Recursos Didáticos para o Ensino da Matemática
Bárbara de Cássia Xavier Cassins Aguiar
Universidade Federal do Paraná, Departamento de Expressão Gráfica81.531-970, Curitiba, PR Email: [email protected]
Giancarlo de França Aguiar
Universidade Positivo 81.280-330,Curitiba, PR Email:[email protected]
Resumo:
Neste trabalho são apresentadas algumas aplicações sobre integrais definidas no cálculo de volumes por sólidos de revolução, conteúdo presente na ementa da disciplina de Tópicos de Matemática Aplicados à Expressão Gráfica I, do curso Bacharelado em Expressão Gráfica da Universidade Federal do Paraná. Com a utilização do Software Winplot o ensino desta disciplina torna-se mais interessante e permite aplicações em diversas áreas da Expressão Gráfica.Palavras-chave: Integrais Definidas, Ensino, Software Winplot. Eixo Temático: Ensino.
1 Introdução
O Curso Bacharelado em Expressão Gráfica da Universidade Federal do Paraná, tem como objetivo formar profissionais que trabalhem no desenvolvimento de projetos gráficos digitais nas áreas de arquitetura, desenho de produto e mobiliário, e desenho mecânico utilizando as novas tecnologias disponíveis no mercado para representação de projetos digitais, tais como softwares de modelagem 2D, 3D e prototipagem rápida. O curso é formado por duas áreas: básica e específica. A área das disciplinas básicas é responsável pela construção de fundamentos teóricos de técnicas de representação de projetos e suas normas. Nas disciplinas básicas os estudantes aprendem conceitos de Geometria Plana e Espacial, normas do Desenho Técnico, Técnicas de Representação Gráfica, Cálculo e Geometria Analítica. Os conteúdos destas disciplinas servem como base para as disciplinas específicas que estão direcionadas à utilização de softwares de Desenho Assistido por Computador (CAD) e de Modelagem Geométrica, capazes de produzirem projetos desde sua concepção até sua execução. O profissional bacharel em Expressão Gráfica, será responsável pela criação de projetos gráficos digitais, animações, renderizações, cálculos de custos com materiais, e modificações nos projetos de forma interativa e rápida.
Neste trabalho são apresentadas algumas aplicações de conteúdos presentes na disciplina de Tópicos de Matemática Aplicados à Expressão Gráfica I, que é uma disciplina básica ofertada no primeiro semestre do curso Bacharelado em Expressão Gráfica da UFPR. Na disciplina são abordados conceitos básicos relativos ao cálculo de limites, diferenciação e integração de funções de uma variável real. São apresentadas técnicas e métodos para a determinação de limites, diferenciação e integração de funções de uma variável, além de aplicações da integral definida no cálculo de área, volume e o estudo de situações reais envolvendo extremos de funções.
A disciplina de Tópicos de Matemática Aplicados à Expressão Gráfica I tem como objetivo mostrar a importância e a aplicação de conceitos como limites, derivadas e integrais, como ferramentas na
de gerar curvas simples com a possibilidade de encontrar raízes, realizar combinações entre funções, rotações, comprimento de arcos, cálculo de volume e área, animação, entre outras opções.
Ao utilizar um computador o aluno pode manipular rapidamente uma grande quantidade de informação, o que proporciona liberdade para modificar variáveis, testar resultados e observar representações gráficas (Souza, [4]). No que se refere ao processo ensino-aprendizagem, os softwares exercem grande influência no desenvolvimento intelectual dos alunos (Taneja, [6]).
O trabalho de Barbosa, Carvalhaes e Costa [1], mostra como os conceitos de Cálculo Diferencial e Integral podem ser apresentados de forma intuitiva no ensino dos conceitos de Física para os alunos do ensino Médio. A proposta dos autores é de utilizar uma planilha eletrônica para representar convergência de valores numéricos que representam fenômenos físicos, melhorando a aprendizagem destes conceitos.
O trabalho de Tanaka e Capela [5], mostra o uso dos softwares Winplot e Maxima aplicado de forma integrada nas aulas de Matemática, em duas turmas do primeiro ano do curso de Farmácia-Bioquímica. Além das aulas teóricas, os alunos tiveram aulas práticas nas quais manusearam esses softwares como ferramentas auxiliares no aprendizado de vários conceitos de Cálculo Diferencial e Integral, apresentando bons resultados e promovendo uma melhor aceitação da disciplina Matemática por parte dos alunos do curso de Farmácia-Bioquímica.
Os softwares Winplot (Traldi Junior, [8], Marin, [3]) e o Maple (Lobeiro et al., [2], Wendt et al., [9]) são bastante conhecidos para auxiliar o ensino de Cálculo Diferencial e Integral. Estes softwares são importantes tanto para a visualização de gráficos das curvas de duas ou três dimensões, como também nos cálculos de derivadas e integrais.
2 Volume de sólidos de revolução
O volume de um objeto desempenha papel importante em muitos problemas nas ciências físicas. Um sólido de revolução é um sólido gerado pela rotação de uma região plana em torno de uma reta, a reta é chamada de eixo de revolução.
Definição: Seja f contínua em [a,b], e seja R a região delimitada pelo gráfico de f , pelo eixo-x e pelas retas verticais
x
a
ex
b
. O volume V do sólido de revolução gerado pela revolução de R em torno do eixo-x é (Thomas, [7]):
f
x
dx
V
b a 2)
(
No exemplo dado a seguir a área da região do plano delimitada pelos gráficos de
y
x
,
y
0
e4
Figura 1 - Sólido de Revolução.
A Figura 2 abaixo mostra a solução do problema calculada pelo Software Winplot.
Figura 2 - Volume do Sólido de Revolução.
A seguir o cálculo do volume do sólido de revolução foi calculado através da aplicação do conceito da integral definida apresentada na seção 2.
f
x
dx
V
b a 2)
(
8
25
,
13
.
2
0
2
4
2
2 2 4 0 2 4 0 2 4 0volume
de
unidades
x
dx
x
dx
x
V
fatores fundamentais na abordagem (compreensão numérica, gráfica, simbólica e física).
Figura 3 - Os 4 Momentos de Aprendizagem do Tema Sólidos de Revolução.
O produto final do trabalho (compreensão física) foi o desenvolvimento de um sólido de revolução, utilizando para isto, materiais reciclados (carcaças de impressoras e fontes de computadores descartados). As Figuras 4 e 5 a seguir ilustram alguns dos trabalhos finais.
Figura 4 - Trabalhos Finais dos Estudantes. A Aprendizagem do Tema
Sólidos de Revolução
Pode ser construída através da representação
rerecompreensão
Numérica Gráfica Simbólica Física
Exemplo Exemplo Exemplo Exemplo
Volume de um Cilindro
Volume de uma Esfera
Volume de umaPiscina
b a dy y R V ( ) 2 2 1 ) (i n i r V
Somatório do volume
Figura 5 - Trabalhos Finais dos Estudantes.
4 Conclusão
Neste trabalho, foram apresentadas algumas aplicações sobre integrais definidas no cálculo de volumes por sólidos de revolução, conteúdo presente na ementa da disciplina de Tópicos de Matemática Aplicados à Expressão Gráfica I, do curso Bacharelado em Expressão Gráfica da UFPR. Os resultados obtidos com a integração das partes teórica e prática da disciplina foram positivos, uma vez que os alunos puderam aplicar e comparar os conhecimentos adquiridos. Esta experiência evidencia que o emprego de novas tecnologias no ensino de Matemática pode apresentar resultados interessantes, viabilizando a aplicação do Cálculo no curso Bacharelado em Expressão Gráfica.
Referências
[1] A. C. C. Barbosa, C. G. Carvalhares, M. V. T. Costa, “A computação numérica como ferramenta para o professor de Física do Ensino Médio. Revista Brasileira de Ensino de Física”, vol. 28 (2), 249 – 254, 2006.
[2] A. M. Lobeiro, D. H. Macowski, , L. M. G. Cumin, N. M. P. Paião, W. J. Corrêa, “Utilizando o software Maple 13 para visualizar a derivada.” Proceedings of the 1st International Congress of Mathematics, Engineering and Society - ICMES 2009, Curitiba-PR, pp. 1-6, 2009.
[3] D. Marin, “Vantagens e desvantagens apontadas por professores de Matemática no uso de tecnologia de informação e comunicação de Matemática no Ensino Superior”. Revista Eletrônica da Divisão de Formação Docente, vol. 1(1), pp. 13-27, 2012.
[4] S. A. Souza, “Usando o Winplot”, 2004. Recuperado de www.mat.ufpb.br.
[5] J. S. Tanaka, M. V. Capela, J. M. Capela, “Novas Tecnologias no Ensino de Matemática: Um estudo de caso do Curso de graduação em Ciências Farmacêuticas.” XXXIV CNMAC, Águas de Lindóia/SP, setembro , 2012.
[6] I. J. Taneja, “Maple V: Uma abordagem computacional no ensino de Cálculo.” – Florianópolis: Ed. Da UFSC, 1997.
[7] G. B. Thomas , “Cálculo”, vol. 2, 10ª edição. São Paulo: Editora Pearson, 2002.
[8] A. Traldi, “Concepções dos formadores de professores de matemática. Revista Iberoamericana de Educación Matemática”, vol. 19, pp. 130-139, 2009.
[9] A. M. Wendt, , F. F. Halberstadt, F. R. Figueiredo, , L. M. M. Bonaldo, A. C. L. Bidel, “Noções Básicas de Cálculo Diferencial e Integral com o Maple.” ERMAC 2010: I Encontro Regional de Matemática Aplicada e Computacional, São João Del Rey - MG, pp. 90-107, 2010.
