Integrais de linha, funções primitivas e Cauchy Goursat

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Integrais de linha, fun¸c˜

oes primitivas e Cauchy

Goursat

Roberto Imbuzeiro Oliveira∗ 2 de Abril de 2015

1 Preliminares

Nestas notas, U ⊂ C sempre será um aberto, γ : [a, b] → U uma curva retificável e f : U → C, uma fun¸cão cont´ınua. Vamos usar algumas vezes a seguinte estimativa.

Teorema 1 (Estimativa M L) |R_γ f | ≤ M L, onde L = L(γ) ´e o

compri-mento de γ e M = sup_t∈[a,b]f ◦ γ(t).

Prova: Lembre que a integral ´e o limite de somas

n

X

i=1

f (γ(ti−1) (γ(ti) − γ(ti−1))

sobre parti¸c˜oes {a = t0 ≤ t1 ≤ · · · ≤ tn = b}. Para qualquer soma deste

Portanto, o valor absoluto da integral, que ´e o limite de express˜oes do lado

esquerdo, tamb´em satisfaz a mesma desigualdade. 2

∗

(2)

2 Integrais de linha e primitivas

Teorema 2 Suponha γ ´e C1 por partes e que ∃F : U → C tal que F0 = f .

Ent˜ao _Z

γ

f (z) dz = F ◦ γ(b) − F ◦ γ(a).

Prova: Suponha primeiramente que γ ∈ C1. Neste caso, pode-se provar que

a regra da cadeia

(F ◦ γ)0(t) = f (γ(t)) γ0(t)

vale para todo t ∈ [a, b]. Aplicando esta fórmula às partes real e imaginária da expressão, o Teorema Fundamental do Cálculo garante que

Z γ f (z) dz = Z b a f (γ(t)) γ0(t) dt = F ◦ γ(b) − F ◦ γ(a).

No caso C1 _{por partes, basta usar o fato de que a integral de uma}

con-catena¸c˜ao de curvas ´e a soma das integrais, e somar as integrais sobre os peda¸cos C1. 2

3 Triˆ

angulos e suas fronteiras

Um triângulo ∆ = ∆(z1, z2, z3) é definido como o fecho convexo de três

pontos z1, z2, z3 ∈ C no plano.

∆(z1, z2, z3) := {λ1z1+ λ2z2+ λ3z3 : λ1, λ2, λ3∈ [0, 1], λ1+ λ2+ λ3= 1}.

Exerc´ıcio 1 Mostre que qualquer ∆ ´e compacto. Prove ainda que: diam(∆) = sup

z,w∈∆

|z − w| = max

i,j=1,2,3|zi− zj|.

Exerc´ıcio 2 Suponha que w1, w2, w3 ∈ ∆. Mostre que ∆(w1, w2, w3) ⊂ ∆.

Podemos definir curvas parametrizadas [z1, z2] : t ∈ [0, 1] 7→ (1 − t) z1+

t z2 e, de forma semelhante, [z2, z3] e [z3, z1]. Chamamos de ∂∆ a curva

parametrizada obtida pela concatena¸c˜ao destas trˆes.

Observa¸cão importante: há um abuso de nota¸cão aqui. A defini¸cão de ∂∆ depende da ordem dos pontos z1, z2, z3, mas a de ∆ não depende.

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Exerc´ıcio 3 Mostre que a defini¸c˜ao faz sentido e que L(∂∆) = |z1− z2| + |z2− z3| + |z1− z3|.

Prove ainda que a imagem da curva ∂∆ est´a contida no triˆangulo ∆.

Exerc´ıcio 4 Suponha que U ⊂ C ´e dado, que f : U → C ´e cont´ınua e que

o intervalo [a, b] (definido como acima) tem imagem contida em U . Prove que Z [a,b] f = − Z [b,a] f.

4 Cauchy-Goursat

Nesta se¸c˜ao, provamos o seguinte resultado.

Teorema 3 (Cauchy-Goursat) Considere U ⊂ C aberto e f : U → C holomorfa (isto é, diferenciável em todo ponto de U ). Então, dado um triângulo ∆ = ∆(z1, z2, z3) ⊂ U , tem-se

R

∂∆ f = 0.

Esta prova ter´a duas partes.

4.1 Primeira parte: triˆangulos dentro de triˆangulos

O primeiro est´agio da prova consiste em provar o seguinte resultado.

Lema 1 Existe um triˆangulo ∆(1)⊂ ∆ com diam(∆(1)_{) = diam(∆/2, L(∂∆}(1)_{) =}

L(∂∆)/2 e Z ∂∆(1) f ≥ 1 4 Z ∂∆ f .

A receita para provar este lema ´e achar triˆangulos ∆i, 1 ≤ i ≤ 4: com

as seguintes propriedades:

1. Cada ∆i ⊂ ∆.

2. Cada ∆i tem diam(∆i) = diam(∆)/2 e L(∂∆i) = L(∂∆)/2.

3. A soma das integrais nos ∆i ´e a integral no ∆:

Z ∂∆ f = 4 X i=1 Z ∂∆i f.

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Estes itens garantem (pela desigualdade triangular) Z ∂∆ f ≤ 4 X i=1 Z ∂∆i f ,

portanto o triˆangulo ∆i de maior valor absoluto de integral (ou um deles) ´e

o triˆangulo ∆(1) que procuramos.

Agora vamos aos detlahes da constru¸c˜ao dos triˆangulos. Come¸camos observando que Z ∂∆ f = Z [z1,z2] f + Z [z2,z3] f + Z [z3,z1] f, (1)

já que ∂∆ é a concatena¸cão das três curvas do lado direito. Considere os pontos médios dos lados do triângulo ∆.

w1 := z1+ z2 2 , w2 := z2+ z3 2 , w3 := z3+ z1 2 .

Veja que estes pontos est˜ao todos em ∆ (exerc´ıcio!). Al´em disso,

pode-mos escrever _Z [z1,z2] f = Z [z1,w1] f + Z [w1,z2] f

porque [z1, z2] ´e a concatena¸c˜ao de [z1, w1] e [w1, z2]. Aplicamos racioc´ınio

semelhante a [z2, z3] e [z3, z1] e combinamos o resultado com (1) para

obter-mos: Z ∂∆ f = Z [z1,w1] f + Z [w1,z2] f + Z [z2,w2] f + Z [w2,z3] f + Z [z3,w3] f + Z [w3,z1] f. (2)

Definimos os quatro triˆangulos como

∆1 = ∆(z1, w1, w3)

∆2 = ∆(w1, z2, w2)

∆3 = ∆(w1, w2, w3)

∆4 = ∆(w2, z3, w3).

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Falta provar a condi¸c˜ao sobre a soma das integrais de cada triˆangulo ∆i.

Para isto, aplicamos o racioc´ınio de (1) e somamos os resultados para obter.

4 X i=1 Z ∂∆i f = Z [z1,w1] f + Z [w1,w3] f + Z [w3,z1] + Z [w1,z2] f + Z [z2,w2] f + Z [w2,w1] f + Z [w1,w2] f + Z [w2,w3] f + Z [w3,w1] f + Z [w2,z3] f + Z [z3,w3] f + Z [w3,w2] f. Comparando esta express˜ao com (2), vemos que a diferen¸ca

4 X i=1 Z ∂∆i f − Z ∂∆ f

´e a soma das integrais de f sobre os segmentos [w1, w3], [w2, w1], [w1, w2],

[w3, w1], [w2, w3] e [w3, w2]. No entanto, estas soma se cancela: cada

seg-mento aparece nas duas dire¸c˜oes poss´ıveis e sabemos que inverter a dire¸c˜ao inverte o sinal da integral. Portanto,

4 X i=1 Z ∂∆i f − Z ∂∆ f = 0,

como quer´ıamos demonstrar.

4.2 Parte 2 - iterando e estimando

Nesta segunda parte da prova nós usamos o lema anterior para deduzir que existem triângulos encaixados (e não vazios) ∆(0) = ∆ ⊃ ∆(1) ⊃ ∆(2)_{⊃ . . . ,}

todos obviamente contidos em U , que satisfazem: 1. diam(∆(i)_{) = diam(∆)/2}i_;

2. L(∂∆(i)) = L(∂∆)/2i; 3. |R ∂∆(i) f | ≥ | R ∂∆ f |/4 i_.

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Nosso objetivo final ´e provar que R_∂∆ f = 0. Pelos itens acima, basta provar que

Objetivo secund´ario: lim

i→+∞4 i Z ∂∆(i) f = 0.

Para chegar a este ponto, observe que, como os ∆(i) _s˜_{ao compactos}

en-caixados e n˜ao-vazios, existe um ponto z0 contido em todos eles; portanto

z0 ∈ U também. Segue que f é diferenciável em z0 e podemos escrever:

f (z) = g(z) + r(z),

onde g(z) := f (z0) + (z − z0) f0(z0) e r ´e fun¸c˜ao cont´ınua com r(0) = 0,

|r(z)|/|z − z₀| → 0 quando z → z₀ (tratamos z0 como “constante”; s´o z

varia!).

Observe que g = G0 para a fun¸c˜ao G(z) = f (z0) (z − z0) + f0(z0) (z −

z0)2/2. Como cada ∂ ∆(i) ´e C1 por partes, deduzimos que

R ∂ ∆(i) g = 0. Portanto, Z ∂ ∆(i) f = Z ∂ ∆(i) (f − g) = Z ∂ ∆(i) r

(estimativa ML) ≤ L(∂ ∆(i)) sup

z∈∆(i)

|r(z)|.

Recorde ainda que z0 ∈ ∆(i), logo

sup

z∈∆(i)

|r(z)| ≤ diam(∆(i)) sup

0<|z−z0|≤diam(∆(i))

|r(z)| |z − z0|

. Deduzimos destas estimativas e dos itens 1 e 2 acima que

4i Z ∂ ∆(i) f

≤ 4idiam(∆(i)) L(∂∆(i)) sup

0<|z−z0|≤diam(∆(i)) |r(z)| |z − z0| = L(∂∆) diam(∆) sup 0<|z−z0|≤diam(∆(i)) |r(z)| |z − z0| .

Como diam(∆(i)_{) → 0 e |r(z)|/|z − z}

0| → 0 quando z → z0, deduzimos que

o supremo na ´ultima desigualdade acima vai a 0 quando i cresce. Como

L(∂∆) diam(∆) ´e fixo, obtemos nosso objetivo secund´ario. Isto termina a prova do teorema de Cauchy Goursat.

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5 Uma consequˆ

encia direta de Cauchy Goursat

Teorema 4 Suponha que f : U → C é cont´ınua em todo U e diferenciável em U \{a}, onde a ∈ U . Seja ∆ ⊂ U um triângulo com vértices z1 = a, z2 6=

a, z3 6= a. Ent˜ao

R

∂∆ f = 0.

Prova: [Esbo¸co] Tome ε ∈ (0, 1) e defina pontos

w2= (1 − ε) a + ε z2, w3 = (1 − ε) a + ε z3.

Chame de ∆ε o triˆangulo ∆(a, w2, w3). Veja que

Z ∂∆ f = Z ∂∆ε f + Z [w2,z2] f + Z [z2,z3] f + Z [z3,w3] f + Z [w3,w2] f. Ou seja, a integral de f em ∆ é a soma da integral sobre o triângulo pe-queno com a a integral sobre as arestas de um quadrilátero contido em ∆.

Observando os contornos, e tomando uma diagonal do quadril´atero, vemos

que a integral sobre o quadriátero pode ser escrita como a soma de integrais sobre dois triângulos contidos em V := U \{a}. Como V é aberto, podemos usar Cauchy Goursat sobre estes dois triângulos e deduzir que

Z [w2,z2] f + Z [z2,z3] f + Z [z3,w3] f + Z [w3,w2] f = 0. Isto implica que

| Z ∂∆ f | = | Z ∂∆ε f | ≤ sup z∈∆ε |f (z)| L(∂∆ε).

Quando ε → 0, L(∂∆ε) → 0. Al´em disso,

sup

z∈∆ε

|f (z)| ´e limitado por sup

z∈∆

|f (z)|,

que ´e uma quantidade finita posto que ∆ ´e compacto. Deduzimos que | Z ∂∆ f | ≤ sup z∈∆ |f (z)| L(∂∆ε) → 0, ou seja,R ∂∆ f = 0. 2

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6 Dom´ınios convexos e a f´

ormula de Cauchy

Teorema 5 Sejam U ⊂ C um aberto convexo e f : U → C uma fun¸cão cont´ınua que é diferenciável em U \{a}, a ∈ U . Então f = F0 para alguma fun¸cão F : U → C.

Prova: O importante ´e saber queR

∂∆ f = 0 para qualquer triˆangulo ∆ ⊂ U ,