Constelações de Sinais em Planos Hiperbólicos: Mergulhos Isométricos em R 6 e em S 8

(1)

Constela¸c˜

oes de Sinais em Planos Hiperb´

olicos:

Mergulhos Isom´

etricos em R

6

_{e em S}

8

Edson Agustini

Faculdade de Matem´atica, FAMAT, UFU, 38408-100, Uberlˆandia, MG

E-mail: agustini@ufu.br

Resumo: Neste trabalho introduzimos ex-pressões anal´ıticas, implementáveis computa-cionalmente, de mergulhos isométricos do plano hiperbólico em espa¸cos euclidianos e esféricos. O objetivo de tal trabalho é con-tribuir para uma poss´ıvel utiliza¸cão prática de códigos desenvolvidos em espa¸cos hiperbólicos em ambientes euclidianos e esféricos.

1 Introdu¸c˜

ao

Na última década, houve um grande au-mento do estudo de códigos corretores de erros em espa¸cos hiperbólicos, conforme referências [1] , [2] , [8] , [10] , [13] e [17] . No entanto, a aparente ausência de uma situa¸cão prática em Teoria da Informa¸cão e Codifica¸cão que possa ser modelada convenientemente por modelos hiperbólicos tem preocupado os pesquisadores dessa área.

Como é de conhecimento geral, a pesquisa sobre mergulhos isométricos de determinadas variedades riemannianas em espa¸cos eucli-dianos e esféricos é extremamente árdua, como pode ser constatada nas referências [6] , [7] , [9] , [12] , [14] , [15] e [16] e na escassez de artigos recentes sobre o assunto. Em espe-cial, expressões para mergulhos isométricos de espa¸cos hiperbólicos em espa¸cos euclidianos e esféricos não fogem à regra geral. No entanto, para a Teoria da Informa¸cão e Codifica¸cão en-volvendo geometria hiperbólica, a passagem do ambiente hiperbólico para o euclidiano e esférico com total controle das propriedades métricas de constela¸cões de sinais hiperbólicas pode representar uma aplica¸cão imediata de toda a teoria desenvolvida até o presente mo-mento.

Neste trabalho de pesquisa, temos por objetivo introduzir expressões para mergulho isométrico do plano hiperbólico em espa¸co euclidiano e esférico. Mais especificamente, mergulho isométrico de H2 _{(plano hiperbólico) em R}6_,

espa¸co euclidiano de dimens˜ao 6 e S8 _{⊂ R}9_,

espa¸co esf´erico de dimens˜ao 8.

2 Mergulho Isom´

etrico de H

2

em R

6

Consideremos a variedade riemanniana (H, ds) , sendo H = {(u; v) : u, v ∈ R} = R2

munido da m´etrica riemanniana ds tal que:

ds2 = du2+ cosh2(u) dv2.

Tal variedade possui curvatura gaussiana cons-tante negativa igual a −1, (referˆencia [11]). Por-tanto, a variedade (H, ds) pode ser pensada como sendo o plano hiperb´olico.

Uma isometria entre as variedades rieman-nianas (H, ds) e (H0_{, ds}0_{) , sendo H}0 ₌

{(x; y) : x ∈ R e y ∈ R₊} e

¡

ds0¢2 = dx2_y+dy2 2

o Modelo do Semiplano de Poincaré para o plano hiperbólico com curvatura gaussiana constante e igual a −1 é dada por α : H → H0

tal que: α (u, v) = ev ³ tanh (u) ; 1 cosh(u) ´ ,

cuja inversa ´e dada por α−1 _{= β : H}0 _{→ H tal}

que: β (x; y) = ³ senh−1 ³ x y ´ ; ln³px2_{+ y}2´´_.

A vantagem de se trabalhar com a variedade (H0, ds0) no lugar da (H, ds) ´e que aquela, al´em

(2)

de possuir um modelo geométrico euclidiano em que retas hiperbólicas podem ser visua-lizadas como semicircunferências ou semi-retas, existem expressões simples para a distância hiperbólica, como por exemplo d_H0 : H0×H0 →

R tal que: dH0((x; y) ; (w; z)) = = ln µ √ (x−w)2+(y+z)2+√(x−w)2+(y−z)2 √ (x−w)2+(y+z)2−√(x−w)2+(y−z)2 ¶ Consideremos: (i) A fun¸c˜ao: ψ₁: R −→ R u 7−→ ψ1(u) = 32b|u|+ 1 2c+5

sendo bzc o maior n´umero inteiro menor do que ou igual a z. A fun¸c˜ao acima ´e do “tipo escada”:

ψ1(u) = 35 para − 1₂ < u < 1₂, ψ1(u) = 37 para − 3₂ < u ≤ −1₂ ou 1₂ ≤ u < 3₂ ψ1(u) = 39 para − 5₂ < u ≤ −3₂ ou 3₂ ≤ u < 5₂ .. . (ii) A fun¸c˜ao: ψ2 : R −→ R u 7−→ ψ2(u) = 32 j |u| 2 k +6

que tamb´em ´e do tipo escada:

ψ2(u) = 36 para − 2 < u < 2, ψ₂(u) = 38 para − 4 < u ≤ −2 ou 2 ≤ u < 4 ψ2(u) = 310 para − 6 < u ≤ −4 ou 4 ≤ u < 6 .. . (iii) A constante: A =R₀1sen (πξ) exp ³ −1 sen2_(πξ) ´ dξ = 0, 14133...

(iv) A fun¸c˜ao ϕ1: R → R tal que:

ϕ1(u) = r 1 A R_u+1 0 sen (πξ) exp ³ −1 sen2_(πξ) ´ dξ.

(v) A fun¸c˜ao ϕ2 : R → R tal que:

ϕ2(u) = r 1 A R_u 0 sen (πξ) exp ³ −1 sen2_(πξ) ´ dξ. (vi) A fun¸c˜ao: f1 : R −→ R

u 7−→ f1(u) = ϕ1(u) senh(u)_ψ₁_(u) .

(vii) A fun¸c˜ao:

f2 R −→ R

u 7−→ f₂(u) = ϕ2(u) senh(u)

ψ2(u) . (viii) A fun¸c˜ao: a : R −→ R w 7−→ a (w) =p1 − A (w) − B (w) sendo: A (w) = = Ã

− sen(πw) senh(w) exp³ −1 sen2(πw) ´ +2A cosh(w)ϕ2 1(w) 2Aϕ1(w)ψ1(w) !₂ e B (w) = = Ã

sen(πw) senh(w)³exp³ −1 sen2(πw) ´´ +2A cosh(w)ϕ2 2(w) 2Aϕ2(w)ψ2(w) !₂

A aplica¸c˜ao I : H → R6 _{tal que:}

I (u; v) = (x1(u; v) , ..., x6(u; v))

com fun¸c˜oes coordenadas xj : H → R dadas

por: x1(u; v) = Z _u 0 a (w) dw x2(u; v) = v

x3(u; v) = f1(u) cos (vψ1(u))

x₄(u; v) = f₁(u) sin (vψ₁(u))

x5(u; v) = f2(u) cos (vψ2(u))

x6(u; v) = f2(u) sin (vψ2(u))

´e um mergulho isom´etrico de H em R6

(re-ferˆencias [3] e [4]).

O grande problema no mergulho isométrico I é o cálculo da primeira coordenada. Os softwares de cálculo numérico e simbólico realizam esse cálculo para valores bastante especiais de u. Como não queremos impor nenhuma restri¸cão a u, faremos as seguintes considera¸cões:

(3)

(1) as fun¸c˜oes ψ1 e ψ2s˜ao cont´ınuas por partes;

(2) as integrais presentes nas fun¸c˜oes ϕ1 e ϕ2

são calculáveis por métodos numéricos para qualquer u;

(3) a fun¸cão a é cont´ınua por partes e, em cada intervalo aberto onde a é cont´ınua, ela pode ser aproximada por uma fun¸cão polinomial com grau (ou precisão) tão grande quanto se queira.

(4) a integral de x1 pode ser facilmente

calcu-lada nas partes onde a ´e cont´ınua com o inte-grando subtituido por uma fun¸c˜ao polinomial;

(5) o valor num´erico de x1(u; v) , calculado

conforme as considera¸cões (3) e (4) , é tão próximo quanto se queira do verdadeiro valor de x1(u; v) ; bastando, para tanto, tomarmos

quantos pontos forem necess´arios na inter-pola¸c˜ao polinomial citada.

Com as considera¸c˜oes acima, fica estabelecida, sob o ponto de vista computacional, o mergulho isom´etrico I.

3 Um Exemplo:

Mergulho

Isom´

etrico do 4 − HP SK em

R

6

A constela¸cão de sinais chamada de 4 − P SK (phase shift-keying) é amplamente utilizada em modula¸cão de sinais. Sua representa¸cão no espa¸co euclidiano se dá em dimensão 2 com pontos de coordenadas (0; −1) , (1; 0) , (0; 1) e (−1; 0) . O análogo hiperbólico desse esquema de modula¸cão é o chamado 4 − HP SK, cujos pontos passam a ter as seguintes coordenadas no modelo do Semiplano de Poincaré (H0_{, ds}0_):

s1 = (0; 0, 36788) s2 = (0, 76159; 0, 64805) s3 = (0; 2, 7183) s4 = (−0, 76159; 0, 64805) 0 2 -1 1 H_{: Modelo} do Semiplano de Poincaré s 3 s 1 s 2 s 4

Primeiramente, observemos que pela isometria

β:

β (0; 0, 36788) = (0; −1) β (0, 76159; 0, 64805) = (1; 0)

β (0; 2, 7183) = (0; 1) β (−0, 76159; 0, 64805) = (−1; 0)

ou seja, que as coordenadas do 4 − HP SK na variedade (H, ds) são as mesmas das do 4 − P SK no plano euclidiano! Esse fato é in-teressante pois as métricas riemannianas ds0e a euclidiana dz¡dz2 _{= dx}2_{+ dy}2¢_{são diferentes,}

ou seja, a maneira de se medir distˆancias nessas variedades s˜ao bastante distintas.

Por fim, mergulhando isometricamente o 4 −

HP SK em R6_{, temos:} I (0; −1) = (0; −1; 0; 0; 0; 0) I (1; 0) = (0, 76159; 0; 0; 0; 0, 0016121; 0) I (0; 1) = (0; 1; 0; 0; 0; 0) I (−1; 0) = (−0, 76159; 0; 0; 0; −0, 0016121; 0) sendo que a primeira coordenada x₁(u; v) foi calculada fazendo a substitui¸cão da fun¸cão a pela fun¸cão polinomial de grau nulo p tal que

p (w) = 1; para −1, 5 < w < 1, 5; que se

mostrou como sendo uma boa aproxima¸cão para a nas condi¸cões desse exemplo. A integral de x₁pôde ser calculada com uma aproxima¸cão muito boa.

(4)

Observemos tamb´em que a constela¸c˜ao 4 −

HP SK mergulhada em R6 _{est´a contida em um}

espa¸co euclidiano de três dimensões, uma vez que as terceiras, quartas e sextas coordenadas dos sinais mergulhados são todas nulas.

4 Mergulho Isom´

etrico de H

2

em S

8

_{⊂ R}

9

Consideremos as fun¸c˜oes (i) , (ii) , (iv) , (v) , (vi) e (vii) da Se¸c˜ao 2 juntamente com a con-stante (iii) .

Escolhamos duas fun¸c˜oes F1 e F2 positivas,

mon´otonas, limitadas e com derivadas limi-tadas tais que (F1(u))2 + (F2(u))2 = 1. Por

exemplo:

F₁ : R −→ R

u 7−→ F1(u) = tanh (exp (u))

e

F2 : R −→ R

u 7−→ F₂(u) = 1 cosh(exp(u))

Seja R o raio da esfera S8 _{e ε > 0 um n´}_umero

real positivo suficientemente pequeno tal que

N (u) = R2− ε2 µ F₁2(u) + 1 2F 2

2 (u) + f12(u) + f22(u)

¶ (1) seja positivo, isto ´e, N (u) > 0.

Consideremos as fun¸c˜oes: g : R −→ R u 7−→ g (u) =pN (u) e D : R → R tal que: D (ξ) = F₁0(ξ)2+1 2F 0 2(ξ)2+ f10(ξ)2+ f20(ξ)2

Seja −K a curvatura gaussiana do plano hiperb´olico e consideremos a fun¸c˜ao:

b : R −→ R ξ 7−→ b (ξ) = 1 − Kg0_(ξ)2_{− Kε}2_{D (ξ)} Sejam as fun¸c˜oes: ρ1 : R −→ R u 7−→ ρ1(u) = Z _u 0 F2(ξ) √ b(ξ) F1(ξ) dξ. e ρ₂: R −→ R u 7−→ ρ2(u) = − Z _u 0 F1(ξ) √ b(ξ) F2(ξ) dξ.

A aplica¸c˜ao II : H → S8_{⊂ R}9 _{tal que:}

II (u; v) = (x1(u; v) , ..., x9(u; v))

com fun¸c˜oes coordenadas xj : H → R dadas

por:

x1(u, v) = εF1(u) cos

³

v+ρ1(u)

ε√K

´

x2(u, v) = εF1(u) sen

³

v+ρ1(u)

ε√K

´

x3(u, v) = √ε₂F2(u) cos

³√

2(v+ρ2(u))

ε√K

´

x4(u, v) = √ε₂F2(u) sen

³√

2(v+ρ2(u))

ε√K

´

x₅(u, v) = εf₁(u) cos ³

vψ1(u)

ε√K

´

x6(u, v) = εf1(u) sen

³

vψ1(u)

ε√K

´

x7(u, v) = εf2(u) cos

³

vψ2(u)

ε√K

´

x8(u, v) = εf2(u) sen

³

vψ2(u)

ε√K

´

x₉(u, v) = g (u)

´e um mergulho isom´etrico de H em S8

(re-ferˆencias [5]).

Conforme explanadas na Se¸cão 2, as dificul-dades computacionais inerentes às integrais po-dem ser contornadas conforme os procedimen-tos lá descriprocedimen-tos.

Uma observa¸c˜ao interessante ´e que, para cada

ε > 0 que fa¸ca N definida em (1) ser positiva,

h´a um mergulho isom´etrico II diferente!

5 Um Exemplo:

Mergulho

Isom´

etrico do 4 − HP SK em

S

8

_{⊂ R}

9

Tomemos novamente a constela¸c˜ao de sinais 4−

HP SK apresentada na Se¸c˜ao 3.

Iremos considerar o espa¸co esf´erico S8 _{com raio}

R = 1 e mergulhar 4 − HP SK em S8

con-siderando dois mergulhos distintos:

(1) Tomando ε = 0, 1 temos N (u) > 0 para

(5)

isom´etrico II : H → S8 _{com este ε de II} 0,1. Assim: II0,1(0; −1) = (−0, 063903; 0, 041432; −0, 00022769; −0, 045823; 0; 0; 0; 0; 0, 99604) II_0,1(1; 0) = (−0, 039832; −0, 090778; 0, 0068849; 0, 0062396; 0; 0; 0, 00016121; 0; 0, 99503) II0,1(0; 1) = (−0, 063903; −0, 041432; −0, 00022769; 0, 045823; 0; 0; 0; 0; 0, 99604) II0,1(−1; 0) = (−0, 031249; 0, 016233; −0, 063510; −0, 018616; 0; 0; −0, 00016121; 0; 0, 99719)

(2) Tomando ε = 1 temos N (u) > 0 para −1 ≤

u, v ≤ 1 e chamemos o mergulho isométrico II : H → S8 _{com este ε de II} 1. Assim: II₁(0; −1) = (0, 41149; −0, 64086; 0, 07146; −0, 45264; 0; 0; 0; 0; 0, 45824) II1(1; 0) = (0, 90113; 0, 41316; −0, 035135; 0, 086017; 0; 0; 0, 0016121; 0; 0, 092903) II1(0; 1) = (0, 41149; 0, 64086; 0, 07146; 0, 45264; 0; 0; 0; 0; 0, 45824) II1(−1; 0) = (−0, 016865; −0, 35173; 0, 37358; 0, 54629; 0; 0; −0, 0016121; 0; 0, 66181) Assim como na Se¸cão 3 a constela¸cão 4 −

HP SK mergulhada em S8 _{est´a contida em um}

espa¸co esférico de dimensão seis, uma vez que as quintas, sextas e oitavas coordenadas dos sinais mergulhados são todas nulas.

6 Conclus˜

oes

Um dos parâmetros levados em considera¸cão na Teoria da Codifica¸cão é a chamada distância

m´ınima entre os pontos da constela¸c˜ao de

sinais. No caso da constela¸cão 4 − P SK com métrica euclidiana essa distância é √2 ∼= 1, 4142, enquanto que na 4 − HP SK com métrica riemanniana ds ou ds0 _{é 1, 5134. Já no}

mergulho de 4 − HP SK por I em R6 _(com

métrica euclidiana) a distância m´ınima cai para 1, 257; o que não é bom neste caso espec´ıfico. O mesmo ocorre com o mergulho de 4−HP SK por II0,1 em S8 (com métrica euclidiana) cuja

distˆancia m´ınima ´e 0, 076 e com o mergulho por

II₁, cuja distˆancia m´ımina ´e 0, 749.

Um dos problemas que estamos pesquisando no momento é justamente sobre distâncias m´ınimas: Para qual valor de ε > 0 o mergulho isométrico de uma determinada constela¸cão de sinais por II_ε apresenta maior distância m´ınima? Notemos que, pela expressão (1) , deve haver um limitante para ε que parece de-pender da constela¸cão de sinais.

Outro ponto relevante ´e o fato de que em R6 _a

constela¸cão 4 − HP SK mergulhada não pos-sui energia fixa, o que equivale dizer que a constela¸cão não está sobre um espa¸co esférico. Em ambos os casos bidimensionais, euclidiano e hiperbólico, a constela¸cão está sobre uma cir-cunferência unitária.

Ainda sobre os exemplos apresentados, cabe ressaltar que, sobre a superf´ıcie I (H) ⊂ R6

ou II (H) ⊂ S8 considerando a distância geodésica, a distância m´ınima da constela¸cão é exatamente a mesma que em H.

Por fim, lembramos que os grupos discretos de isometrias que agem em H2 _{s˜ao mais}

abun-dantes que os que agem em R2_{, o que significa}

que h´a mais constela¸c˜oes de sinais geometri-camente uniformes em H2 _{do que em R}2_{. Isto}

significa que a possibilidade de transportar iso-metricamente, por meio de mergulhos imple-mentáveis computacionalmente, as boas cons-tela¸cões hiperbólicas de sinais para espa¸cos eu-clidianos ou esféricos constitui uma boa pers-pectiva para a Teoria da Informa¸cão e Codi-fica¸cão.

(6)

7 Referˆ

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