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Aulas Teóricas e de Problemas
de
Álgebra Linear
Nuno Martins
Departamento de Matemática
Instituto Superior Técnico
Índice
Parte I(Aulas teóricas e …chas de exercícios)
Matrizes e sistemas de equações lineares...3
1a…cha de exercícios para as aulas de problemas...23
1a…cha de exercícios facultativos...29
Determinantes...33
2a …cha de exercícios para as aulas de problemas...39
Espaços lineares (ou Espaços vectoriais)...44
3a …cha de exercícios para as aulas de problemas...63
2a…cha de exercícios facultativos...71
Transformações lineares...73
4a …cha de exercícios para as aulas de problemas...88
Valores próprios e vectores próprios. Diagonalização...98
5a …cha de exercícios para as aulas de problemas...111
3a…cha de exercícios facultativos...115
Produtos internos e ortogonalização...116
6a…cha de exercícios para as aulas de problemas...130
4a…cha de exercícios facultativos...134
Produto externo e produto misto...135
Diagonalização unitária e diagonalização ortogonal...137
Formas quadráticas...141
Mínimos quadrados...147
7a…cha de exercícios para as aulas de problemas...151
Bibliogra…a...152
Parte II(Resoluções das …chas de exercícios) Resolução da 1a…cha de exercícios para as aulas de problemas...153
Resolução da 1a…cha de exercícios facultativos...186
Resolução da 2a…cha de exercícios para as aulas de problemas...200
Resolução da 3a…cha de exercícios para as aulas de problemas...215
Resolução da 2a…cha de exercícios facultativos...281
Resolução da 4a…cha de exercícios para as aulas de problemas...292
Resolução da 5a…cha de exercícios para as aulas de problemas...348
Resolução da 3a…cha de exercícios facultativos...378
Resolução da 6a…cha de exercícios para as aulas de problemas...383
Resolução da 4a…cha de exercícios facultativos...416
Matrizes e sistemas de equações lineares
De…nição 1. (i) Sejam m; n 2 N. Uma matriz A, do tipo m n (lê-se m por n), é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas:
A = 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n a21 a22 a2n .. . ... ... am1 am2 amn 3 7 7 7 5:
Usa-se também a notação A = (aij)m n ou simplesmente A = (aij), na qual aij é a entrada
(i; j) da matriz A. Se m = n, diz-se que A é uma matriz quadrada do tipo n n (ou de ordem n) e as entradas a11; a22; :::; ann formam a chamada diagonal principal de A. Se
m6= n, diz-se que A é uma matriz rectangular.
(ii)A matriz linha i de A é: ai1 ai2 ain , para i = 1; :::; m. A matriz coluna
j de A é: 2 6 6 6 4 a1j a2j .. . amj 3 7 7 7 5 para j = 1; :::; n.
(iii) À matriz do tipo m n cujas entradas são todas iguais a zero, chama-se matriz nula e representa-se por 0m n ou simplesmente por 0. Por exemplo
02 2 =
0 0
0 0 e 02 3=
0 0 0 0 0 0 .
(iv) À matriz do tipo n n 2 6 6 6 4 a11 0 0 0 a22 0 .. . . .. ... 0 0 ann 3 7 7 7 5
tal que aij = 0 se i 6= j para todos os i; j, isto é, à matriz cujas entradas fora da diagonal
principal são todas nulas, chama-se matriz diagonal. (v) À matriz do tipo n n 2 6 6 6 4 1 0 0 0 1 0 .. . . .. ... 0 0 1 3 7 7 7 5,
(vi) À matriz do tipo n n 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n 0 a22 a2n .. . . .. ... ... 0 0 ann 3 7 7 7 5
cujas entradas por baixo da diagonal principal são todas nulas, isto é, tais que aij = 0 se
i > j, chama-se matriz triangular superior. À matriz do tipo n n 2 6 6 6 4 a11 0 0 a21 a22 . .. ... .. . ... . .. 0 an1 an2 ann 3 7 7 7 5
cujas entradas por cima da diagonal principal são todas nulas, isto é, tais que aij = 0 se
i < j, chama-se matriz triangular inferior.
Uma matriz diz-se triangular se fôr triangular superior ou triangular inferior. Exemplo 1. As matrizes A = 1 1 2 2 , B = 1 2 3 4 2 0 2 0 , C = 0 0 7 e D = 2 6 6 4 4 3 2 1 3 7 7 5
são dos seguintes tipos: A é 2 2, B é 2 4, C é 1 3, D é 4 1. Tem-se, por exemplo, a21 = 2, b13 = 3, c12 = 0 e d41= 1.
Observação 1. Uma matriz (real) A do tipo m n é uma aplicação: A :f1; :::; mg f1; :::; ng ! R
(i; j) ! aij
Notação 1. O conjunto de todas as matrizes reais (complexas) do tipo m né denotado por Mm n(R) (Mm n(C)). Tem-se Mm n(R) Mm n(C).
De…nição 2. Duas matrizes são iguais se forem do mesmo tipo e se as entradas corres-pondentes forem iguais, isto é, A = (aij)m n e B = (bij)p q são iguais se m = p, n = q e
aij = bij, para i = 1; :::; m e j = 1; :::; n.
De…nição 3. A soma de duas matrizes do mesmo tipo A = (aij)m n e B = (bij)m n
é a matriz
Exemplo 2. Sejam A = 1 4 1 3 2 3 , B = 0 2 4 7 3 9 , C = 2 4 1 1=2 p 2 3 5 e D = 2 4 1 1=2 p 2 3 5 : A + B = 1 2 3 4 5 6 , C + D = 2 4 0 0 0 3
5 e não é possível, por exemplo, somar B com C.
De…nição 4. O produto de um escalar (número real ou complexo) por uma matriz A = (aij)m n é a matriz:
A = ( aij)m n.
Notação 2. A matriz ( 1)A será denotada por A.
Exemplo 3. Seja A = 1 4 1
3 2 6 . Tem-se, por exemplo, 2A =
2 8 2
6 4 12 .
Observação 2. 1A = A, 0A = 0 (matriz nula), A + A = 2A, A + ::: + A
| {z }
nvezes
= nA.
De…nição 5. A diferença entre duas matrizes A e B do mesmo tipo é de…nida por A B = A + ( B),
ou seja, é a soma de A com o simétrico de B.
De…nição 6. (i) O produto AB de duas matrizes A e B só pode ser efectuado se o número de colunas da 1a matriz, A, fôr igual ao número de linhas da 2a matriz, B. Nesse
caso, o produto AB de A = (aij)m p por B = (bij)p n é de…nido por:
AB = (ai1b1j+ ::: + aipbpj)m n = p X k=1 aikbkj ! m n , isto é, 2 6 6 6 6 6 4 a11 a1p .. . ... ai1 aip .. . ... am1 amp 3 7 7 7 7 7 5 2 6 4 b11 b1j b1n .. . ... ... bp1 bpj bpn 3 7 5 = 2 6 6 6 6 6 6 4 p P k=1 a1kbk1 p P k=1 a1kbkn p P k=1 aikbkj p P k=1 amkbk1 p P k=1 amkbkn 3 7 7 7 7 7 7 5
Note que sendo b1; :::; bp as colunas da matriz B, então
AB = A b1 bp = Ab1 Abp
e sendo a1; :::; ap as linhas da matriz A, então
AB = 2 6 4 a1 .. . am 3 7 5 B = 2 6 4 a1B .. . amB 3 7 5
(ii) Sejam A uma matriz do tipo n n e p 2 N. A potência p de A é de…nida por Ap = A:::A| {z }
pvezes
e para p = 0 de…ne-se (se A fôr não nula) A0 = I.
(iii) Diz-se que duas matrizes A e B comutam se AB = BA. Exemplo 4. (i) 0 2 2 3 1 1 1 3 2 2 = = 0 1 + ( 2) ( 3) 0 1 + ( 2) 2 0 ( 1) + ( 2) ( 2) 2 1 + 3 ( 3) 2 1 + 3 2 2 ( 1) + 3 ( 2) = 6 4 4 7 8 8 (ii) 1 1 1 2 4 1 1=2 p 2 3 5 = 1 ( 1) + 1 12 + ( 1) p2 = p2 12 (iii) 2 4 1 1=2 p 2 3 5 1 1 1 = 2 4 ( 1) 1 ( 1) 1 ( 1) ( 1) 1 2 1 1 2 1 1 2 ( 1) p 2 1 p2 1 p2 ( 1) 3 5 = 2 4 1 1 1 1 2 1 2 1 2 p 2 p2 p2 3 5 (iv) n2 N, 2 6 6 6 4 a11 0 0 0 a22 0 .. . . .. ... 0 0 ann 3 7 7 7 5 n = 2 6 6 6 4 (a11)n 0 0 0 (a22) n 0 .. . . .. ... 0 0 (ann)n 3 7 7 7 5.
Observação 3. (i) O produto de matrizes não é comutativo. Por exemplo, para A = 0 1 1 0 e B = 0 1 1 0 tem-se AB = 1 0 0 1 e BA = 1 0 0 1 . Logo AB 6= BA.
(ii) CD = 0 ; (C = 0 ou D = 0), pois, por exemplo, para C = 1 1
1 1 e D =
1 1
1 1 ; CD = 0:
De…nição 7. (i)A transposta de uma matriz A = (aij)m n é a matriz AT = (aji)n m, isto é 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n a21 a22 a2n .. . ... ... am1 am2 amn 3 7 7 7 5 T = 2 6 6 6 4 a11 a21 am1 a12 a22 am2 .. . ... ... a1n a2n amn 3 7 7 7 5:
(ii) Sendo A = (aij)m n 2 Mm n(C), à matriz A = (aij)m n chama-se matriz
conju-gada de A.
(iii) Sendo A = (aij)m n 2 Mm n(C), à matriz AH = A T
chama-se matriz transposta conjugadade A. Exemplo 5. 2 4 1 3 4 2 1 6 3 5 T = 1 4 1 3 2 6 . 2 4 1 + 2i 3 4 i 1 6 3 5 H = 1 2i 4 1 3 i 6 :
Teorema 1. Sejam A, B, C e D matrizes de tipos apropriados, e escalares. São válidas as seguintes propriedades para as operações matriciais.
(a) (Comutatividade da soma) A + B = B + A.
(b) (Associatividade da soma) A + (B + C) = (A + B) + C.
(c)(Elemento neutro da soma) Existe uma única matriz 0 do tipo m n tal que A + 0 = 0+ A = A, para toda a matriz A do tipo m n.
(d)(Simétrico) Para cada matriz A existe uma única matriz B tal que A+B = B+A = 0. Esta matriz B denota-se por A.
(e) (Associatividade do produto por escalares) ( A) = ( ) A. (f ) (Distributividade) ( + ) A = A + A.
(g) (Distributividade) (A + B) = A + B.
(h) (Associatividade do produto de matrizes) A (BC) = (AB) C.
(i) (Distributividade) A (B + C) = AB + AC e (B + C) D = BD + CD. (j) (AB) = ( A) B = A ( B).
(k) AI = Ae IB = B, para todas as matrizes A = (aij)m n e B = (bij)n m, onde I é a
matriz identidade do tipo n n.
(l) A0 = 0 e 0B = 0, para todas as matrizes A = (aij)m n e B = (bij)n m, onde 0 é a
matriz nula do tipo n n.
(n) (A + B)T = AT + BT. (A + B)H = AH + BH. (o) ( A)T = AT. ( A)H = AH. (p) (AB)T = BTAT. (AB)H = BHAH. (q) (A1A2:::An) T = AT
n:::AT2AT1, com A1, A2, :::, An matrizes de tipos apropriados.
(A1A2:::An) H
= AHn:::AH2 AH1
De…nição 8. Uma matriz A do (tipo n n) diz-se invertível se existir uma matriz B (do tipo n n) tal que
AB = BA = I.
À matriz B chama-se matriz inversa de A e denota-se por A 1.
Exemplo 6. 0 1 1 0 é invertível e 0 1 1 0 1 = 0 1 1 0 .
Observação 4. (i) Sendo A 1 a matriz inversa de A, então A 1 é invertível e a sua inversa é a própria matriz A, isto é, (A 1) 1 = A.
(ii)A matriz nula não é invertível. No entanto, a matriz identidade I é invertível tendo-se I 1 = I.
(iii) Se uma matriz quadrada tiver uma linha ou uma coluna nula então não é invertível.
Teorema 2. A inversa de uma matriz invertível é única.
Dem. Sejam B e C as inversas de A. Então, B = BI = B (AC) = (BA) C = IC = C.
De…nição 9. (i) Uma matriz A diz-se simétrica se A = AT, isto é, se a
ij = aji, para
i; j = 1; :::; n. Diz-se que A é anti-simétrica se A = AT, isto é, se aij = aji, para
i; j = 1; :::; n.
(ii) Uma matriz A 2 Mm n(C) diz-se hermitiana (ou hermítica) se AH = A. Diz-se
que A é anti-hermitiana se AH = A.
(iii) Uma matriz A 2 Mn n(R) diz-se ortogonal se fôr invertível e se A 1 = AT.
(iv) Uma matriz A 2 Mn n(C) diz-se unitária se fôr invertível e se A 1 = AH.
(v) Uma matriz A diz-se normal se AHA = AAH.
Exemplo 7. 0 1
1 0 é uma matriz simétrica.
0 1 1 0
T
= 0 1
1 1 + i
1 i 1 é uma matriz hermitiana.
1 1 + i 1 i 1 H = 1 1 + i 1 i 1 . cos sen
sen cos é uma matriz ortogonal ( 2 R):
1 2 2 3i 2 3i 2 3i 1 3 2 3i
é uma matriz unitária. 2 3i 1
i 1 2i é uma matriz normal.
Teorema 3. (i) Se A = (aij)n n e B = (bij)n n são duas matrizes invertíveis, então AB
é invertível e (AB) 1 = B 1A 1.
(ii) Sendo um escalar não nulo e A uma matriz invertível então A é invertível e ( A) 1 = 1A 1.
(iii) Seja m 2 N. Se A = (aij)n n é uma matriz invertível, então Am é invertível e
(Am) 1
= (A 1)m e escreve-se A m = (Am) 1
.
(iv) Seja A = (aij)n n uma matriz. Se existir l 2 N tal que Al = 0 então A não é
invertível.
(v) Sejam A e B matrizes com A invertível tais que AB = 0. Então B = 0. (vi) Sejam A e B matrizes com B invertível tais que AB = 0. Então A = 0.
(vii) Sejam A, B e C matrizes com A invertível tais que AB = AC. Então B = C. (viii) Sejam A, B e C matrizes com B invertível tais que AB = CB. Então A = C. (ix) A = (aij)n n é uma matriz invertível se e só se AT é invertível e AT
1
= (A 1)T :
(x) A = (aij)n n é invertível se e só se AH é invertível e AH 1
= (A 1)H:
(xi) Se A = (aij)n n é uma matriz simétrica invertível, então A 1 é simétrica.
(xii) Se A = (aij)n n é uma matriz hermitiana invertível, então A 1 é hermitiana.
(xiii) Se A = (aij)n n é uma matriz ortogonal, então AT e A 1 são matrizes ortogonais.
(xiv) Se A = (aij)n n é uma matriz unitária, então AH e A 1 são matrizes unitárias.
(xv) Se A e B são duas matrizes ortogonais então AB é uma matriz ortogonal. (xvi) Se A e B são duas matrizes unitárias então AB é uma matriz unitária.
(xvii) Se A e B são duas matrizes simétricas então AB é uma matriz simétrica se e só se A e B comutarem.
(xviii) Se A e B são duas matrizes hermitianas então AB é uma matriz hermitiana se e só se A e B comutarem.
De…nição 10. Uma equação linear com n incógnitas x1; x2; :::; xn é uma equação da
forma
a1x1+ a2x2+ ::: + anxn= b;
em que a1; a2; :::; ane b são constantes (reais ou complexas). A b chama-se termo
indepen-dente.
De…nição 11. Um sistema de m equações lineares com n incógnitas é um conjunto de equações da forma ( ) 8 > > < > > : a11x1+ a12x2+ ::: + a1nxn= b1 a21x1+ a22x2+ ::: + a2nxn= b2 ::: am1x1+ am2x2+ ::: + amnxn= bm
em que aij e bk são constantes (reais ou complexas), para i; k = 1; :::; m e j = 1; :::; n.
Usando o produto de matrizes de…nido na secção anterior, o sistema de equações lineares acima pode ser escrito como uma equação matricial
AX = B em que A = 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n a21 a22 a2n .. . ... ... am1 am2 amn 3 7 7 7 5, X = 2 6 6 6 4 x1 x2 .. . xn 3 7 7 7 5 e B = 2 6 6 6 4 b1 b2 .. . bm 3 7 7 7 5.
A matriz A é a matriz dos coe…cientes do sistema, X é a matriz coluna das incógnitas e B é a matriz coluna dos termos independentes. A matriz
[Aj B] = 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n j b1 a21 a22 a2n j b2 .. . ... ... ... ... am1 am2 amn j bm 3 7 7 7 5
associada ao sistema ( ) chama-se matriz aumentada do sistema.
MUITO IMPORTANTE: Note que
AX = 2 6 6 6 4 a11 a21 .. . am1 3 7 7 7 5x1 + 2 6 6 6 4 a12 a22 .. . am2 3 7 7 7 5x2+ ::: + 2 6 6 6 4 a1n a2n .. . amn 3 7 7 7 5xn.
De…nição 12. Uma solução do sistema de equações lineares ( ) de variáveis reais, é o elemento (s1; s2; :::; sn)2 Rn := f(a1; a2; :::; an) : a1; a2; :::; an2 Rg tal que as equações do
sistema são satisfeitas quando substituímos
x1 = s1; x2 = s2; :::; xn= sn.
(No caso das variáveis serem complexas ter-se-ia soluções em Cn.) Note que isso equivale a dizer que
S = 2 6 6 6 4 s1 s2 .. . sn 3 7 7 7 5
satisfaz a equação matricial AX = B, isto é, fazendo X = S tem-se a condição verdadeira AS = B. Ao conjunto de todas as soluções do sistema chama-se conjunto solução ou solução geral do sistema.
Exemplo 8. O sistema linear de duas equações e duas incógnitas x + 2y = 1
2x + y = 0 pode ser escrito do seguinte modo:
1 2 2 1 x y = 1 0 .
A solução geral do sistema acima é dada por f(x; y) : x + 2y = 1 e 2x + y = 0g = f( 1=3; 2=3)g, isto é, X = 1=3
2=3 é a única matriz que satisfaz AX = B, com A =
1 2
2 1 e B = 1 0 .
Teorema 4. Sejam A uma matriz do tipo m n e B uma matriz do tipo m 1. Se o sistema de equações lineares AX = B tem duas soluções distintas X0 e X1 (X0 6= X1), então
terá in…nitas soluções.
Dem. Basta veri…car que X = (1 ) X0+ X1 é solução do sistema AX = B, para
qualquer 2 R.
De…nição 13. A um sistema de equações lineares da forma 8 > > < > > : a11x1+ a12x2+ ::: + a1nxn = 0 a21x1+ a22x2+ ::: + a2nxn = 0 ::: am1x1+ am2x2+ ::: + amnxn = 0
Observação 5. (i) Todo o sistema linear homogéneo AX = 0 admite pelo menos a solução trivial: X = 2 6 6 6 4 x1 x2 .. . xn 3 7 7 7 5= 2 6 6 6 4 0 0 .. . 0 3 7 7 7 5.
Assim, todo o sistema linear homogéneo tem solução. Além disso, ou tem apenas a solução trivial ou tem in…nitas soluções.
(ii)Como iremos ver num próximo capítulo, à solução geral do sistema linear homogéneo AX = 0 dá-se o nome de núcleo de A e escreve-se N (A).
Teorema 5. Se A = (aij)m n é tal que m < n, então o sistema linear homogéneo
AX = 0 tem in…nitas soluções.
Dem. Como o sistema tem menos equações do que incógnitas (m < n), o no de linhas não nulas r da matriz em escada de linhas obtida da matriz aumentada do sistema também é tal que r < n. Assim, há r pivots e n rincógnitas livres as quais podem assumir qualquer valor. Logo, o sistema linear homogéneo AX = 0 tem in…nitas soluções.
Teorema 6. Sejam A = (aij)m n e ; escalares.
(i) Se Y e W são soluções do sistema AX = 0, então Y + W também o é. (ii) Se Y é solução do sistema AX = 0, então Y também o é.
(iii) Se Y e W são soluções do sistema AX = 0, então Y + W também o é.
(iv) Sejam Y e W soluções do sistema AX = B. Se Y + W (para quaisquer escalares ; ) também é solução de AX = B, então B = 0. (Sugestão: basta fazer = = 0.)
Teorema 7. Seja A uma matriz do tipo m n e B 6= 0 uma matriz do tipo m 1. Qualquer solução X do sistema AX = B escreve-se na forma X = X0+ Y onde X0 é uma
solução particular do sistema AX = B e Y é uma solução do sistema linear homogéneo AX = 0. Assim: solução geral de AX = B = solução particular de AX = B + solução geral de AX = 0 .
Dem. Sendo X0 uma solução particular do sistema AX = B e Y1 uma solução qualquer
de AY = 0 então A (X0+ Y1) = AX0 = B pelo que X0 + Y1 é também uma solução de
AX = B e não há solução de AX = B que não seja deste tipo uma vez que, se X1 fôr uma
solução qualquer de AX = B tem-se
AX1 = B = AX0 , A (X1 X0) = 0
Teorema 8. Seja A uma matriz do tipo n n.
(i) O sistema AX = B tem solução única se e só se A fôr invertível. Neste caso a solução geral é
X = A 1B:
(ii) O sistema homogéneo AX = 0 tem solução não trivial se e só se A fôr não invertível. Teorema 9. (i) Sejam A e B duas matrizes do tipo n n. Se AB é invertível, então A e B são invertíveis.
(ii) Se A é uma matriz do tipo n n tal que AB = I então BA = I e B = A 1:
Dem. (i)Considere o sistema (AB) X = 0. Se B não fosse invertível, então pelo teorema anterior existiria X 6= 0 tal que BX = 0. Logo, X 6= 0 seria solução não trivial de ABX = 0, o que contraria o teorema anterior uma vez que por hipótese AB é invertível. Assim, B é invertível. Finalmente, A é invertível por ser o produto de duas matrizes invertíveis: A = (AB) B 1.
(ii) Atendendo à alínea anterior, B é invertível. Logo B 1 também é invertível e
A = AI = A BB 1 = (AB) B 1 = IB 1 = B 1, isto é, A é invertível e A 1 = (B 1) 1 = B.
De…nição 14. (i) Às seguintes operações que se podem aplicar às equações de um sistema de equações lineares, chamam-se operações elementares.
(a) Trocar a posição de duas equações do sistema;
(b) Multiplicar uma equação por um escalar diferente de zero;
(c) Substituição de uma equação pela sua soma com um múltiplo escalar de outra equação.
(ii) Dois sistemas de equações lineares que se obtêm um do outro através de um número …nito de operações elementares, dizem-se equivalentes.
Observação 6. (i)Dois sistemas de equações lineares que se obtêm um do outro através de um número …nito de operações elementares, têm o mesmo conjunto solução.
(ii) Quando aplicamos operações elementares às equações de um sistema de equações lineares, só os coe…cientes e os termos independentes do sistema são alterados. Logo, aplicar as operações elementares anteriores às equações de um sistema linear ( ) equivale a aplicar às linhas da matriz aumentada
[Aj B] = 2 6 6 6 4 a11 a12 a1n j b1 a21 a22 a2n j b2 .. . ... ... ... ... am1 am2 amn j bm 3 7 7 7 5 as seguintes operações.
De…nição 15. As operações elementares que podem ser aplicadas às linhas (i e j) de uma matriz são:
(i) Trocar a posição de duas linhas (i e j) da matriz: Li $ Lj
(ii)Multiplicar uma linha (i) da matriz por um escalar ( ) diferente de zero: Li ! Li
(iii) Substituição de uma linha (j) pela sua soma com um múltiplo escalar ( ) de outra linha (i): Li+ Lj ! Lj
Teorema 10. Se dois sistemas lineares AX = B e CX = D são tais que a matriz aumentada [C j D] é obtida de [A j B] através de uma ou mais operações elementares, então os dois sistemas são equivalentes.
De…nição 16. Uma matriz A = (aij)m n diz-se em escada de linhas se:
(i) Todas as linhas nulas (formadas inteiramente por zeros) estão por baixo das linhas não nulas;
(ii) Por baixo (e na mesma coluna) do primeiro elemento não nulo de cada linha e por baixo dos elementos nulos anteriores da mesma linha, todas as entradas são nulas. Esse primeiro elemento não nulo de cada linha tem o nome de pivot.
Exemplo 9. As seguintes matrizes estão em escada de linhas:
A1 = 4 1 0 0 ; A2 = 0 1 3 0 0 0 5 1 ; A3 = 2 6 6 6 6 4 2 1 1=2 0 0 0 0 3 0 p2 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 7 7 7 5.
De…nição 17. O método de resolver sistemas lineares que consiste em aplicar operações elementares às linhas da matriz aumentada do respectivo sistema de modo a que essa matriz …que em escada de linhas, chama-se método de eliminação de Gauss.
Exemplo 10. O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y e z 8 < : x + z = 3 x + 2y + 2z = 6 3y + 3z = 6 é equivalente a 2 4 1 0 11 2 2 0 3 3 3 5 2 4 xy z 3 5 = 2 4 36 6 3 5 .
Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: 2 4 1 0 1 j 3 1 2 2 j 6 0 3 3 j 6 3 5 ! L1+L2!L2 2 4 1 0 1 j 3 0 2 1 j 3 0 3 3 j 6 3 5 ! 3 2L2+L3!L3 2 4 1 0 1 j 3 0 2 1 j 3 0 0 32 j 32 3 5 .
Logo, 8 < : x + z = 3 2y + z = 3 3 2z = 3 2 , 8 < : x = 2 y = 1 z = 1.
Neste exemplo o sistema tem a solução única f(2; 1; 1)g e diz-se possível e determi-nado.
Exemplo 11. O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y; z e w 8 < : 3z 9w = 6 5x + 15y 10z + 40w = 45 x + 3y z + 5w = 7 é equivalente a 2 4 0 0 3 9 5 15 10 40 1 3 1 5 3 5 2 6 6 4 x y z w 3 7 7 5 = 2 4 6 45 7 3 5 .
Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: 2 4 0 0 3 9 j 6 5 15 10 40 j 45 1 3 1 5 j 7 3 5 ! L1$L3 1 5L2!L2 2 4 1 3 1 5 j 7 1 3 2 8 j 9 0 0 3 9 j 6 3 5 ! L1+L2!L2 ! L1+L2!L2 2 4 1 3 1 5 j 7 0 0 1 3 j 2 0 0 3 9 j 6 3 5 ! 3L2+L3!L3 2 4 1 3 1 5 j 7 0 0 1 3 j 2 0 0 0 0 j 0 3 5 . Logo, x + 3y z + 5w = 7 z + 3w = 2 , x = 3y 2w 5 z = 3w + 2.
As incógnitas y e w são livres e as incógnitas x e z são não livres. A solução geral do sistema
é: 8 > > < > > : 2 6 6 4 3s 2t 5 s 3t + 2 t 3 7 7 5 : s; t 2 R 9 > > = > > ;
isto é, o conjunto solução é dado por: f( 3s 2t 5; s; 3t + 2; t) : s; t2 Rg. Neste exemplo o sistema tem in…nitas soluções e diz-se possível e indeterminado.
Exemplo 12. Seja a 2 R. O sistema de equações lineares de variáveis reais x; y e z 8 < : x + 2y + z = 3 x + y z = 2 x + y + (a2 5) z = a é equivalente a 2 4 1 2 1 1 1 1 1 1 a2 5 3 5 2 4 x y z 3 5 = 2 4 3 2 a 3 5 .
Considere-se então a matriz aumentada e o consequente método de eliminação de Gauss: 2 4 1 2 1 j 3 1 1 1 j 2 1 1 a2 5 j a 3 5 ! L1+L2!L2 L1+L3!L3 2 4 1 2 1 j 3 0 1 2 j 1 0 1 a2 6 j a 3 3 5 ! L2+L3!L3
! L2+L3!L3 2 4 1 2 1 j 3 0 1 2 j 1 0 0 (a 2) (a + 2) j a 2 3 5 .
Se a = 2, então o sistema é possível e indeterminado: x + 2y + z = 3
y 2z = 1 ,
x = 3z + 1 y = 2z + 1,
a incógnita z é livre, as incógnitas x e y são não livres e a solução geral do sistema é 8 < : 2 4 3t + 1 2t + 1 t 3 5 : t 2 R 9 = ;
isto é, o conjunto solução é dado por: f(3t + 1; 2t + 1; t) : t 2 Rg.
Assim, se a = 2, o sistema tem in…nitas soluções e diz-se possível e indeterminado. Se a = 2, o sistema não tem solução e diz-se impossível.
Se a 6= 2 e a 6= 2, o sistema tem a solução única a+5a+2; a a+2;
1
a+2 e diz-se possível
e determinado.
Observação 7. (Como inverter matrizes invertíveis do tipo n n). Seja A uma matriz do tipo n n e consideremos a equação AX = B. Se A fôr invertível temos
AX = B , X = A 1B, isto é, AX = IB , IX = A 1B.
Assim, para determinar a inversa de A, iremos transformar a matriz aumentada [A j I] na matriz [I j A 1]
, por meio de operações elementares aplicadas às linhas de [A j I]: [Aj I] !
::: I j A 1
Este método tem o nome de método de eliminação de Gauss-Jordan e consistirá na continuação do método de eliminação de Gauss agora aplicado a [matriz triangular superior j ], efectuando-se as eliminações de baixo para cima de modo a obter-se [I j A 1].
Exemplo 13. Vejamos que 2 1 1 2 1 = 2 3 1 3 1 3 2 3 :Tem-se 2 1 j 1 0 1 2 j 0 1 1 ! 2L1+L2!L2 ! 1 2L1+L2!L2 2 1 j 1 0 0 32 j 12 1 2 ! 3L2+L1!L1 2 0 j 4 3 2 3 0 32 j 12 1 2 ! 3L2!L2 1 2L1!L1 1 0 j 2 3 1 3 0 1 j 13 23 . Isto é 2 1 1 2 1 = 2 3 1 3 1 3 2 3 . De facto 2 1 1 2 2 3 1 3 1 3 2 3 = 2 3 1 3 1 3 2 3 2 1 1 2 = I
Exemplo 14. (i) Seja A = 2 4 0 1 1 1 54 12 1 12 0 3 5. Tem-se [Aj I] = 2 4 0 1 1 j 1 0 0 1 54 12 j 0 1 0 1 12 0 j 0 0 1 3 5 !::: 2 4 1 0 0 j 1 2 3 0 1 0 j 2 4 4 0 0 1 j 3 4 4 3 5 . Logo, 2 4 0 1 1 1 54 12 1 12 0 3 5 1 = 2 4 1 2 3 2 4 4 3 4 4 3 5 : Veri…que(!) que: AA 1 = I. (ii) Seja A = 2 4 9 8 7 6 5 4 3 2 1 3 5. Tem-se [Aj I] = 2 4 9 8 76 5 4 j 1 0 0j 0 1 0 3 2 1 j 0 0 1 3 5 !::: 2 4 3 2 10 1 2 j 0j 0 01 12 0 0 0 j 1 2 1 3 5
Logo, A não é invertível.
(iii) Sejam A = 1 2 3 4 B = 4 0 0 8 C = 0 18 1 4 0
. Determine-se X tal que
A I 2XT 1B 1 = C: Tem-se A I 2XT 1B 1 = C , I 2XT 1 = A 1CB , I 2XT = A 1CB 1 , , XT = 1 2 I B 1C 1A , X = 1 2 I A T CT 1 BT 1 , , X = 1 2 1 0 0 1 1 3 2 4 0 14 1 8 0 1 4 0 0 8 1! , X = 1 1 2 2 12 :
De…nição 18. (Ver-se-á mais adiante a consistência desta de…nição.) Seja A uma matriz em escada de linhas. Ao no de colunas de A que não contêm pivots chama-se nulidade de A
e escreve-se nul A. Ao no de pivots de A, isto é, ao no de linhas não nulas de A, dá-se o nome
de característica de A e escreve-se car A. Se A fôr a matriz em escada de linhas obtida de C através de operações elementares então diz-se que a característica de C é car A, tendo-se car C = car A e diz-se que a nulidade de C é nul A, tendo-se nul C = nul A.
Exemplo 15. Considere-se as matrizes do exemplo 9. Pivot de A1: 4. Pivots de A2:
1; 5. Pivots de A3: 2; 3; 5. Tem-se: car A1 = 1, car A2 = 2 e car A3 = 3. Além disso:
nul A1 = 1, nul A2 = 2 e nul A3 = 2.
De…nição 19. Uma matriz A = (aij)n n diz-se não singular se após o método de
eliminação de Gauss esta fôr transformada numa matriz triangular superior cujas entradas da diagonal principal sejam todas não nulas. Uma matriz A = (aij)n n diz-se singular se
após o método de eliminação de Gauss existir (pelo menos) uma linha nula na matriz obtida de A.
Teorema 11. Seja A = (aij)n n. Tem-se
A é invertível , A é não singular , car A = n ,
, para todo o B o sistema AX = B tem uma única solução (X = A 1B), isto é,
A não é invertível , A é singular , car A < n ,
, existe pelo menos um B para o qual o sistema AX = B não tem solução.
Observação 8. Seja [A j B] a matriz aumentada associada a um sistema de equações lineares com n incógnitas.
(i) Se car A = car [A j B] = n então o sistema é possível e determinado (tem uma única solução).
(ii) Se car A = car [A j B] < n então o sistema é possível e indeterminado (tem um no in…nito de soluções).
(iii) Se car A < car [A j B] então o sistema é impossível (não tem solução).
(iv)As incógnitas livres (podem tomar valores arbitrários) do sistema são aquelas que correspondem às colunas, que não contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A através de operações elementares.
(v) As incógnitas não livres do sistema são aquelas que correspondem às colunas, que contenham pivots, da matriz em escada de linhas obtida de A através de operações elementares.
(vi) car A = no de linhas não nulas da matriz em escada de linhas obtida de A = = no de pivots = no de incógnitas não livres:
nul A = no de incógnitas livres:
(vii) Seja A uma matriz do tipo m n. Então 0 car A minfm; ng e car A + nul A = n:
De…nição 20. Uma matriz elementar é uma matriz do tipo n n obtida da matriz identidade I (do tipo n n) através de uma única operação elementar.
(i) A matriz Pij, chamada matriz de permutação, é a matriz elementar obtida por
troca da linha i com a linha j da matriz I. Tem-se:
Pij = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 . .. ... ... .. . . .. 1 0 1 1 . .. 1 1 0 1 . .. ... .. . . .. ... 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 i j .
(ii)A matriz Ei( )é a matriz elementar obtida da matriz I através do produto do escalar
6= 0 pela linha i da matriz I. Tem-se:
Ei( ) = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 . .. ... ... .. . . .. 1 1 . .. ... .. . . .. ... 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 i .
(iii) A matriz Eij( ) é a matriz elementar obtida da matriz I por soma da linha j com
um múltiplo escalar da linha i. Por exemplo para i < j tem-se:
Eij( ) = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 0 0 0 . .. ... ... .. . . .. 1 . .. 1 . .. ... .. . . .. ... 0 0 0 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 7 5 i j .
Observação 9. (i)As matrizes elementares Eij( ), com i < j, são matrizes triangulares
inferiores.
(ii)As matrizes elementares Eij( )e Eik( )comutam, isto é, Eij( )Eik( ) = Eik( )Eij( ).
Exemplo 16. Sejam ; escalares com 6= 0. As matrizes elementares do tipo 2 2 são: P12 = P21= 0 1 1 0 , E1( ) = 0 0 1 , E2( ) = 1 0 0 , E12( ) = 1 0 1 e E21( ) = 1 0 1 .
Teorema 12. Sejam E uma matriz elementar do tipo m m e A uma matriz qualquer do tipo m n. Então, EA é a matriz obtida de A através da mesma operação elementar que originou E. Isto é, aplicar uma operação elementar a uma matriz corresponde a multiplicar essa matriz à esquerda por uma matriz elementar.
Exemplo 17. Considere-se a matriz aumentada 2 4 0 0 3 9 j 6 5 15 10 40 j 45 1 3 1 5 j 7 3 5. A op-eração elementar: 2 4 0 0 3 9 j 6 5 15 10 40 j 45 1 3 1 5 j 7 3 5 ! L1$L3 2 4 1 3 1 5 j 7 5 15 10 40 j 45 0 0 3 9 j 6 3 5 ,
corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): 2 4 0 0 1 0 1 0 1 0 0 3 5 2 4 0 0 3 9 j 6 5 15 10 40 j 45 1 3 1 5 j 7 3 5 = 2 4 1 3 1 5 j 7 5 15 10 40 j 45 0 0 3 9 j 6 3 5 . A operação elementar: 2 4 1 3 1 5 j 7 5 15 10 40 j 45 0 0 3 9 j 6 3 5 ! 1 5L2!L2 2 4 1 3 1 5 j 7 1 3 2 8 j 9 0 0 3 9 j 6 3 5 ,
corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): 2 4 10 1=5 00 0 0 0 1 3 5 2 4 15 153 101 405 jj 457 0 0 3 9 j 6 3 5 = 2 4 1 31 3 12 58 jj 79 0 0 3 9 j 6 3 5 . A operação elementar: 2 4 1 3 1 5 j 7 1 3 2 8 j 9 0 0 3 9 j 6 3 5 ! L1+L2!L2 2 4 1 3 1 5 j 7 0 0 1 3 j 2 0 0 3 9 j 6 3 5 ,
corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): 2 4 1 0 0 1 1 0 0 0 1 3 5 2 4 1 3 1 5 j 7 1 3 2 8 j 9 0 0 3 9 j 6 3 5 = 2 4 1 3 1 5 j 7 0 0 1 3 j 2 0 0 3 9 j 6 3 5 .
Finalmente, a operação elementar: 2 4 1 3 1 5 j 7 0 0 1 3 j 2 0 0 3 9 j 6 3 5 ! 3L2+L3!L3 2 4 1 3 1 5 j 7 0 0 1 3 j 2 0 0 0 0 j 0 3 5 ,
corresponde à seguinte multiplicação (à esquerda): 2 4 1 0 0 0 1 0 0 3 1 3 5 2 4 1 3 1 5 j 7 0 0 1 3 j 2 0 0 3 9 j 6 3 5 = 2 4 1 3 1 5 j 7 0 0 1 3 j 2 0 0 0 0 j 0 3 5 . Tem-se então: E23(3) E12( 1) E2 1 5 P13 2 4 0 0 3 9 j 6 5 15 10 40 j 45 1 3 1 5 j 7 3 5 = 2 4 1 3 1 5 j 7 0 0 1 3 j 2 0 0 0 0 j 0 3 5 .
Teorema 13. Toda a matriz elementar é invertível e a respectiva inversa é também uma matriz elementar. Tem-se:
(i)(Pij) 1 = Pij. (ii)(Ei( )) 1 = Ei(1= ), para 6= 0. (iii)(Eij( )) 1 = Eij( ).
Teorema 14. Uma matriz A é invertível se e só se fôr igual ao produto de matrizes elementares.
Observação 10. O teorema anterior indica um modo alternativo para calcular a matriz inversa de uma matriz invertível.
Teorema 15. (Factorização triangular). Duas consequências do método de eliminação de Gauss:
(i) Seja A uma matriz do tipo m n. Então ou A admite a factorização A = LU ou existe uma matriz de permutação P tal que P A admite a factorização P A = LU , onde L é uma matriz triangular inferior com as entradas da diagonal principal todas iguais a 1 e U é uma matriz em escada.
(ii) Seja A uma matriz não singular do tipo n n. Então ou A admite a factorização única A = LU ou existe uma matriz de permutação P tal que P A admite a factorização única P A = LU, onde L é uma matriz triangular inferior com as entradas da diagonal principal todas iguais a 1 e U é uma matriz triangular superior cujas entradas da diagonal
principal são os pivots que resultam de aplicar o método de eliminação de Gauss à matriz A. Exemplo 18. Seja A = 2 4 1 1 1 2 1 4 2 3 5 3 5. Tem-se:
E23(1)E13( 2)E12( 2)A =
2 4 1 1 1 0 1 2 0 0 5 3 5 . Logo, A = (E12( 2)) 1(E13( 2)) 1(E23(1)) 1 2 4 1 1 1 0 1 2 0 0 5 3 5 . Isto é, A = E12(2)E13(2)E23( 1) 2 4 1 1 1 0 1 2 0 0 5 3 5 , ou ainda, A = LU, com L = E12(2)E13(2)E23( 1) = 2 4 1 0 0 2 1 0 2 1 1 3 5 e U = 2 4 1 1 1 0 1 2 0 0 5 3 5 . Exemplo 19. Seja A = 2 6 6 4 1 2 3 4 0 0 5 6 0 0 10 6 0 1 7 8 3 7 7 5. Tem-se P24A = 2 6 6 4 1 2 3 4 0 1 7 8 0 0 10 6 0 0 5 6 3 7 7 5 e E34( 1=2) P24A = 2 6 6 4 1 2 3 4 0 1 7 8 0 0 10 6 0 0 0 3 3 7 7 5 Logo P24A = (E34( 1=2)) 1 2 6 6 4 1 2 3 4 0 1 7 8 0 0 10 6 0 0 0 3 3 7 7 5 Isto é, P24A = E34(1=2) 2 6 6 4 1 2 3 4 0 1 7 8 0 0 10 6 0 0 0 3 3 7 7 5 , ou ainda, P A = LU, com P = P24, L = E34(1=2) = 2 6 6 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1=2 1 3 7 7 5 e U = 2 6 6 4 1 2 3 4 0 1 7 8 0 0 10 6 0 0 0 3 3 7 7 5 :
1a Ficha de exercícios para as aulas de problemas 1. Veri…que que: (i) 6 9 4 6 2 = 0 0 0 0 (ii) 1 1 0 1 1000 = I (iii) 0 1 1 0 2 = I (iv) 0 1 1 0 222 + 0 1 1 0 220 = 0 0 0 0 (v) 1 2 3 4 5 4 6 11 = 5 4 6 11 1 2 3 4 (vi) 2 4 1 1 1 1 1 1 2 2 2 3 5 2 = 2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 5 (vii) 2 4 2 2 4 1 3 4 1 2 3 3 5 2 = 2 4 2 2 4 1 3 4 1 2 3 3 5 (viii) 2 4 1 2 3 3 5 1 0 1 = 2 4 1 0 1 2 0 2 3 0 3 3 5 (ix) 3 1 1 1 1 1 2 0 2 1 1 2 = 47 2 2 5 2 (x) 4 2 1 2 1 T 2 2 1 2 1 1 4 2 3 p2 T = 7 2 p 2 11 9 2p2 + 10 (xi) a b c d 1 = 1 ad bc d b c a (se ad bc6= 0) A 2acoluna de 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 2 4 6 2 9 7 1 6 9 1 7 3 5 é 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 2 4 2 1 1 3 5 = 2 4 2 2 0 3 5
(xiii) cos sen
sen cos é ortogonal ( 2 R). Isto é, cos sen sen cos cos sen sen cos T = cos sen sen cos T cos sen sen cos = I (xiv) 2 6 4 p 3 3 p 2 2 p 6 6 p 3 3 p 2 2 p 6 6 p 3 3 0 p 6 3 3 7 5 é ortogonal. (xv) 1 2 2 3i 2 3i 2 3i 1 3 2 3i é unitária. Isto é, 1 2 2 3i 2 3i 2 3i 1 3 2 3i 1 2 2 3i 2 3i 2 3i 1 3 2 3i H = 1 2 2 3i 2 3i 2 3i 1 3 2 3i H 1 2 2 3i 2 3i 2 3i 1 3 2 3i = I (xvi) 2 3i 1
i 1 2i é uma matriz normal. Isto é,
2 3i 1 i 1 2i 2 3i 1 i 1 2i H = 2 3i 1 i 1 2i H 2 3i 1 i 1 2i (xvii) As constantes a; b e c que de…nem a função y = ax2+ bx + c cujo grá…co passa pelos pontos (x1; y1) ; (x2; y2) e (x3; y3) (de abcissas distintas entre si), constituem a
solução 2 4 a b c 3
5 do sistema linear cuja matriz aumentada é dada por: 2 4 x2 1 x1 1 j y1 x2 2 x2 1 j y2 x23 x3 1 j y3 3 5.
2. Efectue, sempre que possível, as seguintes operações. (i) 13 2 3 (ii) 0 1 + 1 0 (iii) 3 2 2 1 1 1 3 2 4 3 p5 12 (iv)2 1 0 3 12 1 3 0 6 2 3 (v) 1 3 0 2 1 1 (vi) 2 p 3 4 0 1 (vii) p 2 3 4 1 2 2 (viii) 0 @ 2 4 2 1 4 1 3 5 2 p2 3 1 A T (ix) 0 B B B B @ 2 2 4 1 3 0 1 2 1 3 1 2 1 3 5 T 2 4 1 0 12 1 3 1 2 1 3 5 2 6 6 6 6 4 8 9 1 3 1 1 3 1 2 1 5 3 1 5 2 3 7 7 7 7 5 1 C C C C A T (x) 2 4 1 12 0 2 0 1 14 0 6 2 5 1 3 5 T 2 4 1 0 2 4 1 3 3 3 5 (xi) 2 4 1 0 2 4 1 3 3 3 5 T 2 4 1 12 0 2 0 1 14 0 6 2 5 1 3 5
3. Pretende-se arrumar livros em caixas. Ao colocar 7 livros em cada caixa, …ca um livro de fora. Ao colocar 8 livros por caixa, há uma caixa que só tem 1 livro. Quantos livros se pretende arrumar? Quantas caixas existem?
4. C = Celsius, F = Fahrenheit. A partir do ponto de congelação (C; F ) = (0; 32) e do ponto de ebulição (C; F ) = (100; 212), deduza a equação linear
F = 9
5C + 32:
Veri…que que o único valor comum a ambas as escalas é 40 .
5. Escreva a matriz A = (aij)4 42 M4 4(R) em cada um dos seguintes casos:
a) aij = j2( 1)i+j b) aij = 8 < : 0 se i > j 1
i+j 1 caso contrário,
c) 8 > > > > < > > > > : i se i = j j se j = i + 1 i j caso contrário, d) aij = 8 < : aji para todo i; j j se j > i
6. Veri…que se a matriz (aij)2 M2 2(R) de…nida por aij = 3i + 2j, para todo i; j = 1; 2,
é simétrica.
7. Determine as características e as nulidades das seguintes matrizes reais, identi…cando os respectivos pivots. (i) 2 4 0 0 0 0 0 0 3 5 (ii) 2 4 1 2 3 0 1 1 1 2 3 3 5 (iii) 2 4 2 1 2 4 1 2 3 5 (iv) 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 3 5
(v) 2 4 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 3 5 (vi) 2 6 6 4 1 2 1 3 2 1 1 3 2 1 2 7 1 9 8 3 3 2 4 6 3 7 7 5 (vii) 2 6 6 4 1 3 1 2 0 11 5 3 2 5 3 1 4 1 1 5 3 7 7 5 (viii) 5 1 2 0 2 0 (ix) 2 4 3 6 9 2 4 6 1 2 3 3 5 (x) 2 4 2 10 6 8 4 1 5 3 4 2 2 10 6 8 4 3 5
8. Quais das seguintes equações são equações lineares em x; y e z ? (a) 3x +p3y + z = 1 (b) 1
2x + z = 0 (c) x
1+ 3y z = 2 (d) x yz = 1
9. Diga qual dos seguintes pontos: (0; 0) ; (1; 1) ; (1; 1) ; ( 1; 1) é a solução do seguinte sistema de equações lineares nas variáveis x; y.
8 < : x + y = 0 x 2y = 3 x y = 2.
10. Diga quais dos seguintes pontos: (0; 0; 0; 0) ; (1; 1; 1; 0) ; (1; 1; 1; 2) ; 3; 9; 7;
3
p 2 são soluções do sistema de equações lineares nas variáveis x; y; z e w.
x 2y 3z = 0 x + y + z = 1.
11. (i) Determine os coe…cientes a; b; c e d da função polinomial p(x) = ax3+ bx2+ cx + d,
cujo grá…co passa pelos pontos P1 = (0; 10); P2 = (1; 7); P3 = (3; 11) e P4 = (4; 14).
(ii) Determine os coe…cientes a; b e c da equação da circunferência x2+ y2+ ax + by + c = 0;
que passa pelos pontos P1 = ( 2; 7); P2 = ( 4; 5) e P3 = (4; 3).
12. Seja 2 R. Em função do parâmetro , calcule a característica e a nulidade das seguintes matrizes. Em cada alínea, indique ainda (se existirem), justi…cando, os val-ores de para os quais essas matrizes são invertíveis:
(i) 2 4 1 0 1 1 0 1 3 5 (ii) 2 4 1 2 1 2 3 2 1 3 5 (iii) 2 4 2 2 2 1 1 0 2 1 + 1 3 5 (iv) 2 6 6 4 1 0 1 0 1 0 0 3 0 0 1 1 1 2 3 7 7 5 (v) 2 6 6 4 1 0 1 0 1 1 0 1 0 2 1 2 0 2 2 3 7 7 5 (vi) 2 6 6 4 1 1 0 1 1 0 1 1 3 0 1 1 2 1 3 7 7 5
13. Determine valores para x; y; z e w de modo a que nas reacções químicas seguintes os elementos químicos envolventes ocorram em iguais quantidades em cada lado da respectiva equação.
14. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares. (a) 2x + 3y = 1 5x + 7y = 3 (b) 2x + 4y = 10 3x + 6y = 15 (c) 4x 2y = 5 6x + 3y = 1 (d) 8 < : 2x + y 3z = 5 3x 2y + 2z = 5 5x 3y z = 16 (e) 8 < : 2x + 3y 2z = 5 x 2y + 3z = 2 4x y + 4z = 1 (f ) 8 < : x + 2y + 3z = 3 2x + 3y + 8z = 4 3x + 2y + 17z = 1 (g) 8 < : 2x + 3y = 3 x 2y = 5 3x + 2y = 7 (h) 8 < : x + 2y z + 3w = 3 2x + 4y + 4z + 3w = 9 3x + 6y z + 8w = 10 (i) 8 < : x + 5y + 4z 13w = 3 3x y + 2z + 5w = 2 2x + 2y + 3z 4w = 1 (j) 8 > > < > > : 2x3 + 3x4 = 4 2x1 6x3+ 9x4 = 7 2x1 + 2x2 5x3+ 2x4 = 4 100x2+ 150x3 200x4 = 50 (k) 8 < : x 2y + 3z w = 1 3x y + 2z + 5w = 2 3x + 6y 9z + 3w = 6
15. Discuta em função do parâmetro real os seguintes sistemas de equações lineares (nas variáveis x; y e z). Nos casos em que existirem soluções, determine-as.
(a) 8 < : x + y + z = 1 x + y + z = 1 x + y + z = 1 (b) x + 2y + z = 1 2x + y + 8z = 3 (c) 8 < : x + y + z = 2 3x + 4y + 2z = 2x + 3y z = 1 (d) 8 < : x + y + z = 1 x + y + z = x + y + z = 2 (e) 8 < : x + y + z = 1 2x + y 2 z = x + y + z = 1 + 2
16. Discuta os seguintes sistemas de equações lineares em termos dos parâmetros reais e . Nos casos em que existirem soluções, determine-as.
(a) 8 < : x + 4y + 3z = 10 2x + 7y 2z = 10 x + 5y + z = (b) 8 > > < > > : 2z + w = x + y + z + 3w = 1 2x + 2y + z + w = 2 x + y + 3z + 14w = 4 (c) 8 < : x + y z + w = 0 x 2y + 2z + w = 1 x y + z + ( + 1) w = 17. Diga para que valores de a; b e c têm soluções os sistemas.
(a) 8 < : x + 2y 3z = a 3x y + 2z = b x 5y + 8z = c (b) 8 < : x 2y + 4z = a 2x + 3y z = b 3x + y + 2z = c
18. Determine um sistema de equações lineares cujo conjunto de soluções seja: (a) S = f(1 + t; 1 t) : t2 Rg (b) S = f(t; 1 2t; 1) : t2 Rg
(c)S = f(3t; 2t; t) : t 2 Rg
(d) S =f(3t s; t + 2s 1; s 2t + 1) : s; t2 Rg (e) S =f(2t 3s; t + s 1; 2s + 1; t 1) : s; t2 Rg
19. Determine todas as matrizes reais 2 2 que comutam com a matriz 1 2 3 4 .
20. Existem 16 matrizes 2 2 só com 0 e 1 nas respectivas entradas. Quantas são in-vertíveis?
21. Seja A 2 Mn n(R) tal que A2+ 2A + 2I = 0:Veri…que que A é invertível e determine
a sua inversa.
22. Sejam A; B; X 2 Mn n(R) matrizes invertíveis tais que (AB) 2
= 3 4
7 9 . Em cada um dos seguintes casos, determine a matriz X que satisfaz a equação
(i) AXB + AB = 0 (ii) BXA A 1B 1 = 0
23. Determine A 2 M2 2(R) tal que 2I (3A 1) T 1
= 4 3
7 5 : 24. Determine (se existirem) as inversas das seguintes matrizes.
(i) 0 1 1 0 (ii) 1 0 0 1 (iii) [1] (iv) 1 2 3 4 (v) 2 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3 5 (vi) 2 4 1 2 3 0 1 2 0 0 1 3 5 (vii) 1 3 2 4 2 2 1 1 2 2 2 1 2 3 5 (viii) 2 4 1 0 2 0 3 0 4 0 5 3 5 (ix) 2 4 1 2 1 4 0 6 1 8 1 3 5 (x) cos sen sen cos (xi) 2 6 6 4 k 0 0 0 1 k 0 0 0 1 k 0 0 0 1 k 3 7 7 5, com k 6= 0 (xii) 2 6 6 4 0 0 0 k1 0 0 k2 0 0 k3 0 0 k4 0 0 0 3 7 7 5, com k1; k2; k3; k4 6= 0 (xiii) 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 5 13 2 13 2 13 8 13 2 13 7 13 6 13 2 13 2 13 6 13 7 13 2 13 8 13 2 13 2 13 5 13 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 (xiv) 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 12 12 12 1 2 1 0 1 2 1 2 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5
25. (i) Seja A 2 Mn n(R) tal que
Ak= 0 para algum k 2 Nn f1g. Veri…que que
(I A) 1 = I + A + ::: + Ak 1 (ii) Calcule 2 4 1 1 0 0 1 1 0 0 1 3 5 1 :
26. Seja A = 2 4 2 2 2 5 1 3 1 5 3 3 5.
(i) Veri…que que A3 =
2 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 5. (ii) Calcule (I A) (I + A + A2) :
27. Para cada parâmetro real , considere o sistema de equações lineares de variáveis reais cuja matriz aumentada é dada por:
2 4 1 4 2 j 10 2 7 2 j 20 1 5 j 10 3 5 .
a) Discuta em termos de a existência ou não de solução do sistema de equações lineares anterior.
b) Para = 4, determine o conjunto solução do sistema de equações lineares corre-spondente. 28. Seja A ; = 2 6 6 4 1 0 1 0 1 2+ 0 1 1 2+ + 3 7 7 5, com ; 2 R:
(a)Determine a característica e a nulidade de A ; em função de e .
(b) Determine os valores dos parâmetros e para os quais A ; é invertível.
29. Seja A = 2 6 6 4 1 0 2 2 2 4 4 0 3 8 0 2 2 3 7 7 5, com 2 R.
(a) Determine a característica e a nulidade de A em função do parâmetro e diga, justi…cando, quais são os valores de para os quais A é invertível.
(b) Para = 1; determine a inversa da matriz A1.
30. Seja Ba;b= 2 6 6 4 0 0 a 1 2 2 0 a 0 0 a b 3 0 6 0 3 7 7 5, com a; b 2 R:
(a)Determine a característica e a nulidade de Ba;b em função de a e b.
(b) Para a = 1 e b = 0 calcule a matriz inversa da matriz B1;0, isto é, (B1;0) 1
. (c)Determine a solução geral do sistema linear B1;0X = C, C = 1 2 3 1
T
. (d)Para b = 1, determine a solução geral do sistema linear Ba;1X = D, em que D é o
simétrico da 3a coluna de B a;1.
1a Ficha de exercícios facultativos
1. Sendo A; B; C matrizes de tipos apropriados, mostre que:
(i) (AB) C = A (BC) (ii) A (B + C) = AB + AC (iii)(AB)T = BTAT
2. Sendo A uma matriz do tipo m n, mostre que se ATA = 0então A = 0.
3. Sendo A = 1 2
2 4 , determine todos os u 6= 0 tais que Au = 5u. 4. Obtenha, por indução, uma fórmula para An onde A é dada por:
(i) 0 1 1 0 (ii) 1 0 2 1 (iii) 2 4 1 1 0 0 1 1 0 0 1 3 5 (iv) 2 6 6 4 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 3 7 7 5 (v) cos sen sen cos ( 2 R)
5. Mostre que se AB = A e BA = B então A2 = Ae B2 = B.
6. Sendo A uma matriz 2 2 ortogonal, isto é, tal que AAT = ATA = I, mostre que
A = cos sen
sen cos ou A =
cos sen
sen cos ; ( 2 R):
7. Diga de que tipos deverão ser as matrizes A e B de modo a poderem ser efectuados os seguintes produtos e desenvolva esses mesmos produtos.
(i) (A + B)(A B) (ii) (AB)2 (iii) (A + B)2 8. (i) Veri…que que as matrizes A = 1 0
2 0 e B =
0 0
3 4 não satisfazem a relação: AB = 0 ) A = 0 ou B = 0. O que pode concluir? E no caso de A ser invertível, o que concluiria acerca da veracidade da relação anterior?
(ii) Veri…que que as matrizes A = 1 2
1 2 , B =
0 0
1 1 e C =
2 2
0 0 não satisfazem a relação: AB = AC ) B = C. O que pode concluir? E no caso de A ser invertível, o que concluiria acerca da veracidade da relação anterior?
9. Sejam A uma matriz do tipo n n e B uma matriz do tipo m n quaisquer. (i) Prove que se A é simétrica (isto é A = AT) então BABT tambem é simétrica.
(ii) Prove que se A é normal (isto é AHA = AAH) e B é unitária então BABH é normal.
(iii) Prove que BTB e BBT são matrizes simétricas e que BHB e BBH são matrizes
10. Uma matriz A do tipo n n diz-se anti-simétrica se AT = A. Mostre que:
(i)Os elementos da diagonal principal de uma qualquer matriz anti-simétrica são todos nulos.
(ii) Para qualquer matriz A do tipo n n, a matriz A AT é anti-simétrica.
(iii) Escrevendo A = 12(A + AT) + 1
2(A A
T), toda a matriz quadrada pode ser
decomposta de modo único pela soma de uma matriz simétrica com uma anti-simétrica. 11. Veri…que que todas as matrizes X = a b
c d que satisfazem a equação X
2 = I são: I; 1 0 c 1 ; 1 b 0 1 ; a b 1 a2 b a .
Observe assim que a equação matricial X2 = I tem um número in…nito de soluções em
contraste com a equação escalar x2 = 1 que tem apenas duas soluções (1 e 1).
12. Mostre que:
fX 2 M2 2(R) : XA = AX; para todo o A 2 M2 2(R)g =
0
0 : 2 R .
Isto é, as matrizes 2 2 que comutam com todas as matrizes 2 2 são múltiplos escalares da matriz I.
13. Sendo A uma matriz do tipo m n, seja N (A) = fX : AX = 0g. Mostre que: (i) Sendo A e B matrizes de tipos apropriados, então N (B) N (AB). (ii) Sendo A 2 Mm n(R), tem-se N ATA =N (A) :
(iii)Sendo A e B matrizes do tipo m n com m < n tais que ABT é invertível, então
BTA
não é invertível. Além disso, nenhuma linha de B pertence a N (A).
(iv) Sendo A 2 Mm n(R) tal que para todo o B 2 Rm;o sistema AX = B é possível,
então N AT =
f0g.
14. Sejam A; B 2 Mn n(R) tais que que Au = Bu para qualquer u 2 Mn 1(R). Prove
que A = B.
15. Sejam A; B matrizes não nulas do tipo n 1. Determine a característica de ABT.
Justi…que.
16. Sendo A uma matriz do tipo m n tal que car A = m, mostre que existe B do tipo n m tal que AB = I.
17. Duas matrizes A e B do tipo n n dizem-se semelhantes se existir S invertível tal que A = SBS 1. Mostre que:
(i) Sendo A ou B invertíveis então AB e BA são semelhantes. (ii) Sendo A e B semelhantes então X 2 N (A) se e só se S 1X
18. Seja A uma matriz quadrada (do tipo n n). Mostre que:
(i) Se A fôr invertível então A 1 tambem é invertível e (A 1) 1 = A.
(ii) Se A fôr invertível então AT tambem é invertível e (AT) 1 = (A 1)T.
(iii) Se A fôr invertível e simétrica então A 1 tambem é simétrica. 19. Sejam A e B matrizes do tipo n n. Mostre que:
(i) Se A; B forem invertíveis então A + B não é necessariamente invertível. (ii) Se A; B e A + B forem invertíveis então A 1+ B 1 é invertível e
(A 1+ B 1) 1 = A(A + B) 1B = B(A + B) 1A. Sugestão: comece por veri…car que
I + B 1A = B 1(A + B) e I + A 1B = A 1(A + B):
20. Seja A do tipo n n tal que A2 = A (A diz-se idempotente). Mostre que:
(i) I A é idempotente.
(ii) 2A I é invertível e (2A I) 1 = 2A I. Além disso, se A fôr simétrica então 2A I é uma matriz ortogonal.
(iii) Se car A = n, então A = I.
21. Uma matriz B (do tipo n n) diz-se idempotente se B2 = B. Mostre que A2 = I , 1
2(I + A) é idempotente
22. Sendo A = (aij) uma matriz invertível e B = (bij)a inversa da A, mostre, para k 6= 0,
a matriz (ki jaij)é invertível e a sua inversa é (ki jbij).
23. Seja A uma matriz do tipo 2 2. Mostre que A = a b
c d é invertível se e só se ad bc6= 0. No caso de A ser invertível, utilize o método de eliminação de Gauss-Jordan para encontrar a matriz inversa de A.
24. Que condições devem ser veri…cadas para que a seguinte matriz diagonal do tipo n n
D = 2 6 6 6 4 k1 0 0 0 k2 . .. ... .. . . .. ... 0 0 0 kn 3 7 7 7 5
25. Para matrizes quadradas A = (aij)n n de…ne-se o traço de A, tr(A), como sendo a
soma de todas as entradas da diagonal principal de A, isto é, tr(A) =
n
X
i=1
aii:
Sejam A = (aij)n n e B = (bij)n n duas matrizes do tipo n n e um escalar. Mostre
que (i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B); (ii) tr( A) = tr(A); (iii) tr(AT) = tr(A); (iv) tr(AB) = tr(BA):
Esta última igualdade continua a ser verdadeira se A = (aij)m n e B = (bij)n m.
26. Para cada matriz A do tipo n n, veri…que que não existe X do tipo n n tal que AX XA = I.
27. Sejam A e B matrizes do tipo n n tais que A é simétrica e B é anti-simétrica. Mostre que
tr(AB) = 0:
28. Seja A 2 Mm n(R). Mostre que tr(ATA) = 0 se e só se A = 0.
29. Sejam u; v 2 Mn 1(R) tais que uTv 6= 1. Seja
A = I + uvT. Veri…que que A é invertível e que
A 1 = I 1
1 + uTvuv T.
Além disso veri…que que
Determinantes
De…nição 21. Dados os números naturais 1; 2; :::; n chama-se permutação desses n números a qualquer lista em que os mesmos sejam apresentados por ordem arbitrária.
De…nição 22. Seja (i1i2:::in) uma permutação dos números naturais 1; 2; :::; n.
Diz--se que um par (ijik) é uma inversão quando (j k) (ij ik) < 0 (isto é, quando ij e ik
aparecerem na permutação por ordem decrescente).
De…nição 23. Uma permutação (i1i2:::in) diz-se par (ímpar) quando o no máximo de
inversões incluídas fôr par (ímpar).
Exemplo 20. A permutação (21453) é ímpar pois o no máximo de inversões nela incluí-das é ímpar: (21); (43) e (53).
De…nição 24. Seja A uma matriz do tipo n n. Chama-se determinante de A, e escreve-se jAj ou det A, o número que se obtém do seguinte modo:
(i) Formam-se todos os produtos possíveis de n factores em que intervenha um elemento de cada linha e, simultaneamente, um elemento de cada coluna de A.
(ii) Afecta-se cada produto do sinal + ou do sinal conforme as permutações (dos números naturais 1; 2; :::; n) que …guram nos índices de linha e de coluna tenham a mesma paridade ou não.
(iii) Somam-se as parcelas obtidas.
Em resumo: …xando, por exemplo, a permutação (i1i2:::in)de 1; 2; :::; n
jAj = X (j1j2:::jn) permutação de 1;2;:::;n ( 1) ai1j1ai2j2:::ainjn, em que = 8 < :
0 se (i1i2:::in) e (j1j2:::jn) têm a mesma paridade
1 se (i1i2:::in) e (j1j2:::jn) têm paridade diferente.
Observação 11. Pode ainda escrever-se
jAj = X (j1j2:::jn) permutação de 1;2;:::;n ( 1) a1j1a2j2:::anjn, em que = 8 < : 0 se (j1j2:::jn) é par 1 se (j1j2:::jn) é ímpar.
ou jAj = X (i1i2:::in) permutação de 1;2;:::;n ( 1) ai11ai22:::ainn, em que = 8 < : 0 se (i1i2:::in) é par 1 se (i1i2:::in) é ímpar.
De…nição 25. Seja A = (aij)n n. O traço de A, tr(A), é a soma de todas as entradas
da diagonal principal de A, isto é,
tr(A) =
n
X
i=1
aii:
Teorema 16. Sejam A = (aij)n n e B = (bij)n n duas matrizes do tipo n n e um
escalar. Tem-se (i) tr(A + B) = tr(A) + tr(B); (ii) tr( A) = tr(A); (iii) tr(AT) = tr(A); (iv) tr(AB) = tr(BA): Teorema 17. (i) Se A é do tipo 2 2, então
jAj = aa11 a12 21 a22 = a11a22 a12a21 = Só no caso 2 2 1 2 (tr A) 2 tr A2 :
(ii) Se A é do tipo 3 3, então
jAj =
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
= a11a22a33+ a12a23a31+ a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32.
Observação 12. (i) Se A é uma matriz do tipo n n então jAj tem n! parcelas. (ii)O determinante de cada um dos três tipos de matrizes elementares é dado por
det Pij = 1;
det Ei( ) = ;
Exemplo 21. (i) 1 1 2 2 = 1( 2) ( 1)2 = 0: (ii) 1 2 1 3 1 2 2 1 3 = 1( 1)( 3) + 3 + 8 1( 1)2 6( 3) 2 = 32:
De…nição 26. Seja A = (aij) uma matriz do tipo n n, com n > 1. Seja Aij a matriz
do tipo (n 1) (n 1)que se obtem de A suprimindo a linha i e a coluna j de A. Chama-se a Aij o menor-ij da matriz A.
Teorema 18. (Fórmula de Laplace.) Seja A uma matriz do tipo n n, com n > 1. Tem-se
det A =
n
X
j=1
aij( 1)i+jdet Aij, com i 2 f1; :::; ng …xo:
Observação 13. Seja A uma matriz do tipo n n, com n > 1. Tem-se det A =
n
X
i=1
aij( 1)i+jdet Aij, com j 2 f1; :::; ng …xo:
Exemplo 22. 1 0 2 3 2 1 1 4 0 1 0 2 1 0 2 3 = ( 1)( 1)3+2 1 2 3 2 1 4 1 2 3 + ( 2)( 1)3+4 1 0 2 2 1 1 1 0 2 = = ( 1)( 3) + ( 2)4 + 2( 2)3 ( 1)3 ( 2)2( 3) 4( 2) + 2 [( 2) ( 2)] = 18
Teorema 19. Sejam A e B matrizes do tipo n n. Seja um escalar. (i) det AT = det A.
(ii) Se A fôr uma matriz diagonal, triangular superior ou triangular inferior então o determinante de A é igual ao produto dos elementos da diagonal principal de A.
(iii) Se A tiver uma linha (ou coluna) nula então det A = 0.
(v) Se B fôr obtida de A multiplicando uma linha (ou coluna) de A por um escalar então det B = det A.
(vi) Se duas linhas (ou colunas) de A forem iguais então det A = 0.
(vii) Se B fôr obtida de A somando a uma linha (ou coluna) de A um múltiplo escalar de uma outra linha (ou coluna) de A então det B = det A.
(viii) det A6= 0 se e só se A é invertível. (ix) det ( A) = ndet A.
(x) det (EA) = det E det A, em que E é uma matriz elementar (Pij; Ei( )ou Eij( )).
(xi) det (AB) = det A det B.
(xii)det (A1A2:::Al) = det A1det A2::: det Al, em que A1; A2; :::; Alsão l (l 2 N) matrizes
do tipo n n.
(xiii) Se A fôr invertível det (A 1) = 1
det A. (xiv) det (AB) = 0) det A = 0 ou det B = 0. (xv) det (AB) = det (BA).
Exemplo 23. 9 7 5 3 1 7 7 5 3 1 5 5 5 3 1 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 = 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 5 5 5 3 1 7 7 5 3 1 9 7 5 3 1 = 1 1 1 1 1 1 3 3 3 3 1 3 5 5 5 1 3 5 7 7 1 3 5 7 9 = 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 0 2 4 4 4 0 2 4 6 6 0 2 4 6 8 = = 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 2 4 4 0 0 2 4 6 = 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 2 4 = 1 1 1 1 1 0 2 2 2 2 0 0 2 2 2 0 0 0 2 2 0 0 0 0 2 = 24 = 16.
Observação 14. Sendo A e B matrizes do tipo n n, em geral: jA + Bj 6= jAj + jBj e jA Bj 6= jAj jBj . Por exemplo, se n é par, A = I e B = I, tem-se
De…nição 27. Seja A = (aij) uma matriz do tipo n n, com n > 1. Seja a0ij =
( 1)i+jdet A
ij onde Aij é o menor-ij da matriz A. Chama-se a a0ij o cofactor-ij da matriz
A e à matriz cof A = (a0ij)do tipo n n, com n > 1, a matriz dos cofactores de A.
Teorema 20. Para qualquer matriz A do tipo n n, com n > 1, tem-se A (cof A)T = (cof A)T A = (det A) I.
Se det A 6= 0 então A é invertível e
A 1 = 1 det A(cof A) T = 0 B B @ 1 det A( 1) j+idet A ji | {z } entrada (i;j) de A 1 1 C C A n n .
Exemplo 24. (i) Seja A = a b
c d tal que det A 6= 0. Então A é invertível e A 1 = 1
ad bc
d b
c a .
Note que ad bc = det A.
(ii) Podemos usar o teorema anterior para calcular não só a inversa de uma matriz (não singular) mas também (e sobretudo) entradas concretas dessa inversa. Seja
A = 2 4 1 0 3 4 5 6 7 8 9 3 5 .
A entrada (1; 2) da matriz A 1 é dada por
(A 1)12= 1 det A (cof A) T 12 = 1 det A ( 1) 2+1det A 21 = 1 12 det 0 3 8 9 = 2.
Note que apesar da entrada (1; 2) de A ser nula, a entrada (1; 2) de A 1 não é nula.
(iii) Para calcular A 1 a partir do teorema anterior, é preciso calcular (cof A)T. Assim, usando por exemplo A da alínea anterior, tem-se
cof A = 2 6 6 6 6 6 6 4 5 6 8 9 4 6 7 9 4 5 7 8 0 3 8 9 1 3 7 9 1 0 7 8 0 3 5 6 1 3 4 6 1 0 4 5 3 7 7 7 7 7 7 5 = 2 4 3 6 3 24 12 8 15 6 5 3 5
pelo que (cof A)T = 2 4 3 24 15 6 12 6 3 8 5 3 5 e assim A 1 = 1 det A(cof A) T = 1 12 2 4 3 24 15 6 12 6 3 8 5 3 5 = 2 4 1 4 2 5 4 1 2 1 1 2 1 4 2 3 5 12 3 5 . De facto 2 4 1 4 2 5 4 1 2 1 1 2 1 4 2 3 5 12 3 5 2 4 1 0 3 4 5 6 7 8 9 3 5 = 2 4 1 0 0 0 1 0 0 0 1 3 5 .
Teorema 21. (Regra de Cramer.) Seja A uma matriz do tipo n n tal que A é não singular. Então a única solução do sistema de equações lineares AX = B é dada por
X = A 1B = 1 det A(cof A) T B. Isto é, sendo X = x1 ::: xn T e B = b1 ::: bn T tem-se, para j = 1; :::; n, xj = 1 det A n X i=1 a0jibi = det (Bj)T det A = det Bj det A,
onde Bj é a matriz obtida de A substituindo a coluna j de A pela matriz coluna B dos
termos independentes.
Exemplo 25. O sistema de equações lineares 8 < : y + 2z = 8 4x + 2y z = 7 x z = 1 pode ser resolvido usando a regra de Cramer:
x = 8 1 2 7 2 1 1 0 1 0 1 2 4 2 1 1 0 1 = 14, y = 0 8 2 4 7 1 1 1 1 0 1 2 4 2 1 1 0 1 = 18 e z = 0 1 8 4 2 7 1 0 1 0 1 2 4 2 1 1 0 1 = 13.
2a Ficha de exercícios para as aulas de problemas
1. Classi…que quanto à paridade as seguintes permutações de números de 1 a 6: (i) (312645) (ii) (234516) (iii) (654321) (iv) (123456)
(v)(546321) (vi)(453261) (vii)(634125) (viii) (123465)
2. Na expressão do determinante de uma matriz do tipo 6 6diga qual o sinal que afecta cada uma das seguintes parcelas:
(i) a23a31a42a56a14a65 (ii) a16a25a34a43a52a61 (iii)a54a45a63a32a26a11 (iv) a16a23a34a41a62a55 3. Veri…que que (i) 0 0 a13 0 a22 a23 a31 a32 a33 = a13a22a31 (ii) 0 0 0 a14 0 0 a23 a24 0 a32 a33 a34 a41 a42 a43 a44 = a14a23a32a41 (iii) det 2 6 6 4 0 0 a1n 0 an 1 2 an 1 n an1 ann 3 7 7 5 = ( 1)n n 1 2 a 1n:::an 1 2an1
4. Calcule os seguintes determinantes e diga quais são as matrizes singulares: (i) 1 2 3 4 (ii) 18563 18573 21472 21482 (iii) 1 +p2 2 p3 2 +p3 1 p2
(iv) cos sen
sen cos (v) 2 0 1 5 3 0 5 1 2 (vi) 2 3 2 5 1 3 2 1 1 (vii) 2 1 1 5 1 3 2 3 2 (viii) 8 12 8 5 1 3 2 1 1 (ix) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (x) 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0 (xi) 2 2 8 6 0 1 2 0 0 0 3 23 0 0 0 5 (xii) 1 3 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 0 2 0 (xiii) 0 0 0 5 0 0 3 23 0 1 2 0 2 2 8 6 (xiv) 12 22 32 42 22 32 42 52 32 42 52 62 42 52 62 72 (xv) 0 4 0 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 1 0 0 3 0 0 5 0 0 0 0 (xvi) a 0 0 0 b b a 0 0 0 0 b a 0 0 0 0 b a 0 0 0 0 b a
(xvii) 7 4 0 5 1 2 0 2 2 1 3 8 2 2 0 4 (xviii) 9 0 6 4 2 5 3 0 1 2 8 0 4 1 1 6 0 3 1 3 7 0 5 2 3 (xix) 7 4 1 3 6 0 0 0 2 0 0 0 5 8 1 0 0 3 0 5 3 7 9 p3 (xx) 2 1 0 0 7 3 0 2 3 1 1 3 9 0 0 (xxi) n n 1 ... 2 1 n 1 n 1 ... 2 1 . .. ... ... 2 2 2 1 1 1 1 1
5. (i) Veri…que que a matriz 2 6 6 6 6 4 0 a 0 0 0 e 0 b 0 0 0 f 0 c 0 0 0 g 0 d 0 0 0 h 0 3 7 7 7 7 5
não é invertível para quaisquer a; b; c; d; e; f; g; h 2 R.
(ii) Diga, para que valores de a; b; c; d; e; f; g; h; i; j 2 R, é invertível a seguinte matriz 2 6 6 6 6 6 6 4 0 a 0 0 0 0 f 0 b 0 0 0 0 g 0 c 0 0 0 0 h 0 d 0 0 0 0 i 0 e 0 0 0 0 j 0 3 7 7 7 7 7 7 5
6. Determine todos os valores do escalar para os quais a matriz A I é não invertível, onde A é dada por:
(i) 0 3 2 1 (ii) 2 4 1 0 2 0 1 2 2 2 0 3 5 (iii) 2 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 5 (iv) 2 6 4 1 1 .. . . .. ... 1 1 3 7 5 n n
7. Indique três matrizes A do tipo 2 2 tais que tr A = = det A. 8. Seja A = 2 6 6 4 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 3 7 7 5 ; com 2 R
a)Diga, justi…cando, quais são os valores de para os quais A é invertível. b) Seja n 2 N. Calcule det (A0)n+ (A0)n+2 .
c) Considerando os valores de para os quais A é invertível, calcule a entrada (3; 1) da matriz inversa de A .
9. Use a fórmula de inversão de matrizes para inverter: (i) 1 2 3 4 (ii) 2 4 1 1 1 0 1 1 0 0 1 3 5 (iii) 2 4 1 0 4 1 1 3 0 6 0 3 5 10. Sejam A = 2 6 6 4 3 2 0 2 1 0 0 3 0 9 2 0 3 1 0 2 3 7 7 5 B = 2 6 6 4 1 0 0 2 4 0 1 0 0 1 0 3 0 1 2 2 3 7 7 5 .
(i) Sem calcular A 1 e B 1, determine as entradas (2; 2) de A 1 e (2; 3) de B 1.
(ii) Veri…que que det (A + B) 6= det A + det B e det (A B)6= det A det B. 11. Use a regra de Cramer para calcular as soluções dos sistemas:
(i) 2x + 3y = 1 5x + 7y = 3 (ii) 8 < : x + y = 1 2x + z = 1 x + 2y + 2z = 1 12. Sejam C = 2 4 1 0 1 2 3 2 0 1 2 3 5 e D = 2 4 9 8 1 7 3 0 2 0 0 3 5.
Veri…que que C e D são invertíveis e calcule: (i) det (2C 1) (ii) det C3(2C) 1
(iii) det CT2C 1 (iv) det CT 1 2C 2 (v) det (C2+ 2D) (vi) det 2CT 2 3D 3 1 DT 1C 1
Sugestão: Sejam m 2 N, escalar, A; B e S matrizes n n com S invertível, tem-se (a)det (AB) = (det A) (det B) (b)det ( B) = ndet B (c) det AT = det A (d) det (A 1) = 1
det A (e)( B)
T = BT (f )S m = (S 1)m
13. Sejam A e B matrizes 3 3tais que det A = p3e det B = 12. Calcule det(2ATB 3).
14. Sejam a; b; c; d; e; f 2 R. Sabendo que
a b 0 c d e 0 f g h 0 i x y 1 z = 5; calcule: (i) d e f g h i a b c (ii) a b c 2d 2e 2f g h i (iii) a + d b + e c + f d e f g h i (iv) 2i 2h 2g f 3c e 3b d 3a c b a (v) a g d b h e c i f
15. Sejam a; b; c 2 R. Sabendo que a b c 2 1 0 1 2 1 = 1; calcule: (i) a b c 6 3 0 1 2 1 1 2 (ii) a b c 2a + 2 2b + 1 2c a + 1 b + 2 c + 1 (iii) a 1 b 2 c 1 3 3 1 1 2 1 (iv) 1 1 1 2 1 0 3a + 1 3b + 2 3c + 1
16. Sejam ; 2 R. Sabendo que
1 2 1 1 1 + 2 = 1; calcule 1 2 + 2 2 .
17. Seja 2 R. Veri…que que
1 1 1 1 1 + 1 2 2 2 2 + 1 + 2 3 3 3 + 1 + 2 + 3 4 4 + 1 + 2 + 3 + 4 5 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 6.
18. Seja 2 R. Calcule o determinante da seguinte matriz do tipo n n. 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 1 + 1 1 1 .. . 1 + 1 . .. .. . 1 . .. 1 ... .. . . .. + 1 1 1 1 1 1 + 1 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5
19. Sejam 6= 0 e A = (aij)n n. Mostre que det A = det i jaij .
20. Que condições devem os parâmetros reais a; b e c veri…car para que a matriz 2 4 1 a a2 1 b b2 1 c c2 3 5 seja invertível? 21. Veri…que que (i) det 2 4 1 1 1 x1 y1 y1 x2 x2 y2 3 5 = (y1 x1) (y2 x2) (ii)det 2 6 6 4 (x1) 3 (x1) 2 x1 1 (x2) 3 (x2) 2 x2 1 (x3) 3 (x3) 2 x3 1 (x4) 3 (x4) 2 x4 1 3 7 7 5 = (x1 x2) (x1 x3) (x1 x4) (x2 x3) (x2 x4) (x3 x4)
22. Mostre que: (i) b + c c + a b + a a b c 1 1 1 = 0 (ii) b1 + c1 b2+ c2 b3+ c3 c1+ a1 c2+ a2 c3+ a3 a1 + b1 a2+ b2 a3+ b3 = 2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 (iii) a1+ b1 a1 b1 c1 a2+ b2 a2 b2 c2 a3+ b3 a3 b3 c3 = 2 a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 (iv) a1 b1 a1+ b1+ c1 a2 b2 a2+ b2+ c2 a3 b3 a3+ b3+ c3 = a1 b1 c1 a2 b2 c2 a3 b3 c3 23. Veri…que que a1+ b1 c1+ d1 a2+ b2 c2+ d2 = a1 c1 a2 c2 + a1 c1 b2 d2 + b1 d1 a2 c2 + b1 d1 b2 d2 : 24. Sem calcular explicitamente o determinante, mostre que para x = 0 e x = 2 se tem
x2 x 2
2 1 1
0 0 5
= 0.
25. Sem calcular o determinante, diga qual o coe…ciente de x3 na expressão
2x x 1 2
1 x 1 1
3 2 x 1
9 8 7 x
.
26. Resolva as seguintes equações.
(i) 1 x 1 0 1 1 1 0 2 = 0 (ii) x x x x x 4 x x x x 4 x x x x 4 = 0 (iii) x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x 1 1 1 1 x = 0
27. Sabendo que 533; 715 e 871 são múltiplos de 13, justi…que que
5 3 3 7 1 5 8 7 1
é também múltiplo de 13, sem calcular o determinante.
28. Sem calcular o determinante, veri…que que
2 1 8
1 0 10
3 7 4
é múltiplo de 5.
29. Seja A = (aij)n n com n ímpar e tal que aij + aji = 0, para todos os i; j = 1; :::; n:
Mostre que A não é invertível. Isto é, toda a matriz anti-simétrica de ordem ímpar não é invertível.
30. Mostre que se uma matriz fôr ortogonal então o seu determinante ou é 1 ou é 1. E se a matriz fôr unitária?
Espaços lineares (ou Espaços vectoriais)
De…nição 28. Um conjunto não vazio V é um espaço linear (real) se existirem duas operações associadas a V , uma soma de elementos de V e um produto de escalares (números reais) por elementos de V , com as seguintes propriedades:
(a) (Fecho da soma). Para quaisquer u; v 2 V u + v2 V:
(b) (Fecho do produto por escalares). Para quaisquer 2 R e u 2 V u2 V:
(c) (Comutatividade da soma). Para quaisquer u; v 2 V , u + v = v + u:
(d) (Associatividade da soma). Para quaisquer u; v; w 2 V , u + (v + w) = (u + v) + w:
(e) (Elemento neutro da soma). Existe um elemento de V designado por 0 tal que, para qualquer u 2 V ,
u + 0 = u:
(f ) (Simétrico). Para cada (qualquer) u 2 V existe v 2 V tal que u + v = 0:
A v chama-se o simétrico de u e denota-se por u.
(g) (Associatividade do produto por escalares). Para quaisquer ; 2 R e u 2 V , ( u) = ( ) u:
(h) (Distributividade em relação à soma de vectores). Para quaisquer 2 R e u; v 2 V , (u + v) = u + v:
(i) (Distributividade em relação à soma de escalares). Para quaisquer ; 2 R e u 2 V , ( + ) u = u + u:
(j) Para qualquer u 2 V ,
Observação 15. Aos elementos de V chamaremos vectores.
Exemplo 26. Exemplos de espaços lineares. Seja 2 R. (i) Rn =
f(x1; :::; xn) : x1; :::; xn 2 Rg, com as operações usuais:
(u1; :::; un) + (v1; :::; vn) = (u1+ v1; :::; un+ vn),
(u1; :::; un) = ( u1; :::; un).
(ii) Mm n(R) (conjunto de todas as matrizes reais do tipo m n), com as operações
(usuais): A + B e A.
(iii)O conjunto de todas as funções reais de variável real de…nidas num conjunto S R, com as operações usuais:
(f + g)(x) = f (x) + g(x), ( f )(x) = f (x).
(iv)O conjunto P = fa0+ a1t + ::: + asts : a0; a1; :::; as2 R e s 2 N0g de todos os polinómios
reais de variável real, com as operações usuais.
(v) Seja n 2 N …xo. O conjunto Pn=fa0+ a1t + ::: + antn: a0; a1; :::; an2 Rg de todos
os polinómios reais de variável real e de grau menor ou igual a n, com as operações usuais. (a0+ a1t + ::: + antn) + (b0+ b1t + ::: + bntn) = a0+ b0+ (a1+ b1) t + ::: + (an+ bn) tn
(a0+ a1t + ::: + antn) = a0+ ( a1) t + ::: + ( an) tn.
Observação 16. Existem espaços lineares com operações não usuais: (i) O conjunto dos números reais R, com a soma de…nida por
u v = u + v + 1, e o produto por escalares de…nido por
u = u + 1, é um espaço linear. (Neste caso o elemento neutro é 1.)
(ii) O conjunto dos números reais maiores do que zero, com a soma de…nida por u v = uv,
e o produto por escalares de…nido por
u = u , é um espaço linear. (Neste caso o elemento neutro é 1.)
