o s h t , s l n h i c o s i p , s i n h T s i n i p ) , n1 • n-{ - n* • nj • i .

Ou seja, e x i s t e uma c o r r e s p o n d ê n c i a de cada estado c£ c r e n t e com um ponto do h i p e r b o l ó i d e

c o n f o r m e figura a b a i x o :

FIG.1 - Cada GCS do g r u p o Sp(2,IR) ê d e t e r m i n a d o por um ponto do h i p e r b o l ó i d e .

Como v e r e m o s , os GCS d o g r u p o Sp(2,IR) (pelo i s o m o £ fismo com o grupo SO ( 2 , 1 ) ) , d e f i n i d o s em ( 2 . 2 3 ) , podem ser ex pandidos nos estados simptéticos |n> . Para isso, é c o n v e n i -ente escrever os estados coer-entes de um o u t r o m o d o :

ÇA BAo Y A .

- e * e e 10> ,

Y

--

T .

6 2ín (cosh | ) In ( I

-Assim,

-

lei

(2.25)

13

Expandindo a exponencia) e usando a relação (2.17)» ob temos :

, ( 2.26)

n-0 \ n!T(2K)

COM £ • - th i e e K o índice da representação irredut^ vel.

Esses estados coerentes possuem as seguintes propri£

I) são auto-estados do operador (n.A) « He^o * HjAi • n2A2.com autovalor K.

Pois, como (n.A) - DtnJAoD"1 (n)

com D(n) definido em (2.23b), então

(n.*)|n> - D(n)A

|o> ,

• KD

I 0> .

Portanto:

(n.í)|n> -

; " (2.27)

2) não são ortogonais:

1 •

K I I L U

- -i«i»y

; (2

.

28)

(1 - Ç a ) 2 K

duK(Ç)|Ç>

I Jn> < n | - T ,

onde

2K-! d R e Ç d l m Ç

d - U l

)

(2.29b)

k) o espaço de Hilbert ê o espaço de funções analíticas com o produto e s c a l a r :

<f|g>

onde g ( Ç ) - <€|g> .

As funções f ( a ) satisfazem a relaçãc

f(a)

Ul

f (C)<ç|o>du

(ç)

e podem ser expandidas como:

(2.30)

(2.3D

f(o) - I a

f

(a) ,

-(;Í7

é uma base ortogonal no espaço de funções (2.30).

15

C A P I T U L O 3

O M O D E L O S l H P L g T I C O PARA A S V I B R A Ç Õ E S H O N O P Q I A R E S 1 S O E S C A I A R E S

3.1 - O M o d e l o S i m p l ê t i c o

0 m o d e l o s i m p l ê t i c o é uma teoria m i c r o s c ó p i c a coletj_ va que p o s s i b i l i t a i d e n t i f i c a r es c o n f i g u r a ç õ e s e m . u m modelo de c a m a d a s de o s c i l a d o r , n e c e s s á r i a s para a d e s c r i ç ã o das v i b r a ç õ e s m o n o p o l a r e s e q u a d r u p o l a r e s , tanto como as r o t a ç õ e s c o l e -tivas d o n ú c l e o . A s s u m e s e que o n ú c l e o está s u j e i t o u n i c a m e n t e a e x -c i t a ç õ e s -c o l e t i v a s . A s s i m , é p o s s í v e l -c o n s t r u i r um e s p a ç o -c o l £ t i v o , isto é , um e s p a ç o de c o n f i g u r a ç õ e s de m u i t a s p a r t í c u l a s 'tal q u e todas t e n h a m um c o m p o r t a m e n t o c o l e t i v o . 0 m o v i m e n t o c o l e t i v o pode ser e f e t u a d o no e s p a ç o d o m o d e l o de c a m a d a s do o s c i l a d o r , c o n s i d e r a n d o a representação ijr r e d u t í v e l d o a p r o p r i a d o g r u p o s i m p l ê t i c o E s t e s m o d e l o s e n v o l v e m todas as A partículas e o prí£ c í p i o de P a u l ! n ã o é v i o l a d o . A r e s s o n â n c i a g i g a n t e m o n o p o l a r i s o e s c a l a r , conhecida como o modo de respiração do núcleo, é uma vibração compressio nal isotrópica do núcleo, onde os protons e os neutros oscilam cnr fase. Essa osci lação mantém a simetria esférica, portanto es

ses estados têm o mesmo momento angular, paridade e isospin do estado fundamental.

Os estados que descrevem a contração e expansão do njú cleo são:

-leô

|f(0)> - e |»,> . (3-D

onde j^a> é a função de onda do estado fundamental e D o ope_

rador de dilatação: A

D - — l (x,.p. + Pj-x. ) , (3.2)

2n J J J J

onde x . e p . são, respectivamente, a coordenada e o m o m e n t o da partícula j .

Se |fo> « um d e t e r m i n a n t e de Slater, então o o p e r £

. A

dor D • J 6, faz uma transformação de escala na função de j"l j

de onda 9a(*;) d e cada partícula:

fo(^.e) - < * j | /1 6 j| *0> - e "V 2%a( e -e: . ) . (3.3)

Devido â fenomenologia do nosso problema, a única va_ riável relevante é o raio nuclear e, portanto, definimos mais dois operadores que se relacionam com os observáveis e n v o l v i -dos na» vibrações m o n o p o l a r e s :

17 H * J x* , (operador de monopolo)

* j-: (3.M

A, - 1 (M-í) ,

A, » \ (M + T)

Se |?|> é um estado de peso mínimo, os estados (3.1) estão definidos no espaço de uma representação i r r e d u t í v e l do grupo Sp(2,IR)t qte será Identificado com o sub-espaço

cole-t i v o .

Construímos uma base no sub-espaço coletivo do modo usual, definindo os operadores de levantamento, abaixamento e

o operador peso (ver equações 2.8, 2.9, 2.11 e 2.12)

(3.7a)

(3.7b)

A

° " í Z(a](p)aj

onde a.(u) e a.(y) são operadores de criação e aniquilação de quanta de oscilador de comprimento b0 « ( ti / m w0) :

+ 1 / * i( p ) b.

b0 K •

«,(M) - -7: ( -í +• i — Pj(M) 1 ,

J /2 \ b0 H J• V

onde P indica as direções no espaço e j as partículas.

Oevido aos operadores da álgebra poderem ser expres-sos em função de operadores de criação e aniquilação e Ao ser, a menos de um fator, a hamiltoniana do oscilador harmônico

é imediatamente aplicável dentro do modelo de camadas do osci-lador.

Tomamos para o estado fundamental |V(> um determj^

nante de Slater de funções de onda do oscilador harmônico. p£ ra núcleos com duas camadas fechadas, as camadas de oscilador com N < N (N - n +n +n ) estão totalmente preenchidas. Des^ se modo, ê .evidente que |f#> ê um estado de peso mínimo, pois:

A J T , > - 0 , ' ( 3 . 6 a )

A , | ¥o> - K|*o> . ( 3 . 8 b )

onde K é o índice da representação irredutível e ê obtido fa_ c i l m e n t e , pois está diretamente relacionado com a energia de os,

cilador do estado |¥0> visto que Ao « H / 2 H w0 .

Assim podemos gerar a base da representação i r r e d u t ^ vel unitária, pela ação repetida de A no estado de peso m í -nimo j*0> :

r < 2 K ) (A+)n|V,> , (3.9)

nir(2K+n)/ *

onde K ê o índice da representação.

Como nos casos por nós considerados, a configuração do

estado fundamental é não degenerada, a representação é determi nada univocamente. Concluímos então que a cada núcleo estará relacionada uma determinada representação irredutível do grupo

simplêt ico Sp(2, IR) .

Assim, pela exposição do modelo, concluímos que a ba se simplêtica ê uma banda de estados excitados, gerados pela a_ çio do operador de levantamento da álgebra do monopolo. Em ca_ da 2nnwe camada de oscilador se encontra precisamente um roem

bro |n> da banda e as contribuições das várias configurações para |n> estão pesadas de um modo que garante a sua coletivj_ dade e a sua natureza monopolar.

Para elucidar melhor a relação entre os membros da banda, é conveniente introduzir a construção de Holstein-Prim£ koff, onde a álgebra do grupo Sp(2,R) é reescrita em função de operadores de criação e aniquilação de bósons, definidos no espaço coletivo: Â+ - S+(2K + 5+5 )1 / 2 , (3.10a) A. - (2K + S+S)l'2S , . (3.10b) A* - K + 5*5 , (3.10c) com

[p,s] - [p,S+] - 0 ,

f)

- P (3.11b) V

21

Vemos entio que os operadores  e Â_ têm as mes-mas propriedades que os operadores de bósons S--«—£•-—quando atuam em um determinado estado da banda |n>, diferenciando-se apenas por fatores de normalização.

S e S atuam na base simplética, na forma canônica:

* 112

S | n> - (n+1) |n+1> , (3-12a)

S I n> - (n) |n-l> . (3-1 2b ^

Assim, para os estados s i m p l é t i c o s , temos q u e :

5|0> - 0 , . (3.13a)

(S+ ) n |0> , (3.13b)

n'.

isto é, que o estado de peso mínimo é o vácuo para o bóson 5 e

\n> são estados de n-bôsons.

Concluímos então, que a banda de estados simpléticos constitui um espaço de estados para uma excitação bosônica, que é o quanta elementar do monopolo.

Funções de onda e energias são calculadas

diagonali-zandò a ham i I ton i ana de muitos c o r p o s , nesse suD-espaço coleti r'

v o . ' ' .- • li

P o r t a n t o , para completarmos o modelo, necessitamos es colher a hamiltoniana n u c l e a r . Adotamos para a interação uma for

ça de Skyrme

'Skyrme " 1

i.J i . j . k

V •

(3.14)

onde V.. ê o termo do potencial representando uma interação de dois corpos e 5... uma de três corpos.

A expressão para o termo de dois corpos é:

x , P ) 6 ( x , - 6 (Xj - x2 )

• • ( U — ü • l i

-K

A força de três corpos da interação de Skyrme é t o m £ da s i m p l e s m e n t e c o m o uma força de W i g n e r de a l c a n c e z e r o :

123 t, 6. ( x, - x

a ) o ( x2 - x , ) ( 3 . 1 6 )

Não levamos em conta, na hami I ton iar»a, o termo d e v i -do a o potencial c o u l o m b i a n o e â força s p i n - ó r b i t a .

Para a o b t e n ç ã o dos r e s u l t a d o s , usamos um conjunto de p a r â m e t r o s tc» t i , t2, ti e x0 da interação de Skyrme I I I ,

23

a p r e s e n t a d o na T a b e l a 1.

T o d a s e s s a s forças de S k y r m e r e p r o d u z e m bem as p r o -p r i e d a d e s do e s t a d o fundamental -para n ú c l e o s de camada f e c h a d a .

D . Galetti e A . F . R . T o l e d o Piza e H. F locar d e D. Vautherin e f e t u a r a m c á l c u l o s das r e s s o n â n c i a s g i g a n t e s , usando a i n t e r a -ção de Skyrme e o m é t o d o das c o o r d e n a d a s geradoras» o b t e n d o re_ s u l t a d o s q u e c o n c o r d a m com os d a d o s e x p e r i m e n t a i s .

V a l e a pena r e s s a l t a r que o e s p a ç o c o l e t i v o foi c o n £ truído c o n s i d e r a n d o a p e n a s a c i n e m â t i c a do f e n ô m e n o , isto é, pa£ tindo dos e s t a d o s ( 3 - 1 ) - P o r t a n t o , em g e r a l , os e s t a d o s |n> não serão a u t o - e s t a d o s da hamiI t o n i a n a . A s s i m , a i n t e r a ç ã o irá m i s t u r a r e s s e s e s t a d o s . P o d e m o s , d e s t e m o d o , dizer que esses bó sons S é 5 são a p e n a s bosons c i n e m á t í c o s . Por o u t r o lado, fica c l a r o pela á l g e b r a do g r u p o q u e , se u t i 1 i z á s s e m o s c e i o i£ teração a, hami1 toniana do o s c i l a d o r h a r m ô n i c o , os e s t a d o s sim-p l é t i c o s |n> seriam a u t o - e s t a d o s da h a m i l t o n i a n a e, sim-portanto, neste c a s o , os b ó s o n s seriam b ó s o n s d i n â m i c o s . 3.2 - Efeitos E s p ú r i o s do C e n t r o de Massa A s r e s s o n â n c i a s g i g a n t e s são e x c i t a ç ô e s intrínsecas do n ú c l e o , o que e x i g e no n o s s o m o d e l o um t r a t a m e n t o a d e q u a d o do c e n t r o de m a s s a , ou s e j a , n e c e s s i t a m o s e l i m i n a r os e f e i t o s e s -púrios do c e n t r o de m a s s a . Para isso, d e f i n i m o s os geradores do g r u p o S p ( 2 , ft) em r e l a ç ã o ao c e n t r o de m a s s a u s a n d o os o p e

-radores de momento e posição relativa: A p

j "

j ' * • * " Ã l

j

aj

(u) - a](y) - I T a+

Assim, os novos operadores de levantamento, abaixamen to e o operador peso, são respectivamente:

int . +

• *• - I I -j M •]*<»•>

(3.17a)

25 (3.17b) A - -!- I a . ( u ) aK( u ) .

*• • i ; ^ j « * » « j <

I 1 )

* ' i

C l l ) <

V

E s c r e v e n d o  nas coordenadas e momentos obtemos:

int .

A » — i ~ (H • " H, m ) . (3.18)

9 yU OSC • C . d).

onde H , é a hamiltoniana d o oscilador harmon'ico do centro

C • HI •

de m a s s a : .

Hc _ - ~ ( — • m 2w2A R 2) . (3.19) c'm- 2m \ A * /

Nada se altera n o forma)isroo do nosso m o d e l o , pois es tes o p e r a d o r e s escritos em relação ao centro de massa satisfa-zem as mesmas regras de c o m u t a ç ã o do g r u p o :

f int int) int f int int") int

• ] * . . * t I • * * ± • •

- • K "

» • < * -

>

Se uma função de onda do estado fundamental cio m o d e -lo de camadas de oscilaoor é n ã o e s p ú r i a , isto i,

a ação dos operadores simpléticos  e Â^ nela, afetarão apenas a parte intrínseca e a função de onda resultante será não

e s p u r i a , {li} C o n f o r m e m o s t r a r a m E l l i o t a n d S k y r m e , para núcleos de d u p l a c a m a d a f e c h a d a , q u a l q u e r e s t a d o na c o n f i g u r a ç ã o m a i s b a i x a d o m o d e l o d e camadas ê n ã o e s p ú r i o , e p o d e ser e s c r i t o c £ mo u m p r o d u t o d i r e t o :

|*o > - l*o >

l x > . . ( 3 . 2 2 )

onde \x> é a função de onda do centro de massa no estado fun

damental do oscilador harmônico:

* - - —

' <«iX>-( A ) •

' <3.23)

Portanto, a base simplética construída nesse estado ,¥o> não terá componentes espúrias do centro de m a s s a .

No espaço do modelo Sp(2, R) os estados dilatados

são:

• f n t

| * ( e ) :

- e | *

>

, (3.2*)

27

^ P I » P J I - . - l * ( 0 ) / "e •, ( « Pi»« P2.... 1 ,

N int \ /

onde para 6 < 0 o estado fundamental é contraído e para 8 > 0 expand ido.

Pelas relações (3.17) vê-se, facilmente, também que !•#>. ê um estado de peso mínimo:

int Â- '*0>int " ° ' (3.25a)

Â, l*o>

- M * o >

• . (3.25b)

Assim, concluímos que l^*>;n t * u" «stado de peso

mínimo de uma representação irredutível unitária do grupo Sp(2,R) cujo índice K difere do obtido anteriormente, sem tirar os efeitos do centro de massa por 3/h.

Portanto, o estado de peso mínimo intrínseco é detejr minado univocamente no modelo simplêtico pelo.môdeIo de camadas do oscilador.

0 valor 3/4 que subtraímos é exatamente a contribuj_ çio do movimento do centro de massa, que ê separado de um modo exato pelo modelo do oscilador.

Como [•o*- ê um estado de peso mínimo, a base da representação irredutível unitária é dada por: .

n ! r < 2 k « n )

, 3 .2 7,

A partir de agora, no desenvolvimento da tese, sempre que usarmos os estados simpléticos |n> estaremos nos referir^ do a esses, definidos em (3.27).

3..3 " Método da Função Geratriz

Para diagonalizar a hamiItoniana no sub-espaço cole-tivo |n> e assim obtermos as energias das ressonâncias mono-polares, vamos usar o método da função geratriz que relaciona

29

os e l e m e n t o s de m a t r i z de Hi n nos e s t a d o s l ^ t6) * : - » cornos

— _ I 11 L . — _ _

elementos de matriz nos estados simple ti cos |n> .

Oe acordo com o desenvolvimento apresentado no Capí-tulo 2, os estados coerentes do grupo Sp(2, R) sio (vide 2.23):

iT(Atsin* - A.cos*)

|x,*> « e |0> .

Como os operadores definidos nas coordenadas e moinen tos intrínsecos satisfazem a álgebra do grupo, todo o formal i£ mo desenvolvido para a dedução dos estados coerentes permanece válido, apenas necessitamos alterar o índice K da representa^ ção por K. Como  ^n t - - 6i n t/ 2 e l*o> j n t ê um estado de

peso mínimo ( !•»>. * |0> ) , então int -Í96

|t(e»

« . |n>

.

são estados coerentes do grupo, onde f • 0 e 8 • - T/2 . Logo, conforme relação (2.26):

l»<e». -{i - U |

) l (iSIlml) ç»|

> , (3.28)

lnt X ' n.o \ n i r ( 2 R ) /

com ; • th ô . Esta relação mostra-nos que o estado dilatado é uma superposição de todos os estados |n> da base simplética, com uma dependência analítica no parâmetro ç .

i,n-0 V •. n. / T U K )

onde ç « th 8 e a • th 6* .

int Para obtermos os elementos de matriz <^n |fl \ "y

int v

basta derivar int ^t e' ^f i 'T*eV i n t «" «"elação a ; e a ,

-n / / int v . 2t \

J* V " t V

«

l'(e)>

Uoshecoshe') )

(ml n ! r ( m * 2 R ) T ( n * 2 R ) ) y int V <(n|fi

r(2K)

será a função geratriz para obtermos os elementos de matriz da hamiltoniana na base simplética <n|H ) m > .

A necessidade de usarmos esse método, deve-se a que os estados simpléticos, conforme (3-27), tornam-se bastante com plexos quando n aumenta e. portanto, extremamente difícil cal cuíar diretamente o elemento de matriz < n | Hi n t| m > .

31

Ua> ponto iaportante a considerar ê que |t(8)>. nio ê ua> deterainante de S l a t e r . Contudo, ê possível obter |T(0)>.

-I0D

ca função do deterainante de Slater |Y(6)> • e | T• > .

Coao o operador de d i l a t a ç i o pode ser escrito coao int

Ô " fi * Bc . . . •

. i n t

onde D ê o operador de d N a t a ç ã o e s c r i t o nas coordenadas e aoaentos i n t r í n s e c o s e ,

K

a * 1 Ü'Í * *'*> • t " T I «. • * - Z P.

-ie6

i • função de onda (3.23) dilatada, isto é,

(3.33) -26 .

Como fizemos referência, para obtermos os resultados, necessitamos encontrar para cada núcleo a expressão do núcleo de energia intrínseco:

Í n t V( e l )'H | T ( 6 )/ i n t *

A hamiltoniana intrínseca ê a ham»itoniana com a in-teração de Skyrme, tirando os efeitos do movimento do centro de massa:

H . H - -i—- . (3.3M

2 Am

onde P e o momento do centro de massa e A o número de par-tículas do núcleo. Assim, os efeitos do centro de massa no " O e *°Ca são pequenos, pois são proporcionais a 1/A.

Através de (3-32) e (3-34) obtemos uma relação para o núcleo de energij intrínseco:

<

(3.35)

Com a expressão de < ít|x(e) > dada em (3-33) obtemos

33

< x ( e ' ) | x ( e > } • sech* ( e - e

)

Sendo | t ( 0 ) > um d e t e r m i n a n t e de S l a t e r , m o s t r a - s e

no apêndice da r e f . In que:

(60 i

e ,

onde o funcional densidade de energia H ( x , 6 , 8 ' ) para a inte-ração de Skyrme n o modo monopolar é dado por :

H(J,e,e») . £ i T + 1 t

P

+ ,4- (3t, + 5t

)(pT - ]

) +

+ A (9t, - 5 t

) ( ? p )

^ - p » , < 3 3 6 )

Oi IO

o n d e te» t i , tz e tt s i o os p a r â m e t r o s . d e força de Skyrme e

P - P

• P

. T - T

* T

e J r J

• T

(índice n representa os neutrons e p o s p r ó t o n s ) são respec ti vãmente a d e n s i d a d e , a d e n s i d a d e de energia c i n é t i ç a e a den sidade de c o r r e n t e , definidas c o m o :

A/*

( 3 3 7 c )

onde

(D::

Como |f(9)>. ê um estado coerente do grupo Sp(2,R),

(Õ')|¥(6)N. „ é obtido diretamente da relação (2.28):

i n t

< n e ' ) | U 6 ) >

- sech

(e-ev) ,

.onde K é o índice da representação do grupo.

Usando esses resultados em (3-35) obtemos a expressão

do núcleo de energia intrínseco: '

2K / t (3-38) sech (e-e1) ( |H(í,e.e')dJx - | -¥- -——! ] .

\ j 2 mbl (e26 + e-29'} /

Portanto, tudo se resume ao cálculo do funcional den sidade de energia H(x,6,6') para cada núcleo. Para isto, va

35

mos u t i l i z a r a s u g e s t ã o da r e f . 12. E c o n v e n i e n t e i n t r o d u z i r os p a r â m e t r o s Y - * . Y1 " c e Y - ( Y+Y ' ) / 2 . N o t a n d o que

a p a r t e r a d i a l da f u n ç ã o de onda de o s c i l a d o r d i l a t a d a $ . ( x , Y ) (onde i i n d i c a todos os números quânticos que c a r a c t e r i z a m uma p a r t í c u l a em um n í v e l de e n e r g i a do o s c i l a d o r h a r m ô n i c o ) ê : /r2v\ r -L) L ' N b0 o n d e L ( r2Y / b g ) são os p o l i n ô m i o s de L a g u e r r e , e n t ã o , é

possível reescrevê-la em f u n ç ã o d e uma nova variável Sf •£- pois, £ + 1 / 2 _ L ( y2/ b j ) pode ser e x p a n d i d o em p o l í n ô m i o s d e L a g u e r r e £ + 1 / 2 _ * • L t ( v V b J ) com 0 i ti n v i s t o e s t e s f o r m a r e m um c o n j u n -to c o m p l e t o . Assim, se VK( * » Y ) é e s s a f u n ç ã o de onda de o s c i

-lador d i l a t a d a , cuja parte radial d e p e n d e da v a r i á v e l / f r , po demos e s c r e v e r : i P , ( x , 6 ) - e l ( M )K. ipK(x, Y ) r ( 3 . 3 9 a ) Z(r)

I

»P*(í, Y ) , (3.39b)

Usando as expressões (3.39a) e (3.39b),

Assim, mostramos a relação importante:

. . (3.^*0) A partir de (3-37), obtemos: p(xf6,e') - Peíx, Y ) , T(í,e,6') - T0(x, Y ) " P0(x, Y ) j( onde A / 1 | P0( x , Y ) - * l <P^(x, Y )iPK(í, Y ) . (3.42a) K-l A/l» T0( í , Y ) - * l $<l^(x, Y)Vt|>K(x, Y ) (3.42b) K-l

são as novas densidades que dependem apenas de y ,

Notemos, desta forma, que o termo pT - ?2 que apare

ce na expressão (3.36) para o funcional de energia deve ser ai terado então para pQT0 o que nos dá finalmente:

37

I

• 5 t2) p0T0 + ^ (9t, - 5 t2) t f p0) ' • ^ PJ

I n t e g r a n d o o f u n c i o n a l de e n e r g i a H ( X , Y » Y ' ) » obtemos uma f u n ç ã o de y" com c o e f i c i e n t e s q u e . d e p e n d e m de c o n s t a n t e s o b t i d a s com as d e n s i d a d e s po( x , v ) e T0( x , Y ) de cada núcleo

em q u e s t ã o e dos p a r â m e t r o s da i n t e r a ç ã o de S k y r m e , mais uma fun_ ção de Y ~ Y * p r o v e n i e n t e do termo ( V Z ( r ) ) . E s c r e v e n d o e x p l i c i t a m e n t e : [H(X >)d>x.hLlljLy + 3t0 do_r3fe ' / ( 3 t ^ 5 t2) ho -^

J

b?

Conforme ( 3 - 3 8 ) ,

í n t< j M e ' ) j H " | * ( e ) > .n t - sech ( e - e - ) •

• f [H(;,Y.

Md»x - 1 JÉÍ _ L _ \ .

X J »b; (y+ Y') /

As expressões de Y, Y1 e Y podem ser reescritas em

função de th6 e t h 6 ' . Assim, i n í v 2K > n , (cosh6cosh8') V2- 2 K E A 1- th8) (1 - the* ) + J (1 - th8th8' ) + bo 2(1-th8th8')2 K + 1 b°3((i + th8)(l + th8')) + J_ (1 - th8th8' ) + _D_ (1 - th9th8')

b°* ((1 +th8)(1 + the1)) * b°S ( (1 + th8)(i + the'))'

(3-onde

*-£ ». -f> .

,. 1

39

r(m+a) ym

d - y )

„,.„ r{m+i)r(a)

Assim, obtemos os elementos de matriz <n|H | m> através de (3-29). 3.5 - A p l i c a ç ã o a o s N ú c l e o s " 0 e " C a N e s t e t ó p i c o d o c a p í t u l o e s t a m o s c o n s i d e r a n d o a p e n a s f u n ç õ e s de o n d a i n t r í n s e c a s . 0 p a r â m e t r o bo do o s c i l a d o r p a r a c a d a n ú c l e o é f i -x a d o t o m a n d o o v a l o r q u e m i n i m i z a < <J»0 |H.. t\<t>0> .-como função de b . P o r t a n t o , '. 0 . (3 -b - -b0 implica que: < 0 | H | 1> - 0 , ou s e j a , q u e a h a m i l t o n i a n a n ã o a c o p l a o v á c u o c o m o e s t a d o d e um b ó s o n , |l> - S*|0> ( c f r . 3 . 1 3 b ) . A p r e s e n t a m o s na T a b e l a I I I o s v a l o r e s de bo para " 0 e "°Ca s e m o s e f e i t o s é s p ú r i u » do c e n t r o d e m a s s a e c o m e l e s . E s t e m o d o de e s c o l h e r o p a r â m e t r o b0 d o o s c i l a d o r

Conforme explicamos anteriormente (cfr. 3-25 e 3-26) o índice K da representação irredutível do grupo, R - K - ^, ê obtido diretamente pois K ê a menos de fatores a energia do estado fundamental |f|> do núcleo em questão.

com

N max

i-0

onde n. ê o número de partículas na camada i, N. o número

de quanta da camada ma camada preenchida.

d e q u a n t a d a c a m a d a i c o m N o n ú m e r o d e q u a n t a d a ú l t i -fila X •

Assim, obtemos K - 69/í» para o 16 0 e K - 237/ *

para o *° Ca.

Como já fizemos referência, ao desenvolver o m o d e l o , necessitamos diagonalizar a hfimí 1 toniana na base simplética |n>, n • 1, ..., N, aumentando N até obtermos a convergência dos resultados. Como podemos ver na Tabela IV, o *° Ca converge mais rapidamente que o " 0 , e com N « 10 é suficiente para a o b -tenção dos resultados.

DiagonaIizando a interação efetiva, interpretamos o primeiro estado excitado do espectro, como ó estado microscopy co coletivo da ressonância monopolar, e a energia de excitaçao como a.energia do modo monopolar. Apresentamos na Tabela V os

lit

resultados. Conseguimos reproduzir os resultados jâ obtidos pj» ra a energia da ressonância ; a diferença de 1 HeV no e s t a -do fundamental deve-se a termos d e s p r e z a d o na hami1toniana o

termo da força spin-ôrbita.

Fizemos um estudo da n e c e s s i d a d e de tratar convenieti temente os efeitos do centro de massa ao analisarmos o fenôme-no da ressonância; como podemos ver pela Tabela VI, as energias de ressonância são menores quando não separamos o m o v i m e n t o do centro de massa. Além disso, o efeito é maior no " 0 — da or-dem de $% — do que no *°Ca (1.5<í)- R e a l m e n t e , espera-se que, con forme o núcleo seja mais pesado, esses efeitos espúrios do cen tro de massa sejam cada vez m e n o r e s .

Em uma aproximação simples, onde truncamos o espaço do mode Io simpletico em N * 1 , ob temos [$o>a> |0> « | $ i> K !*>

pois, < 0 | R |1> * 0 como dissemos a n t e r i o r m e n t e . Portanto, o estado fundamental é o vácuo de bósons e o primeiro estado ex^ citado é o estado de um bóson. Ao aumentar o espaço simpletico para um N > 1, outras componentes com nbôsons são m i s t u r a -das em |$o> e l^i* • Apresentamos na Tabela VII essas compo_

nentes nos estados de bóson |n> com n » 0, 1 e 2. Por ela podemos notar que a função de onda |$|> é fortemente domina-da pela componente do estado de um bóson pois | « h M > ! " 0.966 para o "° Ca e 0.956 para o " 0 , além de que a mistura de outras componentes de bósons ê sempre menor que 3%. Para o es tado fundamental, a componente dominante é o vácuo pois, |<to|O>|2 •

e a ressonância gigante «onopolar como o estado de um bõson. Pela Tabela IV reparamos que essa aproximaçio dá resultados r£ zoáveis para energia de ressonância no **Ca, pois é apenas 6.*U maior que a obtida com N * 10; para o J*0 essa aproximação não

é tão boa pois dá um acréscimo de 10.71 na energia da ressonÍ£ cia. Como veremos melhor no próximo capítulo ao estudar as re-gras de soma, as correlações no estado fundamental são realmea te importantes para conseguirmos uma boa descrição do fenômeno da ressonância.

Podemos calcular também o raio médio quadrático: . o não correlacionado é obtido diretamente do parâmetro b0 do O£

cilador, pois com funções de onda de oscilador harmônico é fâ-c iI fâ-chegar a:

nC O R

onde R é o índice da r e p r e s e n t a ç ã o irredutível do grupo Sp(2,R) para cada n ú c l e o .

Para c a l c u l a r m o s o raio m é d i o q u a d r á t i c o c o r r e l a c i o -nado, usamos a seguinte r e l a ç ã o :

/

CAMTUIO k

REGRAS DE SOMA E CORRELAÇÕES

*». 1 - Introdução

A resposta do estado fundamental do núcleo à ação de um dado operador  ê completamente caracterizada pela função

intensidade, definida como:

M E ) - I |<*;!Aj*

>|

6(E. - E ) , [k.\)

i » 0

onde ií>o> « l^j*» ij'O, são respectivamente o estado

fundamen-tal e os estados excitados do núcleo e E. a energia de exci-taçao.

0 cálculo da função intensidade é complicado, no en-tanto, em muitos casos, as medidas experimentais podem ser di retamente relacionadas a momentos da função intensidade:

il S(E)dE , (4.2)

o n d e i ê um inteiro. \ Assim, com a equação (4.1), segue que:

Dada a equação C».3)» podemos deduzir facilmente

ex-Os)

pressões fechadas para m_ :

> < > 2 í o . (h.h)

A equação í1».1») ê igual ã

com

. s + t • l ,

i ifi, [iH, ... [iH,Aj...]| , (k. 5b)

onde iH' aparece s vezes - Portanto,

A , - í • • . /

se A for hermitiano (A « A ) .

A relação anterior, pode ser reescrita como

me - ^ (I) (-1)

para I par.

En geral, se H contém apenas um potencial de dois corpos e A ê um operador de um corpo, A é um operador de a_ té s+1 corpos. Òesse modo m é dado pelo valor esperado de um operador de até £+1 corpos se £ é ímpar ou de até i +2 corpos se X é par. Se H contém, além do potencial de dois corpos, um potencial de três corpos, A ê um operador de até 2s+1 corpos. Nesse caso, m . é dado pelo valor esperado de um operador de até 2l+1 corpos se t é ímpar ou de até 2i + 2 corpos de <• é par, exceto quando 1*0, onde m. é dado nos dois casos, pela diferença entre o valor esperado de A2, que ê

um operador de até 2 corpos, e o quadrado do valor esperado de A, que é um operador de um corpo.

Assim, em princípio, m. é sensível âs correlações do estado fundamental de (£+1 )((2£+1)) corpos se í é ímpar ou co£ relações do estado fundamental de (l+2)((2£+2)) corpos se l é par.

Outra propriedade importante é que, pelo fato de S(E)dE ser uma medida positiva definida, os momentos m. satisfazem a seguinte desigualdade :

m

t*l

l *

í+1 '

'

Assim, as desigualdades (*».8) mostram que: Ê e v i d e n t e , q u e a i g u a l d a d e n a e q u a ç ã o ( 4 . 1 0 a ) o c o r -re s o m e n t e s e a d i s t r i b u i ç ã o d e i n t e n s i d a d e e s t á - c o n c e n t r a d a e m a p e n a s u m ú n i c o e s t a d o . A s s i m , a s d i f e r e n ç a s e n t r e a s e n e r -g i a s m é d i a s n o s d ã o i n f o r m a ç ã o s o b r e a l a r -g u r a d a d i s t r i b u i ç ã o d e i n t e n s i d a d e . Em p a r t i c u l a r , a variancia d a d i s t r i b u i ç ã o é da_ da por : . 2 ' ' ' O2 « _ i -( __L j . E2 - ii i 0 . (li. 10b) m0 m0 l

Para o nosso estudo das ressonâncias gigantes monop£ lares, é conveniente considerarmos agora como exemplo, as re-gras de soma para o operador de monopolo:

Jnt

M

As regras de soma m , com t • 0, 1 . 2 e 3 são obtj^

das das equações (fc.6) e são, respectivamente:

C

<*t|H !••> - <*,|M !•,> J b,

•V

• • • T <••![«,• [»'". «.]]!••>

«,

. Se o potencial é local nas coordenadas dos núcleons (isto não exclui a possível existência dos termos de troca), mo* tra-se facilmente q u e :

Assim, as regras de soma (4.11) podem ser escritas c£ mo:

i"t ' " o n d e u s a m o s as regras de c o m u t a ç ã o d o s o p e r a d o r e s da álgebra

[f

lnt

.. A

int

] - -» ^ 6

i n t

,

[ f

l n t

, 6

int

]

. |~M

, 6

]

k. 2 " Regras de Soma Modelo. Conservação de Uma Regra de Soma.

Existe uma c l a s s e de m o d e l o s m i c r o s c ó p i c o s , classe es^ sa que inclui o m o d e l o s i m p l é t i c o , o n d e as f u n ç õ e s de onda m o -d e l o e as r e s p e c t i v a s e n e r g i a s s i o c a l c u l a -d a s p e l a restrição -do p r o b l e m a de m u i t o s c o r p o s à um s u b - e s p a ç o do e s p a ç o de Hilbert do s i s t e m a de m u i t a s p a r t í c u l a s , s u b - e s p a ç o este d e n o m i n a d o de e s p a ç o m o d e l o .

Assim, as funções de onda e energias são determinadas resoIvendo-se a equação de autovaiores abaixo:

ik.ík) onde P é o o p e r a d o r de p r o j e ç ã o no e s p a ç o m o d e l o . Daqui em d i a n t e , a n o t a ç ã o j $ . > , E . , ?0, e t c , s i g -n i f i c a , respectivame-nte, f u -n ç õ e s de o -n d a , e -n e r g i a s de e x c i t a ç i o , e n e r g i a do e s t a d o f u n d a m e n t a l , e t c , c a l c u l a d a s p e l o m o d e l o . Com i s t o , a f u n ç ã o i n t e n s i d a d e e as r e g r a s de soma c a l c u l a d a s p e l o m o d e l o são i g u a i s a : S ( E ) <<frj|Â| • o > , '2ó ( Ej - E ) _{( 4 . 1 5 a )} E. ( 4 . 1 5 b )

Do mesmo modo que no caso das regras de soma exatas (4.15b) pode ser reescrita como:

% - \ ? O | A (H - To)1 Ã|?O !A 6Í0 (4.16a)

(-1)

T (!)*(-!)*<?,

(4.16b)

s

(-i)

l

<(*

D

l Is,. i

t

\ U .

Ã

- I iTT, [iH, ... M H , Ã1...J . (4.17)

Ã

- Ã ,

A" - PÂf

A l é m disso is e q u a ç õ e s (4.15) e (4.16) mostram que as p r o p r i e d a d e s ( 4 . 7 ) — ( 4 . 1 0 ) c o n t i n u a m v á l i d a s o n d e a g o r a as re-g r a s de soma e e n e r re-g i a s m é d i a s s ã o as c a l c u l a d a s p e l o m o d e l o .

A n o s s a d e s c r i ç ã o a t é a g o r a m o s t r a q u e as r e g r a s de s o m a e x a t a e as regras de soma m o d e l o d i f e r e m em dois a s p e c t o s : i) pela d i f e r e n ç a e n t r e o e s t a d o f u n d a m e n t a l e x a t o e o e s t a d o f u n d a m e n t a l m o d e l o ; ii) pela d i f e r e n ç a e n t r e os o p e r a d o r e s e x a t o s  e os o p e r a d o r e s m o d e l o A . N e s s e p o n t o v a m o s i n t r o d u z i r o c o n c e i t o de c o n s e r v a -A ção de urra d a d a regra de soma p o r um d a d o m o d e l o ' q u e é , 'i\ por e x e m p l o , uma g e n e r a l i z a ç ã o d o c o n c e i t o de c o n s e r v a ç ã o de V m9 pela a p r o x i m a ç ã o de T a m m - O a n c o f f q u a n d o A é um operador de

51

Dizemos que um modelo conserva m. s e :

I*

TP. Â]

- o . d.19)

A o passo q u e , para que o modelo conserve n>2 e m3 ê

suficiente que, além de ( 4 . 1 9 ) , tenhamos:

[t. A,]

Quando (4.19) e (4.20) slo satisfeitas as regras de soma são dadas p o r :

mo

[Â,

(4.21)

2 — N

m, - - \ <«o| [A», Â

4.3 - Regras de Soma no Modelo Simplético e a IncompressibiIi-dade Nuclear. 0 Efeito das Correlações do Estado Fundamental.

Como já fizemos referência, estamos interessados em estudar as regras de soma para o operador de m o n o p o i o .

53

Assim, vamos primeiro mostrar que o modelo simplêtico conserva as regras de soma m , 0 < t i

3-Conforme dissemos na seção anterior, basta mostrar que para int . + + 2

M - — - 7 ( x, - R )

Tp, M

i « 0 (l..22a)

M, - [iíi

fi

]

- [if

Í O t

, M

i n t

] .

e portanto o m o d e l o simplético conserva m ^ , Q Z li. 3*

Uma vez demonstrada essa p r o p r i e d a d e do modelo, as ex pressões para essas regras de soma são (cfr. ( A . 2 1 ) , Ci.11) e

( 4 . 1 3 ) ) : tu g / _ i n t 2 _ í n t _ í \ o ( < 0 o | w i * o > - < « o | M ! • • • > ) ( 4 . 2 4 a ) . i - V• • b• • • -o * • • ! " !•• * ( 4 . 2 4 b ) • o i B l^o > ( 4 . 2 4 c ) m2 2m2 ( 4 . 2 4 d ) o n d e |i|>o> * ° e s t a d o f u n d a m e n t a l m o d e l o , o b t i d o p e l a d i a g o n a _ l i z a ç ã o d e H n a b a s e s i m p l é t i c a | n > : n - 1 ' m a x

|#o> - I C

\n> (4.25)

onde C são as componentes do estado fundamental nos estados n

com ri-bósons S . 0

A s s i m , p a r a o b t e r m o s a s r e g r a s d e s o m a m0, m ] e ÍS2

n e c e s s i t a m o s a p e n a s c a l c u l a r a s m a t r i z e s