Modelo de risco controlado por resseguro e desigualdades para a probabilidade de ruína

(1)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra

Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada e Estat´ıstica

Rafaela Horacina Silva Rocha

Modelo de Risco controlado por Resseguro e

Desigualdades para a Probabilidade de

Ru´ına

Disserta¸

c˜

ao de Mestrado

(2)

(3)

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Centro de Ciˆencias Exatas e da Terra

Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada e Estat´ıstica

Rafaela Horacina Silva Rocha

Modelo de Risco controlado por Resseguro e

Desigualdades para a Probabilidade de

Ru´ına

Disserta¸cão apresentada ao corpo docente do Programa de Pós-Gradua¸cão em Matemática Aplicada e Estat´ıstica CCET -UFRN, como requisito parcial para obten¸cão do t´ıtulo de Mestre em Matemática Aplicada e Estat´ıstica.

Orientadora:

Prof

a

. Dr

a

. D´ebora Borges Ferreira

Co-Orientador:

Prof. Dr. Ronaldo Dias

(4)

Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.

Rocha, Rafaela Horacina Silva.

Modelo de risco controlado por resseguro e desigualdades para a probabilidade de ruína / Rafaela Horacina Silva Rocha. - Natal, 2013.

83 f. : il.

Orientadora: Profa. Dra. Débora Borges Ferreira. Co-orientador: Prof. Dr. Ronaldo Dias.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Matemática Aplicada e Estatística.

1. Probabilidade estatística – Dissertação. 2. Probabilidade de ruína – Dissertação. 3. Modelo de risco – Dissertação. 4. Resseguro – Dissertação. 5. Estimação de densidade – Dissertação. I. Ferreira, Débora Borges. II. Dias, Ronaldo. III. Título.

(5)

(6)

`

(7)

Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente ao meu Deus, meu refúgio e fortaleza que me concedeu mais que o necessário ao longo da vida e que me sustentou até aqui. A Ele seja toda a glória!

Agrade¸co à minha querida orientadora Professora Débora Borges Ferreira por se dispor a me conduzir por essa jornada. Agrade¸co pela paciência, pela confian¸ca, pelas oportuni-dades e pela amizade que desenvolvemos ao longo do trabalho.

Aos professores André Gustavo Campos e Viviane Simiole Campos que cumpriram um papel important´ıssimo na minha forma¸cão desde a gradua¸cão me ajudando a manter sempre os pés no chão e a cabe¸ca na matemática. Meu muito obrigada por me fazerem uma aluna e uma pessoa melhor.

Aos professores da banca que fizeram observa¸cões valios´ıssimas para o enriquecimento do meu trabalho: Juan Rojas, que me acompanhou desde o in´ıcio, e Cátia Regina Gon¸calves, que deu grandes contribui¸cões para a versão final deste trabalho.

Ao professor Ronaldo Dias que me recebeu na UNICAMP e por trˆes meses encontrou tempo pra me orientar em meio a tantos afazeres.

`

A professora Dione Maria Valen¸ca por, al´em de me ensinar um pouco de estat´ıstica, me indicar para a oportunidade de estudar ao lado do professor Ronaldo.

Agrade¸co aos meus colegas do tempo de gradua¸cão Rainelly, La´ıs, Otto, Romildo, Dayvid, Fellipe, Igor que sempre me ajudaram a manter o foco. Aos colegas do PPGMAE turma de 2011: Elizângela, Josemir, Jucimeire, Aldemir, Márcio, Alex, Fábio, Ivanildo, João, Paulinho. Sozinhos não conseguir´ıamos nada!

Aos meus amigos/irmãos que são minha segunda fam´ılia. Agrade¸co por cada ora¸cão, pela torcida e por entenderem minhas ausências.

Ao meu grande amor, grande amigo e esposo. Agrade¸co sobretudo pela compreens˜ao. Por entender o que ´e importante pra mim e me apoiar incondicionalmente, mesmo quando isso significa passar meses sem mim pra que agarre uma oportunidade. Te amo muito, meu pr´ıncipe!

`

A minha fam´ılia. Meu irmão que sempre se mostrou orgulhoso de minhas conquistas. Minhas cunhadas Jéssyca e Querzia que são pra mim as irmãs que não tive. E princi-palmente à minha mãe que, guerreira como é, criou e educou a mim e ao meu irmão na ausência do meu pai e fez sempre o melhor pra nós. Que sempre se orgulhou de mim mas sem demonstrar muito pra que eu não me envaidecesse. Que me deu apoio e suporte psicológico, emocional e até mesmo financeiro pra que eu atingisse meus objetivos. E é a maior responsável pela pessoa que eu sou hoje. Te amo muito, dona Luzinete!

`

(8)

Resumo

Neste trabalho apresentamos resultados teóricos e numéricos referentes a um Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro Proporcional baseados no artigo Inequalities for the ruin probability in a controlled discrete-time risk process de Rosário Romera e Maikol Diasparra (veja [5]). Equa¸cões recursivas e integrais para a Probabilidade de Ru´ına são obtidas bem como cotas superiores para a mesma por diferentes abordagens, a saber, pela clássica desigualdade de Lundberg, pela abordagem Indutiva e pela abordagem Martingale. Técnicas de estima¸cão de densidade (não-paramétricas) são utilizadas para a obten¸cão das cotas para a Probabilidade de Ru´ına e os algoritmos utilizados na simula¸cão são apresentados.

(9)

Abstract

In the work reported here we present theoretical and numerical results about a Risk Model with Interest Rate and Proportional Reinsurance based on the article Inequalities for the ruin probability in a controlled discrete-time risk process by Ros´ario Romera and Maikol Diasparra (see [5]). Recursive and integral equations as well as upper bounds for the Ruin Probability are given considering three different approaches, namely, classical Lundberg inequality, Inductive approach and Martingale approach. Density estimation techniques (non-parametrics) are used to derive upper bounds for the Ruin Probability and the algorithms used in the simulation are presented.

(10)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Modelos de Risco 3

1.1 Modelo de Risco Cl´assico . . . 3

1.2 Modelo de Risco com Taxa de Juros . . . 5

1.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro . . . 6

2 Desigualdades para a Probabilidade de Ru´ına 9 2.1 Desigualdades para a Probabilidade de Ru´ına no Modelo de Risco Cl´assico 9 2.2 Modelo de Risco com Taxa de Juros . . . 11

2.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro . . . 12

2.3.1 Uma abordagem via Martingales . . . 23

3 Resultados Numéricos 28 3.1 Estima¸cão de Densidade do Tipo Núcleo . . . 28

3.2 Indeniza¸c˜oes Exponencialmente Distribu´ıdas . . . 29

3.2.1 Desigualdade de Lundberg . . . 30

3.2.2 Cota Superior Indutiva . . . 32

3.2.3 Cota Superior Obtida via Martingales . . . 33

3.3 Indeniza¸c˜oes com Distribui¸c˜ao do Tipo Fase . . . 33

3.3.1 Uma Breve Introdu¸c˜ao sobre Distribui¸c˜oes do Tipo Fase . . . 33

3.3.2 Desigualdade de Lundberg . . . 36

3.3.3 Cota Superior Indutiva . . . 40

3.3.4 Cota Superior Obtida via Martingales . . . 41

4 Algoritmos de Simula¸c˜ao 43 4.1 Comandos Maple 13 . . . 43

4.1.1 Exemplo 1 . . . 43

4.1.2 Exemplo 2 . . . 49

4.2 Comandos R . . . 61

4.2.1 Exemplo 1 . . . 61

4.2.2 Exemplo 2 . . . 66

5 Observa¸c˜oes Finais 70

(11)

Introdu¸

c˜

ao

A Ciência Atuarial é a aplica¸cão de métodos matemáticos e estat´ısticos no desen-volvimento de modelos numéricos usados mais frequentemente para acessar ou conhecer a possibilidade de risco. Modelos atuariais são mais frequentemente usados no ramo de seguros, mas também em pensões, bem estar e outras áreas relacionadas com pessoas.

A Teoria do Risco é uma sub-área da ciência atuarial que estuda modelos matemáticos para transa¸cões financeiras de companhias de seguros de não-vida. Esses modelos ma-temáticos são conhecidos como Modelos de Risco e analisam a evolu¸cão do capital exce-dente de uma seguradora com o passar do tempo.

Poder´ıamos simplificar o processo de seguros da seguinte forma: para cada contrato de seguro uma empresa seguradora cobra um certa quantidade de dinheiro, por unidade de tempo, que chamamos de prêmio. Os segurados, por sua vez, têm o dever de pagar os prêmios à seguradora, o que lhes assegura o direito de receber uma indeniza¸cão quando da ocorrência de um evento (ou série de eventos resultantes de uma mesma causa) suscept´ıvel de fazer funcionar as garantias de um ou mais contratos de seguro, evento este chamado de sinistro. O valor dos prêmios e das indeniza¸cões são pré-determinados em contrato, bem como os tipos de ocorrência que geram o pagamento da indeniza¸cão. No entanto, é imposs´ıvel prever quando se dará a ocorrência de um sinistro, fato do qual resulta a natureza aleatória de um Modelo de Risco.

Vários desses modelos foram propostos ao longo do tempo e se tornaram objeto de estudo de Matemáticos e Estat´ısticos do come¸co do Século XX até o presente. Uma das informa¸cões mais importantes para a seguradora é a Probabilidade de Ru´ına, isto é, a probabilidade de, em algum momento, o capital da empresa tornar-se negativo. Em alguns casos há certa dificuldade de determinar qual é a exata probabilidade de ocorrer a ru´ına. Por isso desenvolveu-se, paralelamente aos modelos, maneiras de encontrar cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına. Para cada modelo apresentado neste trabalho apresentamos também uma ou mais maneiras de encontrarmos cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına do modelo.

Este trabalho é, em grande parte, baseado no artigoInequalities for the ruin probability in a controlled dicrete-time risk process de Rosário Romera e Maikol Diasparra (veja [5]) e trata dos resultados referentes ao Modelo de Risco com Taxa Juros e Resseguro, no qual consideramos que o processo da taxa de juros se comporta como uma Cadeia de Markov. Por resseguro entenda-se atividade pela qual uma empresa seguradora repassa parte de um contrato de seguro para uma segunda empresa, pagando a esta parte do prêmio recebido. Quando da ocorrência de um sinistro, a segunda empresa seguradora arca com parte da indeniza¸cão a ser paga ao segurado. Essa atividade é adotada a fim de diminuir a Probabilidade de Ru´ına da seguradora.

(12)

envolvidas no processo. No entanto, ao longo do desenvolvimento deste trabalho foram notadas algumas divergências entre os resultados teóricos apresentados no artigo supra-citado e os seus resultados numéricos. Procuramos, então, fazer as corre¸cões cab´ıveis e ir além. Abdicando da suposi¸cão de que são conhecidas as distribui¸cões envolvidas, apresen-tamos estimativas para as cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına, obtidas com o aux´ılio de técnicas de estima¸cão de densidades do tipo Núcleo e utiliza¸cão dos Softwares Maple e R.

No Cap´ıtulo 1 abordamos o desenvolvimento dos modelos de risco desde o Modelo de Risco Cl´assico, proposto por Filip Lundberg em 1903, passando pelos modelos com Taxa de Juros propostos por Jun Cai em 2002 e chegando ao nosso objeto de estudo, o Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro. Ainda no primeiro cap´ıtulo introduzimos o conceito de Probabilidade de Ru´ına para cada um dos modelos apresentados.

No Cap´ıtulo 2 apresentamos resultados teóricos concernentes aos modelos de risco enunciados, com ênfase nos resultados que se referem ao Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro. Equa¸cões integrais recursivas para a probabilidade de ru´ına do modelo são obtidas. Apresentamos desigualdades para a probabilidade de ru´ına por três abordagens distintas: a clássica Desigualdade de Lundberg, que pode ser obtida em todos os modelos enunciados, uma generaliza¸cão por abordagem indutiva e uma por abordagem via Martingales, ambas levando em considera¸cão a informa¸cão trazida pela Cadeia de Markov do processo da taxa de juros do modelo.

No Cap´ıtulo 3 apresentamos resultados numéricos em duas etapas: primeiro, supondo conhecidas as distribui¸cões das variáveis aleatórias envolvidas no processo, calculamos as cotas superiores fornecidas pelos resultados do cap´ıtulo anterior. Posteriormente, sem tais suposi¸cões, lan¸cando mão de técnicas (não-paramétricas) de estima¸cão de densidade, cal-culamos as mesmas cotas apresentadas de maneira que possamos comparar os resultados obtidos.

No Cap´ıtulo 4 apresentamos detalhadamente os algoritmos utilizados para a obten¸cão dos resultados numéricos. Este cap´ıtulo é dividido em duas partes sendo a primeira delas referente aos comandos utilizados no software Maple 13 para a obten¸cão do valor das cotas e a segunda referente aos comandos utilizados no software R para a obten¸cão das estimativas para as cotas superiores para a probabilidade de ru´ına.

(13)

Cap´ıtulo 1

Modelos de Risco

Modelos de Risco são modelos matemáticos para transa¸cões financeiras de companhias de seguros de não-vida que analisam a evolu¸cão do seu capital excedente com o passar do tempo.

Ao longo da história, a Teoria do Risco desenvolveu-se na dire¸cão da elabora¸cão de modelos de risco cada vez mais real´ısticos, incluindo em suas equa¸cões taxas de juros e a possibilidade de resseguro, por exemplo. Apresentamos, a seguir, alguns dos princi-pais modelos de risco desenvolvidos até o presente. Os modelos apresentados podem ser encontrados em Cai [3], Cai e Dickson [2], Asmussen [1] e Disparra e Romera [5].

1.1 Modelo de Risco Cl´

assico

De maneira simples e informal uma seguradora poderia modelar seu capital no tempo

t da seguinte forma:

excedente(t)= capital inicial + prêmios recebidos até t - pagamento de indeniza¸cões até t.

Partindo dessa ideia, em 1903 Filip Lundberg desenvolveu um modelo que descreve a equa¸cão acima mais precisamente (ver Asmussen [1]), o que ficou conhecido como Mo-delo de Risco Clássico. Em seu moMo-delo, considera-se que o número de pagamentos de indeniza¸cões até o tempo t, t _≥ 0, é um processo de Poisson Nt com parâmetro λ ≥ 0. Podemos escrever Nt = max{n;Tn< t}, onde Tn é o tempo do pagamento da n-ésima indeniza¸cão. O tamanho ou valor do n-ésimo pagamento de indeniza¸cão é uma variável aleatória não negativa Yi que é independente de Nt; consideramos que {Yi}_i_≥₁ é uma sequência de variáveis aleatórias (v.a.) independentes e identicamente distribu´ıdas (i.i.d.) com fun¸cão de distribui¸cão F(y) = P(Yi ≤ y) e média comum µ =

R∞

0 1−F(y)dy ≥ 0. Assim, o total de indeniza¸cões pagas pela seguradora até o tempo t é um Processo de Poisson Composto.

Suponha que uma seguradora recebe os prêmios a uma taxa constante c. Então, sob as condi¸cões acima descritas, o capital excedente da seguradora no tempo t _≥ 0, com capital inicial x_≥0, é dado por

Xt=x+ct− Nt

X

i=1

Yi, (1.1)

onde t _≥0 e Nt= 0 implica em

PNt

(14)

Note que até o tempo t, o total de entradas da seguradora é dado por ct e o total de sa´ıdas é dado por PNt

i=1Yi. Como podemos ver em Schmidli [14](p.p. 21), o processo

Xt ter´a uma probabilidade estritamente positiva de Xt ser n˜ao negativo para todo t se

ct > E[PNt

i=1Yi]. Pela Equa¸c˜ao de Wald temos E[

PNt

i=1Yi] = µλt, ou seja, para t > 0,

ct > E[PNt

i=1Yi] se, e somente se, c > µλ. Um dos mais populares princ´ıpios usados no cálculo da taxa de prêmio cé o Princ´ıpio do Valor Esperado, segundo o qual devemos ter

c = (1 +θ)E[PNt

i=1Yi], onde θ ´e uma constante estritamente positiva que chamamos de

carga de seguran¸ca da seguradora.

Uma quantidade de interesse nos modelos de risco que serve para medir a confiabilidade de uma empresa seguradora é a Probabilidade de Ru´ına, denotada por ψ(x) como fun¸cão do capital inicial x_≥ 0, que é a probabilidade do capital da seguradora tornar-se menor que zero em algum momento. Podemos também definir o tempo da ru´ına, denotado por τ(x), como fun¸cão de x _≥ 0 onde x é o capital inicial da seguradora, dado por

τ(x) = inf_{t _≥0;Xt<0}. Note que, apesar de o capital inicial x da seguradora não aparecer explicitamente na defini¸cão de τ(x), dele dependem os valores de Xt, fazendo sentido então dizer que o tempo da ru´ına é fun¸cão do capital inicial da seguradora.

Definimos, ent˜ao, a probabilidade de ru´ına como:

ψ(x) = P(τ(x)<_∞) =P(inft≥0Xt <0). (1.2) O modelo a tempo cont´ınuo descrito em (1.1) pode tamb´em ser representado a tempo discreto. Basta apenas considerarmos o capital em instantes espec´ıficos, como, por exem-plo, mensalmente quando ´e feito o caixa da empresa seguradora.

Considere o intervalo de tempo (n₋1, n], n _≥ 1. Sejam Yn e Pn variáveis aleatórias que representam as quantias totais de indeniza¸cões pagas e prêmios recebidos no intervalo de tempo (n₋1, n], respectivamente. Assumimos que_{Yn}_n_≥₁ e {Pn}_n_≥₁ são sequências de v.a.’s não negativas, i.i.d. e independentes entre si.

Assim, o capital da seguradora no tempo n ´e dado por

Xn=x+ n

X

i=1

(Pi−Yi), (1.3)

para n = 1, 2, 3, ..., e X0 =x ´e o capital inicial da seguradora.

Ent˜ao, para o modelo de risco a tempo discreto definimos o tempo da ru´ına, em fun¸c˜ao do capital inicial x da seguradora, como τ(x) = min_{n_≥0;Xn<0} e a probabilidade de ru´ına como

P(Xn <0 para algum n <∞) = P(∪∞_n=1(Xn<0)). (1.4) Se Xn ≥0 para todo n, ent˜ao, dizemos que τ(x) = +∞.

Assim, a probabilidade de ru´ına ´e dada por

ψ(x) = P(τ(x)<+_∞|X0 =x). Para simplificar a nota¸c˜ao escreve-se

ψ(x) = P(τ(x)<+_∞).

(15)

1.2 Modelo de Risco com Taxa de Juros

Em 2002, Jun Cai propôs mudan¸cas ao modelo de risco clássico a tempo discreto, adicionando a ele taxas de juros (ver Cai [3] e Cai e Dickson [2]). Para inserir nesse modelo uma componente de juros é necessário especificar quando ocorrem as entradas dos prêmios e quando ocorrem os pagamentos de indeniza¸cões. Neste trabalho vamos considerar que a seguradora recebe os prêmios e paga a indeniza¸cão Yn ao final do per´ıodo (n−1, n). Sob tais condi¸cões, a equa¸cão recursiva que descreve o modelo proposto por Jun Cai é

Xn=Xn−1(1 +In) +Pn−Yn, (1.5) onde X0 =x(o capital inicial da seguradora), n = 1,2,3, ... e, assim como no Modelo de Risco Clássico, Xn é o capital excedente da seguradora ao final do n-ésimo per´ıodo, Pn é o total de prêmios recebidos e Yn o total de indeniza¸cões pagas no per´ıodo (n−1, n].

In ´e a v.a. que representa a taxa de juros que incidir´a sobre o capital da seguradora pelo per´ıodo (n₋1, n].

Assumimos que _{Yn}_n_≥₀ e {Xn}_n_≥₀ são sequências de v.a’s não negativas, i.i.d. e independentes entre si. Como em Cai e Dickson [2], consideramos o caso em que _{In}n≥0 é uma Cadeia de Markov com espa¸co de estados I_{. Ao final do artigo citado são feitas} observa¸cões para o caso em que In pode ser negativo. Neste trabalho, no entanto, nos deteremos no caso em que In>0 para todo n.

Analisemos a equa¸c˜ao (1.5) em detalhes. Paran = 1 temos,

X1 =X0(1 +I1) +P1−Y1,

isto é, o capital inicial X0 foi investido a uma taxa de juros I1 pelo per´ıodo de tempo (0,1] e ao final desse per´ıodo foram recebidos os prêmiosP1 e pagas as indeniza¸cõesY1.

No per´ıodo de tempo (1,2] o capital X1 será investido a uma taxa de juros I2 e a este serão somados os prêmios do per´ıodo e subtra´ıdos os pagamentos de indeniza¸cões do per´ıodo, ou seja,

X2 =X1(1 +I2) +P2−Y2 = [X0(1 +I1) +P1−Y1](1 +I2) +P2−Y2. Paran _≥1,ent˜ao,

Xn=X0 n

Y

k=1

(1 +Ik) + (P1−Y1) n

Y

k=2

(1 +Ik) + (P2−Y2) n

Y

k=3

(1 +Ik) +...+ (Pn−Yn). Logo, pela itera¸c˜ao de (1.5), segue que paran _≥1,Xn satisfaz

Xn =x n

Y

k=1

(1 +Ik) + n

X

k=1

(Pk−Yk(1 +Ik)) n

Y

t=k+1

(1 +It)

!

, (1.6)

onde Qb

k=a(1 +Ik) = 1 se a > b. FazendoSn=Yn−Pn temos

Xn=x n

Y

k=1

(1 +Ik)₋ n

X

k=1

Sk(1 +Ik) n

Y

t=k+1

(1 +It)

!

,

onde Qb

(16)

Podemos definir a probabilidade de ru´ına do modelo de maneira semelhante ao modelo anterior, ou seja, ψ(x) =P(_∪∞

k=1(Xn <0)). Dessa forma não estamos levando em consi-dera¸cão a informa¸cão adicional trazida pelo processo da taxa de juros. Podemos então, levando em considera¸cão essa informa¸cão, definir a probabilidade de ru´ına do modelo, dados o capital inicial x e a taxa de juros iniciali como

ψ(x, i) =P

∞

[

k=1

(Xn<0)|X0 =x, I0 =i

!

.

1.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro

O resseguro tornou-se uma atividade primordial para a maioria das empresas segu-radoras. Tal atividade consiste em negociar um contrato de seguro com uma segunda seguradora, passando esta a ser responsável por parte do pagamento da indeniza¸cão de-vida quando da ocorrência de um sinistro. Para tanto, a segunda empresa seguradora recebe parte do prêmio pago pelo segurado. O artigo Inequalities for the ruin probability in a controlled discrete-time risk process de Rosário Romera e Maikol Diasparra (veja [5]) trata de um modelo de risco que leva em considera¸cão essa atividade.

Dois dos principais motivos que levam uma seguradora a considerar necessário o uso do resseguro são o surgimento de indeniza¸cões excessivamente grandes a serem pagas e/ou o surgimento de várias indeniza¸cões a serem pagas em um curto per´ıodo de tempo. A empresa, então, usa desse artif´ıcio buscando reduzir a probabilidade de sofrer grandes perdas que possam comprometer sua posi¸cão e levá-la à ru´ına.

Pequenas empresas tamb´em utilizam essa ferramenta para aumentar sua capacidade de atender ao mercado, uma vez que, aliando-se a outras empresas seguradoras podem oferecer mais servi¸cos aos seus clientes e cobrar uma taxa de prˆemio mais competitiva.

O modelo de risco que enunciaremos a seguir, previamente discutido em Schmidli [15], leva em considera¸c˜ao o uso de resseguro e o investimento do capital da seguradora a uma certa taxa de juros em cada per´ıodo de tempo.

Seja Yn a n-ésima indeniza¸cão paga e seja Zn o tempo entre a ocorrência das indeniza¸cões Yn−1 e Yn. Assumimos que {Yn}n≥1 e {Zn}n≥1 são sequências de variáveis aleatórias i.i.d. com fun¸cões de distribui¸cão de probabilidade comuns F e G, respectiva-mente. Além disso, supomos que _{Yn} e{Zn} são independentes entre si.

O processo de risco pode ser controlado por resseguro, isto é, com o prêmio recebido pelo contrato a seguradora pode comprar um novo seguro em outra empresa. A seguradora pode ainda controlar a parte do seguro que será contratada com a outra seguradora. Isso é feito através da escolha do n´ıvel de reten¸cão (ou fator de proporcionalidade)b_∈B_(onde B _{:= (}_b_min_,_{1] e}_b_min _{será introduzido abaixo) para um per´ıodo de tempo. O valor de} _b _é o que determina quanto de uma indeniza¸cão Y é pago pela seguradora e quanto é pago pela resseguradora como veremos adiante.

Seja _{In}_n_≥₁ o processo da taxa de juros, ou seja, a taxa In estará incidindo sobre o capital da seguradora no n-ésimo per´ıodo de tempo. Supomos que In evolui como uma Cadeia de Markov com espa¸co de estadosI _{enumerável e possivelmente finito consistindo} de números não negativos.

Sejah(b, y) uma fun¸cão com valores em [0, y] (onde b é o n´ıvel de reten¸cão no come¸co do per´ıodo) que especifica a parte do pagamento da indeniza¸cão y paga pela seguradora. Consideramos o caso de resseguro proporcional, o que significa que

(17)

com n´ıvel de reten¸c˜ao b_∈B_.

Considere o prêmio (entrada) a taxa fixa c. Para fazer o resseguro a seguradora paga à resseguradora uma taxa de premio Cr que depende do n´ıvel de reten¸cãob. Denotamos, então, por C(b) a diferen¸ca entre c e Cr. Assim como no modelo de risco clássico, Cr é calculado pelo Princ´ıpio do Valor Esperado, ou seja, levando em considera¸cão o valor que se espera pagar de indeniza¸cões em determinado per´ıodo de tempo. Note que esse valor esperado para a resseguradora é dado por (1₋b)E[Y1]/E[Z1], ondebé o n´ıvel de reten¸cão para o per´ıodo. Logo, a parte do prêmio total cque fica na seguradora é dada por

C(b) = c₋(1 +θ)(1₋b)E[Y1]/E[Z1], (1.8) onde θ ´e a carga de seguran¸ca da resseguradora eb _∈B_.

Note que C(b) é uma fun¸cão crescente, ou seja, quanto maior o n´ıvel de reten¸cão b, maior a parte do prêmio c que permanece na seguradora. Definimos, então, o já citado

bmin da seguinte forma: bmin := inf{b ∈[0,1]|C(b)≥0}. Sob estas condi¸c˜oes descritas acima, consideramos um modelo de risco a tempo discreto no qual o capital excedente varia de acordo com a equa¸c˜ao

Xn =Xn−1(1 +In) +C(bn−1)Zn−h(bn−1, Yn), (1.9) para n_≥1, ondeX0 =x≥0 ´e o capital inicial da seguradora eC(bn−1)Zn−h(bn−1, Yn) ´e a diferen¸ca entre entradas e sa´ıdas do per´ıodo.

Para cada intervalo de tempo (n ₋1, n) é escolhido um n´ıvel de reten¸cão bn−1 para o resseguro que depende apenas do capital da seguradora no tempo n₋1. Chamamos a sequência π =_{an}n≥1, onde an(Xn) =bn de Pol´ıtica de Controle Markoviana.

Considere um estado inicial arbitrário X0 = x ≥ 0 (note que o valor inicial não é estocástico) e uma pol´ıtica de controle π = _{an}_n_≥₁. Então, pela itera¸cão de (1.9) e assumindo (1.7), segue que para n_≥1, Xn satisfaz

Xn=x n

Y

k=1

(1 +Ik) + n

X

k=1

(C(bk−1)Zk−(bk−1Yk)) n

Y

l=k+1

(1 +Il)

!

. (1.10)

A probabilidade de ru´ına quando usamos a pol´ıtica de controle π, dado o valor do capital inicial xe a taxa de juros inicial I0 =i ´e definida como

ψπ(x, i) := Pπ(_∪∞k=1{Xk <0} |X0 =x, I0 =i) =Pπ(Xk <0para algum k≥1|X0 =x, I0 =i). (1.11) Podemos tamb´em definir aprobabilidade de ru´ına no horizonte finito, ou seja, a pro-babilidade de ocorrer a ru´ına at´e o tempo n como

ψπn(x, i) :=P π

(_∪n_k=1_{Xk <0} |X0 =x, I0 =i). (1.12) Logo,

ψ₁π(x, i)_≤ψ₂π(x, i)_≤ψ₃π(x, i)_≤..._≤ψnπ(x, i)≤... , e

limn→∞ ψnπ(x, i) =ψ π

(x, i).

(18)

Neste trabalho consideramos apenas pol´ıticas de controle estacionárias, ou seja,bn=b0 para todo n. Para tanto assumimos que P(bY > C(b)Z) > 0 para todo b _∈ B_{, pois se} existisse bǫ ∈ B tal que P(bǫY > C(bǫ)Z) = 0, bastaria fazer bn =bǫ para todo n ≥ 1 e a ru´ına seria evitada, deixando-nos, assim, com um processo de risco trivial. Além disso, assumimos também que bE[Y1]< C(b)E[Z1] pois, caso contrário não poder´ıamos evitar a ru´ına visto que, pela Lei dos Grandes Números temos

1

n

X

i=1

[C(b)Zi−bYi]→E[C(b)Z −bY], donde

E[C(b)Z ₋bY]<0_⇒ n

X

i=1

[C(b)Zi−bYi]→ −∞.

Como no Modelo de Risco Cl´assico a condi¸c˜ao c > λµ garante que a probabilidade

(19)

Cap´ıtulo 2

Desigualdades para a Probabilidade

de Ru´ına

A Probabilidade de Ru´ına nem sempre é fácil de ser calculada. De fato, são poucas as distribui¸cões envolvidas nos modelos para as quais é poss´ıvel calcular o seu valor exato. Por isso, o próprio Lundberg que havia em 1905 proposto o Modelo de Risco Clássico, encontrou em 1930 uma cota superior para a Probabilidade de Ru´ına para o caso mais geral em que seu valor exato não pode ser determinado. Mais precisamente, temos

ψ(x)_≤e−Rx_,

onde R é uma constante conhecida como coeficiente de Lundberg e depende basicamente da distribui¸cão das indeniza¸cões. Este resultado foi tão importante que muitos autores até hoje se referem a desigualdades semelhantes como Desigualdades do Tipo Lundberg.

Posteriormente outras maneiras de se obter desigualdades para a Probabilidade de Ru´ına foram desenvolvidas por diferentes abordagens. Neste cap´ıtulo apresentaremos alguns resultados que nos permitem obter cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına para cada um dos modelos citados no cap´ıtulo anterior. Nos limitaremos a apresentar as demonstra¸c˜oes para os resultados referentes ao Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro dado em (1.10) que podem ser encontrados em Diasparra e Romera [5]. Para os demais modelos indicaremos onde podem ser encontradas as devidas demonstra¸c˜oes.

2.1 Desigualdades para a Probabilidade de Ru´ına no

Modelo de Risco Cl´

assico

Nesta se¸cão apresentaremos resultados usados para obter cotas superiores para a probabilidade de ru´ına no Modelo de Risco Clássico proposto por Lundberg, segundo o qual o capital da seguradora no tempo t é dado pela equa¸cão (1.1) abaixo

Xt=x+ct− Nt

X

i=0

Yi,

onde x é o capital inicial da seguradora, t _≥0,Yi é a n-ésima indeniza¸cão paga e {Nt}é o processo de Poisson que conta o número de indeniza¸cões pagas até o tempo t.

(20)

que o capital da seguradora ´e dado pela equa¸c˜ao (1.3) abaixo

Xn=x+ n

X

i=1

(Pi−Yi),

onde Pi eYi são os totais de prêmios recebidos e indeniza¸cões pagas no per´ıodo de tempo (i₋1, i], respectivamente.

Usado por Lundberg para obter cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına, o co-nhecido coeficiente de Lundberg nem sempre tem existência garantida. Algumas hipóteses devem ser adicionadas ao problema para garantir sua existência.

Os lemas abaixo trazem condi¸cões suficientes para a existência do coeficiente de Lund-berg e suas demonstra¸cões detalhadas podem ser encontradas em Grisi [7].

Lema 2.1.1 Seja Xto modelo de risco a tempo cont´ınuo definido em (1.1). Suponha que

λE[Y1] = λµ < c, e que existe t0 tal que MY1(t) = E[e

tY1_] _< _∞ _{para todo} _{t < t}

0, com

t0 >0 e MY1(t0) = ∞. Ent˜ao existe um ´unico R >0 tal que

MY1(R) = E[e

RY1_{] = 1 +} c

λR = 1 +

(1 +θ)µλ

λ R = 1 + (1 +θ)µR, onde E[Y1] =µ, E[Nt] =λ e θ ´e a carga de seguran¸ca da seguradora.

Lema 2.1.2 Seja Xn o modelo de risco a tempo discreto definido em (1.3). Suponha que

E[P1 −Y1] > 0 e que existem t0 e t1 tais que MP1−Y1(t) = E[e

t(P1−Y1)_] _< _∞ _{para todo}

t1 < t < t0, com t1 <0< t0 e P(P1−Y1 <0)>0. Ent˜ao existe um ´unico R >0 tal que

MP1−Y1(−R) =E[e

−R(P1−Y1)_{] = 1}_.

Os Teoremas abaixo trazem um dos resultados mais importantes e conhecidos da Te-oria do Risco: a conhecida Desigualdade de Lundberg, que define uma cota superior para a probabilidade de ru´ına fazendo uso do coeficiente de Lundberg que pode ser encontrado com aux´ılio dos lemas enunciados acima. As demonstra¸c˜oes detalhadas dos dois teoremas abaixo podem ser encontradas em Grisi [7].

Teorema 2.1.3 Modelo de Risco Cl´assico a tempo cont´ınuo: Seja Xt o modelo de risco

descrito em (1.1). Suponha que existe R satisfazendo E[eRY1_{] = 1 +} c

λR. Ent˜ao

(21)

Teorema 2.1.4 Modelo de Risco Cl´assico a tempo discreto: Seja Xn o modelo de risco

descrito em (1.3). Suponha que existe R satisfazendo E[e−R(P1−Y1)_{] = 1}_{. Ent˜ao}

ψ(x)_≤e−Rx_,

onde x ´e o capital inicial da seguradora.

´

E importante ressaltar que no modelo clássico a tempo cont´ınuo existe ainda uma equa¸cão do tipo renova¸cão para a probabilidade de ru´ına que nos permite, em muitos casos, o cálculo exato dessa probabilidade. A equa¸cão é dada por:

ψ(x) = 1

µ(1 +θ)

Z ∞

x

(1₋F(y))dy+ 1

µ(1 +θ)

Z x

0

ψ(y₋x)(1₋F(y))dy,

onde θ´e a carga de seguran¸ca,µ=E[Y1] eF(y) = P(Y1 ≤y).A demonstra¸c˜ao desse fato pode ser encontrada em Asmunssen [1] e em Kaas e Goovaerts [10].

2.2 Modelo de Risco com Taxa de Juros

SejaXn o modelo de risco descrito em (1.6), ou seja,

Xn=Xn−1(1 +In) +Pn−Yn,

onde X0 =x é o capital inicial da seguradora, Pn é o total de prêmios recebidos e Yn o total de indeniza¸cões pagas no per´ıodo (n₋1, n] e Iné a taxa de juros que incidirá sobre o capital da seguradora pelo per´ıodo (n₋1, n]. Seja ainda Sn=Yn−Pn.

Note que

Xn =Xn−1(1 +In) +Pn−Yn ≥Xn−1+Pn−Yn :=Xn′, e que X′

n é equivalente ao modelo clássico discretizado. Sendo assim, a probabilidade de ru´ına de Xn é menor ou igual à probabilidade de ru´ına do modelo clássico discreto e a Desigualdade de Lundberg pode ser aplicada a esse modelo.

Ent˜ao, como j´a visto, se E[S1] < 0 e existe uma constante R0 > 0 satisfazendo

E[eR0S1_{] = 1,}

ψ(x)_≤e−R0x_,

onde x ´e o capital inicial da seguradora.

O próximo teorema nos permitirá obter uma desigualdade para a probabilidade de ru´ına do modelo em (1.6) por uma abordagem indutiva levando em conta a informa¸cão da taxa de juros, o que nos fornecerá uma cota mais precisa. Não nos deteremos nos detalhes e demonstra¸cões que podem ser encontrados em Cai e Dickson [2].

Teorema 2.2.1 Seja R0 >0 uma constante que satisfaz E[eR0S1] = 1. Ent˜ao, para todo

x >0 e i_∈I

ψπ(x, i)_≤βEπ[e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i], (2.1)

onde β ´e dado por

β−1 =inft≥0

R∞

t e

R0s_dG₍_s₎

eR0tG¯(t) ,

(22)

Outra ferramenta usada para obter cotas superiores para a probabilidade de ru´ına é a abordagem via Martingales, da qual apresentaremos mais detalhes na próxima se¸cão. Por meio dessa abordagem temos os resultados apresentados na proposi¸cão e teorema a seguir, cujas demonstra¸cões podem ser consultadas em Cai e Dickson [2].

Proposi¸c˜ao 2.2.2 Suponha que E[S1]<0 e para cada i_∈I _existe _ρ_i _satisfazendo

Eπ_[_e−ρiS1(1+I1)−1_|_I

0 =i] = 1. (2.2)

Ent˜ao,

R1 :=mini∈I ρ_i ≥R₀, (2.3)

e, al´em disso, para todo i_∈I

Eπ_[_e−R1S1(1+I1)−1_|_I

0 =i]≤1. (2.4)

Teorema 2.2.3 Sob as hip´oteses da Proposi¸c˜ao 2.2.2, para todo i_∈I _e _x_≥₀_,

ψπ₍_{x, i}₎

≤e−R1x_. _(2.5)

2.3 Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro

Nesta se¸cão nos ateremos aos resultados referentes ao Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro, nosso principal objeto de estudo, segundo o qual o capital da empresa seguradora é dado pela equa¸cão (1.9) reescrita abaixo

Xn =x n

Y

k=1

(1 +Ik) + n

X

k=1

(C(bk−1)Zk−(bk−1Yk)) n

Y

l=k+1

(1 +Il)

!

,

onde Yné a n-ésima indeniza¸cão paga, Zn é o tempo entre a ocorrência das indeniza¸cões

n₋1 en,Iné a taxa de juros para o n-ésimo per´ıodo,C(b) é a parte dos prêmios que ficam na seguradora após o pagamento do prêmio do resseguro e bk−1Yk é a parte da k-ésima indeniza¸cão paga pela seguradora.

O lema abaixo nos mostra que ao investir o capital da empresa seguradora a uma certa taxa de juros diminu´ımos a probabilidade da ru´ına do modelo.

Lema 2.3.1 Para toda Pol´ıtica de Controle π dada existe uma fun¸c˜ao ψπ₍_x₎ _{tal que}

ψπ₍_{x, i}₎

≤ψπ₍_x₎

para todo estado (ou capital) inicial x e taxa de juros inicial I0 =i.

Demonstra¸c˜ao:

O modelo de risco ´e dado por

Xn =Xn−1(1 +In) +C(bn−1)Zn−bn−1Yn.

Note que se Xn−1 < 0 a ru´ına j´a ocorreu, ou seja, ψnπ−1(x, i) = 1 ⇒ ψπ(x, i) = 1 e o resultado torna-se obsoleto. Como In≥0, se Xn−1 ≥0 temos Xn ≥Xn−1+C(bn−1)Zn−

(23)

Defina recursivamente

X_n′ :=X_n′₋₁+C(bn−1)Zn−bn−1Yn, com X′

0 =X0 =x. Ent˜ao Xn≥Xn′ para todon ∈N. Logo, se Xn<0 ent˜ao Xn′ <0. Sejam

ǫ1 ={ω∈Ω;Xn(ω)<0 para algum n} e

ǫ2 ={ω∈Ω;Xn′(ω)<0 para algum n} Tome ω _∈ ǫ1. Existe n0 ∈ N tal que Xn0(ω) <0. Como X

′

n ≤Xn para todo n ∈ N,

X′

n0(ω)≤Xn0(ω)<0, donde ω ∈ǫ2. Portanto ǫ1 ⊂ǫ2.

Disto segue que

Pπ

∞

[

n=1

{Xn<0|I0 =i}

!

≤Pπ

∞

[

n=1

{Xn′ <0|I0 =i}

!

⇒Pπ

∞

[

n=1

{Xn <0|I0 =i, X0 =x}

!

≤Pπ

∞

[

n=1

{X_n′ <0_|I0 =i, X0 =x}

!

⇒ψπ(x, i)_≤Pπ

∞

[

n=1

{Xn′ <0|X0 =x}

!

,

pois _{X′

n} e{In}s˜ao independentes. Basta ent˜ao fazermosψπ₍_x_{) :=} _Pπ₍S∞

n=1{Xn′ <0|X0 =x}) para obtermos o resultado.

SejaSn uma vari´avel aleat´oria definida da seguinte forma:

S :=C(bn−1)Zn−bn−1Yn,

e S1 :=S. Note que Xn′ do lema anterior pode ser escrito de maneira iterada como

X_n′ =x+ n

X

k=1

Sk

e ´e equivalente ao modelo de risco cl´assico a tempo discreto.

O Lema abaixo nos traz um resultado análogo ao do Lema 2.1.2 aplicado ao modelo com resseguro. Considerando o resultado que acabamos de obter, a demonstra¸cão é imediata.

Lema 2.3.2 Seja Xn o modelo de risco a tempo discreto definido em (1.9). Suponha

que E[S] > 0, ou seja, C(b0)E[Z1] > b0E[Y1] e que existem t0 e t1 tais que MS(t) =

E[et(C(b0)Z1−b0Y1)_]_<_∞ _{para todo}_t

1 < t < t0, com t1 <0< t0 e P(S < 0) =P(C(b0)Z1−

b0Y1 <0)>0. Ent˜ao existe um ´unico R0 >0 tal que

(24)

Demonstra¸c˜ao:

Do Lema 2.3.1 temos que

Xn ≥Xn′ =x+ n

X

k=1

Sk,

ou seja, a probabilidade de ru´ına do modelo Xn ´e menor que a probabilidade de ru´ına do modelo X′

n, que por sua vez ´e equivalente ao modelo cl´assico a tempo discreto. Logo, pelo Lema 2.1.2, o resultado segue.

Assim como nos modelos anteriores podemos obter para o modelo descrito em (1.9) uma Desigualdade do tipo Lundberg, dada pelo teorema a seguir.

Teorema 2.3.3 Seja Xn o modelo de risco descrito em (1.9) e (1.10). Suponha que

exista R0 >0 satisfazendo

E[e−R0(C(b0Z1−b0Y1))_{] = 1}_. _(2.6)

Ent˜ao

ψ(x)_≤e−R0x_, _(2.7)

para x_≥0. Demonstra¸c˜ao:

Note que

Xn=x n

Y

k=1

(1 +Ik)+ n

X

k=1

(C(b0)Zk−(b0Yk)) n

Y

l=k+1

(1 +Il)

!

≥x+ n

X

k=1

(C(b0)Zk−b0Yk) :=Xn′, pois In ≥ 0 para todo n ≥ 1. Note ainda que a equa¸cão de Xn′ é equivalente à equa¸cão do modelo clássico a tempo discreto dada em (1.3). Do Teorema 2.1.4 temos que, para o capital inicial x_≥0

P(_∪∞_n=1(Xn′ <0)) ≤e−R0x.

MasXn> Xn′ para todon ≥1, ou seja,Xn<0 implica emXn′ <0.Portanto

P(_∪∞_n=1(Xn<0))≤P(∪∞_n=1(Xn′ <0))≤e− R0x_,

o que completa a demonstra¸c˜ao.

A seguir avan¸caremos no sentido de apresentar outras cotas superiores para a Proba-bilidade de Ru´ına do Modelo de Risco com Taxa de Juros e Resseguro.

O primeiro resultado nos permite obter uma equa¸c˜ao recursiva para ψπ

n(x, i), uma equa¸cão para a Probabilidade de Ru´ına com horizonte finito n = 1 e, finalmente, uma equa¸cão integral para ψπ₍_{x, i}_{). Este resultado, válido para qualquer taxa de juros inicial,} está resumido no lema a seguir que pode ser encontrado em Diasparra e Romera [5].

(25)

Lema 2.3.4 Seja u(y, z) := b0y −C(b0)z, onde b0 ´e o n´ıvel de reten¸c˜ao inicial. Seja

τj(z) := x(1+j)+C(b0)z

b0 , X0 =x≥0, e pij =P(In+1 =j|In=i). Ent˜ao

ψπ

1(x, i) =

X

j∈I

pij

Z ∞

0 ¯

F(τj(z))dG(z), (2.8)

e, para n=1, 2, ...

ψπ_n+1(x, i) = X j∈I

pij

Z ∞

0

Z τj(z)

0

ψnπ(x(1 +j)−u(z, y), j)dF(y)dG(z)+

X

j∈I

pij

Z ∞

0 ¯

F(τj(z))dG(z).

(2.9)

Al´em disso,

ψπ₍_{x, i}_{) =} X

j∈I

pij

Z ∞

0

Z τj(z)

0

ψπ₍_x_{(1 +}_j₎

−u(z, y), j)dF(y)dG(z)+X j∈I

pij

Z ∞

0 ¯

F(τj(z))dG(z).

(2.10)

Demonstra¸c˜ao:

DadosY1 =y, Z1 =z,a Pol´ıtica de Controle π eI1 =j, da equa¸c˜ao do modelo

Xn =x n

Y

k=1

(1 +Ik) + n

X

k=1

((C(bk−1)Zk−bk−1Yk) n

Y

t=k+1

(1 +It))

temos que

X1 =x(1 +I1) +C(b0)Z1−b0Y1 =h1−u(y, z), onde h1 =x(1 +j).

Seja A o evento A = _{Y1 =y, Z1 =z, I1 =j, X0 =x, I0 =i}. Se u(y, z) > h1, ent˜ao

h1−u(y, z)<0, ou seja,X1 <0. Logo

Pπ₍_X

1 <0|A) = 1

⇒1 =Pπ₍_X

1 <0|A)≤Pπ n+1

[

k=1

{Xk <0|A}

!

≤1

⇒Pπ n+1

[

k=1

{Xk <0|A}

!

= 1 (2.11)

Por outro lado, se 0_≤u(y, z)_≤h1, ent˜ao X1 ≥0 e

Pπ₍_X

1 <0|A) = 0. (2.12)

Sejam_{I′

n},{Yn′}e{Zn′}c´opias independentes de{In},{Yn}e{Zn}, respectivamente. Para 0 _≤u(y, z)_≤h1 temos:

Pπ

n+1

[

k=1

{Xk <0} |A

!

=Pπ

n+1

[

k=2

{Xk <0} |A

!

(26)

Pπ

n+1

[

k=2

{Xk <0} |A

!

=Pπ

n+1

[

k=2

{Xk <0} |Y1 =y, Z1 =z, I1 =j, X0 =x, I0 =i

!

⇒Pπ n+1

[

k=2

{Xk <0} |A

!

=Pπ n+1

[

k=2

{Xk<0} |I1 =j, X0 =x

!

, (2.13)

sendo que a ´ultima igualdade decorre da propriedade de Markov e do fato de que _{Yn} e

{Zn} são sequências de variáveis aleatórias i.i.d.. Voltando à equa¸cão do modelo,

Xn =x n

Y

k=1

(1 +Ik) + n

X

k=1

((C(bk−1)Zk−bk−1Yk) n

Y

t=k+1

(1 +It))

=x(1 +I1) n

Y

k=2

(1 +Ik)₋ n

X

k=1

((bk−1Yk−C(bk−1)Zk)

n

Y

t=k+1

(1 +It))

=x(1 +I1) n

Y

k=2

(1 +Ik)₋u(Y1, Z1) n

Y

m=2

(1 +Im)₋ n

X

k=2

n

Y

t=k+1

(1 +It))

= (x(1 +j)₋u(Y1, Z1)) n

Y

k=2

(1 +Ik)₋ n

X

k=2

n

Y

t=k+1

(1 +It))

= (h1 −u(y, z)) n

Y

k=2

(1 +Ik)₋ n

X

k=2

n

Y

t=k+1

(1 +It)).

Assim, temos que k+1

[

n=2

{Xn<0}= k+1

[

n=2

(

(h1−u(y, z)) n

Y

l=2

(1 +Ik)₋ n

X

l=2

((bl−1Yl−C(bl−1)Zl)

n

Y

t=l+1

(1 +It))<0

) = k [ n=1 (

(h1−u(y, z)) n

Y

l=1

(1 +Il′)− n

X

l=1

((bl−1Yl′−C(bl−1)Zl′) n

Y

t=l+1

(1 +It′))<0

)

⇒Pπ( k+1

[

n=2

{Xn <0} |X0 =x, I1 =j) =

Pπ k

[

n=1

(

(h1−u(y, z)) n

Y

l=1

(1 +Il′)− n

X

l=1

((bl−1Yl′−C(bl−1)Zk′) n

Y

t=l+1

(1 +It′))<0

)

|X0 =x, I0′ =j

!

=ψkπ((h1−u(y, z), j) =ψkπ((x(1 +j)−u(y, z), j)

⇒Pπ( k+1

[

n=2

{Xn<0} |A) =ψπk((x(1 +j)−u(y, z), j), (2.14) pela equa¸c˜ao (2.13).

A probabilidade de ru´ına no horizonte finito dados X0 =x e I0 =i´e dada por

ψπ

(27)

Note que, considerando o evento A definido anteriormente, podemos expressar ψπ n+1 da seguinte forma:

ψ_k+1π (x, i) =

Z ∞ −∞ Z ∞ −∞ Z ∞ −∞

Pπ(_∪n_k=1_{Xk <0} |A)dF(y)dG(z)dH(j), (2.15) onde F, G e H são as fun¸cões de distribui¸cão de Yn, Zn e In, respectivamente. ComoIn é discreta e Yn eZn são não negativas, podemos reescrever (2.15) da seguinte forma:

ψπ

k+1(x, i) =

X

j∈I

P(I1 =j|I0 =i)

Z ∞

0

Z ∞

0

Pπ₍

∪n

k=1{Xk <0} |A)dF(y)dG(z)

ψπ

k+1(x, i) =

X

j∈I

pij

Z ∞

0

Z ∞

0

Pπ₍

∪n

k=1{Xk <0} |A)dF(y)dG(z)

=X

j∈I

pij

"

Z ∞

0

Z τj(z)

0

Pπ(_∪n_k=1_{Xk <0} |A)dF(y)dG(z)

#

+X

j∈I

pij

"

Z ∞

0

Z ∞

τj(z)

Pπ(_∪n_k=1_{Xk <0} |A)dF(y)dG(z)

#

=X

j∈I

pij

"

Z ∞

0

Z τj(z)

0

ψπk((x(1 +j)−u(y, z), j)dF(y)dG(z)

#

+X

j∈I

pij

"

Z ∞

0

Z ∞

τj(z)

ψπk((x(1 +j)−u(y, z), j)dF(y)dG(z)

#

(2.16)

pela equa¸c˜ao (2.14), onde τj(z) = x(1+j)+C(b0)z

b0 .

Note ainda que

y > τj(z)⇒u(y, z) = b0y−C(b0)z > b0

x(1 +j) +C(b0)z

b0 −

C(b0)z =x(1 +j) = h1.

Ou seja, pela equa¸c˜ao (2.11) temos que

Pπ k+1

[

n=2

{Xn <0} |A

!

=ψπ

k((x(1 +j)−u(y, z), j) = 1

para y no intervalo (τj(z),_∞). Podemos ent˜ao reescrever a equa¸c˜ao integral da seguinte forma:

ψπ_k+1(x, i) = X j∈I

pij

"

Z ∞

0

Z τj(z)

0

ψkπ((x(1 +j)−u(y, z), j)dF(y)dG(z) +

Z ∞

0

Z ∞

τj(z)

1dF(y)dG(z)

#

=X

j∈I

pij

"

Z ∞

0

Z τj(z)

0

ψπ

k((x(1 +j)−u(y, z), j)dF(y)dG(z) +

Z ∞

0

[F(_∞)₋F(τj(z))]dG(z)

#

=X

j∈I

pij

"

Z ∞

0

Z τj(z)

0

Z ∞

0

[ ¯F(τj(z))]dG(z)

#

(28)

o que nos d´a a equa¸c˜ao (2.9). Em particular,

ψπ₁(x, i) = X j∈I

pij

"

Z ∞

0

Z τj(z)

0

ψ₀π((x(1 +j)₋u(y, z), j)dF(y)dG(z) +

Z ∞

0

[ ¯F(τj(z))]dG(z)

#

=X

j∈I

pij

Z ∞

0

[ ¯F(τj(z))]dG(z),

pois ψπ

0(x(1 +j)−u(y, z), j) = Pπ(X0 < 0|X0 = x(1 +j)−u(y, z)) = 0 uma vez que

x(1 +j)₋u(y, z)>0 paray _∈(0, τj(z)).Obtemos, assim, a equa¸c˜ao (2.8). Por fim, basta fazerk _{→ ∞}em

ψπ_k+1(x, i) = X j∈I

pij

"

Z ∞

0

Z τj(z)

0

Z ∞

0

[ ¯F(τj(z))]dG(z)

#

que, pelo Teorema da Convergência Monótona, obtemos a equa¸cão (2.10).

Se considerarmos o modelo de risco sem resseguro, ou seja,bn= 1 para todo n, obte-mos resultados similares aos apresentados em [2].

Utilizaremos os resultados obtidos no Lema 2.3.4 para encontrar cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına no horizonte infinito levando em conta a informa¸c˜ao dada pela cadeia de Markov do processo da taxa de juros. Apresentamos a seguir a cota superior obtida indutivamente. Este resultado pode ser encontrado em [5].

Teorema 2.3.5 Seja R0 >0uma constante que satisfazEπ[eR0(C(b0)Z1−b0Y1)] = 1. Ent˜ao,

para todo x >0 e i_∈I

ψπ(x, i)_≤βX

j∈I

pijEπ[e−R0x(1+j)] =βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 =i], (2.17)

onde β _≡β(b0)´e dado por

β−1 =inft≥0

R∞

t e

R0b0y_dF₍_y₎

eR0b0tF¯(t) .

Demonstra¸c˜ao:

´

E suficiente mostrar que o termo da direita na equa¸c˜ao (2.17) ´e cota superior para

ψπ

n(x, i) para todo n≥1, o que ser´a feito por indu¸c˜ao sobre n. Primeiro, note que, para v _≥0

¯

F(v) = ¯F(v)

R∞

v e

R0b0y_dF₍_y₎

eR0b0v

−1 R∞

v e

R0b0y_dF₍_y₎

eR0b0v

(29)

=

R∞

v e

R0b0y_dF₍_y₎

eR0b0vF¯(v)

−1

e−R0b0v

Z ∞

v

eR0b0y_dF₍_y₎_.

Como _β1 _≤ R∞

t eR0b0ydF(y)

eR₀b₀t_F¯_(t) para todot≥0, β ≥

R∞

v eR0b0ydF(y)

eR₀b₀v_F¯_(v)

−1

, donde

¯

F(v)_≤βe−R0b0v

Z ∞

v

eR0b0y_dF₍_y₎_≤_βe−R0b0v

Z ∞

0

eR0b0y_dF₍_y_{) =}_βe−R0b0v_Eπ_[_eR0b0Y1_]

para todo v _≥0.

Sabendo queτj(z) = x(1+j)+C(b0)z

b0 , do Lema 2.3.4 temos

ψ₁π(x, i) =X j∈I

pij

Z ∞

0 ¯

F(τj(z))dG(z)_≤X j∈I

pij

Z ∞

0

βe−R0b0τj(z)_Eπ_[_eR0b0Y1_]_dG₍_z₎

=X

j∈I

pijβEπ[eR0b0Y1]

Z ∞

0

e−R0b0x(1+j)+_bC(b0)z

0 dG(z) =βEπ[eR0b0Y1]

X

j∈I

pijEπ[e−R0[x(1+j)+C(b0)Z1]].

Ent˜ao

ψπ

1(x, i)≤βEπ[eR0b0Y1]

X

j∈I

pijEπ[e−R0[x(1+j)+C(b0)Z1]]

=βEπ[eR0b0Y1_]X

j∈I

pijEπ[e−R0x(1+j)]Eπ[e−R0C(b0)Z1]

=βEπ[eR0b0Y1_]X

j∈I

e−R0x(1+j)_P₍_I

1 =j|I0 =i)

Eπ[e−R0C(b0)Z1_]_,

pois pij ´e a probabilidade da Cadeia de Markov I dos juros mover-se do estado i para o estado j em uma etapa. Logo

ψ₁π(x, i)_≤βEπ[eR0b0Y1_]_Eπ_[_e−R0C(b0)Z1_]X

j∈I

e−R0x(1+j)_P₍_I

1 =j|I0 =i)

=βEπ[eR0b0Y1_]_Eπ_[_e−R0C(b0)Z1_]_Eπ_[_e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i]

=βEπ[e−R0[C(b0)Z1−b0Y1]_]_Eπ_[_e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i]

⇒ψπ₁(x, i)_≤βEπ[e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i],

pela escolha de R0. O resultado enunciado vale, ent˜ao, para n= 1.

Suponha que para algum k _≥1 o resultado ´e verdadeiro, ou seja, para todo x _≥ 0 e

i_∈I

ψπ

k(x, i)≤βE

π_[_e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i]. (2.18)

Seja 0 _≤y_≤τj(z) = x(1+j)+C(b_b₀ 0)z. Ent˜ao

x(1 +j) +C(b0)z

b0 ≥

(30)

Como a equa¸c˜ao (2.18) vale para todo x _≥ 0 e i _∈ I_{, vale tamb´em para} _x_{(1 +}_j_{) +}

C(b0)z−b0y e j ∈I, ou seja

ψπ

k(x(1+j)+C(b0)z−b0y, j)≤βEπ[e−R0[x(1+j)+C(b0)z−b0y](1+I1)|I0 =j]≤βe−R0[x(1+j)+C(b0)z−b0y] Substituindo o resultado acima na equa¸c˜ao (2.9), pela equa¸c˜ao (2.16) temos que

ψπ_k+1(x, i)_≤X j∈I

pij

Z ∞

0

Z ∞

0

βe−R0[x(1+j)+C(b0)z−b0y]_dF₍_y₎_dG₍_z₎

=βX

j∈I

pij

Z ∞

0

e−R0[x(1+j)+C(b0)z]_dG₍_z₎

Z ∞

0

eR0b0y_dF₍_y₎

=βX

j∈I

pijEπ[eR0b0Y1]

Z ∞

0

e−R0x(1+j)_e−R0C(b0)z_dG₍_z₎

=βEπ[eR0b0Y1_]X

j∈I

pije−R0x(1+j)

Z ∞

0

e−R0C(b0)z_dG₍_z₎

=βEπ[eR0b0Y1_]X

j∈I

Pπ(I1 =j|I0 =i)e−R0x(1+j)Eπ[e−R0C(b0)Z1] =βEπ_[_eR0b0Y1_]_Eπ_[_e−R0C(b0)Z1_]_Eπ_[_e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i]

=βEπ_[_e−R0[C(b0)Z1−b0Y1]_]_Eπ_[_e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i] =βEπ[e−R0x(1+I1)|I0 =i], pois R0 ´e tal que Eπ[e−R0[C(b0)Z1−b0Y1]] = 1.

Portanto

ψ_k+1π (x, i)_≤βEπ[e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i],

e, pelo princ´ıpio da indu¸cão, o resultado é válido para todo n _∈N_{, ou seja,}

ψnπ(x, i)≤βE π

[e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i], para todo n_≥1 e ainda, fazendo n_{→ ∞}, temos

ψπ(x, i)_≤βEπ[e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i] como quer´ıamos demonstrar.

Defini¸cão: Uma distribui¸cão F concentrada em (0,_∞) é dita Nova Pior que Usada em ordem Convexa (NPUC) se, para todo x, y _≥0

Z ∞

x+y ¯

F(z)dz _≥F¯(y)

Z ∞

x ¯

F(z)dz.

(31)

O corolário abaixo nos dá um resultado particular do teorema anterior aplicado às distribui¸cões do tipo NPUC. Este resultado nos auxiliará facilitando o cálculo da cota superior indutiva em um dos exemplos numéricos abordados no próximo cap´ıtulo por se tratar de uma expressão que não envolve a otimiza¸cão de uma fun¸cão para encontrar o valor de β.

Corol´ario 2.3.6 Sob as hip´oteses do Teorema 2.3.5, assumindo queE[eR0b0Y1_]_<_∞_para

todob_∈B_{e que}_F _{´e uma distribui¸c˜ao Nova Pior que a Usada de ordem Convexa (NPUC),}

temos que

ψπ(x, i)_≤(Eπ[eR0b0Y1_])−1_Eπ_[_e−R0x(1+I1)_|_I

0 =i]. (2.19)

Demonstra¸c˜ao:

Devemos mostrar a seguinte igualdade:

β = (E[erY1_])−1_,

onde r =R0b0 >0,ou seja,

inft≥0

R∞

t e

R0b0y_dF₍_y₎

eR0b0tF¯(t) =E[e

rY1_{] =}

Z ∞

0

ery_dF₍_y₎_.

Para tanto, sejaTt uma vari´avel aleat´oria definida da seguinte forma:

Tt =Y1 −t

condicionado a Y1 > t, com t > 0 (Tt não está definida para t > Y1). Dessa forma, Tt é uma v.a. que assume apenas valores positivos e

P(Tt> x) =P(Y1−t > x|Y1 > t) = P(Y1 > x+t|Y1 > t)

P(Tt> x) =

P(Y1 > x+t)

P(Y1 > t)

,

para x_≥0, donde Tt tem fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao dada por

P(Tt≤x) = 1−P(Tt> x) = 1− ¯

F(x+t) ¯

F(t) , t >0 (2.20) Assim,

R∞

t e

ry_dF₍_y₎

ert_F¯₍_t₎ =

R∞

t e

ry_dP₍_Y 1 ≤y)

ert_F¯₍_t₎ =

R∞

0 e

r(y+t)_dP₍_Y

1 ≤y+t)

ert_F¯₍_t₎

= e rtR∞

0 e

ry_dP₍_Y

1 ≤y+t)

ert_F¯₍_t₎ =

Z ∞

0

ery _¯1

F(t)dP(Y1 ≤y+t) Note que

(32)

⇒dP(Y1−t ≤y) =dP(Y1−t ≤y|Y1 > t)P(Y1 > t)

⇒ _P₍_Y1

1 > t)

dP(Y1 −t ≤y) =dP(Tt ≤y). Ent˜ao,

Z ∞

0

ery 1 ¯

F(t)dP(Y1 ≤y+t) =

Z ∞

0

ery_dP₍_T t≤y)

⇒

R∞

t e

ry_dF₍_y₎

ert_F¯₍_t₎ =E[e rTt_]_.

ComoF ´e NPUC,F satisfaz

Z ∞

x+t ¯

F(z)dz _≥F¯(t)

Z ∞

x ¯

F(z)dz

⇒

Z ∞

x+t

P(Y1 > z)dz ≥P(Y1 > t)

Z ∞

x

P(Y1 > z)dz

⇒

Z ∞

x

P(Y1 > z+t)dz ≥P(Y1 > t)

Z ∞

x

P(Y1 > z)dz

⇒

R∞

x P(Y1 > z+t)dz

P(Y1 > t) ≥

Z ∞

x

P(Y1 > z)dz

⇒

Z ∞

x ¯

F(z+t) ¯

F(t) dz ≥

Z ∞

x ¯

F(z)dz,

para todo x, t_≥0.

Usando a equa¸c˜ao (2.20) no lado esquerdo da desigualdade temos

Z ∞

x

P(Tt > z)dz ≥

Z ∞

x

P(Y1 > z)dz.

Como ery _{´e uma fun¸c˜ao convexa, segue de Shaked e Shanthikumar [16] (1994, p.p.} 83-85) que

E[erTt_]

≥E[erY1_]_.

Assim,

inft≥0E[erTt]≥E[erY1]. Note que, quando t=0 temos

P(Tt≤x) = F(x),

ou seja, T0 eY1 tˆem a mesma distribui¸c˜ao. Portanto E[erT0] =E[erY1].

Mostramos que E[erY1_{] ´e cota inferior para}

R∞

t e ry_dF(y)

ert_F¯_(t) = E[erTt] e que ´e atingida em

t = 0. Portanto

inft≥0

R∞

t e

ry_dF₍_y₎

ert_F¯₍_t₎ =E[e rY1_]

como quer´ıamos demonstrar.

(33)

2.3.1 Uma abordagem via Martingales

Outra maneira de obter cotas superiores para a probabilidade de ru´ına é via Martin-gales. Introduziremos, a seguir, o conceito de Martingales e um resultado importante que será usado na demonstra¸cão do teorema que nos dá cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına por esta abordagem.

Considere um jogador que est´a fazendo uma sequencia de apostas nas quais a proba-bilidade de ele ganhar ´e de 1

2 e de perder ´e de 1

2. Seja Yn, n ≥1, uma sequencia de v.a. i.i.d. que representa o resultado de cada aposta, tal que

P(Yn= 1) = 1/2 = P(Yn=−1).

Aqui Yn = 1 quando o apostador ganha e Yn = −1 quando ele perde a n-´esima aposta. Se ele aposta levando em considera¸c˜ao os resultados anteriores, suas apostas sucessivas podem ser descritas como uma sequencia bn de v.a.’s onde

bn =bn(Y1, ..., Yn−1), n≥2.

Seja V0 o capital inicial do apostador e Vn seu capital após a n-ésima jogada. Então

Vn=V0+ n

X

i=1

biYi

Afirmamos que E[Vn+1|Y1, ..., Yn] = Vn. Para provarmos este fato note que Vn+1 = Vn+

bn+1Yn+1. Logo

E[Vn+1|Y1, ..., Yn] =E[Vn|Y1, ..., Yn] +E[bnYn+1|Y1, ..., Yn] =Vn+bn+1E[Yn+1|Y1, ..., Yn],

pois Vn ebn+1 s˜ao determinados por Y1, ..., Yn;

Vn+bn+1E[Yn+1|Y1, ..., Yn] =Vn+bn+1E[Yn+1], pois as Yn’s s˜ao independentes. Assim,

E[Vn+1|Y1, ..., Yn] =Vn+bn+1E[Yn+1] =Vn+bn+1((1)1/2 + (−1)1/2) =Vn

{Vn}é, então, dita uma martingale com rela¸cão aYn. SeYn =Vn para todondizemos simplesmente que Vn é uma martingale pois satisfaz E[Vn+1|V1, ..., Vn] =Vn.

Uma martingale é, então, a representa¸cão matemática de um jogo justo, isto é, um jogo onde a probabilidade de ganhar em uma jogada é igual a probabilidade de perder. No entanto, não devemos restringir a teoria de martingales a essa particular situa¸cão pois trata-se de uma poderosa ferramenta na Teoria da Probabilidade.

Defini¸cão 1: Um processo estocástico _{Vn}n≥0 é dito ser um martingale em rela¸cão ao processo _{Yn}_n_≥₀ seE[|Vn|]<∞, para todo n, e

(34)

Se interpretamosVncomo a quantidade de dinheiro de um jogador após on-ésimo jogo, então a defini¸cão acima diz que o valor esperado da quantidade de dinheiro do jogador depois do (n+ 1)-ésimo jogo é igual ao valor após o n-ésimo jogo, não importando o que tenha ocorrido previamente. Assim, aplicando o valor esperado a ambos os membros da equa¸cão (2.21), temos:

E[E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn]] =E[Vn]⇔E[Vn+1] =E[Vn]⇔E[Vn] =E[V1], para todo n.

Defini¸cão 2: Um processo estocástico _{Vn}n≥0 é dito ser um submartingale com rela¸cão a Yn se E[Vn+]<∞, para todo n, e

E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn]≥Vn, (2.22) onde V+

n =max{0, Vn}.

{Vn}_n_≥₀ ´e dito ser um supermartingale com rela¸c˜ao a Yn se E[Vn−]<∞, para todon, e

E[Vn+1|Y1, Y2, ..., Yn]≤Vn, (2.23) onde V−

n =−min{0, Vn}.

Enquanto uma martingale descreve um jogo justo, as submartingales e supermartingale descrevem jogos favor´aveis e desfavor´aveis para o jogador, respectivamente.

Enunciaremos, a seguir, o Teorema da Parada Opcional para martingales que será usado na demonstra¸cão do resultado que nos dá uma cota superior para a probabilidade de ru´ına pela abordagem Martingale. Para tanto precisamos introduzir o conceito de

tempo de parada:

Defini¸cão 3: Um tempo de parada T com rela¸cão ao processo estocástico _{Vn} é uma variável aleatória que assume valores inteiros positivos tal que, para cadan, o evento

{T =n_} depende somente de _{V1, ..., Vn}.

Teorema 2.3.7 Teorema da parada opcional

Seja _{Vn} uma martingale e T um tempo de parada finito. Se:

• E[_|VT|]<∞; e

• limn→∞E[VnI{T >n}] = 0, onde I{T >n} = 1 se T > n e I{T >n} = 0 se T ≤n,

ent˜ao E[VT] =E[V0].

Analogamente, se _{Vn} ´e um submartingale ou um supermartingale e as condi¸c˜oes

acima s˜ao verdadeiras, temos

E[VT]≥E[V0],

se _{Vn} ´e supermartingale e

E[VT]≤E[V0],

se _{Vn} ´e submartingale.

Com a finalidade de obter cotas superiores para a probabilidade de ru´ına via Martin-gales, considere o processo de risco descontado

Vn :=Xn n

Y

l=1

1 +Il−1

(35)

comn_≥1.As probabilidades de ru´ına no horizonte finito em (1.12) associadas ao processo

{Vn, n= 1,2, ...} s˜ao

ψnπ(x, i) :=P π

(_∪n_k=1_{Vk <0} |X0 =x, I0 =i). No Modelo de Risco Cl´assico,

e−R0Xn

n≥1 ´e um Martingale. No entanto, para o modelo (1.9), n˜ao existe constante r > 0 tal que

e−rXn

n≥1 seja um Martingale. Mas existe uma constanter >0 tal que

e−rVn

n≥1é um supermartingale, o que nos permitirá obter cotas superiores para a Probabilidade de Ru´ına pelo Teorema da Parada Opcional. Tal constante é definida na Proposi¸cão a seguir, que pode ser encontrada em [5].

Proposi¸c˜ao 2.3.8 Suponha que para cada i_∈I _existe _ρ_i _satisfazendo

Eπ[e−ρi(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1_|_I

0 =i] = 1. (2.24)

Ent˜ao,

R1 :=mini∈I ρi ≥R0, (2.25)

e, al´em disso, para todo i_∈I

Eπ_[_e−R1(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1_|_I

0 =i]≤1. (2.26)

Demonstra¸c˜ao:

Para cadai_∈I _e _{r >}_{0, seja}

li(r) :=Eπ[e−r(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1_|_I

0 =i]−1. (2.27)

Ent˜ao a primeira derivada deli(r) em r= 0 ´e

l′_i(r) :=Eπ_[

−(C(b)Z1−bY1)(1 +I1)−1|I0 =i] =−Eπ[(C(b)Z1−bY1)]E[(1 +I1)−1|I0 =i]. ComoEπ_[(_C₍_b₎_Z

1−bY1)]>0 e E[(1 +I1)−1|I0 =i], l′i(0) <0 para todo i∈I. A segunda derivada deli(r) ´e dada por

l′′i(r) = E π

[[(C(b)Z1−bY1)(1 +I1)−1]2e−r(C(b)Z1−bY1)(1+I1)

−1

|I0 =i]≥0,

para todo i_∈I_, _{ou seja,} _l_i(_r_{) ´e uma fun¸c˜ao convexa com uma raiz em} _r_{= 0 e uma ´}_unica raiz positiva.

Seja ρi a única raiz positiva da equa¸cão li(r) = 0. Então li(ρ) ≤ 0 se, e somente se, 0_≤ρ_≤ρi. Note que

Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+I1)−1_|_I

0 =i] =

X

j∈I

P(I1 =j|I0 =i)Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+j)

−1

]

=X

j∈I

pijEπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+j)

−1

]

≤X

j∈I

pijEπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)](1+j)

−1

(36)

pela desigualdade de Jensen.

ComoR0 satisfaz Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)] = 1 ePj∈Ipij = 1, temos que

li(R0) =Eπ[e−R0(C(b)Z1−bY1)(1+I1)

−₁

|I0 =i]−1≤0. Isso implica que R0 < ρi para todo i∈I e, ent˜ao,

R1 :=miniρi ≥R0. ComoR1 ≤ρi para todoi∈I, temos que

li(R1)_≤1,

para todo i_∈I_,_{e o resultado fica demonstrado.}

Teorema 2.3.9 Sob as hip´oteses da Proposi¸c˜ao 2.3.8, para todo i_∈I _e _x_≥₀_,

ψπ₍_{x, i}₎

≤e−R1x_. _(2.28)

Demonstra¸c˜ao:

Pela equa¸c˜ao (1.10), o processo de risco descontadoVn:=XnQn_l=1 1 +Il−1

satisfaz:

Vn=x+ n

X

k=1

(C(b0)Zk−b0Yk) k

Y

l=1

(1 +Il)−1

!

. (2.29)

SejaSn=e−R1Vn.Ent˜ao

Sn =e−R1Vn ⇒Sn+1 =e−R1Vn+1 ⇒Sn+1 =Sne−R1((C(b0)Zn+1−b0Yn+1) Qn+1

l=1(1+Il)−1)_.

Assim, para todon _≥1,

E[Sn+1|Y1, ..., Yn, Z1, ..., Zn, I1, ..., In] = =SnE[e−R1((C(b0)Zn+1−b0Yn+1)

Qn+1

l=1(1+Il)−1)_|_Y

1, ..., Yn, Z1, ..., Zn, I1, ..., In]

=SnE[e−R1((C(b0)Zn+1−b0Yn+1)(1+In+1)

−1Qn

l=1(1+Il)−1)_|_I

1, ..., In]

≤SnE[e−R1(C(b0)Zn+1−b0Yn+1)(1+In+1)

−1

|I1, ..., In] Qn

l=1(1+Il)−1 _≤_S

n, ou seja, Sn ´e um supermartingale.

Seja Ti = min{n:Vn <0|I0 =i}, onde Vn é dado por (2.29). Então Ti é um tempo de parada e n_∧Ti :=min{n, Ti}é um tempo de parada finito. Assim, pelo teorema da parada opcional enunciado anteriormente, temos:

E[Sn∧Ti]≤E[S0] =e

−R1x_.

(37)

e−R1x _≥_E_[_S

n∧Ti]≥E

π_[_S

n∧TiI(Ti≤n)]≥E

π_[_S

TiI(Ti≤n)] =

=Eπ[e−R1VT₁_I

(Ti≤n)]≥E

π

[I(Ti≤n)] =ψ

π n(x, i),

o que ocorre pelo fato de VTi <0. Assim, fazendo n→ ∞ obtemos o resultado.