ESTUDO DO EFEITO DO ÂNGULO ENTRE AS HASTES DE BOLINAS DO TIPO Y NO MOVIMENTO DE ROLL. Kelvin Inocêncio Silvino da Silva

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ESTUDO DO EFEITO DO ÂNGULO ENTRE AS HASTES DE BOLINAS DO TIPO

Y NO MOVIMENTO DE ROLL

Kelvin Inocêncio Silvino da Silva

Projeto de Graduação apresentado ao Curso de Engenharia Naval da Escola Politécnica, Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Engenheiro.

Orientador: Antonio Carlos Fernandes Coorientador: Peyman Asgari

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Rio de Janeiro Agosto 2018

PROJETO DE GRADUAÇÃO SUBMETIDO AO CORPO DOCENTE DO CURSO DE ENGENHARIA NAVAL DA ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE ENGENHEIRO NAVAL.

Examinado por:

_____________________________________________ Prof. Antonio Carlos Fernandes, Ph.D – M. I. T. (Orientador)

_____________________________________________ Me. Peyman Asgari, M.Sc. – UFRJ, (Coorientador)

_____________________________________________ Prof. Juan Batista Villa Wanderley, Ph.D. – UFRJ

_____________________________________________ Dr. Joel Sena Sales Jr., D.Sc. – UFRJ

_____________________________________________ Dr. Allan Carré de Oliveira., D.Sc. – UFRJ

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RIO DE JANEIRO, RJ – BRASIL AGOSTO 2018

Da Silva, Kelvin Inocêncio Silvino

Estudo do Efeito do Ângulo entre as Hastes de Bolinas do Tipo Y no Movimento de Roll/ Kelvin Inocêncio Silvino da Silva. – Rio de Janeiro: UFRJ/ Escola Politécnica, 2018.

IX, 72 p.: il.; 29,7 cm.

Orientador: Antonio Carlos Fernandes

Projeto de Graduação – UFRJ/ Escola Politécnica/ Curso de Engenharia Naval, 2018.

Referências Bibliográficas: p. 71.

1. Introdução 2. Revisão Bibliográfica 3. Objetivo do Trabalho 4. Metodologia Experimental 5. Resultados 6. Conclusão I. Fernandes, A. C. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, UFRJ, Curso de Engenharia Naval e Oceânica. III. Estudo do Efeito do Ângulo entre as Hastes de Bolinas do Tipo Y no Movimento de Roll.

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Resumo do Projeto de Graduação apresentado à Escola Politécnica/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Engenheiro Naval.

Agosto/2018

Orientador: Antonio Carlos Fernandes Coorientador: Peyman Asgari

Curso: Engenharia Naval

Resumo: Neste trabalho experimental, foi estudado a performance das bolinas de geometria Y frente as bolinas convencionais. O estudo foi feito por meio de ensaios de decaimento livre em águas tranquilas. Estudou-se o efeito da variação do ângulo entre as hastes das bolinas Y a fim de encontrar uma tendência do efeito desta variação no coeficiente de amortecimento de roll. O cálculo do amortecimento foi feito através do método de Faltinsen, ou seja, foi usado um coeficiente de amortecimento equivalente linearizado. Por fim, verificou-se que as bolinas do tipo Y mostraram-verificou-se menos eficientes do que as convencionais.

Palavras-chave: Decaimento em Roll, Bolinas em Y, Coeficiente de amortecimento equivalente.

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Abstract of Undergraduate Project presented to POLI/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Engineer.

STUDY OF THE EFFECT OF THE ANGLE BETWEEN THE STEMS OF Y BILGE KEELS IN THE ROLL

August/2018

Advisor: Antonio Carlos Fernandes Co-Advisor: Peyman Asgari

Course: Naval Engineering

Abstract: In this experimental work, the performance of the Y bilge keels was studied and compared with the conventional ones. The study was carried out through free roll decay tests in calm waters. The effect of the variation of the angle between the stems of the Y bilge keels was studied to find a tendency of the effect of this variation in the roll damping coefficient. The calculation of the damping coefficient was done using the Faltinsen method, i.e., a linearized equivalent damping coefficient was used to evaluate the performance of each case. Finally, Y-type bilge keels show found to be less efficient than conventional ones.

Keywords: Roll Decay, Y Bilge Keel, Equivalent Damping Coefficient.

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Dedico esse trabalho a minha mãe, que me ensinou a enfrentar os mais diversos desafios com força de vontade e bom humor. Sem ela nada disso seria possível.

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Agradecimentos

Agradeço à minha família por estar sempre ao meu lado apesar da distância física que nos separou ao longo de todo esse tempo e por me fazer sentir em casa. Maria, minha mãe; Silvano, meu pai; e Silmara, minha irmã; me fortaleceram em todos os momentos desta etapa de minha vida.

Agradeço também aos meus parentes mais distantes, mas que de alguma forma ajudaram a realizar este sonho, seja por meio de palavras, seja por outros meios. Assim, agradeço especialmente aos meus avós, ao meu tio Adelmo e minha tia Vânia pela importante ajuda que me deram.

Agradeço à Jhully Pimentel pelo seu amor, carinho e companheirismo, se fazendo presente nos momentos mais especiais ao longo da minha trajetória acadêmica.

Agradeço ao professor Tatalo (Antonio Carlos Fernandes) por ter aberto as portas do LOC para mim e por me aceitar como seu orientando não só neste trabalho, mas também como aluno de iniciação cientifica do PIBIC.

Agradeço ao Peyman Asgari pelos ensinamentos passados durante todo o tempo que trabalhamos juntos e pela sua eterna paciência.

Agradeço o apoio financeiro do CNPq e o apoio científico dos colegas de laboratório, técnicos, pesquisadores e professores.

Agradeço aos meus irmãos de república (Marcos, Chris, Ícaro, Thiago, Gugu) pelos excelentes momentos vividos, pelas produtivas conversas que adentraram madrugadas, pelas partidas de CS e de LOL, pelos conselhos, discussões e aprendizado compartilhado que me fizeram refletir sobre o significado e a importância da amizade. Que a nossa amizade seja para a vida toda...

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Sumário

1. Introdução ... 1 1.1. Divisão do Trabalho ... 3 1.2. Nomenclatura ... 4 1.3. Lista de Figuras ... 6 1.4. Lista de Tabelas ... 9 2. Revisão Bibliográfica ... 10 2.1. Conceitos Fundamentais ... 10

2.2. Técnicas e Métodos experimentais para a obtenção do coeficiente de amortecimento ... 18

2.3. Efeito do Uso de Bolinas no amortecimento de Roll ... 26

3. Objetivo do Trabalho ... 29

4. Metodologia Experimental ... 30

5. Resultados ... 43

5.1. Influência do ângulo entre as hastes do Y e comparação com bolinas convencionais 43 5.2. Comparação dos métodos de Froude e de Faltinsen ... 47

5.3. Comparação dos resultados para diferentes calados ... 58

5.4. Influência da Dimensão da bolina e Comparação das observações pelo UM7 e QTM 63 6. Conclusão ... 65

7. Anexos ... 67

7.1. Modelo ... 67

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1. Introdução

No percurso do tempo, a compreensão dos fundamentos físicos envolvidos na dinâmica das embarcações tem possibilitado aos engenheiros e arquitetos navais a otimização do comportamento e controle da natureza dos fenômenos que circundam os corpos flutuantes. Na época atual, os estudos hidrodinâmicos já são muito bem representados computacionalmente através de simulações numéricas.

Entretanto, o roll, por ter seu comportamento altamente não linear e dependente da viscosidade, precisa ser estudado também experimentalmente, uma vez que os programas utilizados para estudar a dinâmica de navios geralmente são baseados na teoria potencial, a qual despreza os efeitos provenientes da viscosidade e assume a irrotacionalidade do escoamento.

Além disso, o roll é considerado o mais crítico dos movimentos, isso porque muitas vezes é o principal limitante de diversas operações em alto mar. No caso de FPSOs, as acelerações e amplitudes do roll podem interromper operações gerais e de convés, além de comprometer os procedimentos de segurança e conforto da tripulação, ocasionando a parada de produção em certos períodos. Outro aspecto importante é que, em condições ambientais mais severas, podem surgir esforços excessivos sobre os risers e sobre os sistemas de ancoragem. Esses fatos tornam o comportamento em roll uma restrição de performance para os FPSOs.

Esforços têm sido feito a décadas para encontrar a melhor forma de atenuar os efeitos deste movimento. Nesse sentido, vale salientar que o sistema de controle passivo mais eficiente é a bolina. Esta consiste em uma chapa metálica colocada na região do bojo, geralmente a 45°, e tem a função de gerar mais arrasto viscoso, de modo a aumentar o amortecimento do movimento.

De acordo com os resultados de simulações numéricas realizadas em AVALOS; WANDERLEY (2018), após testar bolinas de diferentes configurações e geometrias, observou-se que a performance das bolinas de geometria em Y foi superior às de outras geometrias testadas na referência, inclusive sendo superior as bolinas de geometria convencional. As simulações realizadas na referência em questão consideraram ensaios simulados de oscilação forçada de uma seção típica em 2D de FPSO. Considerou-se também superfície líquida fixa, com ensaios de amplitude máxima até 20°. Entretanto, na referência, não foram realizados testes experimentais que corroborem com esses resultados.

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Por sua vez, neste trabalho acadêmico, testou-se experimentalmente as bolinas Y e o efeito da variação do ângulo entre as hastes do Y. Os testes foram feitos por meio de ensaios de decaimento livre. Os ensaios abrangeram duas diferentes dimensões de bolinas e três diferentes ângulos de abertura entre as hastes, para cada dimensão, além de duas bolinas convencionais nas referidas dimensões comparáveis. Neste trabalho, os ensaios de decaimento foram realizados em águas tranquilas.

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1.1. Divisão do Trabalho

O presente trabalho foi estruturado em 8 blocos, sequenciados com objetivo de manter fluência e coerência entre os assuntos abordados ao longo deste texto.

Abaixo, são descritos os tópicos abordados em cada capítulo:

Capítulo 1 – Introdução: Apresentação do problema e motivação do trabalho. Capítulo 2 – Revisão Bibliográfica: Revisão dos conceitos fundamentais, dos métodos e técnicas experimentais para o estudo do balanço transversal e dos efeitos causados pelo uso de bolinas estendidas na atenuação do movimento de balanço.

Capítulo 3 – Objetivo do Trabalho: Apresentação dos objetivos do trabalho, tanto os principais quanto os subsidiários.

Capítulo 4 – Metodologia Experimental: Explicação do procedimento seguido na realização do trabalho, das premissas e métodos adotados para a obtenção dos resultados.

Capítulo 5 – Resultados: Apresentação e análise dos resultados obtidos.

Capítulo 6 – Conclusão: Comentários finais e resumo dos resultados do trabalho. Capítulo 7 – Anexos: Apresentação em maiores detalhes de informações referenciadas no texto de forma resumida.

Capítulo 8 – Referências Bibliográficas: Lista de Trabalhos Referenciados ao longo do texto.

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1.2. Nomenclatura

𝜂 Vetor de deslocamento genérico

𝐹𝑒 Parâmetro representativo de forças ou momentos excitantes

𝐹_𝑟 Parâmetro representativo de forças ou momentos restaurativos 𝜃̈ Aceleração angular de roll

𝜃̇ Velocidade angular de roll 𝜃 Ângulo de roll

𝜃₀ Ângulo Inicial de roll

𝐼 Momento de inércia de massa

𝐼₄₄ Momento de inércia de massa causado unicamente pela ação do roll 𝐴₄₄ Massa adicional ou massa hidrodinâmica causada unicamente pela ação do

roll

𝐵₄₄ Coeficiente de amortecimento hidrodinâmico causado unicamente pela ação do roll

𝐶₄₄ Coeficiente de restauração causado unicamente pela ação do roll 𝜌 Densidade do fluído 𝑔 Aceleração da gravidade ∇ Volume deslocado 𝐺𝑍 ̅̅̅̅ Braço de endireitamento 𝐺𝑀𝑡

̅̅̅̅̅̅ Altura Metacêntrica Transversal 𝐺𝑀 Altura Metacêntrica

𝜔𝑛 Frequência Natural

𝜔 Frequência Amortecida

𝐵𝑐 Coeficiente de amortecimento hidrodinâmico crítico

𝜁 Fator de amortecimento

𝐶 Constante definida após aplicação das condições iniciais ou de contorno 𝜆 Autovalor da equação característica de roll

𝑡 Tempo

𝑝 Coeficiente de amortecimento normalizado

𝑝_𝑒 Coeficiente de amortecimento equivalente normalizado linearizado 𝑝₁ Parcela linear do coeficiente de amortecimento equivalente

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𝛽 Ângulo de fase 𝜃_𝑚 Ângulo médio de roll

𝜃_𝑘 Ângulo de pico para a oscilação 𝑘

𝛿𝜃_𝑘 Diferença da amplitude em relação ao ciclo anterior de oscilação 𝑇 Período natural

𝑇𝑘 Período amortecido no ciclo k

𝐵𝑒 Coeficiente de amortecimento equivalente

𝐵𝐹 Parcela do amortecimento causada pela interação Friccional entre o casco

e o fluído

𝐵𝐸 Parcela do amortecimento causada pela separação do escoamento de 𝐵𝑒

𝐵𝐿 Parcela do amortecimento causada pela força de sustentação gerada com a

oscilação

𝐵_𝑊 Parcela do amortecimento causado pela ação das ondas sem bolinas 𝐵_𝐵𝐾 Parcela de 𝐵_𝑒 proveniente do efeito das bolinas

𝐵_𝐵𝐾𝑁 Parcela de 𝐵_𝐵𝐾 proveniente da diferença de pressão causada pela bolina 𝐵_𝐵𝐾𝑊 Parcela de 𝐵_𝐵𝐾 proveniente do efeito da ação de ondas causado na bolina 𝐵_𝐵𝐾𝐻 Parcela de 𝐵_𝐵𝐾 proveniente da separação do escoamento causada pela bolina

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1.3. Lista de Figuras

Figura 1: Graus de liberdade de uma embarcação. ... 10

Figura 2: Exemplo de série temporal do decaimento de roll, explicitando os valores de pico 𝜃 e o perído amortecido. ... 19

Figura 3: Exemplo da aplicação do método de Froude. ... 22

Figura 4: Exemplo da aplicação do método de Faltinsen. ... 25

Figura 5: Efeito da separação do escoamento causado pela bolina em diferentes tipos de seções transversais. ... 26

Figura 6: Contribuição das diferentes parcelas do coeficiente de amortecimento linear equivalente de roll, para diferentes velocidades de avanço do navio. ... 27

Figura 7: Coeficiente de amortecimento x frequência em ensaio de oscilação forçada. ... 28

Figura 8: Canal de ondas a esquerda e modelo a direita, respectivamente. ... 30

Figura 9: Esquematização das bolinas convencionais e das bolinas Y instaladas no modelo. ... 31

Figura 10: Configuração das bolinas de dimensão 15,9 mm. ... 32

Figura 11: Configuração das bolinas de dimensão 24,0 mm. ... 32

Figura 12: Bolina Y instalada no modelo. ... 33

Figura 13: Peças impressas em plástico ABS. Ângulos: 90°, 60° e 45°, respectivamente. ... 33

Figura 14: Esquematização do teste de decaimentos livre. ... 34

Figura 15: Comparação da captura de sinais pelos dois sistemas diferentes, UM7 e QTM. ... 35

Figura 16: Exemplo da aplicação da curva de filtragem. ... 36

Figura 17: Em azul, série temporal do decaimento de roll filtrada considera pelo algoritmo de cálculo do coeficiente de amortecimento. ... 37

Figura 18: Método de Froude para o caso da bolina BK1Y45, no calado 14,7 m. ... 38

Figura 19: Método de Faltinsen para o caso da bolina BK1Y45, no calado 14,7 m. ... 38

Figura 20: Comparação da evolução do coeficiente de amortecimento equivalente pelo método de Froude x método de Faltinsen usando o sinal capturado pelo QTM. ... 39

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Figura 21: Comparação da evolução do coeficiente de amortecimento equivalente

pelo método de Froude x método de Faltinsen usando o sinal capturado pelo UM7. .... 40

Figura 22: Comparação exemplificada da diferença integral entre BK1Y60 e BK1Y90. ... 42

Figura 23: Comparação entre as bolinas de configuração BK1 para o calado de 196 mm. DI de BK1 em relação a BK1Y45 = 5,35%. ... 43

Figura 27: Aplicação do método de Froude. Caso: NH. ... 48

Figura 28: Aplicação do método de Faltinsen. Caso: NH. ... 48

Figura 29Aplicação do método de Froude. Caso: BK1. ... 49

Figura 30: Aplicação do método de Faltinsen. Caso: BK1. ... 49

Figura 31: Aplicação do método de Froude. Caso: BK2. ... 50

Figura 32: Aplicação do método de Faltinsen. Caso: BK2. ... 50

Figura 33Aplicação do método de Froude. Caso: BK1Y45. ... 51

Figura 34: Aplicação do método de Faltinsen. Caso: BK1Y45. ... 51

Figura 35: Aplicação do método de Froude. Caso: BK2Y45. ... 52

Figura 37Aplicação do método de Froude. Caso: BK1Y60. ... 53

Figura 45: Efeito da variação do calado. Caso BK1. DI de D14 em relação a D21 = 7,65%. ... 58

Figura 46: Efeito da variação do calado. Caso: BK2. DI de D14 em relação a D21 = 2,51%. ... 59

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Figura 47: Efeito da variação do calado. Caso: BK1Y45. DI de D14 em relação a

D21 = 7,22%. ... 59

Figura 48: Efeito da variação do calado. Caso: BK2Y45. DI de D14 em relação a D21 = 8,82%. ... 60

Figura 52: Efeito da variação do calado. Caso: BK2Y90. DI de D14 em relação a D21 = 2,00% ... 62

Figura 53: Evolução de 𝑝𝑒 em NH, BK1 e BK2 para calado de 14.7 m. ... 63

Figura 54: Evolução de 𝑝𝑒 em NH, BK1 e BK2 para calado de 21,0 m. ... 64

Figura 55: Modelo Usado para a realização dos testes ... 67

Figura 56: Sistema referencial do modelo, origem no ponto branco indicado. .. 67

Figura 57: Dimensões do Modelo. ... 68

Figura 58: Esferas Refletoras Anexadas ao Modelo. ... 70

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1.4. Lista de Tabelas

Tabela 1: Resultados de 𝑝1 e 𝑝2 pelo método de Froude e pelo método de Faltinsen, dados do QTM e do UM7 para o caso da bolina BK1Y45, com calado 14,70

m. ... 40

Tabela 2: Resumo dos valores obtidos para 𝑝1 e 𝑝2 pelos métodos de Froude e de Faltinsen. ... 57

Tabela 3: especificações gerais do modelo. ... 68

Tabela 4: Particularidades Físicas do modelo para o menor calado. ... 69

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2. Revisão Bibliográfica

A revisão bibliográfica foi estruturada em três partes. São elas: 1. Conceitos Fundamentais;

2. Métodos e Técnicas experimentais para o estudo do balanço transversal; e

3. Efeito do uso de bolinas estendidas.

Essas partes embasam as abordagens realizadas ao longo deste trabalho.

2.1. Conceitos Fundamentais

2.1.1. Graus de Liberdade de um corpo flutuante

Todo corpo flutuante está sujeito a seis graus de liberdade. Cada grau de liberdade define uma possibilidade de movimento do corpo rígido em relação a posição do centro de gravidade. Os movimentos podem ser divididos em translacionais e em rotacionais. São três movimentos translacionais e três movimentos rotacionais possíveis.

Figura 1: Graus de liberdade de uma embarcação.

Definindo 𝜂 como o vetor de deslocamento nos seis graus de liberdade, como em BERGDAHL (2009), os movimentos são:

• Deslocamentos Translacionais: o 𝜂₁: 𝑆𝑢𝑟𝑔𝑒 (𝑎𝑣𝑎𝑛ç𝑜) o 𝜂2: 𝑆𝑤𝑎𝑦 (𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎)

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• Deslocamentos Rotacionais: o 𝜂4: 𝑅𝑜𝑙𝑙 (𝑗𝑜𝑔𝑜)

o 𝜂5: 𝑃𝑖𝑡𝑐ℎ (𝑎𝑟𝑓𝑎𝑔𝑒𝑚)

o 𝜂₆: 𝑌𝑎𝑤 (𝑔𝑢𝑖𝑛𝑎𝑑𝑎)

Outra classificação dos deslocamentos se refere ao fato deles serem restaurativos ou não. Deslocamentos restaurativos produzem uma força ou momento de restauração hidrostáticos. São eles: heave, pitch e roll. Já os deslocamentos não restaurativos, não produzem nenhuma força ou momento de origem hidrostática. São eles: surge, sway e

yaw.

2.1.2. Equação Geral do Movimento

As equações do movimento de um corpo flutuante são determinadas através da 2ª lei de Newton e são obtidas a partir do somatório de forças e momentos atuantes.

De modo geral, englobando todos os graus de liberdade, temos:

𝐹_𝑗(𝑡) = 𝑀_𝑖𝑗𝑑

2_𝜂 𝑗(𝑡)

𝑑𝑡2

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Para encapsular todos os movimentos possíveis de um corpo flutuante nos seis graus de liberdade são definidos dois índices: 𝑖 e 𝑗. Esses indíces assumem valores de 1 a 6 cada. O significado físico desses índices advém do fato de que um corpo flutuante com uma forma arbitrária pode ter reações em todos os graus de liberdade causadas por um movimento em uma determinada direção. Isto é, o índice 𝑖 representa a reação em um dado grau de liberdade causada pelo movimento na direção 𝑗. Sendo assim, a equação geral do movimento será composta por matrizes de dimensão 6 𝑝𝑜𝑟 6.

Na equação 1, 𝐹𝑗 é o parâmetro que representa as forças para 𝑗 = 1, 2, 3 e

momentos para 𝑗 = 4, 5, 6. De modo geral, esse parâmetro pode ser dividido em duas parcelas, uma excitante (𝐹_𝑒) e outra restaurativa (𝐹_𝑟):

𝐹 = 𝐹𝑒+ 𝐹𝑟 (2)

De forma análoga à análise mecânica de um sistema massa-mola-amortecedor, de acordo com RAO (2010), 𝐹_𝑟 tem a seguinte forma:

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𝐹𝑟 = −𝐴𝜂̈ − 𝐵𝜂̇ − 𝐶𝜂 (3)

De modo que, no caso de sistema oceânicos, 𝐴 é a chamada Massa Adicionada, 𝐵 é o coeficiente de Amortecimento Hidrodinâmico e 𝐶 é o Coeficiente de Restauração, de acordo com MASSIE (2001).

Substituindo as equações 2 e 3 na equação 1, obtemos a equação geral acoplada:

(𝑀_𝑖𝑗 + 𝐴_𝑖𝑗) 𝜂_𝑗̈ + 𝐵_𝑖𝑗𝜂_𝑗̇ + 𝐶_𝑖𝑗𝜂_𝑗 = 𝐹_𝑒 (4)

A matriz 𝑀_𝑖𝑗 é denominada matriz de massa. Essa matriz se refere a massa para os movimentos translacionais e aos momentos de inércia de massa para os movimentos rotacionais.

2.1.3. Equação de Roll Simplificada

A equação geral do movimento é rica em complexidade e modelar experimentos que abranjam todo o comportamento físico de um corpo flutuante por meio da equação geral é uma prática muito custosa. Quando se busca estudar apenas um grau de liberdade, uma alternativa geralmente usada pelos pesquisadores é realizar uma simplificação da equação geral, reduzindo a equação do movimento a um problema de um único grau de liberdade. Neste caso, a premissa assumida é de que os outros graus de liberdade não influenciam de maneira significativa a resposta no grau de liberdade que será estudado. Ou seja, no presente estudo, esta simplificação será admitida, de modo que a equação de movimento possuirá apenas o roll (índices 𝑖 = 4 e 𝑗 = 4).

Sabendo que o roll é um movimento angular e restaurativo, deve haver equilíbrio de momentos atuantes no corpo, de modo que:

∑ 𝑀𝑜𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 = 𝐼. 𝜃.̈ (5)

Como já apresentado anteriormente na equação 4, existem momentos restaurativos de diferente natureza atuando sobre um corpo flutuante. Esses momentos são proporcionais à aceleração angular vezes o termo 𝐴₄₄, à velocidade angular vezes o

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termo 𝐵₄₄ e ao deslocamento angular vezes o termo 𝐶₄₄, além de poder existir um momento de excitação qualquer (𝐹_𝑒) atuando sobre o corpo.

De modo geral, temos:

𝐹_𝑒+ 𝐹_𝑟 = 𝐼₄₄𝜃̈ (6)

Isto é,

𝐹_𝑒− 𝐴₄₄𝜃̈ − 𝐵₄₄𝜃̇ − 𝐶₄₄𝜃 = 𝐼₄₄𝜃̈ (7)

Organizando os termos,

(𝐴₄₄+ 𝐼₄₄)𝜃̈ + 𝐵₄₄𝜃̇ + 𝐶₄₄𝜃 = 𝐹_𝑒 (8)

Essa é a equação do movimento de roll desacoplada. Quando 𝐹_𝑒 for nulo, significa que não há momento excitante atuando sobre o corpo. Este caso representa a situação de decaimento livre de roll.

É importante salientar que de acordo com FERNANDES et al. (2018), a simplificação convencional da equação do movimento para analisar o roll considerando apenas um grau de liberdade (equação 8), apenas é válida para os casos onde a amplitude do sway for desprezível. Do contrário, deve-se usar a equação de movimento acoplando-se os graus de liberdade de roll e de sway, para a completa analiacoplando-se da equação de movimento. No caso do presente trabalho, os ensaios realizados de decaimento livre possuem sway de pequena amplitude e que se enquadram na hipótese de análise da equação de movimento considerando apenas um grau de liberdade, como na teoria clássica.

2.1.4. Resposta para a oscilação livre

No caso de oscilação livre, 𝐹_𝑒 = 0, a solução analítica é obtida inicialmente normalizando a equação do movimento, isto é, dividindo todos os termos da equação pelo termo (𝐴₄₄+ 𝐼₄₄).

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𝜃̈ + 𝐵44 (𝐴44+ 𝐼44)

𝜃̇ + 𝐶44 (𝐴44+ 𝐼44)

𝜃 = 0 (9)

A obtenção de 𝐶₄₄ é demonstrada em detalhes em DER (2016). Em resumo, temos:

𝐶₄₄= 𝜌𝑔∇𝐺𝑍̅̅̅̅(𝜃) (10)

Para pequenos ângulos LEWIS (1988), pode-se linearizar 𝐺𝑍̅̅̅̅ por 𝐺𝑀̅̅̅̅̅̅, obtendo 𝑡

dessa maneira:

𝐶₄₄ = ∆𝐺𝑀̅̅̅̅̅ (11)

Aplicando a equação 11 na equação 9, temos a equação a seguir:

𝜃̈ + 𝐵44 (𝐴44+ 𝐼44)

𝜃̇ + ∆𝐺𝑀̅̅̅̅̅ (𝐴44+ 𝐼44)

𝜃 = 0 (12)

Da analogia dos sistemas massa-mola da teoria de vibrações clássica, a frequência natural de roll do corpo pode ser calculada da seguinte forma, RAO (2010):

𝜔_𝑛 = √ ∆𝐺𝑀̅̅̅̅̅ (𝐴₄₄+ 𝐼₄₄)

(13)

Seguindo de acordo com a teoria clássica de vibrações mecânicas em RAO (2010), define-se também o amortecimento crítico 𝐵𝑐 e o fator de amortecimento 𝜁.

𝐵_𝑐 = 2(𝐼₄₄+ 𝐴₄₄)𝜔_𝑛 (14)

𝜁 = 𝐵 𝐵_𝑐

(15)

(24)

𝜃̈ + 2𝜁𝜔_𝑛𝜃̇ + 𝜔_𝑛2_{𝜃 = 0} ₍₁₆₎

Além disso, ainda se pode definir uma função para o termo do amortecimento, como em OLIVEIRA (2011), 𝑝(𝜃̇) = 𝐵44 (𝐴44+ 𝐼44) 𝜃̇ (17) Obtendo então: 𝜃̈ + 𝑝(𝜃̇) + 𝜔_𝑛2_{𝜃 = 0} ₍₁₈₎

Para simplificar os cálculos, é possível se obter a solução analítica da equação de

roll definindo um valor constante para 𝑝, da seguinte forma:

𝑝 = 2𝜁𝜔𝑛 =

𝐵₄₄ (𝐴44+ 𝐼44)

(19)

Por sua vez, assumindo como solução

𝜃(𝑡) = 𝐶𝑒𝜆𝑡 ₍₂₀₎

E calculando as derivadas de primeira e de segunda ordem, temos:

𝜃̇(𝑡) = 𝜆𝐶𝑒𝜆𝑡 (21)

𝜃̈(𝑡) = 𝜆2𝐶𝑒𝜆𝑡 (22)

Substituindo na equação normalizada 9 ou 12, obtém-se a equação característica:

𝜆2 _{+ 𝑝𝜆 + 𝜔}

(25)

Para o regime de amortecimento subcrítico (0< 𝜁 < 1), obtém se as raízes da equação: 𝜆1 = − 𝑝 2+ 𝑖√𝜔𝑛 2_{− (}𝑝 2) 2 (24) 𝜆₂ = −𝑝 2− 𝑖√𝜔𝑛2− ( 𝑝 2) 2 (25)

Sendo assim, a solução final da equação é dada por:

𝜃(𝑡) = 𝐶₁𝑒𝜆1𝑡_{+ 𝐶} 2𝑒𝜆2𝑡 = 𝐶1𝑒 (−𝑝₂+𝑖√𝜔𝑛2−(𝑝₂) 2 )𝑡 + 𝐶₂𝑒(− 𝑝 2−𝑖√𝜔𝑛2−(𝑝₂) 2 )𝑡 (26) Ou seja: 𝜃(𝑡) = 𝐶𝑒−𝑝2𝑡_[cos(√𝜔_𝑛2_{− (}𝑝 2) 2 𝑡 + 𝛽)] (27)

Para obter o coeficiente C e o ângulo de fase 𝛽, aplica-se as condições iniciais seguintes, que são:

𝜃(0) = 𝜃₀ 𝑒 𝜃̇(0) = 0 (28)

Dessa forma, a solução final da equação de movimento é:

𝜃(𝑡) = 𝜃₀𝑒−𝑝2𝑡_[cos(√𝜔_𝑛2_{− (}𝑝

2)

2

. 𝑡)]

(29)

Entretanto, está solução funciona apenas para o caso em que o coeficiente de amortecimento é linear. Para que esta solução analítica possa ser aplicada ao caso não

(26)

linear do coeficiente de amortecimento de roll, as condições iniciais precisam ser atualizadas a cada novo ciclo.

De acordo com OLIVEIRA; FERNANDES (2011) , a representação mais comum do coeficiente de amortecimento divide-o em duas parcelas, uma referente ao comportamento linear e outra referente ao comportamento não linear (quadrático), como apresentado no próximo tópico.

2.1.5. Coeficiente de amortecimento

Dos parâmetros e equações obtidas até o momento, o termo de maior complexidade e que exige uma abordagem mais aprofundada na análise do roll é o coeficiente de amortecimento, aqui representado por 𝐵₄₄ ou "𝑝" na forma normalizada apresentada acima.

Retomando a equação 17, a função 𝑝(𝜃̇) pode ser escrita como:

𝑝(𝜃̇) = 𝑝₁𝜃̇ + 𝑝₂𝜃̇|𝜃̇| + 𝑝₃𝜃̇3+ ⋯ (30)

Como podemos ver da equação anterior, os termos 𝑝₂ e 𝑝₃ não são lineares. Em OLIVEIRA; FERNANDES (2011) é dito que o uso da aproximação de terceira ordem por vezes produz resultados piores do que a aproximação quadrática, por isso, neste trabalho acadêmico usaremos a 2ª ordem como a maior admitida. Sendo assim, temos que a equação 30 se torna:

𝑝(𝜃̇) = 𝑝₁𝜃̇ + 𝑝₂𝜃̇|𝜃̇| (31)

Pode-se adaptar então a equação do movimento para a seguinte forma:

𝜃̈ + 𝑝₁𝜃̇ + 𝑝₂𝜃̇|𝜃̇| + 𝜔_𝑛2𝜃 = 0 (32)

Duas maneiras clássicas de se obter a parcela linear (𝑝₁) e a parcela não-linear quadrática (𝑝2) do amortecimento por meio de experimentação serão apresentadas na

sessão 2.2. Essas maneiras são o método apresentado em FROUDE (1861) e FROUDE (1872), e o método de FALTINSEN (1990).

(27)

2.2. Técnicas e Métodos experimentais para a

obtenção do coeficiente de amortecimento

De acordo com DER (2016), existem três métodos experimentais clássicos de se realizar ensaios para obter o coeficiente de amortecimento de roll:

1. Ensaios de Decaimento Livre de roll: um navio (modelo ou escala real) é inclinado até um certo ângulo 𝜃₀ e depois é solto para oscilar livremente. A série temporal da variação do ângulo de roll é gravada para análise posterior.

2. Ensaios de Decaimento de roll com momento forçante: o roll é causado por um momento forçante externo. Após a perturbação inicial o navio oscila livremente. A série temporal da variação do ângulo de roll é gravada para análise posterior.

3. Ensaios de Movimento Forçado de roll: o modelo é fixado de tal maneira que apenas o movimento de roll é possível (todos os outros graus de liberdade são restringidos). Um momento determinado é aplicado sobre o corpo ao longo de todo o ensaio e o corpo apenas oscila de forma forçada. Os principais parâmetros medidos neste tipo de ensaio são os momentos de reação hidrodinâmicos.

Neste trabalho, os ensaios realizados foram de decaimento livre, uma vez que são menos custosos e de execução mais simples do que as outras opções possíveis.

2.2.1. Análise do Amortecimento de Roll

Uma vez gerada a série temporal da variação dos ângulos de roll, é possível estimar o amortecimento de roll por meio do amortecimento equivalente linearizado, 𝑝_𝑒. Como já explicado no item 2.1.5, o coeficiente de amortecimento linearizado pode ser dividido em duas parcelas, uma linear e outra quadrática, aqui chamadas, respectivamente, de 𝑝1 e 𝑝2.

Para calcular essas parcelas existem dois métodos bastante utilizados que serão apresentados a seguir. São eles o método de Froude e o método de Faltinsen. Vale salientar que dentro de cada método existem diferentes maneiras de obter os coeficientes 𝑝1 e 𝑝2 (meio ciclo, ciclo inteiro, ângulo inicial, ângulo médio, etc), isto é, os parâmetros

(28)

usados não são absolutos no algoritmo, entretanto, a física envolvida em cada um desses métodos é sempre a mesma.

Um exemplo de série temporal de decaimento de roll e a nomenclatura dos parâmetros que serão referenciados nos próximos itens é mostrado na figura a seguir:

Figura 2: Exemplo de série temporal do decaimento de roll, explicitando os valores de pico 𝜃 e o perído amortecido.

Vale salientar que dois ângulos de pico consecutivos, 𝜃𝑘, tem distância de 𝑘 + 2

para os próximos ângulo de pico no mesmo ciclo, isto é, o próximo ângulo de pico obtido após 𝜃_𝑘 é 𝜃_𝑘+2. Essa informação é importante para entender o desenvolvimento dos métodos que serão apresentados a seguir.

2.2.2. Método de Froude

Na abordagem do método de Froude, a determinação do coeficiente de amortecimento é feita a partir do balanço energético. A premissa principal do método é que a energia dissipada pelo termo do amortecimento em um ciclo é igual a diferença de energia potencial nos extremos de um ciclo, uma vez que nestas posições a energia cinética é nula. Portanto, a premissa assume que apenas o termo de amortecimento é capaz de prover a dissipação de energia ao longo do movimento.

Recapitulando a equação normalizada de roll (equação 9 ou 12), Froude adota como solução homogênea a equação 33:

(29)

Em seguida, aplicando expansão de Taylor, que é válida para toda e qualquer função infinitamente continua, encontra-se uma aproximação para a função 𝑝(𝜃̇), como pode ser observado na equação 30.

Froude considera apenas os termos de primeira e segunda ordem da expansão, sendo dessa forma, o amortecimento composto por um termo linear e um termo quadrático, obtendo então a equação 32.

Realizando o balanço energético, considerando os extremos em um ciclo completo: ∫ (𝜃̈ + 𝑝₁. 𝜃̇ + 𝑝₂. 𝜃̇. |𝜃̇| + 𝜔_𝑛2_𝜃) 𝑇 0 . 𝑑𝜃 (34) Onde, 𝑑𝜃 = 𝜃̇𝑑𝑡 (35)

Aplicando a propriedade distributiva,

∫ [𝜃̈ + 𝑝1. 𝜃̇ + 𝑝2. 𝜃̇. |𝜃̇|]𝜃̇𝑑𝑡 + 𝑇 0 ∫ 𝜔𝑛2 𝜃𝑘+2 𝜃𝑘 𝜃𝑑𝜃 = 0 (36)

Realizando a integração da equação 36, temos,

∫ 𝜃̈𝜃̇𝑑𝑡 = 0 𝑇 0 (37) ∫ 𝑝₁. 𝜃̇𝜃̇ 𝑑𝑡 𝑇 0 = 2𝑝1𝜋 2 𝑇 𝜃0 2 (38) ∫ 𝑝₂. 𝜃̇. |𝜃̇| 𝜃̇𝑑𝑡 𝑇 0 =32𝑝2𝜋 2 3𝑇² 𝜃0 3 (39)

(30)

∫ 𝜔_𝑛2 𝜃𝑘+2 𝜃𝑘 𝜃𝑑𝜃 = 𝜔_𝑛2_[𝜃𝑘+2 2 2 − 𝜃_𝑘2 2] = 𝜔𝑛 2_(𝜃 𝑘− 𝜃𝑘+2) 𝜃𝑘+2+ 𝜃𝑘 2 (40)

Assim, substituindo as integrais na equação 36 e rearranjando os termos, tem-se:

2𝑝1𝜋2 𝑇 𝜃0 2 ₊32𝑝2𝜋 2 3𝑇² 𝜃0 3 _{= 𝜔} 𝑛2(𝜃𝑘− 𝜃𝑘+2) 𝜃𝑘+2+ 𝜃𝑘 2 (41) Assumindo que 𝜔_𝑛 = 2𝜋

𝑇, onde T é o período natural e a diferença entre duas

cristas é dada por 𝛿𝜃_𝑘, então:

𝑝₁𝑇 2 𝜃0 2₊𝑝28 3 𝜃0 3 _{= 𝛿𝜃} 𝑘 (𝜃_𝑘+2+ 𝜃_𝑘) 2 (42)

A partir da equação 42, fazendo:

𝜃_𝑚 =(𝜃𝑘+2+ 𝜃𝑘) 2

(43)

Reorganizando os termos, obtém-se:

𝛿𝜃𝑘 = 𝑝₁𝑇 2 𝜃𝑚+ 𝑝₂8 3 𝜃𝑚 2 (44)

Assim, uma maneira para se obter os coeficientes 𝑝₁ e 𝑝₂ usando o método de Froude é, com os dados experimentais obtidos da série temporal, plotar um gráfico (𝜃_𝑚, 𝛿𝜃_𝑘), onde 𝜃_𝑚 é dado pela média de dois extremos consecutivos em um ciclo e 𝛿𝜃_𝑘 é a diferença de dois extremos durante um ciclo. Por sua vez, a partir da plotagem dos pontos experimentais (𝜃𝑚, 𝛿𝜃𝑘), ajusta-se um polinômio de segundo grau do tipo 𝑦 =

𝑎𝑥2_{+ 𝑏𝑥, que possue sua origem iniciada no ponto (0,0). Por fim, os valores dos}

coeficientes de amortecimento podem ser obtidos da seguinte maneira:

𝑝1= 3𝑏 8 ; 𝑝2 = 2𝑎 𝑇 (45)

(31)

Os pontos plotados e a função interpoladora podem ser vistos na figura a seguir.

Figura 3: Exemplo da aplicação do método de Froude.

Em resumo, através do cálculo do trabalho realizado e associando este trabalho a diminuição do ângulo no decorrer dos ciclos seguintes, é possível calcular o coeficiente de amortecimento a partir dos dados obtidos experimentalmente, definindo um polinômio de interpolação de segundo grau 𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏, onde ajusta-se 𝑝1 e 𝑝2 na forma apresentada na equação 45, e

resolve-se o sistema de equações constituído pela função de interpolação e a equação 44.

2.2.3. Método de Faltinsen

O modelo apresentado por FALTINSEN (1990), em teoria, o método não é muito diferente do modelo de Froude. A principal diferença neste modelo consiste em comparar a energia dissipada entre ciclos com a energia dissipada por um termo linear equivalente. No caso, o método de Faltinsen é derivado do método de Froude. A estratégia para obter o coeficiente de amortecimento de roll equivalente linearizado começa por fazer a seguinte igualdade:

(32)

𝑃(𝜃̇) = 𝑝₁. 𝜃̇ + 𝑝₂. 𝜃̇. |𝜃̇| = 𝑝_𝑒. 𝜃̇ (46)

A premissa fundamental do método é assumir que existe um parâmetro constante 𝑝_𝑒 que causa a mesma dissipação de energia que a dissipação causada pelas parcelas do amortecimento linear 𝑝1 e do amortecimento não-linear 𝑝2 simultaneamente.

Como feito no método de Froude, assume-se que a excitação e o movimento de resposta são funções harmônicas do tipo:

𝜃(𝑡) = 𝜃0cos(𝜔. 𝑡) (47)

Aplicando em 𝜃̇. |𝜃̇|, temos:

𝜃̇. |𝜃̇| = −𝜃0𝜔 sin(𝜔𝑡) |−𝜃0𝜔 sin(𝜔𝑡)| = −𝜃02𝜔2sin(𝜔𝑡) |sin(𝜔𝑡)| (48)

Aproximando a função sin(𝜔𝑡) |sin(𝜔𝑡)| pela série de Fourier,

sin(𝜔𝑡) |sin(𝜔𝑡)| = 8 3𝜋sin(𝜔𝑡) + ∑ 8 𝜋(𝑛 + 2)𝑛(𝑛 − 2)sin(𝑛𝜔𝑡) ∞ 3,5,… (49)

O segundo termo do lado direito da equação 49 é uma parcela muito pequena e pode ser ignorada na aproximação da função, dessa forma a aproximação pode ser feita utilizando apenas o primeiro termo da série de Fourier, e substituindo-o na equação 48:

𝜃̇. |𝜃̇| ≈ −𝜃₀2𝜔2 8

3𝜋sin(𝜔𝑡) = 8

3𝜋𝜃0𝜔𝜃̇(𝑡)

(50)

Por sua vez, substituindo a equação 50 na equação do movimento normalizada, chega-se a:

𝜃̈ + [𝑝₁+ 𝑝₂ 8

3𝜋𝜃0𝜔]𝜃̇ + 𝜔𝑛

(33)

Realizando a comparação entre a energia dissipada entre ciclos com a energia dissipada no caso de um parâmetro de amortecimento linear equivalente, Faltinsen chega a seguinte equação: 𝐸_𝐷 = ∫ (𝑝_𝑒. 𝜃̇). 𝜃̇. 𝑑𝑡 𝑇 0 = ∫ 𝑝₁ 𝑇 0 𝜃̇ + 𝑝₂𝜃̇|𝜃̇|). 𝜃̇. 𝑑𝑡 (52)

O que leva ao seguinte resultado:

𝑝_𝑒 = 2 ln(_𝜃𝜃𝑘 𝑘+2) 𝑇 = 𝑝1+ 8 3𝜋. 𝑝2. 𝜔𝑛. 𝜃𝑚 (53)

Dessa forma, define-se o termo 𝑝_𝑒 como,

𝑝_𝑒 = 𝑝₁+ 8 3𝜋. 𝑝2. 𝜔𝑛. 𝜃𝑚 = 𝑝1+ 𝑝2 16 3𝑇_𝑘𝜃𝑘 = 2 𝑇_𝑘ln( 𝜃_𝑘 𝜃_𝑘+2) = 2𝛿𝜃_𝑘 𝑇_𝑘 (54)

Obtendo assim a linearização do coeficiente de amortecimento.

Finalmente, para calcular os valores de 𝑝₁ e de 𝑝₂, plota-se um gráfico 𝑝_𝑒 = 2𝛿𝜃𝑘 𝑇𝑘

𝑥 16

3𝑇𝜃𝑘), com os dados obtidos da série temporal de decaimento e ajusta-se um

polinômio de primeiro grau. O coeficiente angular é o valor do amortecimento quadrático 𝑝₂ e o coeficiente linear é o valor do amortecimento linear 𝑝₁.

(34)

Figura 4: Exemplo da aplicação do método de Faltinsen.

A abscissa do gráfico, representada como 16/3 da amplitude máxima do ciclo dividida pelo período natural é consequência direta da equação 54. Dessa forma, representar a abscissa desta forma permite que os coeficientes 𝑝₁ e 𝑝₂ o amortecimento sejam acessados diretamente pelos coeficientes da reta de ajuste por mínimos quadrados OLIVEIRA (2011).

Vale salientar ainda que neste método existe uma diferença importante no que se refere a utilização de um ciclo inteiro ou de um meio ciclo. De acordo com a referência FALTINSEN (1990), a utilização de um ciclo inteiro é adequada para casos ou ensaios com grande aquisição de dados. Além disso, outro ponto importante na escolha do algoritmo para usar um ciclo inteiro na realização dos cálculos do coeficiente de amortecimento equivalente é o fato de que as incertezas são menores, uma vez que ao comparar dois picos angulares em um mesmo ciclo se obtém a variação total da energia dissipada pelo amortecimento.

(35)

2.3. Efeito do Uso de Bolinas no amortecimento de

Roll

Esta seção se refere as principais literaturas que abordam as características físicas envolvidas na análise do movimento de roll quando o navio utiliza bolinas estendidas. De acordo com FONSECA (2006), bolinas, também chamadas de quilhas de balanço, são chapas ou estruturas colocadas perpendicularmente em relação ao forro exterior, na altura da curva do bojo, no sentido longitudinal, uma em cada bordo, servindo para amortecer a amplitude dos balanços.

A respeito do efeito das bolinas, o trabalho realizado em BRYAN (1900) foi um dos primeiros a realizar testes comparativos entre diferentes tipos de cascos, bolinas e as posições de instalação delas, comparando, por conseguinte, a relação dessas configurações com o amortecimento gerado. As principais contribuições dadas neste trabalho são o fato de que a separação do escoamento causada pela bolina corresponde a parcela mais relevante do amortecimento e a observação de que este efeito de separação depende fortemente da seção do navio e do posicionamento da bolina.

Figura 5: Efeito da separação do escoamento causado pela bolina em diferentes tipos de seções transversais.

Por sua vez em HIMENO (1981), houve contribuições para o entendimento dos efeitos causados por bolinas, o coeficiente de amortecimento equivalente foi desmembrado em uma soma de várias componentes, onde cada um dos parâmetros da equação se refere a parcela do amortecimento relativo a fenômenos físicos de diferentes naturezas.

𝐵_𝑒 = 𝐵_𝐹+ 𝐵_𝐸 + 𝐵_𝐿+ 𝐵_𝑊+ 𝐵_𝐵𝐾 (55)

Assim, definiu-se que 𝐵𝐹 é a parcela do amortecimento devido à fricção do casco

com a água, é função da amplitude média do movimento de roll da embarcação. 𝐵_𝐸 é a parcela do amortecimento devido à separação do escoamento no entorno do casco, sendo

(36)

neste termo computado a geração de vórtices que se distribuem ao longo do casco por ação da geometria do casco nu. 𝐵_𝐿 é a parcela devido ao aparecimento de uma força de sustentação calculada experimentalmente isolando-se os outros parâmetros. 𝐵_𝑊 se refere ao amortecimento gerado pela energia dissipada pelas ondas geradas pelo casco durante o movimento de oscilação. 𝐵𝐵𝐾 é a parcela dominante do amortecimento, esta se refere

ao efeito das bolinas. Em HIMENO (1981) está parcela ainda é desmembra em três outras componentes, são elas:

𝐵_𝐵𝐾 = 𝐵_𝐵𝐾𝑁 + 𝐵_𝐵𝐾𝑊 + 𝐵_𝐵𝐾𝐻 (56)

Onde, 𝐵_𝐵𝐾𝑁 é a parcela do amortecimento devido à diferença de pressão atuante diretamente na bolina, configurando o problema de arrasto local (caso em que o escoamento é oscilatório). 𝐵_𝐵𝐾𝑊 é a fração do amortecimento devido à alteração gerada pela bolina quando a embarcação está submetida à ação de ondas. Ou seja, está parcela contempla as mudanças observadas em 𝐵𝐵𝐾𝑁 quando em presença de ondas, além da

própria interação do casco com a bolina quando submetido a ação das ondas. 𝐵_𝐵𝐾𝐻 é a parcela do amortecimento devido à alteração gerada pela bolina na separação do escoamento em torno do casco.

A quantificação da parcela referente a bolina torna-se, então, dependente da realização de ensaios com e sem a presença de bolinas. Ainda de acordo com HIMENO (1981), para o caso de embarcações com velocidades nulas, 𝐵𝐸 e 𝐵𝐵𝐾𝐻 constituem a maior

parcela do amortecimento, como pode ser verificado na figura abaixo.

Figura 6: Contribuição das diferentes parcelas do coeficiente de amortecimento linear equivalente de roll, para diferentes velocidades de avanço do navio.

(37)

Com os avanços tecnológicos e computacionais, podemos citar ainda alguns trabalhos mais atuais que apresentaram importantes resultados a respeito do efeito das bolinas no amortecimento de roll. Os estudos feitos em OLIVEIRA (2003) e em ALOISIO; DI FELICE (2006), por meio da aplicação de técnicas de visualização de escoamento em embarcações estacionárias com bolinas, demonstram que o efeito da separação do escoamento e, consequentemente, a formação de um vórtice de grande magnitude é o elemento predominante na composição do amortecimento viscoso do roll. Evidenciando a importância de que a geometria das bolinas propicie a formação desses vórtices.

No que se refere ao uso de bolinas, segundo OLIVEIRA (2011), FERNANDES et al. (2016) e FERNANDES et al. (2015), o entendimento completo da física do problema continua em aberto, mas pode-se afirmar que bolinas maiores tendem a gerar vórtices de maiores magnitudes e interações mais complexas com o meio fluido.

Em AVALOS; WANDERLEY (2016), por meio de simulações em CFD, usando seções de FPSOs em 2D, estudou-se diferentes formas de bolinas, entre elas bolinas do tipo Y (com ângulo entre as hastes fixados em 90°), que é o foco principal deste trabalho. De acordo com a referência, as simulações indicaram que está forma produz maior amortecimento do que as outras formas testadas, como pode ser verificado, por exemplo, na figura abaixo.

Figura 7: Coeficiente de amortecimento x frequência em ensaio de oscilação forçada.

(38)

vórtices. Isso porque geometrias pontiagudas alteram de maneira abruptas o gradiente de pressão em sua extremidade.

Conforme tudo o que foi exposto até o momento, vale salientar que, basicamente, o princípio envolvido no funcionamento de bolinas é a geração de arrasto viscoso e a precipitação de vórtices de maior magnitude. Estes princípios físicos devem ser sempre buscados quando o que se deseja for aumentar o coeficiente de amortecimento de roll.

3. Objetivo do Trabalho

Os objetivos principais deste trabalho são:

1. Avaliar a influência do ângulo entre as hastes de bolinas do tipo Y no amortecimento do movimento de roll;

2. Comparar os resultados obtidos com os resultados dos testes com bolinas convencionais e identificar qual é o tipo de bolina é mais eficiente para atenuar o balanço transversal.

Como objetivos subsidiários, foram realizadas outras análises, são elas:

1. Comparação dos dois diferentes métodos usados para análise do coeficiente de amortecimento (Froude e Faltinsen);

2. Comparação do coeficiente de amortecimento em dois calados diferentes; e

3. Comparação dos dados obtidos por dois sistemas de captura de movimento independentes (Arduino* e Qualisys*) disponíveis no laboratório onde foram realizados os testes (LOC – Laboratório de Ondas e Correntes).

(39)

4. Metodologia Experimental

Os ensaios de decaimento foram realizados com o uso de uma seção paralela típica de FPSO em escala de 1:75, usado aproximação 2D. O canal onde ocorreram os testes possui 1,00 m de largura e o modelo 0,90 m de comprimento, assim deixando um espaço de 0,05 m em cada lado. De acordo com ASGARI (2018), isto é adequado para as propriedades em 2D, sendo estreito o suficiente para anular a interferência das paredes do canal.

A figura 4 mostra o posicionamento do modelo no canal de ondas do laboratório de ondas e correntes (LOC).

Figura 8: Canal de ondas a esquerda e modelo a direita, respectivamente.

Para propiciar a comparação entre as bolinas do tipo Y e as bolinas padrão, dividiu-se o raio total das bolinas convencionais em três partes iguais, como na figura abaixo:

(40)

Figura 9: Esquematização das bolinas convencionais e das bolinas Y instaladas no modelo.

Apesar de o presente estudo não se tratar de uma comparação com o estudo realizado em AVALOS; WANDERLEY (2018), vale salientar que as bolinas do tipo Y testadas na referência possuíam ângulo de abertura entre as hastes fixados em 90°. No presente trabalho, os ângulos testados foram 90°, 60° e 45°. Além disso, foram testadas duas dimensões diferentes de bolina, 15,9 mm e 24,0 mm.

No que se refere as experimentações realizadas no presente trabalho, outro ponto a salientar é o fato de que a comparação entre as bolinas Y e as bolinas convencionais diferem das comparações que foram realizadas em AVALOS; WANDERLEY (2018), isso porque, no presente estudo, para a comparação considerou-se o tamanho inicial da bolina constante dividido em três seguimentos de tamanho fixo, de modo que o último terço da bolina, onde foi posicionada as hastes do Y, reduz o comprimento efetivo da bolina a medida em que o ângulo de abertura entre as hastes aumenta. Isso pode ser verificado na figura 9. Por sua vez, na referida referência o tamanho das bolinas testadas é sempre ajustado para o tamanho efetivo das bolinas convencionais.

Todas as configurações de bolinas usadas neste trabalho podem ser vistas a seguir nas figuras 10 e 11. As bolinas no modelo representam bolinas que em tamanho real, de acordo com a semelhança de Froude, seriam de 1,20 m e 1,80 m.

(41)

BK1 BK1Y45 BK1Y60 BK1Y90

Figura 10: Configuração das bolinas de dimensão 15,9 mm.

BK2 BK2Y45 BK2Y60 BK2Y90

Figura 11: Configuração das bolinas de dimensão 24,0 mm.

A nomenclatura dos ensaios faz referência aos nomes de bolinas apresentados na figura 10 e na figura 11. Além dos referidos nomes, existe também o caso em que o casco não possui nenhuma bolina instalada, será referenciado por NH (naked hull).

Foram testadas quatro geometrias diferentes de bolinas, com duas alturas cada, totalizando oito bolinas testadas. As bolinas padrão que foram testadas são chapas metálicas planas. Já as bolinas do tipo Y, foram impressas por impressora 3D usando filamento de plástico ABS, que tem como características principais ser um material leve e resistente. O formato das bolinas Y foi pensado para ser acoplado em uma chapa base metálica, ficando exposta ao meio fluido apenas a geometria impressa, como mostrado na figura 12 e 13.

(42)

Figura 12: Bolina Y instalada no modelo.

Figura 13: Peças impressas em plástico ABS. Ângulos: 90°, 60° e 45°, respectivamente.

Para testar o desempenho dessas bolinas, realizou-se ensaios de decaimento livre com três diferentes ângulos iniciais (5°, 10° e 15°) e dois calados diferentes (0,196 m e 0,280 m), além disso, foram realizadas três repetições para cada observação, das quais o movimento foi registrado pelo chip acelerômetro (UM7) e pelos sensores de câmera (QTM). Detalhes a respeito dos sistemas encontram-se na seção de anexos 7.2.

(43)

Figura 14: Esquematização do teste de decaimentos livre.

Ao posicionar o modelo com a angulação desejada, inicia-se a captura de sinais com os equipamentos e corta-se a linha de náilon permitindo que o modelo oscile livremente. O QTM consiste em um sistema de câmeras e sensores que medem a variação angular ao longo do tempo através da detecção da variação do movimento de um conjunto de esferas refletoras anexadas ao modelo. Já o UM7 combina três acelerômetros axiais que registram as variações do movimento em torno da posição em que o chip está anexado ao modelo, no caso deste ensaio o UM7 foi posicionado na linha de centro do modelo. A comparação entre os dados capturados do movimento por cada sistema pode ser vista no exemplo a seguir.

(44)

Figura 15: Comparação da captura de sinais pelos dois sistemas diferentes, UM7 e QTM.

Além disso, como explicado no tópico 2.2, decidiu-se aplicar os métodos de Froude e de Faltinsen para ciclos inteiros, uma vez que a aquisição de dados não foi pequena e o ciclo inteiro reduz as incertezas, como também já foi explicado anteriormente.

Após a realização dos procedimentos experimentais, realizou-se a análise dos sinais. Inicialmente foi preciso aplicar uma curva de filtragem para prover a eliminação dos ruídos contidos nas séries temporais. Isso foi feito por meio do uso da ferramenta computacional “Curve Fitting Tool”, contida no software MATLAB R2017a.

(45)

Figura 16: Exemplo da aplicação da curva de filtragem.

Isto posto, para este trabalho foi aplicado o método “Smoothing Spline” de filtragem, mais detalhes a respeito da fermenta e do método estão contidos no próprio site do programa na seção de documentação, análise de dados.

Obtidas as séries temporais filtradas, definiu-se um algoritmo para a obtenção do amortecimento equivalente, tanto utilizando o método de Froude, quanto o método de Faltinsen para ciclos completos. O algoritmo considera os cinco ciclos após o primeiro, como na figura 15.

Foram usados 5 ciclos inteiros do movimento para realizar calcular aplicar os métodos de Froude e de Faltinsen (item 2.3), sendo desprezado o ciclo da primeira oscilação a fim de reduzir os possíveis efeitos transientes causados no momento em que o corpo é liberado para oscilar.

(46)

Figura 17: Em azul, série temporal do decaimento de roll filtrada considera pelo algoritmo de cálculo do coeficiente de amortecimento.

Em seguida, são aplicados os métodos de Froude e de Faltinsen para a obtenção dos coeficientes lineares (𝑝₁) e quadráticos (𝑝₂) do amortecimento linear equivalente calculado (𝑝𝑒).

De maneira exemplificativa, nas figuras a seguir serão mostrados os resultados obtidos ao aplicar os diferentes métodos as séries temporais dos ensaios referentes a bolina BK1Y45, no calado de 14,7 m, utilizando os dados tanto capturados pelo UM7 quanto pelo QTM.

𝜃_𝑘 𝜃_𝑘+1

(47)

Figura 18: Método de Froude para o caso da bolina BK1Y45, no calado 14,7 m.

Figura 19: Método de Faltinsen para o caso da bolina BK1Y45, no calado 14,7 m.

(48)

A partir dos gráficos 4 e 5, calcula-se, finalmente, 𝑝₁ e 𝑝₂. Para comparar os resultados obtidos na aplicação de cada método, o coeficiente de amortecimento equivalente 𝑝_𝑒 pelos dois métodos, plota-se duas retas da forma 𝑝_𝑒 (𝜃) = 𝑝₁+ 𝜃. 𝑝₂, como pode ser visto na figura abaixo.

Figura 20: Comparação da evolução do coeficiente de amortecimento equivalente pelo método de Froude x método de Faltinsen usando o sinal capturado pelo QTM.

(49)

Figura 21: Comparação da evolução do coeficiente de amortecimento equivalente pelo método de Froude x método de Faltinsen usando o sinal capturado pelo UM7.

Neste caso (BK1Y45, com calado 14,7 m), os resultados obtidos foram:

Tabela 1: Resultados de 𝑝1 e 𝑝2 pelo método de Froude e pelo método de Faltinsen, dados do QTM e do

UM7 para o caso da bolina BK1Y45, com calado 14,70 m.

Froude Faltinsen

QTM UM7 QTM UM7

𝒑_𝟏 𝒑_𝟐 𝒑_𝟏 𝒑_𝟐 𝒑_𝟏 𝒑_𝟐 𝒑_𝟏 𝒑_𝟐

0,1424 0,0891 0,1465 0,0837 0,1001 0,0907 0,1165 0,0849

Apesar de os sensores possuírem certa diferença na obtenção dos dados, é notável que para cada sensor a utilização dos métodos se mostram equivalentes em todos os casos. Neste trabalho, os dados usados como base para as demais analises e comparações são aqueles referentes ao QTM e o método de comparação dos resultados de cada bolina será o método de Faltinsen, uma vez que o uso de um ou de outro método não faz diferença para a análise proposta neste trabalho acadêmico, como será explicado no item 5.2 deste trabalho.

De posse dos resultados da evolução do coeficiente de amortecimento equivalente linearizado de cada bolina com o aumento do ângulo médio, comparou-se os diversos

(50)

• Comparação das observações de NH (sem bolina), BK1 e BK2, usando os dados do UM7 x QTM;

• Comparação da influência da variação do calado;

• Comparação do coeficiente de amortecimento associado a cada bolina;

Para comparar numericamente dois casos diferentes de evolução do coeficiente de amortecimento, definiu-se funções de interpolação usando os pontos obtidos após aplicação do método de Faltinsen a partir dos gráficos de 𝑝_𝑒 𝑥 𝜃_𝑚 por meio do uso da ferramenta “linha de tendência” do Excel, em seguida, realizou-se a integração numérica dessas funções, por conseguinte, comparou-se as áreas sob as respectivas curvas das funções definidas. Uma métrica semelhante ao que foi feito nesse trabalho se encontra na referência SILVA (2017), e lá é chamada de 𝐷𝐼 (Diferença Integral), isto é:

Á𝑟𝑒𝑎_{𝑐𝑎𝑠𝑜1} = ∫ 𝑝_𝑒1 𝑏 𝑎 . 𝑑𝜃𝑚 (57) Á𝑟𝑒𝑎_{𝑐𝑎𝑠𝑜2} = ∫ 𝑝_𝑒2 𝑏 𝑎 . 𝑑𝜃𝑚 (58)

Após a obtenção das áreas que serão comparadas, faz-se:

𝐷𝐼 = 𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟(Á𝑟𝑒𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜1, Á𝑟𝑒𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜2) − 𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟(Á𝑟𝑒𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜1, Á𝑟𝑒𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜2) 𝑀𝑎𝑖𝑜𝑟(Á𝑟𝑒𝑎_{𝑐𝑎𝑠𝑜1}, Á𝑟𝑒𝑎_{𝑐𝑎𝑠𝑜2})

(59)

Para exemplificar a equação acima, podemos observar o seguinte caso:

Comparação da diferença integral entre as bolinas BK1Y60 e BK1Y90 no calado de 0,280 m:

(51)

Figura 22: Comparação exemplificada da diferença integral entre BK1Y60 e BK1Y90.

A partir das informações contidas no gráfico acima, calcula-se as áreas sob as curvas, por meio do método dos trapézios, e posteriormente a DI:

Á𝑟𝑒𝑎_{𝑐𝑎𝑠𝑜1} = ∫ (0.1904𝑙𝑛(𝜃𝑚) + 0.1346) 6 2 . 𝑑𝜃𝑚 = 1,5597 (60) Á𝑟𝑒𝑎𝑐𝑎𝑠𝑜2 = ∫ (0.179𝑙𝑛(𝜃𝑚) + 0.1337) 6 2 . 𝑑𝜃𝑚 = 1,4949 (61) 𝐷𝐼 =1,5597 − 1,4949 1,5597 = 4,15% (62)

Desta forma, 𝐷𝐼 = 4,15%. Ou seja, de acordo com a métrica empregada, a função de amortecimento da bolina BK1Y60 tem área 4,15% maior do que a bolina BK1Y90. Isso permite inferir que a eficiência da bolina BK1Y60 é maior do que a eficiência da bolina BK1Y90.

Y60 = 0.1904ln(θm) + 0.1346 Y90 = 0.179ln(θm) + 0.1337 0.2 0.23 0.26 0.29 0.32 0.35 0.38 0.41 0.44 0.47 0.5 2 2.3 2.6 2.9 3.2 3.5 3.8 4.1 4.4 4.7 5 5.3 5.6 5.9 6.2 P_e [ 1/s ] θm [grau]

BK1Y60 X BK1Y90

Y60 Y90 Logarítmica (Y60) Logarítmica (Y90)

(52)

5. Resultados

Os resultados foram estruturados de acordo com a sequência proposta no item 3, em blocos. Tratados e analisados caso a caso por análise gráfica (𝑝_𝑒 𝑥 𝜃_𝑚) e por análise numérica usando a métrica 𝐷𝐼 apresentada no item 4.

5.1. Influência do ângulo entre as hastes do Y e

comparação com bolinas convencionais

Esse é o resultado principal deste estudo, buscou-se entender a influência do ângulo entre as hastes do Y no coeficiente de amortecimento e comparar a eficiência das bolinas Y perante as bolinas convencionais. Essa comparação foi realizada tanto qualitativamente quanto por meio da diferença integral (𝐷𝐼), através dos gráficos apresentados a seguir.

1. Resultados da comparação entre as bolinas de configuração BK1 (raio 15,9 mm) no calado de 196 mm.

Figura 23: Comparação entre as bolinas de configuração BK1 para o calado de 196 mm. DI de BK1 em relação a BK1Y45 = 5,35%.

(53)

De acordo com os resultados contidos na figura 23, a bolina que apresentou maior coeficiente de amortecimento foi a bolina de geometria convencional (BK1). A partir de avaliação qualitativa, percebe-se que a medida em que o ângulo entre as hastes do Y se reduz, o coeficiente de amortecimento aumenta. Por sua vez, usando abordagem quantitativa por meio da métrica 𝐷𝐼, explicada no item 4, às bolinas que apresentaram melhor performance (BK1 e BK1Y45) foram comparadas, obtendo-se o valor 5,35% de BK1 em relação a BK1Y45.

2. Resultados da comparação entre as bolinas de configuração BK2 (raio 24 mm) no calado de 196 mm.

Seguindo a mesma linha do caso anterior, de acordo com os resultados contidos na figura 24, a bolina que apresentou maior coeficiente de amortecimento foi a bolina de geometria convencional (BK2). A partir de avaliação qualitativa, percebe-se que a medida em que o ângulo entre as hastes do Y se reduz, o coeficiente de amortecimento aumenta. Por sua vez, usando abordagem quantitativa por meio da métrica 𝐷𝐼, explicada no item 4, às bolinas que apresentaram melhor performance (BK2 e BK2Y45) foram comparadas, obtendo-se o valor 8,32% de BK2 em relação a BK2Y45.

(54)

3. Resultados da comparação entre as bolinas de configuração BK1 no calado de 280 mm.

Realizando análise qualitativa dos resultados contidos na figura 25, percebe-se que a tendência observada até o momento se mantém inalterada, isto é, quanto mais o ângulo entre as hastes do Y se reduz, maior é o coeficiente de amortecimento, de modo que a geometria convencional apresenta os melhores resultados. Por sua vez, usando abordagem quantitativa por meio da métrica 𝐷𝐼, explicada no item 4, às bolinas que apresentaram melhor performance (BK1 e BK1Y45) foram comparadas, obtendo-se o valor 4,91% de BK1 em relação a BK1Y45.

(55)

4. Resultados da comparação entre as bolinas de configuração BK2 no calado de 280 mm.

No que se refere ao caso da figura 26, as tendências observadas se mantiveram. Por conseguinte, a bolina de geometria convencional apresentou valores de coeficiente de amortecimento maiores do que as bolinas em Y comparadas. Este caso apresentou 𝐷𝐼 de 14,25% de BK2 em relação a BK2Y45.

Com base nos resultados obtidos, percebe-se que em todos os casos, através da análise gráfica qualitativa e quantitativa, à medida que o ângulo entre as hastes se reduz, o coeficiente de amortecimento se eleva e que o desempenho das bolinas convencionais se mostrou superior ao desempenho das bolinas Y. Isto é, a medida em que as bolinas do tipo Y se aproximam da geometria convencional (reduzindo o ângulo entre as hastes), o coeficiente de amortecimento é aumentado, o que mostra que a geometria convencional, de fato, apresenta resultados melhores do que as geometrias em Y.

(56)

5.2. Comparação dos métodos de Froude e de

Faltinsen

Nesta seção são apresentados todos os resultados do cálculo de 𝑝₁ e 𝑝₂ pelos métodos de Froude e de Faltinsen, calculando os seus valores através dos polinômios de interpolação que melhor descrevem os dados experimentais, como explicado no item 2.2, tanto do QTM quanto do UM7.

(57)

Calado: 0,196 m;

Ensaio: Decaimento Livre Sem Bolinas

Figura 27: Aplicação do método de Froude. Caso: NH.

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Calado: 0,196 m;

Ensaio: Decaimento Livre – BK1

Figura 29Aplicação do método de Froude. Caso: BK1.

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Calado: 0,196 m;

Ensaio: Decaimento Livre – BK2

Figura 31: Aplicação do método de Froude. Caso: BK2.

(60)

Calado: 0,196 m;

Ensaio: Decaimento Livre – BK1Y45

Figura 33Aplicação do método de Froude. Caso: BK1Y45.

(61)

Calado: 0,196 m;

Figura 35: Aplicação do método de Froude. Caso: BK2Y45.

(62)

Calado: 0,196 m;

Figura 37Aplicação do método de Froude. Caso: BK1Y60.

(63)

Calado: 0,196 m;

(64)

Calado: 0,196 m;