AULA 2 DO PLANO DE TRABALHO

A

2

9

EQUAÇÃO REDUZIDA DE

UMA RETA

Voltemos a uma das retas da aula anterior

x, y 1,4 k 3,1 , k ∈ IR (equação vetorial)

3,1 são as coordenadas de um vetor diretor desta reta.

Chamamos declive de um vetor ao quociente entre a ordenada e a abcissa do vetor.

O declive de uma reta é o declive do seu vetor diretor.

O declive da reta definida acima é:

A equação reduzida de uma reta tem a forma onde m é o declive e b a ordenada na origem (ordenada do ponto de encontro com o eixo das ordenadas)

EQUAÇÃO REDUZIDA DE

UMA RETA

Voltemos a uma das retas da aula anterior x, y 1,4 k 3,1 , k ∈ IR

Não se consegue adivinhar a ordenada na origem, vamos ver vários métodos para a calcular:

1º a equação é do tipo

2º sabemos que 1,4 são coordenadas de um ponto da

reta.

3º substituímos as coordenadas do ponto na equação da

reta:

4 × 1 ⇔ 4 ⇔

4º escrevemos a equação da reta que é:

6

4

2

-2

EQUAÇÃO REDUZIDA DE UMA RETA

Voltemos a uma das retas da aula anterior x, y 1,4 k 3,1 , k ∈ IR

Podemos encontrar a equação a partir da equação vetorial: x, y 1,4 k 3,1 ⇔ (equação vetorial) 1 3 4 ⇔ (equações paramétricas) . /0 4 ⇔ /0 _{4 ⇔ (equação cartesiana)} / _{4 ⇔} (equação reduzida)

E

132

163

Em relação a um referencial o.n. 4, 56, 76 consideremos os pontos A 2,2 , : 3,0 e C 1,4 .

Determine a equação reduzida da reta

1. AB

1º calcular <: : < 5, 2 2º calcular o declive da reta > ?

@

3º a equação da reta é do tipo ?

@

4º calculemos b substituindo as coordenadas de A ou de B na equação que escrevemos:

0 2_{5 × 3} ⇔ 6₅

5º a equação da reta é ?

@

B @

E

132

163

Em relação a um referencial o.n. 4, 56, 76

consideremos os pontos A 2,2 , : 3,0 e C 1,4 . Determine a equação reduzida da reta

2. AC

1º calcular <C C < 1,2

2º calcular o declive da reta > ?

D 2

3º a equação da reta é do tipo 2

4º calculemos b substituindo as coordenadas de A ou de C na equação que escrevemos:

2 2 × 2 ⇔ 6 5º a equação da reta é 2 6

E

132

163

Em relação a um referencial o.n. 4, 56, 76

consideremos os pontos A 2,2 , : 3,0 e C 1,4 . Determine a equação reduzida da reta

3. BC

1º calcular :C C : 4,4

2º calcular o declive da reta > E

E 1

3º a equação da reta é do tipo

4º calculemos b substituindo as coordenadas de B ou de C na equação que escrevemos:

0 3 ⇔ 3

E

132

163

Em relação a um referencial o.n. 4, 56, 76

consideremos os pontos A 2,2 , : 3,0 e C 1,4 . A reta r tem declive -3 e passa no ponto A

determine a equação reduzida de r

1º a equação da reta é do tipo

3

2º calculemos b substituindo as

coordenadas de A na equação que

escrevemos:

2

3 × 2

⇔

8

E

132

163

Em relação a um referencial o.n. 4, 56, 76

consideremos os pontos A 2,2 , : 3,0 e C 1,4 . A reta s tem ordenada na origem 4 e passa no ponto B determine a equação reduzida de s

1º a equação da reta é do tipo

>

4

2º calculemos m substituindo as

coordenadas de B na equação que

escrevemos:

0

3> 4 ⇔ >

4

₃

E

133

165

Num referencial

o.n. xOy trace

uma reta que

passe na origem

e tenha declive:

2

E

133

165

Num referencial

o.n. xOy trace

uma reta que

passe na origem

e tenha declive:

E

133

165

Num referencial

o.n. xOy trace

uma reta que

passe na origem

e tenha declive:

3

E

135

166

Dos seguintes pares de retas identifique as

que são paralelas

1.

H:

2

3 e J:

2

3

Não são paralelas porque não têm o mesmo

declive.

2.

H: 3

5 e s: 2

6

1

3

5 ⇔

3

5

2

6

1 ⇔

3

1

₂

As retas são paralelas porque têm o mesmo

declive.

E

135

166

Dos seguintes pares de retas identifique as

que são paralelas

3.

H: ,

1, 2

2,4 , ∈ KL e

J:

2

1

A reta r tem declive

>

?

2

A reta

s:

2

1 também tem declive 2

T

20

169

Sabe-se que:

M 6,0

F

, 0

G

, 3

A equação reduzida

da reta BC é

x

T

20

169

Sabe-se que:

O P, Q , F R_S, Q e G R_S,

A equação reduzida da reta BC é T

RU S

1. Determine as coordenadas de B e E

Porque a reta BC tem ordenada na origem

? , : 0, ?

E é o ponto do eixo das abcissas que tem abcissa N

?

E N

T

20

169

Sabe-se que:

O P, Q , F R_S, Q e G R_S,

A equação reduzida da reta BC é T

RU S

1. Determine a altura da parede representada por [FC]

A altura da parede é a ordenada do ponto C da reta BC que tem abcissa N ? a ordenada de C é @ N

×

3

T

20

169

A equação reduzida da reta BC é T

RU S

2. Escreva a equação reduzida da reta BG

X:

,

então

>

A reta BG tem equação reduzida

T

20

169

A equação reduzida da reta BC é T

RU S e a de BG é @Nx ?

2. Determine a área da frente da garagem, ou seja do quadrilátero

[ADEG]

1º [ADEG] é um trapézio a sua área é: < cZ0de_? × Mf 2º Mf 6 N ? @ ? e <M @ N × 6 ? N E 3º < 0 gh gi ? × @ ? @j ?k × @ ? ?j@ @B ≈ 5,27 >?

T

20

169

A equação reduzida da reta BC é T

RU S e a de BG é

@ Nx ?

3. O proprietário da casa pensou em construir uma nova garagem, prolongando

até ao solo o telhado que contém [BC]. Determine a área da nova garagem.

1º qual é a abcissa do ponto M de BC que tem ordenada 0?

0 @ N x ? ⇔ ? @ N ⇔ 77 10 ⇔ 7,7 2º dimensões do triângulo [MFC]: uv 7,7 3,5 4,2 e Cv 3 3º < E,?× ? 2,1 × 3 6,3 >?

T

20

169

4. Admita que era aplicado um novo referencial o.n. com a mesma

unidade do referencial dado, em que a origem é D, o ponto A pertence ao semieixo positivo das ordenadas e o ponto F pertence ao semieixo positivo das abcissas . Neste referencial quais são as coordenadas de B e E.

V P, _S x T_S, Q

T

21 –

170

No referencial o.n. da figura está representado um

quadrado [OABC]. Sabe-se que:

A unidade do referencial é o centímetro;

O ponto P é o ponto médio de [BC];

O ponto B tem coordenadas 6,6 . 1. Determine as coordenadas dos pontos P e S P 3,6 S 3,3 x y j i S R Q P B C O A

T

21 –

170

No referencial o.n. da figura está representado um

quadrado [OABC]. Sabe-se que:

B 6,6 ; P 3,6 e S 3,3

2. Escreva uma equação da

reta PS.

Uma equação da reta PS é x 3 x

y j i S R Q P B C O A

T

21 –

170

No referencial o.n. da figura está representado um quadrado [OABC].

Sabe-se que:

B 6,6 ; P 3,6 e S 3,3

3. Determine o declive e a ordenada na

origem da reta RP

1º A reta RP passa em P 3,6 e em

A 6,0

um vetor diretor pode ser: AP P

A 3,6 6,0 3,6

o declive da reta RP é m B

D 2.

2º A equação reduzida da reta é da família y 2x b a reta passa em P 6 2 × 3 b⇔b 12 . o declive de RP é { S e a ordenada na origem é | S. x y j i S R Q P B C O A

T

21 –

170

No referencial o.n. da figura está representado um quadrado [OABC]. Sabe-se que:

B 6,6 ; P 3,6 e S 3,3

4. Escreva a equação reduzida da

reta s que passa em B e é paralela a RP 1º

o declive da reta RP é

m

2.

2º A equação reduzida da

reta é da família

y

2x b

a reta passa em B

6

2 × 6 b⇔b 18

T

21 –

170

No referencial o.n. da figura está representado um quadrado

[OABC].

Sabe-se que:

B 6,6 ; P 3,6 e S 3,3

5. Defina por uma condição o

triângulo [OAS]

1ºescrever equações das

fronteiras.

reta AO: y = 0 reta OS: y = x

reta AS: y = -x +6

2º

≥ 0 ⋀ ≤ ⋀ ≤ 6. x y j i S R Q P B C O A

T

21 –

170

B 6,6 ; P 3,6 e S 3,3

6. Mostre que o ponto Q tem de coordenadas

2,4

1º escrever equações de OP e de AC reta OP: y = 2x

reta AC: y = -x +6

2º encontrar a interseção das duas retas: 2 6 ‹₂ 2 ₆ ‹₃ 2₆ ‹ 2 × 2_{2 ⇔ ‹} 4₂ As coordenadas de Q são 2,4 x y j i S R Q P B C O A

T

21 –

170

B 6,6 ; P 3,6 ; S 3,3 e Q 2,4

7. Áreas

1. Determine a área do triângulo [OQC]

A Œ•×/Ž ?

A B×?_? 6•>?

2. Determine a área do triângulo [ASR]

A •‘×’“_? A ?× ?_? 3•>? x y j i S R Q P B C O A

porque [AS] é meia diagonal do quadrado de lado 6 logo AS B ?

? 3 2 e

SR 3 4 ? _{3 4} ? _{2 porque}

S 3,3 e R por ser simétrico de Q em relação PS tem coordenadas 4,4 .

T

21 –

170

Sabe-se que:

B 6,6 ; P 3,6 ; S 3,3 e Q 2,4

7. Áreas

3. Determine a área do quadrilátero [PQSR]

[PQSR] é um papagaio

A

A

3•>