Aula de Métodos Multivariados[AMMI]

(1)

Universidade de S˜

ao Paulo

Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”

Intera¸

c˜

ao Gen´

otipo×Ambiente:

Uma introdu¸

c˜

ao `

a an´

alise AMMI

Kuang Hongyu Prof. Dr. Carlos Tadeu dos Santos Dias

Piracicaba Fevereiro de 2012

(2)

1 Introdu¸c˜ao

2 Metodologia

3 Considera¸c˜oes Finais

(3)

Introdu¸c˜

ao

• A intera¸cão de genótipos com ambientes (G × E) pode ser definida como sendo o efeito diferencial dos ambientes sobre os genótipos (CHAVES, 2001)

• De outro modo, resulta da resposta diferencial dos genótipos à varia¸cão ambiental

• E um assunto de alcance generalizado e relacionado com´ todos os organismos vivos, desde humanos at´e plantas e bact´erias

(4)

• A intera¸c˜ao representa uma das principais dificuldades encontradas pelo melhorista durante sua atividade seletiva

• Nas etapas preliminares, em uma só localidade, a intera¸cão pode inflacionar as estimativas da variância genética, resultando em superestimativas dos ganhos genéticos esperados com a sele¸cão (ganhos reais inferiores aos previstos) (DUARTE; VENCOVSKY, 1999)

(5)

• Nas fases finais, os ensaios são conduzidos em vários ambientes (locais, anos e/ou épocas), neste momento, a intensidade de sele¸cão seja baixa, o que já minimizaria seus efeitos sobre previsões de ganho genético

• A presen¸ca dessa intera¸cão, na maioria das vezes, faz com que os melhores genótipos em um ambiente não o seja em outro

• Isso dificulta a recomenda¸cão de genótipos (cultivares) para toda a popula¸cão de ambientes amostrada pelos testes (LAVORANTI et al., 2002; CRUZ; REGAZZI, 1997; WARZECHA et al., 2011)

(6)

• A intera¸cão G × E é uma fonte de varia¸cão fenot´ıpica, que na maioria dos casos é inseparável da variância ambiental (FALCONER, 1987)

• Desse modo, torna-se imposs´ıvel a interpreta¸c˜ao, de forma aditiva, dos efeitos principais de gen´otipos e de ambientes (KANG; MAGARI, 1996)

(7)

• A intera¸cão não é apenas um problema, mas também uma oportunidade a ser aproveitada

• O relacionamento entre a estat´ıstica e a intera¸cão G × E pode ser visto como a existente entre o bêbado e o poste de luz; serve para suporte e não para ilumina¸cão (KANG, 1998)

(8)

• As classifica¸c˜oes da intera¸c˜ao G × E:

1. Ausˆencia de intera¸c˜ao

2. Intera¸c˜ao simples ou quantitativa 3. Intera¸c˜ao cruzada ou qualitativa

(9)

• Vale lembrar que os gr´aficos mostraram apenas dois gen´otipos e dois ambientes

• Em estudos reais esse n´umero ´e muito maior

• A dificuldade de interpreta¸cão exige métodos adequados de análise de intera¸cão

(10)

• Várias metodologias têm sido propostas no sentido de entender melhor o efeito da intera¸cão (G × E)

• Devem-se escolher os m´etodos estat´ısticos que melhor expliquem a informa¸c˜ao contida nos dados

(11)

• Um dos métodos é o modelo de intera¸cão multiplicativa, também conhecido como modelo AM M I - (modelos de efeitos principais aditivos e intera¸cão multiplicativa) (MANDEL, 1961, 1969; GOLLOB, 1968), que vem ganhando grande aplicabilidade nos últimos anos

(12)

• M´etodos estat´ısticos tradicionais:

-Análise conjunta de ensaios multiambientes -Regressão linear simples e múltipla (EBERHART; RUSSEL, 1966) (Não é informativa se a linearidade falha)

• Métodos multivariados (CROSSA,1990) -PCA (Análise de Componentes Principais) -Análise de Agrupamento

(13)

• Gauch e Zobel (1996) informam que esta análise pode ajudar tanto na identifica¸cão de genótipos de alta

produtividade e largamente adaptados, como na realiza¸c˜ao do chamado zoneamento agronˆomica, com fins de

recomenda¸c˜ao regionalizada e sele¸c˜ao de locais de teste

• Seu objetivo é selecionar modelos que expliquem o padrão de resposta da intera¸cão, excluindo o ru´ıdo dos dados (ARCINIEGAS-ALARC ÓN; DIAS, 2009).

(14)

• Supor um conjunto de g genótipos tenha sido testado experimentalmente em e ambientes (locais, anos, etc), as médias de cada combina¸cão de genótipos e ambientes obtidos de r repeti¸cões por experimento (um conjunto balanceado de dados), podem ser representadas pela matriz de dados: gYe=    Y11 ... Y1e .. . Yij ... Yg1 ... Yge   

(15)

An´

alise de variˆ

ancia conjunta

• O modelo mais simples e comum para a análise estat´ıstica de um conjunto de dados, é dado por (análise conjunta de variância para grupos de experimentos):

yijh = µ + gi+ ej+ (ge)ij + bh(j)+ εijh • yijh é a resposta média do i-ésimo genótipo no j-ésimo

ambiente e no h-´esimo bloco, com i = 1,2,...g, j = 1,2,...e e h = 1,2,...r

• µ ´e uma constante comum `as respostas

• gi é o efeito i-ésimo genótipo • ej é o efeito j-ésimo ambiente

(16)

yijh = µ + gi+ ej + (ge)ij+ bh(j)+ εijh

• (ge)ij é o efeito fixo da intera¸cão espec´ıfica do genótipo i

com o ambiente j

• bh(j) é o efeito do h-ésimo bloco dentro do j-ésimo

ambiente

• εijh ´e o erro experimental m´edio, assumido independente e

εijh IID

(17)

• O quadro da an´alise de variˆancia conjunta:

Fonte de Varia¸c˜ao G.L. SQ

Gen´otipos (G) g − 1 SQg

Ambientes (E) e − 1 SQe

Intera¸c˜ao (G×E) (g − 1)(e − 1) SQG×E

Erro M´edio ge(r − 1) SQErroM edio

(18)

• Sendo a intera¸cão significativa, o próximo passo é fazer a decomposi¸cão da SQG×E, para descartar um res´ıduo

adicional presente nessa soma de quadrados.

• Essa decomposi¸cão é feita utilizando o fator anal´ıtico proposto por Gollob(1968) e Mandel (1969, 1971) e tem a seguinte expressão:

(ge)ij = p

X

k=1

(19)

• λk´e a raiz quadrada do k-´esimo autovalor da matriz

(GE)(GET) ou (GET)(GE), com k = 1, 2, . . . , p e p=min{g − 1, e − 1}

• γik ´e o i-´esimo elemento do vetor coluna αk associado a λk

(20)

• O modelo AM M I pressup˜oe componentes aditivos para os efeitos principais de gen´otipos (gi) e ambientes (ej) e

componentes multiplicativos para o efeito da intera¸c˜ao (ge)ij

• Então, a resposta média sobre b blocos do i-ésimo genótipo no j-ésimo ambiente é representada por:

yij = µ + gi+ ej+ n

X

k=1

(21)

• Além da média geral (µ) e do erro experimental média (εij), os demais termos do modelo resultam da chamada

decomposi¸cão por valores singulares (DV S) da matriz de intera¸cões: GEg×e = [(gê)ij].

• A matriz de intera¸cões é obtido como res´ıduo do ajuste aos efeitos principais, por ANOVA, aplicada à matriz de média Yg×e = [Yij].

(22)

• Os componentes aditivos e multiplicativos do modelo podem ser escritos da seguinte forma:

parte aditiva Yij= z }| { µ + gi+ ej+ p X k=1 λkγikαjk | {z } +εij parte multiplicativa ↓ Yij = µ + gi+ ej+ z }| { n X k=1 λkγikαjk+ p X k=n+1 λkγikαjk+εij Pp

(23)

• O modelo AMMI divide a intera¸cão G×E em p parcelas, de forma que a soma destas parcelas recompõem toda a varia¸cão (SQG×E = p X k=1 λ2_k)

• Na abordagem AMMI n˜ao se busca recuperar toda a SQG×E, mas apenas a parcela mais fortemente

determinada por gen´otipos e ambientes.

• Descarta-se o res´ıduo adicional dado por:

ρij = p

X

k=n+1

(24)

• Tomando-se de forma cumulativa os sucessivos termos do desdobramento, obt´em-se aproxima¸c˜oes cada vez melhores para SQG×E original. (λ21≥ λ22 ≥ ... ≥ λ2p).

• Por estes motivos, o método AM M I é visto como um procedimento capaz de separar padrão e ru´ıdo na análise

(25)

• A matriz de res´ıduos ou de intera¸c˜oes, GEdG×E = (gebij) representadas por: d GEG×E =     

(ge)_b 11 (ge)b 12 ... (ge)b 1e (ge)b 21 (ge)b 22 ... (ge)b 2e

..

. ... ... ...

(ge)b g1 (ge)b g2 ... (ge)b ge      • em que (ge)_b ij = Yij − ¯Yi.− ¯Y.j+ ¯Y..

(26)

(ge)_b ij = Yij− ¯Yi.− ¯Y.j+ ¯Y..

• Yij é a média do i-ésimo genótipo no j-ésimo ambiente,

com i=1, 2, . . ., g e j=1, 2, . . ., e

• Yi. é a média do genótipo i

• Y.j ´e a m´edia do amiente j

(27)

An´

alise AMMI

• A intera¸cão é analisada pela decomposi¸cão por valores singulares (DV S) ou por análise de componentes principais (ACP ) da matriz de intera¸cões (GEg×e).

• O desdobramento da SQG×E por DV S ´e dado por:

GE = U SV0 =

p

X

k=1

(28)

GE = U SV0= p X k=1 λkγkα0k = λ1γ1α 0 1+ λ2γ2α 0 2+ ... + λpγpα 0 p ≈ λ1γ1α 0 1+ λ2γ2α 0 2+ ... + λnγnα 0 n

Dependendo do n´umero n de termos, temos os seguintes modelos:

(29)

Defini¸c˜

ao dos graus de liberdade

Gauch e Zobel (1996) mencionam a existência de vários sistemas para atribuir graus de liberdade a um modelo AMMI, o sistema aproximado de Gollob (1968) é muito fácil de ser aplicado, é dado por:

(30)

Figura 1 - Defini¸c˜ao estrutural dos graus de liberdade no caso de uma matriz Y7×10

(31)

Fonte de Varia¸c˜ao G.L. SQ

Gen´otipos (G) g − 1 SQg

Ambientes (E) e − 1 SQe

Intera¸c˜ao (G×E) (g − 1)(e − 1) SQG×E

IPCA 1 g + e − 1 − (2.1) λ2₁ IPCA 2 g + e − 1 − (2.2) λ2₂ IPCA 3 g + e − 1 − (2.3) λ2 3 ... ... ... IPCA p g + e − 1 − (2.p) λ2_p

Erro M´edio ge(r − 1) SQErroM edio

(32)

• Uma vez selecionado o membro da fam´ılia de modelos (AM M I0, AM M I1, AM M I2, . . . , ou AM M IF ) que melhor descreve a estrutura dos dados, ´e poss´ıvel predizer a resposta de cada gen´otipo em cada ambiente ( ˆYij) com

base no modelo escolhido:

ˆ Yij = Yi.+ Y.j− Y..+ n X k=1 λkγikαjk (k = 1, 2, . . . , p)

(33)

• Assim, de uma maneira mais espec´ıfica a expressão anterior assume as seguintes formas, conforme o modelo escolhido: Modelo AMMI selecionado Expressão da resposta esperada do genótipo i no ambiente j ( ˆYij)

AMMI 0 Yˆij= ¯Yi.+ ¯Y.j− ¯Y..

AMMI 1 Yˆij= ¯Yi.+ ¯Y.j− ¯Y..+ λ1γi1αj1

AMMI 2 Yˆij= ¯Yi.+ ¯Y.j− ¯Y..+ λ1γi1αj1+ λ2γi2αj2

... ...

(34)

(35)

(36)

(37)

Considera¸c˜

oes Finais

• O modelo AM M I pode ser utilizada para qualquer

conjuntos de dados provenientes de experimentos com dois fatores de classifica¸c˜ao cruzada

• Para qualquer conjunto de dados que possa ser disposto em uma tabela de dupla entrada

(38)

ARCINIEGAS-ALARC ÓN, S.; DIAS, C.T. dos S. Imputa¸cão de dados em experimentos com intera¸cão genótipo por ambiente: uma aplica¸cão a dados de algodão. Revista Brasileira de Biometria, v.27, p.125-138, 2009.

CHAVES, L.J. Intera¸cão de genótipos com ambientes. In.: NASS, L.L.; VALOIS, A.C.C.; MELO, I.S.; VALADARES-INGLIS, M.C. (eds). Recursos genéticos melhoramento-Planta. Rondonópolis: Funda¸cão MT, 2001.p. 673 713.

CRUZ, C.D.; REGAZZI, A.J. Modelos biom´etricos aplicados ao melhoramento gen´etico. 2 ed. rev. Vi¸cosa: Editora UFV, 1997. 390 p.

(39)

Referˆ

encias

DUARTE, J.B.; VENCOVSKY, R. Intera¸cão genótipo×ambiente: uma introdu¸cão à análise “AMMI”. Riberão Preto: Sociedade Brasileira de Genética, 1999. 60p. (Série Monografias). EBERHART, S.A.; RUSSELL, W.A. Stability parameters for comparing varieties. Crop Science,v.6, n.1, p.36-40, 1966

FALCONER, D.S. Introduction to quantitative genetics. Harlow: Longman, 1987, 438p.

GAUCH, H.G.; ZOBEL, R.W. AMMI analysis of yield trials. In: KANG, M.S.; GAUCH, H.G., ed. Genotype by environment interaction. Boca Raton: CRC Press, 1996. Cap. 4, p. 85-122.

(40)

GOLLOB, H.F. A statistical model which combines features of factor analitic and analysis of variance techniques.

Psychometrika, Colorado Springs, v.33, n.1, p.73-115, 1968. KANG, M . S. Using genotype-by-environment interaction for crop cultivar development. Advances in Agronomy. v.62, p.199-252,1998.

KANG, M . S.; MAGARI, R. New developments in selecting for phenotypic stability in crop breeding. In.: GAUCH JUNIOR, H. G. (Ed.). Genotype by environment interaction. Boca Raton: CRC Press, 1996. cap. 1, p. 1-14. VENDA antecipada no algodão. AGROANALYSIS: a revista do agronegócio da FGV, São Paulo, v. 27, n. 9, p. 16, set. 2007.

(41)

Referˆ

encias

LAVORANTI, O.J. Estabilidade e adaptabilidade fenot´ıpica atrav´es da reamostragem “bootstrap”no modelo AMMI. 2003. 166p. Tese (Doutorado em Estat´ıstica e Experimenta¸c˜ao

Agronˆomica) - Escola Superior de Agricultura “Luiz de Queiroz”, Universidade de S˜ao Paulo, Piracicaba, 2003.

MANDEL, J. Non-additivity in two-way analysis of variance. Journal of the American Statistical Association, New York, v.56, p.878-888, 1961.

MANDEL, J. The partitioning of interactions in analysis os variance. Journal of Research of the National Bureau of Standards, Series B, Washington, v.73, p.309-328, 1969.

(42)

MANDEL, J. A new analysis os variance model for non-adittive data. Technometrics, Alexandria, v.13, n.1, p.1-18, 1971. WARZECHA, T.; ADAMSKI, T.; KACZMAREK, Z.; SURMA, M.; CHELKOWSKI, J.; WISNIEWSKA, H.; KRYSTKOWIAK, K.; KUCZYNSKA, A. Genotype-by-environment interaction of barley DH lines infected with Fusarium culmorum

(W.G.Sm.)Sacc. Field Crops Research, Amsterdam, v.120, p.21-30, 2011.