Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística
Mestrado em Matemática Aplicada e Estatística
Existência e Multiplicidade de soluções
positivas para uma classe de sistemas elípticos
Maykel Anderson Souza Carneiro do Nascimento
Natal-RN Maio, 2020
Existência e Multiplicidade de soluções positivas para
uma classe de sistemas elípticos
Trabalho apresentado ao Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Es-tatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, em cumprimento com as exigências legais para obtenção do título de Mestre.
Área de Concentração: Modelagem Matemá-tica.
Linha de Pesquisa: Matemática Computaci-onal
Orientador
Prof. Dr. Ailton Rodrigues da Silva
Universidade Federal do Rio Grande do Norte – UFRN
Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística – PPGMAE
Natal-RN Maio, 2020
Nascimento, Maykel Anderson Souza Carneiro do.
Existência e multiplicidade de soluções positivas para uma classe de sistemas elípticos / Maykel Anderson Souza Carneiro do Nascimento. - 2020.
228f.: il.
Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal do Rio Grande do Norte, Centro de Ciências Exatas e da Terra, Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística. Natal, 2020. Orientador: Ailton Rodrigues da Silva.
1. Sistemas elípticos - Dissertação. 2. Métodos variacionais - Dissertação. 3. Soluções positivas - Dissertação. 4. Método de penalização - Dissertação. 5. Categoria de Lusternik-Schnirelman - Dissertação. I. Silva, Ailton Rodrigues da. II. Título.
RN/UF/CCET CDU 517.956.2
Catalogação de Publicação na Fonte. UFRN - Biblioteca Setorial Prof. Ronaldo Xavier de Arruda - CCET
para uma classe de sistemas elípticos apresentada por Maykel Anderson Souza Carneiro do Nascimento e aceita pelo Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística da Universidade Federal do Rio Grande do Norte, sendo aprovada por todos os membros da banca examinadora abaixo especificada:
Dr. Ailton Rodrigues da Silva
Orientador
Departamento de Matemática
Universidade Universidade Federal do Rio grande do Norte
Dr. Diego Ferraz de Souza
Departamento de Matemática Universidade Federal do Rio Grande do Norte
Dr. Romildo Nascimento de Lima
Unidade Acadêmica de Matemática Universidade Federal de Campina Grande
Agradeço inicialmente a Deus, pelo dom da vida e por me proporcionar saúde e todas as outras condições para que eu pudesse concluir esse trabalho, mostrando-me que este trabalho é um desejo comum entre eu e Ele.
A minha esposa Islanne Karen Rocha Silva do Nascimento Carneiro, por ter sido incançavel em cuidar de tudo para deixar-me dedicar a esse estudo, por todo o incentivo dado e por se regozijar comigo de todo o coração por essa conquista. Isso mostra que voce adotou esse meu sonho e me ajudou a transforma-lo em realidade. Isso é amor. Seria impossível concluir esse mestrado sem sua ajuda.
Ao meu filho, Heitor do Nascimento Carneiro, por ter me dado a alegria da paternidade em um momento crucial desse trabalho. Seus sorrisos me deram forças para estudar quando eu achava que não ia conseguir.
Aos meus pais, Mark Yuri Carneiro e Mariana Cordeiro Souza Carneiro, pela criação e educação que me deram enquanto eu estava sobre suas dependências e pelo amor que têm por mim.
Ao meu orientador, Dr. Ailton Rodrigues da Silva, por todos os ensinamentos e pela sua paciência. Seu incentivo e sua sabedoria foram fundamentais para a finalização desse trabalho.
Aos professores Diego Ferraz de Souza e Romildo Nascimento de Lima, pela disponi-bilidade em avaliar esta dissertação e pelas contribuições para melhorar este trabalho.
Ao professor Geilson Pereira Germano, por sua disponibilidade em sanar minhas dú-vidas.
Aos professores do PPGMAE, pelos conhecimentos compartilhados em sala de aula e nos corredores do CCET.
Ao Daniel, secretário do PPGMAE, por atender todas as minhas solicitações.
Aos discentes do PPGMAE, pelas conversas e pelos estudos. Em especial agradeço ao Artur Breno, por se empenhar em me ajudar com a Matemática e com o Latex todas as
A todos que contribuiram para este trabalho. A CAPES, pelo apoio financeiro.
é a rocha que me salva; Ele é a minha torre alta! Não serei abalado! A minha salvação e a minha honra de Deus dependem; Ele é a minha rocha firme, o meu refúgio. Confiem Nele em todos os momentos, ó povo; derramem diante Dele o coração, pois Ele é o nosso refúgio. Davi, Salmos 62: 5-8
uma classe de sistemas elípticos
Autor: Maykel Anderson Souza Carneiro do Nascimento Orientador(a): Prof. Dr. Ailton Rodrigues da Silva
Resumo
Neste trabalho, mostraremos a existência e multiplicidade de soluções positivas para a seguinte classe de sistemas elípticos
−2∆u + W (x)u = Q u(u, v) em RN, −2∆v + V (x)v = Q v(u, v)em RN,
u, v ∈ H1(RN), u(x), v(x) > 0 para todo x ∈ RN,
(S)
onde > 0 é um parâmetro, N ≥ 3, W, V : RN → R são funções Hölder contínuas e Q : R2
+ → R é uma função de classe C2 com crescimento subcrítico. As principais fer-ramentas utilizadas são os Métodos Variacionais, Método de Penalização, Princípio do Máximo e Categoria de Lusternik-Schnirelman.
Palavras-chave: Sistemas Elípticos, Soluções Positivas, Métodos Variacionais, Método de Penalização, Categoria de Lusternik-Schnirelman.
class of elliptic systems
Author: Maykel Anderson Souza Carneiro do Nascimento Advisor: Prof. Dr. Ailton Rodrigues da Silva
Abstract
In this work we will show the existence and multiplicity of positive solutions for the following class of elliptic systems
−2∆u + W (x)u = Q u(u, v)em RN, −2∆v + V (x)v = Q v(u, v) em RN,
u, v ∈ H1(RN), u(x), v(x) > 0 para todo x ∈ RN,
(S)
where > 0 is a parameter, N ≥ 3, W, V : RN → R are positive Hölder continuous functions and Q : R2
+→ R is a function of class C2with subcritical growth. The main tools used are Variational Methods, Penalization Method, Maximum Principle and Lusternik-Schnirelman Category.
Keywords: Elliptic systems, Positive solutions, Variational Methods, Penalization Method, Lusternik-Schnirelman category.
catX(A)denota a categoria de A em X. k k∗ − Denota a norma espectral. | | −Denota a norma euclidiana. Z RN f − Denota Z RN f (x)dx.
* − Denota a convergência fraca. q.t.p − Significa "quase todo ponto".
E
0
− Denota o espaço dos funcionais lineares e limitados definidos no espaço E. (yn) ⊂ (xn)− A sequência (yn) é subsequência da sequência (xn).
(xn) ⊂ X−Denota que a sequência (xn)está no espaço X. A ,→ B −Denota que A está imerso em B.
Xc− Denota o complementar do conjunto X. supp(f) − Denota o suporte da função f.
on(1) − Denota uma sequência de números reais convergindo para 0 quando n → +∞. k(u, v)k − Denota a norma de (u, v) em H1(RN) × H1(RN).
1 Introdução p. 13 2 Existência de solução positiva para uma classe de sistemas elípticos p. 20 2.1 Geometrias do Passo da Montanha . . . p. 24 2.2 Caracterização do Nível do Passo da Montanha . . . p. 25 2.3 A condição de Palais-Smale . . . p. 32 2.4 Demonstração do Teorema 2.1 . . . p. 48 2.5 Regularidade, Comportamento Assintótico e positividade das soluções de
(Sµ,θ) . . . p. 53 3 Existência e Multiplicidade de soluções positivas via método de
pe-nalização p. 70
3.1 Um problema auxiliar . . . p. 75 3.1.1 Geometrias do passo da montanha . . . p. 85 3.1.2 Caracterização do nível do passo da montanha . . . p. 87 3.1.3 A condição de Palais-Smale para J . . . p. 90 3.1.4 Multiplicidade de soluções para (Sb,a) . . . p. 111 3.1.4.1 A função Φ . . . p. 111 3.1.4.2 A função β . . . p. 117 3.1.5 Demonstração do Teorema 3.3 . . . p. 135 3.2 Multiplicidade de soluções para (Sb) . . . p. 139 3.2.1 Demonstração do Teorema 3.1 . . . p. 158
Apêndice A -- Resultados e definições utilizados na dissertação p. 163 A.1 Análise no RN . . . p. 163 A.2 Análise Funcional . . . p. 164 A.3 Teoria da medida e integração . . . p. 166 A.4 Espaços de funções Hölder Contínuas . . . p. 169 A.5 Espaços de Sobolev . . . p. 169 A.5.1 Imersões de Sobolev . . . p. 171
Apêndice B -- Estrutura Variacional p. 174
B.1 O espaço X . . . p. 174 B.2 Diferenciabilidade de Funcionais . . . p. 182 B.2.1 Regularidade do Funcional I . . . p. 183 B.2.2 Diferenciabilidade do Funcional φ . . . p. 191 Apêndice C -- Motivação de solução fraca para o sistema (S) p. 201 Apêndice D -- Alguns resultados de Teoria dos pontos Críticos p. 203
Apêndice E -- Princípio do Máximo Forte p. 206
E.1 Uma aplicação do Teorema E.2 . . . p. 207 Apêndice F -- Continuidade da função Nível do Passo da Montanha p. 210
1
Introdução
Neste trabalho, apresentamos os resultados obtidos por (ALVES, 2007) e (ALVES; FI-GUEIREDO; FURTADO, 2009) de existência e multiplicidade de soluções positivas para a
seguinte classe de sistemas elípticos −2∆u + W (x)u = Q u(u, v) em RN, −2∆v + V (x)v = Q v(u, v)em RN,
u, v ∈ H1(RN), u(x), v(x) > 0 para cada x ∈ RN,
(S)
onde ∆u = div(∇u) é o operador Laplaciano, > 0 é um parâmetro, N ≥ 3 e as funções W, V : RN
→ R são Hölder contínuas satisfazendo algumas hipóteses que serão apresentadas ao londo da dissertação. A função Q é uma função real de classe C2 definida no conjunto R2
+ := [0, ∞) × [0, ∞) e satisfaz: (Q1) (p-homogeneidade) Existe p ∈ (2, 2∗) tal que
Q(rs, rt) = rpQ(s, t)para todo r > 0 e (s, t) ∈ R2+ := [0, ∞) × [0, ∞). (Q2) (Crescimento subcrítico) Existe c1 > 0 tal que
|Qs(s, t)| + |Qt(s, t)| ≤ c1(sp−1+ tp−1) para todo (s, t) ∈ R2+,
onde Qs(s, t)e Qt(s, t)denotam respectivamente as derivadas parciais em relação a s e t da função Q no ponto (s, t).
(Q3) Qs(0, 1) = 0 e Qt(1, 0) = 0. (Q4) Qs(1, 0) = 0 e Qt(0, 1) = 0. (Q5) Q(s, t) > 0 para todo s, t > 0.
Com o propósito de estudar o sistema (S), usaremos os métodos variacionais para encontrar pontos críticos para o funcional energia associado a (S).
Diversos estudos tem dado ênfase à existência de solução de energia finita da equação não-linear de Schrödinger
i∂Ψ ∂t = −
2∆Ψ + V (x) + EΨ − f (Ψ), para todo x ∈ RN, (NLS) onde > 0, E ∈ R, f(s) = |s|q−2s e 2 < q < 2∗ = 2N
N −2. As soluções de (NLS), chamadas de ondas estacionárias ou standing waves, são da forma
Ψ(x, t) = exp −iEt h
!
u(x), (1.1)
onde u : RN → R é solução da equação
−2∆u + V (x)u = |u|p−2u, RN. (P) A importância da equação (NLS) é justificada pela sua aplicabilidade no estudo de diver-sas áreas do conhencimento tais como Física e Biologia. Por exemplo, em Física, surge em problemas envolvendo óptica não-linear, física dos plasmas e física da matéria condensada e Física Quântica. Em Biologia, quando V ≡ c para alguma constante positiva, o pro-blema (P) é originário do estudo de formações de padrões de difusão em vários modelos biólogicos, para citar: o movimento orientado de células em reação química em seu meio ambiente, chamado Chemotaxis ( ver o problema proposto por Keller e Segel (KELLER; SEGEL, 1970)).
A relação entre as características geométricas dos potenciais e a existência de soluções para o problema (P) tem sido extensivamente estudada na literatura. Por exemplo, em (FLOER; WEINSTEIN, 1986), foi provado que a equação não-linear de Schrödinger com o
potencial V e a não-linearidade cúbica ihΨt= −
h2
2m∆Ψ + V (x)Ψ − γ|ϕ|
2Ψ, para todo x ∈ RN (1.2) onde V é limitado, h, γ > 0, e h é suficientemente pequeno, tem soluções de ondas estaci-onárias concentradas perto de cada ponto crítico não degenerado de V. O artigo (FLOER; WEINSTEIN, 1986) foi generalizado por (OH, 1988) e (YONG-GEUN, 1989), que obtiveram
resultados similares para ihΨt = −
h2
2m∆Ψ + V (x)Ψ − γ|Ψ| p−1
onde 1 < p < N + 2 N − 2.
Um dos primeiros trabalhos a lidar com o problema (P) via métodos variacionais foi (RABINOWITZ, 1992). Entre outros resultados, Rabinowitz mostrou a existência de
uma solução positiva assumindo que o potencial é limitado inferiormente no RN por uma constante positiva V0 e limitado no infinito, isto é,
0 < V0 := inf
x∈RNV (x) < lim inf|x|→+∞V (x). (R)
Posteriormente, (WANG et al., 1993) mostraram que as soluções de (P) encontradas
em (RABINOWITZ, 1992) se concentram ao redor dos pontos de mínimo global de V
quando tende a zero. Neste momento, vale ressaltar que, neste trabalho, não estudamos tal fenômeno. No entanto, o estudo feito ao longo da dissertação poderia resultar nos resultados de concentração considerados por (ALVES; SOARES, 2006).
Em (PINO; FELMER, 1996), os autores generalizaram (RABINOWITZ, 1992) e (WANG et al., 1993) considerando a condição local sobre o potencial V
inf
ξ∈ΛV (ξ) < minξ∈∂ΛV (ξ), (DF) para algum conjunto Λ ⊂ RN aberto e limitado. Essa condição impõe que o potencial verifique (R) apenas em um conjunto aberto e limitado, o que amplia a quantidade de funções que podem ser consideradas como potenciais. Del Pino e Felmer, estabeleceram a existência de solução positiva para (P) que se concentram ao redor do mínimo local de V. Para isso, eles introduziram um método, conhecido por método de penalização, que consiste em modificar a não-linearidade a fim de que o funcional associado ao problema com não-linearidade modificada satisfaça a condição de Palais-Smale.
No artigo (CINGOLANI; LAZZO, 1997), as autoras exploraram a geometria do
poten-cial V para obter multiplicidade de soluções para (P). Usando a Teoria de Categoria de Lusternik-Schnirelman e assumindo a condição (R), elas relacionaram o número de soluções positivas com a topologia do conjunto onde o potencial atinge seus valores de mínimo.
Em (WANG; ZENG, 1997), os autores estudaram o problema (P) considerando a função
de energia mínima d(ξ), definida como a menor energia do funcional associado a
−2∆u + V (ξ)u = W (ξ)|u|p−2u em RN, (Pξ) onde ξ ∈ RN atua como um parâmetro em vez de uma variável independente. Sob
hipóte-ses adequadas sobre os potenciais V e W, a função ξ 7→ d(ξ) atinge seu mínimo global em um ponto y∗
∈ RN. Além disso, mostraram que para todo > 0 suficientemente pequeno, existe uma solução u cujo ponto de máximo global se move em direção a y∗ quando → 0. Outros resultados concernentes a equação escalar (P) podem ser encontrados em (AMBROSETTI; BADIALE; CINGOLANI, 1997), (ALVES; SOUTO, 2002), (ALVES; SOUTO et al., 2001), (NOUSSAIR; WEI, 1997) e (NOUSSAIR; WEI, 1998) e suas referências.
Em meio a diversos estudos sobre a equação (P), uma das perguntas naturais foi se valem os mesmos resultados para sistemas do tipo gradiente. Em (ALVES; SOARES, 2006),
Alves respondeu positivamente essa questão extendendo alguns resultados de existência e concentração para uma classe de sistemas elípticos (S), quando V, W : RN → R satisfazem
(H0) Existe α0 > 0 tal que V (x), W (x) ≥ α0 > 0 ∀x ∈ RN. (R1) V∞= lim inf |x|→+∞V (x) > infx∈RNV (x) = V0, W∞ = lim inf |x|→+∞W (x) > infx∈RNW (x) = W0.
Para tanto, foi feito o estudo do caso autônomo, como feito em (WANG; ZENG, 1997), e
mostrado que para > 0 suficientemente pequeno, o problema −2∆u + W (ξ)u = Q u(u, v) em RN, −2∆v + V (ξ)v = Q v(u, v)em RN, u(x), v(x) → 0 quando |x| → +∞,
u, v ∈ H1(RN), u(x), v(x) > 0 para cada x ∈ RN,
(Sξ)
com ξ ∈ RN, possui uma solução de energia mínima (u
, v). Foi mostrado também que u e v possuem pontos de máximo global p e q respectivamente, que para alguma subsequência convergem, quando → 0, para y∗, onde
d(y∗) = inf ξ∈RNd(ξ).
Motivado por (PINO; FELMER, 1996) e (ALVES; SOARES, 2006), (ALVES, 2007) mostrou
os mesmos resultados considerando os potenciais W e V Hölder contínuos verificando (H1) W (x), V (x) ≥ ρ0, para cada x ∈ ∂Λ.
(H3) W (x) ≥ W (x0) > 0, V (x) ≥ V (x0) > 0, para cada x ∈ RN.
Seguindo as ideias de (PINO; FELMER, 1996) foi desenvolvido um método de penalização
para o funcional energia associado a (S).
Outros resultados envolvendo sistemas elípticos estão em (ALVES, 2008), (ALVES; SOARES, 2006), (ALVES; SOARES; YANGT, 2003), (ÁVILA; YANG, 2003), (ÁVILA; YANG,
2006),(WAN; ÁVILA, 2007), (FIGUEIREDO; FURTADO, 2008) e (BOCCARDO; FIGUEIREDO,
2002).
Feita essa revisão bibliográfica, é natural se perguntar se é possível obter resultados de multiplicidade para sistemas do tipo (S) análogos aos obtidos para a equação escalar. (ALVES; FIGUEIREDO; FURTADO, 2009) mostrou que a resposta é postiva para essa questão.
Este artigo complementou os resultados de existência e concentração de soluções de (S) obtidos em (ALVES, 2007), (ALVES; SOARES, 2006) e extendeu o primeiro resultado em
(FIGUEIREDO; FURTADO, 2008). Sua importância também se deve ao fato de que ele
foi um dos primeiros trabalhos a usar o Método de Penalização junto com a Teoria de Ljusternik-Schnirelmann para obter multiplicidade de soluções para sistemas gradientes.
A presente dissertação está organizada da seguinte forma:
No Capítulo 2, baseado em (ALVES; SOARES, 2006), mostramos a existência de solução
positiva para o sistema
−∆u + µu = Qu(u, v) em RN, −∆v + θv = Qv(u, v)em RN, u(x), v(x) → 0 quando |x| → +∞,
u, v ∈ H1(RN), u(x), v(x) > 0 para cada x ∈ RN,
(Sµ,θ)
onde µ e θ são parâmetros positivos e a não linearidade Q satisfaz as condições (Q1)-(Q6). Para tanto, fazemos uso dos Métodos Variacionais para associar um funcional ao sistema (Sµ,θ), verificamos que este funcional tem as condições geométricas do célebre Teorema do Passo da Montanha, caracterizamos o nível do passo da montanha como o ínfimo sobre a variedade de Nehari, mostramos que o funcional satisfaz a condição de Palais-Smale e concluímos que o sistema (Sµ,θ) tem solução fraca não-trivial e não-negativa. Fazemos uso de um argumento do tipo bootstrap para mostrar que a solução fraca encontrada é uma solução clássica e do princípio do máximo forte, encontrado em (LAWRENCE, 2010), para
mostrar a positividade desta solução. A importância desse estudo reside no fato de que através dele obtemos informações precisas sobre os resultados encontrados para o sistema (S).
O principal resultado desse capítulo é o seguinte:
Teorema 1.1. Suponha (Q1)-(Q6), então o problema (Sµ,θ) possui uma solução de energia mínima não-negativa.
Vale ressaltar, como comentado no parágrafo anterior, que mostramos a positividade da solução não-negativa do Teorema 1.1.
No Capítulo 3, usando como texto base o trabalho (ALVES; FIGUEIREDO; FURTADO,
2009), mostramos existência e multiplicidade de soluções para o sistema (S). Inicial-mente, usamos o método de penalização introduzido por (ALVES, 2007) e mostramos que
o funcional associado ao problema auxiliar satisfaz as condições geométricas do Teorema do Passo da Montanha e a condição de Palais-Smale. Estudamos propriedades referen-tes à Variedade de Nehari por meio das quais concluímos que o funcional restrito a esse conjunto satisfaz a condição de Palais-Smale e que os pontos críticos da restrição do fun-cional também são pontos críticos do funfun-cional considerado sobre todo, obtendo assim, soluções fracas para o problema auxiliar. Num segundo momento, invocamos a teoria de Lusternik-Schnirelman para obter multiplicidade de soluções para o problema auxiliar. Por fim, provamos que, para > 0 suficientemente pequeno, as soluções encontradas para o problema auxiliar são soluções do problema original.
Antes de Enunciar os Teoremas principais do Capítulo 3, definimos o conjunto M = x ∈ RN : C(x) = inf ξ∈RNC(ξ) ,
onde C é a função nível do passo da montanha. A partir do conjunto M, dado δ > 0, definimos
Mδ = n
x ∈ RN : dist(x, M ) ≤ δo.
Teorema 1.2. Para qualquer δ > 0 verificando Mδ ⊂ Λ, existe δ > 0 tal que, para qualquer ∈ (0, δ), o sistema (S) tem pelo menos catMδ(M ) soluções.
Teorema 1.3. Para qualquer δ > 0 verificando Mδ ⊂ Λ, existe δ > 0 tal que, para qualquer ∈ (0, δ), o sistema (S) tem pelo menos catMδ(M ) soluções.
Uma das ferramentas essenciais para demonstrar o Teorema 1.2 é a Categoria de Lusternik-Schnirelman. Neste momento, faz-se apropriado recordar ao leitor que se A é um subconjunto fechado de um espaço topológico X, a categoria de Lusternik-Schnrelmann catX(A) é o menor número de fechados e contráteis em X que cobrem A.
No Apêndice A, apresentamos algumas definições e elencamos resultados de Análise Funcional, Teoria da Medida e Integração, Espaços de Sobolev e alguns resultados au-xiliares utilizados ao longo da dissertação. No Apêndice B, mostramos que o espaço X, munido da norma k k é um espaço de Hilbert e a regularidade do funcional associado ao sistema (S). O Apêndice C é dedicado a motivar a definição de solução fraca do Sistema (S). No Apêndice D apresentamos alguns resultados importantes da Teoria dos Pontos Críticos, tais como o Teorema do Passo da Montanha, o Princípio Variacional de Ekeland e o Teorema dos Multiplicadores de Lagrange. O Apêndice E contém o princípio do má-ximo forte, ferramenta indispensável para mostrar a positividade das soluções do sistema (S). No Apêndice F demonstramos que a função Nível do Passo da Montanha é contínua. Por fim, o Apêndice G é dedicado a apresentar algumas definições e resultados abstratos da Teoria de Categoria de Lusternik-Schnirelman.
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Existência de solução positiva para
uma classe de sistemas elípticos
Neste capítulo, baseado em (ALVES; SOARES, 2006), mostraremos a existência de uma
solução positiva para a seguinte classe de sistemas elípticos
−∆u + µu = Qu(u, v) em RN, −∆v + θv = Qv(u, v)em RN, u(x), v(x) → 0 quando |x| → +∞,
u, v ∈ H1(RN), u(x), v(x) > 0 para cada x ∈ RN,
(Sµ,θ)
onde µ e θ são parâmetros positivos e Q : R2
+ → R, com R2+ := [0, ∞) × [0, ∞) é uma função de classe C2, satisfazendo
(Q1) (p-homogeneidade) Existe p ∈ (2, 2∗) tal que
Q(rs, rt) = rpQ(s, t)para todo r > 0 e (s, t) ∈ R2+ := [0, ∞) × [0, ∞). (Q2) (Crescimento subcrítico) Existe c1 > 0 tal que
|Qs(s, t)| + |Qt(s, t)| ≤ c1(sp−1+ tp−1) para todo (s, t) ∈ R2+,
onde Qs(s, t)e Qt(s, t)denotam respectivamente as derivadas parciais em relação a s e t da função Q no ponto (s, t).
(Q3) Qs(0, 1) = 0 e Qt(1, 0) = 0. (Q4) Qs(1, 0) = 0 e Qt(0, 1) = 0. (Q5) Q(s, t) > 0 para todo s, t > 0
Como exemplo de função que verifica as condições (Q1)-(Q6), apresentamos a função Q : R2 → R dada por Q(s, t) = |s|α|t|β com α, β ≥ 1 e α + β = p
Faremos uso de Métodos Variacionais para associar um funcional, chamado funcional energia, ao sistema (Sµ,θ). Mostramos que este funcional verifica as geometrias do Teorema do Passo da Montanha, garantindo a existência de sequências de Palais-Smale, cujo limite fraco, pertencente ao espaço ambiente definido a frente, é ponto crítico do supracitado funcional. Se este ponto crítico é (0, 0), obtemos outra sequência de Palais-Smale cujo limite fraco é ponto crítico não-trivial para o funcional energia, isto é, as entradas do par são ambas diferentes de zero. Provamos que este ponto crítico tem energia mínima e as entradas são ambas não-negativas. Por meio de um argumento do tipo Bootstrap mostramos que este ponto crítico é uma solução clássica para o sistema (Sµ,θ) e, aplicando o Princípio do Máximo Forte, mostramos a positividade da solução.
De agora em diante, vamos denotar por Eµ,θ o espaço E = H1(RN) × H1(RN)munido da norma1 k(u, v)kµ,θ = Z RN (|∇u|2+ |∇v|2+ µ|u|2+ θ|v|2) 12 .
O funcional energia associado ao sistema (Sµ,θ) é dado por Iµ,θ : Eµ,θ → R (u, v) 7→ Iµ,θ(u, v) = 1 2 Z RN (|∇u|2+ |∇v|2+ µ|u|2+ θ|v|2) − Z RN Q(u, v).
No Corolário B.3, mostramos que Iµ,θ ∈ C1(Eµ,θ, R) com Iµ,θ0 (u, v)(ϕ, ψ) = Z RN (∇u∇ϕ + ∇v∇ψ) + Z RN µuϕ + Z RN θvψ − Z RN Qu(u, v)ϕ + Qv(u, v)ψ.
No que segue, um par (u, v) ∈ Eµ,θ é uma solução fraca2 do sistema (Sµ,θ) se Z RN (∇u∇ϕ + ∇v∇ψ) + Z RN µuϕ + Z RN θvψ = Z RN Qu(u, v)ϕ + Qv(u, v)ψ, para todo (φ, ψ) ∈ Eµ,θ. Dessa forma, pontos críticos de Iµ,θ são, precisamente, soluções fracas de (Sµ,θ).
No resultado principal, mostraremos que as soluções encontradas para (Sµ,θ) possuem a propriedade descrita na próxima definição:
1Ver Corolário B.1. 2Ver Apêndice C.
Definicão 2.1. Uma solução (u, v) de(Sµ,θ) é dita uma solução de energia mínima quando Iµ,θ(u, v) ≤ Iµ,θ(φ, ψ),
qualquer que seja (φ, ψ) solução não-trivial de (Sµ,θ). O principal resultado deste capítulo é o seguinte:
Teorema 2.1. Suponha (Q1)-(Q6), então o problema (Sµ,θ) possui uma solução de energia mínima não-negativa.
Desde que estamos interessados em soluções positivas, vamos estender a função Q para todo R2 considerando Q(s, t) = 0 se s ≤ 0 ou t ≤ 0. Usaremos a notação
Z RN
u em vez de Z
RN
u(x)dx. A seguir, mostraremos duas relações importantes sobre a função Q que serão usadas ao longo do trabalho. Essas propriedades decorrem da homogeneidade dessa função.
Lema 2.1. Para cada (s, t) ∈ R2, temos
pQ(s, t) = sQs(s, t) + tQt(s, t) (2.1) e
p(p − 1)Q(s, t) = s2Qss(s, t) + t2Qtt(s, t) + 2stQst(s, t) (2.2) Demonstração. Dado (s, t) ∈ R2, defina g : [0, +∞) −→ R dada por
g(λ) = Q(λs, λt) − λpQ(s, t).
Por (Q1), note que g(λ) = 0 para todo λ ∈ [0, +∞). Portanto, g
0
(λ) = 0. Pela regra da cadeia,
0 = g0(λ) = Qs(λs, λt)s + Qt(λs, λt)t − pλp−1Q(s, t). Fazendo λ = 1 obtemos a expressão (2.1). Para mostrar (2.2), note que g00
(λ) = 0. Por outro lado,
g00(λ) = [Qss(λs, λt)s + Qst(λs, λt)t]s + [Qts(λs, λt)s + Qtt(λs, λt)t]t − p(p − 1)λp−2Q(s, t).
Mais uma vez fazendo λ = 1, obtemos (2.2).
A partir da hipótese (Q2) é possível mostrar o crescimento subcrítico da função Q, que é o objetivo do lema a seguir.
Lema 2.2. Existe C∗ > 0 tal que
|Q(s, t)| ≤ C∗(|s|p+ |t|p), ∀(s, t) ∈ R2.
Demonstração. Dado (s, t) ∈ R2 se s ≤ 0 ou t ≤ 0 não há o que fazer, pois Q(s, t) = 0. Suponha que s, t ≥ 0. Da condição (Q2), segue que
|Qs(s, t)| ≤ c1(sp−1+ tp−1) e |Qt(s, t)| ≤ c1(sp−1+ tp−1). Pelo Teorema Fundamental do Cálculo,
Z s 0 |Qs(l, t)|dl = |Q(s, t)| − |Q(0, t)| e Z t 0 |Qt(s, l)|dl = |Q(s, t)| − |Q(s, 0)|. (2.3) Usando a condição (Q1), Q(0, t) = tpQ(0, 1)e Q(s, 0) = spQ(1, 0). Por (2.1) e (Q4), temos Q(0, 1) = 0.Qs(0, 1) + 1.Qt(0, 1) p = Qt(0, 1) p = 0
Analogamente, tem-se Q(1, 0) = 0. Logo, (2.3) pode ser reescrita como Z s 0 |Qs(l, t)|dl = |Q(s, t)|e Z t 0 |Qt(s, l)|dl = |Q(s, t)|.
Por outro lado, Z s 0 c1(lp−1+ tp−1)dl = c1 sp p + st p−1 ≤ c1(sp+ stp−1) e Z t 0 c1(sp−1+ lp−1)dl = c1 sp−1t + t p p ≤ c1(sp−1t + tp). Portanto, |Q(s, t)| ≤ c1(sp+ stp−1)e |Q(s, t)| ≤ c1(tsp−1+ tp). Consequentemente, |Q(s, t)| ≤ c1 2(s p+ stp−1+ tsp−1+ tp) = c1 2(s p−1+ tp−1)(s + t). Agora, como sp−1 ≤ (s + t)p−1 e tp−1≤ (s + t)p−1,
obtemos sp−1+ tp−1 ≤ 2(s + t)p−1, isto é, c1 2(s p−1+ tp−1) ≤ c 1(s + t)p−1, o que implica |Q(s, t)| ≤ c1(s + t)p−1(s + t) ≤ c12p(sp + tp),
e o lema está provado, basta tomar C∗ = 2pc 1.
2.1
Geometrias do Passo da Montanha
A seguir, mostraremos que o funcional Iµ,θ satisfaz as duas geometrias do Teorema do Passo da Montanha (ver Apêndice D).
Teorema 2.2. O funcional Iµ,θ verifica as duas geometrias do Teorema do Passo da Montanha, ou seja,
(i) Existem constantes ρ, η > 0, tais que Iµ,θ(u, v) ≥ η, se ||(u, v)||µ,θ = ρ. (ii) Existe e ∈ Eµ,θ com kekµ,θ > ρ verificando Iµ,θ(e) < 0.
Demonstração. (i)Desde que µ e θ são positivos e Iµ,θ(u, v) = 1 2 Z RN (|∇u|2+ |∇v|2+ µ|u|2+ θ|v|2) − Z RN Q(u, v),
usando o Lema 2.2, obtemos Iµ,θ(u, v) ≥ 1 2k(u, v)k 2 µ,θ− C ∗ Z RN (up+ vp). (2.4)
Como p ∈ (2, 2∗), vale a imersão contínua
H1(RN) ,→ Lp(RN), o que implica que existe C1 > 0 tal que
Iµ,θ(u, v) ≥ 1
2k(u, v)k 2
µ,θ− C1k(u, v)kp.
Desde que as normas k k e k kµ,θ são equivalentes (ver Lema B.1), existe C2 > 0 tal que Iµ,θ(u, v) ≥
1
2k(u, v)k 2
Note que 1 2k(u, v)k 2 µ,θ− C2k(u, v)k p µ,θ > 0 ⇔ 1 2C2 > k(u, v)kp−2µ,θ ⇔ 1 2C2 p−21 > k(u, v)kµ,θ. Se ρ < 1 2C2 p−21
, então para todo (u, v) ∈ Eµ,θ com k(u, v)kµ,θ = ρ, temos Iµ,θ(u, v) ≥ 1 2k(u, v)k 2 µ,θ− C2k(u, v)kpµ,θ = 1 2ρ 2− C 2ρp > η > 0, onde η = 1 2 1 2ρ 2− C 2ρp
. Portanto, a primeira geometria está demonstrada.
(ii) Sejam φ, ψ ∈ C0∞(RN)\{0} com φ, ψ > 0 e t > 0. Usando a p-homogeneidade de Q, obtemos Iµ,θ(tφ, tψ) = 1 2 Z RN (|∇tφ|2+ |∇tψ|2+ µ|tφ|2+ θ|tψ|2) − Z RN Q(tφ, tψ) = t 2 2 Z RN (|∇φ|2 + |∇ψ|2+ µ|φ|2+ θ|ψ|2) − tp Z RN Q(φ, ψ) = t 2 2k(φ, ψ)k 2 µ,θ − t p Z RN Q(φ, ψ) = t p 2 k(φ, ψ)k2 µ,θ tp−2 − 2 Z RN Q(φ, ψ) .
Utilizando a hipótese (Q5) e o fato de que p > 2, lim t→+∞Iµ,θ(tφ, tψ) = limt→+∞ tp 2 k(φ, ψ)k2 µ,θ tp−2 − 2 Z RN Q(φ, ψ) = −∞.
Consequentemente, existe t0 > 0 tal que (t0φ, t0ψ) ∈ Eµ,θ e Iµ,θ(t0φ, t0ψ) < 0. Para obter a segunda geometria, basta escolher e = t0φ, t0ψ.
2.2
Caracterização do Nível do Passo da Montanha
De acordo com o Teorema 2.2, podemos aplicar uma versão do Teorema do Passo da Montanha sem a condição (P S) (ver Teorema D.1) para encontrar uma sequência (un, vn) ⊂ Eµ,θ verificando
Iµ,θ(un, vn) → dµ,θ e I
0
onde dµ,θ é o nível do passo da montanha definido da seguinte maneira: dµ,θ := inf γ∈Γµ,θ max t∈[0,1]Iµ,θ(γ(t)), com Γµ,θ := {γ ∈ C([0, 1], Eµ,θ); γ(0) = 0, Iµ,θ(γ(1)) < 0}.
Ao longo do trabalho, faremos uso da caracterização do nível do passo da montanha dµ,θ como sendo o mínimo do funcional energia sobre a Variedade de Nehari associada ao funcional Iµ,θ a qual é definida como segue:
Mµ,θ = n (u, v) ∈ Eµ,θ\{(0, 0)} : I 0 µ,θ(u, v)(u, v) = 0 o .
Neste momento, é oportuno ressaltar que a hipótese (Q2) é fundamental para demonstrar tal fato. As ideias contidas em (SILVA, 2016) e (SANTOS, 2019) foram aplicadas nesta
subseção.
Lema 2.3. Se (u, v) ∈ Mµ,θ, então Z
RN
Q(u, v) > 0.
Demonstração. Inicialmente, observe que, como (u, v) ∈ Mµ,θ, k(u, v)k2
µ,θ = Z
RN
uQu(u, v) + vQv(u, v).
Desde que (u, v) 6= (0, 0), segue que k(u, v)kµ,θ > 0. Então, por (2.1), obtemos 0 < k(u, v)k2µ,θ =
Z RN
pQ(u, v),
de onde segue que
Z RN
Q(u, v) > 0, mostrando o lema.
Antes da caracterização do nível do passo da montanha, demonstramos o seguinte Lema 2.4. Para cada (u, v) ∈ Eµ,θ\{(0, 0)}, existe um único t(u,v) ∈ (0, +∞) tal que t(u,v)(u, v) ∈ Mµ,θ. Além disso,
Iµ,θ(t(u,v)(u, v)) = max
t≥0 Iµ,θ(t(u, v)).
Demonstração. Vamos dividir a demonstração em duas partes:
Existência Seja (u, v) ∈ Mµ,θ\{(0, 0)} e defina a função g : [0, ∞) → R por g(t) = Iµ,θ(tu, tv). Então g
0
Teorema 2.2, Iµ,θ(tu, tv) = 1 2 Z RN (|∇tu|2+ |∇tv|2+ µ|tu|2+ θ|tv|2) − Z RN Q(tu, tv) = 1 2t 2k(u, v)k2 µ,θ − t p Z RN Q(u, v) ≥ 1 2t 2k(u, v)k2 µ,θ − C ∗ tp Z RN (up+ vp) ≥ 1 2t 2k(u, v)k2 µ,θ − C1tpk(u, v)kp ≥ 1 2t 2k(u, v)k2 µ,θ − C2Ktpk(u, v)k p µ,θ. Desde que p > 2, 1 2t 2k(u, v)k2 µ,θ− C ∗ Kptpk(u, v)kpµ,θ > 0 ⇔ 1 2C∗Kpk(u, v)kp−2 µ,θ > tp−2 ⇔ 1 2C∗Kpk(u, v)kp−2 µ,θ !p−21 > t. Logo, para t < 1 2C∗Kpk(u, v)kp−2 µ,θ !p−21 , temos g(t) > 0. (2.5)
Argumentando como em (ii) do Teorema 2.2, g(t) = Iµ,θ(tu, tv) = 1 2 Z RN (|∇tu|2+ |∇tv|2+ µ|tu|2+ θ|tv|2) − Z RN Q(tu, tv) = t 2 2 Z RN (|∇u|2+ |∇v|2+ µ|u|2+ θ|v|2) − tp Z RN Q(u, v) = t 2 2k(u, v)k 2 µ,θ − t p Z RN Q(u, v) = t p 2 k(u, v)k2 µ,θ tp−2 − 2 Z RN Q(u, v) , implicando em g(t) → −∞, quando t → +∞, (2.6)
pois, pelo Lema 2.3, Z RN
Q(u, v) > 0. Por fim, note que
g(0) = Iµ,θ(0, 0) = 0 (2.7)
atinge pelo menos um máximo t(u,v) ∈ [0, +∞). Assim, g(t(u,v)) = max
t≥0 g(t), isto é, Iµ,θ(t(u,v)u, t(u,v)v) = max
t≥0 Iµ,θ(tu, tv).
Além disso, por definição, temos que t(u,v) é ponto crítico de g. Portanto, g0(t(u,v)) = 0 ⇒ I
0
µ,θ(t(u,v)u, t(u,v)v) = 0 ⇒ Iµ,θ0 (t(u,v)u, t(u,v)v)(u, v) = 0
⇒ Iµ,θ0 (t(u,v)u, t(u,v)v)(t(u,v)u, t(u,v)v) = 0 ⇒ (t(u,v)u, t(u,v)v) ∈ Mµ,θ.
Unicidade. Primeiramente, observe que se (u, v) ∈ Mµ,θ, então u+ = max{u, 0} 6= 0 e v+ = max{v, 0} 6= 0. De fato, caso contrário, teríamos u = u− e v = v−. Desde que (u, v) ∈ Mµ,θ, por (Q5) k(u−, v−)k2 µ,θ = Z [u<0]∩[v<0] u−Qu(u−, v−) + v−Qv(u−, v−) = 0.
Portanto, (u−, v−) = (0, 0), o que implica u = v = 0. Contradição, pois (u, v) ∈ M µ,θ. Suponha, por contradição, que existem t1, t2 > 0 com t1 6= t2 tais que
t1(u, v), t2(u, v) ∈ Mµ,θ, ou seja, Iµ,θ0 (t1(u, v))t1(u, v) = 0 e I 0 µ,θ(t2(u, v))t1(u, v) = 0. o que implica t21k(u, v)k2 µ,θ = Z [u>0]∩[v>0] t1uQu(t1u, t1v) + t1vQv(t1u, t1v) e t22k(u, v)k2 µ,θ = Z [u>0]∩[v>0] t2uQu(t2u, t2v) + t2vQv(t2u, t2v), então k(u, v)k2 µ,θ = Z [u>0]∩[v>0] uQu(t1u, t1v) t1 + vQv(t1u, t1v) t1 e k(u, v)k2µ,θ = Z [u>0]∩[v>0] uQu(t2u, t2v) t2 +vQv(t2u, t2v) t2 .
Subtraindo membro a membro das igualdades acima, obtemos 0 = Z [u>0]∩[v>0] uQu(t1u, t1v) t1 − uQu(t2u, t2v) t2 + Z [u>0]∩[v>0] vQv(t1u, t1v) t1 − vQv(t2u, t2v) t2 .
Sendo Q uma função p-homogênea, Qu e Qv são p − 1-homogênea. Então, Qu(tu, tv) t = t p−2Q u(u, v)e Qv(tu, tv) t = t p−2Q v(u, v), que são funções crescentes em t, pois p > 2. Consequentemente,
0 = Z [u>0]∩[v>0] uQu(u, v) tp−21 − t p−2 2 + Z [u>0]∩[v>0] vQv(u, v) tp−21 − t p−2 2 .
Sem perda de generalidade, vamos assumir que t1 < t2. Logo, o lado direito da igualdade acima é negativo, de onde segue que 0 < 0, uma contradição. De modo inteiramente análogo chegaríamos a uma contradição supondo t1 > t2. Portanto, temos que ter t1 = t2. Denote por ˜ dµ,θ = inf (u,v)∈Mµ,θ Iµ,θ(u, v) e dµ,θ = inf (u,v)∈Eµ,θ\{(0,0)} max t≥0 Iµ,θ(tu, tv).
O próximo resultado é a caracterização do nível do passo da montanha que relaciona dµ,θ, ˜
dµ,θ e dµ,θ. Lema 2.5.
dµ,θ = ˜dµ,θ = dµ,θ.
Demonstração. Inicialmente, mostraremos que dµ,θ = ˜dµ,θ. Pelo lema precedente, dado (u, v) ∈ Eµ,θ\{(0, 0)}, existe um único t(u,v) > 0 tal que
t(u,v)(u, v) ∈ Mµ,θ e Iµ,θ(t(u,v)(u, v)) = max
t≥0 Iµ,θ(t(u, v)). Note que
max
t≥0 Iµ,θ(t(u, v)) = Iµ,θ(t(u,v)(u, v)) ≥ (u,v)∈Minf µ,θ
Iµ,θ(u, v) = ˜dµ,θ.
Aplicando a definição de ínfimo, dµ,θ = inf
(u,v)∈Eµ,θ\{(0,0)}
max
Por outro lado, para todo (u, v) ∈ Mµ,θ, dµ,θ ≤ max
t≥0 Iµ,θ(t(u, v)) = Iµ,θ(t(u,v)(u, v)). Mas, para (u, v) ∈ Mµ,θ temos que t(u,v) = 1, o que implica
dµ,θ ≤ Iµ,θ(u, v), ∀ (u, v) ∈ Mµ,θ, de onde segue dµ,θ ≤ inf (u,v)∈Mµ,θ Iµ,θ(u, v) = ˜dµ,θ. (2.9) De (2.8) e (2.9), dµ,θ = ˜dµ,θ.
Na sequência, mostraremos que dµ,θ ≤ dµ,θ.Para tanto, observe que pelo ítem (ii) do Teorema 2.2, existe t0 suficientemente grande tal que
Iµ,θ(t0(u, v)) < 0, ∀ (u, v) ∈ Eµ,θ\{(0, 0)}.
Definindo γ1 : [0, 1] → Eµ,θ por γ1(t) = tt0(u, v),segue que
γ1(0) = 0 e Iµ,θ(γ1(1)) = Iµ,θ(t0(u, v)) < 0.
Logo, γ1 ∈ Γµ,θ e, pela definição de dµ,θ, dµ,θ = inf
γ∈Γt∈[0,1]maxIµ,θ(γ(t)) ≤ t∈[0,1]maxIµ,θ(γ1(t)) = maxt∈[0,1]Iµ,θ(tt0(u, v)). Mas,
max
t∈[0,1]Iµ,θ(tt0(u, v)) ≤ maxt≥0 Iµ,θ(t(u, v)), ∀ (u, v) ∈ Eµ,θ\{(0, 0)}. Portanto,
dµ,θ ≤ inf (u,v)∈Eµ,θ\{(0,0)}
max
t≥0 Iµ,θ(t(u, v)) = dµ,θ.
Para concluir, resta provarmos que ˜dµ,θ ≤ dµ,θ. Para este fim, vamos considerar γ ∈ Γµ,θ arbitrária e definir os seguintes conjuntos:
M+ µ,θ = {(u, v) ∈ Eµ,θ\{(0, 0)}; I 0 µ,θ(u, v)(u, v) > 0} e M−µ,θ = {(u, v) ∈ Eµ,θ\{(0, 0)}; I 0 µ,θ(u, v)(u, v) < 0}.
A idéia é mostrar que existem t0 e t2 pertencentes ao intervalo [0, 1] tais que γ(t0) ∈ M+µ,θ e γ(t2) ∈ M−µ,θ, a fim de poder usar o Teorema da Alfândega (ver Teorema A.3).
Afirmação 2.1. Existe δ∗ > 0 tal que Bδ∗(0, 0)\{(0, 0)} ⊂ M
+ µ,θ. De fato, dado (u, v) ∈ Eµ,θ,por (2.1) segue que
Iµ,θ0 (u, v)(u, v) = Z RN |∇u|2+ |∇v|2+ µ|u|2+ θ|v|2 − Z RN uQu(u, v) + vQv(u, v) = k(u, v)k2µ,θ− p Z RN Q(u, v).
Agora, usando os mesmos argumentos do ítem (i) do Teorema 2.2 Iµ,θ0 (u, v)(u, v) ≥ k(u, v)k2µ,θ− pC∗Kpk(u, v)kpµ,θ.
Por outro lado, k(u, v)k2 µ,θ− pC ∗ Kpk(u, v)kpµ,θ > 0 ⇔ 1 k(u, v)kp−2µ,θ > pC ∗ Kp ⇔ k(u, v)kµ,θ < 1 pC∗Kp 1/(p−2) . Definindo δ∗ = 1 pC∗Kp 1/(p−2) , temos que I0 µ,θ(u, v)(u, v) > 0 em Bδ∗(0, 0)\{(0, 0)}, mostrando a afirmação.
Segue da continuidade de γ no ponto 0, existe δ > 0 tal que t < δ ⇒ kγ(t) − γ(0)kµ,θ < δ∗.
Como γ(0) = (0, 0), kγ(t)kµ,θ < δ∗ para t < δ. Consequentemente, existe t0 próximo de 0 tal que γ(t0) ∈ Bδ∗(0, 0)\{(0, 0)} ⊂ M
+ µ,θ. Agora, note que γ(1) ∈ M−
µ,θ, caso contrário Iµ,θ(γ(1)) ≥ Iµ,θ(γ(1)) − 1 pI 0 µ,θ(γ(1))(γ(1)).
Dessa forma, escrevendo γ(1) = (u0
, v0)e usando a condição (2.1), Iµ,θ(γ(1)) ≥ 1 2 − 1 p kγ(1)k2 µ,θ+ 1 p Z RN u0Qu(γ(1)) + v 0 Qv(γ(1)) − pQ(γ(1)) = 1 2 − 1 p kγ(1)k2 µ,θ+ 1 p Z RN pQ(γ(1)) − pQ(γ(1)) = 1 2 − 1 p kγ(1)k2 µ,θ ≥ 0. (2.10)
Portanto,
Iµ,θ(γ(1)) ≥ 0,
o que é um absurdo, pois γ ∈ Γµ,θ. Daí, concluímos que γ(1) ∈ M−µ,θ.Como [0, 1] é conexo e γ é contínua, pelo Teorema A.4, temos que γ([0, 1]) é um conjunto conexo. Pelo Teorema A.3, existe t1 ∈ [0, 1] tal que γ(t1) ∈ ∂M+µ,θ. Desde que ∂M
+
µ,θ = ∂M −
µ,θ = Mµ,θ,
γ(t1) ∈ Mµ,θ∩ γ([0, 1]).
Portanto, dado γ ∈ Γµ,θ, existe t1 ∈ [0, 1] tal que γ(t1) ∈ Mµ,θ, que implica ˜ dµ,θ = inf (u,v)∈Mµ,θ Iµ,θ(u, v) ≤ Iµ,θ(γ(t1)) ≤ max t∈[0,1]Iµ,θ(γ(t)), ou seja, ˜ dµ,θ ≤ max t∈[0,1]Iµ,θ(γ(t)), ∀ γ ∈ Γµ,θ. Pela definição de ínfimo, segue que
˜
dµ,θ ≤ dµ,θ.
Assim, temos dµ,θ = ˜dµ,θ = dµ,θ.
2.3
A condição de Palais-Smale
Nesta seção, estabeleceremos algumas propriedades envolvendo as sequências de Palais-Smale de Iµ,θ.Para tanto, vamos recordar as seguintes definições.
Definicão 2.2. Sejam X um espaço de Banach, I ∈ C1(X, R) e d ∈ R. Dizemos que (un) ⊂ X é uma sequência de Palais-Smale no nível d para I, ou simplesmente, (un) é uma sequência (P S)d para I, quando,
I(un) → d e I
0
(un) → 0.
Definicão 2.3. Dizemos que o funcional I satisfaz a condição de Palais-Smale no nível d, ou simplesmente, I satisfaz a condição (P S)d, se toda sequência (P S)d admite uma subsequência convergente. Dizemos que I satisfaz a condição (P S) quando I satisfaz a condição (P S)d para todo d ∈ R.
A seguir, mostraremos a primeira propriedade das sequências (P S)d para Iµ,θ. Lema 2.6. Seja (un, vn)
n∈Numa sequência (P S)dpara Iµ,θ. Então, existe uma constante C > 0, independente de n, tal que
k(un, vn)kµ,θ ≤ C, ∀n ∈ N. Demonstração. Desde que Iµ,θ(un, vn) → d,existe c > 0 tal que
|Iµ,θ(un, vn)| ≤ c, ∀n ∈ N. (2.11) Pela definição da norma espectral,
|Iµ,θ0 (un, vn)(un, vn)| ≤ kI
0
µ,θ(un, vn)k∗k(un, vn)kµ,θ. Como kI0
µ,θ(un, vn)k∗ → 0, dado ξ > 0, existe n0 ∈ N tal que para todo n ≥ n0, kIµ,θ0 (un, vn)k∗ < ξ,
Por conseguinte,
|Iµ,θ0 (un, vn)(un, vn)| ≤ ξk(un, vn)kµ,θ, ∀n ≥ n0. (2.12) As desigualdades em (2.11) e (2.12) nos fornecem
Iµ,θ(un, vn) − 1 pI 0 µ,θ(un, vn)(un, vn) ≤ Iµ,θ(un, vn) − 1 pI 0 µ,θ(un, vn)(un, vn) ≤ |Iµ,θ(un, vn)| + 1 p|I 0 µ,θ(un, vn)(un, vn)| ≤ c + ξ pk(un, vn)kµ,θ, ∀n ≥ n0. (2.13) Por outro lado, usando a definição do funcional Iµ,θ e (2.1),
Iµ,θ(un, vn) − 1 pI 0 µ,θ(un, vn)(un, vn) = 1 2 − 1 p k(un, vn)k2µ,θ +1 p Z RN unQu(un, vn) + vnQv(un, vn) − pQ(un, vn) = 1 2 − 1 p k(un, vn)k2µ,θ. (2.14) Por (2.13) e (2.14) concluímos que
1 2 − 1 p k(un, vn)k2µ,θ ≤ c + ξ pk(un, vn)kµ,θ, ∀n ≥ n0. (2.15)
Desde que ξ pk(un, vn)kµ,θ ≤ ξ p + ξ pk(un, vn)k 2 µ,θ, temos 1 2 − 1 p k(un, vn)k2µ,θ ≤ c + ξ p + ξ pk(un, vn)k 2 µ,θ, ∀n ≥ n0, isto é, 1 2 − 1 p− ξ p k(un, vn)k2µ,θ ≤ c + ξ p, ∀n ≥ n0. Fixando ξ suficientemente pequeno para que
1 2 − 1 p− ξ p > 0, temos k(un, vn)k2µ,θ ≤ c + ξ p 1 2 − 1 p − ξ p −1 , ∀n ≥ n0. Definindo C := max " c + ξ p 1 2− 1 p− ξ p −1# 1 2 , k(u1, v1)kµ,θ, · · · , k(un0−1, vn0−1)kµ,θ > 0, concluímos que k(un, vn)kµ,θ ≤ C, ∀n ∈ N.
Desde que o espaço Eµ,θ é reflexivo (ver Corolário B.2), a limitação de uma sequência (un, vn)
n∈N (P S)d para Iµ,θ, provada no lema acima, nos permite concluir que existe (u, v) ∈ Eµ,θ tal que, a menos de subsequência,
(un, vn) * (u, v) em Eµ,θ. Nosso objetivo agora é mostrar o seguinte
Lema 2.7. Sejam (un, vn)
n∈N uma sequência em Eµ,θ tal que
(un, vn) * (u, v) em Eµ,θ. (2.16) então, a menos de subsequência,
(un(x), vn(x)) → (u(x), v(x)) q.t.p. em RN. (2.17) Demonstração. Seja R > 0 arbitrário e denote por BR a bola aberta de raio R centrada
na origem de RN. Primeiramente, observe que
(un, vn) * (u, v) em H1(BR) × H1(BR). (2.18) De fato, uma vez que a função identidade i : Eµ,θ → H1(BR)×H1(BR)é linear e contínua, vale a imersão contínua
Eµ,θ ,→ H1(BR) × H1(BR). Seja f ∈ H1(B
R) × H1(BR) 0
arbitrário. Então, o funcional f ◦ i : Eµ,θ → R é linear e contínuo, o que implica, da convergência fraca (2.16),
(f ◦ i)(un, vn) → (f ◦ i)(u, v),
de onde segue
f (un, vn) → f (u, v), mostrando (2.18).
Na sequência, consideramos inicialmente R = 1. Desde que a imersão H1(B1) ,→ Ls(B1) ∀s ∈ [1, 2∗)
é compacta, temos que a imersão
H1(B1) × H1(B1) ,→ Ls(B1) × Ls(B1) ∀s ∈ [1, 2∗)
também é compacta. Deste fato e de (2.18), obtemos, pelo Teorema A.10, (un, vn) → (u, v) em Ls(B1) × Ls(B1).
Pelo Teorema A.15, existe uma subsequência (u1n, v1n)
n∈N de (un, vn)
n∈N tal que (u1n(x), v1n(x)) → (u(x), v(x)) q.t.p. em B1.
Agora, segue da imersão contínua H1(B
2) × H1(B2) ,→ H1(B1) × H1(B1) e (2.18) que (u1n, v1n) * (u, v) em H1(B2) × H1(B2).
Usando convergência acima com a imersão compacta
juntamente com o Teorema A.10, concluímos que
(u1n, v1n) → (u, v) em Ls(B2) × Ls(B2).
Usando novamente o Teorema A.15, concluímos que existe uma subsequência (u2n, v2n) n∈N de (u1n, v1n) n∈N tal que (u2n(x), v2n(x)) → (u(x), v(x)) q.t.p. em B2.
Mais geralmente, continuando esse processo, dado k ∈ N, da convergência fraca (ukn, vkn) * (u, v) em H1(Bk) × H1(Bk)
e da imersão compacta
H1(Bk+1) × H1(Bk+1) ,→ Ls(Bk+1) × Ls(Bk+1), ∀s ∈ [1, 2∗),
obtemos, pelo Teorema A.10,
(ukn, vkn) → (u, v) em Ls(Bk+1) × Ls(Bk+1). Pelo Teorema A.15, existe uma subsequência
(u(k+1)n, v(k+1)n) n∈N de (ukn, vkn) n∈N (2.19) tal que (u(k+1)n(x), v(k+1)n(x)) → (u(x), v(x)) q.t.p. em Bk+1. Uma vez que podemos escrever RN = ∪
k∈NBk, dado x ∈ RN arbitrário, existe k0 ∈ N tal que x ∈ Bk0. Consequentemente,
(uk0n(x), vk0n(x)) → (u(x), v(x))
Considere a sequência diagonal (unn, vnn)
n∈N. Observe que, a menos de um número finito de termos, ela é subsequência de (uk0n, vk0n)
n∈N. De fato, os elementos (u11, v11), (u22, v22), ..., (u(k0−1)(k0−1), v(k0−1)(k0−1))
podem ser ou não termos da sequência (uk0n, vk0n)
n∈N, mas a partir de k0, todos os termos da sequência diagonal são termos de (uk0n, vk0n)
n∈N, pois (uk0k0, vk0k0) ∈(uk01, vk01), ..., (uk0n, vk0n), ... ,
(u(k0+1)(k0+1), v(k0+1)(k0+1)) ∈(u(k0+1)1, v(k0+1)1), ..., (u(k0+1)n, v(k0+1)n), ... e (u(k0+1)n, v(k0+1)n) n∈N ⊂ (uk0n, vk0n) n∈N, (u(k0+2)(k0+2), v(k0+2)(k0+2)) ∈(u(k0+2)1, v(k0+2)1), ..., (u(k0+2)n, v(k0+2)n), ... e (u(k0+2)n, v(k0+2)n) n∈N ⊂ (uk0n, vk0n)
n∈N,e assim por diante. Então, (unn(x), vnn(x)) → (u(x), v(x)).
Desde que x foi arbitrário, segue a convergência em (2.17).
O resultado seguinte se faz útil na prova da existência de pontos críticos para o funcional Iµ,θ.
Lema 2.8. Seja (un, vn)
n∈Numa sequência (P S)dpara Iµ,θ. Então (un, vn)
n∈N satisfaz ∇un→ ∇u e ∇vn → ∇v q.t.p. em RN.
Demonstração. Seja (un, vn)
uma sequência (P S)d para Iµ,θ. Pelo Lema 2.6 (un, vn) é limitada em Eµ,θ e, sendo Eµ,θ reflexivo, existe (u, v) ∈ Eµ,θ tal que
(un, vn) * (u, v) em Eµ,θ. (2.20) Dado ρ > 0 arbitrário considere uma função λρ∈ C0∞(RN) satisfazendo
0 ≤ λρ≤ 1, λρ = 1 em Bρ(0) e suppλρ ⊂ B2ρ(0). Mostraremos agora que
|∇un− ∇u|L2(B
ρ(0)) → 0 e |∇vn− ∇v|L2(Bρ(0)) → 0. (2.21)
Usando a definição de norma e que λρ= 1 em Bρ(0), temos |∇un− ∇u|2L2(B
ρ(0)) =
Z Bρ(0)
(∇un− ∇u)(∇un− ∇u)
= Z
Bρ(0)
λρ(∇un− ∇u)(∇un− ∇u).
Por outro lado, Z
Bρ(0)
λρ(∇un− ∇u)(∇un− ∇u) ≤ Z
B2ρ(0)
λρ(∇un− ∇u)(∇un− ∇u)
= Z
B2ρ(0)
λρ∇un(∇un− ∇u) − Z
B2ρ(0)
Logo,
0 ≤ |∇un− ∇u|2L2(B ρ(0)) ≤
Z B2ρ(0)
λρ∇un(∇un− ∇u) − Z
B2ρ(0)
λρ∇u(∇un− ∇u)(2.22) Do mesmo modo, obtemos que
0 ≤ Z Bρ(0) (∇vn− ∇v)(∇vn− ∇v) ≤ Z B2ρ(0) λρ∇vn(∇vn− ∇v) − Z B2ρ(0) λρ∇v(∇vn− ∇v). (2.23) A seguir, mostraremos as convergências
Z B2ρ(0)
λρ∇un(∇un− ∇u) → 0 e Z
B2ρ(0)
λρ∇vn(∇vn− ∇v) → 0. (2.24) Como (un, vn)
é limitada em Eµ,θ, segue que (un− u, 0)λρ
também é limitada em Eµ,θ, isto é, existe c1 > 0, independente de n tal que
k(un− u, 0)λρkµ,θ ≤ c1, ∀n ∈ N, o que implica
Iµ,θ0 (un, vn)[(un− u, 0)λρ] = on(1). Por outro lado,
Iµ,θ0 (un, vn)[(un− u, 0)λρ] = Z
B2ρ(0)
∇un∇[(un− u)λρ] + Z B2ρ(0) µun(un− u)λρ − Z B2ρ(0) (un− u)λρQu(un, vn). Consequentemente, on(1) = Z B2ρ(0) λρ∇un∇(un− u) + Z B2ρ(0) (un− u)∇un∇λρ + Z B2ρ(0) µun(un− u)λρ− Z B2ρ(0) (un− u)λρQu(un, vn). No que segue, defina
Ln,1= Z
B2ρ(0)
Então, Ln,1 = on(1) − Z B2ρ(0) (un− u)∇un∇λρ− Z B2ρ(0) µun(un− u)λρ + Z B2ρ(0) (un− u)λρQu(un, vn). (2.25)
Desde que λρ∈ C0∞(RN), usando desigualdade de Hölder, existe c2 > 0 tal que Z B2ρ(0) (un− u)∇un∇λρ ≤ c2 Z B2ρ(0) |un− u||∇un| ≤ c2|un− u|2,B2ρ(0)|∇un|2,B2ρ(0).
Das imersões contínuas
H1(RN) ,→ L2(RN) e L2(RN) ,→ L2(B2ρ(0)) existe c3 > 0 tal que
|∇un|2,B2ρ(0) ≤ |∇un|2 ≤ c3kunk o que implica Z B2ρ(0) (un− u)∇un∇λρ ≤ c2c3|un− u|2,B2ρ(0)kunk. Novamente, sendo (un, vn)
limitada em Eµ,θ, em particular, (un) e (vn) são limitadas em H1(RN), pois ku
nk ≤ k(un, vn)ke as normas k k e k kµ,θ são equivalentes. Além disso, combinando a imersão H1(B
2ρ(0)) ,→ L2(B2ρ(0)) compacta com (2.20), concluímos
|un− u|2,B2ρ(0) → 0, (2.26) e, portanto, Z B2ρ(0) (un− u)∇un∇λρ → 0. (2.27)
Agora, pela limitação de λρ e pela desigualdade de Hölder, Z B2ρ(0) µun(un− u)λρ ≤ µ Z B2ρ(0) |un||(un− u)| ≤ µ|un|2,B2ρ(0)|un− u|2,B2ρ(0).
Como (un)é limitada em H1(RN) e vale a imersão contínua H1(RN) ,→ L2(B2ρ(0)),
segue que (un) é limitada em L2(B2ρ(0)). Consequentemente, por (2.26), Z B2ρ(0) µun(un− u)λρ → 0. (2.28) Usando a condição (Q2) Z B2ρ(0) (un− u)λρQu(un, vn) ≤ c1 Z B2ρ(0) |un− u|(up−1n + v p−1 n ) = c1 Z B2ρ(0) |un− u|up−1n + c1 Z B2ρ(0) |un− u|vnp−1.
Usando a desigualdade de Hölder para os expoentes p e p p−1, Z B2ρ(0) |un− u|up−1n + Z B2ρ(0) |un− u|vp−1n ≤ |un− u|p,B2ρ(0)(|u p−1 n |p−1p ,B2ρ(0)+ |v p−1 n |p−1p ,B2ρ(0)).
Recorde que 2 < p < 2∗, assim, vale a imersão contínua de Sobolev H1(RN) ,→ Lp(B 2ρ(0)) e existe uma constante c4 > 0 tal que
|up−1n | p p−1,B2ρ(0)+ |v p−1 n |p−1p ,B2ρ(0) = |un| p−1 p,B2ρ(0)+ |vn| p−1 p,B2ρ(0) ≤ c4(kunkp−1+ kvnkp−1). Portanto, Z B2ρ(0) (un− u)λρQu(un, vn) ≤ c5|un− u|p,B2ρ(0)(kunk p−1+ kv nkp−1).
Usando que (un) e (vn) são limitadas em H1(RN) e (2.26) com a desigualdade acima,
obtemos Z B2ρ(0) (un− u)λρQu(un, vn) → 0. (2.29)
Combinando (2.27)-(2.29) com (2.25) e passando ao limite quando n → ∞, obtemos a primeira convergência em (2.24).
Agora, pelos mesmos argumentos acima, podemos considerar (0, vn−v)λρcomo função teste em I0 µ,θ(un, vn) e mostrar as convergências Z B2ρ(0) (vn− v)∇vn∇λρ → 0, Z B2ρ(0) θvn(vn− v)λρ → 0 e Z B2ρ(0) (vn− v)λρQv(un, vn) → 0,
de onde segue
Z B2ρ(0)
λρ∇vn∇(vn− v) → 0,
o que justifica a segunda convergência em (2.24).
Na sequência, para mostrar as convergências em (2.21), por (2.22)-(2.24), resta veri-ficar que Z B2ρ(0) λρ∇u(∇un− ∇u) → 0 e Z B2ρ(0) λρ∇v(∇vn− ∇v) → 0. (2.30) Para este fim, defina F1 : H1(RN) → R e F2 : H1(RN) → R por
F1(z) = Z B2ρ(0) λρ∇u∇z e F2(z) = Z B2ρ(0) λρ∇v∇z.
Afirmamos que os funcionais F1 e F2 são lineares e contínuos. De fato, sejam α ∈ R e w, z ∈ H1(RN). Então, F1(αw + z) = Z B2ρ(0) λρ∇u∇(αw + z) = α Z B2ρ(0) λρ∇u∇w + Z B2ρ(0) λρ∇u∇z = αF1(w) + F1(z),
mostrando a lineraridade de F1. Além disso, |F1(z)| = Z B2ρ(0) λρ∇u∇z ≤ Z B2ρ(0) |λρ∇u||∇z| ≤ Z B2ρ(0) |∇u||∇z|.
Agora, usando a desigualdade de Hölder e a imersão contínua H1(RN) ,→ L2(B2ρ(0)), temos |F1(z)| ≤ Z B2ρ(0) |∇u||∇z| ≤ |∇u|2|∇z|2 ≤ ckzk. Desde que un * uem H1(RN), pela definição de convergência fraca, F1(un) → F1(u), isto é,
Z B2ρ(0)
λρ∇u(∇un− ∇u) → 0,
mostrando a primeira convergência em (2.30). A segunda convergência é feita de modo inteiramente análogo. Portanto, ficam estabelecidas as convergências em (2.21).
Agora, aplicando o Teorema A.15, a menos de subsequência, ∇un→ ∇u e ∇vn→ ∇v, q.t.p. em Bρ(0).
Desde que ρ é arbitrário, seguindo argumentos análogos aos da prova da Lema 2.7, a menos de subsequência,
∇un → ∇ue ∇vn → ∇v, q.t.p. em RN finalizando a demonstração.
O lema seguinte constitui um ponto chave para demonstração do Teorema 2.1. Lema 2.9. Seja (un, vn)
n∈N uma sequência (P S)d para Iµ,θ e (u, v) como no Lema 2.8. Então, (u, v) é um ponto crítico de Iµ,θ, isto é, I
0
µ,θ(u, v) = 0.
Demonstração. Devemos mostrar que Iµ,θ0 (u, v)(w, ϕ) = 0 para todo (w, ϕ) ∈ Eµ,θ.Desde que (un, vn)
é uma sequência (P S)d, temos I
0
µ,θ(un, vn) → 0, em particular, Iµ,θ0 (un, vn)(w, ϕ) → 0, ∀(w, φ) ∈ Eµ,θ.
Assim, basta mostrar Z RN ∇un∇w + ∇vn∇ϕ → Z RN ∇u∇w + ∇v∇ϕ, (2.31) Z RN µunw + θvnϕ → Z RN µuw + θvϕ (2.32) e Z RN wQu(un, vn) + ϕQv(un, vn) → Z RN wQu(u, v) + ϕQv(u, v), (2.33) para todo (w, ϕ) ∈ Eµ,θ.
No que segue, seja (w, ϕ) ∈ Eµ,θ. Análise de (2.31):
Desde que (un, vn)
n∈N é limitada em Eµ,θ, segue que (un) e (vn) são limitadas em H1(RN), em particular, ∂un ∂xi e ∂vn ∂xi
são limitadas em L2(RN). Além disso, segue do Lema 2.8 que, a menos de subsquência,
∂un ∂xi
→ ∂u ∂xi
Aplicando a Proposição A.1, ∂un ∂xi * ∂u ∂xi em L2 (RN), ou seja, para todo F ∈ L2(RN)0
, tem-se F ∂un ∂xi → F ∂u ∂xi .
Para cada i ∈ {1, ..., N} defina
Fi : L2(RN) → R φ 7→ Fi(φ) = Z RN φ∂w ∂xi · Dados ψ, φ ∈ L2 (RN) e α ∈ R Fi(ψ + αφ) = Z RN (ψ + αφ)∂w ∂xi = Z RN ψ∂w ∂xi + α Z RN φ∂w ∂xi = Fi(ψ) + αFi(φ).
Além disso, pela desigualdade de Hölder, |Fi(ψ)| = Z RN ψ∂w ∂xi ≤ Z RN |ψ| ∂w ∂xi ≤ |ψ|2 ∂w ∂xi 2 , mostrando que Fi ∈ L2(RN) 0
, para todo i ∈ {1, ..., N}. Portanto, Fi ∂un ∂xi → Fi ∂u ∂xi , i ∈ {1, .., N }, isto é, Z RN ∂un ∂xi ∂w ∂xi → Z RN ∂u ∂xi ∂w ∂xi , i ∈ {1, .., N } e, consequentemente, Z RN ∇un∇w → Z RN ∇u∇w. (2.34)
De modo análogo, mostra-se que Z RN ∇vn∇ϕ → Z RN ∇v∇ϕ. (2.35)
Agora, (2.31) segue combinando (2.34) e (2.35). Análise de (2.32):
Desde que (un, vn)
n∈Né limitada em Eµ,θ, segue que (un, vn)
n∈Né limitada em L
2(RN)× L2(RN),o que implica, pela reflexividade de L2(RN)×L2(RN),que a menos de
subsequên-cia,
(un, vn) * (u, v) em L2(RN) × L2(RN). (2.36) Pelo Lema 2.7, segue a convergência
un(x), vn(x) → u(x), v(x) q.t.p. em RN. Aplicando a Proposição A.1,
(un, vn) * (u, v) em L2(RN) × L2(RN), ou seja, para todo F ∈ L2
(RN) × L2(RN)
0
, tem-se F (un, vn) → F (u, v).
Agora, defina a seguinte função
Fw,ϕ : L2(RN) × L2(RN) → R
(φ, ψ) 7→ Fw,ϕ(φ, ψ) = Z
RN
µφw + θψϕ·
Segue da linearidade da integral e da desigualdade de Hölder que Fw ∈ L2(RN) × L2(RN)
0
. Logo, Fw(un, vn) → Fw(u, v), ou seja, Z RN (µunw + θvnϕ) → Z RN (µuw + θvϕ), o que mostra (2.32). Análise de (2.33): Desde que (un, vn)
n∈N é limitada em Eµ,θ, segue que (un) e (vn) são limitadas em H1(RN), em particular, (un) e (vn) são limitadas em Lp(RN), pois p ∈ (2, 2∗) e vale a imersão contínua H1(RN) ,→ Lp(RN). Assim, existe c > 0 tal que
|un|p, |vn|p ≤ c, ∀n ∈ N. Afirmação 2.2. Qu(un, vn) * Qu(u, v) em L
p
p−1(RN).
Inicialmente, observe que a sequência Qu(un, vn)
é limitada em Lp−1p (RN). De fato,
pela condição (Q2)
Então, Z RN |Qu(un, vn)| p p−1 ≤ (2c 1) p p−1 Z RN (upn+ vnp) = (2c1) p p−1(|u n|pp+ |vn|pp). o que implica |Qu(un, vn)|p−1p ≤ 2c1(2cp) p−1 p , mostrando que Qu(un, vn)
é limitada em Lp−1p (RN). Por outro lado, desde que
un→ u e vn → v q.t.p. em RN e Q é de classe C2,
Qu(un, vn) → Qu(u, v) q.t.p. em RN. (2.37) Aplicando, novamente, a Proposição A.1, segue que
Qu(un, vn) * Qu(u, v)em L
p
p−1(RN).
De maneira análoga, mostra-se que
Qv(un, vn) * Qv(u, v)em L p p−1(RN). Agora, defina Fw : Lp−1p (RN) → R φ 7→ Fw(φ) = Z RN φw·
Usando a linearidade da integral e desigualdade de Hölder para os expoentes p e p p−1, concluímos que Fw ∈Lp−1p (RN) 0 . Logo, Z RN wQu(un, vn) → Z RN wQu(u, v). De modo análogo, Z RN ϕQv(un, vn) → Z RN ϕQv(u, v), mostrando a converência (2.33).
A seguir, apresentaremos um resultado essencial para a demonstração do Teorema 2.1, o mesmo será útil para mostrar a existência de ponto crítico não-trivial de Iµ,θ.
Lema 2.10. Seja (un, vn)
n∈N ⊂ Eµ,θ uma sequência (P S)c para Iµ,θ tal que (un, vn) * (0, 0) em Eµ,θ.
Então,
(a) (un, vn) → (0, 0) em Eµ,θ, ou
(b) Existem constantes β, R > 0 e uma sequência (yn) ⊂ RN tais que lim inf
n→+∞ Z
BR(yn)
(u2n+ vn2) ≥ β.
Demonstração. Suponha que (b) não ocorre. Dados n ∈ N e R > 0 defina tn,R = sup
y∈RN
Z BR(y)
|un|2+ |vn|2. Note que o Lema 2.6 garante a boa definição de cada tn,R. Afirmação 2.3.
lim
n→+∞tn,R = 0, ∀R > 0.
De fato, caso contrário, existe R0 > 0 tal que o limite não ocorre. Assim, existem 0 > 0 e uma subsequência (tnk,R0) de (tn,R0) tais que
sup y∈RN Z BR0(y) |unk| 2 + |vnk| 2 = |t nk,R0 − 0| ≥ 0, ∀k ∈ N.
Por outro lado, existe uma sequência (yl) em RN tal que lim l→+∞ Z BR0(yl) |unk| 2+ |v nk| 2 = sup y∈RN Z BR0(y) |unk| 2+ |v nk| 2. Logo, existe l0 ∈ N tal que para l ≥ l0,
Z BR0(yl) |unk| 2 + |vnk| 2 > 0 2, em particular, para nk ≥ l0 Z BR0(ynk) |unk| 2 + |vnk| 2 > 0 2, o que implica lim inf k→+∞ Z BR0(ynk) |unk| 2 + |vnk| 2 ≥ 0 2
o que é um absurdo, pois estamos supondo que (b) não ocorre. Segue da afirmação acima que lim n→+∞y∈RsupN Z BR(y) |un|2+ |vn|2 = 0, ∀R > 0. Consequentemente, lim n→∞y∈RsupN Z BR(y) u2n= 0 e lim n→∞y∈RsupN Z BR(y) vn = 0. Desde que (un, vn) n∈N é limitada e p ∈ (2, 2
∗), aplicando um resultado devido a Lions (ver Lema D.2), deduzimos
un→ 0em Lp(RN) e vn→ 0 em Lp(RN). Usando o Lema 2.2, Q(un, vn) ≤ C∗(upn+ v p n), onde p ∈ (2, 2 ∗ ). (2.38)
Por outro lado, aplicando o Teorema A.15, existem funções f, g ∈ Lp
(RN) tais que, a menos de subsequência
un(x) → 0 e |un(x)| ≤ f (x) q.t.p. em RN (2.39) e
vn(x) → 0 e |vn(x)| ≤ g(x) q.t.p. em RN. (2.40) Consequentemente, (2.38) nos permite obter
Q(un, vn) ≤ C∗(fp+ gp) ∈ L1(RN).
Da convergência pontual em (2.39) e (2.40) e da continuidade da função Q segue que Q(un, vn) → Q(0, 0)q.t.p. em RN.
Invocando o Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, concluímos que lim n→∞ Z RN Q(un, vn) = 0. Como (un, vn) n∈N é (P S)c, I 0
µ,θ(un, vn)(un, vn) → 0, o que implica k(un, vn)k2µ,θ =
Z RN
onde on(1) → 0 quando n → ∞. Por (2.1), k(un, vn)k2µ,θ = p
Z RN
Q(un, vn) + on(1).
Passando o limite quando n → ∞, lim n→∞k(un, vn)k 2 µ,θ = p limn→∞ Z RN Q(un, vn) = 0, mostrando que (un, vn) → (0, 0) em Eµ,θ.
2.4
Demonstração do Teorema 2.1
Finalmente estamos em condições de mostrar o Teorema 2.1 o qual será enunciado novamente.
Teorema 2.1. Suponha (Q1)-(Q6), então o problema (Sµ,θ) possui uma solução de energia mínima não-negativa .
Demonstração. Aplicando o Lema 2.2, existe uma sequência (un, vn) n∈N ∈ Eµ,θ verifi-cando Iµ,θ(un, vn) → dµ,θ e I 0 µ,θ(un, vn) → 0, (2.41) onde 0 < dµ,θ = inf γ∈Γt∈[0,1]maxIµ,θ(γ(t)),
é o nível do passo da montanha associado a Iµ,θ. Agora, pelo Lema 2.6, a sequência (un, vn)
n∈N é limitada em Eµ,θ. Sendo Eµ,θ reflexivo, pelo Teorema A.9, existe (u, v) ∈ Eµ,θ tal que, a menos de subsequência, (un, vn) * (u, v) em Eµ,θ. Além disso, pelo Lema 2.9, segue que
Iµ,θ0 (u, v) = 0.
Se u 6= 0 e v 6= 0, então (u, v) é solução não-trivial de (Sµ,θ). Se u = 0 e v = 0, não pode ocorrer o item (a) do Lema 2.10, pois caso contrário, teríamos
(un, vn) → (0, 0)em Eµ,θ, o que implica, pela continuidade de Iµ,θ,
Iµ,θ(un, vn) → Iµ,θ(0, 0) = 0,
existem uma sequência (yn)n∈N⊂ RN e constantes β, R > 0 tais que lim inf n→+∞ Z BR(yn) (u2n+ vn2) ≥ β.
Agora, para cada n ∈ N, defina ˜ un(x) = un(x + yn) ˜ vn(x) = vn(x + yn)
Mostraremos que (˜un, ˜vn)é uma sequência (P S)dµ,θ. Para tanto, seja h1 : R
N → RN dada por h1(x) = x + yn, pelo Teorema de Mudança de Variável,
Iµ,θ(un, vn) = Z RN |∇un|2+ |∇vn|2+ µu2n+ θv 2 n − Z RN Q(un, vn) = Z RN |∇un(x + yn)|2+ |∇vn(x + yn)|2+ µun(x + yn)2+ vn(x + yn)21N − Z RN Q(un(x + yn), vn(x + yn))1N = Z RN |∇˜un|2+ |∇˜un|2 + µ˜u2n+ θ˜v 2 n − Z RN Q(˜un, ˜vn) = Iµ,θ(˜un, ˜vn).
A igualdade anterior combinada com a primeira parte de (2.41) implicam Iµ,θ(˜un, ˜vn) → dµ,θ.
Além disso, para todo (w, z) ∈ Eµ,θ, Iµ,θ0 (˜un, ˜vn)(w, z) = Z RN ∇˜un(x)∇w(x) + ∇˜vn(x)∇z(x) +µ˜un(x)w(x) + θ˜vn(x)z(x) − Z RN w(x)Qu(˜un(x), ˜vn(x)) + z(x)Qv(˜un(x), ˜vn(x)) = Z RN ∇un(x + yn)∇w(x) + ∇vn(x + yn)∇z(x) +µun(x + yn)w(x) + θvn(x + yn)z(x) − Z RN w(x)Qu(un(x + yn), vn(x + yn)) +z(x)Qv(un(x + yn), vn(x + yn)).
Fazendo a mudança de variável x 7→ x − yn, Iµ,θ0 (˜un, ˜vn)(w, z) = Z RN ∇un(x)∇w(x − yn) + ∇vn(x)∇z(x − yn) +µun(x)w(x − yn) + θvn(x)z(x − yn)1N − Z RN w(x − yn)Qu(un(x), vn(x)) +z(x − yn)Qv(un(x), vn(x))1N = Iµ,θ0 un(x), vn(x) w(x − yn), z(x − yn). Agora, pela segunda parte de (2.41),
Iµ,θ0 un(x), vn(x) w(x − yn), z(x − yn) → 0. Portanto, Iµ,θ0 (˜un(x), ˜vn(x))(w(x), z(x) → 0, de onde segue kI0
µ,θ(˜un, ˜vn)k∗ → 0, mostrando que (˜un, ˜vn)
n∈Né uma sequência (P S)dµ,θ.
Pelo Lema 2.6, ˜un, ˜vn
é limitada em Eµ,θ. Usando novamente o Teorema A.9, existe (˜u, ˜v) ∈ Eµ,θ tal que
(˜un, ˜vn) * (˜u, ˜v) em Eµ,θ.
Consequentemente, por intermédio do Lema 2.9, (˜u, ˜v) é ponto crítico de Iµ,θ. Notando que
x ∈ BR(yn) ⇔ |x − yn| < R ⇔ x − yn ∈ BR(0), a mudança de variável x 7→ x − yn nos fornece
Z BR(0) (˜u2n+ ˜vn2) = Z BR(yn) (u2n+ vn2) ≥ β. (2.42) Além disso, usando a imersão compacta
H1(BR(0)) × H1(BR(0)) ,→ L2(BR(0)) × L2(BR(0)), concluímos que Z BR(0) (˜u2+ ˜v2) = lim n→∞ Z BR(0) (˜u2n+ ˜v2n) = lim inf n→+∞ Z BR(yn) (u2n+ v2n) ≥ β, (2.43) mostrando que ˜u 6= 0 ou ˜v 6= 0. Como I0
µ,θ(˜u, ˜v)(˜u, ˜v) = 0, supondo que ˜u = 0, obtemos Z RN |∇˜v|2+ θ˜v2 = Z RN ˜ vQv(0, ˜v).
Uma vez que a função Qv é homogênea de grau p − 1, por (Q4), Z RN |∇˜v|2+ θ˜v2 = Z RN ˜ vpQv(0, 1) = 0
Logo, ˜v = 0, uma contradição com (2.43). Do mesmo modo, se ˜v = 0, temos ˜v = 0, o que contradiz (2.43), mostrando que (˜u, ˜v) é não-trivial.
Vamos mostrar agora que Iµ,θ(˜u, ˜v) = dµ,θ, e que dµ,θ é o nível minimax associado ao funcional Iµ,θ. De fato, desde que (˜u, ˜v) é solução não trivial, segue que (˜u, ˜v) ∈ Mµ,θ. Nos termos do Lema 2.4, t(˜u,˜v)= 1 e
Iµ,θ(˜u, ˜v) = max
t≥0 Iµ,θ(t(˜u, ˜v)). De acordo com o Lema 2.5,
dµ,θ = dµ,θ = inf (uv)∈Eµ,θ\{(0,0)}
max
t≥0 Iµ,θ t(u, v) ≤ maxt≥0 Iµ,θ(t(˜u, ˜v)), de onde segue que
Iµ,θ(˜u, ˜v) ≥ dµ,θ. (2.44)
Por outro lado, fixado α ∈ (2, p), como (˜un, ˜vn) n∈N é (P S)dµ,θ, dµ,θ = Iµ,θ(˜un, ˜vn) − 1 αI 0 µ,θ(˜un, ˜vn)(˜un, ˜vn) + on(1) = 1 2− 1 α k(˜un, ˜vn)k2µ,θ+ p α − 1 Z RN Q(˜un, ˜vn) + on(1). Consequentemente, dµ,θ = lim inf n→+∞ " 1 2− 1 α k(˜un, ˜vn)k2µ,θ+ p α − 1 Z RN Q(˜un, ˜vn) + on(1) # ≥ lim inf n→+∞ " 1 2− 1 α k(˜un, ˜vn)k2µ,θ # + lim inf n→+∞ " p α − 1 Z RN Q(˜un, ˜vn) # .
Pelo Lema de Fatou (ver Lema A.2), lim inf n→+∞ 1 2 − 1 α k(˜un, ˜vn)k2µ,θ = 1 2− 1 α lim inf n→+∞ Z RN |∇˜un|2+ |∇˜vn|2+ µ˜u2n+ θ˜vn2 ≥ 1 2− 1 α Z RN lim inf n→+∞ |∇˜un| 2+ |∇˜v n|2+ µ˜u2n+ θ˜vn2 = 1 2− 1 α Z RN |∇˜u|2+ |∇˜v|2+ µ˜u2+ θ˜v2 = 1 2− 1 α k(˜u, ˜v)k2µ,θ,
e lim inf n→+∞ " p α − 1 Z RN Q(˜un, ˜vn) # ≥ p α − 1 Z RN lim inf n→+∞Q(˜un, ˜vn) = p α − 1 Z RN Q(˜u, ˜v), o que implica dµ,θ ≥ 1 2 − 1 α k(˜u, ˜v)k2µ,θ + p α − 1 Z RN Q(˜u, ˜v) = Iµ,θ(˜u, ˜v) − 1 αI 0 µ,θ(˜u, ˜v)(˜u, ˜v) = Iµ,θ(˜u, ˜v). (2.45)
Portanto, por (2.44) e (2.45), temos Iµ,θ(˜u, ˜v) = dµ,θ. Observe que (˜u, ˜v) é de energia mínima. Com efeito, dado (u, v) ∈ Eµ,θ solução não trivial de (Sµ,θ), temos que (u, v) ∈ Mµ,θ. Como, pelo Lema 2.5, dµ,θ = inf
(u,v)∈Mµ,θ
Iµ,θ(u, v),concluímos que Iµ,θ(˜u, ˜v) ≤ Iµ,θ(u, v).
Para finalizar, mostraremos agora que as soluções fracas de (Sµ,θ) são não-negativas. Para tanto, seja (u, v) ∈ Eµ,θ solução fraca de (Sµ,θ). Recordando que u = u+ − u− e v = v+− v−, basta mostrar que u− = v− = 0. Desde que (u, v) é ponto crítico de I
µ,θ, Iµ,θ0 (u, v) = 0, isto é, Z RN ∇u∇w + ∇v∇z + µuw + θvz − Z RN wQu(u, v) + zQv(u, v) = 0, ∀(w, z) ∈ Eµ,θ. Como (u−, v−) ∈ E µ,θ, Z RN ∇u∇u−+ ∇v∇v−+ µuu−+ θvv− = Z RN u−Qu(u, v) + v−Qv(u, v). Em virtude de u− e v− se anularem na região [u ≥ 0] ∪ [v ≥ 0],
Z [u<0]∩[v<0] ∇u∇u−+ ∇v∇v−+ µuu−+ θvv− = Z [u<0]∩[v<0] u−Qu(u, v) + v−Qv(u, v), isto é, Z [u<0]∩[v<0] |∇u−|2+ |∇v−|2+ µ|u−|2+ θ|v−|2 = Z [u<0]∩[v<0] u−Qu(u, v) + v−Qv(u, v).
