Um metodo de elementos finitos para equações eliticas de segunda ordem

UM MeTODO DE ELEMENTOS FINITOS MISTO PARA EQUAÇ6ES

EL!TICAS DE SEGUNDA ORDEM

1987

Este exemplar corresponde a redação

final da tese devidamente corrigida e defendida pelo Sr. Dimas Leopoldo Silveira e aprovada pela comissão

Julgadora.

campinas, QZ de

flbriL

/ ___.,

C--,~ I

de 1987.

Profa. Ora. M3:ria Cristina CUnha Bezerra Orientador

Dissertação apresentada no Instituto de Matemática, Estatistica e Ciência da Computação da Universidade Esta-dual de Campinas,como requisito pa~

cial para obtenção do titulo de Mes tre em Matemática Aplicada.

tlNICAMP

IIBliOTHA UNTU•

"Se de uma grandeza qualquer subtrairmos uma parte não menor que sua metade e do resto novamente subtrair-se não menos que a metade e se esse processo de subtração é continuado, finalmente restará uma grandeza menor que qualquer grandeza de mesma espécie."

Eleme.ntos de Euclides, Ill, 14.

INTRODUÇÃO CAPlTULO

1NDICE

• o • o • o o

I - CONSIDERAÇÕES SOBRE O MtTODOS DOS ELEMENTOS FINITOS

1. O. Introdução _•

i

1 1

1.1. Problema modelo -Formulações primais e duais 3

1.2. Formulação prirnal-dual

1.3. Método Misto • • • • •

• 6

8

CAPÍTULO II - CONSTRUÇÃO DOS ESPAÇOS ELEMENTOS FINITOS 11 CAPlTULO III - DESCRIÇÃO E ANÁLISE DE UMA TeCNICA DE

IMPLE-MENTAÇÃO

.

.

19

CAP!TULO IV - IMPLEMENTAÇÃO E APLICAÇÃO NUM PROBLEMA DE

ELETROMAGNETISMO

. .

26

4.1. Descrição de um problema de eletromagnetismo 26

4.2. Estrutura do programa elementos finitos mistos 30

4.3. Aplicação dos métodos mistos a problemas nao

CAP!TULO V - CONCLUSÕES E COMENTÁRIOS . • . • . • • • • • 47

AP:!:NDICE ···~~··~

. . . .

52

AGRADECIMENTOS

A

minha orientadora, Profa. Dra. Maria Cristina Cunha Be-zerra, pela dedicação, competência e disponibilidade expressas pela paciência, segurança e estimulo durante o acompanhamento de

todo este trabalho.

Ao meu amigo e psicÓlogo, Antonio Carlos Silva Costa, pe-lo constante incentivo, amizade e consideração demonstrados

nes-tes Últimos quatro anos.

A Luciano Bezerra Viéira, pela sinceridade e coerência de suas atitudes.

A todos os professores do Departamento de Matemática Apl! cada do IMECC-UNICAMP que colaboraram, de alguma forma, para a

concretização deste trabalho.

Ao colegas do Mestrado em Matemática Aplicada, pelo apre~ dizado que a convivência em grupo nos oferece.

Aos professores Gilberto Francisco Loibel, Paulo Ferreira da Silva Porto Júnior e Izette A.C. Loibel, do Instituto de Ciêg cias Matemáticas de São Carlos-USP, pelo incentivo demonstrado durante os anos de graduação em Matemática.

Ao Sr. Rodrigo Pereira de Faria e Sra. Maria Armanda Vie~

ra Anjos Faria, pelo feliz período de convivência em São Carlos, bem como pelo contínuo apoio recebido, meus sinceros agradecimeg tosa

Ã

Sra. Maria de Lourdes Soares da Silva que, abdicando de seus momentos de folga, pacientemente datilografou com esmero os originais deste trabalho.

Este trabalho foi realizado sob os auspícios da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) , Conselho Nacio-nal de Desenvolvimento Científico e Tecnoló gico (CNPq) e Fundação de Amparo

à

Pesquisa do Estado de São Paulo (Processo n9 85/3156-0).

Aos meus pais

Eugenio e Thereza; e às minhas irmãs,

''E tudo que a análise comum executa por meio de Equações com número finito de Termos, desde que possa ser feito, esse novo método sempre pode executar por meio de Equações Infinitas, Por isso não hesitei em dar a isso o nome de Análise também. Pois os raciocinios aqui não são menos certos que na outra; nem as Equações menos exatas; embora nós Mortais cujos Poderes de racioc(nio estão restritos a Limites estreitos, não possamos nem exprimir, nem conceber todos os Termos dessas Equações de modo a saber exatamente delas as Quantidades que queremos . .. "

Isaac Newton,

De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas, 1669.

NOTAÇÃO H (div;!l) (página 4) :!(f) (

_"

4) Th

"

11) wh (

"

16) po1k

(I;,

nl

"

13)

WK

(

"

16) Mh (

..

17) pk (S) (

_"

21) ~k (S) (

"

21) RTk (S)

_"

21) k RT_₁ (Th) (

_"

21)

~1(Th)

(

_"

21) k RT 0 (Th) (

"

21)

~

c

"

21)

~

(

_"

21)

co

(

_"

21) h hK (

"

21) h

_"

21) e

·(página 2 2)

'Je

"

22)

INTRODUÇÃO

Equações diferenciais eliticas sao modelos matemáticos usa dos em diversos fenômenos fisicos como, por exemplo,

determina-çao do potencial eletrostático bem corno equações de elasticidade.

Em

vista desta frequência

é

muito Útil a exploração de métodos

de resolução deste tipo de equações diferenciais. Dadas as

res-trições de fórmulas explÍcitas para soluções analíticas, ou mes-mo a não existência de tais fórmulas, uma alternativa que tem s~

do considerada das mais eficientes

ê

a utilização de métodos nu-méricos. Por sua vez, dos métodos numéricos utilizados destaca-se, por sua eficiência em diversos aspectos, os Métodos dos Ele-mentos Finitos.

O objetivo desta dissertação

é

descrever, analisar e im-plementar um Método dos Elementos Finitos Misto, isto é, método em que se calcula simultaneamente aproximações de duas ou mais grandezas interrelacionadas, inerentes a certo sistema fisico. Citamos, por exemplo, os problemas descritos por equações dife-renciais parciais eliticas nos quais, mais do que a grandeza

re-pres~ntada pela incógnita da equação, hã interesse em conhecer

explicitamente uma ou mais grandezas físicas diretamente assoei~

das

ã

primeira por uma relação matemática, que pode ser do tipo diferencial. Apresentamos no capitulo I alguns conce'itos

i i

matemáticos que aparecem no decorrer deste trabalho, bem como

wn

problema modelo. Associados a este problema modelo destacamos as formulações primais, duais e primais-duais (de acordo com a ter-minologia adotada em [6]), sendo esta Última de especial importâ~

cia uma vez que o método misto se baseia nesta formulação. No c~

~pítulo II mostramos corno sao construídos os subespaços

associa-dos

ã

formulação primdual do problema modelo apresentando al-guns exemplos e a análise do erro das aproximações. No capitulo III descrevemos e analisamos uma técnica de implementação que se baseia no uso de multiplicadores de Lagrange para impor a conti-nuidade entre os elementos. No capítulo IV implementamos o méto-do misto de acorméto-do com a técnica descrita no capítulo anterior e-o aplicame-os num pre-oblema de eletre-omagnetisme-o. Finalmente ne-o capi tulo V tecemos nossos comentários e conclusões sobre a aplicação da citada técnica de implementação dos Métodos dos Elementos Finitos, bem como outras técnicas apresentadas na literatura es-pecializada.

CAPÍTULO I

CONSIDERAÇÕES SOBRE O ~TODO DOS ELEMENTOS FINITOS

1. O. INTRODUÇÃO

Apresentamos alguns conceitos matemáticos que sao usados

nesta dissertação.

Seja

_{" =}

(al,a.2, ••• ,an) E JNn e

]a

I

=

Dado um aberto limitado

n

c

m

n com uma fronteira r Lipschitz continua, o espaço V(n) consiste de todas as funções infinita-mente diferenciáveis v :

n __,..

lR com suporte compacto. Para ca-da inteiro m > O , o espaço de Sobolev Hm(Q) consiste daquelas funções v E L2 (n) para as quais todas as derivadas a0 no senti-do de distribuição (vide [11)), com

)a)..::_

m , pertencem ao espaço L2{n). Em outras palavras, para cada a com ja) < m, existe wna função da.v E L2 (n) satisfazendo

2

(1.1)

é

um espaço de Hilbert.

Também faremos uso da semi-norma

(l. 2)

Para

_{g =}

(ql,q2, · · .,qn) E !H"'(~) )n _' consideremos a norma

1

llgllm,~

=

[i~1

_llq.ll

2r

_~ (1.3)

1

m,

e a semi-norma

1

I

gim,~

=

[i~1

_lqilm,~

2y

( 1. 4)

O espaço e caracterizado (vide [1]} corno segue:

(1. 5)

Além disso,

1

3

1.1. PROBLEMA MODELO - FORMULAÇÕES PRIMAIS E DUAIS

Salvo rnençao em contrário, todo estudo feito nessa disser tação refere-se ao problema modelo:

-.11u = f em

n

c lR n

( l . 7)

u

=

o

em

an ,

onde f

é

uma função de L2(n).

O problema prirnal consiste em encontrar uma função

uEV=

=

H~(n)

tal que

com

J(u) = inf J(v) vEV J(v)

=~f

11Vvll2 dx-

r

fvdx

n -

'n

ou equivalentemente tal que

'rlv E v ,

f

n Vu Vv dx =

In

fvdx •

( 1. 8)

(1. 9)

Embora o problema modelo (1.7) represente vários fenôme-nos fisicos, como por exemplo a distribuição de temperatura numa barra

4

e o problema da membrana elástica, denominaremos a solução u do problema prima! (1.8) de "deslocamento" e as componentes de IJu de "tensões". Para a determinação das "tensões" através de um problema de minimização, introduzimos o espaço

-que e um espaço de Hilbert quando munido da norma

1

II~IIH(div:n) ~ [ll~ll~,n

+

lldiv

~~~~,i

2

Para f E L2(n), definimos o hiperplano afim

V(f) ~{~E H(div:n): div ~+f~ o em n}.

Usando a V(O) -eliticidade da forma bilinear

prova-se que existe uma Única função

p

E V(f} tal que

I (p) ~ in f I (q) ~E': (f) com I(~) ~

!

f

llqll2 dx 2 n -(1.10) (1.11) ( 1.12) (1.13) ( 1.14)

5

ou equivalentemente tal que

V<]: E V(O)

, r

_{!?·sdx =o.}

Jn

( 1.15)

Mostra-se [6] que

p

= ~u onde u

é

solução do problema primal (1.8). Logo construímos um problema dual adequado. o funcional

I(~)

é

denominado "funcional energia complementar" e o método

dual, método de equilÍbrio.

Dizemos que o "principio da energia complementar" consis-te em encontrar

p

=

Vu que rninimiza o funcional I(9) sobre o hiperplano afim (1.12).

O uso do principio da energia complementar para constru -çao de discretizações elementos finitos de problemas eliticos

foi i.ntroduzido por Fraejis de veubeke (vide [9} ) •

O método de equil1brio consiste na construção inicial de uma subvariedade de dimensão finita yh(f) E V(f) e em encontrar

~h E ~h(f) que rninimiza o funcional energia complementar I(q)

sobre ;:-h (f).

Para problemas elíticos de segunda ordem, a análise

nume-rica do método de equillbrio foi feita por J. M. Thomas (vide

6

1.2. FORMULAÇÃO PRIMAL-DUAL

O método de equilíbrio consiste inicialmente na constru -çao de uma subvariedade de dimensão finita ?h(f) c y(f). Entre-tanto, a construção de yh(f) não

ê

um problema simples uma vez que isto requer a busca de soluções explícitas da ~ção de equi

llbrio

div

g

+

f = O (1.16)

em todo o domínio

n.

Para contornar esta dificuldade pode-se usar um princi-pio variacional mais geral que

ê

conhecido na teoria da elastici dade corno "princípio de Hellinger-Reissner", no qual a restrição (1.16)

ê

removida com a introdução de um multiplicador de Lagra~

ge. A seguir analisamos um método dos elementos finitos baseado neste principio variacional.

Inicialmente queremos encontrar um espaço M de multiplica dores de Lagrange e uma função Lagrangíana .C : H(div;n) x M ---+ JR

de tal modo que a incógnita ~ seja obtida como o primeiro ar-gumento do ponto sela (~,À) da Lagrangiana sobre o

H(div;Q) x M.

Analisando a definição de V(f) (1.12), temos que

espaço

v

(f) está associado ao espaço das funções q E H(div;Q) para as quais

7

Jil

p (di v

~

+ f) dx = O (1.17)

Definindo M = L2(il) e

'

(1.18)

enunciamos o teorema:

TEOREMA (vide [19]). Seja f E L2 ((l).

Então o par (~₁ À) e o único ponto sela do funcional L(g,u) sobre o espaço H(div;O:) x L2W), isto

é,

{~,À)

satisfaz

g:

e H(div;O) , \1\.l e L2 (n)

( 1.19)

Além disso temos que

E

=

Vu e À = u (1.20) onde u e a solução do problema modelo (1.7).

Logo u

é

o multiplicador de Lagrange associado

à

restri çao ( 1.16)

e

o principio enunciado acima

é

denominado "princípio Hellinger-Reissner11

em elasticidade.

Como

(~,u)

E H(div;O:) x L2(0:)

é

um ponto estacionário da Lagrangiana !(~,JJ), verifica-se que

(e,u>

pode ser caracterizado

8

como solução das seguintes equaçoes:

v'>

E H (di v; n) , Jn

~?"

'>

dx +

Jn

u di v

51

dx

~

o ,

(1.21)

Jn~(div

12

+

f)dx

~O

• (1.22) Observa-se que as equaçoes variacionais acima expressam as condições necessária e suficiente para que as derivadas par-cíais da função Lagrangiana se anulem no ponto sela. Além disto, chamamos esta formulação de "primal-dual" e o correspondente pr~

blerna variacional de "problt:ma prima l-dual". As idéias subjacen--tes às considerações acima encontram-se na Teoria de Dualidade. Para urna análise mais detalhada desta teoria citamos [8] e para aplicação da teoria da dualidade em problemas de elasticidade,v~

rificar [10] , [26] e [16] •

1.3.

~TODO

MISTO

Podemos definir um método misto baseado na formulação pr! mal-dual do problema modelo como segue:

Dados os espaços de dimensão finita Wh c H(div;n) e

2

9

(1.23)

O problema (1.23) nao possui, de modo geral, uma única s~

lução. Para enunciarmos um teorema de existência e unicidade

pa-ra o problema discretizado {1.23) definimos:

i) Condição de compatibilidade entre os espaços Wh e Mh

então div gh = O

ii) Condição de Brezzi Existe a > O tal que

sup q EW -h h

llq 11

_{-h H (di v;~)} Enunciamos o teorema: (1.24) (1.25)

10

TEOREMA (vide [19]). Se as condições (1.24)

e

(1.25) se verifi-cam então o problema discretizado (1.23) tem uma Única solução

c

i

<eh , uh) E Wh x Mh e existe uma constante c = C {a.} > O tal que

llp-p 11

- -h H (di v; Q)

+

(1.26)

A

próxima etapa consiste na construção dos espaços Wh

e

Mh que satisfaçam as condições (1.24)-(1.25) e possuam boas pr~

priedades de aproximação. ~ o que faremos no próximo capitulo.

CAP!TULO II

CONSTRUÇÃO DOS ESPAÇOS ELEMENTOS FINITOS

Sejam

TI

um polÍgono limitado do

JR_2

e

Th uma trian-gularização (vide [6] ) de ri composta de triângulos K cujos di§. metros (vide [61) sao menores ou iguais a h. Consideremos

ini-cialrnente a construção Wh c H(div;Q).

-Dado um triângulo K E -rh , denotamos por ~K

o vetor

normal exterior ao longo da fronteira dK de K. seja v E (L 2 (Q)) 2

urna função suficientemente suave em cada triângulo K E Th.

Con-sideremos a fórmula de Green:

integral

Jr

(vide (6] ) e

[~w·S! +wdiv q]dx

denota o par de dualidade 1

HZ

(f) (vide (1.6)).

wq ·ndy ( 2 .1)

entre os espaços

Usando a fórmula de Green (2.1) em cada K E Th, prova-se que v E H(div;Q) se e somente se

é

válida a seguinte relação de re-ciprocidade para um par (K

12

vi

• n

₊

_vi

• n =

o

em K' = _Kl n

K2

•

K1 K1 K2 K2

onde

vi

denota a restrição

de

v

a

K.

_•

i = 1,2 o ( 2. 2)

K.

'

'

Portanto, suponhamos que os elementos de Wh sao suficientemen-te suaves em cada K E Th e além disso satisfaçam a relação de reciprocidade (2.2).

Para cada triângulo K E Th construiremos um espaço de funções vetoriais v suficientemente suaves tais que:

r-(i) div v

é

um polinômio de grau < k

(ii) a restrição de v·n em cada aresta de K e um p~

K

linÔmio de grau menor ou igual a k . ( 2. 3)

A

construção

do espaço WK pode ser feita em duas etapas.

A

Na primeira etapa introduz-se o espaço W associado ao

triângu-lo padrão

K A no plano (~,n) cujos vértices sãO âl = (1,0),

a

A =

2

=

(0,1) e

â

3

=

(0,0) , e

de [191 l .

n

_A =

n . Consideremos os exemplos

(vi--K

A

EXEMPLO 1. Seja k > O um inteiro par. Definimos W como sendo o espaço das funções v satisfazendo

13

I

;1

a Ek+1 k k/2+1 k/2

= po1k(E;,n) + + a.l~ n

+ •

o o

+

ak/. E; n

a·

2

l

v2 = po1k (E;. nl

+

Sonk+1 k

k/2+1 k/2 (2 .4)

+

s

1n

é

+ ••

o

+

sk/. n ₂ E; k/2 com 1.: ( 2. 5)

i=O

Na expressao (2.4), polk(Ç,n) denota um polinômio de grau k nas

variáveis Ç,n.

A

EXEMPLO 2. Seja k > 1 um inteiro Ímpar. Definimos W como o es·

paço das funções

v A satisfazendo

r

A k+l k

I

v 1 =polk(Ç,n) +a.0Ç +a1.; n

+ •••

(k+1)/2 (k+l)/2 +a(k+1)/ E; n k+l k+1 -2-(-1) i

2

com E a. = E

i=O

~ i=O (-1) i . 2 (k+l) /2 + ••• +B(k+1)/n 2 Bi =

o

.

(k+l) /2

ç

( 2. 6) ( 2. 7)

Os exemplos apresentados acima satisfazem as condições i)

e ii) de (2.3).

A

'

15

A A A

Os graus de liberdade de v sao os valores de v•n em

A

dois pontos distintos de cada lado de K e o momento de ordem zero de v (vide (2.8)).

Na segunda etapa considera-se um triângulo K no plano cujos vértices são denotados por a i , 1 < i < 3. Logo existe uma única aplicação afim inversível

A

F :X = (f,;,n) ---+X= F(;c) (2.11)

A

tal que a. = _F(ai)

_•

1 < i < 3. Seja J

o

determinante

Jaco-'

função

A

A

biano

de F. A urna escalar

•

definida

etn K associamos a função

•

definida em K por

(2.12)

A A A

Por outro lado, a cada função vetorial v= (v

1,v2

>,

defi nida em K, associamos a função v definida em K por

(2.13)

A escolha da transformação·contravariante (2.13) está baseada no seguinte resultado:

A 1 A 2 •

v E (H (K)) ) temos:

f

K

~·

di v

V dX

=

J

K I{) di v v dx ,

f

aK

~

v-n

dS -

-

f •

aK

16

Assim a transformação (2.13) preserva num certo sentido o divergente e a componente normal de funções vetoriais. Portanto, ao triângulo K associamos o espaço

WK

=

{v E H(div;K) ;

v

E

W}.

(2.14)

Pelo lema acima, o espaço Wk satisfaz (2.3). Finalmente definimos

(2.15)

Corno foi observado anteriormente, uma função ~h E Wh deve sa-tisfazer a relação de reciprocidade (2.2). Portanto, os graus de liberdade de uma função ~h E Wh são determinados por:

17

j

a) os valores de em (k+l) pontos distintos de

ca-I

da aresta dos elementos de

<

l

b) os momentos de ordem < (k-1) de sobre cada K E T h" Construído o subespaço Wh , resta construir Mh E L ( 2 ~) •

Corno para cada

e cada

K E Th , div

_;:hl

é

um

polinô-K

mio de grau < k , uma escolha natural para o espaço

-

e 2

= {uh E L (~) ; 'áK E Th , (2.16)

onde Pk denota o espaço dos polinômios de grau < k nas variá

veis e x

26 Ressaltamos que uma função uh E Th não

satis-faz qualquer restrição de continuidade nas fronteiras comuns dos elementos de -rh •

Os espaços Wh c H(div;n) e Mh c L

2(n) apresentados nes-te capitulo são denominados espaços Raviart-Thomas, urna vez que tais espaços foram descritos inicialmente em [191 •

Mostra-se que os espaços Wh e Mh verificam a condição (1.24). Para mostrar que os espaços Wh e M verificam a condi-ção de Brezzi (1.25), vide [19]: Lema 4, Lema 5 e Teorema 4.

Enunciamos o principal resultado sobre o erro na aproxim~

18

TEOREMA (_vide [18] ) •· Consideremos os espaços Wh e Mh defini-dos em (2.15) e (2.16) respectivamente.

Suponhamos que existe um ângulo 9

0 independe do

para-metro

h

tal que

(2.17)

onde

eK

e o menor ângulo do triãngulo K.

Além disso, suponhamos que a solução

ê

suficientemente suave (u E Hk+Z(Q) u com

do problema modelo (1. 7) 6u E Hk+l(Q)). Então o problema aproximado (1.23) tem uma única solução (~h,uh) E

whx·

x

Mh

e

existe

uma constante

C

>

O

independente de h tal que

(2 .18)

No próximo capítulo apresentaremos e analisaremos uma téc nica de implementação de um método misto que se baseia no uso de multiplicadores de Lagrange para impor a continuidade entre os elementos.

CAPÍTULO III

DESCRIÇÃO E ANl\LISE DE UMA Tt:CNICA DE IMPLEMENTAÇÃO

Na discretização de problemas elípticos pelo método misto

(_l. 23) obtemos um sistema da forma

Aa + Bu

=

f 1

( 3 • 1 I

onde

o

é

o campo de "tensões" e u o "deslocamento" nos ter-· mos da Elasticidade. A escolha de um método numérico para resol-ver (3.1)

é

restrita ao fato que frequentemente o sistema (3.1)

é

indefinido. Entretanto, para alguns métodos mistos amplamente usados este problema

é

contornado por uma técnica de implementa-ção pela qual obtemos um sistema positivo definido (vide [9] ). Esta técnica consiste em eliminar restrições na continuidade dos espaços elementos finitos e introduzir multiplicadores de L~

grange definidos nas arest·as interiores dos elementos. Denotando por À os multiplicadores de Lagrange, o sistema resultante ap~ sentará a seguinte forma:

20

ÍÃÕ

+

Bu

+

c I

=

f1 -T-f2 B

o

₌

T

-o

( 3 . 2)

c

o

₌

A vantagem do sistema (3.2)

é

que a matriz correspondente

-ao operador A

é

diagonal por blocos e portanto facilmente

in-versível a nlvel de cada elemento. Logo, da primeira equação de

(3.2),

temos

--- Bu --- cil ( 3 • 3)

que aproxima o campo de tensões em função das outras variáveis. Substituindo-se {3.3) na segunda e terceira equações de (3.2),

oE

temos o seguinte sistema linear

-T --1 -T --1 - -T --1 B A Bu + E A CÀ = B A f

1

-

f2 CT --1 _A

--

_{Bu +} CT --1 -_{A CÀ =} CT --1 _{A f}

1 (3.4)

que

ê

um sistema linear simétrico e pOsitivo definido. Portanto, podemos resolver (3.4) e recuperar o campo de tensões de (3.3) simplesmente através de um "post-process" elemento a elemento.

21

Para introduzir multiplicadores de Lagrange nas arestas interiores dos elementos de uma triangularização Th de n, com esta triangularização apresentando as mesmas caracteristicas des critas no cap1tulo anterior, utilizaremos as seguintes notações:

Sejam k

>

O

inteiro, n > 1 e

s c m

2 espaço dos polinômios de grau < k em S,

RTk (S) = {

~

I

f (x) =

12

(~)

+

~q (~), 12

E

~k

(S) , q E Pk (S)

l,

RT~l

(Th) =

{~I:

E (L2 (11)) 2 ' IIK E RTk(K)' K E Th} '

= { ':

I': •

RT~

1

(Th), a componente normal de

cont1nua ao

longo das

fronteiras comuns

Logo,

Sejam

=

RTk n H(div;Q)

=

-1

os lados dos triângulos de

(vide 2.15).

e

isto

é,

c~

é

o conjunto das arestas interio -res dOS elementOS de lh e

Para K E Th , e E

c-

I denotamos por

h diâmetros (vide [6)).

h

8 os respectivos

Seja

~K

o vetor normal unitário exterior a

K e

~e

vetores unitários normais a e.

22

um dos

o espaço dos

multiplicadores de Lagrange que usaremos

é

denotado Por Mk (C

_{-1 h}

0) e

é

formado pelas funções definidas em ch que sao polinômios de grau < k em cada e E

c

0 e que se anulam em cd

h h"

Mostra-se (vide

f

l] ) que E RTk(K) então

Enunciamos o seguinte resultado:

LEMA. (vide [ l] ) • Se T E então T E _{se e so}

mente se

o '

Vp E ( 3. 5)

O Lema acima quer dizer que podemos caracterizar o espaço

RT~

{ Th) como sendo o espaço das funções

.~E RT~

1

(Th) satisfazendo (3.5)

Portanto, temos a seguinte formulação para o método misto

(vide

[ l

l ) :

Encontrar

tal que

23

(a)

dx- di

v

TdX-

r

- - J <JK (b)

~

_{JK v div}

~h

_dx

~Jfvdx,

Q

-Vv E

(c)

'

(3.6)

TEOREMA (vide (1] ). O problema (3.6) tem uma única solução

(~h' uh, Àh), com ~h= ~h e ~=~,sendo (~h,uh) a única

solução de (1.23).

Observa-se que o problema (3.6) apresenta a forma (3.2), sendo a matriz A , correspondente a

J

O • T d X ,

ll h

-diagonal por blocos.

verifica-se que a matriz do sistema (3.4)

é

simétrica e além dis so temos o seguinte resultado:

TEOREMA. A matriz do sistema (3.4)

é

positiva definida.

24

DEMONSTRAÇÃO. Seja [ u \] T E m m+n um vetor nao nulo tal que m

é

o número de elementos de e n

é

o número de arestas inte

riores de Th. Temos: -T --1

-

-1' --1

r

B A B B A

c

u u <

_'

= T --1

-

T --1 C A B C A

c

À À -T --1

-

-T --1 B A Bu + B A CÀ u <

'

) = T --1

-

T --1 C A Bu + C A CÀ À --111- --1'2- -Y.z --%- -% %

= (A Bu,A Bu) + 2 (A C\ ,A Bu) + {A CÀ, Ã- CÀ ) =

--%- --% --%- --Y.z

= (A BU + A CÀ , A BU + A CÀ } > 0 •

-Se Bu

+

CÀ = O segue que, tomando funções L convenientes na

-primeira equaçao de ( 3. 6) , u = O e À = O , o que

é

um absurdo .

-Logo Bu + CÀ ,< O .

Portanto a matriz do sistema (3.4) e positiva definida. c.q.d.

25

Convém observar que

na

demonstração do teorema acima levamos em

consideração os seguintes fatos: como a matriz

Ã

e positiva

de-finida e simétrica, então sua inversa Ã-l também

é

positiva de-finida

e

simétrica; mostra-se que existe uma única matriz B po-sitiva definida e simétrica tal que

zemos que

B

é

a "raiz quadrada 11

de

-2 --1

B

=

A e neste caso, di---1

A denotada por -

B

=

A

--%

.

CAPITULO IV

IMPLEMENTAÇÃO E APLICAÇÃO NUM PROBLEMA DE ELETROMAGNETISMO

4.1. DESCRIÇÃO DE UM PROBLEMA DE ELETROMAGNETISMO

Consideremos o seguinte problema (vide [ 4] ) :

Dado um condutor retangular cujos lados medem 2a e 2b,re~

pectivamente, com centro na origem do plano (x,y), como

é

visto

na figura 1, o potencial A em todos os pontos da região 0. de-:-terminada pelo retângulo, satisfaz a equação de Poisson

f

ozA + a2A - ~ ~ J ~

ai

=

em

l

ax 2

o

A =

o

em

a~ ( 4 • 1)

sendo J a densidade uniforme de corrente e a perrneabili-dade. Além disso, suponhamos que a permeabilidade do condutor e

-muito maior que a permeabilidade do rreio adjacente.

Dadas as dificuldades de encontrar soluções analíticas

27

usando série de Fourier, como

é

usual em problemas desta

nature-za, ou outras ferramentas matemáticas, uma alternativa

é

a utili zação de métodos numéricos no cálculo de soluções aproximadas. Dentre estes, detacarnos o método dos elementos finitos. Ressalta mos, dentre as vantagens deste método, a flexibilidade na

geome-tria do condutor e também sua utilização quando condições de con torno são do tipo Dirichlet (como em (4.1)), Neurnann e mistas. Nesta linha empregamos a formulação primal associada a (4.1).

Entretanto, a determinação do campo magnético H e fre-quentemente mais importante que o potencial A para efeito de aplicações práticas. Como o campo magnético H está relacionado com o potencial A pela relação

H ~ - VA ( 4 • 2)

a aplicação do método misto nos parece recomendável e, de acordo

com a argumentação dos capítulos anteriores, esta técnica apre-senta algumas vantagens. Detalhamos a seguir a implementação de um método misto no câlculo de soluções aproximadas para (4.1) e

28 y b -o o X -b FIGURA l

29

Suponhamos, por simplicidade, que o condutor ocupa a

re-gião

n•

= [

0,1

1

x [

0,1]

como

é

visto na figura

2.

I O ,I l

10,0) I I,Ol

FIGURA 2

De acordo com a formulação (3.6), o sistema a ser resolvi do apresenta a forma (3.2). Podemos então considerar a resolução do sistema (3.4). Para isso, na seçao 11

Estrutura do programa el~

mentes finitos11

30

e como

ê

montado o sistema (3.4)_. Em seguida, conhecida a solu-ção de (3.4), mostramos como recuperar (3.3).

4.2. ESTRUTURA DO PROGRAMA ELEMENTOS FINITOS MISTOS

Para o programa que apresentamos nesta dissertação adota-mos uma estrutura modular, ou seja, as principais operações do

método misto são efetuados em subrotinas separadamente. A figura

3 mostra a organização do programa e a ordem de execução das sub

rotinas. 'A ordem de chamada das subrotinas

é

controlada por um

programa principal sendo que a função de cada urna delas

é

descri

ta no fim desta seção.

Na construção do programa elementos finitos destacamos: (i) Alguns usuários estarão interessados na utilização do progra ma como um "pacote", não lhes interessando as diversas etapas da aplicação do método misto. Neste caso a estrutura de entrada e saida de dados constituem elemento importante no processo. Na nossa implementaçã:o os dados de entrada são inseridos num arqui-vo específico e utilizados

ã

medida que o programa principal e executado.

Na bibliografia especializada observamos que em algumas implementações a entrada de dados se dá por uma subrotina ·especí fica. Quanto aos dados de saida, estes são armazenados num deter minado arquivo

à

medida que as subrotinas são executadas.

31

(ii) Como na segunda equaçao de (3.6) aparece a expressao

f

f vdx

n

'

devemos levar em consideração a eficiência de algoritmos utiliza

dos em integração numérica.

(iii) Deve-se considerar a esparsidade das matrizes que aparecem na implementação do método misto pois isto acarretará numa econo

mia de memória e tempo de processamento.

(iv)

O

tempo dispendido na solução do sistema de equaçoes

(3.4)_

representa uma grande parcela do tempo total de processamento. Logo, a escolha de um método adequado para a solução de sistemas lineares

é

de grande importância para a eficiência do programa.

RELAÇÃO DAS VARIÁVEIS E DIMENSÕES.

NELEM numero de elementos

-KELEM 4X

número

de elementos

LELEM

número

de

arestas

interiores

MELEM

número

de elementos + número

tas interiores AM(NELEM,4,4) BM(NELEM, 4, 1) CM (KELEM, LELEM)

Matriz

do Matriz do Matriz do

-operador A

-operador B operador

c

de

ares-FM(MELEM) AIN (NELEM, 4, 4) SIST(MELEM,MELEM) XDISP (MELEM) RECOV(NELEM,4,1) CC(3), DD(3) ID (NELEM, 3) IFPRE (MELEM) FIXED(NELEM) KL,JL

Vetor força .

Matriz do operador

A

--1

.

Matriz do sistema (3.4)6

Vetor solução do sistema (3.4).

Matriz solução de (3.3).

32

Coordenadas cartesianas dos vértices

de um elemento.

Matriz que ralaciona as coordenadas

locais e globais das arestas dos

ele-mentes.

Vetor que assinala quando urna variá

-vel do sistema (3.4)

é

prescrita ou

nao.

Vetor que armazena o valor de urna

va-riãvel prescrita dos sistema (3.4).

Variáveis associadas aos elementos da

triangularização.

....J <(

0...

(.)

z

a::

0...

<( ~ <(

a::

(.!)

o

a::

0...

AMIXED

r '

-"'

o

t--z

BMIXED UJ

"'

UJ ..J

"'

"'

o

"'

o

C MIXED o

o

t--"'

_"'

"'

o

"'

a.

o

FM IX EO

o

..J ' -AINVER SISTEM G R ADCO RECOVE FIGURA 3 ORGANIZAÇÃO DO PROGRAMA

'

33

34

DESCRIÇÃO DAS SUBROTINAS

Subrotina AMIXED

Constrói a matriz AM (NELEM,4,4) que

é

diagonal por blocos e es

-tâ

associada ao operador A (vide ( 3. 2) e ( 3. 6) a) •

Parâmetros: AM, CC, DO, KL, NELEM.

Subrotina BMIXED

Constrói a matriz BM(NELEM,4,1) que está associada ao operador

B

(vide (3.2) e (3.6)a).

Parâmetros: BM, CC, DO, KL, NELEM.

Subrotina CMIXED

Constrói a matriz CM(KELEM,LELEM) que

é

urna matriz esparsa apr~ sentando uma determinada estrutura de banda

e

está associada ao operador C (vide (3.2) e (3.6)a).

Parâmetros: CM, CC, DO, ID, NELEM, LELEM, KELEM, JL, ML.

Subrotina FMIXED

Constrói o vetor FM(NELEM) que representa o carregamento das for

ças nos elementos (vide

(3.6)bl.

Parâmetros: FM, CC, DO, KL, NELEM.

35

Subrotina AINVER

Inverte cada bloco da matriz AM, determinando a matriz

AIN(NELEM,4,4}

que está

associada ao operador

A --1 •

Parâmetros: AM, AIN, KL, NELEM.

Subrotina SISTEM

Constrói a matriz SIST(MELEM,MELEM) associada ao sistema {3.4). Parâmetros: AIN, BM, CM, SIST, NELEM, LELEM, KELEM, MELEM.

Subrotina GRADCO

Visto que a matriz SIST

é

simétrica, positiva definida e espar-sa utilizamos o

Método

dos

Gradientes Conjugados

(vide [13 ],[15 J) para obtenção da solução XM(MELEM) do sistema (3.4}.

Parâmetros: SIST, FM, XM, IFPRE.

Subrotina RECOVE

Recupera o "campo de tensões" (3.3) construindo a matriz RECOV(NELEM,4,1).

Parâmetros: A!N, BM, CM, XM.

EXEMPLO:

Para ilustrar como o programa elementos finitos mistos p~

36

o domi.nio rl' = [0,1] x [0,1] seja tr±angularizado como na fiou " -ra

4.

Em seguida, estabelecemos uma numeraçao para os elementos

(triângulos na figura 4)_; assim, 6 refere-se ao elemento n9 6

de acordo com a numeração. Feito isso, consideramos uma

numera-çao para as arestas interiores, isto

é,

aquelas arestas que nao estão na fronteira. Por exemplo, o número 6 refere-se

à

aresta interior n9 6. Logo, para a triangularização da figura 4,

NELEM = 18 LELEM = 21 •

Os dados de entrada sao inseridos num arquivo específico

(FOR2Q. DATl e a ordem de entrada dos mesmos

é

contrólada pelo·

programa principal (MASTER) •

Os vértices dos elementos são percorridos no sentido anti horário e suas coordenadas cartesianas denotadas por CC(J) e DD(J) com J

=

1,2,3~ Para o elemento 6 , temos:

CC(1) = 0.33333333 00(1) = 1.0 CC(2) = 0.0 OIJC2l = 1.0

CC(3) = 0.0 00(3)

=

0.6666666 •

O vetor ID(NELEM,3), que relaciona as coordenadas locais e globais das arestas doS elementos, deve ser tal que as arestas

37

sao numerados localmente no sentido anti-horário e às arestas da da fronteira

é

atribuido o valor O (zero). Assim,

ID(3,1) = 2 ID(3,2) = 7 ID(3,3)

=

3

ID(4,1) = 4 ID(4,2) -O ID(4,3) = 3.

O vetor IFPRE assume os valores O ou 1, sendo que os ele-mentes possuindo pelo menos uma aresta na fronteira do dominio

são prescritos e seus valores armazenados em

FIXED,

como e mos-

-trado abaixo:

IFPRE(2)

=

1

FIXED(2)

=

0.0

IFPRE(3)

=

O

FIXED(3)

=

0.0 .

Apresentamos listagens dos arquivos FOR20.DAT (dados de entrada) e FOR2l.DAT (dados de saída) para o exemplo que esta-mos considerando.

38

TY FOP20. I"lfH

o.o~o.o,o.1333333~o.o?O.J3~~3.!3•0.J3~3:333 o~6d

o.3333333~0.33J3~33,o.o~o.3zJ-;~3~.o.o-0,0

2 9 o~ .1.

O, O~ O • 33;):333:1 ~O" :·5:·::; 3J3:·.~::-; ~ •)" ::~3:·)3j3:·.í • {), ·~;:·:) ··iJ:":i33 ~ •:Y ,. /, ::~ ~.(./:.t:_\6

'') ... ,

..•

• ~1/?,.i 0.3333333~0.f666666,Q.0•0,66666~S•O.G,0.3J337_3J 4,(),3 O.QpQ,6666666,0.3333333,0.6~6~666•0o333~3S3~1,0 4,n~5 o.3333333vt.o,o.o,t.o,o.o,o.6666666 o,o,~7i o.3333333·0.o~o.6666666,o.o,<).66666~~.o.3333~3l Od4v9 Oo6666666P0o33333JJrOo3333333,0,3333333•0o33332:~3v0.0 10'6'9 0.3333333,Q,3333333r0.66666~6r0.~33333~~0.h6Sf.~,··6·~ f6~~A~~ 10J1~)~·11 o.6666666.0.6666666,Q.3333333?0o6666666,0.J3'~~-~J3·0.33~3~~··~ 1;;.~,/vl:l. 0.3~33333,0.6666666,0.66666~6.0.6~666~6.0.6~~6~66·!

.o

1:?.~:1.6~13 0.6666666r1.0?.3333333~1.0,0.3333~33,0.6666~~6 0~8,1.3 O, 66f.lf,•9>6 • O. O' "I • O v r), O • 1., •) ~O, 3~·:~:"L~3".33 o,o~t7 l.C)r0.3333333o0.6666~~6r0,33!3333rOo·~(66666,Q.O 18d4d"7 Oo6666666~0.3333333Y1o0,0.33333~3r1,0t0.6~666~~ 18r0,19 t.O,Q.6666666~0.6666666,0.6666666~0.6666A66,0.33J3~~J 20P1~.)9:l</ 0.66666~6~0.6666666~1.0 ,0.6666666·1·011.0 20~ür2:l t.o,t.o.o.66A6~66,t.o,o.6~666~6~0.6666666 0916,2:1. 1,t,o~t~o~1•l,o,o,o,o.Jr1~o,t?O,t,1 o,o,o,o~o,o,o,o~o,o,o~<),.o.<)101o?o1o

•

39

ELEMCMTO

1

.,

..

4 7 ll

lO

1 'J 13 :1.4 16 1.7 lll

ELEMENTO

SOl_llCAn

DO PROBl_EMA

O.OOOOOOOE+üü

o.

:·~·.s:t -~n:'.~·~F····():t. O.OüOOOüOE+OO O,_ OOOüOOOE+OO O. OüüO•)OOF:+üO O. OOü0')00E +üO O • 2~_'j14H3:)F-·Ol O. OOOOüOOF:+OO O. 00~)()000F+OO 1

O • OOOOOOOE' +üO O • üüOüüOOC: +üO ü. 0('>1_{)00()01::: +•.)0 ü. ü•)OO•)üüC -,}

ELEMENTO

,.,

_·'·

ELEMEHTO J,

····.L.B:J(l7()0

ELEMENTO

4

O.OOOOOOOE+OO O.OOOOOOt>E+OO 0.000000()ft00 0.0000000E-~OO

ELEMENTO

·-0. 7407402

ELEMENTO

o·:·

,,

(). OüOüOOCF+OO O. OOO•)OOOF+OO •). OOOOOOC•C: +üO ü , (J~)·. ••::OOüOE {·•:J•)

ELEMENTO

7

O.OOOOOOOEtOO O.OOOOOOOE+OO 0.~)0()0000[i-00 0.000000GE-~00

ELEMENTU

O -1.810700

ELEMENTO

9

·-2.139?:1.8 ELEMENTO .!() -2.:l399Hl 4. ü:!.4B:I.::=; ELEMENTO 11 ·-2. 263376 4. ü"/40T7 ELEMENTO .!2

o.ooo0000E+Oo

o.ooooo(>OE+Oo

o.oooooooEtoo o.oooooooE+oo

ELEMENTO 1.::1

ELEMFNTO :1.4

····O. ?40'?-'\ü :J.

1

ELEMENTO 15

O.OOOOOOOE+OO O.OOOOOOOt+00 0.00()0000E+OO O.OOOOOOOEtOO 42

ELEMENTO

16

-3.168724 4.074072 4.074077

ELEMENTO

17

ELEMENTO

18

43

Seja ~ = [ 0,1] x I

0,11

e consideremos uma triangulariz~

çao do domínio formada por 50 elementos. Dada a simetria do pro-blema (4.1), obtivemos alguns resultados que estão descritos abai xo e na figura 5, utilizando o "Programa elementos finitos

mis-tos" apresentado neste capítulo.

Equipotenciais 1) 0.6143000 E-2 2) 0.5355000 E-2 3) 0.4492750 E-2 4) 0.3912500 E-2 5) 0.2617500 E-2 6) 0.8197350 E-3

Convêm ressaltar que nos resultados obtidos acima para o

proble-ma

(4.1),

todos os valores numéricos devem ser multiplicados por

1.1 1.1

0 J que

é

um dado do problema.

•

44

6 5 4 3

x,

FIGURA 5

45

4.3. APLICAÇÃO DOS MtTODOS MISTOS A PROBLEMAS NÃO LINEARES

Na seçao 4.1 apresentamos um problema elitico de 2~

_o

r-dern linear. De modo geral, o problema (4.1) aparece sob a

segui~

te forma

(v ôA)

+

ax

ay

a

(v

aAl

ay = -J ( 4 • 3)

onde A satisfaz determinadas condições de fronteira e v é uma função denominada 11

reluctividade". Analisando mais

detalhadamen-te a função "reluctividade" v, duas situações podem ocorrer:

(i) Sendo v = vCx~y), isto

é,

v

é

uma função da posição, te-. mos um problema linear cuja formulação variacional

é

do ti-po da formulação mista descrita em [11 . Nesta situação se enquadram alguns modelos de problemas em eletromagnetismo de acordo com a literatura especializada;

(ii) Para v~ v(x,y,A), temos um problema nao linear. Para apli carmos o método misto, devemos considerar uma formulação mista apropriada que leve em con.sideração a não linearidade do problema. Na literatura especializada encontram-se vários problemas de eletromagnetismo que se enquadram nesta situa-ção (vide, por exemplo, [51 e [22]). Além dos problemas em

46

eletromagnetismo, os métodos mistos tem sido aplicados na so lução numérica de inúmeros problemas não lineares, (vide [ 6} :

equações

de von Karrnann, planos elastoplásticos, pro-blemas não lineares do tipo monótono, dentre outros, bem c~

mo Zaga (vide [28] ). Dado o crescente emprego dos métodos mistos para solução numérica de problemas deste tipo, just~ fica-se um estudo mais aprofundado destes métodos,tanto sob o ponto de vista matemático como sob o aspecto computacio -nal.

CAP!TULO V

CONCLUSÕES E COMENTÂRIOS

Tem sido demonstrado em aplicações práticas, que urna

ma-neira eficiente para resolver numericamente problemas

de valor

de contorno, em equações diferenciais parciais, consiste na apli

cação do método dos elementos finitos. Para problemas elíticos,

tal método baseia-se num princípio variacional conhecido na

teo-ria da elasticidade como principio da energia potencial. Nestã.

abordagem temos os métodos de deslocamento que são a base para a

obtenção de resultados numéricos em problemas de engenharia.

Outros princÍpios variacionais têm sido usados, nos ú-lti-mos anos, na construção de soluções

aproximadas

pelo método dos elementos finitos, para problemas de valor de contorno elíticos. Citamos, por exemplo, os métodos de equilíbrio que estão assoei~ dos ao princípio da energia complementar e os métodos mistos,que estão relacionados com o princípio de Hellinger-Reissner. Os mé-todos mistos têm demonstrado uma precisão superior aos mémé-todos de deslocamento quando aplicados a urna triangularização semelhante. Entretanto, estes métodos apresentam proble.mas de mal condicion~ mente devido a termos nulos na diagonal da matriz do sistema

{3.1); outra desvantagem do método misto é o elevado custo compu tacional, dado o crescente número de variáveis necessárias a

48

determinação de soluções aproximadas.

De fato, na avaliação da memória utilizada na solução do problema (4.1) usando o método misto e a técnica descrita no ca-pítulo III (justificada matematicamente por D. N. Arnold e F. Brezzi [1] ), obtemos os seguintes resultados:

Número

de Método de

Método

Técnica do

elementos(N)

deslocamento

misto capitulo III

18 22,666N 162,666N 379,366N

32 27,000N 157,560N 389,750N

50 32,880N 154,560N 395,980N

128 54,500N l5l,OOON 397,625N

200 79, 320N l47,090N 376,760N

Observando os dados acima, podemos considerar um comporta mente linear da memória usada no método misto e na técnica

des-crita no capítulo III, com relação ao número de elementos da tri angularização do domlnio. Assim, sendo M a memória, N o núme ro de elementos e ajustando os dados da tabela por quadrados mi-n1mos, temos:

i) Técnica descrita no capítulo III

M

=

379,031N + 623,977

49

ii) Método Misto

M = 154,081N

+

384,248

Os dados descritos acima estão representados graficamente na fi-gura 6.

Numa análise destes dados podemos concluir que o custo d~ ferencial (diferença de memória entre a técnica descrita no capi tulo III e o método misto) se amplia quando aumentamos o número de elementos. Podemos então sugerir algumas alternativas:

1. Sendo a matriz do sistema (3.1) associadoao método misto nao

-singular

é

recomendável usar os espaços de Raviart-Thomas sem a necessidade da técnica do capítulo III. O método misto se justificaria pelo ganho na precisão dos resultados com rela-ção ao método de deslocamento. A melhoria na precisão tem si-do verificada em problemas práticos conforme ZienRiewicz, Vi-lotte e Toyoshima [27] •

2. Para sistemas indeterminados existem outras técnicas de impl~ mentação que contornam esta dificuldade e apresentam custos

(em termos de memória) inferior inclusive ao método rnisto.Por exemplo, o método iterativo global apresentado por Zienkiewicz, Vilotte e Toyoshima [271) tem custo equivalente ao método de deslocamento (tradicional método dos elemento finitos). Convém

50

observar que embora vários exemplos tenham sido apresentados,

não

é

de nosso conhecimento uma justificativa matemática da convergência desta técnica [27] .

3. Finalmente quando os multiplicadores de Lagrange introduzidos

na técnica do capítulo III apresentarem significado físico r~

levante, justifica-se a sua utilização apesar do elevado cus-to de memória relativamente

à

outras técnicase De fato, desta maneira calculamos a , À e ~ (vide (3.3) e (3.4)), onde os multiplicadores de Lagrange \ admitem freqÜentemente uma

in-terpretação fÍsica, como por exemplo, um campo de

deslocamen-to (vide [9] ) .

Seria importante uma comparaçao do tempo de execuçao dos programas associados aos métodos em estudo. Entretanto, como o sistema DEC-10 trabalha em tempo compartilhado, não e possível tal comparação.

v

75

....

"'

70 65 <f) w 0: ₆₀ <t :X: --' :; 55 :; 50 w <f) 45 <t o <t z 40 w N <t :; 35 0: <t ₃₀ <f) w ₂₅ > '<t V(N):::: 154 N 0: ₂₀ <t ·> w 15 o o _lO 0: w :; •:::> ₅

z

o

o

50 100 150 200 N NÚMERO DE ELEMENTOS FIGURA 6

52

AP~NDICE

Apresentamos a listagem de um programa em FORTRP~ IV que implementa um método misto aplicado ao problema (4.1), possuindo a estrutura (vide figura 3) descrita no capitulo IV, nas

próxi-mas páginas.

I,INICAMP

.,

'

ut~~~~; .... lJ:• L!l.p •. -~ . .:J! ur~w-, ,:,j'l L.' .i."'\'"~ .... .:. J .! ül ... Ui. ~--~J.:Í...J l

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