O que precisa de saber. O que precisa de saber. O que precisa de saber

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Índice

Avaliação --- 90

Anexos – Calculadoras gráficas --- 94

Soluções --- 105

O que precisa de saber 1. Noção de função --- 6

2. Domínio, conjunto de chegada e contradomínio de uma função --- 8

3. Gráfico e gráfico cartesiano de uma função --- 9

4. Formas de definir uma função --- 10

5. Função real de variável real --- 12

6. Zeros e extremos de uma função --- 13

7. Monotonia de uma função --- 16

8. Tabela de variação de uma função --- 18

Aplicações --- 20 Projeto • Investigação --- 24

1

Funções e gráficos. Generalidades sobre funções I S B N 9 7 8 - 9 7 2 - 0 - 4 4 4 2 2 - 6 O que precisa de saber 1. Função afim --- 28 2. Função quadrática --- 35 3. Função cúbica --- 45 Aplicações --- 50 Projeto • Investigação --- 70

2

Função afim. Função quadrática. Função cúbica O que precisa de saber 1. Translação do gráfico de uma função --- 74

2. Dilatação e contração do gráfico de uma função --- 78

3. Reflexões do gráfico de uma função --- 80

Aplicações --- 84 Projeto • Investigação --- 88

3

Transformações do gráfico de uma função CPMA2_20174132_TEXTO_TEMA 1_6P_CImg.indd 2 27/05/2019 09:55

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Projeto · Investigação

FUNÇÃO AFIM. FUNÇÃO QUADRÁTICA. FUNÇÃO CÚBICA

2

CP M A2 © P or to E dit or a

Caixa com tampa

Material:

Folha A4 (21 cm de largura e 29,7 cm de comprimento) Tesoura Lápis Régua

Para a realização desta atividade, devem ser constituídos cinco grupos de trabalho, devendo cada um deles seguir os passos seguintes.

1.o_{passo: Dobrar a folha ao meio e, com o auxílio de uma régua,} fazer as marcações que se seguem.

Os quadrados assinalados têm lado x , sendo que: Grupo 1: x _{= 1,5 cm} Grupo 2: x _{= 3 cm} Grupo 3: x = 4 cm Grupo 4: x _{= 4,5 cm} Grupo 5: x _{= 5 cm}

2.o_{passo: Cortar dois retângulos de comprimento}

(

_14,85_{+ x}

)

_cm e largura x cm e construir a caixa.

3.o_{passo: Cada um dos grupos de trabalho determina o volume} da sua caixa e compara com os restantes.

O que podem observar?

Contexto da situação-problema geradora da investigação.

Pretende-se que o aluno c onsiga generalizar através de manipulaç_ão algébrica e estabeleça analogias c_om casos particulares.

O aluno recorre à tecnologia (calculadora gráfica), mas também manipula instrumentos de desenho e medida.

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EXCLUSIVO DO PROFESSOR 71 CP M A2 © P or to E dit or a

4.o_{passo: Cada um dos grupos responde ao conjunto de questões que se segue.}

Questão 1: Qual dos seguintes gráficos pode representar o volume, V , da caixa em função de x ?

(A) (B) O x y O x y (C) (D) O x y O x y

Questão 2: Mostre que o volume, V , da caixa é dado em função de x pela expressão: V

(

x

)

_{= 2 x}3

− 50,7 x 2

+ 311,85x

Questão 3: Atendendo ao contexto do problema, determine o domínio da função V .

Questão 4: Recorrendo à calculadora gráfica, apresentando todos os gráficos e coordenadas de pontos relevantes, determine x de modo que:

a) o volume seja máximo e diga qual é o volume máximo possível. Apresente os resultados com uma casa decimal.

b) o volume da caixa seja 120 cm 3_.

Apresente o resultado com uma casa decimal.

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Avaliação

CP M A2 © P or to E dit or a

1 Considere a função f cujo gráfico cartesiano é apresentado a seguir.

O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 -2 -4 -3 -4 -2 5 4 3 2 1 y x f

1.1. Em relação à função f representada, indique:

a) o domínio; b) o contradomínio; c) os extremos absolutos; d) os extremos relativos; e) os maximizantes; f) os minimizantes; g) os intervalos de monotonia.

1.2. Construa a tabela de variação da função f .

2 A expressão L

₍

t

₎

_{= 300 + 10t descreve a quantidade de lixo, em} toneladas, existente num aterro em função do tempo decorrido t , em meses, desde o dia 1 de abril de 2018.

2.1. Determine L

(

0

)

e interprete o seu significado.

2.2. Qual a quantidade de lixo, em toneladas, existente no aterro no dia 1 de agosto de 2018?

2.3. Supondo que a capacidade máxima do aterro é de 1400 to-neladas, quanto tempo decorrerá até que o aterro não possa receber mais lixo?

Apresente a sua resposta em anos e meses.

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3 A evolução da população de uma cidade por um período de 25 anos pode ser modelada pela expressão P

(

t

)

_{= 3}

(

1 _{− t}

)

_{+ a , onde P}

(

t

)

representa o número de habitantes da cidade, em milhares, t o número de anos decorridos e a é uma constante real. Sabendo que daqui a 5 anos a cidade terá 70 500 habitantes, responda às perguntas que se seguem.

3.1. Determine o valor da constante a .

3.2. Estime o número de habitantes da cidade daqui a 10 anos.

3.3. Daqui a aproximadamente quantos anos a cidade terá 20 000 habitantes? 4 O gráfico cartesiano seguinte representa a altura h

da água, em metros, num reservatório, t horas de-pois de começar a ser esvaziado para ser limpo.

O 1 2 3 4 5 6 7 8 5 4 3 2 1 t (horas) h (metros)

4.1. Escreva a expressão analítica da função h .

4.2. Determine durante quanto tempo a altura da água no reservatório permaneceu acima dos 2 metros. Apresente a sua resposta em horas e minutos.

5 A parábola representada no referencial xOy da figura tem o ponto de coordenadas

(

3 , 8

)

como vértice e é o gráfico carte-siano de uma função quadrática f .

5.1. Escreva a equação do eixo de simetria da parábola.

5.2. Mostre que f

(

x

)

_{= - 2}

(

x _{- 3}

)

2 _{+ 8 .}

5.3. Relativamente à função f indique:

a) os zeros;

b) o contradomínio.

5.4. Indique o(s) intervalo(s) do domínio da função onde f

₍

x

₎

_{≥ 0 .}

5.5. Resolva a inequação f

(

x

)

_{< 6 .} y O 3 x f -10 8 CPMA2_20174132_TEXTO_TEMA 3_3P_CImg.indd 91 13/02/2019 09:16