MACROECONOMIA
GABARITO - PROVA I
2019
1
Quest˜
ao
1.1
a)
I- Problema do Consumidor: V (k, K) = M axc,k0{u(c) + βV (k0, K0)} s.t c + k0 − (1 − δ) k = (1 − τ ) (w + rk + dπ)c ≥ 0 , k0 ≥ 0 , k0dado , π = 0 (no equil´ıbrio competitivo)
K0 = H (K) − law of motion do capital agregado II - Problema das Firmas:
M axk,nF (k, n) − w.n − r.k
da otimiza¸c˜ao das firmas ´e obtido:
FK(K, N ) = r (K) , ∀t
FN (K, N ) = w (K) , ∀t
III - O equil´ıbrio competitivo recursivo ´e uma fun¸c˜ao valor V : R2
+ → R+, com
as policy functions C, G : R2+ → R+ para o consumidor representativo, fun¸c˜ao de pre¸co
w, r : R+ → R+ e a regra de ajuste do capital agregado H : R+ → R+. Em s´ıntese, o
equil´ıbrio competitivo recursivo ´e um conjunto de fun¸c˜oes de: - Quantidade:
C(k, K), G(k, K) e H(K) - N´ıvel de Utilidade:
- Pre¸cos:
w(K) e r(K)
• Dado os pre¸cos w(K) e r(K), a V∗(k, K) resolve a equa¸c˜ao de Bellman para o problema
do consumidor, gerando a Policy Function C(k, K) e G(k, K).
• Dado os pre¸cos w(K) e r(K), o problema da firma tamb´em ´e resolvido. • Consistˆencia: G(k, K) = H(K) = K0
• Market Clearing:
C(k, K) + G(k, K) − (1 − δ)K = (1 − τ )F (k, n) • Governo com Or¸camento Equilibrado:
τ F (K, N ) = GAST OGov
1.2
b)
O problema recursivo dos consumidores sob o regime tribut´ario A ter´a unicidade na solu¸c˜ao se atender as condi¸c˜oes de Blackwell: monotonicidade e desconto.
i) Monotonicidade:
Se V (k, K) ≥ W (k, K) => T V (k, K) ≥ T W (k, K). Deste modo, para a equa¸c˜ao de Bellman da letra (a) temos:
T V (k, K) = M axc,k0{u(c) + β T V (k0, K0)} ≥ M axc,k0{u(c) + β T W (k0, K0)} = T W (k, K)
ii) Desconto:
Dado C ∈ R+ => T [V + C](k, K) ≤ T V (k, K) + βC. Portanto, temos:
T [V + C](k, K) = M axc,k0{u(c) + β T (k0, K0) + β C}
= M axc,k0{u(c) + β T (k0, K0)} + β C = T V (k, K) + βC
Como podemos notar o problema do consumidor atende as condi¸c˜oes de mono-tonicidade e desconto, por conseguinte, sob o regime tribut´ario A, podemos afirmas que o problema recursivo tem uma solu¸c˜ao ´unica e que qualquer palpite inicial para a fun¸c˜ao valor levar´a a solu¸c˜ao ´otima.
1.3
c)
c = (1 − τ )w + (1 − τ )rk − k0 + (1 − δ)k c = (1 − τ )w + [r(1 − τ ) + (1 − δ)]k − k0) Inserindo tal resultado na equa¸c˜ao de Bellman, obtemos: V (k, K) = M axk0 n u[(1 − τ )w + [r(1 − τ ) + (1 − δ)]k − k0)] + βV (k0, K0) o C.P.O V0(k, K) = −u0(c) + β V0(k0, K0) = 0 (1) => u0(c) = β V0(k0, K0) (2) No equil´ıbrio temos que: G(k, K) = K0 => u0(c) = β V0[G(k0, K0)]. Por´em, desconhecemos V0(·). Utilizando o teorema de Benveniste-Scheinkman:
V (k, K) = M axk0{u[(1 − τ )w + [r(1 − τ ) + (1 − δ)]k − G(k, K))] + βV [G(k, K)]}
C.P.O
V0(k, K) = [r(1 − τ ) + (1 − δ)]u0(c) − u0(c)G0(k, K) + βV0[G(k, K)]G0(k, K)
=> V0(k, K) = [r(1 − τ ) + (1 − δ)]u0(c) + n− u0(c) + βV0[G(k, K)]oG0(k, K) Por (1), o termo do lado direito da soma ´e igual a zero. Deste modo:
V0(k, K) = [r(1 − τ ) + (1 − δ)]u0(c) e, por sua vez,
V0(k0, K0) = [r(1 − τ ) + (1 − δ)]u0(c0) (3) Substituindo (3) em (2), chegamos na equa¸c˜ao de Euler:
u0(c) = β [(1 − τ )Fk(K, 1) + (1 − δ)]u
0
(c0)
onde, r = Fk(K, 1), a produtividade marginal do capital. No Estado Estacion´ario
β [(1 − τ )Fk(K, 1) + (1 − δ)] = 1 => KA∗ ≡ {K : β [(1 − τ )Fk(K, 1) + (1 − δ)] = 1} (4)
1.4
d)
Problema do Consumidor: V (k, K) = M axc,k0{u(c) + βV (k0, K0)} s.t c + k0 − (1 − δ) k = w + rk + dπ − τ [k0− (1 − δ) k] c ≥ 0 , k0 ≥ 0 , k0dado , π = 0 (no equil´ıbrio competitivo)K0 = H (K) − law of motion do capital agregado Da restri¸c˜ao or¸cament´aria temos:
c = w + rk − (1 + τ )k0+ (1 + τ )(1 − δ)k => c = w + [r + (1 + τ )(1 − δ)]k − (1 + τ )k0 Inserindo tal resultado na equa¸c˜ao de bellman:
V (k, K) = M axk0{u {w + [r + (1 + τ )(1 − δ)]k − (1 + τ )k0} + βV (k0, K0)}
Otimizando e aplicando Benveniste-Scheinkman, tal qual na letra (c), ´e obtida a equa¸c˜ao de Euler:
(1 + τ )u0(c) = β[FK(K
0
, 1) + (1 + τ )(1 − δ)u0(c0)
onde, r = Fk(K, 1), a produtividade marginal do capital. No Estado Estacion´ario
c = c0 => u0(c) = u0(c0). Assim, chegamos ao seguinte resultado: (1 + τ ) = β[FK(K 0 , 1) + (1 + τ )(1 − δ) => KB∗ ≡nK : (1 + τ ) = β [FK(K 0 , 1) + (1 + τ )(1 − δ)]o (5)
1.5
e)
Seja F (K, N ) = KαN1−α, α ∈ (0, 1). Como n˜ao h´a desutilidade do trabalho, temos que
N = 1.
=> F (K, 1) = Kα
=> Fk(K, 1) = αKα−1 (6)
- Sistema Tribut´ario A: Inserindo (6) em (4): β [(1 − τ )αKα−1+ (1 − δ)] = 1 β(1 − τ )αKα−1+ β(1 − δ) = 1 β(1 − τ )αKα−1 = 1 − β(1 − δ) Kα−1 = 1 − β(1 − δ) αβ(1 − τ ) Kα K = 1 − β(1 − δ) αβ(1 − τ ) K1−α = αβ(1 − τ ) 1 − β(1 − δ) KA∗ = αβ(1 − τ ) 1 − β(1 − δ) 1−α1
- Sistema Tribut´ario B: Inserindo (6) em (5): (1 + τ ) = β [αKα−1+ (1 + τ )(1 − δ)] β αKα−1 = (1 + τ ) − β (1 + τ )(1 − δ) β αKα−1 = (1 + τ )[1 − β (1 − δ)] KB∗ = (1 + τ )[1 − β (1 − δ)] β α α−11 = β α (1 + τ )[1 − β (1 − δ)] 1−α1
• Quando τ = 0 KA∗(0) = KB∗(0) = β α 1 − β (1 − δ) 1−α1 • Observe que K∗ A e KA∗ s˜ao decrescentes em τ . ∂KA∗ ∂τ < 0 ∂KB∗ ∂τ < 0 • Seja τ = 1: KA∗(1) = 0 KB∗(1) = β α 2[1 − β (1 − δ)] 1−α1 > 0
Deste modo, KA∗ < KB∗ , ∀t > 0. O sistema tribut´ario A ´e mais severo que o B, pois o imposto sobre renda incide sobre todo o estoque de capital agregado, enquanto que o imposto sobre o investimento tem incidˆencia apenas sobre o novo capital criado na economia.
1.6
f )
No estado estacion´ario o investimento agregado ´e igual `a deprecia¸c˜ao do capital agregado. Assim, sob o sistema tribut´ario B:
TB = τ.investimento = τ δKB∗(τ ) TB= τ δ β α (1 + τ )[1 − β (1 − δ)] 1−α1 TB = τ 1 (1 + τ )1−α1 δ β α 1 − β (1 − δ) 1−α1 TB = τ (1 + τ ) 1 α−1 Φ (7) Otimizando a equa¸c˜ao (7): ∂TB ∂τ = (1 + τ ) 1 α−1 Φ + 1 α − 1 τ (1 + τ ) 1 α−1−1 Φ = (1 + τ )α−11 Φ + 1 α − 1 τ (1 + τ )α−11 (1 + τ ) Φ
= (1 + τ )α−11 Φ 1 + τ (α − 1)(1 + τ ) Note que (1 + τ )α−11 Φ > 0
o que implica que o sinal de ∂TB
∂τ depende do termo entre colchetes. O ponto de arrecada¸c˜ao
m´axima ocorre quando:
1 + τ
(α − 1)(1 + τ ) = 0 => τ = 1 − α
α Deste modo, temos que:
• τ < 1−α α => ∂TB ∂τ > 0 • τ > 1−α α => ∂TB ∂τ < 0
Ou seja, para al´ıquotas tribut´arias baixas, a arrecada¸c˜ao do governo aumenta com o aumento do imposto. Por outro lado, para al´ıquotas tribut´arias elevadas, a arrecada¸c˜ao diminui com a eleva¸c˜ao do imposto. Tal situa¸c˜ao, configura a famosa curva de Laffer.
2
Quest˜
ao
• Os Agentes s˜ao: i ∈ 1, 2. • Dota¸c˜oes:
e1t =n0,1, se ano f or ´ımparcaso contr´ario (8) e2t =neet, se ano f or ´ımpar
t− 1, caso contr´ario (9)
• A aloca¸c˜ao de consumo ´e uma sequˆencia: ci t ∞ t=0 2 i=1 com c i t ≥ 0, ∀t, i.
2.1
a)
O equil´ıbrio competitivo sequencial ´e uma sequˆencia de pre¸cos {bqt} ∞ t=0e aloca¸c˜oes{bc i t, ba i t} ∞ t=0 2 i=1, tal que:
1. A cada per´ıodo, dado os pre¸cos {qbt} ∞ t=0, para i=1,2 , b cit, bait ∞ t=0 2 i=1∈ ArgM ax{{ci t, ait} ∞ t=0} 2 i=1 ( ∞ X t=0 βtln(cit) ) st. b cit≥ 0, ∀i, t b cit+qbtibait+1 = eit+bait ∀i, t N.P.G 2. Market Clearing 2 X t=1 bc i t= 2 X t=1 eit , ∀t ≥ 0 2 X t=1 ba i t= 0 , ∀t ≥ 0
2.2
b)
O equil´ıbrio competitivo Arrow-Debreu ´e uma sequˆencia de pre¸cos {pbt} ∞ t=0e aloca¸c˜oes{bc i t} ∞ t=0 2 i=1, tal que: 1. Dado os pre¸cos {pbt} ∞ t=0, para i=1,2 , b cit ∞t=0 2 i=1∈ ArgM ax{{ci t} ∞ t=0} 2 i=1 ( ∞ X t=0 βtln(cit) : ∀ t ≥ 0 , ct≥ 0 e ∞ X t=0 b pt(cit− e i t) ≤ 0 ) 2. Market Clearing 2 X t=1 bc i t= 2 X t=1 eit , ∀t ≥ 0
2.3
c)
Montando o lagrangeano: Li = ∞ X t=0 βtln(cit) − λ " ∞ X t=0 pt(cit− e i t) # C.P.O ∂ L ∂ci = 1 ci − λ p0 = 0 => λ = 1 p0 ci∂ L ∂ci t = β t ci t − λ pt= 0 => λ = βt ptcit
Igualando os resultados para o λ: pt p0 = β tci 0 ci t
Por este resultado temos que:
c10 = c20e c1t = c2t
Deste modo, sendo p0 = 1 (numer´ario), no equil´ıbrio:
pt =
βtC 0
Ct
Dada a condi¸c˜ao de market clearing: pt = βte 0 et (10)
2.4
d)
Observe que: • para t=0: e0 = 2 − e0 => e0 = 1 • para t → ∞: lim t→∞e −t = 0 => et= 2Por tanto, para este caso, a produ¸c˜ao da economia est´a crescendo ao longo do tempo. Uma maior oferta de produtos ir´a reduzir os pre¸cos (lei de oferta e demanda). Matematicamente se pode demonstrar retomando a equa¸c˜ao (10):
pt=
βt 2 − e−t
• para t → ∞:
βt → 0 e e−t → 0 E portanto p decresce com o tempo.
