Caderno Bimestral II
Matemática
Diretora FunDação Vale Isis Pagy
Gerente - Geral De eDucação FunDação Vale Joaquim Antônio Gonçalves
equipe De eDucação FunDação Vale Andreia Prestes
Anna Cláudia Eutrópio B. d’Andrea Cláudia Costa
Lílian Neves apoio eDitorial
Departamento de Comunicação Corporativa Vale parceiro
Comunidade Educativa CEDAC projeto GráFico e DiaGramação Crama Design
Possíveis obstáculos na
compreensão de números
racionais e inteiros negativos
Professor(a)
Iniciamos, no primeiro Caderno Bimestral, uma discussão acerca da importância da resolução de problemas como estratégia didática e a interação entre pares. Esses temas servirão de alicerces em todos os cadernos. Continuaremos privilegiando a troca de experiências entre os participantes, tanto nos encontros pre-senciais quanto nas atividades virtuais, com o intuito de valorizar o conhecimento e a experiência que cada um possui, além de proporcionar aquisição de novos conhecimentos na sua área de atuação. Ao longo deste caderno, teremos como tema central alguns obstáculos presentes na compreensão dos números racionais e dos inteiros negativos.
Espera-se desenvolver e/ou ampliar as seguintes competências docentes
neste bimestre:
n Reconhecer a importância da formação apoiada na prática docente, no conhecimento de
pesquisas educacionais e de documentos oficiais e na troca de experiências entre seus pares.
n Reconhecer a prática docente de matemática como uma possibilidade de criação
e reflexão de novos conhecimentos – que poderão ser modificados continuamente.
n Compreender a importância da resolução de problemas como estratégia
de ensino na matemática.
n Desenvolver estratégias de ensino que privilegiem a criatividade e a autonomia
do pensamento matemático dos educandos, por meio da resolução de problemas e com mais ênfase nos conceitos que nas técnicas.
se-Neste encontro, você participará de situações nas quais abordaremos
os seguintes conteúdos:
n Resultados da Prova Brasil de alunos do 9o ano em 2007 e 2009.
n Formas de organização dos alunos na resolução de problemas: trabalho individual,
trabalho em pequenos grupos, trabalho coletivo.
n O recurso à resolução de problemas.
Encontro Presencial
Duração: 4h
Para início de conversa
Duração: 40min
O que já vivemos...
Nesta primeira etapa, vamos socializar, em dois momentos, o desenvolvimento da atividade Aplicação Prática realizada no bimestre anterior. Para isso, retome o registro da atividade realizada por você.
Momento 1
1. Em pequenos grupos, cada professor deverá compartilhar sua vivência em sala de aula, relatando as dificuldades ou facilidades que teve durante o desenvolvimento da atividade Aplicação Prática com seus alunos. Desta forma, discuta com seus colegas as seguintes questões:
n Houve necessidade de replanejar a atividade?
n Como foi a preparação do ambiente para a realização da atividade pelos alunos? n Como ocorreu a interação entre pares durante a realização do problema proposto? n Após essa atividade, você propôs novos problemas? Conte-nos como têm sido suas aulas.
Momento 2
1. Cada grupo deverá socializar com os demais participantes as discussões realizadas em cada subgru-po, apresentando os principais ganhos ou dificuldades observadas na realização da Aplicação Prática.
Atividade de contextualização
Duração: 30min
O primeiro Caderno Bimestral apresenta o resultado da Prova Brasil de 2009 de uma determinada es-cola. Agora, a proposta é verificar e analisar os resultados nacionais. Compare as duas últimas edições desse sistema de avaliação, relacionados no quadro a seguir.
Ano 2007 2009
Escolas Municipais 237,58 239,19
1. Individualmente, analise os dados apresentados no quadro 1. Eles apresentam a média da escala de desempenho nacional das escolas municipais e estaduais.
n Consulte o documento Descrição dos níveis da escala de desempenho em matemática no Ensino
Fundamental – Saeb 5o e 9o anos do Ensino Fundamental presente no fim do Caderno Bimestral I;
n Relacione cada média ao seu respectivo nível de escala de desempenho de matemática; n Observe as competências/habilidades que não foram alcançadas pelos alunos
ao término do Ensino Fundamental.
2. Ainda no documento Descrição dos níveis da escala de desempenho em matemática, em quais níveis aparecem exemplos de habilidades relacionadas aos números inteiros? E aos números racionais? O ní-vel em que se encontra a média nacional contempla esses conhecimentos matemáticos?
n Leia os seguintes fragmentos extraídos dos Parâmetros Curriculares Nacionais, acerca
das orientações didáticas para o bloco de conteúdos “Números e operações”.
Embora o estudo dos números e das operações seja um tema importante nos currículos do Ensino Fundamental, constata-se, com frequência, que muitos alunos chegam ao final desse curso com um conhecimento insuficiente dos números, de como eles são utilizados e sem ter desenvolvido uma ampla compreensão dos diferentes significados das operações. Provavelmente isso ocorre em função de uma abordagem inadequada para o tratamento dos números e das operações e à pouca ênfase que tradicionalmente é dada a este assunto nos terceiro e quarto ciclos. (pág. 95)
... no trabalho com as operações, ao longo de todo o Ensino Fundamental, os professores constatam que uma das maiores dificuldades dos alunos está em relacionar a situação-pro-blema com a operação que permite obter a resposta. (pág. 95)
... na escola, o estudo dos números inteiros costuma ser cercado de dificuldades, e os resulta-dos, no que se refere à sua aprendizagem ao longo do Ensino Fundamental, têm sido bastan-te insatisfatórios. (pág. 97)
Quanto ao tratamento pedagógico dado a esse conteúdo, a ênfase na memorização de re-gras para efetuar cálculos, geralmente descontextualizados, costuma ser a tônica da aborda-gem dada aos números inteiros no terceiro e no quarto ciclos. (pág. 98)
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998.
3. Discuta com seus colegas de grupo as suas reflexões e respostas, procurando relacionar com os tre-chos destacados dos PCN.
n É possível construir conhecimentos relacionados a esses conjuntos numéricos,
sem privilegiar a memorização das regras de sinais? Como?
n De que maneira os alunos constroem significados para esses conjuntos?
Para pensar
O artigo 32 da LDB (9394/96) dispõe dos objetivos do Ensino Fundamental. Entre eles estão a formação de atitudes e valores, bem como o fortalecimento dos vínculos familiares, dos laços de solidariedade humana e de tolerância recíproca em que se assenta a vida social. Assim, as aulas de matemática podem contribuir também na aquisição e/ou ampliação desses objetivos, uma vez que a evolução desta área do conhecimento se deu a partir dos problemas e necessidades da humanidade, como, por exemplo, o surgimento dos números negativos pelos gregos e chineses na Antiguidade. Para isso, é essencial que o professor conheça a realidade e os anseios dos seus alunos.
A prática em questão
Duração: 2h40min
Momento 1 – Obstáculos
O trabalho a ser desenvolvido neste momento proporcionará, por meio da vivência de situações-pro-blema em conjunto com os colegas, a reflexão sobre a prática docente, especificamente no que diz res-peito a certos obstáculos no processo de ensino e aprendizagem no contexto dos números racionais.
1. Individualmente, resolva as duas situações-problema a seguir e, em seguida, responda às questões contidas no “Para refletir”. Registre, por escrito, todas as respostas e procedimentos utilizados.
Situação-problema 1. Tentando resolver certa situação-problema, um aluno percebeu que deveria resolver as operações indicadas nos itens a seguir, e assim o fez. Por que as operações foram resolvidas incorretamente? a) 3 + = 4 2 5 5 9 b) x4 3 = 5 12 20 c) 7 - = 5 2 3 5 2 d) ÷8 1 =4 2
Para refletir
n Esse tipo de resposta é recorrente entre seus alunos? n A que você atribui esse tipo de erro?
n Como você abordaria cada um desses erros, supondo que fossem cometidos por seus alunos?
Situação-problema 2. Represente os seguintes números racionais na reta numerada:
6,1 1 6,06 6,05 6,5 5,99 5,9 2 6 37 6 63 10 6 7
Para refletir
n Você imagina que seus alunos teriam dificuldade para resolver esse problema?
Que tipo de dificuldade?
n Supondo que eles encontrem dificuldade, como você abordaria a questão em sala de aula?
2. Agora o trabalho será realizado em pequenos grupos, de três a cinco professores (independentemen-te da série em que lecionam). Cada participan(independentemen-te deverá compartilhar com o grupo suas respostas e re-flexões acerca das questões contidas no item anterior. Mesmo que alguns participantes não tenham conseguido resolver ou responder algo, ou tenham considerado fáceis as questões, é importante que compartilhem suas reflexões e seus registros com os colegas.
Após compartilharem todas as respostas e reflexões, em consenso, o grupo deve escolher uma resposta a cada uma das questões contidas no ”Para refletir” e socializá-las com o grande grupo, na terceira etapa.
Observação: em vez de escolherem uma resposta, podem elaborar uma resposta nova, baseada em toda a discussão feita no grupo.
3. Agora a reflexão será coletiva: um participante de cada subgrupo deve apresentar as respostas (que jul-garam mais adequadas) dadas às questões contidas no “Para refletir”. Deve, ainda, justificar e fundamentar as respostas considerando as experiências que os professores do grupo têm em sala de aula.
n Todos os participantes consideraram comuns os erros da questão 1, no contexto
das operações com números racionais?
n Por que imaginaram que certos alunos cometem esses erros? Os motivos são comuns? n E quanto à abordagem que fariam? As ideias são comuns? Há uma única forma de abordar
a questão? Foram utilizadas estratégias diferentes? Quantas?
n Considerando a questão 2, os professores, em geral, imaginaram que seus alunos encontrariam
dificuldades para resolver o problema?
n Os tipos de dificuldade que surgiram foram comuns?
n E quanto à abordagem? As ideias são comuns? Há uma única forma de abordar a questão?
Foram utilizadas estratégias diferentes? Quantas?
4. Nesta etapa final (do Momento 1), fundamentaremos a reflexão feita anteriormente, tomando como base um trecho dos Parâmetros Curriculares Nacionais - Terceiro e quarto ciclos do Ensino Fundamental - Matemática. Trata-se de orientações didáticas que “pretendem contribuir para a reflexão a respeito de como ensinar,
abordando aspectos ligados às condições em que se constituem os conhecimentos matemáticos”, parti-cularmente sobre os números racionais. Organize-se com seus colegas de grupo (os pequenos grupos formados anteriormente) para ler de maneira compartilhada o trecho abaixo. Procure refletir sobre as questões discutidas coletivamente, tentando perceber relações entre a discussão e a leitura.
Números racionais
Embora as representações fracionárias e decimais dos números racionais sejam conteúdos de-senvolvidos nos ciclos iniciais, o que se constata é que os alunos chegam ao terceiro ciclo sem compreender os diferentes significados associados a esse tipo de número e tampouco os pro-cedimentos de cálculo, em especial os que envolvem os racionais na forma decimal.
Uma explicação para as dificuldades encontradas possivelmente deve-se ao fato de que a apren-dizagem dos números racionais supõe rupturas com ideias construídas para os números naturais. Ao trabalhar com os números racionais, os alunos acabam tendo de enfrentar vários obstáculos:
n Todos os participantes consideraram comuns os erros da questão 1, no contexto das
ope-rações com números racionais?
n A comparação entre racionais: acostumados com a relação 3 > 2, terão de compreender
uma desigualdade que lhes parece contraditória, ou seja, 1/3 < 1/2.
n Se o “tamanho” da escrita numérica, no caso dos naturais, é um bom indicador da ordem de
n Se, ao multiplicar um número natural por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a
expectativa é a de encontrar um número maior que ambos, ao multiplicar 10 por 1/2 se surpreenderão ao ver que o resultado é menor do que 10.
n Se a sequência dos números naturais permite estabelecer sucessor e antecessor, para os
ra-cionais isso não faz sentido, uma vez que entre dois números rara-cionais quaisquer é sempre possível encontrar outro racional; assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números como 0,81, 0,815 ou 0,87.
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. pp. 100-01.
n O texto aborda questões que foram discutidas coletivamente? Cite alguns exemplos.
n Uma das questões discutidas foi sobre os motivos que levariam os alunos a cometer os tipos de
erros presentes no problema. Existe relação entre esses motivos, elencados pelos professores na discussão, e os obstáculos que os alunos acabam enfrentando ao trabalhar com os números racionais, citados no texto?
Muitas vezes, encaramos os erros dos alunos como consequência da falta de pré-requisitos, como um problema intrínseco a sua personalidade (afinidade ou não com a área do conhecimento) ou um pro-blema de natureza neurológica, por exemplo. Porém, existem pesquisas que afirmam que certos obstá-culos, como os estudados anteriormente, são inerentes ao próprio processo de formação do indivíduo ou mesmo a questões didáticas.
5. Agora, ainda com os colegas, leia o texto a seguir, buscando conhecer alguns tipos de obstácu-los. Grife as ideias que julgar interessantes e/ou eventuais dúvidas que surgirem e compartilhe com o grupo. Durante a partilha, procure relacionar essas ideias com a leitura do texto dos PCN, sobre os números racionais, e com a discussão feita sobre as situações-problema.
Erros e obstáculos – caracterizando os obstáculos
Um campo de pesquisa bastante fértil é o da construção do conhecimento, sobretudo por par-te das crianças. Em que condições adquirem conhecimentos?
Um fator de extrema relevância nesse contexto é a questão do erro, que pode ser entendido como fonte para construção do conhecimento. Buscando explorar o papel do erro no proces-so de aprendizagem, pode-se pensar em obstáculos – que podem ser de diversas naturezas: Obstáculos epistemológicos – são aqueles inerentes ao saber, cujo papel foi decisivo na his-tória da construção do conhecimento – como, por exemplo, a dificuldade encontrada pelos gregos, ainda antes de Cristo, em aceitar a irracionalidade, algo desconhecido até então. Os números irracionais (ainda não definidos assim pelos gregos) estavam presentes em estu-dos geométricos e aritméticos, e os incomodavam. Um episódio clássico trata da diagonal do
quadrado que, no caso, tendo a unidade como medida do lado, os remeteria à raiz quadrada de dois (irracional). Os geômetras gregos faziam comparações entre medidas e consideravam, assim, razões entre dois inteiros (números racionais) o que, obviamente, não conseguiam fazê-lo com a diagonal do quadrado. Para eles, medidas como essa eram consideradas inco-mensuráveis, enquanto que os racionais (também ainda não definidos assim pelos gregos) eram considerados como medidas mensuráveis.
Embora estudados pelos gregos antigos, somente muito mais tarde – por volta dos séculos XVI a XIX, como indicam alguns historiadores – a comunidade matemática formalmente definiu e distinguiu o que hoje assumimos como números racionais e irracionais.
Obstáculos didáticos – são aqueles que advêm de escolhas de estratégias, não só de profes-sores, mas de sistemas educacionais em geral. São inevitáveis, devido à falta de maturidade existente (por idade, por série ou qualquer outro motivo) em determinadas classes de alunos e, assim, necessariamente, certos conhecimentos construídos em algum momento terão seu do-mínio de validade questionado ou se mostrarão incompletos. O que deve ser considerado é, pois, a necessidade de se detectar obstáculos dessa natureza vividos pelos alunos e a potencia-lidade existente nessa detecção como oportunidade para rever escolhas.
Adaptado de ALMOULOUD, S. Ag. Fundamentos da didática da matemática. Curitiba: Editora UFPR, 2007.
Possibilidades interdisciplinares: os números racionais possuem diferentes significados em diversos contextos (relação parte/todo, divisão, razão e operador) e em diferentes campos do conhecimento. Ao deparar com problemas relacionados a dinheiro, altitude ou profundidade, escalas termométricas, entre outros, estes
possibilitam trabalhar com situações do dia a dia (como dividir uma barra de chocolate em partes iguais entre seus colegas, assim como prever o valor a ser pago em uma mercadoria, quando lhe é aplicado um desconto), independentemente do tipo da operação (adição, subtração, multiplicação ou divisão, como no exemplo do chocolate).
Momento 2 – Construindo significados para os números
Neste segundo momento, daremos continuidade às discussões realizadas anteriormente, que se referem aos possíveis obstáculos que os alunos podem enfrentar quando em contato com números racionais. Cabe res-saltar que nos demais conjuntos numéricos existem, também, diversos obstáculos a serem considerados e enfrentados, assim como em outros conceitos na matemática.
1. Em subgrupos (podem ser os mesmos da atividade do item 2 do Momento 1), analisem os problemas a seguir. Em cada caso, procurem discutir e responder:
n A situação-problema pode ser entendida como um problema para seus alunos? Isto é, ele favorece
utilizan-Podemos considerar uma situação realmente como um problema para os
alunos se ela reúne algumas condições necessárias, que indicamos a seguir:
n ter sentido no campo do conhecimento, para que se possa imaginar uma estratégia para
resolvê-lo, mesmo que não seja a correta, nem a mais econômica;
n que o problema envolva um desafio: a estratégia conhecida não pode ser suficiente – ou
eficiente – para resolvê-lo;
n que seja suficientemente aberto para dar espaço ao surgimento de diferentes estratégias
de resolução válidas, para que seja possível confrontá-las e extrair conclusões a partir delas.
Matemática: orientações para o professor. Saeb/Prova Brasil. p. 97.
n Indique para qual série a situação pode ser considerada um problema ou um exercício; posteriormente,
procure relacionar a situação em questão a um nível de desempenho da Saeb/Prova Brasil.
n Associe cada problema a um descritor (habilidade) da Prova Brasil, consultando os descritores
de avaliação propostos na publicação Formação de professores – metodologia.
n Tendo como referência o texto Números racionais (PCN, 1998), inserido na página 7 deste
caderno, você identifica possíveis obstáculos que seus alunos poderiam enfrentar ao resolver a situação-problema? Quais?
n Como poderiam ser tratados esses obstáculos e eventuais erros cometidos pelos alunos?
Procurem justificar suas respostas.
Problema 1
(SARESP-2010 – 9o ano/8a série) Três escoteiros participavam de uma competição de orientação na mata. Ao alcançarem um determinado ponto do percurso, eles se depararam com um car-retel de corda e a seguinte orientação:
“Para prosseguir no trajeto, vocês necessitarão utilizar corda. Dividam a corda igualmente entre vocês!”
O primeiro escoteiro a chegar pegou 1/3 da corda e continuou seu caminho. O segundo esco-teiro, achando que era o primeiro a chegar a esse ponto, também pegou 1/3 da corda que fi-cou no carretel e seguiu seu rumo. O terceiro, mais cansado que os demais, percebendo que era o último, pegou 40 m restantes e foi embora.
a. Que fração inicial da corda o segundo escoteiro pegou? b. Quantos metros de corda havia no carretel?
Problema 2
Em Porto Alegre (RS), os termômetros registraram 2ºC pela manhã. Segundo o noticiário, a temperatura deverá cair 3ºC até o período da noite. Dessa forma, qual será a temperatura que os termômetros deverão registrar à noite?
Problema 3
A tabela a seguir foi elaborada a partir dos dados publicados pelo Departamento Intersindical de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese) referentes a alguns itens que compõem a cesta básica no município de Belo Horizonte (MG), em maio de 2012.
Produto Quantidade Gasto mensal em R$ anual em %Variação
Maio 2011 Maio 2012 Carne 6 kg 86,04 89,88 4,46 Leite 7,5 l 16,43 16,28 ? Feijão 4,5 kg 14,85 26,55 78,79 Arroz 3 kg 5,31 5,76 ? Farinha 1,5 kg 3,26 ? - 0,61 Café 600 g 6,94 8,05 15,99
n Complete a tabela acima com os valores que estão faltando. n Qual o significado dos valores da última coluna?
n Por que alguns valores da última coluna são positivos, enquanto outros são negativos?
Problema 4
Um trabalhador recebe R$ 7,35 por hora trabalhada. Sabendo que sua jornada semanal de tra-balho é de 40 horas, que valor este trabalhador deverá receber por semana?
Problema 5
Luiz costuma almoçar no restaurante Bom Apetite, que cobra R$ 16,00 por quilograma de comida. Se a balança aponta que Luiz pegou apenas 600g, qual o valor que ele deverá pagar pela comida? Considere que Luiz vai pagar uma parte em dinheiro e outra com vale refeição de R$ 7,50. Que valor em dinheiro, Luiz deverá desembolsar?
Problema 6
João possui uma caixa d’água com capacidade de 1.000 litros e que está completamente cheia de água. Considere uma mangueira aberta, cuja vazão é de 5 litros por minuto, sendo utilizada para ir-rigar seu jardim.
n Qual será a quantidade de água utilizada por João para irrigar o jardim, se considerarmos a
mangueira aberta por 30 minutos, de acordo com as condições iniciais do problema? Essa quantidade será positiva ou negativa, quando comparada com a quantidade de água inicial na caixa d’água?
n Se a vazão da água na mangueira é de 5 litros por minuto, calcule quantos litros de água a mais
João tinha 10 minutos antes de a mangueira ser fechada, considerando a situação anterior.
Para pensar
O trabalho com resolução de problemas é um ótimo contexto para o desenvolvimento de diversas habilidades por parte dos alunos e pode contribuir para um clima favorável à aprendizagem. Durante os trabalhos, os alunos argumentam defendendo certas estratégias, são questionados sobre a validade e eficiência delas e elaboram respostas convincentes. Saber ouvir os colegas e demonstrar atitudes de respeito ao outro devem ser trabalhados, dentro do rol das habilidades não cognitivas.
Momento 3 – Planejamento de atividade passo a passo
Até agora, as atividades propostas neste estudo privilegiaram a reflexão sobre obstáculos no processo de aprendizagem, particularmente no contexto dos números racionais e inteiros. Pudemos resolver problemas, refletir sobre eventuais erros cometidos pelos alunos, discutir sobre estratégias para o trata-mento dos mesmos, nos fundamentar teoricamente e, claro, compartilhar tudo com os colegas. Essa nova etapa favorecerá a vivência de uma importante etapa para o desenvolvimento dos trabalhos com os alunos: o planejamento.
Dando continuidade aos trabalhos realizados no bimestre anterior, vamos pensar na resolução de proble-mas como uma estratégia didática nas aulas de matemática, o que exige, por parte do professor, a realiza-ção de um planejamento sistemático de todas as etapas para a efetivarealiza-ção do seu trabalho, que se inicia na escolha do problema, passa pelo envolvimento dos alunos e vai até a avaliação do trabalho realizado. Desse modo, vamos pensar como podemos planejar uma atividade de resolução de problemas, agora no contexto dos números racionais e/ou inteiros, privilegiando a discussão e a troca de ideias entre os alunos, para favorecer a superação dos eventuais obstáculos encontrados nas tentativas de resolução.
1. Leia o quadro a seguir. Ele sugere algumas etapas para a elaboração do planejamento:
Quadro das etapas a serem asseguradas para planejar uma atividade de resolução de problemas
Etapas Orientações
Selecionar, conhecer e preparar a situação-problema
n Tendo em mãos o livro didático de matemática adotado pela rede (ou
por sua escola), selecione uma atividade que trate de números racionais e/ou inteiros e que pode ser considerada um problema aos seus alunos.
n Após a escolha da atividade, resolva-a, procurando observar quais
conhecimentos sobre o(s) conjunto(s) trabalhado(s), de fato, ela mobiliza.
n Tente prever possíveis erros que serão cometidos pelos alunos
e obstáculos que eles enfrentarão. Considerando essas condições, reflita sobre possíveis estratégias a serem utilizadas para colocá-las em discussão no grupo.
n Como o problema será apresentado aos alunos? Qual recurso será
utilizado para sua apresentação e resolução (no caderno, xerocopiado em folha, no próprio livro didático, escrito na lousa, escrito em cartaz, outro recurso)?
n Que aprendizagens este problema poderá favorecer?
O que o problema coloca como desafio principal para os alunos?
Competências
e habilidades discentes a serem desenvolvidas
n Aponte quais competências/habilidades poderão ser adquiridas e/ou
ampliadas referentes ao problema selecionado. Para isso, utilize como referência os descritores de avaliação presente no Caderno de Metodologia.
Organizar as etapas de trabalho com alunos no tempo e no espaço da sala de aula
n Quais serão as etapas de trabalho?
n Antecipem a forma de organização dos alunos para cada etapa
da atividade (individual, duplas, grupos, coletivamente).
n Quando essas etapas vão acontecer (mesmo dia, em dias diferentes,
quanto tempo será destinado a cada etapa)?
n Entre uma etapa e outra, vocês pretendem recolher as produções dos
alunos? Em caso afirmativo, que tratamento darão ao material recolhido?
O papel do professor n Procurem antecipar qual será seu papel em cada etapa de trabalho,
dizendo, por exemplo, se pretende circular entre os alunos para dar as ajudas necessárias durante o trabalho individual, ou se pretendem ajudar apenas os alunos que demonstrarem maior dificuldade; se haverá momentos em que irão orientar mais ativamente a discussão etc.
Conversar com os alunos
sobre o que será realizado n Que considerações poderão ser feitas antes de os alunos começarem a resolver o problema? Como você vai orientar a atividade? n O que não pode ser antecipado aos alunos? (Por exemplo: revelar ou não
do que se trata o problema; não revelar qual estratégia deverão utilizar, deixar que cada aluno escolha sua estratégia; não revelar qual operação devem utilizar, já antecipando se a resolução é de adição ou subtração, de números racionais ou inteiros).
Desenvolvimento do momento coletivo após a resolução da situação-problema
n Como será realizada a etapa de socialização? Pretende convidar alguns
alunos cujas estratégias de resolução foram diferentes para escrevê-las na lousa? Quantos alunos? Pretende convidar um aluno para expor sua estratégia de resolução e pedir aos demais para interpretá-la? Pretende organizar, primeiro, pequenos grupos e, posteriormente, pedir que os alunos de cada pequeno grupo exponham o que de melhor concluíram?
Avaliar a atividade n Que aspectos do desempenho dos alunos deverão ser observados para
indicar se as habilidades e competências discentes focadas foram desenvolvidas e/ou ampliadas?
Para definir as competências discentes que serão trabalhadas, você pode se basear também no quadro que segue, contendo especificações retiradas dos PCN (1998), escolhendo, ao menos, duas:
Objetivos de matemática para o terceiro ciclo (5a e 6a séries ou 6o e 7o
anos), visando ao desenvolvimento do pensamento numérico:
Objetivos de matemática para o quarto ciclo (7a e 8a séries ou 8o e 9o
anos), visando ao desenvolvimento do pensamento numérico:
n ampliar e construir novos significados para os
números naturais, inteiros e racionais a partir de sua utilização no contexto social e da análise de alguns problemas históricos que motivaram sua construção;
n resolver situações-problema envolvendo
números naturais, inteiros, racionais e a partir delas ampliar e construir novos significados da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação;
n identificar, interpretar e utilizar diferentes
representações dos números naturais, racionais e inteiros, indicadas por diferentes notações, vinculando-as aos contextos matemáticos e não matemáticos;
n selecionar e utilizar procedimentos de cálculo
(exato ou aproximado, mental ou escrito) em função da situação-problema proposta.
n ampliar e consolidar os significados dos
números racionais a partir dos diferentes usos em contextos sociais e matemáticos e reconhecer que existem números que não são racionais;
n resolver situações-problema envolvendo
números naturais, inteiros, racionais e irracionais, ampliando e consolidando os significados da adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação;
n selecionar e utilizar diferentes procedimentos
de cálculo com números naturais, inteiros, racionais e irracionais.
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. p. 64 e p. 81.
Nesta etapa do planejamento, lembre-se de considerar os possíveis obstáculos que os alunos poderão en-frentar diante das situações planejadas por você. Para isso, elencamos alguns obstáculos que estão destaca-dos nos PCN (1998).
Números inteiros
n Conferir significado às quantidades negativas.
n Reconhecer a existência de números em dois sentidos a partir de zero, enquanto
que, para os naturais, a sucessão acontece num único sentido.
n Reconhecer diferentes papéis para o zero (zero absoluto e zero origem).
n Perceber a lógica dos números negativos, que contraria a lógica dos números naturais
– por exemplo, é possível “adicionar 6 a um número e obter 1 no resultado” (-7 + 6 = 1), como também é possível “subtrair um número de 2 e obter 9” (2 - (-7) = 9).
n Interpretar sentenças do tipo x = - y (o aluno costuma pensar que necessariamente x
é positivo e y é negativo).
Números racionais
n Cada número racional pode ser representado por diferentes (e infinitas) escritas fracionárias:
por exemplo, 1/3, 2/6, 3/9, 4/12... são diferentes representações de um mesmo número.
n A comparação entre racionais: acostumados com a relação 3 > 2, terão de compreender
uma desigualdade que lhes parece contraditória, ou seja, 1/3 < 1/2.
n Se o “tamanho” da escrita numérica, no caso dos naturais, é um bom indicador da ordem
de grandeza (8.345 > 83), a comparação entre 2,3 e 2,125 já não obedece ao mesmo critério.
n Se, ao multiplicar um número natural por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1)
a expectativa é a de encontrar um número maior que ambos, ao multiplicar 10 por 1/2 se surpreenderão ao ver que o resultado é menor do que 10.
n Se a sequência dos números naturais permite estabelecer sucessor e antecessor, para
os racionais isso não faz sentido, uma vez que entre dois números racionais quaisquer é sempre possível encontrar outro racional; assim, o aluno deverá perceber que entre 0,8 e 0,9 estão números como 0,81, 0,815 ou 0,87.
Parâmetros Curriculares Nacionais – Matemática. Brasília: MEC/SEF, 1998. p. 98 e p. 101.
2. Em pequenos grupos, organizados pelo ano escolar dos participantes, utilize como modelo o “Rotei-ro para planejamento da atividade de resolução de p“Rotei-roblemas” e elabore uma atividade de resolu-ção de problemas que trate de números racionais e/ou Inteiros para desenvolver com seus alunos. Use como referência os quadros:
n das etapas de planejamento; n dos objetivos de matemática;
n dos possíveis obstáculos que os alunos podem encontrar. Tome como base os textos sobre
números racionais e inteiros relacionados anteriormente, bem como o texto teórico sobre obstáculos estudado no Momento 1 desta seção.
Roteiro para planejamento da atividade de resolução de problemas Situação-problema:
Fonte:
Etapas
Planejamento: descrever os procedimentos a serem realizados, o material que será utilizado e o tempo previsto para a atividade (ou cada parte da atividade).
Selecionar, conhecer e preparar a situação-problema.
Competências e habilidades discentes a serem desenvolvidas.
Organizar as etapas de trabalho com alunos no tempo e no espaço da sala de aula.
O papel do professor.
Conversar com os alunos sobre o que será realizado.
Desenvolvimento do momento coletivo após a resolução da situação-problema.
Avaliar a atividade:
descreva como será feita a avaliação da atividade; que aspectos do desempenho dos alunos deverão ser observados para indicar se as habilidades e competências discentes focadas foram desenvolvidas e/ou ampliadas.
Avaliação do encontro
Duração: 10min
Este é um momento para você avaliar como foi este Encontro Presencial.
Você terá acesso a uma avaliação avulsa. Preencha com bastante atenção e empenho, pois o objetivo é melhorar cada vez mais este programa de formação para você.
Preparação para o próximo encontro
Para o próximo Encontro Presencial, você vai precisar trazer:
n O livro didático de matemática adotado por sua escola.
n Alguns registros (diferentes entre si) de resoluções de problemas feitos por seus alunos,
preferen-cialmente relacionados ao problema proposto na Aplicação Prática.
n O registro que você fez sobre a atividade de Aplicação Prática (que foi planejada no 2o encontro
e desenvolvida em sua sala de aula).
n O texto e o seu registro da atividade de Reflexão sobre a Prática. n Este Caderno Bimestral.
Sugestões de Leituras complementares
n ALMOULOUD, Saddo Ag. Fundamentos da didática da matemática. Paraná: UFPR, 2007. n BRASIL. Ministério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Fundamental.
Orientações didáticas para terceiro e quarto ciclos.
In: Parâmetros Curriculares Nacionais (5a a 8a séries). Brasília: MEC/SEF, 1998. pp. 96–106.
n COSTA, Letícia V. O. Números reais no Ensino Fundamental: Alguns obstáculos epistemológicos.
Disser-tação de Mestrado. Universidade de São Paulo/SP, 2009. Disponível em: http://www.teses.usp.br/ teses/disponiveis/48/48134/tde-30082010-085854/pt-br.php. Acessado em: 14/06/2012.
n MORETTI, M. T. A regra dos sinais para a multiplicação: ponto de encontro com a noção de congruência
semântica e o princípio de extensão em matemática. Bolema: Boletim de Educação Matemática, Rio Claro/SP, 2012. Disponível em: http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/ article/view/5783/4410. Acesso em: 18/06/2012.
n Portal do Professor – Ministério da Educação (MEC), Brasil.
Disponível em: http://portaldoprofessor.mec.gov.br.
n Portal Rived (Rede Interativa Virtual de Educação) – Ministério da Educação (MEC), Brasil.
Disponível em: http://rived.mec.gov.br.
n SILVA. Denivaldo Pereira. Epistemologia dos números relativos. 2000. Disponível em:
Aplicação Prática
Duração: 4h
Com base no planejamento realizado no Momento 3, a ideia agora é realizar a atividade com seus alu-nos em sala de aula. Você precisará consultar o “Roteiro para planejamento da atividade de resolução de problemas” que elaborou. Para isso, siga os passos a seguir:
n Releia o planejamento e procure esclarecer eventuais dúvidas com seus colegas da escola. n Relembre as competências discentes que trabalhará na atividade e também
os encaminhamentos que planejou.
n Realize a atividade em sua sala de aula, levando em consideração os princípios que foram
discutidos no Encontro Presencial.
Registrando a prática
Depois da realização da atividade com seus alunos, registre-a seguindo o modelo do “Registro da ativi-dade: Obstáculos”. Recomenda-se que esse registro seja feito pouco tempo após a atividade, a fim de que você possa se recordar bem de alguns aspectos relevantes como, por exemplo, algumas falas dos alunos entre si, em interação com você e no momento coletivo de socialização.
Releia e revise seu registro antes de postá-lo no Portal de Aprendizagem.
Registro da atividade: Obstáculos Município:
Escola: Professor: Ano/Série:
Quantidade de alunos presentes no(s) dia(s) da atividade: Tempo utilizado para realização da atividade:
1. No quadro a seguir, escreva o problema e as competências/habilidades relacionadas à atividade Aplicação Prática:
2. Comente como os alunos participaram de cada etapa (concentração, envolvimento). Por que você acha que eles agiram dessa maneira?
3. Registre algumas falas dos alunos, contextualizando-as. Procure relatar falas e/ou conversas que indiquem que os alunos estavam avançando em relação ao conteúdo em questão (números racionais e/ou inteiros).
4. Na sua concepção, quais foram os motivos que levaram os alunos a cometer eventuais erros? E acertos? Que erros e acertos?
5. Eventuais erros que surgiram foram decorrentes, em sua opinião, de algum tipo de obstáculo enfrentado pelos alunos?
6. Registre como você considera que foi a sua atuação durante a realização da atividade (dificuldades, dúvidas, descobertas...).
Atividade Virtual
Duração: 4h
Para aprofundarmos nossos estudos sobre obstáculos presentes na matemática, discutiremos, nesta atividade, o surgimento dos números inteiros negativos, principalmente as estratégias utilizadas para o ensino das regras de sinais. Retome o texto Erros e obstáculos – caracterizando os obstáculos presente na página 8 deste caderno. Lá você poderá relembrar os dois tipos de obstáculos (epistemológicos e didá-ticos) que por muitas vezes induzem os alunos ao erro.
Ao longo da história da matemática, as regras de sinais geraram inúmeras controvérsias até meados do sé-culo XIX. Foi a partir desse período que os números negativos adquiriram estatuto igual ao dos positivos. Um dos obstáculos que merece destaque são as falhas nas estratégias adotadas para o ensino dos números Inteiros, sobretudo das regras de sinais, que por muitas vezes são apresentadas em livros didáticos como me-ra memorização, descoladas da realidade dos alunos, causando conflitos. “Como é possível obter um núme-ro positivo a partir do pnúme-roduto de dois númenúme-ros negativos?” é um dos questionamentos recorrentes.
No artigo A regra dos sinais para multiplicação: ponto de encontro com a noção de congruência semântica e o princípio de extensão em matemática, MORETTI (2012)1 apresenta diversos modelos didáticos para explicar as regras de sinais para a multiplicação.
Utilizaremos dois desses modelos, com o intuito de aprofundar os estudos sobre os obstáculos referen-tes às regras de sinais nas aulas de matemática. Analise os modelos didáticos a seguir, que estão no Por-tal de Aprendizagem. Reflita e registre suas conclusões no espaço destinado no PorPor-tal, de acordo com as questões propostas no fim deste texto.
Modelos de área baseados na relação de Diofanto de Alexandria
No livro didático Educação matemática (PIRES, CURI E PIETROPAOLO, 2002), destinado aos alunos do 7o ano, antiga 6a série, os autores apresentam as regras de sinais para a multiplicação, por meio do cálculo de área inspirada na representação geométrica da relação de Diofanto de Alexandria “(a – b).(c – d) = ac – ad – bc + bd”. Desse modo, para se obter o produto de (- 1 ).(- 1 ) = 1, consideraremos o retângulo a seguir:
1 Caso queria ler o artigo na integra acesse: http://www.periodicos.rc.biblioteca.unesp.br/index.php/bolema/article/view/5783/4410. Acesso em: 25/09/2012.
O cálculo da área mais clara pode ser obtido pelo produto: (7 – 1).(8 – 1) = 42
(+ 56) + (- 7) + (-8) + ∆ = 42, considerando que (- 1).(- 1) = ∆ (+ 41) + ∆ = 42
∆ = + 1
Assim, podemos concluir que o produto de (- 1).(- 1) = + 1.
Modelo didático baseado no prolongamento da reta numérica dos naturais
Segundo os PCN (1998), a utilização desse modelo é um importante recurso, pois permite explorar vá-rios aspectos, tais como:
n visualizar o ponto de referência (origem) a partir do qual se definem os dois sentidos;
n identificar um número e seu oposto (simétrico): números que se situam à mesma distância do zero; n reconhecer a ordenação dos inteiros: dados dois números inteiros quaisquer, o menor é o que está à
esquerda (no sentido positivo da reta numérica); assim, dados dois números positivos, será maior o que estiver mais distante do zero, e dados dois negativos, será maior o que estiver mais próximo do zero;
n comparar números inteiros e identificar diferenças entre eles;
n inferir regras para operar com a adição e a subtração, como: (+3) + (-5) = +3 - 5 = -2.
No caso da multiplicação, orientam a utilização de tabelas para que se possam perceber padrões de re-gularidades nas multiplicações efetuadas, como:
x -2 -1 0 1 2 2 -4 -2 0 2 4 1 -2 -1 0 1 2 0 0 0 0 0 0 -1 2 1 0 -1 -2 -2 4 2 0 -2 -4
O teorema de Hankel
As controvérsias com relação às regras de sinais terminaram com o Teorema de Hankel do ponto de vis-ta matemático, porém ainda estão presentes inúmeros questionamentos didáticos relavis-tados no decor-rer do nosso Caderno Bimestral.
Foi em 1867 que Hankel conseguiu dar uma resposta matemática definitiva para a questão das regras de si-nais para a multiplicação. Essa resposta pode ser encontrada no trabalho Epistemologia dos números relativos (SILVA, 2000), que apresenta a demonstração de Hankel considerando os números inteiros a e b como positivos (op.a e op.b são seus opostos, ou seja, -a e -b).2
0 = a.0 = a.(b + op.b) = ab + a.(op.b) [1]
0 = 0.(op.b) = (a + op.a).(op.b) = (op.a).(op.b) + a.(op.b) [2] 0 = 0.b = (a + op.a).(b) = ab + (op.a).b [3]
Comparando as equações [1] e [2] termo a termo, conclui-se que (op.a).(op.b)= ab ab + a.(op.b) = (op.a). (op.b) + a.(op.b)
ab = (op.a). (op.b) + a.(op.b) - a.(op.b) ab = (op.a). (op.b)
Lembrando que:
op.a = -a e op.b = -b, então, ab = (-a).(-b).
Logo, (-).(-) = (+)
Comparando as equações [1] e [3] termo a termo, conclui-se que a.(op.b) = (op.a).b ab + a.(op.b) = ab + (op.a).b
a.(op.b) = ab + (op.a).b -ab a.(op.b) = (op.a).b
Lembrando que op.a = -a e op.b = -b, então, a.(-b) = (-a).b
Logo, (+).(-) = (-).(+) (SILVA, 2000, p.4)
Para refletir, registrar e postar no Portal
1. Na atividade Aplicação Prática, você pôde identificar obstáculos por parte de seus alunos, quando estes estavam em contato com a situação-problema a ser resolvida?
2. Quais fatores você considera que possam ter contribuído para a ausência ou a existência de obstá-culos na situação proposta?
3. Você considera que os modelos apresentados podem compor suas estratégias na abordagem das regras de sinais com seus alunos no Ensino Fundamental? De que forma?
4. Selecione um ou dois livros didáticos de autores diferentes aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático (PNLD); se possível, consulte também os manuais do professor relacionados aos li-vros escolhidos. Comente de que maneira são apresentadas as regras de sinais para a multiplicação. Elas favorecem ou não a permanência dos obstáculos com relação aos alunos? Justifique.
5. Na atividade de resolução de problema que você realizou em sua sala de aula, a partir do planeja-mento feito no Encontro Presencial, aconteceu algo semelhante no que diz respeito à interação en-tre pares, como já feito anteriormente no Caderno Bimestral I? Comente.
6. Como foi sua experiência na Aplicação Prática? O que ela teve de positivo? E o que ainda ficou co-mo desafio a ser superado?
Reflexão sobre a Prática
Duração: 4h
Nesta atividade, você fará a leitura de um texto sobre obstáculos no processo de aprendizagem. A seguir, à luz dessa leitura, refletirá sobre três momentos deste processo formativo: A prática em ques-tão (trabalhos realizados no Encontro Presencial), Aplicação na Prática (atividade realizada em sala de aula) e Atividade Virtual.
Educação e obstáculos
Uma das discussões no campo da educação matemática é sobre o processo de construção do co-nhecimento por parte dos alunos. Uma ideia defendida é que esse processo é algo dinâmico, não estático ou linear, e ocorre a partir de rupturas que ocorrem em meio a conhecimentos construídos até então. O sujeito, em certas situações, sentiria a necessidade de questionar concepções aceitas por ele, conhecimentos anteriores, ou mesmo se questionar a partir de um erro, fazendo com que o processo seja algo sem fim, destruindo-se sempre algum conhecimento e construindo-se outro. Como educadores, temos, através do diálogo, problematizado o conhecimento do aluno, se-meando a dúvida, o conflito, e enfatizando as contradições, a possibilidade de trabalhar a sub-jetividade dos alunos e utilizá-la no processo de ensino e aprendizagem, visando à ruptura em
Considerando-se, então, essa perspectiva, pode-se pensar na construção do conhecimento em âmbito educacional como uma teoria, conhecida como “pedagogia do não”, que fundamenta-se assumindo que um conhecimento é construído negando-se um conhecimento anterior. Porém, não se trata de algo contínuo, visto que certo conhecimento que fora negado pode ser descarta-do ou mesmo utilizadescarta-do na concepção de novas ideias, em meio a generalizações, por exemplo. A negação envolvida na teoria estaria, pois, associada às rupturas no processo de construção do conhecimento, ao vencimento de obstáculos (epistemológicos, didáticos ou de outra natureza) e, sempre que possível, seria desejável repensar cada conquista oriunda dessas rupturas.
Comunidade Educativa CEDAC
Estudo pessoal
O texto que foi lido faz referência à construção do conhecimento a partir de rupturas de certos obstácu-los, considerando o erro como fonte de aprendizado. Dentro da “pedagogia do não”, pode-se pensar o er-ro como fonte na construção do conhecimento por parte dos alunos. Estes conster-roem o conhecimento de maneira não necessariamente contínua, a partir de rupturas, ao passarem por certos obstáculos.
n Procure se lembrar da atividade prática de resolução de problemas sobre os números racionais
e/ou inteiros que foi realizada por seus alunos (retome o “Registro da atividade: Obstáculos”). No desenvolvimento daquela atividade, você teve a oportunidade de perceber a superação de algum tipo de obstáculo por parte dos alunos? Indique o ocorrido.
n Retome a reflexão da Atividade Virtual. Relacione as situações em questão com o texto lido.
Você considera os modelos didáticos estudados como motivação ao rompimento de obstáculos enfrentados pelos alunos, no contexto da regra de sinais? Justifique.
n O que você acha dessa teoria? Faça um retrospecto, agora pensando no seu processo
de aprendizagem. Lembra-se de algum momento/episódio em que se vê superando algum obstáculo? Houve aprendizado?
É com essas questões e com propostas de ações que esperamos revê-lo no próximo encontro!
Autoavaliação
Após a realização das atividades e reflexões que foram propostas no decorrer deste bimestre, sugerimos que você faça uma autoavaliação. Trata-se de um momento de reflexão sobre o que já foi apropriado por você, o que ainda precisa de aprofundamento e o que ainda não pôde avançar.
A autoavaliação refere-se às competências/habilidades docentes que foram desenvolvidas e aprofun-dadas no trabalho proposto neste estudo bimestral. Trata-se de um conjunto de competências/habili-dades específicas que, juntas, constituirão aquelas competências mais amplas cujo desenvolvimento é o propósito deste processo formativo.
Competências e habilidades para o trabalho docente
Plenamente desenvolvida/ ampliada Parcialmente desenvolvida/ ampliada Não foi desenvolvida/ ampliada
Participar ativamente de atividades formativas na perspectiva do aprimoramento da prática pedagógica e do atendimento
de objetivos e metas estabelecidos. Trabalhar em equipe, interagindo com os colegas e colaborando com a formação do grupo.
Identificar a adequação das diferentes formas de organização do grupo (trabalho individual, em pequenos grupos e coletivo) e considerar suas potencialidades para a aprendizagem. Demonstrar compreensão do recurso à resolução de problemas como caminho para a elaboração do conhecimento matemático. Realizar leitura profissional, explorando as potencialidades do texto e relacionando a teoria com a prática docente.
Identificar os principais elementos que constituem um obstáculo.
Planejar atividades que possam se constituir em situações-problema ajustadas às possibili-dades dos alunos, de forma a favorecer as aprendizagens de conteúdos.
Utilizar o livro didático integrado a atividades planejadas com objetivos claros.
O que você sugere como estratégia para ajudar a desenvolver as competências e habilidades que identificou como ainda pendentes em sua formação?
No próximo caderno vamos abordar o pensamento algébrico, já que ele está presente em todas as séries do Ensino Fundamental II. Historicamente, o surgimento da álgebra é um marco no desenvolvimento da matemática. Ela possibilitou a sistematização dos conhecimentos, gerando novos campos de estudo.
