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Controlador adaptativo backstepping a estrutura variável

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Academic year: 2017

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(1)

Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura

Vari´

avel

Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Ara´ujo

(2)

Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura

Vari´

avel

Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz

Disserta¸c˜ao submetida ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Engenharia El´etrica e Com-puta¸c˜ao da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como parte dos requisi-tos para a obten¸c˜ao do grau de Mestre em Ciˆencias.

Orientador: Prof. Dr. Aldayr Dantas de Ara´ujo

(3)

Kurios Iuri Pinheiro de Melo Queiroz

Disserta¸c˜ao de Mestrado aprovada em 20 de Novembro de 2008 pela banca axamina-dora composta pelos seguintes membros:

Prof. Dr. Aldayr Dantas de Ara´ujo (orientador) DEE/UFRN

Prof. Dr. Josenalde Barbosa de Oliveira EAJ/UFRN

(4)
(5)

A Deus, pelo dom da vida e por tudo o que Ele tem me proporcionado diariamente. Aos Professores Aldayr Dantas de Ara´ujo e Ricardo L´ucio de Ara´ujo Ribeiro, pelos ensinamentos e orienta¸c˜oes acadˆemicas.

`

A minha noiva Jana´ına, que sempre esteve ao meu lado, nos momentos de tristeza e alegria, muitas vezes abdicando do seu pr´oprio lazer e descanso quando assim precisei.

A todos os meus familiares e amigos, que me incentivaram e me apoiaram nessa etapa de minha vida. Aos meus amigos Marcus, ´Erico, Iuri e Allyson que me acompanharam e me apoiaram nos momentos dif´ıceis. Ao meu amigo Marcelo Duarte, pelas calorosas discuss˜oes no INPE e pela aten¸c˜ao prestada nos momentos importantes.

(6)

Lista de Figuras iv

Lista de Tabelas v

Resumo vi

Abstract vii

Gloss´ario de Termos viii

1 Introdu¸c˜ao 1

1.1 Considera¸c˜oes Preliminares . . . 1

1.1.1 Robustez `a Dinˆamica N˜ao Modelada e Dist´urbios . . . 3

1.2 Controle AdaptativoBackstepping e as Fun¸c˜oes de Sintonia (Tuning Func-tions) . . . 4

1.3 Abordagem Modular . . . 5

1.4 Controle Adaptativo Backstepping por Realimenta¸c˜ao de Sa´ıda . . . 6

1.5 Esquema Geral do Controle Backstepping . . . 6

1.6 Controle por Modos Deslizantes (Sliding Mode Control) . . . 7

1.6.1 Solu¸c˜ao de Filippov . . . 11

1.7 Estrutura do Trabalho . . . 11

2 VS-ABC para Sistemas de Primeira Ordem 13 2.1 Introdu¸c˜ao . . . 13

2.2 Controlador Adaptativo Backstepping . . . 16

(7)

2.5.2 Os Exemplos de Rohrs . . . 27

3 VS-ABC para Sistemas com Grau Relativo Unit´ario 30 3.1 Introdu¸c˜ao . . . 30

3.1.1 Filtros de Estima¸c˜ao (Filtros K) . . . 31

3.2 Controlador Adaptativo Backstepping . . . 34

3.3 Controlador Adaptativo Backstepping a Estrutura Vari´avel . . . 36

3.4 Resumo dos Controladores . . . 38

3.5 Resultados de Simula¸c˜ao . . . 40

4 Conclus˜oes e Considera¸c˜oes Finais 45 Apˆendices 47 A Conceitos sobre Estabilidade 47 A.1 Defini¸c˜ao de Estabilidade . . . 47

A.2 M´etodo Direto de Lyapunov . . . 48

A.2.1 Fun¸c˜oes Definidas Positivas e Negativas . . . 48

A.2.2 Transla¸c˜ao da Origem do Sistema de Coordenadas . . . 48

A.2.3 Teoremas sobre Estabilidade (Segundo Lyapunov) . . . 49

B Produ¸c˜ao Cient´ıfica Relacionada 50

Bibliografia 51

(8)

1.1 Esquema geral do controlebackstepping. . . 7

1.2 Superf´ıcie de deslizamento para o sistema de segunda ordem (1.2). . . 8

1.3 Comportamento do sistema no deslizamento ideal (a) e real (b). . . 10

1.4 Campo vetorial no modo deslizante (solu¸c˜ao de Filippov). . . 12

2.1 Diagrama de blocos do VS-ABC. . . 21

2.2 Sa´ıda do sistema e do modelo de referˆencia para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na ausˆencia de incertezas param´etricas e dist´urbios - sistema de primeira ordem. . . 25

2.3 Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na ausˆencia de incertezas param´etricas e dist´urbios - sistema de primeira ordem.. . . . 25

2.4 Sa´ıda do sistema e do modelo de referˆencia para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na presen¸ca de uma perturba¸c˜ao aditiva (d= 2) e uma varia¸c˜ao de 20% nos valores nominais dos seus parˆametros - sistema de primeira ordem. . . 26

2.5 Controle virtual para o controlador adaptativo backstepping (a) e para o VS-ABC (b) na presen¸ca de uma perturba¸c˜ao aditiva (d = 2) e uma varia¸c˜ao de 20% nos valores nominais dos seus parˆametros - sistema de primeira ordem. . . 26

2.6 Estimativas para os parˆametros da planta, na presen¸ca (a) e na ausˆencia (b) de incer-tezas param´etricas e dist´urbios para o controlador adaptativobackstepping - sistema de primeira ordem. . . 28

2.7 Sa´ıda do sistema e do modelo de referˆencia (a) e as estimativas para os parˆametros (b) com o controlador adaptativobackstepping na presen¸ca de dinˆamica n˜ao-modelada e o sinalr(t) = 0.3 + 1.85sin16.1tcomo entrada para o modelo de referˆencia. . . 28 2.8 Sa´ıda do sistema e do modelo de referˆencia para o VS-ABC na presen¸ca de dinˆamica

(9)

3.2 Sinal de controle para o controlador adaptativobackstepping (a) e para o VS-ABC (b) na ausˆencia de incertezas param´etricas e dist´urbios - grau relativo unit´ario. . . 42 3.3 Sa´ıda do sistema e do modelo de referˆencia para o controlador adaptativo backstepping

(a) e para o VS-ABC (b) na presen¸ca de uma perturba¸c˜ao aditiva (d= 2) e uma varia¸c˜ao de 20% nos valores nominais dos seus parˆametros - grau relativo unit´ario. . . 43 3.4 Sinal de controle para o controlador adaptativobackstepping (a) e para o VS-ABC (b)

na presen¸ca de uma perturba¸c˜ao aditiva (d = 2) e uma varia¸c˜ao de 20% nos valores nominais dos seus parˆametros - grau relativo unit´ario. . . 43

3.5 Estimativas para os parˆametros da planta, na presen¸ca (a) e na ausˆencia (b) de incertezas param´etricas e dist´urbios para o controlador adaptativo backstepping - grau relativo unit´ario. . . 44

(10)

2.1 Resumo dos controladores adaptativosbackstepping e VS-ABC para sistemas de primeira ordem. . . 23 3.1 Filtros K para sistemas lineares SISO com grau relativo qualquer. . . 34 3.2 Resumo dos controladores adaptativosbackstepping e VS-ABC para sistemas com grau

relativo unit´ario. . . 39

(11)

Neste trabalho, um controlador adaptativo backstepping a estrutura vari´avel ( Vari-able Structure Adaptive Backstepping Controller, VS-ABC) ´e apresentado para plantas monovari´aveis, lineares e invariantes no tempo com grau relativo unit´ario. Ao inv´es das tradicionais leis integrais para estima¸c˜ao dos parˆametros da planta, leis chaveadas s˜ao utilizadas com o objetivo de aumentar a robustez em rela¸c˜ao a incertezas param´etricas e dist´urbios externos, bem como melhorar o desempenho transit´orio do sistema. Adicional-mente, o projeto do novo controlador ´e mais intuitivo quando comparado ao controlador

backstepping original, uma vez que os rel´es introduzidos apresentam amplitudes direta-mente relacionadas com os parˆametros nominais da planta. Esta nova abordagem, com uso de estrutura vari´avel, tamb´em reduz a complexidade das implementa¸c˜oes pr´aticas, mo-tivando a utiliza¸c˜ao de componentes industriais, tais como, FPGAs (Field Programmable Gate Arrays ), MCUs (Microcontrollers) e DSPs (Digital Signal Processors). Simula¸c˜oes preliminares para um sistema inst´avel de primeira e segunda ordem s˜ao apresentadas de modo a corroborar os estudos. Um dos exemplos de Rohrs ´e ainda abordado atrav´es de simula¸c˜oes, para os dois cen´arios adaptativos: o controlador backstepping adaptativo original e o VS-ABC.

Palavras-chave: Controle Adaptativo, Robustez, Sistemas com Estrutura Vari´avel e Controlador Backstepping Adaptativo.

(12)

In this work, a Variable Structure Adaptive Backstepping Controller (VS-ABC) for monovariable, linear time invariant plants with relative degree one is presented. Instead of traditional integral adaptive laws for estimating the plant parameters, switching laws are used to increase robustness to parametric uncertainties and disturbances, as well as, to improve transient response. Moreover, the new controller design is more intuitive when compared with the original adaptive backstepping controller, since the amplitude relays are related to the plant nominal parameters. This new approach, using variable structure, also reduces the practical implementation complexity, encouraging the use of industrial embedded components, such as, FPGAs (Field Programmable Gate Arrays), MCUs (Microcontrollers) and DSPs (Digital Signal Processors). Additionally, preliminary simulation results for an unstable first and second order system are shown in order to corroborate the theoretical studies. A Rohrs example is also simulated for both adaptive schemes: the adaptive backstepping controller and the VS-ABC.

Keywords: Adaptive Control, Robustness, Variable Structure Systems and Adaptive Backstepping Controller.

(13)

APPC - Adaptive Pole Placement Controller (Controlador Adaptativo por Posiciona-mento de P´olos)

DMARC - Dual Mode Adaptive Robust Controller (Controlador em Modo Dual Adapta-tivo Robusto)

FEA - Fun¸c˜ao de Estabiliza¸c˜ao Auxiliar FS - Fun¸c˜oes de Sintonia

ISS - Input-to-State Stability

LTI - Linear Time Invariant (Linear e Invariante no Tempo) MIMO - Multiple Input Multiple Output (Multivari´avel)

MRAC - Model Reference Adaptive Controller (Controlador Adaptativo por Modelo de Referˆencia)

SG - Small Gain

SISO - Single Input Single Output (Monovari´avel)

VS-APPC - Variable Structure Adaptive Pole Placement Controller (Controlador Adap-tativo por Posicionamento de P´olos e Estrutura Vari´avel)

VSC - Variable Structure Control (Controle por Estrutura Vari´avel)

VS-MRAC - Variable Structure Model Reference Adaptive Controller (Controlador Adap-tativo por Modelo de Referˆencia)

VSS - Variable Structure Systems (Sistemas com Estrutura Vari´avel)

(14)

Introdu¸

ao

1.1

Considera¸

oes Preliminares

Tradicionalmente, o principal problema dos sistemas adaptativos est´a relacionado com o seu desempenho transit´orio, que ´e caracterizado como um tema de grande relevˆancia em aplica¸c˜oes reais. Para os controladores adaptativos convencionais, apesar da especi-fica¸c˜ao de um modelo de referˆencia ou de um polinˆomio caracter´ıstico desejado em malha fechada, os requisitos de desempenho no transit´orio nem sempre s˜ao atendidos. Isso se deve a tais controladores n˜ao considerarem a dinˆamica presente no processo de estima¸c˜ao dos parˆametros, o que impossibilita o projetista de assegurar limites no comportamento transit´orio do sistema. Al´em disso, grandes oscila¸c˜oes iniciais s˜ao normalmente observa-das, uma vez que o sistema est´a “aprendendo” sobre o processo atrav´es das estimativas para os parˆametros da planta ou do controlador. Em sistemas de potˆencia, por exemplo, n˜ao ´e desej´avel que a tens˜ao controlada nos terminais dos geradores apresente grandes oscila¸c˜oes por um longo per´ıodo de tempo, sob a prerrogativa de ocasionar grandes proble-mas aos consumidores da rede. Com o objetivo de melhorar a performance dos sisteproble-mas adaptativos, a t´ecnica de controlebackstepping foi proposta por Ioannis Kanellakopoulos [1] em colabora¸c˜ao com Petar Kokotovi´c e Steve Morse. Posteriormente, novos resultados para sistemas lineares e n˜ao-lineares foram apresentados em [2], com ˆenfase maior ao caso n˜ao-linear.

(15)

Placement Controller) em [5] e [6], o controlador adaptativobackstepping em [7] garante estabilidade na falta de adapta¸c˜ao dos parˆametros estimados, al´em de apresentar uma boa resposta transit´oria que pode ser devidamente especificada atrav´es de algumas cons-tantes de projeto. Entretanto, estas novas caracter´ısticas s˜ao obtidas com um aumento na complexidade da lei de controle, e consequentemente, nos problemas associados a im-plementa¸c˜oes pr´aticas, principalmente em sistemas embarcados. O projeto do controla-dor corresponde `a outra desvantagem, comumente presente na maioria dos controlacontrola-dores adaptativos com uso de leis integrais (excesso de constantes a serem ajustadas). Tais peculiaridades contribuem para a baixa popularidade dos controladores adaptativos no meio industrial, cuja fase de projeto pode se tornar relativamente longa e cansativa, at´e mesmo para projetistas mais experientes.

Neste trabalho, um controlador adaptativobackstepping a estrutura vari´avel (Variable Structure Adaptive Backstepping Controller, VS-ABC) ´e proposto, onde as leis integrais adaptativas do controladorbackstepping original s˜ao substitu´ıdas por leis chaveadas. Esta nova estrat´egia visa agregar as melhores qualidades de cada t´ecnica individualmente, em particular, o r´apido transit´orio e a robustez a incertezas param´etricas e dist´urbios externos. Ainda como resultado dessa uni˜ao, o projeto do novo controlador foi simplificado em rela¸c˜ao ao controlador backstepping original, pois a amplitude dos rel´es introduzidos est´a associada a parˆametros f´ısicos (parˆametros nominais da planta), como resistˆencias, capacitˆancias, momentos de in´ercia, etc. O VS-ABC tem como meta ser um controlador totalmente baseado em s´ıntese de sinais, proporcionando uma redu¸c˜ao na complexidade do seu algoritmo e estimulando implementa¸c˜oes pr´aticas no ambiente industrial.

(16)

as vantagens de desempenho transit´orio do VS-MRAC, com as propriedades em regime permanente do MRAC convencional (sinal de controle suave).

Ao comparar o VS-MRAC tradicional com o VS-ABC, devido `as diferentes abordagens adotadas (direta e indireta, respectivamente), observa-se que a fase de projeto ´e menos intuitiva no primeiro caso, uma vez que o processo de obten¸c˜ao dos limitantes para os parˆametros do controlador ´e bastante oneroso. A abordagem indireta proporciona ainda um processo de “estima¸c˜ao” individual dos parˆametros do sistema, extremamente ´util em situa¸c˜oes onde somente parte dos parˆametros da planta ´e desconhecida. Caso exista pelo menos um parˆametro desconhecido no cen´ario VS-MRAC, todos os parˆametros do controlador devem ser “estimados”, pois o desconhecimento parcial do sistema se espalha por toda a sua estrutura. Apesar das desvantagens mencionadas, o VS-MRAC apresenta uma lei de controle mais simples em rela¸c˜ao ao VS-ABC.

Alguns trabalhos anteriores descrevem ainda estrat´egias baseadas na uni˜ao entre as t´ecnicas de controle backstepping e estrutura vari´avel [13]-[19]. Em [14], o m´etodo de controlebackstepping ´e simplificado atrav´es do uso de filtros com modos deslizantes para estima¸c˜ao das derivadas da sa´ıda da planta. Em [18] e [19], os autores propuseram a estabiliza¸c˜ao de uma classe de sistemas n˜ao-lineares com incertezas, caracterizada pela existˆencia de um controle por modos deslizantes de segunda ordem, em conjunto com a t´ecnica de backstepping. O algoritmo de controle ´e composto por n−1 passos, onde n

corresponde a ordem do sistema, semelhantes aos apresentados em [20], com um controle por modos deslizantes desenvolvido no ´ultimo passo e que visa compensar as incertezas presentes no sistema. O VS-ABC difere dos cen´arios supracitados no uso da t´ecnica de estrutura vari´avel, proposta aqui para substituir as leis de adapta¸c˜ao integrais por leis chaveadas apropriadas.

1.1.1

Robustez `

a Dinˆ

amica N˜

ao Modelada e Dist´

urbios

(17)

au-mentar a robustez dos sistemas adaptativos. A principal id´eia por tr´as das modifica¸c˜oes propostas corresponde `a limita¸c˜ao das estimativas dos parˆametros do controlador (no caso direto) ou dos parˆametros da planta (no caso indireto), evitando a instabilidade do sis-tema pelo uso das leis adaptativas integrais. A inclus˜ao da t´ecnica de estrutura vari´avel nos controladores adaptativos convencionais naturalmente realiza essa limita¸c˜ao, uma vez que os rel´es fazem parte do processo de “estima¸c˜ao” dos parˆametros incertos, ao inv´es do tradicional mecanismo de integra¸c˜ao.

1.2

Controle Adaptativo

Backstepping

e as Fun¸c˜

oes

de Sintonia (

Tuning Functions

)

A estrat´egia de controle adaptativo backstepping consiste na an´alise de alguns passos anteriores a partir da equa¸c˜ao escalar da lei de controle, separada do sistema por um certo n´umero de integradores. Considere o conjunto de equa¸c˜oes

˙

x1 =bx2−ax1

˙

x2 =x3

˙

x3 =u,

(1.1)

ondea ebcorrespondem a parˆametros desconhecidos para um sistema de primeira ordem, linear e invariante no tempo. O sinal de controleuest´a separado do sistema por dois inte-gradores, n˜ao sendo poss´ıvel a sua aplica¸c˜ao direta na entrada da planta. A principal id´eia da t´ecnicabackstepping ´e projetar um controlador recursivamente, considerando algumas das vari´aveis de estado (nesse caso,x2ex3) comoControles Virtuais(Virtual Controls)

(18)

1.3

Abordagem Modular

Apesar dos benef´ıcios apresentados pelo controle adaptativo backstepping e sua abor-dagem atrav´es das fun¸c˜oes de sintonia (FS), algumas desvantagens podem ser observadas. A principal delas est´a relacionada `a falta de liberdade na escolha das leis de atualiza¸c˜ao para os parˆametros. Na vers˜ao adaptativa e por FS, o controladorbackstepping n˜ao pode ser utilizado em conjunto com as t´ecnicas tradicionais de estima¸c˜ao, como o m´etodo do gradiente ou dos m´ınimos quadrados. Al´em disso, em sistemas com muitos parˆametros desconhecidos, a ordem do controlador adaptativo backstepping ´e alta em virtude da sobre-parametriza¸c˜ao, enquanto que no uso das fun¸c˜oes de sintonia ela ´e a menor poss´ıvel. Por outro lado, em sistemas de ordem elevada, as express˜oes n˜ao-lineares do controlador se tornam bem complexas na abordagem por FS, cuja principal fonte de complexidade encontra-se na intera¸c˜ao entre os blocos de estima¸c˜ao e de controle. Tais desvantagens foram removidas pela abordagemModulardo controlador adaptativo backstepping, pro-posta inicialmente em [28].

Os controladores adaptativos tradicionais para sistemas lineares apresentam um impor-tante grau de modularidade, devido aoprinc´ıpio da equivalˆencia `a certeza: qualquer estimador pode ser utilizado em conjunto com qualquer controlador adaptativo. Segundo essa propriedade, caso as estimativas para os parˆametros da planta (ou do controlador) convirjam para os seus valores ideais, o desempenho do controlador tender´a ao apre-sentado na situa¸c˜ao em que os parˆametros s˜ao conhecidos. Inspirada neste cen´ario, a abordagem modular do controlador adaptativobackstepping foi idealizada, por´em com a presen¸ca de um obst´aculo na aplica¸c˜ao do princ´ıpio da equivalˆencia `a certeza aos sistemas n˜ao-lineares. No caso linear, as vari´aveis de um sistema inst´avel permanecem limitadas sobre qualquer intervalo de tempo finito, o que ´e suficiente para que o bloco de estima¸c˜ao forne¸ca valores adequados para os parˆametros desconhecidos. A situa¸c˜ao ´e bem diferente no caso n˜ao-linear, onde podem existir termos (x1x2,ex, x3, etc.) com uma taxa de

cres-cimento alta, e que na presen¸ca de um pequeno erro de estima¸c˜ao, podem ocasionar o fenˆomeno deescape em tempo finito.

(19)

Adicio-nalmente, esse controlador n˜ao s´o garante estabilidade na presen¸ca de erros param´etricos constantes, mas tamb´em na presen¸ca de estimativas/erros que variam com o tempo. Um segundo controlador foi ainda proposto, chamado de controlador adaptativobackstepping

SG (Small Gain) [2], reduzindo algumas das complexidades do controlador ISS, por´em com um desempenho inferior. O controlador ISS ´e exclusivo para sistemas n˜ao-lineares, pois no caso linear e sem adapta¸c˜ao, ele apresenta uma estrutura n˜ao-linear com express˜oes bem complexas, sem justificativa para o seu uso em sistemas lineares e com adapta¸c˜ao. J´a o controlador SG pode ser aplicado aos dois casos, linear e n˜ao-linear.

1.4

Controle Adaptativo

Backstepping

por

Realimen-ta¸

ao de Sa´ıda

A t´ecnica de controle adaptativo backstepping pode ser utilizada nas duas formas cl´assicas de controle: por realimenta¸c˜ao de estado (state-feedback), em que as vari´aveis de estado est˜ao dispon´ıveis para medi¸c˜ao ou s˜ao obtidas atrav´es de um observador; ou por realimenta¸c˜ao de sa´ıda (output-feedback), em que somente a sa´ıda da planta ´e mensur´avel. No ´ultimo caso, s˜ao utilizados os filtros K, propostos inicialmente para observadores li-neares adaptativos por Kreisselmeier [29], e posteriormente modificados para sistemas n˜ao-lineares [30], [31], [32]. Uma alternativa aos filtros K corresponde `a utiliza¸c˜ao dos fil-tros MT, introduzidos por Marino e Tomei em [33], [34] e [35]. Ambos s˜ao mais complexos quando comparados aos filtros do cen´ario adaptativo tradicional para sistemas lineares, apresentados em [3] e [4]. Em trabalhos futuros, o objetivo final ´e a utiliza¸c˜ao do VS-ABC para plantas com grau relativo qualquer em conjunto com os filtros convencionais mencionados.

1.5

Esquema Geral do Controle

Backstepping

(20)

substitui¸c˜ao das leis integrais do controlador backstepping original por leis chaveadas. Nessa primeira vers˜ao, a escolha inicial das fun¸c˜oes de sintonia e dos filtros K, ao inv´es da abordagem modular em conjunto com os filtros tradicionais, viabilizou de forma direta a obten¸c˜ao das provas de estabilidade para o VS-ABC atrav´es dos algoritmos em [2] e [7]. Futuramente, a estrutura modular do controlebackstepping tamb´em ser´a alvo de estudos.

Controle Backstepping

Adaptativo Não−adaptativo

Controlador SG Modular (Tuning Functions)

Funções de Sintonia

Controlador ISS* Obs.:

não−lineares.

* Exclusivo para sistemas Simples

Figura 1.1: Esquema geral do controlebackstepping.

1.6

Controle por Modos Deslizantes (Sliding Mode

Control)

(21)

A presen¸ca de dinˆamica n˜ao modelada e atrasos no chaveamento s˜ao fatores que podem ocasionar este fenˆomeno, como descrito em [37]. Existem v´arias formas de suavizar o sinal de controle, dentre elas o uso de regi˜oes lineares nas leis chaveadas [38], [39], a introdu¸c˜ao de filtros de sa´ıda no sinal de controle [40], [41], e recentemente, a estrat´egia denominada DMARC que combina estrutura vari´avel e controle adaptativo em [11] e [12].

Como exemplo de sistemas com estrutura vari´avel e controle por modos deslizantes, considere o sistema de segunda ordem,

˙

x1 =x2

˙

x2 =a1x1 +a2x2+u,

(1.2)

em que a1 e a2 s˜ao parˆametros conhecidos, por´em com incertezas. Podemos definir uma

superf´ıcie de chaveamento s como

s=

x∈R2 |s(x) = cx1+x2 = 0, c >0

, (1.3)

onde se deseja que as vari´aveis de estado x1 e x2 (dinˆamica do sistema) permane¸cam

confinadas, ∀t >0. De acordo com [42] e [43], se a condi¸c˜ao ss <˙ 0 ´e satisfeita em uma vizinhan¸ca de s(x) = 0, os campos vetoriais representados por f+(x) e f

(x) apontam para s nesta vizinhan¸ca (ver Figura 1.2). Portanto, se uma trajet´oria alcan¸ca s(x), ela ´e for¸cada a deslizar sobre esta superf´ıcie, definindo assim, um modo deslizante ou sliding mode.

x2

x1

f−(x)

s(x)<0 ˙

s(x)>0

s(x) =cx1+x2= 0

x(0)

˙

s(x)<0

f+(

x)

s(x)>0

Figura 1.2: Superf´ıcie de deslizamento para o sistema de segunda ordem (1.2).

Vamos analizar a express˜ao dess˙ com uso de (1.2) e (1.3),

(22)

Definindo o sinal de controle da seguinte forma

u(x) = ⎧ ⎨ ⎩

u+(x), se s(x)>0

u−

(x), se s(x)<0,

(1.5)

e com a respectiva express˜ao

u=θ1x1+θ2x2, (1.6)

obtemos

ss˙ =s[a1x1+ (a2+c)x2+θ1x1+θ2x2]. (1.7)

Utilizando as seguintes leis chaveadas para os parˆametros do controlador (θ1 eθ2),

θ1 =−θ¯1sgn(sx1)

θ2 =−θ¯2sgn(sx2),

(1.8)

onde

sgn(sxi) =

⎧ ⎨ ⎩

1, se sxi >0 −1, se sxi <0,

(1.9)

e em seguida substituindo (1.8) em (1.7), temos

ss˙ =s[a1x1+ (a2+c)x2−θ¯1sgn(sx1)x1−θ¯2sgn(sx2)x2]

=a1sx1−θ¯1|sx1|+ (a2 +c)sx2−θ¯2|sx2|.

(1.10)

Se ¯θ1 >|a1|e ¯θ2 >|a2+c|, a condi¸c˜ao de deslizamentoss <˙ 0 ´e satisfeita de acordo com

(1.10). ´E interessante ressaltar que os valores dos parˆametros ¯θ1 e ¯θ2determinam a rapidez

com que a trajet´oria atinge a superf´ıcie de deslizamento. Quanto maior a magnitude destes parˆametros, mais r´apido ser´a o transit´orio do sistema, por´em resultando num esfor¸co de controle maior. Uma vez que a trajet´oria se encontra em s, o Controle Equivalente pode ser definido, originalmente, como o controle cont´ınuo que deve ser aplicado para manter a trajet´oria sobre esta superf´ıcie, e que consequentemente, satisfaz a condi¸c˜ao

˙

s= 0, de acordo com [43]. Para o exemplo em quest˜ao, ˙

s =cx˙1+ ˙x2 =cx2+a1x1 +a2x2+u= 0, (1.11)

e dessa forma,

ueq =−a1x1−(a2 +c)x2. (1.12)

Normalmente, a obten¸c˜ao deueq ´e realizada atrav´es da filtragem deupor um filtro

(23)

Os parˆametros do sistemaa1 ea2 s˜ao conhecidos com incertezas, mas tamb´em podem

ser variantes no tempo. Em ambos os casos, a condi¸c˜ao de deslizamento pode ser satisfeita, desde que os parˆametros do vetor ¯θ sejam devidamente dimensionados, ou seja,

¯

θ1 > supt>0|a1(t)|

¯

θ2 > supt>0|a2(t) +c|.

(1.13)

A implementa¸c˜ao da lei de controle (1.6) apresenta alguns problemas de ordem pr´atica, dentre eles, a necessidade de medi¸c˜ao de todas as vari´aveis de estado do sistema. Isto nem sempre ´e poss´ıvel, em virtude de restri¸c˜oes f´ısicas e/ou econˆomicas relacionadas `a utiliza¸c˜ao de sensores (fragilidade e/ou alto custo). Nestes casos, uma alternativa inte-ressante corresponde ao uso de observadores de estado, que frente a essas dificuldades, proporciona uma redu¸c˜ao no n´umero de sensores necess´arios e, conseq¨uentemente, no custo total dos projetos de controle.

Um segundo problema est´a associado diretamente `a freq¨uˆencia de chaveamento (fch)

dos parˆametrosθ1eθ2em (1.8). Para que a trajet´oria deslize idealmente sobre a superf´ıcie

de chaveamentos, conforme Figura 1.3(a), ´e necess´ario que a freq¨uˆenciafch seja infinita.

Tal condi¸c˜ao ´e imposs´ıvel de ser obtida na pr´atica, em virtude de limita¸c˜oes f´ısicas nos sistemas de acionamento, provocando assim, o comportamento apresentado na Figura 1.3(b), tamb´em conhecido como o fenˆomeno de chattering.

x2

x1

x(0)

s(x) = 0 (a)

x2

x1

x(0)

s(x) = 0 (b)

(24)

1.6.1

Solu¸

ao de Filippov

O uso de controladores com estrutura vari´avel, inevitavelmente, conduz ao problema te´orico relacionado com a defini¸c˜ao de solu¸c˜oes para equa¸c˜oes diferenciais com lado direito descont´ınuo. Existem diversas solu¸c˜oes para tais sistemas, por´em dependendo do tipo espec´ıfico do problema, algumas s˜ao mais apropriadas para descrever o comportamento de uma dada trajet´oria, do que outras. Por exemplo, no caso em que o campo vetorial ´e cont´ınuo, a solu¸c˜ao de Euler [44], [45] ´e bastante ´util para estabelecer a existˆencia da solu¸c˜ao, bem como para estabelecer propriedades matem´aticas importantes. Dentre as v´arias solu¸c˜oes dispon´ıveis, podemos citar as propostas por Hermes [46], Krasovskii [47] e Filippov [44]. Esta ´ultima ´e particularmente adequada para o tipo de equa¸c˜oes diferenciais que surgem em sistemas com estrutura vari´avel. Segundo Filippov, o valor da solu¸c˜ao num certo ponto pode ser determinado pelo comportamento da sua derivada em pontos da vizinhan¸ca.

Em cada ponto da superf´ıcie de descontinuidade, o campo vetorial que determina a solu¸c˜ao para ˙x = f(x) pertence ao conjunto convexo m´ınimo que cont´em todos os valo-res de f(x), quando x varia em quase toda a vizinhan¸ca δ (com δ → 0) do ponto sob considera¸c˜ao, exceto para um conjunto de medida nula segundo Lebesgue. Se ocorre deslizamento sobre uma dada superf´ıcie s, um campo vetorial f∗

em cada ponto desta superf´ıcie pode ser determinado a partir dos campos vetoriaisf+ e f

direcionados con-forme Figura 1.4. Desta maneira ´e obtido um fecho convexo m´ınimo, que ´e a base para o m´etodo de Filippov. Uma vez que o deslizamento ideal ocorre na superf´ıcie de cha-veamento, o campo vetorial permanece em um plano tangencial `a superf´ıcie. Assim, a equa¸c˜ao para o deslizamento ideal, definida de acordo com Filippov, ´e dada por

f∗

=αf++ (1−α)f−

, 0≤α≤1 (1.14)

onde α´e um parˆametro que depende das dire¸c˜oes e magnitudes do campos vetoriais f+,

f−

, e do gradiente da fun¸c˜aos(x).

1.7

Estrutura do Trabalho

(25)

x2

x1

s(x) = 0

f+

f−

f∗

Figura 1.4: Campo vetorial no modo deslizante (solu¸c˜ao de Filippov).

• O cap´ıtulo 2 apresenta o desenvolvimento matem´atico do controlador adaptativo

backstepping e do VS-ABC para sistemas de primeira ordem, utilizando a teoria de Lyapunov. Resultados de simula¸c˜ao para um sistema inst´avel e para um dos exemplos de Rohrs s˜ao apresentados.

• O cap´ıtulo 3 descreve a prova de estabilidade do controlador adaptativobackstepping

e do VS-ABC, com base na teoria de Lyapunov, para o caso de sistemas com grau relativo unit´ario. Resultados de simula¸c˜ao para um sistema de segunda ordem inst´avel s˜ao apresentados de modo a corroborar os estudos.

(26)

VS-ABC para Sistemas de Primeira

Ordem

2.1

Introdu¸

ao

Este cap´ıtulo apresenta o desenvolvimento matem´atico dos controladores adaptativos

backstepping e VS-ABC para sistemas de primeira ordem, SISO (Single Input, Single Output) e LTI (Linear Time Invariant). O objetivo ´e apresentar os princ´ıpios b´asicos da t´ecnica VS-ABC a partir do seu desenvolvimento e an´alise para uma planta escalar com parˆametros desconhecidos. Simula¸c˜oes preliminares para um sistema inst´avel s˜ao ainda apresentadas, al´em de testes de robustez na presen¸ca de incertezas param´etricas e dist´urbios. Adicionalmente, um dos exemplos de Rohrs ´e apresentado com a finalidade de se verificar a robustez do VS-ABC na presen¸ca de dinˆamica n˜ao-modelada e dist´urbios.

Considere o seguinte sistema gen´erico de primeira ordem, SISO e LTI, ˙

x1 =bu−ax1, (2.1)

ondea ebs˜ao parˆametros constantes, por´em desconhecidos ou conhecidos com incertezas. Introduzindo o erro de sa´ıda

z =x1−yr, (2.2)

(27)

• Hip´otese H1: A referˆencia yr ´e um sinal do tipo degrau.

• Hip´otese H2: O sinal do ganho de alta freq¨uˆencia (sgn(b)) ´e conhecido.

Atrav´es da hip´otese H1 e das equa¸c˜oes (2.1) e (2.2), a derivada do erro de sa´ıda pode ser obtida como,

˙

z = ˙x1 =bu−ax1. (2.3)

Seja a lei de controle dada por

u= ˆ̺u,¯ (2.4)

onde ˆ̺corresponde a uma estimativa para ̺= 1/b, e definindo ˜

a=a−aˆ ˜

̺=̺−̺,ˆ (2.5)

obtemos,

˙

z =b̺ˆu¯−ax1 =−b̺˜u¯+ ¯u−ax1. (2.6)

A partir da seguinte lei de controle auxiliar ¯

u=−c1z+ ˆax1, c1 >0, (2.7)

a express˜ao (2.6) pode ser reescrita como ˙

z=−c1z−b̺˜u¯−˜ax1. (2.8)

Selecionando a respectiva candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov

V = 1 2z

2+ 1

2γ1

˜

a2+ |b| 2γ2

˜

̺2 >0, (2.9)

onde γ1 >0 e γ2 >0, sua derivada pode ser obtida da seguinte forma

˙

V =zz˙+ 1

γ1

˜

aa˙˜+|b|

γ2

˜

̺̺˙˜=zz˙− 1

γ1

˜

aa˙ˆ− |b|

γ2

˜

̺̺,˙ˆ (2.10)

uma vez quea e ̺ s˜ao constantes. Substituindo (2.8) na equa¸c˜ao acima, ˙

V =z(−c1z−b̺˜u¯−˜ax1)−

1

γ1

˜

aa˙ˆ−|b|

γ2

˜

̺̺˙ˆ

=−c1z2+ ˜a

−x1z−

1

γ1

˙ˆ

a

−|b|

γ2

˜

̺ γ2sgn(b)¯uz+ ˙ˆ̺

.

(28)

e escolhendo as seguintes leis de adapta¸c˜ao, ˙ˆ

a=−γ1x1z (2.12)

˙ˆ

̺=−γ2sgn(b)¯uz, (2.13)

onde γ1 eγ2 s˜ao os ganhos adaptativos, obtemos

˙

V(z,˜a,̺˜) =−c1z2 ≤0. (2.14)

O resultado acima garante que [z,a,˜ ̺˜]T = [0,0,0]T ´e um ponto de equil´ıbrio est´avel.

Atrav´es do teorema de LaSalle-Yoshizawa [2], ´e poss´ıvel mostrar que z(t) → 0 quando

t→ ∞.

A lei de controle proposta atrav´es das equa¸c˜oes (2.4) e (2.7) pode apresentar novas caracter´ısticas de robustez na presen¸ca de incertezas param´etricas e dist´urbios, a partir da substitui¸c˜ao das leis integrais (2.12) e (2.13) por leis chaveadas adequadas. Considere a seguinte candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov

V = 1 2z

2, (2.15)

e a sua derivada atrav´es de (2.8), ˙

V =zz˙ =z(−c1z−b̺˜u¯−ax˜ 1) =−c1z2 −b̺˜uz¯ −˜ax1z. (2.16)

Utilizando as leis chaveadas ˆ

a=−¯asgn(x1z), ¯a >|a| (2.17)

ˆ

̺=−̺sgn¯ (b)sgn(¯uz), ̺ >¯ 1

|b|, (2.18)

em (2.16), temos ˙

V =−c1z2−(̺buz¯ + ¯̺|buz¯ |)−(ax1z+ ¯a|x1z|). (2.19)

Finalmente,

˙

V ≤ −c1z2 <0, (2.20)

(29)

2.2

Controlador Adaptativo

Backstepping

Considere o mesmo sistema de primeira ordem da se¸c˜ao anterior, em que a entrada de controle ´e agora separada deste atrav´es de um integrador:

˙

x1 =bx2−ax1

˙

x2 =u.

(2.21)

Introduzindo as duas vari´aveis de erro

z1 =x1 −yr(t) (2.22)

z2 =x2−̺ˆy˙r−α(t), (2.23)

o objetivo de projeto ´e for¸car a sa´ıda do sistemax1 a rastrear o sinal de referˆencia yr,

re-gulandoz = [z1, z2]T a zero e mantendo todos os sinais em malha fechada uniformemente

limitados. Para o desenvolvimento do controlador adaptativo backstepping, algumas su-posi¸c˜oes s˜ao necess´arias:

• Hip´otese H3: A referˆencia yr(t) pode ser a sa´ıda de um modelo de referˆencia

com uma entrada r(t) cont´ınua por partes, ou um sinal cuja primeira derivada ´e conhecida, limitada e cont´ınua por partes.

• Hip´otese H4: O sinal do ganho de alta freq¨uˆencia (sgn(b)) ´e conhecido.

A vari´avelx2´e somente uma vari´avel de estado e n˜ao corresponde `a entrada de controle

do sistema. Ela ser´a chamada deControle Virtual(Virtual Control), como mencionado no cap´ıtulo anterior, eα(t) deFun¸c˜ao de Estabiliza¸c˜ao(Stabilizing Function), pois ser´a utilizada no processo de estabiliza¸c˜ao do sistema. A vari´avelz2 representa o desvio entre

o sinal aplicado na entrada do sistema (x2) e o que deveria ser aplicado (α(t)), caso o

inte-grador posicionado entre o sinal de controle e a entrada da planta n˜ao existisse. A adi¸c˜ao do termo −̺ˆy˙r na express˜ao de z2 est´a relacionada com o desenvolvimento matem´atico

do controlador e ser´a explicado posteriormente.

Passo 1. A partir da equa¸c˜ao para o erro de sa´ıda (2.22), a sua derivada pode ser obtida com uso de (2.21):

˙

(30)

Substituindo (2.23) em (2.24), temos

˙

z1 =bz2+b̺ˆy˙r+bα−ax1−y˙r. (2.25)

Seja a fun¸c˜ao de estabiliza¸c˜aoα(t) dada por

α= ˆ̺α,¯ (2.26)

e definindo

˜

a=a−aˆ ˜b=bˆb

˜

̺=̺−̺,ˆ

(2.27)

obtemos,

˙

z1 = ˆbz2+ ˜bz2+b̺ˆy˙r+b̺ˆα¯−ax1−y˙r

= ˆbz2+ ˜bz2−b̺˜y˙r+ ˙yr−b̺˜α¯+ ¯α−ax1−y˙r.

(2.28)

Ent˜ao, a escolha

¯

α =−c1z1+ ˆax1, c1 >0, (2.29)

resulta na equa¸c˜ao ˙

z1 = ˆbz2+ ˜bz2−b̺˜( ˙yr+ ¯α)−˜ax1−c1z1. (2.30)

Selecionando a seguinte candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov,

V1 =

1 2z1

2+ 1

2γ1

˜

a2+ 1 2γ2

˜

b2+ |b| 2γ3

˜

̺2 >0, (2.31)

com γ1 >0, γ2 >0 e γ3 >0, vamos examinar a sua derivada:

˙

V1 =z1z˙1+

1

γ1

˜

aa˙˜+ 1

γ2

˜

bb˙˜+ |b|

γ3

˜

̺̺.˙˜ (2.32)

Considerando a eb constantes, por suposi¸c˜ao, temos ˙

V1 =z1z˙1−

1

γ1

˜

aa˙ˆ− 1

γ2

˜

bb˙ˆ− |b|

γ3

˜

̺̺,˙ˆ (2.33)

e substituindo (2.30) em (2.33), ˙

V1 =−c1z12+ ˆbz1z2+ ˜bz1z2−b̺˜( ˙yr+ ¯α)z1−˜ax1z1−

1

γ1

˜

aa˙ˆ− 1

γ2

˜bb˙ˆ |b|

γ3

˜

(31)

Passo 2. Diferenciando (2.23) e utilizando (2.21), (2.26), (2.27) e (2.29), obtemos ˙

z2 = ˙x2−

∂(ˆ̺y˙r)

∂t −α˙

=u− ∂(ˆ̺y˙r)

∂t −̺˙ˆα¯−̺ˆα˙¯

=u− ∂(ˆ̺y˙r)

∂t −̺˙ˆα¯−̺ˆ

∂α¯

∂z1

˙

z1+

∂α¯

∂ˆaa˙ˆ+ ∂α¯

∂x1

˙

x1

=u− ∂(ˆ̺y˙r)

∂t −̺˙ˆα¯−̺ˆ

∂α¯

∂z1

˙

z1+

∂α¯

∂ˆaa˙ˆ+ ∂α¯

∂x1

(ˆb+ ˜b)x2−

∂α¯

∂x1

(ˆa+ ˜a)x1

.

(2.35)

Uma nova candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov que incluaz2 ´e necess´aria. Vamos utilizar

V2 =V1+

1 2z2

2 >0, (2.36)

e em seguida analisar a sua derivada atrav´es de (2.34) e (2.35): ˙

V2 = ˙V1+z2z˙2

=−c1z12+ ˜a

−x1z1−

1

γ1

˙ˆ

a+ ˆ̺z2

∂α¯

∂x1

x1

+ ˜b

z1z2−

1

γ2

˙ˆ

b−̺zˆ 2

∂α¯

∂x1

x2

+z2

ˆbz1+u ∂(ˆ̺y˙r)

∂t −̺ˆ

∂α¯

∂z1

˙

z1+

∂α¯

∂ˆaa˙ˆ+ ˆb ∂α¯

∂x1

x2−ˆa

∂α¯

∂x1

x1

−̺˙ˆα¯

−|b|

γ3

˜

̺ γ3sgn(b)( ˙yr+ ¯α)z1+ ˙ˆ̺

.

(2.37)

Os termos ˜a, ˜be ˜̺podem ser eliminados de ˙V2escolhendo-se as seguintes leis de adapta¸c˜ao,

˙ˆ

a=γ1

−x1z1+ ˆ̺z2

∂α¯

∂x1

x1

(2.38)

˙ˆ

b=γ2

z1z2 −̺zˆ 2

∂α¯

∂x1

x2

(2.39) ˙ˆ

̺=−γ3sgn(b)( ˙yr+ ¯α)z1, (2.40)

ondeγ1,γ2eγ3 s˜ao os ganhos adaptativos. Finalmente, a lei de controle pode ser escolhida

como

u=−ˆbz1+

∂(ˆ̺y˙r)

∂t + ˆ̺

∂α¯

∂z1

˙

z1+

∂α¯

∂ˆaa˙ˆ+ ˆb ∂α¯

∂x1

x2−ˆa

∂α¯

∂x1

x1

+ ˙ˆ̺α¯−c2z2, c2 >0, (2.41)

de modo a tornar (2.37) uma fun¸c˜ao semi-definida negativa: ˙

(32)

O resultado acima garante que [z1, z2,˜a,˜b,̺˜]T = [0,0,0,0,0]T ´e um ponto de equil´ıbrio

est´avel. Atrav´es do teorema de LaSalle-Yoshizawa [2], ´e poss´ıvel mostrar que z(t) → 0 quandot → ∞.

O termo −̺ˆy˙r introduzido na express˜ao do erro (2.23), entre o sinal que est´a sendo

aplicado na entrada da planta (x2) e o seu valor desejado (α(t)), tem como objetivo

eliminar−y˙r em (2.24). Este cancelamento tamb´em pode ser realizado atrav´es da fun¸c˜ao

de estabiliza¸c˜ao auxiliar (¯α), acrescida de ˙yra partir de (2.29). Entretanto, tal modifica¸c˜ao

provocaria a presen¸ca de um termo adicional em (2.35), referente a derivada parcial de ¯

α em rela¸c˜ao a ˙yr, e que inevitavelmente se refletiria num acr´escimo da lei de controle

proposta em (2.41). ´E interessante ressaltar que o n˜ao cancelamento de −y˙r em (2.23)

inviabiliza a obten¸c˜ao do resultado (2.42), devido a presen¸ca de um termo na derivada da fun¸c˜ao de energia, cujo sinal ´e indefinido.

2.3

Controlador Adaptativo

Backstepping

a

Estru-tura Vari´

avel

Seguindo os passos 1 e 2 descritos na se¸c˜ao anterior, leis chaveadas ser˜ao propostas para substituir as leis adaptativas integrais (2.38-2.40), utilizadas para garantir a estabi-lidade da origem de acordo com (2.42).

Passo 1. Vamos come¸car com a equa¸c˜ao (2.30), usando ˜b+ ˆb=b, conforme (2.27) ˙

z1 =bz2−b̺˜( ˙yr+ ¯α)−˜ax1−c1z1, (2.43)

e a seguinte candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov

V1 =

1 2z1

2, (2.44)

cuja derivada ´e ˙

V1 =z1z˙1 =bz1z2−b̺˜( ˙yr+ ¯α)z1−˜ax1z1−c1z12. (2.45)

(33)

(2.35). A partir de (2.23) e (2.21), temos

˙

z2 =u−

∂(ˆ̺y˙r)

∂t −α.˙ (2.46)

Selecionando a candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov (2.36) e obtendo a sua derivada com uso de (2.45) e (2.46), temos

˙

V2 = ˙V1+z2z˙2

=−c1z12+bz1z2−b̺˜( ˙yr+ ¯α)z1−˜ax1z1+z2

u− ∂(ˆ̺y˙r)

∂t −α˙

. (2.47)

Utilizando-se a seguinte lei de controle

u=−c2z2−ˆbz1+

∂(ˆ̺y˙r)

∂t + ˙α, (2.48)

e as leis chaveadas

ˆ

a=−a sgn¯ (x1z1), ¯a >|a| (2.49)

ˆb= ¯b sgn(z1z2),¯b >|b| (2.50) ˆ

̺=−̺ sgn¯ (b)sgn[( ˙yr+ ¯α)z1], ̺ >¯

1

|b|, (2.51)

em (2.47), ent˜ao: ˙

V2 =−c1z12 −c2z22−(¯b|z1z2| −bz1z2)

−(¯a|x1z1|+ax1z1)−

¯

̺|( ˙yr+ ¯α)z1| |b|+

1

b( ˙yr+ ¯α)z1b

. (2.52)

O novo resultado ´e

˙

V2(z1, z2)≤ −c1z12−c2z22 <0, (2.53)

garantindo que [z1, z2]T = [0,0]T ´e um ponto de equil´ıbrio globalmente assintoticamente

est´avel, de acordo com o teorema A.2.2 do apˆendice A.

A presen¸ca do termo −̺ˆy˙r na express˜ao de z2 pode ser justificada por motivos

seme-lhantes aos apresentados na se¸c˜ao anterior. Sua inclus˜ao em (2.23) permite a obten¸c˜ao do resultado (2.53), e adicionalmente, possibilita uma redu¸c˜ao na quantidade de termos em (2.48).

(34)

os sinais em malha fechada s˜ao uniformemente limitados, e o rastreamento da sa´ıda do

sistema x1(t), em rela¸c˜ao ao sinal de referˆencia yr(t), ´e alcan¸cado assintoticamente:

lim

t→∞[x1(t)−yr(t)] = 0. (2.54)

Prova. Considere a candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov (2.36) para o sistema (2.21) em malha fechada. A derivada de (2.36) pode ser obtida como uma fun¸c˜ao definida negativa, atrav´es das equa¸c˜oes de erro (2.22-2.23), das leis chavedas (2.49-2.51) e do sinal de con-trole (2.48). Utilizando-se o teorema A.2.2 (apˆendice A), o resultado (2.54) ´e encontrado.

O sinal de controle do VS-ABC n˜ao deve ser implementado como descrito em (2.48), pois o car´ater descont´ınuo das vari´aveis ˆ̺(t) e α(t) impede a obten¸c˜ao de suas derivadas, e conseq¨uentemente deu(t). Entretanto, esta dificuldade pode ser superada obtendo-se o controle virtual a partir de

x2(t) = −

c2z2dt−

ˆbz1dt+ ˆ̺y˙r+α. (2.55) Uma vez que o integrador na entrada da planta faz parte do controlador, e n˜ao do sistema a ser controlado, a express˜ao acima pode ser utilizada, sem perdas de desempenho no VS-ABC. Cálculo dos Erros Cálculo da FEA Cálculo de Cálculo de Planta ˆ ̺ u(t)

c2

c1 ¯ α ¯ α z1 ˆ a

ˆb z1

α

x2 x1

z2 x1

x2 ̺ˆ yr α

x1 z1 x1 ˆ ̺ ˙ yr

sgn(b) ˆ

̺ z1

c2z2−ˆbz1

ˆ

̺y˙r+α

z2

Figura 2.1: Diagrama de blocos do VS-ABC.

(35)

que a “estima¸c˜ao dos parˆametros” ´e obtida atrav´es de rel´es, ao inv´es das leis adaptativas integrais (2.38-2.40). Por exemplo, o c´alculo de ˆa em (2.49) n˜ao requer a multiplica¸c˜ao dez1 por x1, mas somente a an´alise dos seus sinais, o que ´e uma tarefa bem simples em

sistemas digitais. Dessa forma, o n´umero de opera¸c˜oes ´e reduzido, bem como o n´umero de instru¸c˜oes necess´arias para a execu¸c˜ao do algoritmo. Em sistemas embarcados, devido `as restri¸c˜oes desoftware e hardware normalmente encontradas, dentre elas, o n´umero re-duzido de perif´ericos e a limita¸c˜ao de algumas Unidades L´ogicas Aritm´eticas (ULA), esta nova caracter´ıstica ´e bem interessante.

No processo de obten¸c˜ao de ˆ̺ atrav´es das leis chaveadas (2.49) e (2.51), e da fun¸c˜ao de estabiliza¸c˜ao auxiliar (2.29), observa-se a presen¸ca de um termo com o c´alculo da fun¸c˜ao sinal de sinal, o que pode ocasionar problemas quando a freq¨uˆencia de chaveamento ´e infinita. Por´em, neste caso espec´ıfico, ´e poss´ıvel contornar tal situa¸c˜ao pela simples manipula¸c˜ao alg´ebrica das express˜oes envolvidas. Substituindo-se a equa¸c˜ao (2.29) em (2.51), temos:

ˆ

̺ =−̺ sgn¯ (b)sgn[( ˙yr+ ¯α)z1]

=−̺ sgn¯ (b)sgn[( ˙yr−c1z1+ ˆax1)z1]

=−̺ sgn¯ (b)sgn( ˙yrz1−c1z12+ ˆax1z1).

(2.56)

Em seguida, substituindo-se (2.49) na equa¸c˜ao acima,

ˆ

̺ =−̺ sgn¯ (b)sgn( ˙yrz1−c1z21 + ˆax1z1)

=−̺ sgn¯ (b)sgn{y˙rz1−c1z12+ [−¯a sgn(x1z1)]x1z1}

=−̺ sgn¯ (b)sgn( ˙yrz1−c1z21 −a¯|x1z1|).

(2.57)

2.4

Resumo dos Controladores

(36)

Tabela 2.1: Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas de primeira ordem.

Equa¸c˜oes Comuns Erros:

z1 = bx2−ax1

z2 = x2−̺ˆy˙r−α(t)

Fun¸c˜ao de Estabiliza¸c˜ao:

α = ˆ̺α¯ ¯

α = −c1z1+ ˆax1

Controlador Adaptativo Backstepping

Lei de Controle:

u = −ˆbz1 +

∂(ˆ̺y˙r)

∂t + ˆ̺

∂α¯

∂z1

˙

z1+

∂α¯

∂ˆaa˙ˆ+ ˆb ∂α¯

∂x1

x2−ˆa

∂α¯

∂x1

x1

+ ˙ˆ̺α¯−c2z2

Leis Adaptativas: ˙ˆ

a = γ1

−x1z1+ ˆ̺z2

∂α¯

∂x1

x1

˙ˆ

b = γ2

z1z2−̺zˆ 2

∂α¯

∂x1

x2

˙ˆ

̺ = −γ3sgn(b)( ˙yr+ ¯α)z1

VS-ABC Lei de Controle:

u = −c2z2−ˆbz1+

∂(ˆ̺y˙r)

∂t + ˙α

Leis Chaveadas: ˆ

a = −¯a sgn(x1z1), ¯a >|a|

ˆ

b = ¯b sgn(z1z2), ¯b >|b|

ˆ

̺ = −̺ sgn¯ (b)sgn[( ˙yr+ ¯α)z1],̺ >¯

1

(37)

2.5

Resultados de Simula¸

ao

2.5.1

Simula¸

oes Iniciais

Considere o sistema descrito por (2.21), comb= 2 ea=−3, e um modelo de referˆencia dado por

˙

yr = 3r−3yr. (2.58)

O comportamento do sistema na ausˆencia de incertezas param´etricas e dist´urbios ´e apre-sentado nas Figuras 2.2(a) e 2.2(b), respectivamente, para o controlador adaptativo backs-tepping e para o VS-ABC. Os ganhos adaptativos utilizados no primeiro caso foram

γ1 = γ2 = γ3 = 100 e as constantes auxiliares, c1 = c2 = 18. No ´ultimo, as

amplitu-des dos rel´es foram ¯a = 3.5, ¯b = 2.5 e ¯̺ = 1, enquanto que as constantes auxiliares,

c1 = c2 = 1. Nas duas situa¸c˜oes, o sinal de entrada para o modelo de referˆencia foi

r(t) = 1, a condi¸c˜ao inicial para a planta, x1(0) = 0.4, e as demais condi¸c˜oes iniciais

nu-las. Os controles virtuais s˜ao apresentados nas Figuras 2.3(a) e 2.3(b). Observa-se que o VS-ABC apresentou um melhor transit´orio quando comparado ao controlador adaptativo

backstepping.

(38)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 0

0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (Segundos)

Saída

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Tempo (Segundos)

Saída

(b)

Figura 2.2: Sa´ıda do sistema e do modelo de referˆencia para o controlador adaptativobackstepping (a) e para o VS-ABC (b) na ausˆencia de incertezas param´etricas e dist´urbios - sistema de primeira ordem.

0 0.5 1 1.5 2 2.5

−5 −4 −3 −2 −1 0 1

Tempo (Segundos)

Controle Virtual

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4

Tempo (Segundos)

Controle Virtual

(b)

(39)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (Segundos) Saída (a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Tempo (Segundos) Saída (b)

Figura 2.4: Sa´ıda do sistema e do modelo de referˆencia para o controlador adaptativobackstepping (a) e para o VS-ABC (b) na presen¸ca de uma perturba¸c˜ao aditiva (d= 2) e uma varia¸c˜ao de 20% nos valores nominais dos seus parˆametros - sistema de primeira ordem.

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−9 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 Tempo (Segundos) Controle Virtual (a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8

−4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 Tempo (Segundos) Controle Virtual (b)

(40)

2.5.2

Os Exemplos de Rohrs

As ´ultimas simula¸c˜oes tratam dos exemplos de Rohrs. Em [21], os autores demonstra-ram que um sistema est´avel de primeira ordem, em conjunto com um controlador adap-tativo tradicional, tornou-se inst´avel na presen¸ca de dinˆamica n˜ao-modelada e dist´urbios externos. Um dos v´arios exemplos propostos pelos autores ser´a reproduzido aqui, con-siderando-se o controlador adaptativo backstepping e o VS-ABC. Como em aplica¸c˜oes pr´aticas, a presen¸ca de dinˆamica n˜ao-modelada e dist´urbios externos (ru´ıdos de medi¸c˜ao, por exemplo) ´e muito comum, todo sistema de controle deve ser capaz de operar nestas condi¸c˜oes, sem tornar-se inst´avel.

Considere o sistema de primeira ordem, com um par de p´olos complexos conjugados desconsiderados no processo de modelagem, descrito por

y(t) = 2 (s+ 1) ·

229

(s2+ 30s+ 229)u(t), (2.59)

um modelo de referˆencia dado por (2.58) e todas as condi¸c˜oes iniciais nulas, exceto para as estimativas

ˆ

a(0) = 0.9, ˆb(0) = 1.7, ̺ˆ(0) = 0.4. (2.60) As Figuras 2.7(a) e 2.7(b) apresentam a sa´ıda da planta e as estimativas para os parˆametros na presen¸ca de dinˆamica n˜ao-modelada para o controlador adaptativobackstepping, onde os ganhos adaptativos utilizados foram γ1 = γ2 = γ3 = 1, as constantes auxiliares,

c1 =c2 = 1, e a entrada do modelo de referˆencia,

r(t) = 0.3 + 1.85sin16.1t. (2.61) Embora, as condi¸c˜oes iniciais para as estimativas dos parˆametros estivessem pr´oximas aos valores desejados, o sistema se tornou inst´avel como previsto por Rohrs.

A Figura 2.8 apresenta os resultados para o VS-ABC nas mesmas condi¸c˜oes do caso anterior. Neste novo cen´ario, a instabilidade n˜ao ocorreu, entretanto a sa´ıda da planta n˜ao rastreou a sa´ıda do modelo de referˆencia. Analisando-se os resultados, o VS-ABC apresentou um desempenho melhor, uma vez que o controlador adaptativo backstepping

se tornou inst´avel na presen¸ca da dinˆamica n˜ao-modelada. As amplitudes dos rel´es foram ¯

a = 3.5, ¯b = 2.5 e ¯̺ = 1, enquanto que as constantes auxiliares, c1 = c2 = 1. Todas as

(41)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 −20 −15 −10 −5 0 5 10 Tempo (Segundos) Parâmetros ˆ a ˆ ̺ ˆ b (a)

0 1 2 3 4 5

−2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 Tempo (Segundos) Parâmetros ˆ b ˆ ̺ ˆ a (b)

Figura 2.6: Estimativas para os parˆametros da planta, na presen¸ca (a) e na ausˆencia (b) de incertezas param´etricas e dist´urbios para o controlador adaptativobackstepping - sistema de primeira ordem.

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−3 −2 −1 0 1 2 3 Tempo (Segundos) Saída (a)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

−100 −80 −60 −40 −20 0 20 40 60 80 100 Tempo (Segundos) Parâmetros ˆb ˆ a ˆ ̺ (b)

(42)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 −0.5

0 0.5 1

Tempo (Segundos)

Saída

(43)

VS-ABC para Sistemas com Grau

Relativo Unit´

ario

3.1

Introdu¸

ao

Considere o sistema SISO, LTI e com grau relativo unit´ario (ρ=n−m = 1), descrito por

y(s) = B(s)

A(s)u(s) =

bmsm+· · ·+b1s+b0

sn+a n−1sn

−1+· · ·+a

1s+a0

, (3.1)

onde os coeficientes bm· · ·b0 e an−1· · ·a0 s˜ao constantes, por´em desconhecidos ou

conhe-cidos com incertezas. Introduzindo a vari´avel do erro de sa´ıda

z =y−yr(t), (3.2)

nosso objetivo ´e for¸car y (sa´ıda do sistema) a seguir o sinal de referˆencia yr, regulando

z →0, e mantendo todos os sinais em malha fechada uniformemente limitados. Para tal, algumas suposi¸c˜oes s˜ao necess´arias:

• Hip´otese H1: A referˆencia yr(t) pode ser a sa´ıda de um modelo de referˆencia

com uma entrada r(t) cont´ınua por partes, ou um sinal cuja primeira derivada ´e conhecida, limitada e cont´ınua por partes.

• Hip´otese H2: O sinal do ganho de alta freq¨uˆencia (sgn(bm)) ´e conhecido.

(44)

• Hip´otese H4: O grau relativo do modelo de referˆencia deve ser igual ao grau relativo da planta (ρr =ρ).

As suposi¸c˜oes acima s˜ao semelhantes `as apresentadas no controle adaptativo por mo-delo de referˆencia tradicional.

3.1.1

Filtros de Estima¸

ao (Filtros K)

No cen´ario proposto, somente medi¸c˜oes da entrada e da sa´ıda da planta ser˜ao con-sideradas, e dessa forma, filtros de estima¸c˜ao para substituir as medi¸c˜oes das vari´aveis de estado ser˜ao necess´arios. Como mencionado, o projeto do VS-ABC ser´a baseado na utiliza¸c˜ao dos filtros K, desenvolvidos por Kreisselmeier em [29].

O sistema (3.1), para qualquer grau relativo, pode ser representado na forma canˆonica observ´avel

˙

x1 = x2−an−1y

... ˙

xρ−1 = xρ−am+1y

˙

xρ = xρ+1−amy+bmu

... ˙

xn−1 = xn−a1y+b1u

˙

xn = −a0y+b0u

y = x1,

(3.3)

ou, mais compactamente, como

˙

x = Ax−ya+ ⎡ ⎢ ⎣

0(ρ−1)×1

b

⎤ ⎥ ⎦u

y = eT

1x, (3.4) onde A= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

0 In−1

...

0 · · · 0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

, a= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

an−1

... a0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

(45)

A representa¸c˜ao do sistema (3.4) pode ainda ser reescrita como ˙

x = Ax+F(y, u)Tθ

y = eT

1x,

(3.5)

onde

F(y, u)T =

⎡ ⎢ ⎣ ⎡ ⎢ ⎣

0(ρ−1)×(m+1)

Im+1

⎤ ⎥

⎦u −Iyn ⎤ ⎥

⎦, (3.6)

e o vetor de parˆametros

θ= ⎡ ⎣ b a ⎤ ⎦= ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ bm ... b0

an−1

... a0 ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ θ1 ...

θm+1

θm+2

...

θ2n

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦ . (3.7)

Para a estima¸c˜ao de estado, os seguintes filtros ser˜ao usados ˙

ξ = A0ξ+ky

˙ΩT = A

0ΩT +F(y, u)T,

(3.8)

onde o vetor k = [k1· · ·kn]T ´e escolhido de forma que a matriz

A0 =A−keT1, (3.9)

sejaHurwitz, e P existe tal que

P A0+AT0P =−I, P =PT >0. (3.10)

Utilizando (3.8), a estima¸c˜ao de estado ´e dada por

ˆ

x=ξ+ ΩTθ, (3.11)

sendo poss´ıvel demonstrar que o erro de estima¸c˜ao

(46)

desaparece exponencialmente, uma vez que ˙

ε=A0ε. (3.13)

Um passo adicional em (3.8) corresponde a reduzir a dinˆamica do filtro Ω, explorando a estrutura deF(y, u) em (3.6). Sejam as m+ 1 primeiras colunas de ΩT denotadas por

υm,· · · , υ1, υ0, e as demaisn colunas por Ξ,

ΩT = [υ

m,· · · , υ1, υ0,Ξ]. (3.14)

Em virtude da dependˆencia especial deF(y, u) em rela¸c˜ao a u, as equa¸c˜oes para as m+ 1 primeiras colunas de ΩT s˜ao governadas por

˙

υj =A0υj +en−ju, j = 0· · ·m. (3.15)

Isto significa que, gra¸cas `a estrutura particular de A0,

Aj0en=en−j, j = 0· · ·n−1, (3.16)

os vetores υj podem ser obtidos do filtro,

˙

λ=A0λ+enu, (3.17)

atrav´es da express˜ao alg´ebrica

υj =Aj0λ, j = 0· · ·m. (3.18)

Similarmente, Ξ, governado por

˙Ξ =A0Ξ−Iy, Ξ∈Rn

×n

, (3.19)

pode ser obtido a partir do filtro ˙

η=A0η+eny, (3.20)

atrav´es da express˜ao alg´ebrica

Ξ =−

An−1

0 η,· · · , A0η, η

. (3.21)

Finalmente, com a identidade

An

(47)

o vetorξ em (3.8) pode ser obtido de (3.20) com uso da express˜ao

ξ =−An0η. (3.23)

Os filtros K se encontram resumidos na Tabela 3.1. Em compara¸c˜ao com os con-troladores adaptativos tradicionais, observa-se que a ordem total dos filtros K ´e 2n, e adicionalmente, pode ser reduzida para 2(n−1), explorando o fato de que u e y est˜ao dispon´ıveis para medi¸c˜ao. Mais detalhes podem ser encontrados em [7] e [29]

Tabela 3.1: Filtros K para sistemas lineares SISO com grau relativo qualquer.

˙

η = A0η+eny

˙

λ = A0λ+enu

Ξ = −

An−1

0 η,· · ·, A0η, η

ξ = −An

υj = Aj0λ, j = 0· · ·m

ΩT = [υ

m,· · · , υ1, υ0, Ξ]

3.2

Controlador Adaptativo

Backstepping

Nesta se¸c˜ao, o controlador adaptativo backstepping para plantas com grau relativo unit´ario (ρ= 1) ser´a desenvolvido com base na sua descri¸c˜ao para o caso geral, apresentado pelos autores em [7]. Devido `a hip´otese H3, o projeto do controlador fica restrito a equa¸c˜ao

˙

x1 =x2−an−1y+bmu=x2−ye

T

1a+bmu. (3.24)

Atrav´es de (3.11) e (3.12), a vari´avel x2 pode ser obtida como

x2 =ξ2+ ΩT(2)θ+ε2

=ξ2+

υm,2, υm−1,2,· · · , υ0,2,Ξ(2)

θ+ε2.

(48)

Substituindo o resultado acima em (3.24), temos ˙

x1 =ξ2+

υm,2,· · · , υ0,2, Ξ(2)−yeT1

θ+ε2+bmu

=ξ2+ [w1· · ·w2n]θ+ε2+bmu

=ξ2+wTθ+ε2+bmu,

(3.26)

onde w´e o vetor regressor. Assim, a derivada do erro de sa´ıda (3.2) com uso de (3.26) ´e dada por

˙

z = ˙y−y˙r = ˙x1−y˙r =ξ2+wTθ+ε2+bmu−y˙r. (3.27)

Seja a lei de controle

u= ˆ̺u,¯ (3.28)

onde ˆ̺´e uma estimativa para̺= 1/bm, e em seguida definindo

˜

θ=θ−θˆ

˜

̺=̺−̺,ˆ (3.29)

obtemos

˙

z =ξ2+wTθ+ε2+bm̺ˆu¯−y˙r

=ξ2+wTθ+ε2−bm̺˜u¯+ ¯u−y˙r.

(3.30)

Considere a seguinte candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov

V = 1 2z

2+1

2θ˜

TΓ−1˜

θ+|bm| 2γ ̺˜

2+ 1

4d1

εTP ε >0, (3.31)

com Γ−1

>0, γ >0 e d1 >0, e sua derivada atrav´es de (3.10) e (3.13)

˙

V =zz˙−θ˜TΓ−1˙ˆ

θ− |bm|

γ ̺˜̺˙ˆ−

1 4d1

εTε. (3.32)

Substituindo (3.30) em (3.32), ˙

V =z(ξ2+wTθ+ε2−bm̺˜u¯+ ¯u−y˙r) −θ˜TΓ−1˙ˆ

θ− |bm|

γ ̺˜̺˙ˆ−

1 4d1

εTε, (3.33)

e selecionando a lei de controle auxiliar como

¯

(49)

temos

˙

V =−c1z2−d1z2+zε2−

1 4d1

εTε

+˜θTΓ−1

Γwz−θ˙ˆ− |bm|

γ ̺˜ γsgn(bm)¯uz+ ˙ˆ̺

.

(3.35)

Para eliminar os termos ˜θ e ˜̺ em (3.35), as leis de adapta¸c˜ao podem ser escolhidas como ˙ˆ

θ = Γwz, (3.36)

˙ˆ

̺=−γsgn(bm)¯uz, (3.37)

onde Γ e γ s˜ao os ganhos adaptativos. Ent˜ao, ˙

V =−c1z2−d1z2+zε2−

1 4d1

εTε

=−c1z2−d1

z− 1

2d1

ε2

2

− 1

4d1

(ε12+ε32+· · ·+εn2),

(3.38)

e finalmente,

˙

V(z,θ,˜ ̺, ε˜ )≤c1z2 ≤0. (3.39)

O resultado acima garante que [z,θ,˜ ̺, ε˜ ]T = [0,0,0,0]T ´e um ponto de equil´ıbrio

est´avel, de acordo com o teorema A.2.1 do apˆendice A. Novamente, atrav´es do teorema de LaSalle-Yoshizawa [2], ´e poss´ıvel mostrar quez(t)→0 quandot → ∞.

3.3

Controlador Adaptativo

Backstepping

a

Estru-tura Vari´

avel

A partir dos passos descritos na se¸c˜ao anterior, leis chaveadas ser˜ao propostas para substituir as leis adaptativas integrais (3.36-3.37). Considere a candidata a fun¸c˜ao de Lyapunov

V = 1 2z

2+ 1

2d1

εTP ε >0, (3.40)

e sua respectiva derivada

˙

V =zz˙− 1

2d1

(50)

Substituindo (3.30) e (3.34) em (3.41), obtemos ˙

V =−c1z2+wTθz˜ −bm̺˜uz¯ −

1 4d1

εTεd

1z2+zε2−

1 4d1

εTε

=−c1z2+wTθz˜ −bm̺˜uz¯ −

1 4d1

εTε −d1

z− 1

2d1

ε2

2

− 1

4d1

(ε12+ε32+· · ·+εn2).

(3.42)

Ent˜ao,

˙

V ≤ −c1z2+ 2n

i=1

˜

θiwiz−bm̺˜uz¯ −

1 4d1

εTε, (3.43)

e utilizando as leis chaveadas ˆ

θi = ¯θisgn(wiz), θ¯i > θi (3.44)

ˆ

̺=−̺sgn¯ (bm)sgn(¯uz), ̺ >¯

1

|bm|

, (3.45)

em (3.43), temos

˙

V ≤ −c1z2−

1 4d1

εTε+

2n

i=1

(θiwiz−θ¯i|wiz|) −bm(̺uz¯ + ¯̺|uz¯ |).

(3.46)

O novo resultado ´e

˙

V ≤ −c1z2 −

1 4d1

εTε <0, (3.47) garantindo que [z, ε]T = [0,0]T ´e um ponto de equil´ıbrio globalmente assintoticamente

est´avel, uma vez que (3.47) ´e uma fun¸c˜ao definida negativa.

Teorema 3.3.1 Seja o sistema (3.1), os filtros da Tabela 3.1, a equa¸c˜ao do erro de sa´ıda (3.2), as leis chavedas (3.44-3.45) e o sinal de controle dado por (3.28) e (3.34). Se as

hip´oteses H1-H4 s˜ao satisfeitas, todos os sinais em malha fechada s˜ao uniformemente

limitados, e o rastreamento da sa´ıda do sistema y(t), em rela¸c˜ao ao sinal de referˆencia

yr(t), ´e alcan¸cado assintoticamente:

lim

t→∞[y(t)−yr(t)] = 0. (3.48)

(51)

atrav´es da equa¸c˜ao do erro (3.2), das leis chavedas (3.44-3.45) e do sinal de controle dado por (3.28) e (3.34). Utilizando-se o teorema A.2.2 (apˆendice A), o resultado (3.48) ´e encontrado.

Assim como no caso do VS-ABC para sistemas de primeira ordem, o uso das leis cha-veadas (3.44-3.45) simplifica o algoritmo de controle, bem como reduz a quantidade de c´alculos envolvidos na obten¸c˜ao das “estimativas”para os parˆametros da planta. Como exemplo, o c´alculo de ˆθi em (3.44) n˜ao requer a multiplica¸c˜ao dewi porz, mas somente a

an´alise dos seus sinais. Ainda no processo de obten¸c˜ao das “estimativas”, de forma seme-lhante ao que acontece no cap´ıtulo anterior com ˆ̺, observa-se a presen¸ca da fun¸c˜ao sinal de sinal, de acordo com as express˜oes (3.34), (3.44) e (3.45). Novamente, ´e poss´ıvel contornar tal situa¸c˜ao pela simples manipula¸c˜ao alg´ebrica das express˜oes envolvidas. Substituindo-se a equa¸c˜ao (3.34) em (3.45), temos:

ˆ

̺ =−̺sgn¯ (bm)sgn(¯uz)

=−̺sgn¯ (bm)sgn (−c1z−d1z−ξ2−wTθˆ+ ˙yr)z

=−̺sgn¯ (bm)sgn(−c1z2−d1z2−ξ2z−wTθzˆ + ˙yrz)

=−̺sgn¯ (bm)sgn(−c1z2−d1z2−ξ2z−w1θˆ1z− · · · −w2nθˆ2nz+ ˙yrz).

(3.49)

Em seguida, substituindo-se (3.44) na equa¸c˜ao acima, ˆ

̺ =−̺sgn¯ (bm)sgn

−c1z2−d1z2−ξ2z−θ¯1sgn(w1z)w1z− · · · −θ¯2nsgn(w2nz)w2nz+ ˙yrz

=−̺sgn¯ (bm)sgn(−c1z2−d1z2−ξ2z−θ¯1|w1z| − · · · −θ¯2n|w2nz|+ ˙yrz).

(3.50)

3.4

Resumo dos Controladores

(52)

Tabela 3.2: Resumo dos controladores adaptativos backstepping e VS-ABC para sistemas com grau relativo unit´ario.

Equa¸c˜oes Comuns

Erro de Sa´ıda:

z = y−yr

Sinal de Controle:

u = ˆ̺u¯ ¯

u = −c1z−d1z−ξ2−wTθˆ+ ˙yr

Vetor Regressor:

wT = [w

1· · ·w2n]

=

υm,2,· · · , υ0,2,Ξ(2)−yeT1

Filtros K: ver tabela 3.1

Controlador Adaptativo Backstepping

Leis Adaptativas: ˙ˆ

θ = Γwz

˙ˆ

̺ = −γsgn(bm)¯uz

VS-ABC Leis Chaveadas:

ˆ

θi = ¯θisgn(wiz), θ¯i > θi

ˆ

̺ = −̺sgn¯ (bm)sgn(¯uz), ̺ >¯

1

(53)

3.5

Resultados de Simula¸

ao

Nesta se¸c˜ao, simula¸c˜oes para uma planta inst´avel de segunda ordem com grau rela-tivo unit´ario ser˜ao apresentadas, al´em de testes de robustez na presen¸ca de incertezas param´etricas e dist´urbios. Considere o sistema descrito por

y(s) = s+ 1

s23s+ 2u(s), (3.51)

e um modelo de referˆencia por

yr(s) =

s+ 1

s2+ 4s+ 4r(s). (3.52)

Os filtros K foram implementados como descritos na Tabela 3.1 ˙

η = A0η+e2y

˙

λ = A0λ+e2u

(3.53)

Ξ = −[A0η, η]

ξ = −A2 0η

υ1 = A0λ

υ0 = λ

ΩT = [υ

1, υ0, Ξ],

(3.54)

onde a matriz

A0 =

⎡ ⎣

−k1 1

−k2 0

⎦, (3.55)

´eHurwitz, devido a escolha do vetor

k= [k1 k2]T = [2 1]T. (3.56)

O comportamento do sistema na ausˆencia de incertezas param´etricas e dist´urbios ´e apresentado nas Figuras 3.1(a) e 3.1(b), respectivamente, para o controlador adaptativo

backstepping e para o VS-ABC. Os ganhos adaptativos utilizados no primeiro caso foram

Γ = ⎡ ⎣

100 0 0 100

(54)

e as constantes auxiliares, c1 = d1 = 18. No segundo, as amplitudes dos rel´es foram

¯

θ1 = 1.5, ¯θ2 = 1.5, ¯θ3 = 3.5, e ¯θ4 = 2.5, enquanto as constantes auxiliares, c1 =d1 = 18.

Nas duas situa¸c˜oes, o sinal de entrada para o modelo de referˆencia foir(t) = 1, a condi¸c˜ao inicial da planta, x1(0) = 0.15, e demais condi¸c˜oes iniciais nulas. Os sinais de controle

s˜ao apresentados nas Figuras 3.2(a) and 3.2(b). Observa-se que o VS-ABC apresentou um melhor transit´orio, quando comparado ao controlador adaptativobackstepping.

(55)

0 2 4 6 8 10 0

0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Tempo (Segundos)

Saída

(a)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35

Tempo (Segundos)

Saída

(b)

Figura 3.1: Sa´ıda do sistema e do modelo de referˆencia para o controlador adaptativobackstepping (a) e para o VS-ABC (b) na ausˆencia de incertezas param´etricas e dist´urbios - grau relativo unit´ario.

0 2 4 6 8 10

−3 −2.5 −2 −1.5 −1 −0.5 0 0.5 1

Tempo (Segundos)

Sinal de Controle

(a)

0 2 4 6 8 10

−6 −4 −2 0 2 4 6

Tempo (Segundos)

Sinal de Controle

(b)

(56)

0 5 10 15 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Tempo (Segundos) Saída (a)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 Tempo (Segundos) Saída (b)

Figura 3.3: Sa´ıda do sistema e do modelo de referˆencia para o controlador adaptativobackstepping (a) e para o VS-ABC (b) na presen¸ca de uma perturba¸c˜ao aditiva (d= 2) e uma varia¸c˜ao de 20% nos valores nominais dos seus parˆametros - grau relativo unit´ario.

0 5 10 15 20

−3 −2 −1 0 1 2 3 Tempo (Segundos)

Sinal de Controle

(a)

0 5 10 15 20

−6 −4 −2 0 2 4 6 8 Tempo (Segundos)

Sinal de Controle

(b)

(57)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 −1

−0.8 −0.6 −0.4 −0.2 0 0.2 0.4

Tempo (Segundos)

Parâmetros

ˆ

θ4 ˆ

θ2

ˆ

θ3

ˆ

θ1

(a)

0 2 4 6 8 10

−0.4 −0.3 −0.2 −0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4

Tempo (Segundos)

Parâmetros

ˆ

θ4

ˆ

θ3

ˆ

θ1

ˆ

θ2

(b)

Imagem

Figura 1.1: Esquema geral do controle backstepping.
Figura 1.2: Superf´ıcie de deslizamento para o sistema de segunda ordem (1.2).
Figura 1.3: Comportamento do sistema no deslizamento ideal (a) e real (b).
Figura 1.4: Campo vetorial no modo deslizante (solu¸c˜ ao de Filippov).
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Referências

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