Proposta interdisciplinar de ensino-aprendizagem de regressão linear simples utilizando o método dos mínimos quadrados com base em experimentos físicos

UNIVERSIDADE DO SUL DE SANTA CATARINA LUCAS MARTINS DE CARVALHO

RAFAEL GONÇALVES VIANA

PROPOSTA INTERDISCIPLINAR DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES UTILIZANDO O MÉTODO DOS MÍNIMOS

QUADRADOS COM BASE EM DADOS DE EXPERIMENTOS FÍSICOS

Tubarão/SC 2019

PROPOSTA INTERDISCIPLINAR DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES UTILIZANDO O MÉTODO DOS MÍNIMOS

QUADRADOS COM BASE EM DADOS DE EXPERIMENTOS FÍSICOS

Trabalho de Conclusão de Curso apresentado ao Curso de Graduação em Matemática da Universidade do Sul de Santa Catarina, como requisito parcial à obtenção do título de Licenciado em Matemática.

Orientador: Prof. Esp. Carlos Augusto Zilli

Tubarão/SC 2019

LUCAS MARTINS DE CARVALHO RAFAEL GONÇALVES VIANA

PROPOSTA INTERDISCIPLINAR DE ENSINO-APRENDIZAGEM DE REGRESSÃO LINEAR SIMPLES UTILIZANDO O MÉTODO DOS MÍNIMOS

QUADRADOS COM BASE EM DADOS DE EXPERIMENTOS FÍSICOS

Este Trabalho de Conclusão de Curso foi julgado adequado à obtenção do título de Licenciado em Matemática e aprovado em sua forma final pelo Curso de Graduação em Matemática da Universidade do Sul de Santa Catarina.

AGRADECIMENTOS

Agradecemos a Deus, que nos deu vida e forças para que pudéssemos nos manter firme durante a trajetória.

A todos os professores que fizeram parte da nossa caminhada acadêmica, em especial, ao nosso orientador, Carlos Augusto Zilli que sempre nos motivou a atingir nossas metas.

Aos colegas e amigos que transformaram mesmo as aulas mais maçantes em bons momentos de descontração.

As respectivas namorada e esposa que nos momentos de dificuldade sempre estiveram presentes para nos reconfortar.

Por fim, aos nossos pais por nos oferecerem o suporte necessário e nos transmitirem os bons e importantes valores da vida.

RESUMO

O presente estudo apresenta uma proposta interdisciplinar entre matemática e física onde se analisa a velocidade de um móvel em relação ao tempo, expressa por meio de um modelo de função polinomial do primeiro grau, com uso de ferramentas de regressão linear utilizando o método dos mínimos quadrados. O trabalho apresenta conceitos relacionados à interdisciplinaridade, sua importância e como deve ser introduzida em sala de aula. Em seguida, aborda-se a origem do termo regressão linear, o método dos mínimos quadrados e sua aplicação para que se busque o ajuste mais preciso de um conjunto de dados coletados. Por fim, utiliza-se a função polinomial de primeiro grau para a modelagem do problema proposto. Através da regressão linear pode-se criar um modelo matemático para determinar a influência que uma variável exerce sobre outra. É comum a sua utilização para determinar preços de produtos e serviços, por exemplo, na influência que o amadurecimento de um vinho exerce sobre o seu valor. Outro exemplo é a influência que a localização, estado de conservação e tamanho exercem sobre o valor de um imóvel. Para se alcançar os objetivos propostos, foi utilizado um experimento físico capaz de ser modelado por uma função polinomial de primeiro grau que, após os dados coletados, foi fundamental para a aplicação do método dos mínimos quadrados. Conclui-se que a proposta pode ser aplicada de forma eficaz dentro da sala de aula e que o método escolhido para a regressão linear se adéqua ao experimento proposto, possibilitando a execução tanto no ensino superior quanto no médio. Palavras-Chave: Regressão Linear, Interdisciplinaridade, Método dos Mínimos Quadrados.

This study presents an interdisciplinary proposal between mathematics and physics which analyzes the velocity of a furniture in relation to time, expressed by a first degree polynomial function model, using linear regression tools using the least squares method. The paper presents concepts related to interdisciplinarity, its importance and how it should be introduced in the classroom. Then, we approach the origin of the term linear regression, the least squares method and its application to search for the most accurate fit of a collected data set. Finally, the first degree polynomial function is used to model the proposed problem. Through linear regression a mathematical model can be created to determine the influence that one variable has on another. It is commonly used to price products and services, for example, on the influence that the ripening of a wine has on its value. Another example is the influence that location, condition and size exert on the value of a property. To achieve the proposed objectives, a physical experiment capable of being modeled by a first degree polynomial function was used, which, after the collected data, was fundamental for the application of the least squares method. It is concluded that the proposal can be applied effectively within the classroom and that the method chosen for linear regression fits the proposed experiment, enabling its execution in both higher and secondary education.

LISTA DE ILUSTRAÇÕ

Figura 1 - Inserção dos pontos propostos pelo problema...23

Figura 2 - Gráfico da variação da velocidade do móvel em relação a distância e tempo...27

Figura 3 - Gráfico da variação da aceleração de um móvel em relação ao tempo...28

Figura 4 - Gráfico da variação da temperatura...30

Figura 5 - Dados do primeiro experimento...33

YFigura 6 - Dados do segundo experimento...34

Figura 7 - Dados do terceiro experimento...35

Figura 8 - Representação dos pontos obtidos após serem inseridos no plano cartesiano...35

Tabela 1 – Proposição de problema para análise do método ... 22

Tabela 2 - Dados retirados após a realização do primeiro experimento ... 34

Tabela 3 – Dados retirados após a realização do segundo experimento ... 34

Tabela 4 – Dados retirados após a realização do terceiro experimento ... 35

Tabela 5 – Dados dos experimentos e seus somatórios ... 36

Tabela 6 - Dados dos experimentos e seus somatórios para aplicação do método dos mínimos quadrados. ... 39

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO...11

1.1 TEMA E DELIMITAÇÃO DO TEMA...12

1.2 PROBLEMATIZAÇÃO...12 1.3 JUSTIFICATIVAS...12 1.4 OBJETIVOS...13 1.4.1 Objetivo Geral...13 1.4.2 Objetivos Específicos...13 1.5 TIPO DA PESQUISA...14 1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO...15 2 INTERDISCIPLINARIDADE...17 3 REGRESSÃO LINEAR...21

3.1 ORIGENS DO TERMO REGRESSÃO...22

3.2 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES UTILIZANDO O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS...22

3.2 QUALIDADE DO AJUSTE DA FUNÇÃO...24

4 GRANDEZAS FÍSICAS MODELADAS POR FUNÇÕES POLINOMIAIS DO PRIMEIRO GRAU...25

4.1 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (M.R.U)...26

4.2 MOVIMENTO RETÍLINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V)...27

4.3 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA...29

5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS...31

6 ANÁLISE DOS RESULTADOS...33

6.1 COLETA E ANÁLISE DOS DADOS...33

6.2 APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS...36

6.3 QUALIDADE DO AJUSTE DA FUNÇÃO...39

7 CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS...41

1 INTRODUÇÃO

Em matemática, é bastante comum que os alunos conhecerem as operações fundamentais assim como definições e propriedades elementares, e ainda assim apresentarem dificuldades para resolução de problemas que envolvam esses conteúdos trabalhados. O processo de resolução de problemas possibilita ao professor enfatizar e mostrar as características dos conteúdos trabalhados de forma contextualizada.

Por meio da resolução de problemas a modelagem matemática se torna mais clara e dá uma motivação amais para o aluno se aprofundar nessa disciplina tão importante. Além disso, a metodologia da resolução de problemas "tem grande poder motivador para o aluno, pois envolvem situações novas e diferentes atitudes e conhecimentos” (SOARES; PINTO, 2014).

Este trabalho de conclusão de curso apresenta uma aplicação interdisciplinar entre as disciplinas de matemática e física, com o propósito de que os alunos desenvolvam seus conhecimentos de diferentes maneiras, levando-os a perceber que os conteúdos das disciplinas de matemática e física não existem isoladamente.

Segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, a presença da Matemática no estudo das Ciências da Natureza é indispensável, pois há grande afinidade entre essas duas grandes áreas, sendo a matemática um dos principais recursos de expressão de Ciências da Natureza.

Na área das CIÊNCIAS DA NATUREZA e MATEMÁTICA incluem-se as competências relacionadas à apropriação de conhecimentos da Física, da Química, da Biologia e suas interações ou desdobramentos como formas indispensáveis de entender e significar o mundo de modo organizado e racional, e também de participar do encantamento que os mistérios da natureza exercem sobre o espírito que aprende a ser curioso, a indagar e descobrir. O agrupamento das Ciências da Natureza tem ainda o objetivo de contribuir para a compreensão do significado da ciência e da tecnologia na vida humana e social, de modo a gerar protagonismo diantedas inúmeras questões políticas e sociais para cujo entendimento e soluçãoas Ciências da Natureza são uma referência relevante. A presença daMatemática nessa área se justifica pelo que de ciência tem a Matemática, por sua afinidade com as Ciências da Natureza, na medida em que é umdos principais recursos de constituição e expressão dos conhecimentos destas últimas, e finalmente pela importância de integrar a Matemática com os conhecimentos que lhe são mais afins. (BRASIL, 2000, p. )

A interdisciplinaridade é efetivada através da proposta de uma aplicação de modelagem matemática de um experimento físico, através do método dos mínimos quadrados.

12 1.1 TEMA E DELIMITAÇÃO DO TEMA

Para a realização deste trabalho, optou-se por apresentar uma proposta de sequência didática contextualizada e interdisciplinar para introdução de conceitos de regressão linear simples, utilizando o método dos mínimos quadrados, com base em dados coletados em experimentos físicos que possam ser modelados por funções polinomiais do primeiro grau.

1.2 PROBLEMATIZAÇÃO

Como elaborar uma proposta de aprendizagem de regressão linear simples, utilizando o método dos mínimos quadrados, através de dados coletados de experimentos físicos?

1.3 JUSTIFICATIVAS

Através da regressão linear simples, pode-se criar um modelo matemático para determinar a influência que uma variável exerce sobre outra, servindo como ferramenta para determinar o preço de produtos e serviços. Uma aplicação de regressão linear simples pode ser vista na influência que o amadurecimento do vinho exerce sobre o seu valor, bem como, na estimativa da alteração do valor de um imóvel em função do tamanho, estado de conservação e localização.

Devido à importância deste ramo da matemática, e como pode ser observado através de outras disciplinas, decidiu-se utilizar experimentos físicos em nível de ensino médio para elaborar uma proposta de sequência didática para aprendizagem do tema.

Será preciso, além disso, procurar suprir a carência de propostas interdisciplinares para o aprendizado, que tem contribuído para uma educação científica excessivamente compartimentada, especialmente no Ensino Médio, fazendo uso, por exemplo, de instrumentos com natural interdisciplinaridade, como os modelos moleculares, os conceitos evolutivos e as leis de conservação. (PCN, 2000,p. 48).

Considerando a necessidade de se trabalhar mais com a interdisciplinaridade, optou-se por incluir no desenvolvimento do trabalho alguns conceitos e experimentos físicos, já que existe uma forte relação entre as duas disciplinas.

Por se tratar de um tema com um vasto campo de aplicação, porém pouco abordado, tanto na educação básica quanto na superior, e que pode ser estudado através de experiências e atividades dinâmicas, optamos por este tema.

1.4 OBJETIVOS

Neste tópico serão apresentados o objetivo geral e os objetivos específicos da proposta desenvolvida para esse Trabalho de Final de Curso.

1.4.1 Objetivo Geral

Desenvolver uma proposta para o estudo de regressão linear simples através da observação de experimentos de física, utilizando o método dos mínimos quadrados.

1.4.2 Objetivos Específicos

 Investigar a importância da utilização da interdisciplinaridade no processo de ensino-aprendizagem;

 Compreender a utilização do método dos mínimos quadrados para a realização do ajuste linear e;

 Identificar grandezas de Física que possam ser modeladas por equações polinomiais do primeiro grau.

14 1.5 TIPO DA PESQUISA

Considerada um ponto de extrema importância, na metodologia é onde explicamos detalhadamente de maneira exata todas as ações que foram feitas durante o trabalho de pesquisa.Então, podemos dizer que a metodologia é o estudo dos caminhos utilizados para chegar a um determinado fim. Em um projeto de pesquisa existem diversas maneiras de classificá-la e, do ponto de vista do problema abordado, podemos dizer que esta pesquisa é exploratória, pois segundo Selltiz et al. (1965, p. 69):

“enquadram-se na categoria dos estudos exploratórios todos aqueles que buscam descobrir ideias e intuições, na tentativa de adquirir maior familiaridade com o fenômeno pesquisado. Nem sempre há a necessidade de formulação de hipóteses nesses estudos. Eles possibilitam aumentar o conhecimento do pesquisador sobre os fatos, permitindo a formulação mais precisa de problemas, criar novas hipóteses e realizar novas pesquisas mais estruturadas. Nesta situação, o planejamento da pesquisa necessita ser flexível o bastante para permitir a análise dos vários aspectos relacionados com o fenômeno.”

A pesquisa exploratória também permite que os desenvolvedores possam escolher as técnicas que mais se adequarão, além de possibilitar que os pesquisadores possam analisar todos os dados e informações e decidir sobre quais questões precisam de maior observação durante o desenvolvimento. Segundo Malhotra (2001, p. 8):

“a pesquisa exploratória é usada para formular um problema ou defini-lo com maior precisão; identificar cursos alternativos de ação; desenvolver hipóteses; estabelecer prioridades para pesquisas posteriores; isolar variáveis e relações chave para exame posterior; obter critérios para desenvolver uma abordagem do problema.”

Podemos utilizar como exemplo a proposta de ensino-aprendizagem que é abordada neste trabalho de conclusão de curso, porque trata-se de uma pesquisa em que precisaremos obter precisão nos resultados obtidos para que a pesquisa obtenha êxito. Observamos, portanto, que por meio da pesquisa exploratória, é possível satisfazer os requisitos solicitados para o bom andamento da pesquisa e também para o desenvolvimento do projeto.

A pesquisa exploratória também é grande auxiliadora na ampliação do campo de conhecimento dos pesquisadores, pois mesmo que já tenham conhecimento do assunto ou apenas tenham um conhecimento básico sobre o que será abordado, através da pesquisa, o pesquisador verá que para um simples resultado poderá haver inúmeros métodos de se chegar

ao que é procurado, o que irá agregar tanto em seu conhecimento como em sua curiosidade em buscar soluções para os problemas propostos. Segundo Oliveira (2011, p. 21):

“os estudos exploratórios, geralmente, são úteis para diagnosticar situações, explorar alternativas ou descobrir novas ideias. Esses trabalhos são conduzidos durante o estágio inicial de um processo de pesquisa mais amplo, em que se procura esclarecer e definir a natureza de um problema e gerar mais informações que possam ser adquiridas para a realização de futuras pesquisas conclusivas.”

Por isso, optou-se por uma pesquisa exploratória que fosse quantitativa, ou seja, que reúne os dados baseado em números e cálculos matemáticos de modo que possamos compreender os fenômenos abordados neste projeto através da coleta de dados realizada e da sua aplicação no método proposto.

1.6 ESTRUTURA DO TRABALHO

Com base em livros paradidáticos, didáticos e artigos científicos, dividiremos o trabalho em sete capítulos, sendo estes: introdução, regressão linear, relação interdisciplinar de Física e Matemática, a utilização da função polinomial do primeiro grau em grandezas de Física, procedimentos metodológicos, análise dos dados obtidos e considerações finais.

● No primeiro capítulo estará contido a introdução, o tema de estudo, a delimitação do tema, o objetivo geral, os objetivos específicos e a problemática;

● No segundo capítulo estará presente a fundamentação teórica acerca da interdisciplinaridade no estudo de Matemática;

● No terceiro capítulo apresentaremos o que é regressão linear simples, a origem do termo regressão, a utilização do método dos mínimos quadrados e o cálculo da qualidade de um ajuste linear;

● No quarto capítulo descreveremos três grandezas físicas que podem ser modeladas por funções polinomiais do primeiro grau, que podem ser utilizadas para a aplicação da proposta, sendo estas MRU, MRUV e a variação de temperatura;

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● No quinto capítulo descreveremos a metodologia utilizada e os procedimentos metodológicos;

● No sexto capítulo analisaremos os resultados obtidos, levando em conta a realização do experimento, coleta de dados, utilização do método dos mínimos quadrados e a qualidade do ajuste;

● O sétimo capítulo refere-se às considerações finais, onde refletiremos acerca da possibilidade de aplicação da proposta desenvolvida, a adequação do experimento ao método e a qualidade do ajuste linear.

2 INTERDISCIPLINARIDADE

Vivemos hoje em uma sociedade contemporânea que abrange diversos tipos de pessoas, lugares e locais de trabalhos e, por conta disso, quando a sociedade se transforma ou se atualiza, tudo que existe nela deve se atualizar também. A escola e tudo que é trabalhado em sala de aula não ficam de fora, portanto, surgem muitos desafios no processo de aprendizagem e também na formação de novos professores.

Com todos esses desafios presentes no âmbito escolar, trabalharemos com a Interdisciplinaridade, que se for utilizada de maneira correta, pode se tornar um eficaz instrumento no processo de ensino e aprendizagem. É importante que a interdisciplinaridade esteja presente no âmbito escolar, pois cada aluno se identifica mais com um componente curricular, a partir do momento que esta disciplina é relacionada às demais, o aluno amplia seu campo de interesse, possivelmente, a todas as outras.

Implementar a interdisciplinaridade é uma orientação da Lei de Diretrizes e Bases da educação para o ensino médio que, juntamente dos PCNs, tem como principal objetivo tornar a sala de aula mais interativa, de modo que esta deixe de ser um espaço onde o aluno apenas decora as informações que são compartilhadas. A interdisciplinaridade pode ser considerada uma ponte entre diversas disciplinas e sua utilização em sala de aula é de extrema importância, pois, como serão abrangidos diversos conteúdos, também possibilitará o uso de diversos recursos dinâmicos e tecnológicos e que novos meios de aprendizagem sejam descobertos.

A interdisciplinaridade não dilui as disciplinas, ao contrário, mantém sua individualidade. Mas integra as disciplinas a partir da compreensão das múltiplas causas ou fatores que intervêm sobre a realidade e trabalha todas as linguagens necessárias para a constituição de conhecimentos, comunicação e negociação de significados e registro sistemático dos resultados. BRASIL (1999, p. 89).

Os PCNs orientam que a interdisciplinaridade deve fazer parte do desenvolvimento do currículo, mas, que não deve excluir a exclusividade de cada disciplina, sendo assim, podemos considerar que é um trabalho interdisciplinar que precisa “partir da necessidade sentida pelas escolas, professores e aluno de explicar, compreender, intervir, mudar, prever algo que desafia uma disciplina isolada e atrai a atenção de mais de um olhar, talvez vários” (BRASIL, 1999, p. 88-89). De acordo com Bochniak (p. 21, 1998):

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De modo geral, a interdisciplinaridade, esforça os professores em integrar os conteúdos da história com os da geografia, os de química com os de biologia, ou mais do que isso, em integrar com certo entusiasmo no início do empreendimento, os programas de todas as disciplinas e atividades que compõem o currículo de determinado nível de ensino, constatando, porém, que, nessa perspectiva não conseguem avançar muito mais.

A interdisciplinaridade, em geral, é uma maneira diversificada de se abordar um tema em sala de aula, mas ao invés de seguir o conceito básico daquele conteúdo, você aborda em uma disciplina diferente. Resume-se conseguir identificar diversos pontos em outras áreas do conhecimento e em seguida, os unir para que algo inovador seja criado.

Os PCNs reforçam bastante sobre como a interdisciplinaridade deve ser trabalhada, destacando que:

“A interdisciplinaridade não tem a pretensão de criar novas disciplinas ou saberes, mas de utilizar os conhecimentos de várias para resolver um problema concreto ou compreender um determinado fenômeno sob diferentes pontos de vista. Em suma, a interdisciplinaridade tem uma função instrumental. Trata-se de recorrer a um saber diretamente útil e utilizável para responder às questões e aos problemas sociais contemporâneos.” (BRASIL, 2000, p. 21).

Relacionando à visão interdisciplinar, fica claro que os PCNs não têm como objetivo a união de disciplinas, nem a criação e muito menos a eliminação, mas sugerem que os conhecimentos obtidos de diversas áreas do âmbito escolar e do dia-a-dia sejam usados para a resolução de problemas propostos para os alunos em seu cotidiano.

Diversos autores mostram ter diferentes opiniões sobre o desenvolvimento interdisciplinar. Para Fazenda (2008, p. 21):

O conceito de interdisciplinaridade, como ensaiamos em todos os nossos escritos desde 1979 e agora aprofundamos, encontra-se diretamente ligado ao conceito de disciplina, onde a interpenetração ocorre sem a destruição básica às ciências conferidas. Não se pode de forma alguma negar a evolução do conhecimento ignorando sua história. Assim, se tratamos de interdisciplinaridade na educação, não podemos permanecer apenas na prática empírica, mas é necessário que se proceda a uma análise detalhada dos porquês dessa prática histórica e culturalmente contextualizada. (FAZENDA, 2008, p. 21)

A professora Nídia Nacib Pontuschka,também fala sobre o conceito de interdisciplinaridade. De acordo com a autora: “a interdisciplinaridade se apresenta como uma metodologia onde se respeita a especificidade de cada área, procurando estabelecer e compreender as relações entre os conhecimentos sistematizados, ampliando o espaço de

diálogo na direção da negociação de ideias e da aceitação de outras visões”. A visão da autora pode ser associada ao PCN, citado anteriormente, pois salienta um ponto extremamente importante na abordagem desse conteúdo, que é o respeito que cada matéria deve ter com a sua área de trabalho. Nenhuma das duas ou mais matérias que serão trabalhadas devem invadir o espaço das outras, ou seja, para alcançar o sucesso de maneira correta, deve haver extrema atenção do docente, para que ele consiga estabelecer um equilíbrio nas áreas que ele irá trabalhar.

Para Frigotto (1995, p. 44), a interdisciplinaridade se mostra como um problema, mas também como uma necessidade. Ele cita que “delimitar um objeto para a investigação não é fragmentá-lo, ou limitá-lo arbitrariamente. Ou seja, se o processo de conhecimento nos impõe a delimitação de determinado problema, não significa que tenhamos que abandonar as múltiplas determinações que o constituem”. Mas como foi dito anteriormente, a interdisciplinaridade também se mostra como um problema “devido à limitação do sujeito, no momento de construção do conhecimento de uma realidade, bem como pelo caráter histórico desta realidade e por sua complexidade.”

De acordo com Umbelino e Zabini (2014, p.3) “a produção do conhecimento não é alheia aos conflitos que se estabelecem nas relações sociais, salienta que na divisão do trabalho se consuma a alienação e a exclusão, na qual os homens produzem a vida material e a consciência social. ”Logo, a interdisciplinaridade nasce da necessidade de uma solução para a fragmentação das disciplinas podendo também ser tratada como um diálogo entre as diversas áreas do conhecimento.

A interdisciplinaridade mostra que a produção do conhecimento se trata de uma troca de teorias, ideias e metodologias que tornam possível a produção de novos conceitos que procuram atender a vasta natureza de fenômenos complexos e também a relevância das mais variadas áreas do conhecimento que serão praticados no currículo escolar.

Na obra “Interdisciplinaridade e Patologia do Saber’’ de Hilton Japiassu (1976, p. 27), é ressaltado pelo filósofo francês Georges Gusdorf que “a exigência interdisciplinar impõe a cada especialista que transcenda sua própria especialidade, tomando consciência de seus próprios limites para acolher as contribuições das outras disciplinas”.

De acordo com Lück (2007, p. 54), “a superação da fragmentação e linearidade, tanto do processo de produção do conhecimento, como do ensino, bem como o distanciamento de ambos em relação à realidade, é vista como sendo possível, a partir de uma prática interdisciplinar’’. Sendo assim, podemos considerar que a interdisciplinaridade pode ser

20 compreendida como um conjunto de princípios que defendem a união de saberes, teorias e ciências, de modo que possamos obter uma visão mais ampla sobre os conceitos propostos.

Mesmo a interdisciplinaridade sendo de extrema importância no ambiente escolar contemporâneo, é visto que alguns docentes optam por não utilizar em suas aulas já que a compreensão desta ainda é um desafio para os professores e para ser introduzida com sucesso em sala de aula é necessário que os interessados em utilizar esta ferramenta se aprofundem no conhecimento e nos conceitos curriculares e didáticos, buscando se tornar qualificados para a introdução em sala de aula.

[...] Por isso, entendemos o seguinte cada disciplina precisa ser analisada não apenas no lugar que ocupa ou ocuparia na grade, mas, nos saberes que contemplam nos conceitos enunciados e no movimento que esses saberes engendram, próprios de seu lócus de cientificidade. Essa cientificidade, então originada das disciplinas ganha status de interdisciplinar no momento em que obriga o professor a rever suas práticas e a redescobrir seus talentos, no momento em que ao movimento da disciplina seu próprio movimento for incorporado. (FAZENDA, 2008)

Para Pontuschka (1999, p.100), “A interdisciplinaridade é algo pressentido, desejado, buscado, mas ainda não atingido”, e isso acontece porque grande parte dos professores não se relaciona com outras disciplinas e acabam presos na área de docência em que ele é especializado.

Para Fazenda (1994, p.31), o professor interdisciplinar é um ser que pesquisa, tem compromisso com seus alunos, não se acomoda com o que realiza, luta por uma educação melhor e busca por projetos interdisciplinares em diversas áreas do conhecimento. Sendo assim, para que a interdisciplinaridade seja introduzida no âmbito escolar, é necessário que a escola, os professores e também os alunos assumam uma postura diferente e colaborativa.

3 REGRESSÃO LINEAR

Neste capítulo abordaremos regressão linear simples, a origem do termo regressão, a utilização do método dos mínimos quadrados e o cálculo da qualidade do ajuste linear.

O objetivo da regressão linear é estabelecer um modelo matemático capaz de determinar a relação entre duas ou mais variáveis, a fim de tornar possível a previsão de comportamentos. Segundo Barroso (1987, p. 323):

“Se relacionar através de um método matemático a variável resposta (ou dependente) com o conjunto das varáveis explicativas (ou independentes) pode-se determinar então algum parâmetro ou mesmo fazer previsão acerca do comportamento da variável resposta.”

É importante ressaltar que há dois tipos de regressões lineares mais comuns: a regressão linear simples e a regressão linear múltipla. A diferença entre regressão linear simples e regressão linear múltipla é a quantidade de variáveis. Enquanto a regressão linear simples trabalha com uma variável dependente relacionada a uma variável independente, a regressão linear múltipla trabalha com diversas variáveis independentes. Segundo Gujarati (2011, p. 44):

“Se estudamos a dependência de uma variável em relação a uma única variável explanatória, como é o caso das despesas de consumo em relação à renda real, esse estudo é conhecido como análise de regressão simples ou de duas variáveis. No entanto, se estudarmos a dependência de uma variável a mais de uma variável explanatória, como no caso da relação entre rendimento da lavoura e chuva, temperatura, luz do sol e fertilizantes, será uma análise de regressão múltipla. Em outras palavras, em uma regressão de duas variáveis há somente uma única variável explanatória, enquanto na regressão múltipla há mais de uma variável explanatória.”

Neste trabalho abordaremos apenas a regressão linear simples, visto que, a sequência didática proposta visa a utilização de funções de apenas duas variáveis e de polinômios de primeiro grau, sendo do tipo y = ax e y = ax + b.

22 3.1 ORIGENS DO TERMO REGRESSÃO

O termo regressão linear surgiu com o matemático inglês Francis Galton. O termo foi por ele utilizado em um estudo onde tentava determinar a relação entre a altura dos pais, dos filhos e da média da população. Galton percebeu que os filhos de pais altos ou pais baixos tendiam a ter a altura próxima à média da sociedade. Segundo Gujarati (2011, p. 39), “Ele (Galton) constatou que a altura média dos filhos de um grupo de pais altos era menor do que a de seus pais e que a altura média de um grupo de filhos de pais baixos era maior do que a de seus pais; portanto, filhos de pais altos e baixos "regrediam" igualmente à altura média de todos os homens. Nas palavras de Galton, isso era uma "regressão à mediocridade"”.

3.2 REGRESSÃO LINEAR SIMPLES UTILIZANDO O MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

A regressão linear simples consiste em encontrar uma equação que melhor se ajuste a pares ordenados coletados, podendo ser de qualquer grau de polinômio, desde que hajam apenas as duas variáveis. Neste trabalho, demonstraremos apenas funções do primeiro grau, ou seja, funções na forma y = ax + b.

Visando relacionar duas variáveis, devemos primeiramente criar um gráfico de dispersão a fim de visualizar superficialmente a relação entre estas.

Vamos considerar o exemplo abaixo:

Tabela 1 – Proposição de problema para análise do método

1 2 3 4 5 x i 1 ,3 3 ,4 5 ,1 6 ,8 8 ,0 y i 2 ,0 5 ,2 3 ,8 6 ,1 5 ,8

Figura 1 – Inserção dos pontos propostos pelo problema

Fonte: Elaboração dos autores (2019)

Analisando o gráfico acima, é possível perceber que a função que melhor se adéqua aos pontos é uma função polinomial do primeiro grau, ou seja, uma reta. Devido a isso, torna-se necessário a resolução de um produto de matrizes a fim de gerar um sistema de equação que torne possível encontrar os parâmetros a e b.

A primeira matriz tem o formato 2x2. O primeiro elemento é a quantidade de pares ordenados coletados, sendo representado pela letra n.O segundo elemento da primeira linha e o primeiro elemento da segunda linha é o somatório de xi,onde se deve somar todos os valores

de xi.O segundo elemento da segunda linha é o somatório de xi², onde eleva-se todos os

valores de xi ao quadrado e em seguida efetua-se o somatório destes elementos.

A segunda matriz deve ser uma matriz de tamanho 2x1 onde o primeiro elemento é o coeficiente linear e o segundo elemento é o coeficiente angular, representados respectivamente pelas letras b e a. O produto dessas matrizes é uma matriz de tamanho 2x1, onde o primeiro elemento é o somatório de yi e o segundo é o somatório dos valores de xi

multiplicados pelos valores de yi. Como no exemplo abaixo:

[

]

[

]

[

]

24 Efetuado esse processo, será gerado um sistema linear com duas incógnitas, portanto,haverá duas equações para que seja possível a sua resolução. A resolução deste sistema possui diversos métodos, sendo mais comum o método da substituição, onde isola-se uma incógnita em uma equação e substitui-se na outra.

3.2 QUALIDADE DO AJUSTE DA FUNÇÃO

Quando obtemos uma função, se quisermos descobrir a qualidade dela, ou seja, o quanto o modelo encontrado se aproxima dos valores reais, devemos utilizar o coeficiente de determinação. Em uma escala de 0 ≤R²≤ 1, quanto mais próximo o coeficiente estiver de 1, maior será sua qualidade. Para obter o coeficiente de determinação, utiliza-se a equação:

R2=

[

∑

∑

∑

]

[

∑

(

∑

₎

]

[

_∑

(

∑

₎

]

4 GRANDEZASFÍSICAS MODELADAS POR FUNÇÕES POLINOMIAIS DO PRIMEIRO GRAU

Ao decorrer da história o homem observou a ocorrência de fenômenos naturais e buscou compreendê-los. Esses fenômenos apresentavam certos padrões e foi possível então, que os observadores pudessem reunir informações através de dados coletados de suas experiências empíricas, com esses dados, tornou-se possível a elaboração de modelos, que expressassem em uma linguagem o que acabara de ocorrer.

A linguagem que melhor expressa esses padrões físicos é a linguagem matemática. Esse é, sem dúvida, um dos principais motivos para a relação intrínseca entre os dois campos de estudos. Segundo Batista e Mozolevski (2010, p. 15):

“Como construção intelectual, teorias físicas necessitam de linguagem adequada para permitir seu desenvolvimento e transmissão de maneira adequada. A linguagem matemática tem se mostrado a mais adequada para o propósito da elaboração de teorias físicas. O primeiro e mais básico uso da linguagem matemática em física é o tratamento numérico de grandezas físicas. Ao descrevermos fenômenos naturais, precisamos lidar com certas quantidades, como comprimento, tempo, velocidade, temperatura, carga elétrica, etc.”

Tendo em vista que este trabalho busca apresentar uma proposta de aprendizagem de regressão linear simples que resulte em uma função polinomial doprimeiro grau, torna-se necessário que sejam apresentadas grandezas físicas que possam ser modeladas em uma função deste tipo. Há diversos conceitos de Física expressos em função polinomial doprimeiro grau, tais como: Movimento Retilíneo Uniforme, Movimento Retilíneo Uniformemente Variado, variação da temperatura, variação do trabalho, dentre outros. Segundo Batista e Mozolevski (2010, p. 75), “As funções polinomiais do primeiro grau surgem basicamente em problemas de taxa de variação constante, ou pelo menos que a variação média seja constante, mesmo que possa sofrer pequenas oscilações em seu valor.”

26 4.1 MOVIMENTO RETILÍNEO UNIFORME (M.R.U)

O ramo da Física que se dedica ao estudo do movimento denomina-se: Cinemática. Cinemática é uma palavra de origem grega que significa movimento. A cinemática difere-se da cinética, pois quando se trata de cinética o estudo refere-se as causas do movimento, enquanto a cinemática aborda os movimentos, sem levar em conta os causadores do movimento.

Dentro deste campo que abrange todos os movimentos, podemos destacar o MRU, Movimento Retilíneo Uniforme. Nele, como o próprio nome sugere, é um movimento que é realizado em linha reta e tanto os intervalos de tempo quanto as variações de espaços serão iguais, fazendo assim com que a velocidade que teremos seja constante. Se estivermos dirigindo em uma pista reta e o velocímetro sempre estiver indicando a mesma velocidade, estaremos dentro de um MRU, pois como foi dito anteriormente, estaremos em uma velocidade constante.

O Movimento Retilíneo Uniforme pode ser representado pela função: vm=

Δs

t _,

onde Vm representa a velocidade média, ∆ s representa a variação de espaço e t representa o

intervalo de tempo; podendo também, ser escrita como uma função polinomial do primeiro grau, onde o espaço está em função do tempo.

v_m=Δs

t →vm=

s−s₀

t →s−s0=vm⋅t →s=s0+vm⋅t

Dessa forma, deixamos o espaço final (s) isolado, estando dessa forma como variável dependente. O espaço inicial (s0) representa o coeficiente b, a velocidade média representa o

coeficiente a e o tempo representa a variável x. No gráfico a seguir temos a posição de objeto móvel em metros e o tempo em segundos, podemos descobrir então, a velocidade média deste.

Figura 2 – Gráfico da variação da velocidade do móvel em relação à distância e tempo

Fonte: Elaboração dos autores (2019)

Analisando o gráfico, podemos dizer que a posição inicials0=2e em seguida,

escolhemos a posição correspondente ao tempo, ou seja, se escolhermos t=2, s=10. Como o gráfico é uma reta, a velocidade será constante, sendo assim, podemos escolher outros pontos correspondentes à distância percorrida.Colocando os dados retirados na fórmula, temos que:

v_m=s−s0 t →vm= 10−2 2 →vm= 8 2→vm=4 m/s

Sendo assim, concluímos que o móvel está percorrendo este percurso a uma velocidade média de 4 metros por segundo (m/s).

4.1 MOVIMENTO RETÍLINEO UNIFORMEMENTE VARIADO (M.R.U.V)

No MRUV, como no anterior, o movimento é praticado em linha reta, porém, nesse caso, os valores do intervalo podem alterar, de modo que há variação na velocidade. Nesse caso, chamamos a velocidade do instante que examinaremos de velocidade final e a velocidade que o objeto estava no primeiro momento de velocidade inicial. Podemos representar o MRUV através da seguinte fórmula: v =v0+a⋅t ,onde v representa a

28

velocidade no instante desejado(m/s),

v

Δv

Δt _{, onde}

Δv

a variação de velocidade, ou seja, v−v0 e

Δt

t−t

Durante a resolução de problemas desse tipo, podemos encontrar alguns dados diferentes das informações que devemos encontrar, por exemplo, a velocidade em km/h. Se nos depararmos com isso, devemos converter o dado divergente para m/s para que possamos trabalhar com a mesma unidade. Para fazer a conversão de km/h para m/s, devemos dividir o valor de km/h por 3,6 para obtermos o valor em m/s e se quisermos obter o valor de km/h para m/s, só precisamos fazer o processo contrário.

Em um gráfico onde um móvel se movimenta em uma pista reta, havendo variação de velocidade, podemos descobrir a sua aceleração analisando os dados que possuímos.

Figura 3 – Gráfico da variação da aceleração de um móvel em relação ao tempo

Fonte: Elaboração dos autores (2019)

Retirando os dados do gráfico, vemos que no t=0 o móvel estava parado, ou seja, o valor de V0=0 m/ s , mas como o decorrer do tempo, o móvel chegou a determinado ponto

aceleração e para isso, devemos inseri-los na fórmula de a=

Δv

Δt _{. Organizando os dados,}

ficamos com o seguinte desenvolvimento: a=v−v0

t−t₀ →a=

8−0

4−0→a=2 m/ s ²

Sendo assim, concluímos que o valor da aceleração desse móvel a cada segundo que passou foi de 2m/s².

Há dois tipos de Movimento Retilíneo Uniformemente Variado.O Movimento Acelerado que acontece quando o módulo da velocidade objeto se afasta de zero, ou seja, quando a velocidade aumenta e o Movimento Retardado que acontece quando o módulo da velocidade se aproxima de zero, ou seja, quando a velocidade diminui.

4.2 VARIAÇÃO DE TEMPERATURA

Quando dois corpos com temperaturas diferentes entram em contato, o corpo com a temperatura mais elevada cede calor ao outro. Essa transferência de calor ocorre também com o meio onde estão presentes os corpos.Se o meio onde estão situados está com uma temperatura mais elevada, o corpo recebe calor vindo do meio e se está com uma temperatura mais baixa o corpo perde calor. Essa transferência ocorre até que todos os corpos envolvidos entrem em equilíbrio, ou seja, eles ficarão trocando calor até que todos tenham a mesma temperatura.

Ao estudar a variação de temperatura de um corpo, devemos levar em conta então, a quantidade de calor que este recebe ou cede para o meio e para outros corpos. A quantidade de calor tem como unidade de medida no Sistema Internacional o Joule (J), porém, ainda é bastante comum o uso da unidade caloria (cal). Além da quantidade de calor, a variação de temperatura está relacionada com a substância e com a massa. A quantidade de calor necessária para elevar em 1ºC a temperatura de 1g de uma devida substância denomina-se calor específico. Sabendo disso, a quantidade de calor para um corpo elevar 1°C sua

30 temperatura é dada pelo produto entre a massa e o calor específico da substância. Esse produto chama-se capacidade térmica.

Vamos levar em conta o cálculo do calor específico e ajustá-lo para que se modele como uma função afim:

c= Q m. ΔT→c . m= Q ΔT→C= Q ΔT →ΔT = Q C→T −T0=Q .C−1→T =T0+C−1.Q

Dessa forma, isolamos a temperatura final (T), que passa a ser a variável dependente, a temperatura inicial (T0) representa o coeficiente linear, o inverso da capacidade térmica (

C−1 ) o coeficiente angular e a quantidade de calor (Q) a variável independente.

Vamos considerar 1000g de água, sabendo que o calor específico da água é 1cal/g°C e esboçar um gráfico que represente a variação da temperatura em função da quantidade de calor recebida.

Figura 4 – Gráfico da variação da temperatura

Fonte: Elaboração dos autores (2019)

A função gerada é uma reta, ou seja, uma função polinomial do primeiro grau. Vale ressaltar que essa função deve ser estudada em temperaturas que não ultrapassem o ponto de fusão e ebulição dos corpos visto que, este estudo refere-se ao calor sensível, ou seja, variação de temperatura e quando o corpo encontra-se nos pontos de fusão e ebulição deve se

considerar o calor latente, onde não varia a temperatura, mas, provoca mudança de fase da matéria.

5 PROCEDIMENTOS METODOLÓGICOS

Tendo em vista a elaboração de uma proposta interdisciplinar para o ensino-aprendizagem de regressão linear simples, se fez necessário a busca por um ou mais conteúdos de campos de estudos distintos que pudessem oferecer a possibilidade de gerar um modelo que se adequasse a proposta.Durante essa busca observou-se a relação intensa entre Física e Matemática, onde, como já citado, a Física utiliza a linguagem matemática em sua modelagem. Dentro dos diversos campos de Física optou-se por grandezas que pudessem ser modeladas por funções polinomiais do primeiro grau, sendo escolhido para realização do modelo, o MRUV.

Para a elaboração do modelo foi desenvolvido um experimento, este repetido três vezes a fim de aprimorar a eficácia do ajuste linear a ser realizado. O experimento consistiu em soltar um carrinho em um declive. Neste declive estava indicada a distância a cada 10 centímetros e possuía 3,6 metros de comprimento. O experimento foi repetido três vezes, sendo filmado em todas às vezes.

Após a realização e gravação do experimento, foi necessário em um programa de edição de vídeos, medir com a maior precisão possível, o deslocamento do carrinho após cada segundo, sendo pausado o vídeo para então, ser capturado cada momento.

Após a captura das imagens foi analisado o deslocamento do carrinho a cada segundo, para que fosse possível então calcular a velocidade média a cada segundo, sabendo que a velocidade média é arazão entre a distância percorrida e o tempo.

Com as velocidades médias calculadas a cada segundo, tornou-se possível a organização dos dados em pares ordenados, onde as velocidades médias representam os valores de y e o tempo representa os valores de x. O tempo foi registrado em segundos e a velocidade em metros por segundo.

Com todos os pares ordenados,executou-se o método dos mínimos quadrados para encontrar os coeficientes angular e linear. O coeficiente linear representa o momento inicial e o coeficiente angular representa a inclinação da reta, ou seja, a aceleração em m/s² do

32 carrinho. O coeficiente angular é denominado a e o coeficiente linear b. O método consiste na resolução de um produto de matrizes que gera um sistema com duas equações.

Após a resolução dos cálculos para encontrar os coeficientes a e b, bastou substituir os valores no modelo de uma função polinomial do primeiro grau: y = ax + b, para que desta forma fosse gerada a função que melhor se ajustava aos dados obtidos no experimento.

Com a função gerada, o último passo foi medir a qualidade do ajuste, para isso foi necessária a resolução do cálculo do valor de R2_{. Esse cálculo resultaria em um valor entre 0 e}

1, onde quanto mais próximo de 1, mais a função representava os dados coletados. Após a realização dos cálculos bastava multiplicar o valor de R² por 100 para descobrir a porcentagem da qualidade do ajuste.

6 ANÁLISE DOS RESULTADOS

Neste tópico serão apresentados subtópicos importantes para a modelagem e resolução do problema proposto, tais como: os dados coletados durante a realização do experimento, a utilização do método dos mínimos quadrados para o desenvolvimento do problema e também o cálculo para definir a qualidade do ajuste da função obtida.

6.1 COLETA E ANÁLISE DOS DADOS

Com o intuito de obter um modelo que satisfizesse os objetivos traçados,utilizamos um experimento de Física que fosse capaz de modelar uma função polinomial de primeiro grau. O experimento, como já descrito no capítulo anterior, consistiu em soltar um automóvel em miniatura em um declive e coletar pares ordenados que indicassem o tempo e a velocidade respectivamente.

O experimento foi realizado três vezes, gerando pontos similares em x, que equivale ao tempo, porém, em youve pequenas variações em grande parte dos pontos. Para a coleta dos dados,os experimentos foram filmados e o vídeo foi pausado a cada segundo para se obter o deslocamento a cada intervalo de tempo, obtendo assim, a velocidade média a cada segundo. Foi utilizado um software de edição para se obter a maior precisão possível do intervalo de tempo.

Os dados analisados durante o lançamento do móvel foram os seguintes: Figura 5 – Dados do primeiro experimento

34 Tabela 2 – Dados retirados após realização do primeiro experimento

Tempo (s) - xi Posição (m) _{Velocidade m/s (} ∆ S

∆t ¿ -yi 0 0 0 1 0,23 0,23 2 0,71 0,48 3 1,38 0,67 4 2,29 0,91 5 3,31 1,02

Fonte: Elaboração dos autores (2019)

Figura 6 – Dados do segundo experimento

Fonte: Elaboração dos autores (2019)

Tabela 3 – Dados retirados após a realização do segundo experimento

Tempo (s) - xi Posição (m) Velocidade m/s ( ∆ S_∆t ¿ -yi 0 0 0 1 0,29 0,29 2 0,75 0,46 3 1,38 0,63 4 2,21 0,83 5 3,2 0,99

Fonte: Elaboração dos autores (2019).

Figura 7 – Dados do terceiro experimento

Fonte: Elaboração dos autores (2019)

Tempo (s) - xi Posição (m) Velocidade m/s ( ∆ S_∆t ¿ -yi 0 0 0 1 0,28 0,28 2 0,74 0,46 3 1,42 0,68 4 2,30 0,88 5 3,32 1,02

Fonte: Elaboração dos autores (2019).

Vale ressaltar que a cada intervalo de tempo a posição atual deve ser subtraída da posição anterior, visto que a velocidade média é a razão entre o deslocamento e o tempo. Segue abaixo os dados coletados após todos os lançamentos:

Após a coleta e organização dos dados obtidos, com auxílio de um software livre, marcamos os pontos em um plano cartesiano para a visualização da posição dos pontos que foram obtidos. Abaixo está a representação dos pontos no plano:

Figura 8 – Representação dos pontos obtidos após serem inseridos no plano cartesiano

36 6.2 APLICAÇÃO DO MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

Com os pontos obtidos, utilizamos o método dos mínimos quadrados, que consiste no produto de duas matrizes, cujo resultado nos levará a um sistema linear de ordem dois. O intuito da realização do método é encontrar o coeficiente linear (b) e o coeficiente angular (a) para obtenção da função que melhor se ajusta aos dados. O método dos mínimos quadrados define a utilização de uma matriz de tamanho 2x2 e uma matriz 2x1, visto que se tenciona obter uma função polinomial do primeiro grau. Segue abaixo o modelo a ser utilizado:

[

]

[

]

[

]

Como visto acima, o modelo utiliza os seguintes valores:  n = quantidade de pares ordenados coletados;

 ∑xi= somatório de todos os valores encontrados para x;

 ∑xi² = somatório de todos os valores encontrados para x elevados ao quadrado;

 b = coeficiente linear;  a = coeficiente angular;

 ∑yi² = somatório de todos os valores encontrados para y;

 ∑xiyi= somatório de todos os produtos dos pares ordenados.

Devido à necessidade da obtenção desses valores para possibilitar a realização do produto das matrizes, tornou-se fundamental a elaboração de uma tabela para melhor organização dos dados. Segue abaixo a tabela:

Tabela 5 – Dados dos experimentos e seus somatórios

(continua) xi yi xi² xiyi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,23 1 0,23 1 0,29 1 0,29

Fonte: Elaboração dos autores (2019)

Tabela 5 – Dados dos experimentos e seus somatórios

(conclusão)

2 0,48 4 0,96 2 0,46 4 0,92 2 0,46 4 0,92 3 0,67 9 2,01 3 0,63 9 1,89 3 0,68 9 2,04 4 0,91 16 3,64 4 0,83 16 3,32 4 0,88 16 3,52 5 1,02 25 5,1 5 0,99 25 4,95 5 1,02 25 5,1 ∑ 45 9,83 165 35,17

Fonte: Elaboração dos autores (2019).

Com os valores de cada elemento da matriz obtidos, realizou-se a multiplicação a fim de se obter duas equações que nos possibilitem encontrar o valor dos coeficientes a e b.

[

]

[

]

[

]

Substituindo o valor de cada elemento das matrizes pelos valores já calculados obtivemos o seguinte produto de matrizes:

[

18 45

45 165

]

.

[

b

a

]

=

[

9,83

35,17

]

Efetuando a multiplicação das matrizes, chegamos ao seguinte sistema linear:

18 b +45 a=9 , 83 45 b +165 a=35 , 17

¿

{¿ ¿ ¿ ¿

Utilizando o método da substituição para resolução do sistema, chegamos ao seguinte resultado:

18b=9,83−45a

b=

9,83−45a

18

45

(

9,83−45a

18

)

+165a=35,17

24,575−112 ,5a+165 a=35,17

52,5a=35,17−24 ,575

a=10,595/52,5

a=0,202

18b=9,83−45a

18b=9,83−45(0,202)

18b=9,83−9,0814

18b=0,7486

b=0,0416

38 Com o valor dos coeficientes a e b obtidos bastou substituí-los na função polinomial do primeiro grau (y = ax + b), obtendo assim a seguinte função:

y = 0,202x + 0,0416

Utilizando o mesmo software, introduzimos a função obtida para visualizar a relação entre o modelo gerado pelo método dos mínimos quadrados e os pontos obtidos através do experimento. Segue abaixo o plano cartesiano com os pontos e a reta gerada pela função: Figura 9 – Representação da função obtida no plano cartesiano

Fonte: Elaboração dos autores (2019)

6.3 QUALIDADE DO AJUSTE DA FUNÇÃO

Com a função já estabelecida é necessário a verificação da qualidade desta, ou seja, o cálculo do R² que determina o quanto essa reta representa os dados obtidos. O R² é calculado através da seguinte equação:

R2=

[

∑

∑

∑

]

[

∑

(

∑

₎

]

[

_∑

(

∑

₎

]

Tornou-se necessário para a realização dos devidos cálculos a elaboração de mais uma tabela contendo os elementos presentes.

Tabela 6 – Dados dos experimentos e somatórios para o método dos mínimos quadrados. (continua) xi yi xi² yi² xiyi 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0,23 1 0,0529 0,23 1 0,29 1 0,0841 0,29 1 0,28 1 0,0784 0,28 2 0,48 4 0,2304 0,96 2 0,46 4 0,2116 0,92 2 0,46 4 0,2116 0,92 3 0,67 9 0,4489 2,01 3 0,63 9 0,3969 1,89 3 0,68 9 0,4624 2,04 4 0,91 16 0,8281 3,64 4 0,83 16 0,6889 3,32 4 0,88 16 0,7744 3,52 5 1,02 25 1,0404 5,1

Tabela 6 – Dados dos experimentos e somatórios para o método dos mínimos quadrados. (conclusão)

xi yi xi² yi² xiyi

5 0,99 25 0,9801 4,95

5 1,02 25 1,0404 5,1

∑ 45 9,83 165 7,5295 35,17

Fonte: Elaboração dos autores (2019).

40

R

=

[

35,17−

9,83×45

18

]

[

165−

(

45)

18

]

.

[

7 ,5295−

(

9,83 )

18

]

R

=

(

35 ,17−24,575)

(

165−112,5)×(7,5295−5,3683)

R

=

(

10,595)

(

52,5)×(2,1612)

R

=

112,25

113,463

R

=0,9893

O valor de R² sempre resultará em um valor entre 0 e 1, 0 <R² < 1. Quanto mais próximo de 1, mais o ajuste representa os dados coletados. A qualidade pode ser representada em porcentagem, multiplicando o valor de R² por 100, sendo assim, a qualidade do ajuste é de 98,93%

Obtendo uma qualidade no ajuste de 98,93% podemos perceber o quão preciso foi a coleta de dados e a execução do método dos mínimos quadrados. O experimento realizado se mostrou bastante apto como modelo dessa proposta, visto que, possibilitou uma coleta precisa dos dados. A reta gerada se aproxima de todos os pontos coletados e torna possível a compreensão e análise do comportamento de variação de velocidade do carrinho. Como já determinado a priori, a realização de um ajuste linear busca prever comportamentos e definir padrões, podemos, portanto, afirmar que a função gerada através do método dos mínimos quadrados pode ser utilizada para a previsão de uma suposta velocidade do carrinho caso a inclinação do declive fosse a mesma, porém o percurso fosse mais extenso.

7 CONCLUSÃO E CONSIDERAÇÕES FINAIS

Visando elaborar uma proposta interdisciplinar de ensino-aprendizagem de regressão linear simples utilizando o método dos mínimos quadrados com base em experimentos físicos, desenvolvemos esta proposta levando em conta a possibilidade de aplicação tanto no ambiente universitário quanto na educação básica.

Esta proposta visa oferecer, dentro de um campo vasto de possibilidades, mais liberdade ao aluno. O aluno teria a oportunidade de escolher um experimento físico que lhe seja mais atrativo, desde que este possa ser modelado por uma função polinomial do primeiro grau. Com essa vasta possibilidade, o processo foge de uma possível padronização que inibe a criatividade dos alunos, tornando mais aprazível a estes o aprendizado. Buscamos então

colocar o aluno em um papel mais ativo em sala de aula, de modo que, ele não só receba o conhecimento vindo do docente, mas faça suas próprias descobertas.

O experimento escolhido por nós a fim de exemplificar a proposta se enquadra perfeitamente ao método utilizado, pois possibilita que tenhamos uma maneira precisa de realizar a coleta dos dados necessários para a execução do método. O método dos mínimos quadrados possibilita a utilização de tecnologias como softwares geométricos como Geogebra e WinPlot, e também softwares para a elaboração de planilhas como o Excel. É importante salientar que, mesmo em escolas que não haja acesso a esse tipo de tecnologia, é possível a realização desta proposta visto que os cálculos podem ser feitos manualmente.

Outro ponto importante acerca do modelo escolhido foi a qualidade da função polinomial do primeiro grau gerada. O cálculo que representa a qualidade do ajuste, ou seja, o quanto esteexplica todos os dados coletados no experimento, resultou em um valor de 98,93%. Esse valor pode ser considerado elevado, visto que o modelo obtido só não explica 1,07% dos dados coletados.

Esta proposta nos fornece um vasto campo de aplicação, visto que pode ser introduzida a alunos de ensino médio, ao abordar funções polinomiais do primeiro grau, podendo também ser aplicada a aulas de estatística na universidade. Pode ser considerada uma proposta bastante democrática, visto que, pode ser realizada em unidades de ensino com diversos recursos e até mesmo em escolas situadas em comunidades de baixa renda, com recursos limitados.

No princípio da elaboração desta proposta, buscávamos apresentar um modelo que pudesse de alguma forma oferecer inovação ao processo de ensino-aprendizado. Nosso intuito era apresentar o conteúdo de forma simples e precisa, que pudesse ser absorvido por um aluno da graduação e também por um aluno de ensino médio. Visávamos desenvolver uma sequência didática que tornasse o aprendizado prazeroso para o aluno e professor, tornando as aulas agradáveis e estimuladoras. Ao fim da elaboração, após toda a pesquisa teórica, realização dos experimentos e execução dos cálculos, estamos convictos que os objetivos traçados foram alcançados e que esta proposta é apta para aplicação, podendo render aos envolvidos momentos de grande aprendizado de forma aprazível e eficaz.

Todavia podemos apontar algumas limitações encontradas durante a elaboração da proposta, dentre as quais podemos citar a falta de oportunidade para a aplicação dentro da sala de aula. Devido a isso, apesar de acreditarmos que a proposta obteria êxito caso aplicada, não possuímos informações concretas para tal, visto que, não foi possível avaliar se realmente esta atrairia a atenção dos alunos e potencializaria o aprendizado dos mesmos.

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