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iˆ = 90º = 1 2 Aˆ = 60º D =? = 2 2 rˆ = 45º

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Academic year: 2021

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(1)

PROVA DE FÍSICA

2º ANO - 2ª MENSAL - 3º TRIMESTRE TIPO A

01) Considere um estreito feixe de luz branca incidindo sobre um prisma de vidro. A refração desse feixe no vidro dá origem a um espectro colorido, no qual se observam as seguintes cores na ordem decrescente de suas velocidades de propagação: vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, anil e violeta.

De acordo com a situação apresentada, assinale V para as afirmativa(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s). (V) A dispersão da luz branca ocorre, porque o índice de refração do bloco de vidro é diferente para cada uma das cores. (F) O desvio da luz violeta é menor do que o desvio da luz vermelha quando ambas emergem do bloco de vidro. (F) O feixe violeta, ao passar pelo prisma, dará origem a um novo espectro colorido.

(V) O índice de refração do vidro para luz verde é maior que o índice de refração do vidro para luz amarela. (F) Em ordem crescente de freqüência, temos: vermelho, laranja, verde, amarelo, azul, anil e violeta.

02) Uma estudante observa um lustre de lâmpadas fluorescentes, acesas no teto da sala de aula, através de uma lente convergente delgada. Para isso, ela coloca a lente junto aos seus olhos, afastando-a lentamente. Ela nota que a imagem desse lustre, a partir de certa distância, começa a aparecer invertida e nítida. A partir daí, se ela continuar a afastar a lente, a imagem desse lustre, que se localizava:

a) entre a lente e o olho da estudante, mantém-se nessa região e sempre é invertida.

b) entre a lente e o olho da estudante, mantém-se nessa região, mas muda de orientação. c) na superfície da lente, mantém-se na superfície e sempre é invertida.

d) entre a lente e o lustre, mantém-se nessa região, mas muda de orientação. e) entre a lente e o lustre, mantém-se nessa região e sempre é invertida. 03) Analise as afirmativas abaixo.

I. A lente natural do nosso olho (cristalino) é uma lente convergente, pois gera uma imagem virtual, menor e direita na retina. II. Instrumentos de projeção fazem uso de lentes convergentes, pois geram imagens reais e invertidas.

III. Para resolver o problema de miopia, utiliza-se uma lente divergente. IV. As lentes são classificadas de acordo com o seu formato e tamanho.

V. A distância focal de uma lente tem o mesmo valor, quer ela esteja sendo utilizada no ar ou imersa em água. Podemos dizer que são corretas:

a) I, II e V. b) I, III e V. c) II e IV. d) II, III e V.

e) II e III.

04) Em um prisma triangular e eqüilátero, imerso no ar, o raio incidente é perpendicular à reta normal (incidência rasante) da seção transversal considerada. Sabendo que o ângulo de incidência é o dobro do de emergência e que o índice de refração do prisma é

2

, determine o ângulo de incidência da segunda face e o desvio angular total sofrido pelo raio de luz.

6 0 º 1 ª fa c e 2 ª fa c e 9 0 º 4 5 º

ˆ

90º

ˆ ' 45º

ˆ

60º

?

i

i

A

D

=

=

=

=

ˆ

ˆ

.

.

ˆ

1.

90º

2.

ˆ

1.1

2.

1

ˆ

2

2

ˆ

2

ˆ

45º

ar p

n seni

n senr

sen

senr

senr

senr

senr

r

=

=

=

=

=

=

ˆ

ˆ

ˆ '

ˆ

60º

45º

'

' 15º

ˆ

ˆ

ˆ '

90º 45º 60º

75º

A

r

r

r

r

D

i

i

A

D

D

= +

=

+

=

= + −

=

+

=

(2)

05) Uma lente, imersa no ar, tem uma face convexa de raio 20 cm e uma face côncava de raio 60 cm. O índice de refração absoluto da lente vale 1,5. Determine a vergência da lente e o seu comportamento óptico.

1 2

1

1

1

1

1

1, 5

1

1

1

1

20

60

1

1

1

2

30

1

1

60

60

0, 6

L ar

n

f

n

R

R

f

f

f

f

cm

m

convergente

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎠⎝

⎛ ⎞⎛

= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝

=

=

=

1 2

60

20

1, 5

1

L ar

R

cm

R

n

n

= −

=

=

=

1

1

0, 6

1, 67

V

f

V

V

di

=

=

=

06) Um raio de luz proveniente do Sol incide numa das faces de um prisma triangular com um ângulo de incidência de 45°. Ao emergir desse sólido, ocorre a dispersão dos raios luminosos nas cores do espectro, vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta. Sabendo que o raio monocromático de cor verde atravessa o prisma de modo a formar 90° com a reta bissetriz do ângulo de abertura e que o índice de refração do prisma para a luz verde é

2 3

3

, determine o ângulo de refringência desse sólido.

É caso particular = ... cor verde atravessa o prisma de modo a formar 90° com a reta bissetriz do ângulo de abertura...

ˆ

ˆ ' 45º

2 3

3

ˆ

?

p

i

i

n

A

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=

ˆ

ˆ

.

´

.

´

2 3

ˆ

1.

45º

.

3

2

2 3

ˆ

1.

.

2

3

2

3

ˆ

.

2

2 3

6

ˆ

4

ˆ

15º

ar p

n seni

n senr

sen

senr

senr

senr

senr

r

=

=

=

=

=

=

ˆ

2 '

ˆ

ˆ

2.15º

ˆ

30º

A

r

A

A

=

=

=

07) Uma pessoa com alto grau de miopia só pode ver objetos definidos claramente se a distância até o objeto, medida a partir do olho, estiver entre 15 cm e 40 cm. Para enxergar um objeto situado a 1,5 m de distância, esta pessoa pode usar óculos com uma lente de distância focal de 30 cm. A qual distância, em cm, à esquerda da lente, se formará a imagem do objeto e qual será a ampliação da imagem?

1

1

1

'

1

1

1

30

150

'

1

1

1

30

150

'

1

5 1

'

150

150

'

6

'

25

f

p

p

p

p

p

p

p

cm

= +

=

+

=

− −

=

=

= −

'

25

150

0,1666

p

A

p

A

A

= −

= −

=

(3)

PROVA DE FÍSICA

2º ANO - 2ª MENSAL - 3º TRIMESTRE TIPO B

01) Uma pessoa segura uma lente delgada junto a um livro, mantendo seus olhos a uma distância de aproximadamente, a 40 cm da página, obtendo a imagem indicada na figura.

Em seguida, sem mover a cabeça ou o livro, vai aproximando a lente de seus olhos. A imagem, formada pela lente, passará a ser:

a) sempre direita e cada vez menor.

b) sempre direita e cada vez maior.

c) direita e cada vez menor passando a invertida e cada vez menor. d) direita e cada vez maior, passando a invertida e cada vez menor. e) direita e cada vez menor, passando a invertida e cada vez maior.

02) Considere um estreito feixe de luz branca incidindo sobre um prisma de vidro. A refração desse feixe no vidro dá origem a um espectro colorido, no qual se observam as seguintes cores na ordem decrescente de suas velocidades de propagação: vermelho, laranja, amarelo, verde, azul, anil e violeta.

De acordo com a situação apresentada, analise as seguintes afirmativas.

I. A dispersão da luz branca ocorre, porque o índice de refração do bloco de vidro é diferente para cada uma das cores. II. O desvio da luz violeta é menor do que o da luz vermelha quando ambas emergem do bloco de vidro.

III. O feixe violeta, ao passar pelo prisma, dará origem a um novo espectro colorido. IV. O índice de refração do vidro é maior para a luz verde do que para a amarela.

V. Em ordem crescente de freqüência, temos: vermelho, laranja, verde, amarelo, azul, anil e violeta. Podemos dizer que são corretas:

a) I, II e V. b) I, III e V. c) II e III. d) II, III e V.

e) I e IV.

03) Assinale V para a(s) afirmativa(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

(F) A lente natural do nosso olho (cristalino) é uma lente convergente, pois gera uma imagem virtual, menor e direita na retina. (V) Instrumentos de projeção fazem uso de lentes convergentes, pois geram imagens reais e invertidas.

(F) As lentes são classificadas de acordo com o seu formato e tamanho. (V) Para resolver o problema de miopia, utiliza-se uma lente divergente.

(4)

04) Uma lente delgada plano-convexa, cuja face convexa tem raio igual a 50 cm, é feita de material de índice de refração 1,5 e está imersa no ar (índice de refração igual a 1). A que distância da lente deve-se colocar um objeto para que sua imagem se forme no infinito? Qual sua vergência e seu comportamento óptico?

1 2

1

1

1

1

1

1, 5

1

1

1

1

50

1

1

1

2

50

1

1

100

100

1, 0

L ar

n

f

n

R

R

f

f

f

f

cm

m

convergente

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎠⎝

⎛ ⎞⎛

= ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝

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=

=

1 2

50

1, 5

1

L ar

R

cm

R

n

n

=

= ∞

=

=

1

1

1

1

V

f

V

V

di

=

=

=

05) Em um prisma triangular e eqüilátero, imerso no ar, o raio incidente é perpendicular à reta normal (incidência rasante) da seção transversal considerada. Sabendo que o ângulo de incidência é o dobro do ângulo de emergência e que o índice de refração do prisma é

2

, determine o ângulo de incidência da segunda face e o desvio angular total sofrido pelo raio de luz.

6 0 º 1 ª fa c e 2 ª fa c e 9 0 º 4 5 º

ˆ

90º

ˆ ' 45º

ˆ

60º

?

i

i

A

D

=

=

=

=

ˆ

ˆ

.

.

ˆ

1.

90º

2.

ˆ

1.1

2.

1

ˆ

2

2

ˆ

2

ˆ

45º

ar p

n seni

n senr

sen

senr

senr

senr

senr

r

=

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=

=

=

=

ˆ

ˆ

ˆ '

ˆ

60º

45º

'

' 15º

ˆ

ˆ

ˆ '

90º 45º 60º

75º

A

r

r

r

r

D

i

i

A

D

D

= +

=

+

=

= + −

=

+

=

06) Um estudante observa que, com uma das duas lentes iguais de seus óculos, consegue projetar, sobre o tampo da sua carteira, a imagem de uma lâmpada fluorescente localizada acima da lente, no teto da sala. Sabendo que a distância da lâmpada à lente é de 1,8 m e desta ao tampo da carteira é de 0,36 m, determine a distância focal dessa lente, a ampliação da imagem e o provável defeito de visão desse estudante.

1

1

1

'

1

1

1

180

36

1

1 5

180

150

6

30

corrige hipermetropia

f

p

p

f

f

f

f

cm

= +

=

+

+

=

=

=

(5)

07) Um raio de luz proveniente do Sol incide numa das faces de um prisma triangular com um ângulo de incidência de 60°. Ao emergir desse sólido, ocorre a dispersão dos raios luminosos nas cores do espectro: vermelho, alaranjado, amarelo, verde, azul, anil e violeta. Sabendo que o raio monocromático de cor azul atravessa o prisma de modo a formar 90° com a reta bissetriz do ângulo de abertura e que o índice de refração do prisma para a luz azul é 6

2

, determine o ângulo de refringência desse sólido.

É caso particular = ... cor azul atravessa o prisma de modo a formar 90° com a reta bissetriz do ângulo de abertura...

ˆ

ˆ ' 60º

6

2

ˆ

?

p

i

i

n

A

= =

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ˆ

ˆ

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´

.

´

6

ˆ

1.

60º

.

2

3

1.

2

ar p

n seni

n senr

sen

senr

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2

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.

ˆ

3

ˆ

6

2

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2

ˆ

45º

senr

senr

senr

r

=

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ˆ

2 '

ˆ

ˆ

2.45º

ˆ

90º

A

r

A

A

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=

(6)

PROVA DE FÍSICA

2º ANO - 2ª MENSAL - 3º TRIMESTRE TIPO C

01) Um prisma de vidro, cujo ângulo de refringência é 60°, está imerso no ar. Um raio de luz monocromática incide em uma das faces do prisma sob ângulo de 45° e, em seguida, na segunda face sob um ângulo que é a metade do ângulo de abertura do prisma.

Determine o índice de refração do vidro para essa luz monocromática e o desvio total.

ˆ

ˆ ' 45º

ˆ

ˆ '

45º

ˆ

60º

?

i

i

r

r

A

D

= =

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=

ˆ

ˆ

.

.

1.

45º

.

30º

2

1.

2

ar p p

n seni

n senr

sen

n sen

=

=

1

2

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.

2

p p

n

n

=

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ˆ

2

2.45º 60º

30º

m m m

D

i

A

D

D

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ˆ

ˆ ' 30º

ˆ

60º

?

i

i

r

r

A

D

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=

=

02) Um prisma de vidro, cujo índice de refração absoluto para a luz monocromática amarela é , possui ângulo de refringência 60° e está imerso no ar, cujo índice de refração absoluto para a referida luz é 1. Um raio de luz monocromática amarela que atravessa o prisma é perpendicular ao seu plano bissetor. Determine o desvio promovido pelo prisma.

ˆ

ˆ

.

´

.

´

ˆ

1.

3.

30º

3

ˆ

2

ˆ

60º

ar p

n seni

n senr

seni

sen

seni

i

=

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=

=

ˆ

ˆ

2

2.60º 60º

60º

m m m

D

i

A

D

D

=

=

=

(7)

03) As figuras a seguir são desenhos de feixes de luz paralelos que incidem e atravessam duas lentes esféricas imersas no ar. Considere que as lentes são feitas de um material cujo índice de refração absoluto é maior do que o índice de refração do ar.

Sobre essa situação, fazem-se as seguintes afirmações.

I. A lente da figura A comporta-se como lente convergente e a lente da figura B, como lente divergente.

II. O comportamento óptico da lente da figura A não mudaria se ela fosse imersa em um líquido de índice de refração absoluto maior que o índice de refração absoluto do material que constitui a lente.

III. Lentes com propriedades ópticas iguais às da lente da figura B podem ser utilizadas por pessoas portadoras de miopia. IV. Para queimar uma folha de papel concentrando a luz solar com apenas uma lente, uma pessoa poderia utilizar a lente B. V. Para corrigir o defeito da visão chamado presbiopia e hipermetropia, utilizamos uma lente do tipo A.

Das afirmações, estão corretas apenas: a) I, II e IV.

b) II, III e IV.

c) I, III e V.

d) II e IV. e) I, III e IV.

04) Na tira apresentada abaixo, a personagem é uma lente convergente. Quando os raios do sol, que constituem um feixe de raios paralelos, incidem na lente, os raios convergem para um ponto. Para esse ponto convergem também os raios infravermelhos da radiação solar e, por isso, é alcançada uma temperatura bastante elevada. Ou seja, nesse caso, a lente é “botafogo”.

(Regina Pinto de Carvalho, Física do dia-a-dia) Com base nas leis que regem a óptica geométrica, é correto afirmar:

a) Uma lente bicôncava imersa no ar fornece imagens virtuais, independentemente da posição do objeto.

b) A imagem de um objeto, fornecida por uma lente convergente, é virtual, direita e menor que o objeto. c) A distância focal das lentes só depende do raio de curvatura.

d) A luz emitida de um ponto luminoso (pequeno objeto) e refratada por um espelho plano chega aos olhos de um observador como se estivesse vindo de um ponto de encontro dos prolongamentos dos raios luminosos refletidos. Nesse ponto, o observador verá, então, uma imagem virtual do objeto.

e) A miopia deve-se ao encurtamento do globo ocular em relação ao comprimento normal. Portanto, deve-se associar ao olho uma lente convergente.

(8)

05) A objetiva de uma câmara fotográfica é uma lente convergente delgada de distância focal igual a 10 cm. Com essa câmara bateu-se uma fotografia de um prédio distante 50 m. Após revelar o filme, verificou-se que a imagem tinha uma altura de 4,0 cm. Qual a altura real do prédio, em metros?

4

?

10

50

5000

i

cm

o

f

cm

p

m

cm

= −

=

=

=

=

4

10

10 5000

10

4( 4990)

10

19960

1996

19, 96

i

f

o

f

p

o

o

o

o

cm

o

m

=

=

= − −

=

=

=

06) O índice de refração de meios transparentes depende da freqüência da onda eletromagnética. Essa dependência, chamada de dispersão, é responsável pela decomposição da luz branca por um prisma e pela formação do arco-íris. Geralmente, o índice de refração diminui com o aumento do comprimento de onda. Considere um feixe I de luz branca incidindo sobre um ponto P de um prisma triangular de vidro imerso no ar, onde N é a reta normal no ponto de incidência, como ilustra a figura abaixo.

Com base nisso, avalie as seguintes afirmativas e marque V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

(F) O ângulo de refração da componente violeta dentro do prisma é maior que o ângulo de refração da componente vermelha. (F) Na figura, a cor vermelha fica na parte superior do feixe transmitido; seguida do amarelo, alaranjado, verde, azul, anil. A cor violeta fica na parte inferior.

(F) O feixe sofre uma decomposição ao penetrar no prisma e outra ao sair dele, o que resulta em uma maior separação das cores. (F) Uma lente convergente faz o mesmo papel desse prisma desde que o desvio mínimo seja menor que 30o.

(F) Além de dispersar a luz branca, esse prisma serve para corrigir o defeito de visão chamado astigmatismo.

07) As duas faces de uma lente delgada biconvexa têm um raio de curvatura igual a 1,00 m. O índice de refração da lente para luz vermelha é 1,50 e, para luz violeta, 1,6. Sabendo que a lente está imersa no ar, cujo índice de refração é 1,00, calcule a distância entre os focos de luz vermelha e de luz violeta, em centímetros.

( )( )

1 2

1

1

1

1

1

1, 6

1 1

1

1

1 1

1

0, 6

2

0,8333

L ar

n

f

n

R

R

f

f

f

m

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎠⎝

=

=

( )( )

1 2

1

1

1

1

1

1, 5

1 1

1

1

1 1

1

0, 5

2

1, 0

L ar

n

f

n

R

R

f

f

f

m

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎠⎝

=

=

1, 0 0,8333

0,1666

16, 66

f

f

m

f

cm

=

=

=

(9)

PROVA DE FÍSICA

2º ANO - 2ª MENSAL - 1º TRIMESTRE TIPO D

01) Um prisma de vidro, cujo ângulo de refringência é 60°, está imerso no ar. Um raio de luz monocromática incide em uma das faces do prisma sob ângulo de 45° e, em seguida, na segunda face sob um ângulo que é metade do ângulo de abertura do prisma.

Calcule o índice de refração do prisma e determine qual o ângulo formado entre a segunda face e o raio que emerge dela.

ˆ

ˆ ' 45º

ˆ

ˆ '

45º

ˆ

60º

?

i

i

r

r

A

D

= =

= =

=

=

ˆ

ˆ

.

.

1.

45º

.

30º

2

1.

2

ar p p

n seni

n senr

sen

n sen

=

=

1

2

=

.

2

p p

n

n

=

ˆ

90º

'

90º 45º

45º

i

θ

θ

θ

=

=

=

ˆ

ˆ ' ?

ˆ

ˆ ' 30º

ˆ

60º

?

i

i

r

r

A

D

= =

= =

=

=

02) Um prisma de vidro, cujo índice de refração absoluto para a luz monocromática amarela é , possui ângulo de refringência 60° e está imerso no ar, cujo índice de refração absoluto para a referida luz é 1. Um raio de luz monocromática amarela que atravessa o prisma é perpendicular ao seu plano bissetor. Determine o desvio promovido pelo prisma.

ˆ

ˆ

.

´

.

´

ˆ

1.

3.

30º

3

ˆ

2

ˆ

60º

ar p

n seni

n senr

seni

sen

seni

i

=

=

=

=

ˆ

ˆ

2

2.60º 60º

60º

m m m

D

i

A

D

D

=

=

=

(10)

03) As figuras a seguir são desenhos de feixes de luz paralelos que incidem e atravessam duas lentes esféricas imersas no ar. Considere que as lentes são feitas de um material cujo índice de refração absoluto é maior do que o índice de refração do ar.

Sobre as seguintes afirmações, marque V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) falsa(s).

(F) A lente da figura A comporta-se como lente divergente e a lente da figura B, como lente convergente.

(V) O comportamento óptico da lente da figura A mudaria se ela fosse imersa em um líquido de índice de refração absoluto maior que o índice de refração absoluto do material que constitui a lente.

(V) Lentes com propriedades ópticas iguais às da lente da figura B podem ser utilizadas por pessoas portadoras de miopia. (F) Para queimar uma folha de papel concentrando a luz solar com apenas uma lente, uma pessoa poderia utilizar a lente B. (V) Para corrigir o defeito da visão chamado presbiopia e hipermetropia, utilizamos uma lente do tipo A.

04) "Olho mágico" é um dispositivo de segurança residencial constituído simplesmente de uma lente esférica. Colocado na porta de apartamentos, por exemplo, permite que se veja o visitante que está no hall de entrada. Quando um visitante está a 100 cm da porta, um desses dispositivos forma, para o observador dentro do apartamento, uma imagem três vezes menor e direita do rosto do visitante. Determine o tipo de lente utilizada na fabricação do "olho mágico" e sua distância focal.

1

1

1

'

1

1

1

300

100

1

1 3

300

300

2

150

divergente

f

p

p

f

f

f

f

cm

= +

=

+

=

=

= −

1

3

' 100

?

A

p

cm

f

=

=

=

'

1

100

3

300

p

A

p

p

p

cm

= −

= −

=

05) Na tira apresentada abaixo, a personagem é uma lente convergente. Quando os raios do sol, que constituem um feixe de raios paralelos, incidem na lente, os raios convergem para um ponto. Para esse ponto convergem também os raios infravermelhos da radiação solar e, por isso, é alcançada uma temperatura bastante elevada. Ou seja, nesse caso, a lente é “botafogo”.

(Regina Pinto de Carvalho, Física do dia-a-dia) Com base nas leis que regem a óptica geométrica, é correto afirmar:

a) Uma lente biconvexa imersa no ar fornece imagens reais, independentemente da posição do objeto.

b) A imagem de um objeto, fornecida por uma lente divergente, é virtual, direita e menor que o objeto.

(11)

d) A luz emitida de um ponto luminoso (pequeno objeto) e refratada por um espelho plano chega aos olhos de um observador como se estivesse vindo de um ponto de encontro dos prolongamentos dos raios luminosos refletidos. Nesse ponto, o observador verá, então, uma imagem virtual do objeto.

e) A hipermetropia deve-se ao alongamento do globo ocular em relação ao comprimento normal. Portanto, deve-se associar ao olho uma lente convergente.

06) O índice de refração de meios transparentes depende da freqüência da onda eletromagnética. Essa dependência, chamada de dispersão, é responsável pela decomposição da luz branca por um prisma e pela formação do arco-íris. Geralmente, o índice de refração diminui com o aumento do comprimento de onda. Considere um feixe I de luz branca incidindo sobre um ponto P de um prisma triangular de vidro imerso no ar, onde N é a reta normal no ponto de incidência, como ilustra a figura abaixo.

Com base nisso, avalie as seguintes afirmativas.

I. O ângulo de refração da componente violeta dentro do prisma é menor que o ângulo de refração da componente vermelha. II. Na figura, a cor vermelha fica na parte superior do feixe transmitido; seguida do alaranjado, amarelo, verde, azul, ani. A cor violeta fica na parte inferior.

III. O feixe sofre uma decomposição ao penetrar no prisma e outra ao sair dele, o que resulta em uma menor separação das cores. IV. Uma lente convergente faz o mesmo papel desse prisma desde que o desvio mínimo seja menor que 30o.

V. Além de dispersar a luz branca, esse prisma serve para corrigir o defeito de visão chamado astigmatismo. Das afirmações, estão corretas apenas:

a) I, II e IV. b) II e III. c) I, III e V. d) II e IV.

e) I e II.

07) As duas faces de uma lente delgada biconvexa têm um raio de curvatura igual a 2,00 m. O índice de refração da lente para luz vermelha é 1,50 e, para luz violeta, 1,6. Sabendo que a lente está imersa no ar, cujo índice de refração é 1,00, calcule a distância entre os focos de luz vermelha e de luz violeta, em centímetros.

( )( )

1 2

1

1

1

1

1

1, 6

1

1

1

1

2

2

1

0, 6 1

1, 666

L ar

n

f

n

R

R

f

f

f

m

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎠⎝

=

=

( )( )

1 2

1

1

1

1

1

1, 5

1

1

1

1

2

2

1

0, 5 1

2, 0

L ar

n

f

n

R

R

f

f

f

m

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎞⎛

=

⎟⎜

+

⎠⎝

=

=

2, 0 1, 666

0, 3333

33, 33

f

f

m

f

cm

=

=

=

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