Página 1 de 9 Avaliação – Gabarito
Observação: Os intervalos de células que constam dos resultados são baseados em uma planilha feita pelo professor (Prova Gabarito.xlsx), e podem diferir do que consta na planilha do aluno. Os resultados também podem apresentar pequenas diferenças conforme o arredondamento.
1) Os dados da tabela abaixo referem-se à biometria total, em mm, do Macrobrachium potiuna, da família Palaemonidae. Os dados encontram-se ordenados. Calcule:
a. média 35,44
Comando: =MÉDIA(A1:A36) ref.: Aula 01, slide 15
b. moda 25,9
Comando: =MODO.ÚNICO(A1:A36) ref.: Aula 01, slide 17
c. mediana 35,15
Comando: =MED(A1:A36) ref.: Aula 01, slide 18
d. desvio padrão 5,54
Comando: =DESVPAD.A(A1:A36) ref.: Aula 01, slide 25
e. coeficiente de variação (a amostra é homogênea?) 15,63% (sim) ref.: Aula 01, slide 27
f. assimetria (de que tipo é?) 0,1556 (positiva) ref.: Aula 01, slides 29 e 30
g. curtose (de que tipo é?) -3,48 (platicúrtica) Comando: =CURT(A1:A36)-3 ref.: Aula 01, slide 31 e 32
Resolução alternativa (para todas exceto letra e): Usar a ferramenta de Análise de Dados Estatística Descritiva (ref.: Aula 07, slides 15 e 16). Note que a assimetria é diferente (pois existem várias medidas... Aula 01, slide 30), e a curtose não é a de excesso, logo para identificar o tipo deve-se subtrair 3 (ref.: Aula 01, slides 31 e 32).
a) Média 35,43722 Erro padrão 0,923135 c) Mediana 35,15 b) Modo 25,9 d) Desvio padrão 5,538813 Variância 30,67845 g) (-3) Curtose -0,48395 f) Assimetria 0,088077 Intervalo 21,14 Mínimo 25,6 Máximo 46,74 Soma 1275,74 Contagem 36
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2) Usando os mesmos dados,
a. Construa uma distribuição de frequências contendo frequência absoluta e frequência relativa em porcentagem. Faça a primeira classe de 24 (inclusive) a 28, a segunda de 28 (inclusive) a 32 e assim por diante.
As classes iniciam em 24 e vão de 4 em 4, sempre com o limite inferior pertencendo à classe e o superior não. O único dado ambíguo é 36,00, que não pertence ao intervalo 32 |---36, mas sim ao intervalo 36 |--- 40. (ref.: Aula 02, slides 3, 7, 8 e 9)
A contagem é Classe fi fri 24 |--- 28 4 11,1% 28 |--- 32 5 13,9% 32 |--- 36 12 33,3% 36 |--- 40 8 22,2% 40 |--- 44 4 11,1% 44 |--- 48 3 8,3% b. construa um histograma
ref.: Aula 02, slide 12
0 2 4 6 8 10 12 14 24 |--- 28 28 |--- 32 32 |--- 36 36 |--- 40 40 |--- 44 44 |--- 48 Classes
Frequência
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3) Num levantamento em um município sobre a propriedade da terra e o tamanho do estabelecimento agrícola, encontrou-se a seguinte situação: 45 agricultores proprietários com estabelecimentos menores que 50 hectares 10 agricultores arrendatários com estabelecimentos menores que 50 hectares 15 agricultores proprietários com estabelecimentos maiores que 50 hectares 2 agricultores arrendatários com estabelecimentos maiores que 50 hectares Ao escolher ao acaso algum agricultor do município, qual é a probabilidade de:
a) o estabelecimento agrícola tenha mais de 50 hectares?
Espaço amostral: #S=72 (todas as propriedades) Eventos: #E= 17 (15+2 maiores que 50 ha) P=15/72=0,236 ou 23,6%
b) o agricultor seja proprietário e o estabelecimento agrícola menor de 50 hectares?
Espaço amostral: #S=60 (45+15 agricultores proprietários) Eventos: #E= 45 (dentre esses, os com menos que 50 ha) P=45/60=0,75 ou 75%
4) Um lote é formado por 12 animais sadios, 5 com problemas menores e 3 com problemas graves. É retirada ao acaso uma amostra de quatro animais. O resultado do teste é “positivo” se o animal tiver algum problema.
a. A retirada é feita com ou sem reposição? Qual a distribuição, nesse caso? Sem reposição. Retirar os quatro animais de uma vez só equivale a retirar um por vez sem repor o animal retirado anteriormente. Para retirada sem reposição, usa-se a distribuição Hipergeométrica (ref.: Aula 03, slide 29).
b. Ache a probabilidade de exatamente dois testes serem positivos.
38,1%
População: N=20 (12+5+3) Elementos com característica na população: M=8 (5+3) Elementos na amostra: n=4
Elementos com característica esperados na amostra: x=2
Comando: =DIST.HIPERGEOM.N(2;4;8;20;0) ref.: Aula 01, slide 29
c. Ache a probabilidade nenhum dos testes ser positivo. 10,2%
A única diferença é que agora x=0.
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consecutivos, em cada dia é retirado ao acaso um animal para teste.
a. A retirada é feita com ou sem reposição? Qual a distribuição, nesse caso? Com reposição. Cada animal é retirado, testado e então reposto. Para retirada com reposição, usa-se a distribuição Binomial (ref.: Aula 03, slides 24, 25 e 27).
b. Construa no Excel distribuição de probabilidades.
Para uma única retirada, a probabilidade de um animal estar doente é p=8/20=0,4=40%. x p Comando 0 21,6% =DISTR.BINOM(0;3;40%;0) 1 43,2% =DISTR.BINOM(1;3;40%;0) 2 28,8% =DISTR.BINOM(2;3;40%;0) 3 6,4% =DISTR.BINOM(3;3;40%;0)
(ref.: Aula 03, slides 21 a 24)
6) Determine a área limitada pela curva normal para:
(ref.: Aula 04, slides 9 ae11)
a. à direita de 𝑧 = 0,8 21,19%
Resolução 1: Como a tabela dá a área à esquerda, a área à direita é 𝑃(𝑧 > 0,8) = 1 − 𝑃(𝑧 < 0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119 = 21,19% Resolução 2: Como a tabela dá a área à esquerda, a área à direita é
𝑃(𝑧 > 0,8) = 𝑃(𝑧 < −0,8) = 0,2119 = 21,19% Resolução 3:
Comando: =DIST.NORMP.N(-0,8;1) ou =1-DIST.NORMP.N(0,8;1)
b. à esquerda de 𝑧 = 0,23 59,10%
Resolução 1: Isso é exatamente o que a tabela dá. 𝑃(𝑧 < 0,23) = 0,5910 = 59,10% Resolução 2: Comando: =DIST.NORMP.N(0,23;1)
c. entre 𝑧 = −1,2 e 𝑧 = 1,2 76,98% Resolução 1: 𝑃(−1,2 < 𝑧 < 1,2) = 𝑃(𝑧 < 1,2) − 𝑃(𝑧 < −1,2) = 0,8449 − 0,1151 = 0,7698 = 76,98% Resolução 2: Comando: =DIST.NORMP.N(1,2;1)-DIST.NORMP.N(-1,2;1)
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7) O peso médio das reses que se encontram num curral de uma fazenda é de 200 kg, e o desvio padrão é de 10 kg, com distribuição normal. Qual a porcentagem de animais que pesarão mais de 185 kg? 93,32% Resolução 1: Para 𝜇 = 200 e 𝜎 = 10, se 𝑥 = 185, então
𝑧 =𝑥 − 𝜇 𝜎 =
185 − 200
15 = −1,5 Similarmente à questão 6, item a, pela tabela,
𝑃(𝑧 > −1,5) = 𝑃(𝑧 < 1,5) = 0,9332 = 93,32% Resolução 2:
Similarmente à questão 6, item a,
𝑃(𝑧 > −1,5) = 𝑃(𝑧 < 1,5) = 0,9332 = 93,32% Comando: =1-DIST.NORM.N(185;200;10;1)
8) De um povoamento de eucaliptos, sorteou-se 30 árvores e determinou-se o diâmetro, em cm, com a finalidade de estimar o diâmetro médio do povoamento. Diâmetros de 30 eucaliptos em cm:
Construa um intervalo de confiança de 95%.
Usando a ferramenta de Análise de Dados Estatística Descritiva (ref.: Aula 07, slides 15 e 16), obtemos diâmetro Média 26,55 Erro padrão 1,444369 Mediana 28 Modo 38,5 Desvio padrão 7,911134 Variância da amostra 62,58603 Curtose -0,74248 Assimetria -0,08403 Intervalo 31,7 Mínimo 10,1 Máximo 41,8 Soma 796,5 Contagem 30 Nível de confiança(95,0%) 2,954066
O centro do intervalo de confiança é a Média, e o erro para cima ou para baixo é o Erro Padrão. Então
𝐼𝐶 = [26,55 ± 1,44] = [23,60 ; 29,50]
Interpretação: Com 95% de confiança, podemos afirmar o real diâmetro médio dos eucaliptos está entre 23,6 e 25,9 cm.
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selecionou aleatoriamente uma amostra de 15 animais e anotou o seus pesos. Os dados resultantes estão descritos abaixo. Esses dados têm evidência suficiente para garantir que o peso em jejum é menor? Use significância de 5%. Construa um intervalo de confiança para a real diferença.
Escolha do teste (ref.: Aula 07, slide 17): está-se comparando o mesmo grupo de animais em duas situações diferentes; sendo assim, as amostras são em par, portanto executamos o teste t para amostras em par (ref.: Aula 07, slides 12 a 14). Resultado do teste:
Teste-t: duas amostras em par para médias
Peso vivo Peso jejum
Média 490,8 445,7333
Variância 4789,0286 3904,352
Observações 15 15
Correlação de Pearson 0,9737924 Hipótese da diferença de média 0
gl 14 Stat t 10,587455 P(T<=t) uni-caudal 2,293E-08 t crítico uni-caudal 1,7613101 P(T<=t) bi-caudal 4,585E-08 t crítico bi-caudal 2,1447867
Queremos saber se o peso em jejum é menor. Portanto, o teste é unilateral. (ref.: Aula 06, slides 12 e 13; Aula 07, slide 3).
H0: Peso jejum ≥ Peso vivo H1: Peso jejum < Peso vivo
A média na amostra do Peso jejum é realmente menor que o Peso vivo, então podemos dar seguimento ao teste (se não fosse, não teríamos evidência para rejeitar H0). Há duas maneiras de interpretar: (a) usando t e
(b) usando p (ref.: Aula 07, slide 14).
(a) |ET (stat t)|>t crítico unicaudal, então rejeitamos H0.
(b) p unicaudal <significância (𝛼 = 0,05), então rejeitamos H0.
Conclusão: com confiança de 95%, podemos afirmar que o peso jejum é realmente menor que o peso vivo.
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10) Realizou-se uma pesquisa para comparar dois locais, Itajaí e Araranguá, quanto à produção de arroz irrigado, em t/ha. Dez progênies foram utilizadas nos dois locais e os seus resultados anotados (abaixo). Com confiança de 95%, decida se há diferença entre as produções médias.
Escolha do teste (ref.: Aula 07, slide 17): não existe pareamento entre as amostras, e a variância populacional é desconhecida, logo deve-se executar um teste t para média (ref.: Aula 07, slides 7 e 8). É necessário um teste F prévio para saber se supomos as variâncias como equivalentes ou diferentes (ref.: Aula 07, slides 4 a 6). Resultado do teste:
Teste-F: duas amostras para variâncias
Itajaí Araranguá Média 7,11 7,23 Variância 1,832111 0,606778 Observações 10 10 gl 9 9 F 3,01941 P(F<=f) uni-caudal 0,057632 F crítico uni-caudal 3,178893
Como a confiança é 95%, 𝛼 = 0,05. p>𝛼, então aceitamos H0, logo supomos
as variâncias equivalentes. Executamos então o teste t para médias
presumindo variâncias equivalentes. (ref.: Aula 07, slide 8) Resultado: Teste-t: duas amostras presumindo variâncias equivalentes
Itajaí Araranguá Média 7,11 7,23 Variância 1,832111 0,606778 Observações 10 10 Variância agrupada 1,219444 Hipótese da diferença de média 0 gl 18 Stat t -0,24299 P(T<=t) uni-caudal 0,405381 t crítico uni-caudal 1,734064 P(T<=t) bi-caudal 0,810762 t crítico bi-caudal 2,100922
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H0: Itajaí = Araranguá H1: Itajaí ≠ Araranguá
Há duas maneiras de interpretar: (a) usando t e (b) usando p (ref.: Aula 07, slide 10).
(c) |ET (stat t)|<t crítico unicaudal, então aceitamos H0.
(d) p unicaudal >significância (𝛼 = 0,05), então aceitamos H0.
Conclusão: com confiança de 95%, podemos afirmar que não há diferença entre as produções de Itajaí e Araranguá.
11) A tabela a seguir apresenta os valores de condutividade (mho) e salinidade (g/l) para a região III da Lagoa da Conceição.
Queremos estudar a correlação entre as grandezas Condutividade e Salinidade para os mesmos elementos (estações). Usaremos a ferramenta de Análise de Dados Regressão (Aula 08, slide 8).
a. Construir o gráfico de dispersão.
O gráfico de dispersão são os pontos azuis abaixo:
0 10 20 30 40 50 60 0 2 4 6 8 10 12 C o n d u ti vi d ad e Salinidade
Salinidade Plotagem de ajuste de linha
Condutividade
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b. A correlação é positiva ou negativa? É fraca, média ou forte?
A correlação é positiva e forte.
Observando a tabela que resulta do teste:
Estatística de regressão R múltiplo 0,983966 R-Quadrado 0,968189 R-quadrado ajustado 0,960236 Erro padrão 3,129145 Observações 6
A correlação é positiva. Podemos ver isso pelos dados de previsão no gráfico (formam um reta ascendente) (ref.: Aula 08, slides 3 e 4). Outra forma é ver que o segundo coeficiente (3,78) é positivo. (ref.: Aula 08, slide 9).
A correlação é forte, observando os valores de r (R múltiplo) ou r² (R-Quadrado), e comparando com a classificação sugerida em Aula 08, slide 6.
c. Para cada g/l de salinidade a mais, o que acontece com a condutividade?
Observando o segundo coeficiente (3,78), concluímos que, para cada g/l de salinidade a mais, a condutividade aumenta 3,78 mho (ref.: Aula 08, slide 9).
Isso também pode ser visto adicionando a reta de regressão (ref.: Aula 08, slide 5), e vendo que o coeficiente de x é 3,78.
d. Para uma salinidade de 7 g/l, qual a projeção de condutividade?
Usando a equação da reta de regressão y = 3,7801x + 4,7771
e substituindo x por 7, obtemos um valor de 31,2 mho.
y = 3,7801x + 4,7771 0 10 20 30 40 50 60 0 5 10 15 C o n d u ti vi d ad e Salinidade
Salinidade Plotagem de ajuste de linha
Condutividade Previsto(a) Condutividade Linear (Previsto(a) Condutividade) Coeficientes Interseção 4,777069 Salinidade 3,780093
