Programação Inteira Resolução por Branch and Bound

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Programa¸c˜

ao Inteira

Resolu¸c˜

ao por Branch and Bound

Transparências de apoio à leciona¸cão de aulas teóricas

Vers˜ao 2.3 c

2012, 2010, 2009, 2001 Maria Ant´onia Carravilla Jos´e Fernando Oliveira FEUP

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T´

ecnicas exactas para resolu¸

c˜

ao de problemas de

Optimiza¸

c˜

ao Combinat´

oria

• Enumera¸cão expl´ıcita — por defini¸cão de problema de Optimiza¸cão

Combinatória, gerando e avaliando todas as solu¸cões admiss´ıveis é

poss´ıvel obter a solu¸c˜ao ´optima.

• Enumera¸cão impl´ıcita — não se gerando todas as solu¸cões admiss´ıveis,

elas s˜ao no entanto consideradas e implicitamente avaliadas.

Exemplos: Método de pesquisa em árvore com enumera¸cão e limita¸cão

(“branch and bound”); limites superiores e inferiores ao valor da solu¸c˜ao

´

optima.

• Formula¸c˜ao dos problemas em modelos de programa¸c˜ao inteira

(variáveis de decisão assumem valores no conjunto dos números

inteiros), ou mesmo bin´aria (vari´aveis apenas com dois valores poss´ıveis:

0 ou 1), e consequente resolu¸c˜ao com algoritmos apropriados.

Nota: Estas formula¸c˜oes podem tamb´em ser usadas para obter limites

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T´

ecnicas exactas e relaxa¸

c˜

oes para resolu¸

c˜

ao de

problemas de Optimiza¸

c˜

ao Combinat´

oria

Relaxa¸cão — Não considera¸cão de uma ou mais restri¸cões do problema

original P O, transformando-o num problema mais simples de resolver P R,

sabendo-se que os valores óptimos das fun¸cões objetivo obedecem à seguinte

rela¸c˜ao (assumindo um problema de minimiza¸c˜ao):

f_{P R}? ≤ f_{P O}?

(tradu¸cão: ao tirar restri¸cões a solu¸cão só pode melhorar, ou ficar na

mesma).

Relaxa¸cão linear – transforma¸cão de um problema em números inteiros num

problema com vari´aveis reais (deixa-se cair a restri¸c˜ao “e inteiros” ou “∈ N0”

−→ utiliza¸cão do método simplex para a sua resolu¸cão em vez dos muito

mais complexos (e extraordinariamente mais demorados) m´etodos de

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M´

etodo de “branch and bound”

O m´etodo de “branch and bound” baseia-se na ideia de uma enumera¸c˜ao

inteligente das solu¸cões candidatas a solu¸cão óptima inteira de um

problema, efectuando sucessivas parti¸c˜oes do espa¸co das solu¸c˜oes e cortando

a árvore de pesquisa através da considera¸cão de limites calculados ao longo

(5)

Representa¸

c˜

ao gr´

afica do processo de resolu¸

c˜

ao de um

problema por B&B

Considere-se o seguinte problema

de Programa¸c˜ao Inteira: Maximizar: F = 3x + 7y suj. a: x ≤ 3.5 5x − 4y ≤ 10 4 7x + 2y ≤ 9 x , y ≥ 0 e inteiras

e a sua representa¸c˜ao gr´afica:

(6)

Resolu¸

c˜

ao da relaxa¸

So-lu¸c˜oes n˜ao inteiras com valor de F

-

, , ,

,

_•

,

_•

,

(15)

´

Arvore de pesquisa do “Branch-and-Bound”

LP_0

(solução não inteira) x = 3.5

y = 3.5 F = 35

LP_01

(solução não inteira) x = 3 y = 3.6 F = 34.5 LP_02 (sem solução) LP_011 (solução inteira) x = 3 y = 3 F = 30 LP_012

(solução não inteira) x = 1.7

y = 4 F = 33.2

LP_0121

(solução não inteira) x = 1

y = 4.2 F = 32.5

LP_0122 (sem solução)

LP_01211

(solução inteira óBma) x = 1 y = 4 F = 31 LP_01212 (sem solução) x <= 3 x >= 4 y <= 3 y >= 4 x <= 1 x >= 2 y <= 4 y >= 5

(16)

Limites

Limites (inferiores e superiores):

• tornam o algoritmo de “branch & bound” mais eficiente ao permitir

descartar nós da árvore de pesquisa ainda não completamente

explorados, pela certeza de que nunca originar˜ao solu¸c˜oes melhores do

que as que j´a temos.

• permitem “medir a distˆancia” (em termos de valor da fun¸c˜ao objetivo) a

(17)

Limites num problema de maximiza¸

c˜

ao

• um limite inferior LI ´e dado

por uma solu¸c˜ao inteira que se

tenha j´a obtido – a solu¸c˜ao ´

op-tima F? nunca poder´a ser pior

(inferior) que a solu¸c˜ao inteira

que j´a temos;

• um limite superior LS ser´a

dado pelo maior valor da fun-¸

c˜ao objetivo de entre todos os

n´os ainda n˜ao completamente

explorados (a maior esperan¸ca que ainda temos de encontrar

uma solu¸c˜ao inteira melhor do

que aquela que j´a temos).

Problema de Maximização

F*- LI ≤ LS - LI F

Limite Superior – LS

Valor da função objetivo no nó mais promissor ainda não explorado Solução ótima inteira F* (desconhecida)

Limite Inferior– LI Melhor solução inteira encontrada (com o valor mais alto da função objetivo)

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Limites – exemplo

Considere um problema de maximiza¸c˜ao exclusivamente com vari´aveis

inteiras. Resolvendo o problema atrav´es de “Branch-and-Bound”, obt´em-se,

num determinado passo, a ´arvore representada na figura 1.

PL1

(solução não inteira) Z = 100

PL2

PL3

PL6

(solução inteira) Z = 70

PL7

PL8

(sem soluções)

PL9

PL4

(solução inteira) Z = 60

PL5

Figura 1: ´Arvore de “Branch-and-Bound”.

(19)

´

optima?

2. Qual ´e, nesta altura, o melhor limite inferior sobre a solu¸c˜ao inteira

´

optima?

3. Indique que nós já foram explorados e explique porquê.

4. Indique os nós que ainda não foram explorados e explique porquê.

5. Já foi atingida a solu¸cão óptima do problema inteiro? Porquê?

6. Qual o valor máximo do erro absoluto sobre a solu¸cão óptima inteira, se

(20)

Quest˜

oes em aberto – Estrat´

egias de ramifica¸

c˜

ao

Dado um conjunto de nós ainda não explorados, como escolher o nó seguinte

a explorar?

Pesquisa em profundidade

Sele¸cão do nó que está mais fundo

na árvore (último nó a ser gerado).

Pesquisa em largura

Sele¸cão do nó que está mais

acima na ´arvore (o n´o mais

an-tigo ainda n˜ao explorado).

O n´o mais promissor:

Sele¸cão do nó que tem melhor valor de fun¸cão objetivo (aquele que

(21)

Quest˜

oes em aberto

• Seleçcão da variável a ramificar – Seleccionado o nó a explorar, que

variável escolher para ramifica¸cão, de entre todas as variáveis que não

tomam valores inteiros?

Algumas estrat´egias foram apresentadas na literatura, mas o seu

desempenho revelou-se extremamente dependente do problema concreto

a que s˜ao aplicadas.

⇓

(22)

Bibliografia

• Alves, Jos´e Carlos (1989). Provas de Aptid˜ao Cient´ıfica e Capacidade

Pedag´ogica. FEUP.

• Goldbarg, Marco Cesar e Luna, Henrique Pacca (2000). Otimiza¸c˜ao