QUESTÃO ÚNICA. 10,000 pontos distribuídos em 40 itens. 41. Sobre lógica proposicional, assinale a alternativa correta.

M A G I S T É R I O M A T E M Á T I C A QUESTÃO ÚNICA

10,000 pontos distribuídos em 40 itens

41. Sobre lógica proposicional, assinale a alternativa correta.

(A) A negação da proposição “Violetas são azuis e rosas são vermelhas” é “Rosas não são vermelhas e violetas são azuis”.

(B) A negação da proposição “Rita gosta de Matemática ou Física” é “Rita não gosta de Matemática ou não gosta de Física”.

(C) A proposição “Aderbaldo canta e Milena estuda ou brinca” é equivalente à “Aderbaldo canta e Milena estuda” ou “Aderbaldo canta e Milena brinca”. (D) A proposição “Aderbaldo canta e Milena estuda ou brinca” é equivalente à

“Aderbaldo canta ou Milena estuda e brinca”.

(E) A negação da proposição “Todo losango é um quadrado” é “Existe um losango que é um quadrado.

42. Suponha que p, q, r e s são proposições simples. Complete cada um dos espaços seguintes de modo que os argumentos sejam válidos.

[(/> a ? ) - » ( ~ r ) ] a ( ~ (~ r ) )= > ______________ [(P a (~ q)) v ( q arj\ a______________=> p a (~ q) [ p - > ( ? A r ) ] A ______________ => ~ p (A) p -> q - ~ q v r - p q A r (B) ~ p v q - ~ (q Ar) - p -> q (C) ~ p -> q - ~ q Ar - p q Ar (D) ~ ( q A r ) - ~ p v ~ q - p - * ~ ( q A r ) (E) ~ p v ( ~ q) - ~ ( q A r ) - p - > ~ ( ? A r )

(B) V« > 0 natural, as soluções de x 2 - nx - 1 = 0 são números racionais. (C) Existem 20 funções / : {1,2,3,...,7} -> {1,2,3,...,10} estritamente crescentes.

„ 1 1 1 1

(D) A série in fin ita--- + --- + ••• não tem soma nos reais. 2! 3! 4! 5!

{ n ) \

(E) Seja n natural, então o resultado d e --- é sempre um inteiro.

44. Qual é o lugar geométrico das imagens dos complexos z tais que |3 - z\ = |ó + z\ ?

(A) O lugar geométrico é a mediatriz do segmento de extremos - 5 e 3. (B) O lugar geométrico é a mediatriz do segmento de extremos - 3 e 5 . (C) O lugar geométrico é a mediatriz do segmento de extremos 3 e 5 . (D) O lugar geométrico é a reta de inclinação 60° passando por 5 . (E) O lugar geométrico é a reta de inclinação 60° passando por 3.

45. Analise as afirmativas abaixo, colocando entre parênteses a letra “V”, quando se tratar de afirmativa verdadeira, e a letra “ F”, quando se tratar de afirmativa falsa. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.

( ) 1 < k e N . Se M k = 2k -1 é número primo então k é primo. ( ) Se p e p 2 + 8 são números primos então p 3 + 8 é primo. ( ) Se o m dc entre a e b é d , então mdc entre a 2 e b2 é d 2. ( ) O resto da divisão de 2325 por 17 vale 15.

(A) F - V - V - V (B) F - V - V - F (C) V - F - V - V (D) F - F - V - F (E) V - V - V - V

MAGISTÉRIO MATEMÁTICA CONCURSO DE ADMISSÃO - 2010 ao CFO/QC -2011

a & o

PA G -14

46. Sobre a teoria dos conjuntos numéricos, analise as afirmativas abaixo e, a seguir, assinale a alternativa correta.

48. Seja x o número de lançamentos em m r ú m dado não viciado é jogado até a obtenção do terceiro 6. Então a probabilidade disso ocorrer na décima jogada é: I. Para todo número real a > -1 e todo número natural n > 1 temos que a

desigualdade ( l + « ) > \ + na é válida.

*

II. Sejam a , P e IR, a > 0 . Então não existe n e N de modo que n a > p . III. Seja y l c r R , A * 0 . Se A é limitado superiormente, então A admite

supremo em R .

IV. Sejam A e B subconjuntos de R , tais que A u B = 0 e, ainda, que todo a G A é menor que todo b e B . Então existe um único c e R que não é

superado por nenhum a e A e que não supera nenhum b e B . (A) Somente I está correta.

(B) Somente I e III estão corretas. (C) Somente II e IV estão corretas. (D) Somente I, III e IV estão corretas. (E) Somente II, III e IV estão corretas.

47. Sejam / >3(R) = | p = a0 + axx + a2x 2 + <23;c3 ; OQ,ai,a2,a3 e R j e a aplicação linear T : /^ (R ) -> 7^(R) definida por T( p) = p ” + p ' - 2 p onde p", p' representam respectivamente, a segunda e a primeira derivada do polinómio

p e /^ (R ) em relação à variável real x . Então

(A) (B) (C) (D) (E) 5^ 68 4^ 57 3*_ 43 6^ 58 l í 67

49. Em um concurso as questões possuem 3 respostas para cada pergunta e apenas uma delas é certa. Portanto, para cada pergunta, um candidato tem probabilidade

de escolher a resposta certa se ele está adivinhando e 1 se sabe a resposta. Um candidato sabe 30% das respostas da prova do concurso. Se ele deu a resposta correta para uma das perguntas, qual a probabilidade de que ele tenha adivinhado?

I. Em relação à base | x 3, x 2 , x , l j , T é isomorfismo. II. A dimensão do espaço imagem de T é igual a 4 . III. O núcleo d e T éosubespaço

IV. Na base jl, x, x 2 , x3 j , a matriz de T tem traço nulo.

(A) Somente I está correta. (B) Somente I e II estão corretas. (C) Somente II e IV estão corretas. (D) Somente I, II e III estão corretas. (E) Todas estão corretas.

(A) (B) (C) (D) (E) 1 5 _5_ 16 1_ 16 2 3 3 4

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Visto: CONCURSO DE ADMISSÃO - 2010 ao CFO/QC - 2011

Sub e En sin o PAG -15 V 3 * V possui um termo f

50. Para que valores de n o desenvolvimento de 2 x “ -

independente de x ? (A) n é múltiplo de 3. (B) n é múltiplo de 4. (C) n é múltiplo de 5. (D) n é múltiplo de 6. (E) n é múltiplo de 7.

51. O desvio médio (absoluto) da lista numérica a, b, 5 vale —. Sabe-se que a e b 3

são reais positivos. Pode-se afirmar que:

53. Seja p{x) um polinómio real de coeficientes reais com grau n > 1 finito e

p (k\ x ) a derivada de p(x) em relação a x de ordem k , pode-se afirmar que:

(A) Para todo p( x) tem-se que lim ep<jí) = +oo.

(B) Se n é par então p (I)(x) tem pelo menos uma raiz real. (C) Se a é raiz simples de p(x) então p (X\ a ) = p x2\ a ) = 0.

(D) Se a é raiz inteira de p(x) então a divide o termo independente de p ( x ) . (E) Seja F( x) = —-— , então F^k\ a ) = 0 se, e somente se p (k\ a ) = 0 .

P(*) 54. Considere as Matrizes A = afirmar que: 1 1 1 1 -2 3 2 3 1 e 5 = -3 0 2 4 9 1 5 -7 9 , então pode-se (A) a - b = 4 o u ó - a = 4 (B) a + b -= 14 ou a + b = 6 2 -1 4 (C) a - b -= 4 e a + b = 14 _{(A) A~l + 5 * = -1 3 3} (D) a + >0_• 11= 6 e b - a = A 9 2 10 (E) a + ó = 10 e a - A - b 52. Considere a matriz A = que:

(A) det(^l) = - det(A' ) (B) det(40^_1) = 40det(^) (C) d e t ( 5 'l ) d e t ( ^ '1) = 1 -5 7 8 e a matriz B = 8 -8 3 2 , pode-se afirmar (B) det(,4 + 5 ) = 105 (C) A~' ■ B~' = 1 1720 (D) det(^4 • B) = det(^) + 5 det ( B) (E) det(^ + 7 5 ) = det(^) + 4 9 d et(5 )

(D) 4 A + 215 (E) d e t ( ^ + 5 ' l ) = 85 - 4 -26 3 3 -31 3 19 3 2 6 - 40 3 25 . 3 2 6 . " - Í 4 A~] + 215 3 242

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SUBD e En sin o

55. Considere a base canônica do R e sejam A , B , C : R —» R transformações lineares definidas por A ( x , y , z ) = ( 3x, 3y, 3z ) , B ( x , y , z ) = ( x , - y , - z ) e C(x, y, z) = {z, y, - x ) . Considere P o paralelepípedo definido pelos vetores de coordenadas (a, 0,0), (0,ò ,0 ) e (0,0, c ) . Pode-se afirmar que:

58. Analise as afirmativas abaixo, colocandoImtre parênteses a letra “V”, quando se tratar de afirmativa verdadeira, e a letra “ F”, quando se tratar de afirmativa falsa. A seguir, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta.

( ) W = {a & M 2(R); A T = TA, T fixada em M 2(R)} é subespaço vetorial

(A) o volume de (B ° C)(P) é 8a b c . (B) o volume de ( A ° B ° C ) ( P ) é 21 abc. (C) a área total de (C ° B)(P) é 2(a + b + c).

(D) (B ° A ° C)(P) tem um vértice em (0 ,3b, 0 ). (E) a área total de (C ° B ° A)(P) é 4(a + b + c).

56. Sobre l ( a ) = J ---- y— — r- com a > 0 , pode-se afirmar que: o cos2 6 + a

(A) Não existe. (B) / ( „ ) = 16tt 2 n (C) / ( « ) = a s a 1 +1 16;r (D) _{' ( » ) =} 3 ayja2 +1 (E) l n 3 a \ j a 2 +1 +3t - X2

57. Sobre o valor da integral f e d x , pode-se afirmar que: - X

(A) Não existe. (B) É igual a n (C) É igual a (D) É igual a zero. (E) É infinito.

do espaço vetorial das matrizes reais de ordem 2, M 2 ( R ) .

( ) Se X e Y são subespaços vetoriais de um espaço vetorial E e

E = X © F , então dim (X + F ) = dim X + dim F .

( ) Se B = {v,,v2, ...,vn} é uma base de um espaço vetorial V . Então, todo conjunto de V com n vetores será linearmente dependente.

( ) Sejam a e /? bases de um mesmo espaço vetorial. Se a = /? então a matriz mudança de base da base a para a base (1 é a matriz identidade. (A) V - F - V - V (B) F - V - V - V (C) V - V - F - F (D) F - V - F - V (E) V - V - F - V 59. Considere a função g : C

definida por g ( x ) = det(f?) onde B =

C , onde C é o conjunto dos números complexos, 2 2x4 - 5x3 2 2x - 6x - 2 3 x - 9 3 x - \ 0 x 2 -1 0 , pode-se afirmar que:

(A) g (x ) é uma função polinomial do 6° grau.

(B) — ( x ) = 2x5 - 5x4 - 5x3 + 15x2 - 7x - 9 dx (C) g ( 0 ) = 5 (D) ^ - f ( o ) = -7 dx d 3 g ( x (E) — (O) = 120 dx

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Simi

PA G -17

60. Considere a transformação linear T : IR -> R , definida por

T (x , y , z ) = ( x + 2 y - z, x + y , 2x + 5y - 4 z ) então a matriz de T em relação 3

a base canônica do R é igual a:

62. Considere a função real de variável real definida por S(x) ■■

Pode-se afirmar que:

1 se x > 0 0 se x = 0. -1 se x < 0 (A) 1 2 1 1 -1 0 2 -5 -4 (B) 1 2 -1 1 1 0 2 5 - 4 (C) 1 -2 -1 1 2 -5 -1 0 - 4 (D) 1 2 -1 0 1 1 - 4 5 2 (E) -1 2 -1 1 0 1 - 2 5 - 4

61. Considere a função real g(x ) = aebx cos(cx), onde a, i , c e R são constantes reais positivas e 0 < x < n . O ponto de coordenadas (0,1) pertence ao gráfico da função g que tem um extremo quando x = n e um ponto de inflexão quando

x = 0 ,5 r t . Então é verdade que:

(A) lim g(2x) = 0 *->o+

(B) g é decrescente.

(C) <* + b + c £ número inteiro. (D) g tem mais de uma raiz real. (E) a + b + c é número irracional.

(A) lim x-+0 3x + S ( M - ' ) (B) s ( | x 2 - l | - l ) = - l é contínua em 0. (C) lim x + 5 + SI = 0 (D) s ( | x 2 - l | - l ) é derivável em V2 . (E) x2 - 1|-1 jcix: = 3

63. Seja / : R 2 ->M definida por f ( x , y ) = a(x) P{y) onde a e p são funções diferenciáveis de uma única variável. Sabe-se que em qualquer ponto (x, y)

tem-¥ ¥

se — ( x , y ) = — (x , y ) e também que /( 0 ,0 ) = 2 e / ( - 1,2) = 4 . Então é

õx ôy

verdade que:

(A) lim / (x, x) = 0

X—>+00

(B) a função / é harmônica. (C) / tem mínimo no ponto (0 ,0 ). (D) as curvas de nível de / são retas. (E) grad / (x, y ) = £(1,2), k constante.

MAGISTÉRIO MATEMATICA CONCURSO DE ADMISSÃO - 2010 ao CFO/QC - 2011

En sin o

PAG -18

64. Suponha que uma partícula guiada pelo calor está localizada no ponto (2 ,-1 ) de uma placa lisa de metal, cuja temperatura em um ponto ( x , y ) é

2 2

T(x, y ) = 100 - 5x - y . Em cada ponto de sua trajetória, a partícula tem

velocidade dirigida na direção do aumento máximo da temperatura. Então, a equação para a trajetória dessa partícula é:

(A) _y4+ 8x = 1 (B) y4- 8 x 2 = 0

(C) y5- 5 x 2 = 0

(D) y5+ 0 ,5x = 0

(E) y3+ 0,5 x2 =1

65. Considere a função real de variáveis reais (x, y, z ) = xy2 + x 2 + y + 7 então o gradiente de <t> vale: (A) gradO = ( y 2 + x , 2 xy + 2, o ) (B) gradO = ^y 2 + 2x, 2xy + 1,0^ (C) gradO = ( y 2 + x, 2xy + 2 , 2 x ) (D) gradO - ^ 0, 2xy + 1, y 2 + 2x^ (E) gradO = ^2 xy + 1,0, y 2 + 2 x )

66. Sobre funções reais de variáveis reais^s^função vetorial, analise as afirmativas abaixo e, a seguir, assinale a altemativaxorreta.

I. Uma função vetorial f = f ( t ) , definida em um intervalo I , é contínua em

t0 e / , s e l im/ ( / ) = / ( / „ ) . ,_>'o 2 xy 2 2 * i x , y ) , , / v x + y e continua em (0 ,0 ). II. A função f { x , y ) = 0, (x,>>) = (0 ,0 )

III. A função /i(x,_y) = l n (x 2y 2 + 4 j não é contínua em K 2 .

IV. Sejam as funções f [ <x , y } = x 1y + \n{xy1 ) , x ( / ) = / 2, y { í ) - t e

/i(/) = / ( x ( r ) , j > ( r ) ) então ^ - = 5r4 + y .

(A) Somente III está correta. (B) Somente IV está correta. (C) Somente I e II estão corretas. (D) Somente I e IV estão corretas. (E) Somente II e III estão corretas.

67. Seja C = j z = x + yi ; x, _y e R e / = y f -T | . Assinale a alternativa correta.

+oo J

(A) X ---é divergente. «=i n + i

(B) j z e C ; e a < l j c j z e C ; Re(z2) > l | .

(C) A soma das raízes de z8 +1 = 0 é 1. (D) / ( z ) = zz é analítica em C . (E) X (« + l)z” converge para |z| > 1.

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Visto:

CONCURSO DE ADMISSÃO - 2010 ao CFO/QC - 2011 P A G -19

68. Sobre funções de uma variável complexa, analise as afirmativas abaixo e, a seguir, assinale a alternativa correta.

I. Seja / : [ / - » C uma função analítica. Seja z o e U tal que / ( z o ) = 0 e

70. Assinale a alternativa correta. +°° n \

(A) A série ^ ~~X é divergente. «=i n

f não é identicamente nula numa vizinhança de z g . Então z g é um ponto

isolado de / 1 ( o ) .

II. Sejam f , g : U —> C duas funções analíticas em U , onde U é aberto e conexo. Se / e g coincidem num subconjunto A de U com ponto de acumulação em U então / = g em U .

III. Se / é holomorfa no aberto U c C e sua derivada / ' : ( / —» C é contínua, então / não é localmente lipschitziana em U .

IV. Sejam f , g : U —> C duas funções analíticas em U , onde U é aberto e conexo. Se f ■ g = 0 então / = 0 ou g = 0.

V. Uma função holomorfa num aberto U a C , é lipschitziana em qualquer subconjunto convexo X de U , onde a sua derivada seja limitada.

(A) Somente V está correta. (B) Somente I e III estão corretas. (C) Somente II, III e IV estão corretas. (D) Somente II, IV e V estão corretas. (E) Somente I, II, IV e V estão corretas.

69. Sejam A( -a , 0) e B(a, 0) dois pontos distintos do plano onde a é a metade da distância entre A e B . Considerando o sistema de coordenadas polares (r , 6 ) ,

r > 0 e 0 < 9 < 2 n , o lugar geométrico dos pontos P do plano, tais que PA ■ PB = a 2 tem equação dada por:

(A) r 2 = a 2 cos0 (B) r 2 = 2a cos B (C) r = a cos(2é?) (D) r = 2acos{26) (E) r 2 = l a ' cos(20) +oo ( - l ) e" (B) A série X --- é convergente. «=i n -H»

(C) A série E arc c o tg (n ) é convergente. 1

i i

(D) A série L, --- r z--- r converge para —.

» =i ( 2 n -l ) ( 2 n + l) 2

(E) A série Z IV n +1 j é converge absolutamente.

n=1 ' '

1. A solução da equação diferencial

d 2 d — J y ( t ) + A — y { t ) + \ ' i y { t ) = 2t + 'ie 2'c o s ( 3 í) , para >>(()) = 0 , dt dt d / \ - y { o ) = - i é: dt

(A) y ( t ) = - — — e(-30 cos(r)

507 169 169 e 2,)s en { lt )t Ul 507 / x 179 ,_5() / x 8 /x 8 e( 2,)sen(s t)t 13/ (B) = --- é 5,)sen(st) + — é 30 c o s í / ) --- + --- ^ - + — 507 169 169 2 2 r o r , ) 179 8 <-'> 8 . e(~2,>sen( 3t) ‘ (C) y [ t j = ---e -e ’s e n \ t \ + ---- e 'coss e n \ t ) + ---e c o s ^ / J

-507 169 8 e 2>)sen{3t)t 13/ 169 (D) y ( t ) = - ™ ^ 507 _ / x 8 (_2„ i x 8 e(' 20sen(3/)/ 2/ e sen\3t) + — e cosí 3 / ] ---v ---1— 169 169 2 13 x 8 e 5,)sen(2/)i /E t v ( A = - — P( 9°.ví»«roA 8 0 lí n .

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V :

CONCURSO DE ADMISSÃO - 2010 ao CFO/QC - 2011

Sub e En sin o

PAG -20

72. Suponha / ( / ) uma função real de variável real a solução geral da equação diferencial - 3>>(3> - 6j(2> + 28j>(11 - 24y = 0 onde y - f i f ) e

(y%\ (vC)

y K ' = f K ' ( /) é a 77-ésima derivada da função / em relação a t .

Considerando todas as constantes arbitrárias da solução geral f ( t ) não nulas, tem-se:

(A) lim / ( t ) = +oo Í-++O0 (B) 11 11 0 (C) lim / ( 0 = 0 I—>-co (D) lim / ( O = +00 í-> 0 (E) lim / ( O = 0 / —>+00

73. A área do triângulo de vértices A ( l , 3, l ) , B ( l , -2 , o ) e C ( l, 2, - 3 ) é igual a:

74. Sobre sequências e séries numéricas, aaatíse as afirmativas abaixo e, a seguir, assinale a alternativa correta:

I. Se ( a n ) é uma sequência de números reais, convergente em R , então existe a e R , com a > 0 , de tal sorte que \an | < a , para todo n > 1.

oo CO

II. Seja Z an uma série de termos positivos em R . Se Z bn é uma série

M=1 n=1

convergente em R tal que an < bn, para todo n > 1, então Z a n é divergente em R .

III. Seja ( a n ) uma sequência crescente de números reais. Se essa sequência é limitada e s t a - sup \n > l j , então lim an > a.

/I—>+oo co

IV. Se uma série Z an converge em R , então lim an > 0 .

n-\ /j->+oo 2V43 (A) 3 3^43 (B) 2 5V43 (C) 3 3V43 (D) 5 (E) V43 1 unidades de área. unidades de área. unidades de área. unidades de área. unidades de área.

(A) Somente I está correta. (B) Somente I e II estão corretas. (C) Somente II e IV estão corretas. (D) Somente I, III e IV estão corretas. (E) Somente II, III e IV estão corretas.

75. Um capital foi aplicado por um ano e meio, resultando o montante no triplo do valor aplicado. Qual foi a taxa de juros anual do rendimento utilizando a convenção linear? (A) 0,2% ao ano. (B) 1 % ao ano. (C) 1,8% ao ano. (D) 2,5% ao ano. (E) 3,0% ao ano.

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Vi s t o: CONCURSO DE ADMISSÃO - 2010 ao CFO/QC - 2011

S U B B IR p lW lÍE ENSINO

PAG -21

76. Considere na figura o círculo que contém os pontos 5 ( 4 , 2 ) , C (0 ,10) e D(0 ,2 ), a reta r é tangente ao círculo em 5 e s é uma reta. A área da região interna ao círculo limitada entre o eixo y e a reta s vale:

77. As retas r e s são tangentes a C : x + 2y= ( y + i y nos pontos de abcissa - 1 . A área da região plana limitada entre r , s e C vale:

(A) — unidades de área. 3 4 (B) — unidades de área. 3 (C) 1,5 unidades de área. 5 (D) — unidades de área. 2

(E) 3,5 unidades de área.

78. A distância do ponto 5 ( l, 2, - l ) à reta s : s

x = 1 + 2/ y = 5 - t é igual a: z = - 2 + 3t (A) (B) (C) (D) (E) f 8 + 20 arcsen V f 10 + 8 arcsen • V f 10 + 8 arcsen • V / 8 + 20 arcsen V f 8 + 10 arcsen ■ V 5 , A )

3

J

A)

₃

MAGISTÉRIO MATEMÁTICA CONCURSO DE ADMISSÃO - 2010 ao CFO/QC -2011 PAG -22

79. Um terreno é colocado à venda por R$180.000,00 a vista ou em 10 prestações bimestrais, sendo a primeira prestação paga na data da assinatura do contrato. Determine o valor de cada parcela, sabendo-se que o proprietário está cobrando uma taxa de 34% ao ano pelo financiamento.

(A) R$22.200,00 (B) R$25.700,00 (C) R$28.350,00 (D) R$29.620,00 (E) R$30.220,00

80. Sobre séries numéricas é correto afirmar que:

+co 1 (A) Z -(B) n=o n \ 5 2 +co n Z --- — = -1 + e "=o(« + l ) l +co n (C) Z — = 5e w=0 yi I +«> n + 1 (D) Z --- = 4e «=0 fj j 2 (E) +<” n +1

z