Controle hierárquico via estratégia de StackelbergNash para controlabilidade de sistemas parabólicos e hiperbólicos

Texto

(1)Universidade Federal da Paraíba Universidade Federal de Campina Grande Programa Associado de Pós-Graduação em Matemática Doutorado em Matemática. Controle hierárquico via estratégia de StackelbergNash para controlabilidade de sistemas parabólicos e hiperbólicos. por. Luciano Cipriano da Silva. João Pessoa - PB Março/2017.

(2) Controle hierárquico via estratégia de StackelbergNash para controlabilidade de sistemas parabólicos e hiperbólicos por. Luciano Cipriano da Silva † sob orientação do. Prof. Dr. Fágner Dias Araruna e co-orientação do. Prof. Dr. Enrique Fernández Cara. Tese. apresentada. Associado. de. ao. Corpo. Docente. Pós-Graduação. em. do. Programa. Matemática. -. UFPB/UFCG, como requisito parcial para obtenção do título de Doutor em Matemática.. João Pessoa - PB Março/2017 †. Este trabalho contou com apoio nanceiro da CAPES. ii.

(3) Catalogação na publicação Seção de Catalogação e Classificação S586c Silva, Luciano Cipriano da. Controle hierárquico via estratégia de StackelbergNash para controlabilidade de sistemas parabólicos e hiperbólicos / Luciano Cipriano da Silva. - João Pessoa, 2017. 112 f. : il. Orientação: Fágner Dias Araruna. Coorientação: Enrique Fernández Cara. Tese (Doutorado) - UFPB/CCEN. 1. Matemática. 2. Controle hierárquico. 3. Estratégia de Stackelberg-Nash. 4. Desigualdade de Carleman. I. Araruna, Fágner Dias. II. Cara, Enrique Fernández. III. Título. UFPB/BC.

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(5) Resumo Nesta tese apresentamos resultados sobre controlabilidade exata de Equações Diferenciais Parciais (EDPs) dos tipos parabólico e hiperbólico, no contexto de controle hierárquico, usando a estratégia de Stackelberg-Nash. Em todos os problemas consideramos um controle principal (líder) e dois controles secundários (seguidores). Para cada líder obtemos um equilíbrio de Nash correspondente, associado a um problema de controle ótimo bi-objetivo; então buscamos o líder de custo que resolve o problema de controlabilidade. Para os problemas parabólicos temos controles distribuídos e na fronteira, já nos hiperbólico todos os controles são distribuídos.. Consideramos casos lineares e semilineares, os quais resolvemos usando. desigualdade de observabilidade obtidas combinando desigualdades de Carleman adequadas. Também usamos um método de ponto xo.. Palavras-chave:. Controlabilidade; Controle hierárquico; Estratégia de Stackelberg-Nash;. Desigualdade de observabilidade; Desigualdade de Carleman; Equação do calor; Equação da onda; Equação de Burgers.. iv.

(6) Abstract In this thesis we presents results on the exact controllability of the partial Dierential Equations (PDEs) of the parabolic and hyperbolic type, in the context of hierarchic control, using the Stackelberg-Nash strategy. In every problems we consider a main control (leader) and two secondary controls (followers).. To each leader we obtain a correnponding Nash equi-. librium, associated to a bi-objective optimal control problem; then we look for a leader of minimal cost that solves the exact controllability problem. For the parabolic problems we have distributed and boundary controls, now in the hyperbolics every controls are distributed. We consider linear and semilinear cases, which we solve using observability inequality obtained combining right Carleman inequalities. Also we use a xed point method.. Keywords:. Controllability; Hierarchic control; Stackelberg-Nash strategy; Observability. inequality; Carleman inequality; Heat equation; Wave equation; Burgers' equation.. v.

(7) Agradecimentos A Deus por ter me dado motivação para estudar matemática, o que tornou realidade este sonho. À minha mãe Lúcia e à minha esposa Joseane que sempre me apoiaram em todos os momentos. Aos professores Fagner Dias Araruna e Enrique Fernández Cara, por aceitarem me orientar nesta tese, pelo tratamento cordial que sempre tiveram comigo e por observações fundamentais para realização deste trabalho. Estudar com os dois foi de fato uma honra. Aos professores Damião Junio Gonçalves de Araújo, Felipe Wallison Chaves Silva, Juan Bautista Límaco Ferrel e Maurício Cardoso Santos, por avaliarem esta tese. Aos professores Aldo Trajano Lourêdo e Manuel Milla Miranda pela ajuda com seminários e pelo apoio para iniciar o doutorado. À CAPES pelo apoio nanceiro fundamental para realização deste trabalho.. vi.

(8) Dedicatória. À minha mãe Lucia e à minha esposa Joseane.. vii.

(9) Sumário Introdução. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1 Hierarchic control for exact controllability of parabolic equations with distributed and boundary controls 19 1.1. 1.2. 1.3. 1.4. Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 20. 1.1.1. 23. Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. The exact controllability with a distributed leader and two boundary followers. 26. 1.2.1. The linear case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 1.2.2. The semilinear case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 39. Hierarchical control with a boundary leader and two distributed followers . .. 45. 1.3.1. The linear case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 45. 1.3.2. The semilinear case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 50. Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 55. 1.4.1. The case where all controls are on the boundary . . . . . . . . . . . .. 55. 1.4.2. The assumption on the. µi. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1.4.3. The hypotheses on the. Oi,d. and. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. 1.4.4. Hierarchical control of the wave equation . . . . . . . . . . . . . . . .. 56. Γi,d. 2 Hierarchic control for the wave equation 2.1. Statement of the problem 2.1.1. 2.2. 55. 58. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 59. Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 61. The linear case. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 2.2.1. The existence and uniqueness of a Nash equilibrium . . . . . . . . . .. 63. 2.2.2. The Optimality system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 65.

(10) 2.2.3 2.3. 2.4. Null controllability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 66. The semilinear case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 70. 2.3.1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 74. Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 2.4.1. Boundary controllability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. 2.4.2. On the nonlinearity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 78. Equilibrium and Quasi-equilibrium. 3 Hierarchic control for Burgers equation via StackelbergNash strategy 3.1. Introducton. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 80 81. 3.1.1. Statement of the problem. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 81. 3.1.2. Main results . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 83. 3.2. Existence and uniqueness of Nash equilibrium. . . . . . . . . . . . . . . . . .. 85. 3.3. Null controllability. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 91. 3.4. Final comments . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. 3.4.1. StackelbergNash strategy with controls in the boundary . . . . . . .. 95. 3.4.2. The NavierStokes system . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. Referências. 97. ix.

(11) Introdução Nesta tese apresentamos alguns resultados sobre controlabilidade de sistemas associados a equações diferenciais parciais parabólicas e hiperbólicas. Vamos resolver os problemas de controlabilidade no contexto do que Lions [50] chamou de controle hierárquico e aplicaremos a estratégia de StackelbergNash. A grosso modo, controlar um sistema de equações diferenciais ordinárias ou parciais, como o próprio nome sugere, é atuar sobre ele para obter um comportamento desejado. Um problema de controle para sistemas governados por uma equação parabólica ou hiperbólica pode ser formulado como segue: Dados um intervalo de tempo. [0, T ], um estado inicial e um. estado nal, buscamos por um controle que atua na trajetória do sistema (o lado direito da equação diferencial ou a condição de fronteira), de modo que, a solução do sistema associado a tal controle seja igual ao estado inicial no tempo. t=0. e ao estado nal no tempo. t = T.. A Teoria de Controle é uma parte da Matemática muito rica em aplicações, pois problemas de diversas áreas, como engenharia, biologia, medicina, economia entre outras, quando formulados matematicamente dão origem a problemas de controle. Por exemplo, questões de meio ambiente como despoluir um lago ou rio podem ser formuladas como problemas de controles de certas equações parabólicas, como equação do calor ou de NavierStokes. Pensando em controlar estruturas exíveis surgem problemas de controle que envolvem equações hiperbólicas, já para controle de uxo de tráfego aparecem problemas de controle, por exemplo, para equação de Burgers. Quando falamos em equações parabólicas e hiperbólicas merecem destaque as equações do calor e da onda, pois as técnicas usadas para análise dessas equações, em particular nos problemas de controlabilidade, geralmente podem ser adaptadas para outras do mesmo tipo. Merece destaque também a equação de Burgers (que é parabólica), muito importante entre as.

(12) equações que descrevem uxo de uidos, que tem sido usada como uma versão unidimensional da equação de NavierStokes, que por sua vez tem sido intensivamente estudada nos últimos anos. Para denir os tipos de problemas controlabilidade vamos considerar um problema linear abstrato:. onde Por. A. H. e e.   y + Ay = Bu t  y(·, 0) = y 0. em. (0, T ),. em. Ω,. u : [0, T ] → U. (1). y : [0, T ] → H. B. são operadores lineares,. U. denotamos dois espaços de funções adequados. Então xado. é o controle e. denir vários tipos de problemas de controlabilidade no tempo. Controlabilidade exata:. Dados. y0. e. tal que a correspondente solução. Controlabilidade aproximada: ε > 0,. obter um controle. u. y1 y. T > 0,. podemos. .. estados possíveis do sistema, obter um controle. de (1) satisfaz. Dados. T. é o estado.. y0. e. y1. u. y(T ) = y 1 .. estados possíveis do sistema e um número. tal que a correspondente solução. y. de (1) satisfaz. ||y(T ) −. y 1 ||H < ε.. Controlabilidade nula: solução. y. Dado. de (1) satisfaz. y 0 , provar que existe um controle u tal que a correspondente. y(T ) = 0.. Controlabilidade exata por trajetórias:. Dado. tema (1) (solução associada a um controle pondente solução. y. de (1) satisfaz. y0. u¯),. e uma trajetória arbitrária. obter um controle. u. y¯. do sis-. tal que a corres-. y(T ) = y¯(T ).. A controlabilidade exata é um conceito mais forte do que o de controlabilidade aproximada, nula e exata por trajetórias. No caso de sistemas lineares como (1) controlabilidade nula é equivalente a controlabilidade exata por trajetórias. Estes dois últimos tipos de controlabilidade são frequentemente analisados quando trabalhamos com sistemas não reversíveis e com efeito regularizante, por exemplo sistemas parabólicos, já que neste caso não podemos esperar a controlabilidade exata, veja [13], [22], [25], [54]. O controle de equações diferenciais parciais tem sido intensivamente estudado nas últimas décadas.. Um dos trabalhos que podemos destacar é o de D.L.Russel de 1978, [60],. onde o autor desenvolveu importantes ferramentas para resolver problemas de controlabilidade fazendo relação com outros métodos de equações diferenciais parciais: multiplicadores,. 2.

(13) problemas de momento, etc. Outros que destacamos são os trabalhos de J-L. Lions de 1988, [46], [47], [48], onde o autor introduziu o Método da Unicidade de Hilbert (em inglês Hilbert Uniqueness MethodH.U.M.), que logo se tornou uma ferramenta muito importante para o desenvolvimento da Teoria de Controle. A ferramenta usada para resolver problemas de controlabilidade de sistemas lineares é a desigualdade de observabilidade para o sistema adjunto. Considerando, por exemplo o sistema linear abstrato, a controlabilidade no tempo tividade de um certo operador linear a um elemento a. u. com. FT (u) := y(T, ·),. y 0 := 0.. T >0. FT : L2 (0, T ; U ) → H. onde. y ∈ C 0 ([0, T ]; H). é equivalente a analisar sobrejeque associa cada. é a solução de (1) correspondente. Por sua vez, devido a resultados clássicos de Análise Funcional, essa. sobrejetividade é equivalente a existência de uma constante. ||FT∗ (z T )||L2 (0,T ;U ) ≥ C||z T ||H onde. u ∈ L2 (0, T ; U ). FT∗ : H → L2 (0, T ; U ). é o adjunto de. FT .. C>0. tal que. z T ∈ H,. (2). A desigualdade (2) é chamada desigualdade. de observabilidade. Para os detalhes sobre a construção desses operadores pode-se consultar [13]. Nos problemas de controlabilidade para sistemas não lineares, primeiro resolvemos o problema de controlabilidade nula para o sistema linear associado.. Então, para obter. a desigualdade de observabilidade usamos as chamadas desigualdades de Carleman, que são estimativas de normas. L2. ponderadas com funções peso convenientes.. O uso dessas. desigualdades para resolver problemas de controlabilidade teve notória popularização após o trabalho de Fursikov e Imanuvilov [34]. Também podemos destacar: [38], [39], [40], [41] e [44]. Uma parte importante em Teoria de Controle é a Otimização.. Neste caso, além de. resolver o problema de controlabilidade, buscamos o controle ótimo no sentido de minimizar custos (ou maximizar os benefícios). tarmos por. Uad. Isto é, considere novamente o sistema (1), se deno-. o espaço de todos os controles admissíveis e por. Y. o espaço dos estados. associados, assumindo que ambos sejam espaços de Banach com as normas. || · ||Uad. e. || · ||Y ,. respectivamente, então podemos considerar o problema de obter um controle que minimiza um funcional da forma:. 1 J(u) := ||y(u) − yd ||2Y 2. 3. ∀u ∈ Uad ,.

(14) yd ∈ Y. onde. é dada. Ou ainda, mais geralmente, podemos considerar o funcional. µ 1 J(u) := ||y(u) − yd ||2Y + ||u||Uad 2 2 com. µ ≥ 0.. ∀u ∈ Uad ,. (3). A situação a ser analisada com o funcional (3.6) é: além de atingir o estado. nal desejado, com o controle de menor custo, esperamos que a solução do sistema esteja próxima de uma função dada. Para resolver um problema de controle ótimo, Lions em [50] introduziu o conceito de controle hierárquico.. A motivação veio da noção de otimização introduzida e usada em. Economia pelo economista H. Von Stackelberg, [61]. Neste processo tem-se pelo menos dois controles atuando, porém apenas um controle, chamado líder, é independente e os outros são considerados a partir de cada escolha do líder, estes são chamados seguidores. Em seu trabalho, Lions considerou um conjunto aberto da forma.    y + Ay = v1 1O1 + v2 1O2   t y=0     y(·, 0) = 0. onde,. Ω ⊂ Rn em. Q = Ω × (0, T ),. sobre. Σ = Γ × (0, T ),. em. Ω.. Γ. e um sistema. (4). X n n X ∂y ∂y ∂ Ay = − aij (x) + ai (x) , ∂x ∂x ∂x i j i i,j=1 i=1. com. −. n X. aij (x)ξi ξj ≥ α. i,j=1 onde. com fronteira suave. 1Oi. n X. ξi2 , α > 0.. i=1. Oi ⊂ Ω. denota a função característica do conjunto aberto. objetivos cumpridos foram: aproximar. y 1 ∈ L2 (Ω),. e. O1 ∩ O2 = ∅.. y(·, T ), onde y é solução de (4), de um estado desejado. e considerar a solução de (4) que não se afaste de uma função dada. L2 (Ω × (0, T )).. Os. y2 ∈. Para conseguir esses objetivos foram denidos os seguintes funcionais custo. 1 J1 (v1 ) := 2. ZZ. |v1 |2 dxdt,. (5). O1 ×(0,T ). e. 1 J2 (v1 , v2 ) = 2. ZZ. β |y(v1 , v2 ) − y2 | dxdt + 2 Ω×(0,T ) 2. ZZ. Então foi usada a estratégia de Stackelberg, com o líder sendo cada escolha do controle. v1 ,. o controle. Após obter o controle seguidor ótimo,. v2. |v2 |2 , β > 0.. (6). O2 ×(0,T ). v1 e o seguidor v2 .. Ou seja, para. é escolhido de forma a minimizar o funcional (6).. v2 = F(v1 ), 4. o qual ca caracterizado em um sistema.

(15) de otimalidade, o problema de controlabilidade aproximada é resolvido usando o controle independente. v1 ,. que minimiza o funcional (5), pois agora tem-se. y(v1 , v2 ) = y(v1 , F(v1 )).. Para obter a controlabilidade foi usado o Teorema de continuação única de Mizohata (veja [55]) e teoremas de regularidade. Em [51], Lions estudou o controle hierárquico para um sistema governado pela equação da onda usando a estratégia de Stackelberg e analisando a controlabilidade aproximada com controles na fronteira. Ele considerou um sistema como segue.    y − ∆y = 0   tt y = v1 1Γ1 + v2 1Γ2     y(·, 0) = 0 Com. Q = Ω × (0, T ), Σ = Γ × (0, T ). Onde neste problema é o controle em. 1Γi. e. Ω. em. Q,. sobre. Σ,. em. Ω.. (7). Rn. um conjunto aberto do. com fronteira suave. denota a função característica do subconjunto. L2 (Γi × (0, T )).. Além disso, considerou. v1. Γi. sendo o líder e. de. v2. Γ.. Γ, i = 1, 2, vi. o seguidor.. Agora em [16], Diaz e Lions resolveram o problema de controlabilidade aproximada para um sistema parabólico, como (4), onde consideraram um líder e um número. n. de se-. guidores. Neste trabalho, pela primeira vez, usaram a estratégia de Stackelberg associada a idéia de equilíbrio de Nash, [56], a qual consiste em obter simultaneamente. n. n. seguidores que minimizem. funcionais custo, similares a (6). Então, eles chamaram esse processo de. estratégia de StackelbergNash. Ou seja, nesse trabalho para cada controle líder trado um equilíbrio de Nash para os seus funcionais custo. f. foi encon-. Ji , isto é, uma n-úpla (w1 , · · · , wn ). que resolve o problema de minimização da forma. Ji (f ; w1 , . . . , wi , . . . , wn ) = min Ji (f ; w1 , . . . , wî , . . . , wn ),. i = 1, . . . , n.. w î. Esse equilíbrio de Nash ca caracterizado em um sistema de otimalidade, então eles concluem a controlabilidade aproximada aplicando o Teorema de HahnBanach e o Teorema de continuação única de Mizohata. Em [16], [50] e [51] o foco foi a controlabilidade aproximada, já em [3] os autores consideraram sistema distribuído com a equação do calor não linear.    y − ∆y + a(x, t)y = F (y) + f 1O + v1 1O1 + v2 1O2   t y=0     y(·, 0) = y 0 5. em. Q,. sobre. Σ,. em. Ω.. (8).

(16) Com. Ω. um domínio limitado do. Rn. com fronteira suave. função contínua localmente lipschitziana e e. 1A. y0. é dada,. denota a função característica do conjunto. líder e. v1 , v 2. A.. Γ.. Onde. a ∈ L∞ (Q), F. O, O1 , O2 ⊂ Ω. Os controles são. é uma. são conjuntos abertos. f, v1. e. v2 ,. sendo. f. o. os seguidores. Os funcionais considerados são. 1 J(f ) = 2. ZZ. |f |2 dxdt. (9). O×(0,T ). e. αi Ji (f ; v1 , v2 ) = 2 para. i = 1, 2.. ZZ. µi |y − yi,d | dxdt + 2 Oi,d ×(0,T ) 2. ZZ. |vi |2 dxdt,. (10). Oi ×(0,T ). Então, eles resolveram o problema de controlabilidade exata por trajetó-. rias usando controle hierárquico via estratégia de StackelbergNash.. A desigualdade de. observabilidade para o adjunto do sistema de otimalidade linear foi obtida combinando as desigualdades de Carleman associadas a cada equação do sistema.. Depois concluíram o. problema de controlabilidade usando o Teorema do ponto xo de Shauder. Por m, em relação a equação de Burgers e NavierStokes existem vários trabalhos importantes sobre controlabilidade nula, podemos destacar [26], [27] e [34]. Contudo, ainda não existem trabalhos sobre controle hierárquico e estratégia de StackelbergNash para controlabilidade nula dessas equações. O objetivo desta tese é analisar o controle hierárquico aplicando a estratégia de Stackelberg Nash para resolver problemas de controlabilidade exata para as equações do calor e da onda, e ainda, controlabilidade nula para equação de Burgers.. Descrição dos resultados Nesta tese resolvemos os problemas de controle exato por trajetórias para sistemas como (8) com controles tanto na fronteira como distribuídos. Além disso, vamos resolver o problema de controle exato para um sistema como (7), mas com controles distribuídos. No que segue detalharemos os trabalhos desenvolvidos.. Capítulo 1: Controle hierárquico para controlabilidade exata de equações parabólicas com controles distribuídos e na fronteira. Seja Considere. Ω ⊂ Rn (n ≥ 1). um domínio limitado com fronteira. O, O1 , O2 ⊂ Ω. conjuntos abertos não vazios e sejam. 6. Γ. sucientemente regular.. S, S1. e. S2. subconjuntos.

(17) disjuntos fechados de fronteira lateral é. Ω. no ponto. Γ.. Dado. T > 0, consideramos o domínio cilíndrico Q = Ω × (0, T ) cuja. Σ = Γ × (0, T ).. Denotaremos por. ν(x). o vetor normal unitário exterior a. x ∈ Γ.. Consideramos sistemas da forma.    y − ∆y + a(x, t)y = F (y) + f 1O   t y = v 1 1S1 + v 2 1S2     y(·, 0) = y 0 e. em. Q,. sobre. Σ,. em. Ω,.    p − ∆p + a(x, t)p = F (p) + u1 1O1 + u2 1O2   t p = g1S     p(·, 0) = p0. onde. y 0 , p0 , f, g, v i. lipschitziana e por. e. 1A. ui ,. são dadas em espaços apropriados,. (11). em. Q,. sobre. Σ,. em. Ω,. F. (12). é uma função localmente. denotamos a função característica do conjunto. A.. Os problemas que vamos resolver tem os seguintes objetivos: resolver o problema de controlabilidade exata por trajetórias para os sistemas (11) e (12), impedir que a solução do sistema se distancie de uma certa função dada. Neste sentido, focando inicialmente no sistema (11), denimos os funcionais custo:. αi Ji (f, v1 , v2 ) := 2 onde. ZZ. µi |y − ξi,d | dx dt + 2 Oi,d ×(0,T ) 2. ZZ. |v i |2 dσ dt,. i = 1, 2,. (13). Si ×(0,T ). ξi,d = ξi,d (x, t) são dadas em L2 (Oi,d ×(0, T )) e αi , µi são constantes positivas.. Também. denimos o funcional principal. 1 J(f ) := 2. ZZ. |f |2 dx dt. O×(0,T ). Então aplicamos a estratégia de StackelbergNash, com seguidores.. Neste sentido, para cada. f. J1 (f ; v 1 , v 2 ) = min J1 (f ; vˆ1 , v 2 ), 1. Ji ,. v1, v2. os. (v 1 , v 2 ) = (v 1 (f ), v 2 (f )). isto é, resolvem o problema. J2 (f ; v 1 , v 2 ) = min J2 (f ; v 1 , vˆ2 ). 2. vˆ. (v 1 (f ), v 2 (f )). sendo o controle líder e. vamos encontrar um par. que minimiza simultaneamente os funcionais custo. Chamamos o par. f. vˆ. assim obtido de equilíbrio de Nash para os funcionais. (14). Ji .. Lembremos que uma trajetória do sistema (11) é a solução do sistema.    y¯ − ∆¯ y + a(x, t)¯ y = F (¯ y)   t y¯ = 0     y(·, 0) = y¯0 7. in. Q,. on. Σ,. in. Ω.. (15).

(18) Depois de provar a existência de equilíbrio de Nash, xada uma trajetória controle ótimo. f ∈ L2 (O × (0, T )),. y¯,. buscamos um. que resolve o problema. J(f ) = min J(fˆ),. (16). fˆ. sujeito a condição de controlabilidade exata. y(·, T ) = y¯(·, T ). in. Em relação ao sistema (12), o líder é o controle. Ω. g. (17). e os seguidores são. u1. e. u2 .. Os. funcionais custo são da forma:. αi Ki (g, u , u ) := 2 1. 2. ZZ.

(19) 2

(20) ZZ

(21)

(22) ∂p µ i

(23)

(24) |ui |2 dx dt,

(25) ∂ν − ζi,d

(26) dσ dt + 2 Σi,d Oi ×(0,T ). i = 1, 2,. (18). e. 1 , K(g) := ||g||2 32 , 34 H (S×(0,T )) 2 onde. Σi,d = Γi,d × (0, T ) e Γi,d. funções dadas e. α i , µi. são subconjuntos fechados não vazios de. Γ, ζi,d = ζi,d (x, t) são. são constantes positivas. Aplicaremos a estratégia de Stackelberg. Nash. O equilíbrio de Nash. (u1 (g), u2 (g)). que resolve simultaneamente o problema de mini-. mização. K2 (g; u1 , uˆ2 ). K2 (g; u1 , u2 ) = min 2. K1 (g; uˆ1 , u2 ), K1 (g; u1 , u2 ) = min 1. u ˆ. u ˆ. (19). Temos a seguinte trajetória do sistema (12):.    p¯ − ∆¯ p + a(x, t)¯ p = F (¯ p)   t p¯ = 0     p¯(·, 0) = p¯0. in. Q,. on. Σ,. in. Ω.. (20). Então, uma vez provada a existência de equilíbrio de Nash para cada controle líder, encontramos um controle. 3 3. g ∈ H 2 , 4 (S × (0, T )). tal que. p(·, T ) = p¯(·, T ). in. Ω.. (21). Observe que o sistema (15) estudado em [3] tem apenas controles distribuídos. Investigamos questões semelhantes a esse trabalho, mas agora a diculdade é que temos controles tanto na fronteira quanto distribuídos. Resolver problemas de controle hierárquico para controlabilidade exata por trajetórias para equação do calor é a principal contribuição deste capítulo.. 8.

(27) Vamos enunciar os principais resultados deste trabalho no que segue.. Teorema (Caso linear): Suponha Oi,d ∩ O = 6 ∅, i = 1, 2. Assuma que uma das seguintes condições é verdadeira:. O1,d = O2,d := Od ,. (22). O1,d ∩ O = 6 O2,d ∩ O.. (23). ou Assuma F ≡ 0 e as constantes µi > 0 (i = 1, 2) são sucientemente grandes. Então existe uma função positiva ρ = ρ(t), que decai exponencialmente para zero quando t tende a T , tal que se y¯ é a solução de (15) (com F ≡ 0) associada ao estado inicial y¯0 ∈ L2 (Ω) e as funções ξi,d ∈ L2 (Oi,d × (0, T )) satisfazem a condição: ZZ ρ−2 |¯ y − ξi,d |2 dx dt < +∞, i = 1, 2, (24) Oi,d ×(0,T ). então, dado y 0 ∈ L2 (Ω), existem um controle f ∈ L2 (O × (0, T )) e um equilíbrio de Nash associado (v 1 (f ), v 2 (f )) tais que a solução de. (11). correspondente (com F ≡ 0) satisfaz. (17).. As guras seguintes ilustram os casos (22) e (23), respectivamente. A hipótese (22) é natural, pois desejamos obter (17) sem que a solução de (11) se afaste da função. ξi,d ,. então é bastante razoável que essa função se aproxime da trajetória. t. T.. Além disso, como o sistema é linear os funcionais. tende a. Ji. y¯ quando. são convexos, então a. condição (14) é equivalente a. Ji0 (f ; v 1 , v 2 ) · vî = 0, Logo, no caso linear um par. (v 1 , v 2 ). ∀ˆ v i ∈ L2 (Si × (0, T )),. i = 1, 2.. é um equilíbrio de Nash para os funcionais. somente se, satisfaz (25).. Figura 1: Caso:. Figura 2: Caso:. O1,d = O2,d. .. O1,d ∩ O = 6 O2,d ∩ O. 9. (25). Ji. se, e.

(28) Para demonstrar o Teorema no caso linear, transformamos o problema de controlabilidade exata por trajetórias em um problema de controlabilidade nula.. Caracterizamos o. equilíbrio de Nash em um sistema de otimalidade e obtemos a desigualdade de observabilidade para o sistema adjunto combinando desigualdades de Carleman adequadas.. Ji é perdida, não temos mais a equivalência. No caso semilinear, como a convexidade dos. entre (14) e (25). Neste caso, usamos a denição de quase equilíbrio de Nash: Um par é um quase equilíbrio de Nash para os funcionais. Ji. (v 1 , v 2 ). se a condição (25) é satisfeita.. Com esta denição temos os seguintes resultados para o caso semilinear:. Teorema (Caso semilinear): Suponha Oi,d e µi (i = 1, 2) nas condições do Teorema do caso linear, seja F ∈ W 1,∞ (R) e que as funções ξi,d ∈ L2 (Oi,d × (0, T )) (i = 1, 2) tem a propriedade: existe uma função ρ, também como no caso linear, tal que se y¯ é a solução de. (15). para um estado inicial y¯0 ∈ L2 (Ω). (24). vale. Então dado y 0 ∈ L2 (Ω), existem um. controle f ∈ L2 (O × (0, T )) e um quase equilíbrio de Nash associado (v 1 , v 2 ) tais que a solução de. (11). correspondente satisfaz. (17).. Para demonstrar este resultado usamos os resultados dos caso linear e aplicamos o Teorema do ponto xo de Shauder. Podemos, sob certas condições, obter uma equivalência entre as denições de equilíbrio e quase equilíbrio de Nash. Este é o conteúdo do seguinte resultado:. Teorema (Relação entre equilíbrio e quase equilíbrio): Suponha F ∈ W 2,∞ (R) e ξi,d ∈ L∞ (Oi,d × (0, T )) (i = 1, 2). Se y 0 ∈ L2 (Ω) e n ≤ 6, então existe C > 0 tal que, se f ∈ L2 (O × (0, T )) e µi satisfazem µi ≥ C 1 + kf kL2 (O×(0,T )) , as condições. (14). e. (25). são equivalentes.. Para demonstrar este resultado basicamente vericamos as condições para que a segunda derivada dos. Ji. tenha sinal positivo.. Em relação ao sistema (12), temos o seguinte resultado para o caso linear:. Teorema (Caso linear sistema. ): Suponha. (12). Γi,d ∩ S = ∅,. i = 1, 2,. (26). e que as constantes µi > 0 (i = 1, 2) são sucientemente grandes. Então existe uma função positiva ρ¯ = ρ¯(t), que é nula em t = T , tal que se p¯ é a solução de (20) (com F ≡ 0) associada ao estado inicial p¯0 ∈ V e as funções ζi,d ∈ L2 (Γi,d × (0, T )) satisfazem a condição:

(29)

(30) 2 ZZ

(31) ¯

(32) −2

(33) ∂ p ρ¯

(34) − ζi,d

(35)

(36) dσ dt < +∞, i = 1, 2, (27) ∂ν Γi,d ×(0,T ) 10.

(37) 3 3. então, para todo p0 ∈ V existem um controle g ∈ H 2 , 4 (S × (0, T )) e um equilíbrio de Nash. (u1 , u2 ) associado tais que a correspondente solução de. (12). satisfaz. (21).. A hipótese (27) tem justicativa análoga a (22). E mais, como os funcionais neste caso temos que um par. (u1 , u2 ). Ki. são convexos. é um equilíbrio de Nash para os funcionais. Ki. se, e. somente se, satisfazem. Ki0 (g; u1 , u2 ) · uî = 0,. ∀ uî ∈ L2 (Oi × (0, T )),. i = 1, 2.. (28). Para demonstrar o teorema no caso linear para sistema (12), fazemos um prolongamento do domínio e resolvemos o problema com controles distribuídos. Usando a denição de quase equilíbrio para os funcionais. Ki. obtemos o seguinte resul-. tado para o caso semilinear:. Teorema (Caso semilinear sistema linear (sistema de. (20). que. (12)). ): Suponha Γi,d , µi > 0 (i = 1, 2) como no caso. (12). e F ∈ W 1,∞ (R). Então existe uma função ρ¯ tal que, se p¯ é a solução. para um estado inicial p¯0 ∈ V e as funções ζi,d ∈ L2 (Γi,d × (0, T )) (i = 1, 2) são tais. (27). 3 3. vale, para cada p0 ∈ V dado, existem um controle g ∈ H 2 , 4 (S × (0, T )) e um quase. equilíbrio de Nash (u1 , u2 ) associado tais que a correspondente solução de. (12). satisfaz. (21).. Para demonstrar este resultado também usamos o Teorema do ponto xo de Shauder. Por m, obtemos a equivalência entre equilíbrio e quase equilíbrio de Nash para os funcionais. Ki :. Teorema (Relação entre equilíbrio e quase equilíbrio, sistema 1 1 , 2 4. ): Suponha que. (12). F ∈ W (R) e ζi,d ∈ H (Σi,d ) (i = 1, 2). Se p ∈ V e N ≤ 6, então existe C > 0 tal que, 3 3 se g ∈ H 2 , 4 (S × (0, T )) e µi satisfazem µi ≥ C 1 + kgkH 23 , 34 (S×(0,T )) , 2,∞. as condições. (19). e. (28). 0. são equivalentes.. Capítulo 2: Controle hierárquico para equação da onda. Seja. Ω ⊂ Rn um domínio limitado com fronteira Γ de classe C 2 e suponha T > 0.. considerar pequenos conjuntos abertos não vazios e disjuntos notação. Q = Ω × (0, T ),. unitário exterior a. Ω. cuja fronteira lateral é. no ponto. x ∈ Γ.. 11. O, O1 , O2 ⊂ Ω.. Σ = Γ × (0, T );. por. ν(x). Vamos. Usaremos a. o vetor normal.

(38) Consideramos o seguinte sistema.    y − ∆y + a(x, t)y = F (y) + f 1O + v 1 1O1 + v 2 1O2   tt y=0     y(·, 0) = y 0 , y (·, 0) = y 1 t. onde. Q,. on. Σ,. in. Ω,. a ∈ L∞ (Q), f ∈ L2 (O × (0, T )), v i ∈ L2 (Oi × (0, T )), F : R → R. localmente lipschitziana, de. in. (y 0 , y 1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω) e com 1A. (29). é uma função. indicamos função característica. A. Resolvemos um problema com dois objetivos: obter um controle ótimo que resolve o. problema de controlabilidade exata e impedir que a solução do sistema se afaste de uma função dada. Para conseguir estes objetivos vamos considerar o controle hierárquico, com sendo o controle líder. v1, v2. f. os seguidores, e aplicaremos a estratégia de StackelbergNash.. Consideramos o funcional principal. 1 2. ZZ. |f |2 dx dt, O×(0,T ). e os funcionais custo secundários. αi Ji (f, v , v ) := 2 1. onde. Oi,d ⊂ Ω. 2. ZZ. µi |y − yi,d | dx dt + 2 Oi,d ×(0,T ) 2. são abertos não vazios,. ZZ. yi,d ∈ L2 (Oi,d × (0, T )). |v i |2 dx dt,. (30). Oi ×(0,T ) são funções dadas e. αi. e. µi. são constantes positivas. A estratégia de StackelbergNash funciona como segue. Para cada escolha de um líder. f , buscamos um equilíbrio de Nash para os funcionais Ji , ou seja, um par. (v 1 (f ), v 2 (f )) ∈ L2 (O1 × (0, T )) × L2 (O2 × (0, T )). que resolve simultaneamente o seguinte. problema de minimização:. J2 (f ; v 1 , v 2 ) = min J2 (f ; v 1 , vˆ2 ). 2. J1 (f ; v 1 , v 2 ) = min J1 (f ; vˆ1 , v 2 ), 1 vˆ. No caso em que os funcionais. Ji. vˆ. (31). são convexos, (31) é equivalente a. Ji0 (f ; v 1 , v 2 ) · vî = 0, ∀ vî ∈ L2 (Oi × (0, T )), i = 1, 2.. (32). Este é caso quando o sistema (29) é linear, no entanto, geralmente isto não acontece no caso não linear. Dado. (¯ y 0 , y¯1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω), uma trajetória para (29) é    y¯ − ∆¯ y + a(x, t)¯ y = F (¯ y ) in Q,   tt y=0 on Σ,     y(·, 0) = y 0 , y (·, 0) = y 1 in Ω. t. 12. a solução do sistema. (33).

(39) Depois de provar que para cada líder xamos uma trajetória. y¯ e. f. existe um par equilíbrio de Nash. f ∈ L2 (O × (0, T )). buscamos um líder. (v 1 , v 2 ) = (v 1 (f ), v 2 (f )),. tal que. J(f ) := min J(fˆ),. (34). fˆ. sujeito a condição de controlabilidade exata. y(·, T ) = y¯(·, T ),. yt (·, T ) = y¯t (·, T ). in. Ω.. (35). Em [51], o autor provou resultados sobre controle hierárquico aplicando a estratégia de Stackelberg, no contexto da controlabilidade aproximada para equação da onda, com controles distribuídos. A principal contribuição deste trabalho é entender a estratégia de Stackelberg associada a noção de equilíbrio de Nash, trabalhando no contexto da controlabilidade exata para equação da onda com controles distribuídos. Antes de enunciar os resultados obtidos neste trabalho façamos algumas considerações. Dado. x0 ∈ Rn \ Ω. denimos o conjunto. Γ+ := {(x − x0 ) · ν(x) > 0} e as funções. δ>0. d : Ω → R,. com. d(x) = |x − x0 |2. para todo. x ∈ Ω.. Vamos supor que existe. tal que. O ⊃ Oδ (Γ+ ) ∩ Ω,. (36). onde. Oδ (Γ+ ) = {x ∈ Rn ; |x − x0 | < δ, x0 ∈ Γ+ }. Devido a velocidade de propagação da equação da onda ser nita, o tempo tem que ser sucientemente grande.. Assim, no que segue vamos supor. T > 0. T > 2R1 ,. onde. p R1 := max{ d(x) : x ∈ Ω}. Os resultados obtidos são os seguintes.. Teorema (Caso linear): Suponha F ≡ 0 e que as constantes µi > 0 (i = 1, 2) sucientemente grandes. Então dado (y 0 , y 1 ) ∈ H01 × L2 (Ω), existem um controle f ∈ L2 (O × (0, T )) e um equilíbrio de Nash (v 1 , v 2 ) = (v 1 (f ), v 2 (f )) tais que a correspondente solução de satisfaz. (29). (35).. Para demonstrar este resultado transformamos o problema de controlabilidade exata em um de controlabilidade nula equivalente, depois caracterizamos o equilíbrio de Nash. 13.

(40) em um sistema de otimalidade. Concluímos a controlabilidade nula usando a desigualdade de observabilidade que obtemos por meio de desigualdades de Carleman apropriadas e da energia. Considerando o caso semilinear com. Ji. F. localmente lipschitziana, como os funcionais. não são convexos, em geral (31) and (32) não são equivalentes. Desse modo, usamos a. denição quase equilíbrio de Nash: dado para os funcionais. Ji. f,. um par. (v 1 , v 2 ). é um quase equilíbrio de Nash. se (32) é satisfeita. Com esta denição temos o seguinte resultado:. Teorema (Caso semilinear): Suponha que. (36). vale, F ∈ W 1,∞ (R) e os µi > 0 (i = 1, 2). são sucientemente grandes. Então, dado qualquer par (y 0 , y 1 ) ∈ H01 (Ω)×L2 (Ω), existem um controle f ∈ L2 (O × (0, T )) e um quase equilíbrio de Nash associado (v 1 , v 2 ) = (v 1 (f ), v 2 (f )) tais que a correspondente solução de. (29). satisfaz. (35).. Demonstramos este Teorema usando o caso linear, resultados de compacidade e ponto xo. Analisamos ainda em que condições as denições de equilíbrio e quase equilíbrio de Nash são equivalentes, a resposta esta no seguinte resultado:. Teorema (Relação entre equilíbrio e quase equilíbrio): Suponha F ∈ W 2,∞ (R) e que yi,d ∈ C 0 ([0, T ]; H01 (Oi,d )) ∩ C 1 ([0, T ]; L2 (Oi,d )). Se (y 0 , y 1 ) ∈ H01 (Ω) × L2 (Ω) e n ≤ 8, então existe C > 0 tal que, se f ∈ L2 (O × (0, T )) e µi satisfazem µi ≥ C(1 + kf kL2 (O×(0,T )) ), as condições. (31). e. (32). são equivalentes.. Para demonstrar este resultado analisamos a derivada segunda dos funcionais. Ji .. Capítulo 3: Controle hierárquico para a equação de Burgers via estratégia de StackelbergNash. Seja. T > 0 e considere os conjuntos abertos não vazios O, O1 , O2 ⊂ (0, 1), com 0 6∈ O.. Introduzimos o seguinte sistema para a equação de Burgers:.    y − yxx + yyx = f 1O + v 1 1O1 + v 2 1O2   t y(0, t) = y(1, t) = 0     y(x, 0) = y 0 (x) onde. f, v 1 , v 2. são os controles e. característica do conjunto. y. em. (0, 1) × (0, T ),. sobre. (0, T ),. em. (0, 1),. é o estado e com a notação. A. 14. 1A. (37). representamos a função.

(41) Existem vários trabalhos importante sobre a controlabilidade de sistemas como (37), entre os quais podemos citar [26], [34] e [53]. No Capítulo 3 vamos analisar a controlabilidade nula do sistema (33) no contexto do controle hierárquico e aplicando a estratégia de StackelbergNash, com. f. sendo o líder e. v1, v2. os seguidores.. Seguindo metodologia dos capítulos anteriores, consideramos os funcionais custo para os seguidores:. αi Ji (f ; v , v ) := 2 1. 2. ZZ. µi |y − yi,d | dx dt + 2 Oi,d ×(0,T ) 2. ZZ. |v i |2 dx dt,. (38). Oi ×(0,T ). e o funcional principal. 1 J(f ) := 2 onde. ZZ. |f |2 dx dt, O×(0,T ). Oi,d ⊂ (0, 1) é um conjunto aberto não vazio, αi , µi > 0 são constantes e yi,d = yi,d (x, t). são funções dadas em Para cada líder para os funcionais. f. L2 (Oi,d × (0, T )). escolhido obtemos um par Equilíbrio de Nash associado. (v 1 (f ), v 2 (f )). Ji .. Como (37) é não linear, para provar a existência e unicidade de equilíbrio de Nash, vamos mostrar que existe um único par. (v 1 , v 2 ). que satisfaz. Ji0 (f ; v 1 , v 2 ) · vî = 0 ∀ vî ∈ L2 (Oi × (0, T )),. (39). J 00 (f ; v 1 , v 2 ), vî > 0 ∀ vî ∈ L2 (Oi × (0, T )).. (40). e. Depois de provar que existe um único par de Nash para cada controle líder em buscamos um controle. f ∈ L2 (O × (0, T )). L2 (O×(0, T )),. tal que. J(f ) = min J(fˆ) fˆ. (41). e a correspondente solução de (37) satisfaz a condição de controlabilidade nula:. y(·, T ) = 0. in. (0, 1).. (42). Agora vamos apresentar os resultados do Capítulo 3. O primeiro resultado arma sobre a existência e unicidade de equilíbrio de Nash.. Teorema (Existência e unicidade de equilíbrio de Nash): Suponha µi sucientemente grande. Então, para cada f ∈ L2 (O × (0, T )) dado, existe um único equilíbrio de Nash. (v 1 (f ), v 2 (f )) para os funcionais Ji . 15.

(42) H01 (0, 1): ≤ r para algum. O seguinte resultado garante a controlabilidade nula local com dado inicial em. Teorema (caso y 0 ∈ H01 (0, 1)): Suponha y 0 ∈ H01 (0, 1) com ||y 0 ||H01 (0,1). r > 0 e Oi,d ∩ O = 6 ∅, i = 1, 2. Assuma uma das seguintes condições valem: O1,d = O2,d := Od ,. (43). O1,d ∩ O = 6 O2,d ∩ O.. (44). ou Se as constantes µi > 0 (i = 1, 2) são sucientemente grandes e existe uma função positiva ρ = ρ(t), que decai exponencialmente para 0 quando t → T − , tal que, as funções yi,d ∈ L2 (Oi,d × (0, T )) (i = 1, 2) satisfazem ZZ 2 ρ−2 yi,d dx dt < +∞, i = 1, 2, (45) Oi,d ×(0,T ). então, existe um controle f ∈ L2 (O ×(0, T )) e um equilíbrio de Nash (v 1 (f ), v 2 (f )) associado tal que tem-se. (41). e a correspondente solução de. (37). satisfaz. (42).. Aqui temos uma interpretação para a hipótese (44) parecida com a (23) no caso da equação do calor. Como desejamos que o estado seja nulo no tempo afastemos de. yi,d ,. T > 0,. sem que nos. é esperado que estas funções quem perto de se anular quando. t. tende a. T. Supor que. y 0 é limitada em H01 (0, 1) é uma condição razoável, pois devido aos resultados. em [26] e [34], sabemos que para o sistema (37) não podemos ter controlabilidade nula global. Além disso, de [26] segue que para mínimo para controlabilidade nula. y 0 ∈ L2 (0, 1) com ||y 0 ||L2 (0,1) ≤ r, r > 0, temos um tempo T (r) > 0,. com. C0 log(1/r)−1 ≤ T (r) ≤ C1 log(1/r)−1 , onde. C0 , C 1 > 0. são constantes adequadas.. Em relação à controlabilidade nula local com dado inicial em. L2 (0, 1) temos o resultado:. Teorema (caso y 0 ∈ L2 (0, 1)): Suponha y 0 ∈ L2 (0, 1) com ||y 0 ||L2 (0,1) ≤ r para algum r > 0 e T ≥ T (r). Assumindo, como no teorema do caso y 0 ∈ H01 (0, 1), que uma das condições (43), (44) (45). é satisfeita, µi sucientemente grande e que existe uma função ρ tal que a hipótese. vale, então, existe um controle f ∈ L2 (O × (0, T )) e um equilíbrio de Nash associado. (v 1 (f ), v 2 (f )) tal que correspondente solução de. 16. (37). satisfaz. (42)..

(43) Questões em aberto e trabalhos futuros. Problema parabólico com todos os controles na fronteira. Considere o problema linear.    z − ∆z + a(x, t)z = 0   t z = v1S + v 1 1S1 + v 2 1S2     z(·, 0) = z 0 Podemos pensar em funcionais custo como os. Ji. ou. Ki. in. Q,. on. Σ,. in. Ω,. (46). denidos no Capítulo 1. Então, se-. guindo as ideias do Capítulo 1 obtemos um equilíbrio de Nash para cada líder e um sistema de otimalidade. No entanto, para a controlabilidade nula aparece a diculdade de obter desigualdades de Carleman para provar a desigualdade de observabilidade. A controlabilidade nula para o sistema (46) usando a estratégia de StackelbergNash é uma questão em aberto.. Controle hierárquico aplicando a estratégia de StackelbergNash para o sistema de NavierStokes O sistema (37) pode ser considerado como uma versão unidimensional simplicada do sistema de NavierStokes. fronteira. Γ. Seja. Ω. um domínio limitado do. RN (N = 2. N = 3),. cuja. é sucientemente regular. Considere o sistema de NavierStokes.    yt − ∆y + (y · ∇)y + ∇p = f 1O + v 1 1O1 + v 2 1O2      ∇·y =0   y=0      y(·, 0) = y 0 onde. ou. T >0. é dado,. Q = Ω × (0, T ), Σ = Γ × (0, T ). e os conjuntos. in. Q,. in. Q,. on. Σ,. in. Ω,. O, O1 , O2 ⊂ Ω. (47). abertos. não vazios. Consideramos. y0. no espaço. H := {z ∈ L2 (Ω)N : ∇ · z = 0 onde. ν(x). Ω,. in. denota o vetor normal unitário exterior a. Ω. z·ν. no ponto. on. Γ},. x ∈ Γ.. A controlabilidade do sistema (47) tem sido bastante estudada nos últimos anos, veja por exemplo, [27] e [34], onde podemos encontrar resultados sobre controlabilidade com controles distribuídos e na fronteira, respectivamente.. 17.

(44) No contexto do controle hierárquico, em [2] os autores analizaram o sistema (47), aplicando a estratégia de StackelbergNash, onde eles já conseguiram resultados sobre existência e unicidade de equilíbrio de Nash para funcionais similares aos. Ji. denidos em (38). Mas. controlabilidade nula para (47) ainda é uma questão em aberto.. Controle hierárquico para equação da onda com controles na fronteira. No Capítulo 2 resolvemos o problema de controle hierárquico para a controlabilidade exata da equação da onda, com um líder e dois seguidores, com todos os controles distribuídos. Em [50], o autor analisou o controle hierárquico com um líder e um seguidor, ambos na fronteira, onde resolveu o problema de controlabilidade aproximada para equação da onda. Um problema que surgiu nessa direção foi o da controlabilidade exata com um líder e pelo menos dois seguidores, com todos os controles na fronteira. Considere um sistema do tipo:.    y − ∆y + a(x, t)y = 0   tt y = f 1Γ0 + v 1 1Γ1 + v 2 1Γ2     y(·, 0) = y 0 , y (·, 0) = y 1 t. in. Q,. on. Σ,. in. Ω,. (48). Então, a parte de encontrar um equilíbrio de Nash para cada líder é análoga ao que é feito no Capítulo 2, mas a diculdade aparece para demonstrar a desigualdade de observabilidade. Esta ainda é uma questão em aberto.. 18.

(45) Capítulo 1 Hierarchic control for exact controllability of parabolic equations with distributed and boundary controls.

(46) Hierarchic control for the exact controllability of parabolic equations with distributed and boundary controls F. D. Araruna, E. Fernández-Cara, L. C. Da Silva. We present some results concerning the exact controllability of parabolic equations in the context of hierarchical control through StackelbergNash strategies. We analyze two cases: in the rst one, the main control (the leader) acts in the interior of the domain and the secondary controls (the followers) act on small parts of boundary; in the second case, we consider a leader acting on a part of the boundary while the followers are of the distributed kind. In both cases, for each leader, an associated Nash equilibrium pair is found; then, we prove the existence of a leader that leads the system exactly to a prescribed (but arbitrary) trajectory. We consider linear and semilinear problems. Abstract.. 1.1. Introduction Let. Ω. Ω ⊂ Rn (n ≥ 1) be a bounded domain with boundary Γ of class C 2 .. be (small) nonempty open sets and let. subsets of. Γ.. Given. Σ = Γ × (0, T ).. S, S1 ,. and. S2. Let. O, O1 , O2 ⊂. be nonempty closed and disjoints. T > 0, let us consider the cylinder Q = Ω × (0, T ) with lateral boundary. We will denote by. ν(x). the outward unit normal to. Ω. at the point. x ∈ Γ.. We will consider parabolic systems of the form.    y − ∆y + a(x, t)y = F (y) + f 1O   t y = v 1 ρ1 + v 2 ρ2     y(·, 0) = y 0 and. where. in. Q,. on. Σ,. in. Ω,.    p − ∆p + a(x, t)p = F (p) + u1 1O1 + u2 1O2   t p = g1S     p(·, 0) = p0 y 0 , p0 , f, g, v i ,. and. ui. notation. 1A. in. Q,. on. Σ,. in. Ω,. are given in appropriate spaces,. Lipschitz-continuous function and the. ρi ∈ C02 (Si ). with. denotes the characteristic function of the set. 20. (1.1). F : R → R. 0 ≤ ρi ≤ 1. A.. (1.2). is a locally. In this paper, the.

(47) We will analyze the exact controllability to the trajectories of (1.1) and (1.2) following hierarchic control techniques, as introduce by J.L. Lions [50]. More precisely, we will apply the StackelbergNash strategy, which combines hierarchical ingredients of the Stackelberg kind and non-cooperative Nash optimization methods. The hierarchical control of hyperbolic equations has been studied in [50] with two controls (one leader and one follower). On the other hand, satisfactory results with distributed controls have been obtained in [3], [16] and [37]. The main goal in this paper is to analyze the exact controllability (to the trajectories) for the systems (1.1) and (1.2) in the context of hierarchical control, applying the StackelbergNash strategy. In order to explain the methodology we will be initially concerned with linear system (1.1).. O2,d be non-empty open subsets of Ω and let us dene the cost functionals ZZ ZZ αi µi 1 2 2 Ji (f ; v , v ) = |y − ξi,d | dx dt + |v i |2 dσ dt, i = 1, 2, (1.3) 2 2 Oi,d ×(0,T ) Si ×(0,T ) Let. where. O1,d. and. ξi,d = ξi,d (x, t). are given in. L2 (Oi,d × (0, T )). and. α i , µi. are positive constants. Let us. also introduce the main functional. 1 J(f ) := 2 For each choice of the leader. f,. ZZ. |f |2 dx dt. O×(0,T ). we look for controls. an optimal couple for the cost functionals. J1. J1 (f ; vˆ1 , v 2 ), J1 (f ; v 1 , v 2 ) = min 1 (v 1 , v 2 ). is called a. and. v2,. J2. in the following sense:. depending on. f,. that provide. J2 (f ; v 1 , v 2 ) = min J2 (f ; v 1 , vˆ2 ). 2. vˆ. This pair. and. v1. vˆ. (1.4). Nash equilibrium.. Let us consider a trajectory of (1.1), that is, a function.    y¯ − ∆¯ y + a(x, t)¯ y = F (¯ y)   t y¯ = 0     y(·, 0) = y¯0 Assuming that a Nash equilibrium exists for each. f,. y¯ = y¯(x, t). in. Q,. on. Σ,. in. Ω.. satisfying. (1.5). we then look for a leader such that. J(f ) = min J(fˆ),. (1.6). fˆ. subject to condition of controllability constraint. y(·, T ) = y¯(·, T ) 21. in. Ω.. (1.7).

(48) In this paper, we will use the Hilbert space. W (Q) := z ∈ L2 (0, T ; H 1 (Ω)) : zt ∈ L2 (0, T ; H −1 (Ω)) , which is equipped with the norm. 1/2 ||z||W (Q) = ||z||2L2 (0,T ;H 1 (Ω)) + ||zt ||2L2 (0,T ;H −1 (Ω)) . We will also use the Hilbert spaces. r, s ≥ 0,. H r,s (Q) = L2 (0, T ; H r (Ω)) ∩ H s (0, T ; L2 (Ω)) for numbers. with norms. ||z||. H r,s (Q). :=. and their boundary counter parts. . ||z||2L2 (0,T ;H r (Ω)). +. ||z||2H s (0,T ;L2 (Ω)). 1/2. H r,s (Σ) := L2 (0, T ; H r (Γ))∩H s (0, T ; L2 (Γ)); for a detailed. description of these spaces and their properties, see [52]. Finally, we introduce the space. V := {u ∈ H 1 (Ω) : u = 0. on. Γ \ S}.. In relation to system (1.2), the secondary cost functionals are dened as follows:. αi Ki (g; u1 , u2 ) := 2 where. ZZ.

(49)

(50) 2 ZZ

(51) ∂p

(52) µi

(53)

(54) |ui |2 dx dt,

(55) ∂ν − ζi,d

(56) ρi,d dσ dt + 2 Σi,d Oi ×(0,T ). Σi,d = Γi,d × (0, T ). are given functions,. and the. αi , µi. Γi,d. are nonempty closed subsets of. are positive constants and. ρi,d ∈ C02 (Γi,d ). Γ,. i = 1, 2,. the. with. (1.8). ζi,d = ζi,d (x, t). Γ0i,d ⊂⊂ Γi,d ⊂ Γ. and. 0 ≤ ρi,d ≤ 1,. ρi,d = 1. in. Γ0i,d ,. ρi,d = 0. in. Γ \ Γi,d .. . In this case, the main functional is the following:. 1 K(g) := ||g||2H 3/2,3/4 (S×(0,T )) . 2 For each leader couple. (u1 , u2 ). g,. we will nd a Nash equilibrium for the cost functionals. Ki ,. that is, a. such that. K1 (g; u1 , u2 ) = min K1 (g; uˆ1 , u2 ), 1. K2 (g; u1 , u2 ) = min K2 (g; u1 , uˆ2 ). 2. u ˆ. u ˆ. (1.9). Let the following trajectory for (1.2) be given:.    p¯ − ∆¯ p + a(x, t)¯ p = F (¯ p)   t p¯ = 0     p¯(·, 0) = p¯0 22. in. Q,. on. Σ,. in. Ω.. (1.10).

(57) Then, we look for a control. g ∈ H 3/2,3/4 (S × (0, T )). verifying. K(g) = min K(ˆ g ),. (1.11). gˆ. subject to exact controllability condition. p(·, T ) = p¯(·, T ). in. Ω.. (1.12). These problems are motivated by applications found in various elds. they can play a relevant role in environmental sciences.. y = y(x, t). Thus, we can view the solution. to (1.1) as the concentration of a chemical product in a lake. be regarded as a part of the lake where we can apply a control to a desired state. ξi,d. in. Oi,d ,. for. y¯ at. time. i = 1, 2. T.. For instance,. f. The set. O. can. which tries to approach. But, at the same time, we do not want. and, to this purpose, we apply controls. Ω.. vi. y. y. to be too far from. on some parts. Si. of the. shore of lake. A similar interpretation can be given in the context of (1.2).. 1.1.1. Main results. First, we will consider the system (1.1) with. F ≡ 0.. In this linear case, we have the. following result:. Theorem 1 Suppose that Oi,d ∩O 6= ∅, i = 1, 2. Assume that one of the following conditions holds: either. O1,d = O2,d. (and then we set Od := Oi,d ) and ξ1,d = ξ2,d = ξd. (1.13). or. O1,d ∩ O = 6 O2,d ∩ O.. (1.14). If the constants µi > 0 (i = 1, 2) are large enough, there exists a positive function ρ = ρ(t) blowing up at t = T such that, if y¯ is the unique solution to (1.5) (with F ≡ 0) associated to the initial state y¯0 ∈ L2 (Ω) and the ξi,d ∈ L2 (Oi,d × (0, T )) satisfy ZZ ρ2 |¯ y − ξi,d |2 dx dt < +∞, i = 1, 2, (1.15) Oi,d ×(0,T ). for any y 0 ∈ L2 (Ω) there exist a control f ∈ L2 (O×(0, T )) and an associated Nash equilibrium (v 1 , v 2 ) such that the solution to (1.1) satises (1.7). The assumptions in (3.10) are natural, because we want to get (1.7) with a state too far from the. ξi,d. and, consequently, it is reasonable to impose that the. 23. ξi,d. y. not. approach. y¯.

(58) as. t. goes to. T.. Note that, in this linear case, the cost functionals. Ji. are convex. So, (1.4) is. equivalent to. Ji0 (f ; v 1 , v 2 ) · vî = 0 ∀ˆ v i ∈ L2 (Si × (0, T )),. i = 1, 2.. (1.16). Let us now consider more general semilinear systems of the form (1.1). Note that, now, we cannot guarantee the convexity of the. Ji .. This motivates the following denition:. Denition 1 The pair (v 1 , v 2 ) is a Nash quasi-equilibrium for the functionals Ji if. (1.16). is satised. With this denition in mind, we have the following results:. Theorem 2 Suppose that the Oi,d and µi satisfy the assumptions in Theorem 1 and F ∈ W 1,∞ (R). There exists a function ρ as in Theorem 1 such that, if y¯ is the unique solution to (1.5) associated to the initial state y ¯0 ∈ L2 (Ω) and the ξi,d ∈ L2 (Oi,d × (0, T )) are such that 0 2 2 (3.10) holds, then for any y ∈ L (Ω) there exist controls f ∈ L (O × (0, T )) and associated Nash quasi-equilibria (v 1 , v 2 ) such that the corresponding solutions to (1.1) satisfy (1.7). In the semilinear case, there are some situations where the denitions of Nash equilibrium and Nash quasi-equilibrium are in fact equivalent. This is shown in the following result:. Proposition 1 Assume that F ∈ W 2,∞ (R) and the ξi,d ∈ L∞ (Oi,d × (0, T )) (i = 1, 2). Suppose that y 0 ∈ L2 (Ω) and n ≤ 6. There exists C > 0 such that, if f ∈ L2 (O × (0, T )) and. µi ≥ C 1 + kf kL2 (O×(0,T )) , then. (1.4). and. (1.16). i = 1, 2,. are equivalent.. Let us now turn to systems of the kind (1.2).. Assuming that. F ≡ 0,. we get the. following result:. Theorem 3 Suppose that Γi,d ∩ S = ∅,. i = 1, 2,. (1.17). and the constants µi > 0 (i = 1, 2) are large enough. Then, there exists a positive function ρ¯ = ρ¯(t) blowing up at t = T such that, if p¯ is the solution to (1.10) (with F ≡ 0) associated to the initial state p¯0 ∈ V and the ζi,d ∈ H 1/2,1/4 (Σi,d ) satisfy

(59)

(60) 2 ZZ

(61) ¯

(62) 2

(63) ∂p ρ¯

(64) − ζi,d

(65)

(66) dσ dt < +∞, i = 1, 2, (1.18) ∂ν Σi,d then, for any p0 ∈ V , there exist a control g ∈ H 3/2,3/4 (S × (0, T )) and an associated Nash equilibrium (u1 , u2 ) such that the corresponding solution to (1.2) satisfy (1.12). 24.

(67) As in the case of (3.10), the assumption (1.18) means that. Γi,d × (0, T ). as. t. goes to. T.. In this case, again, the functionals. ∂ p¯/∂ν. Ki. approaches. ζi,d. on. are convex. So, (1.9) is. equivalent to. Ki0 (g; u1 , u2 ) · uî = 0, Thus, a pair. (u1 , u2 ). ∀ uî ∈ L2 (Oi × (0, T )),. i = 1, 2.. (1.19). is a Nash equilibrium if and only if it satises (1.19).. As before, in the semilinear case we lose the convexity of the. Ki .. This implies that. (1.9) and (1.19) are not equivalent. Accordingly, we give the following. Denition 2 The pair (u1 , u2 ) is a Nash quasi-equilibrium for the functionals Ki. (1.19). is. satised. The following result holds.. Theorem 4 Suppose that the Γi,d and the µi > 0 are as in Theorem 3 and F ∈ W 1,∞ (R). There exists a function ρ¯ as in Theorem 3 such that, if p¯ is the solution to (1.10) associated to the initial state p¯0 ∈ V and the ζi,d ∈ H 1/2,1/4 (Σi,d ) are such that (1.18) holds, then for each p0 ∈ V , there exist controls g ∈ H 3/2,3/4 (S × (0, T )) and associated Nash quasi-equilibria (u1 , u2 ) such that the corresponding solutions to (1.2) satisfy (1.12). As in Proposition 8, we can analyze the equivalence between the Nash equilibrium and Nash quasi-equilibrium for the functionals. Ki .. This analysis leads to the following result:. Proposition 2 Let us assume that F ∈ W 2,∞ (R) and the ζi,d ∈ H 1/2,1/4 (Σi,d ) (i = 1, 2). Suppose that p0 ∈ V and n ≤ 6. There exists C > 0 such that, if g ∈ H 3/2,3/4 (S × (0, T )) and µi ≥ C 1 + kgkH 3/2,3/4 (S×(0,T )) , i = 1, 2, then. (1.9). and. (1.19). are equivalent.. The rest of this paper is organized as follows. In Section 3.19, we analyze the Stackelberg Nash exact controllability of (1.1), that we divide in two cases, corresponding to the linear and semilinear situations. In the linear case, we prove Theorem 1; in the semilinear case, we establish Theorem 2 using a xed-point argument. In Section 3.20, we investigate the control of (1.2), with arguments similar to those in Section 2. Finally, Section 3.21 is devoted to present some additional comments.. 25.

(68) 1.2. The exact controllability with a distributed leader and two boundary followers. 1.2.1. The linear case. The purpose of this section is to prove Theorem 1. We will do this in the next three sections. For (1.1) (with. y¯. trajectory. z := y − y¯,. F ≡ 0),. we can reduce the problem of exact controllability to the. to a null controllability problem.. where. y¯ is. Indeed, let us introduce the new variable. the solution to (1.5). Then. z. is the solution to the system.    z − ∆z + a(x, t)z = f 1O   t z = v 1 ρ1 + v 2 ρ2     z(·, 0) = z 0 with. z 0 := y 0 − y¯0. We can rewrite the functionals. αi Ji (f ; v , v ) = 2 where the. 2. Q,. on. Σ,. in. Ω,. (1.20). and (1.7) is equivalent to. z(·, T ) = 0. 1. in. ZZ. Ji. Ω.. in. (1.21). in (1.3) as follows:. µi |z − zi,d | dx dt + 2 Oi,d ×(0,T ) 2. ZZ. |v i |2 dσ dt,. i = 1, 2,. (1.22). Si ×(0,T ). zi,d := ξi,d − y¯, i = 1, 2.. Existence and uniqueness of Nash equilibrium Let. f ∈ L2 (O × (0, T )). be xed. Let us consider the spaces. Hi := L2 (Si × (0, T )). and. H := H1 × H2 . Then, since the Ji are convex, (v 1 , v 2 ) is a Nash equilibrium if and only if ZZ ZZ i αi (z − zi,d )wˆ dx dt + µi v i vî dσ dt = 0 ∀ˆ v i ∈ Hi , i = 1, 2, (1.23) Oi,d ×(0,T ) where. wˆ i. Si ×(0,T ). is the solution to.    wˆ i − ∆wˆ i + a(x, t)wˆ i = 0   t wˆ i = vî ρi     wˆ i (·, 0) = 0. 26. in. Q,. on. Σ,. in. Ω.. (1.24).

(69) Let us introduce the linear operator solution to (1.24) associated to. vî .. Li ∈ L(Hi ; L2 (Q)),. Let. z¯ be. Then the solution to (1.20) can be written in the form. (v 1 , v 2 ). in. Q,. on. Σ,. in. Ω.. where. z = L1 v 1 + L2 v 2 + z¯.. wˆ i. is the. Therefore, we. is a Nash equilibrium if and only if. αi L∗i ((L1 v 1 + L2 v 2 )1Oi,d ) + µi v i = αi L∗i ((zi,d − z¯)1Oi,d ) L∗i ∈ L(L(Q); Hi ) is the adjoint of Li for i = 1, 2.. Here,. Li vî = wˆ i ,. the solution to the system.    z¯ − ∆¯ z + a(x, t)¯ z = f 1O   t z¯ = 0     z¯(·, 0) = z 0. see from (1.23) that. with. Hi ,. i = 1, 2.. (1.25). Let us dene the operator. L:H→H. in. with. L(v 1 , v 2 ) := (α1 L∗1 ((L1 v 1 +L2 v 2 )1O1,d )+µ1 v 1 , α2 L∗2 ((L1 v 1 +L2 v 2 )1O2,d )+µ2 v 2 ) L ∈ L(H; H). Then. and we can choose. µi. ∀(v 1 , v 2 ) ∈ H.. large enough to have. (L(v 1 , v 2 ), (v 1 , v 2 ))H > µ0 ||(v 1 , v 2 )||2H. ∀(v 1 , v 2 ) ∈ H. (1.26). where. α1 + α2 δi , µ0 = max µi − i=1,2 2. n o δi = min ||Li ||2L(Hi ,L2 (Oi,d )) , ||Li ||2L(Hi ,L2 (O3−i,d )) . i=1,2. Now, let us consider the following bilinear form on. H:. A((v 1 , v 2 ), (ˆ v 1 , vˆ2 )) := (L(v 1 , v 2 ), (ˆ v 1 , vˆ2 ))H From the denition of. L. ∀ v 1 , v 2 , vˆ1 , vˆ2 ∈ H.. and the inequalities (1.26), it follows that. coercive. Hence by Lax-Milgram's Theorem, for each. Φ ∈ H0. A(·, ·). is continuous and. there exists exactly one. (v 1 , v 2 ). satisfying. A((v 1 , v 2 ), (ˆ v 1 , vˆ2 )) = hΦ, (ˆ v 1 , vˆ2 )iH0 ×H In particular, if. Φ ∈ H0. ∀(ˆ v 1 , vˆ2 ) ∈ H,. (v 1 , v 2 ) ∈ H.. (1.27). is given by. hΦ, (ˆ v 1 , vˆ2 )iH0 ×H := ((α1 L∗1 ((z1,d − z¯)1O1,d ), α2 L∗2 ((z2,d − z¯)1O2,d )), (ˆ v 1 , vˆ2 ))H we get (1.25). Thus, the following result is proved:. 27. ∀ vˆ1 , vˆ2 ∈ H..

(70) Proposition 3 If. µi −. α1 + α2 2. δi > 0,. i = 1, 2,. then, for each f ∈ L2 (O × (0, T )), there exists a unique Nash equilibrium (v 1 , v 2 ) for the functionals Ji .. The optimality system This section is devoted to obtain the optimality system corresponding to a Nash equilibrium.. Thus, let. f ∈ L2 (O × (0, T )). be given and let. (v 1 , v 2 ). be an associated Nash. equilibrium. Let us introduce the adjoint system to (1.24):.    −φit − ∆φi + a(x, t)φi = αi (z − zi,d )1Oi,d   φi = 0     φi (·, T ) = 0 Then, for any. vî ∈ Hi ,. if we set. wˆ i := Li vî ,. in. Q,. on. Σ,. in. Ω.. (1.28). the following identity is found from (1.24) and. (1.28):. ZZ. ZZ. i. vî ρi. αi (z − zi,d )wˆ dx dt = − Oi,d ×(0,T ). Σ. ∂φi dσ dt. ∂ν. By (1.23), we also have. 1 ∂φi ρi v = µi ∂ν i. on. Σ,. i = 1, 2.. Consequently, we get the optimality system.    zt − ∆z + a(x, t)z = f 1O     i i i    −φt − ∆φ + a(x, t)φ = αi (z − zi,d )1Oi,d 2 X 1 ∂φi  z= ρi , φi = 0    µi ∂ν  i=1     z(·, 0) = z 0 , φi (·, T ) = 0 Our task is to nd a control. in. Q,. in. Q,. on. Σ,. in. Ω.. (1.29). f ∈ L2 (O × (0, T )) such that the solution to (3.15) satises. (2.10). Before that, we will analyze the well-posedness of this system. The following result holds:. Proposition 4 Suppose that f ∈ L2 (O × (0, T )), z 0 ∈ L2 (Ω), the zi,d ∈ L2 (Oi,d × (0, T )) and the µi are large enough. Then. (3.15). has a unique solution in the class. (z, φ1 , φ2 ) ∈ W (Q) × [H 2,1 (Q)]2 .. 28.

(71) Demonstração. each. z¯ ∈ L2 (Q),. We will use a xed point argument. Let us set. For. let us consider the system.    zt − ∆z + a(x, t)z = f 1O     i i i   z − zi,d )1Oi,d  −φt − ∆φ + a(x, t)φ = αi (¯ 2 X 1 ∂φi  z = ρi , φi = 0    µ ∂ν i  i=1     z(·, 0) = z 0 , φi (·, T ) = 0 Notice that. µ0 := min{µ1 , µ2 }.. φi ∈ H 2,1 (Q).. Moreover, there exists a constant. in. Q,. in. Q,. on. Σ,. in. Ω.. C>0. (1.30). such that. z ||2L2 (Q) + ||zi,d ||2L2 (Oi,d ×(0,T )) , ||φi ||2L2 (0,T ;H 2 (Ω)) + ||φit ||2L2 (Q) ≤ C ||¯. i = 1, 2.. (1.31). On the other hand, from [52, Theorem 2.1, p. 9], we know that there exists a constant. C>0. such that.

(72)

(73) i

(74)

(75) 2

(76)

(77) ∂φ

(78)

(79) i 2 i 2

(80)

(81)

(82)

(83) ≤ C ||φ || + ||φ || ρ 2 2 2 i t L (Q) , L (0,T ;H (Ω))

(84)

(85) ∂ν

(86)

(87) 1/2,1/4 H (Σ) From (1.32) and [52, pp. 83-84], we deduce that constant. C>0. z ∈ W (Q). i = 1, 2.. (1.32). and, moreover, there exists a. such that. ||z||2L2 (0,T ;H 1 (Ω)) + ||zt ||2L2 (0,T ;H −1 (Ω)) ≤C. !

(88)

(89) i

(90)

(91) 2 2 X

(92)

(93)

(94)

(95) 1 ∂φ

(96)

(97) ||z 0 ||2L2 (Ω) + ||f ||2L2 (Oi,d ×(0,T )) + ρi

(98)

(99)

(100)

(101) . 2

(102)

(103) µ ∂ν 1/2,1/4 (Σ) i H i=1. (1.33). So, by (1.31)(1.33), we deduce that. ||z||2L2 (0,T ;H 1 (Ω)) + ||zt ||2L2 (0,T ;H −1 (Ω)) 2. ≤C. X 1 z ||2L2 (Q) + ||zi,d ||2L2 (Oi,d ×(0,T )) ||z 0 ||2L2 (Ω) + ||f ||2L2 (Oi,d ×(0,T )) + ||¯ µ0 i=1. Let us introduce the mapping. Λ : L2 (Q) → L2 (Q),. solution to (1.30) corresponding to. z¯.. Note that. Moreover, the previous estimates written for. ||Λ(¯ z1 ) − Λ(¯ z2 )||L2 (Q) ≤ In other words, if. µ0. is suciently large,. Λ. with. Λ(¯ z ) := z ,. (1.34). .. (z, φ1 , φ2 ). is the. is a well dened, continuous and ane.. Λ(¯ z1 ) − Λ(¯ z2 ). C ||¯ z1 − z¯2 ||L2 (Q) µ0 Λ. where. !. obviously give. z¯1 , z¯2 ∈ L2 (Q).. is a contraction, whence it possesses exactly one. xed-point. This ends the proof.. Remark 1 From the proof of Proposition 4, we see that, if the µi are large enough, there exists C > 0 such that the solution to. (1.20). satises. ||z||L2 (0,T ;H 1 (Ω)) + ||zt ||L2 (0,T ;H −1 (Ω)) ≤ C 1 + ||f ||L2 (O×(0,T )) . 29.