Subalgebras maximais das álgebras de Lie semisimples, quebra de simetria e o código...

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Quebra de Simetria e

o C´

odigo Gen´

etico

Fernando Martins Antoneli J´

unior

DISSERTAC¸ ˜AO APRESENTADA AO

INSTITUTO DE MATEM ´ATICA E ESTAT´ISTICA DA

UNIVERSIDADE DE S ˜AO PAULO PARA

OBTENC¸ ˜AO DO GRAU DE MESTRE EM

MATEM ´ATICA APLICADA

´

Area de Concentra¸c˜ao:

Matem´

atica Aplicada

Orientador:

Prof. Dr. Michael Forger

Durante a elabora¸c˜ao deste trabalho o autor recebeu apoio financeiro da CAPES

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1998-Quebra de Simetria e

o C´

odigo Gen´

etico

Este exemplar corresponde à reda¸cão final da disserta¸cão devidamente corrigida e defendida por Fernando Martins Antoneli Júnior e aprovada pela comissão julgadora.

S˜ao Paulo, 30 de agosto de 1998.

COMISS ˜AO JULGADORA

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O propósito deste trabalho é dar uma contribui¸cão ao projeto iniciado por Hornos & Hornos que visa explicar as degenerescências do código genético como resultado de sucessivas quebras de simetria ocorridas durante sua evolu¸cão. O modelo matemático usado requer a constru¸cão de todas as representa¸cões irredut´ıveis de dimensão 64 das álgebras de Lie simples (chamadas representa¸cões de códons) e a análise de suas regras de ramifica¸cão sob redu¸cão a subalgebras. A classifica¸cão de todas as possibilidades é baseada na classifica¸cão das subalgebras maximais das álgebras de Lie semisimples obtida por Dynkin. No presente trabalho, os resultados de Dynkin são apresentados em linguagem e nota¸cão moderna e são aplicados ao problema de construir todas as poss´ıveis cadeias de subalgebras maximais das álgebras de Lie simples

B6 = so(13) e D7 = so(14) e de identificar aquelas que reproduzem as degenerescˆencias do

c´odigo gen´etico.

Abstract

The purpose of this work is to make a contribution to the project initiated by Hornos & Hor-nos which aims at explaining the degeneracy of the genetic code as the result of a sequence of symmetry breakings that occurred during its evolution. The mathematical model employed requires the construction of all 64-dimensional irreducible representations of simple Lie alge-bras (called codon representations) and the analysis of their branching rules under reduction to subalgebras. The classification of all possibilities is based on Dynkin’s classification of the maximal subalgebras of semisimple Lie algebras. In the present work, Dynkin’s results are presented in modern language and notation and are applied to the problem of cons-tructing all possible chains of maximal subalgebras of the simple Lie algebras B6 = so(13)

and D7 =so(14) and of identifying all those that reproduce the degeneracies of the genetic

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Ao Prof. Michael Forger, meu orientador, pelo incentivo, confian¸ca, compreensão, paciência. A sua experência como pesquisador e professor tornou poss´ıvel a realiza¸cão desta disserta¸cão e contribuiu para a minha forma¸cão matemática e cultural.

Aos meus pais, Fernando e Eideni, a quem também dedico este trabalho, pelo apoio e compreensão desde que eu decidi seguir a carreia acadêmica.

Ao Daniel, Samuel, Sidnei, Walqu´ıria, Cec´ılia, Irene, Zé, Jorge, e Regina, colegas de pós-gradua¸cão, pela ajuda nas disciplinas e pelas horas de estudo em grupo, mas também pelas festas e momentos de descontra¸cão durante estes dois anos de estudo. Ao Raul, Rodri-go, e L´ılian, colegas do tempo da gradua¸cão que também ingressaram na pós-gradua¸cão, pelo apoio e companheirismo. Ao Klaus, Fátima e Karin, colegas de CPUSP, onde descarregamos na bola de volei as tensões e irrita¸cões do dia a dia. Aos colegas Sandro e Mário, pela ajuda e pelas discussões sobre matemática, f´ısica, filosofia, biologia, etc, que foram muito úteis na hora de escrever esta disserta¸cão.

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Introdu¸c˜ao vii

1 Subalgebras Maximais das ´

Algebras de Lie Semisimples 1

1.1 Conceitos B´asicos . . . 1 1.2 Estrutura das Subalgebras Maximais das

´

Algebras de Lie Semisimples . . . 7 1.3 Algebras de Lie Redutivas e Compactas . . . .´ 15 1.4 Classifica¸c˜ao das Subalgebras Maximais das

´

Algebras de Lie Simples . . . 23 2 Quebra de Simetrias no C´odigo Gen´etico 41

2.1 Modelo Geral de Quebra de Simetrias . . . 41 2.2 Produto Tensorial e Restri¸cão de Representa¸cões . . . 44 2.3 Subalgebras Maximais das Álgebras Simples

para o C´odigo Gen´etico . . . 47 2.4 Cadeias de Subalgebras Semisimples

para o C´odigo Gen´etico . . . 62

A Cadeias Sobreviventes de B6 83

B Cadeias Sobreviventes de D7 93

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1.1 Peso (1,1) da ´algebra excepcional G2. . . 4

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1.1 Numera¸c˜ao das raizes simples no diagrama de Dynkin. . . 5

1.2 Algebras de Lie cl´assicas. . . .´ 25

1.3 Representa¸cões de dimensão m´ınima das álgebras clássicas. . . 26

1.4 Subalgebras maximais redut´ıveis. . . 28

1.5 Subalgebras maximais irredut´ıveis n˜ao simples. . . 31

1.6 Subalgebras irredut´ıveis simples n˜ao maximais. . . 35

1.7 Subalgebras maximais das ´algebras de Lie excepcionais. . . 37

1.8 Espa¸cos sim´etricos riemannianos excepcionais. . . 38

2.1 Representa¸c˜oes de C´odons. . . 48

2.2 Subalgebras maximais de A2 =su(3). . . 51

2.7 Subalgebras maximais de B2 =so(5). . . 53

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2.12 Subalgebras maximais de C3 =sp(6). . . 55

2.13 Subalgebras maximais de D4 =so(8). . . 56

2.17 Subalgebras maximais de G2. . . 58

2.18 Subalgebras maximais de C32=sp(64). . . 59

2.19 Subalgebras maximais de D32=so(64). . . 60

2.20 Subalgebras maximais de A63=su(64). . . 61

2.21 Multipletos que aparecem em B6 eD7. . . 68

2.22 Cadeia 1 de D7. . . 69

2.23 Cadeia 2 de D7. . . 71

2.24 Cadeia 3 de D7. . . 74

2.25 Cadeia 4 de D7. . . 76

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O propósito deste trabalho é dar uma contribui¸cão ao projeto iniciado por Hornos & Hornos [22], onde é proposta uma nova abordagem ao problema da evolu¸cão do código genético. Neste trabalho, que teve grande repercussão na comunidade cient´ıfica internacional [33], [50], os autores apresentam um modelo algébrico que interpreta as degenerescências do código genético como sendo o resultado de um processo evolutivo acompanhado por uma sequência de quebras de simetria e, portanto, intimamente relacionado com a teoria dos grupos. O principal resultado deste artigo é que no contexo dos grupos de Lie compactos existe um grupo, juntamente com uma cadeia descendente de subgrupos fechados conexos, que chega a reproduzir as degenerescências do código genético: este modelo é baseado no grupo simplético Sp(6) e inclui a hipótese de um “congelamento” do processo de quebra no ´

ultimo passo. Mais recentemente, foi proposta uma ligeira generaliza¸c˜ao do esquema, dentro da qual surge uma nova cadeia, desta vez baseada no grupo G2 [14].

Dentro deste contexto, nosso objetivo é abordar a questão da sistematiza¸cão da análise que foi feita em [22]. Há dois aspectos que serão discutidos em cap´ıtulos separados e que a primeira vista são independentes, mas na verdade estão interligados pela aplica¸cão dos resultados ao modelo algébrico para a evolu¸cão do código genético. No primeiro cap´ıtulo, apresentamos os resultados de Dynkin sobre a classifica¸cão das subalgebras semisimples maximais das álgebras de Lie semisimples [10, 11]. Estes resultados participam indiretamente da análise feita em [22], pois esta se baseia nas tabelas de McKay & Patera [35] que, por sua vez, foram constru´ıdas utilizando a classifica¸cão de Dynkin. A inclusão deste assunto se deve à tentativa de compreender melhor a estrutura das subalgebras maximais das álgebras de Lie semisimples, o que se mostrou um desafio devido à dificuldade de leitura dos trabalhos originais de Dynkin. A nossa meta aqui é apresentar os resultados de Dynkin numa linguagem moderna e de modo a facilitar a aplica¸cão em problemas concretos. Não apresentamos as demonstra¸cões de todos os teoremas, pois isto nos levaria muito longe, fugindo assim do objetivo principal do presente trabalho.

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Um destes teoremas, porém, tem um papel fundamental na discussão do segundo cap´ıtulo e por isto damos também a sua demonstra¸cão: ele descreve a estrutura geral das subalgebras maximais das álgebras de Lie semisimples e reduz o problema da sua classifi-ca¸cão ao da classificlassifi-ca¸cão das subalgebras maximais das álgebras de Liesimples. A parte do trabalho de Dynkin que apresentaremos sem demonstra¸cão é justamente a classifica¸cão das subalgebras maximais das álgebras de Lie simples. Por fim, mostraremos que a classifica¸cão das subalgebras semisimples maximais das álgebras de Lie semisimples complexas é essenci-almente equivalente à classifica¸cão dos subgrupos conexos maximais (fechados) dos grupos de Lie compactos. Isto justifica a afirma¸cão de que a análise das degenerescências do código genético no contexto das álgebras de Lie semisimples é, em princ´ıpio, equivalente à análise no contexto dos grupos de Lie compactos.

No segundo cap´ıtulo daremos uma sistematiza¸cão da análise das cadeias descendentes de subalgebras maximais das álgebras de Lie simples que admitem representa¸cões irredut´ıveis de dimensão 64: são estes os candidatos para um modelo algébrico para a evolu¸cão do código genético. Esta análise tem por objetivo identificar aquelas cadeias que reproduzem a dege-nerescência do código genético. Como o número de cadeias cresce muito em fun¸cão do posto da álgebra, torna-se necessário formular critérios [23] para eliminar cadeias que, por algum motivo ou outro, são incapazes de reproduzir a distribui¸cão de multipletos encontrada no código genético, independentemente dos eventuais passos posteriores no processo de quebra de simetrias. Em [23], tais critérios de elimina¸cão prévia – ou seja, de identifica¸cão de cadeias “não-sobreviventes”– foram explicitamente formulados e aplicados às cadeias oriundas das álgebras de Lie simples de posto baixo (menor ou igual a 3) que possuem representa¸cões irredut´ıveis de dimensão 64. No caso das álgebras de Lie simples de posto médio que pos-suem representa¸cões irredut´ıveis de dimensão 64, que são B6 = so(13) e D7 = so(14), essa

simplifica¸cão torna-se ainda mais importante, pois mesmo após a aplica¸cão dos critérios de elimina¸cão estipulados em [23], encontramos várias cadeias sobreviventes, 2 paraB6 e 9 para

D7, que precisam ser analisadas at´e o fim, sendo que uma das cadeias para D7 realmente

fornece as degenerescências do código genético [23]. Os detalhes desta análise podem ser encontrados na disserta¸cão de Mestrado de L. Braggion [3].

Uma das metas principais de presente trabalho é incluir nesta análise uma outra possibilidade de construir subalgebras maximais, possibilidade esta que não foi contemplada em [22] (em [23] ela já foi incorporada ao esquema geral) mas que é leg´ıtima de acordo com o teorema de estrutura das subalgebras maximais das álgebras de Lie semisimples. Com esta extensão, surgem novas cadeias, aumentando mais ainda o número de cadeias a serem anali-sadas e, no caso deD7, aparecem mais 7 cadeias que realmente fornecem as degenerescências

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Desta forma, a implementa¸cão do projeto proposto em [22] no contexto dos grupos de Lie compactos está completa. Porém já foi observado [22] que uma análise da mesma natureza pode ser realizada em outros contextos, tais como: grupos finitos, grupos quânticos e superalgebras de Lie. Algumas destas op¸cões estão atualmente sob investiga¸cão.

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Subalgebras Maximais das

´

Algebras de Lie Semisimples

Neste cap´ıtulo, as álgebras de Lie podem ser reais ou complexas, a menos que se mencione explicitamente o corpo base, e todas as representa¸cões são de dimensão finita.

1.1 Conceitos B´

asicos

Nesta se¸cão daremos algumas defini¸cões elementares que constam da literatura es-pecializada em álgebras de Lie, com o intuito de uniformizar nossa terminologia.

Seh é uma subalgebra de uma álgebra de Lie g e ϕ é um automorfismo de g então

ϕ(h) também é uma subalgebra deg. Portanto, como existe uma infinidade de automorfismos em uma álgebra de Lie, existe uma infinidade de subalgebras isomorfas entre si. É fácil ver que tais subalgebras formam uma classe de equivalência, e por isso basta classificar estas classes de equivalência para que se tenha um classifica¸cão das subalgebras.

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja g uma ´algebra de Lie. Sejamg1 eg2 duas subalgebras deg. Dizemos

queg1 eg2 s˜ao conjugadas emgse existe um automorfismo internoσ degtal queg1 =σ(g2).

´

E fácil mostrar que a conjuga¸cão constitui uma rela¸cão de equivalência no conjunto das subalgebras de uma álgebra de Lie, e as classes de equivalência correspondentes são chamadas classes de conjuga¸cão de subalgebras.

As vezes é comum que uma subalgebra seja definida através de um homomorfis-mo, portanto precisamos formular uma no¸cão análoga de conjuga¸cão quando estamos nesta situa¸cão.

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Defini¸cão 1.1.2. Sejam f e g duas álgebras de Lie. Uma inclusão de f em g é um homo-morfismo injetor ϕ :f→g de álgebras de Lie.

´

E claro que, se ϕ é uma inclusão de f em g, o conjunto ϕ(f) é uma subalgebra de g isomorfa a f. Por outro lado se f⊂ g, então a aplica¸cão identidade de g restrita a f é uma inclusão de f em g.

Defini¸cão 1.1.3. Sejam f e g duas álgebras de Lie e ϕ, ψ : f → g duas inclusões de f em

g. Dizemos que ϕ e ψ s˜ao conjugados se existe um automorfismo interno σ de g tal que

ϕ=σ◦ψ.

A proposi¸cão seguinte é a chave para entender como se relacionam os conceitos de conjuga¸cão de subalgebras e conjuga¸cão de inclusões.

Proposi¸cão 1.1.1. Sejam g e f duas álgebras de Lie. Sejam ϕ, ψ : f→ g duas inclusões e

σ ∈Aut_(g)_{. Ent˜ao} _ϕ_{(f) =} _σ₍_ψ_(f)) _{se e somente se} _ϕ ₌_σ_◦_ψ_◦_τ_{, onde} _τ _∈Aut_(f)_.

Demonstração. E óbvio que´ ϕ = σ◦ψ◦τ implica ϕ(f) = σ(ψ(f)). Reciprocamente,

suponhamos que ϕ(f) =σ(ψ(f)), como ϕ e σ◦ψ s˜ao inclus˜oes temos que:

˜

ϕ:f−→ϕ(f)

σ◦ψ˜:f−→ϕ(f)

s˜ao isomorfismos de ´algebras de Lie. Consideremos (σ◦ψ˜)−1 :ϕ(f)→fo isomorfismo inverso

a σ◦ψ˜; então o isomorfismo de álgebras de Lie dado por τ = (σ◦ψ˜)−1◦ϕ˜:f−→f é um automorfismo de fque satisfaz ϕ =σ◦ψ◦τ.

Corolário 1.1.1. Sejam g e f duas álgebras de Lie e ϕ, ψ : f→g duas inclusões. Se todos os automorfismos de f são internos, as subalgebras ϕ(f) e ψ(f) são conjugadas em g se e somente se as inclusões ϕ e ψ são conjugadas.

Demonstração. Se as inclusõesϕeψsão conjugadas é óbvio que as subalgebrasϕ(f) eψ(f) são conjugadas. Reciprocamente, se ϕ(f) e ψ(f) são subalgebras conjugadas, a proposi¸cão anterior implica que existemτ ∈Aut_{(f) e}_σ_∈Aut_{(g) tais que}_ϕ₌_σ◦ψ◦τ. Mas por hipótese τ é um automorfismo interno def, ou sejaτ = exp ad(Y1)·. . .·exp ad(Yk) comY1, . . . , Yk∈f.

Podemos considerar ˜τ = exp ad(ψ(Y1))·. . .·exp ad(ψ(Yk)), que ´e um automorfismo interno

(25)

Definimos então ς =σ◦˜τ, que também é um automorfismo interno de g. Seja agora X ∈f,

ent˜ao

(ς◦ψ)(X) = (σ◦τ˜◦ψ)(X)

= σ((exp ad(ψ(Y1))·. . .·exp ad(ψ(Yk)))(ψ(X)))

= σ(ψ(exp ad(Y1)·. . .·exp ad(Yk))(X))

= σ((ψ◦τ)(X)) = (σ◦ψ◦τ)(X) = ϕ(X),

ou seja, temos a conjuga¸c˜ao de inclus˜oesϕ =ς◦ψ.

Quando f possuir automorfismos externos devemos determinar as classes de conju-ga¸cão de homomorfismos e depois verificar quais classes são transformadas umas nas outras por automorfismos externos def. Isto esclarece, em princ´ıpio, a rela¸cão entre conjuga¸cão de subalgebras e conjuga¸cão de inclusões.

Há ainda uma no¸cão mais fraca que a de conjuga¸cão que foi introduzida por Dynkin e é muito importante para a formula¸cão do teorema de classifica¸cão das subalgebras maximais das álgebras de Lie excepcionais.

Defini¸c˜ao 1.1.4. Sejam g uma ´algebra de Lie e f1,f2 ⊂g duas subalgebras. Dizemos que f1

e f2 s˜ao linearmente conjugadas ou L-conjugadas se para toda representa¸c˜ao ρ : g → gl(V)

em um espa¸co vetorial complexo V as subalgebras ρ(f1) e ρ(f2) s˜ao conjugadas em gl(V).

Analogamente, se f é uma álgebra de Lie e ϕ1, ϕ2 :f→g são inclusões dizemos que ϕ1 e ϕ2

são linearmente conjugadas ou L-conjugadas se para toda representa¸cão ρ : g → gl(V) em um espa¸co vetorial complexo V as representa¸cões ρ◦ϕ₁ :f→gl(V) e ρ◦ϕ₂ :f→ gl(V) são equivalentes.

AL-conjuga¸cão também é uma rela¸cão de equivalência no conjunto das subalgebras de uma álgebra de Lie. É fácil mostrar que se duas subalgebras são conjugadas então elas são L-conjugadas, porém a rec´ıproca é falsa. O máximo que se pode dizer, em geral, é que toda classe de L-conjuga¸cão é a reunião de certas classes de conjuga¸cão.

Consideremos uma ´algebra de Lie g e fixemos uma subalgebra f ⊂ g. Seja

ρ : g → gl(V) uma representa¸cão de g em um espa¸co vetorial complexo V. Vamos defi-nir a restri¸cão da representa¸cão ρ à subalgebra f pondo

Resg_f(ρ) :f→gl(V).

Claramente Resg_f(ρ) é uma representa¸cão de f em V. Supondo agora que ρ é irredut´ıvel e que Resg_f(ρ) é completamente redut´ıvel definimos a regra de ramifica¸cão de ρ com respeito a f como sendo o conjunto dos pares ordenados de representa¸cões irredut´ıveis e respectivas multiplicidades {(πℓ, cℓ)| ℓ= 1, . . . , n}de f tais que

Resg_f(ρ) =

n

M

ℓ=1

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´

E claro que a regra de ramifica¸cão só depende da representa¸cãoρe da classe deL-conjuga¸cão def.

Introduziremos agora uma nota¸cão que será muito útil para representar regras de ramifica¸cão. Suponhamos que g seja uma álgebra de Lie simples de posto r e fixemos uma subalgebra de Cartan h. Seja ∆ ⊂ h∗ o sistema de raizes de g e Π = {α1, . . . , αr} um

conjunto de raizes simples em ∆. Seja (·,·) um produto escalar em h∗, invariante sob a a¸c˜ao do grupo de WeylW _{de ∆ e normalizado pela condi¸c˜ao}

(α, α) = 2

para toda ra´ız longaα ∈∆: existe um único produto escalar emh∗ com esta normaliza¸cão, chamado produto escalar padrão. Considere a base Π′ ₌_{_λ

1, . . . , λr}de h∗ definida por

(αi, λj) = δij; (1.1)

os elementos desta base chamam-se pesos fundamentais. Para ϑ ∈h∗ qualquer, se escrever-mos

ϑ =

r

X

i=1

piλi,

temos que

pi = (ϑ, αi).

Como as raizes simples são os vértices do diagrama de Dynkin deg e os pesos fundamentais correpondem aos mesmos vértices do diagrama de Dynkin através da fórmula (1.1), podemos então representar um peso graficamente, desenhando o diagrama de Dynkin e rotulando o vértice i com o coeficiente pi. Para isto precisamos fixar uma numera¸cão das raizes simples no diagrama de Dynkin: a tabela 1.1 apresenta uma tal numera¸cão. Assim podemos, por exemplo, escrever o peso λ1+λ2 da álgebra G2 da seguinte forma:

❡< ❡

1 1

Figura 1.1: Peso (1,1) da ´algebra excepcional G2.

Agora, pelo teorema do peso máximo de Cartan, um elemento ϑ ∈ h∗ é o peso máximo de uma representa¸cão irredut´ıvel1 _de _g _{se e somente se os n´}_umeros _pi _{são inteiros}

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Ar (r >1) ❡ ❡ · · · ❡ ❡

α1 α2 αr−1 αr

Br (r >2) ❡ ❡ · · · ❡> ❡

α1 α2 αr−1 αr

Cr (r>3) ❡ ❡ · · · ❡< ❡

α1 α2 αr−1 αr

Dr (r>4) ❡ ❡ ❡

❡ ❡

✟✟✟ ❍❍❍

· · ·

α1 α2 αr−2

αr−1

αr

E6 ❡ ❡ ❡ ❡ ❡

❡

α1 α2 α3 α4 α5

α6

E7 ❡ ❡ ❡ ❡ ❡ ❡

❡

α1 α2 α3 α4 α5 α6

α7

E8 ❡ ❡ ❡ ❡ ❡ ❡ ❡

❡

α1 α2 α3 α4 α5 α6 α7

α8

F4 ❡ ❡ < ❡ ❡

α1 α2 α3 α4

G2 ❡< ❡

α1 α2

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não-negativos: tais elementos ϑ ∈ h∗ são chamados pesos dominantes integrais. Então se

ρ : g → gl(V) é uma representa¸cão irredut´ıvel de g com peso máximo ϑ, denotaremos tal representa¸cão pelar-upla das coordenadas deϑ em rela¸cão à base de pesos fundamentais

ρ ≡ (p1, p2, . . . , pr).

Suponhamos agora que g é semisimples, com decomposi¸cão em ideais simples g = g1 ⊕. . .⊕gk tal que rkgj = rj (j = 1, . . . , k);, então se ρ : g → gl(V) é uma

re-presenta¸c˜ao irredut´ıvel de g, existem representa¸c˜oes irredut´ıveis ρj : gj → gl(Vj) dos ideais

gj (j = 1, . . . , k), ´unicamente determinadas por ρ, tais que

ρ =

k

O

j=1

ρj, V =

k

O

j=1

Vj,

isto ´e, se paraX ∈g escrevemos X =X1+· · ·+Xk com Xj ∈gj, ent˜ao ρ(X) = ρ1(X1)⊗ · · · ⊗ρk(Xk).

Desta forma, as representa¸cõesρj determinam completamente a representa¸cãoρ, e seϑ(j) _são

os respectivos pesos m´aximos das representa¸c˜oes ρj, podemos escrever ρj ≡ (p(1j), . . . , p (j)

rj ) (j = 1, . . . , k), obtendo

ρ ≡ (p(1)₁ , . . . , p(1)_r₁ ; . . . ; p(₁k), . . . , p(_rk_k)).

Finalmente, seρ é uma representa¸cão completamente redut´ıvel, com decomposi¸cão

ρ =

n

M

ℓ=1

cℓπℓ

então cada representa¸cãoπℓse decompõe num produto tensorial de representa¸cões irredu´ıveis dos ideais simples de g conforme

πℓ =

k

O

j=1

(πℓ)(j),

e podemos escrever (πℓ)(j)_≡₍₍_pℓ₎(j)

1 , . . . ,(pℓ) (j)

rj ) (j = 1, . . . , k), obtendo

πℓ ≡ ((pℓ)(1)₁ , . . . ,(pℓ)(1)_r₁ ; . . . ; (pℓ)(₁k), . . . ,(pℓ)(_rk_k)).

Juntando tudo podemos escrever:

ρ ≡     

c1 ((p1)(1)1 , . . . ,(p1)(1)r1 ; . . . ; (p1) (k)

1 , . . . ,(p1)(rkk)) ...

cn ((pn)(1)₁ , . . . ,(pn)(1)r1 ; . . . ; (pn) (k)

1 , . . . ,(pn) (k)

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Portanto, se{(πℓ, cℓ)|ℓ= 1, . . . , n}é a regra de ramifica¸cão de uma representa¸cão irredut´ıvel

de uma álgebra simplesg com peso máximo (p1, . . . , pr) em rela¸cão a uma subalgebra

semi-simples f, podemos indicar esta regra de ramifica¸c˜ao atrav´es de

g f

(p1, . . . , pr) c1 ((p1)(1)1 , . . . ,(p1)(1)r1 ; . . . ; (p1) (k)

1 , . . . ,(p1)(rkk)) ...

cn((pn)(1)₁ , . . . ,(pn)(1)r1 ; . . . ; (pn) (k)

1 , . . . ,(pn) (k)

rk )

A nota¸cão parece pesada, mas quando escrevemos os pesos das representa¸cões explicitamente, os ´ındices desaparecem e a nota¸cão fica muito clara.

Exemplo. Considere g= sp(6,C_{) e} _ρ _{a representa¸cão com peso máximo (1}_,₁_,_{0). Então a} regra de ramifica¸cão deρ com respeito à subalgebra sp(4,C₎_⊕_sl(2_,C_{) é}

sp(6,C₎ _sp(4_,C₎_⊕_sl(2_,C₎ (1,1,0) (2,0; 1)

(1,1; 0) (1,0; 1) (0,1; 1) (1,0; 0) (0,0; 1)

Finalmente, há um caso especial que merece um comentário: o da álgebra sl(2,C_), que corresponde ao tipo A1 na nota¸cão de Cartan. Esta álgebra tem posto 1 e portanto

seus pesos máximos são simplesmente números inteiros não-negativos. Como sl(2,C_{) tem} uma única representa¸cão irredut´ıvel em cada dimensão, o conjunto dos pesos máximos é o conjunto dos números naturais, e a dimensão da representa¸cão de pesoné simplesmenten+1. Mas existe uma conven¸cão, usada principalmente pelos f´ısicos, que consiste em indexar as representa¸cões irredut´ıveis desl(2,C_{) por n´}_{umeros semi-inteiros não-negativos: este n´}_umero é chamado de spin da representa¸cão e é igual a n

2; isto é, a dimensão da representa¸cão

irredut´ıvel de spins desl(2,C_{) é 2}_s_{+ 1 e seu peso máximo é 2}_s ₍_s_{= 0}_,1

2,1, . . .).

1.2 Estrutura das Subalgebras Maximais das

´

Algebras de Lie Semisimples

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Primeiramente daremos uma defini¸cão de subalgebra maximal, que é a mais conve-niente para as demonstra¸cões que faremos.

Defini¸cão 1.2.1. Seja guma álgebra de Lie. Uma subalgebrah⊂gé dita maximal seh6=g

e para toda subalgebra f tal que h⊂f⊂g temos que f=h ou f=g.

Para provar o teorema principal precisaremos de um lema que foi provado pela pri-meira vez por Morozov1 _{e depois reproduzido por Golubitsky [16], que ´e fundamental para}

a demonstra¸c˜ao que daremos para o teorema de Dynkin.

Lema 1.2.1 (Morozov-Golubitsky). Sejamguma álgebra de Lie semisimples e não sim-ples e h uma subalgebra maximal de g tal que h não contém nenhum ideal não-trivial de g. Então existe uma álgebra de Lie simplesg0 tal queg∼=g0⊕g0 eh∼=g0 com a inclusão diagonal:

h={(X, X) | X ∈g0}.

Demonstração. Seja g0 um ideal próprio não-trivial de g e g′0 o ideal complementar.

(Isto significa que g0 ´e uma soma direta qualquer dos ideais simples de g e g′0 ´e a soma

direta dos demais, ambos n˜ao-triviais.) Ent˜ao h 6⊂ g0, h 6⊂ g′0 e isto implica que h+g0 e

h+g′₀ s˜ao subalgebras deg que contˆemh no sentido estrito, h$h+g0 eh$h+g′0; portanto,

pela maximalidade de h, g = h +g0 e g = h+g′0. Por outro lado, [h∩g0,h] ⊂ h∩g0 e

[h∩g0,g′0] = {0}; portanto, h∩g0 ´e um ideal em g, obviamente contido em h, o que pela

hip´otese implica h∩g0 ={0}e, finalmente,

g = h⊕g0.

Como g0 era um ideal pr´oprio n˜ao-trivial de g qualquer, isto significa que todos os ideais

próprios não-triviais de g têm a mesma dimensão. Isso é poss´ıvel apenas no caso em que g é a soma direta de exatamente dois ideais simples g₁ eg₂ da mesma dimensão,

g = g₁⊕g₂,

tal que

g = h⊕g1 = h⊕g2.

O pr´oximo passo consiste em provar que g1∼=g2, n˜ao apenas como espa¸cos vetoriais mas

também como álgebras de Lie. Parai= 1,2, introduzimos as proje¸cões

πi : g=g1⊕g2 −→ gi

X 7→ Xi

1_{Em sua tese de doutorado} _{On Nonsemisimple Maximal Subgroups of Simple Groups}_{, apresentada em}

(31)

degsobreg_i que são homomorfismos de álgebras de Lie devido ao fato de que osg_i são ideais em g. Para construir isomorfismos expl´ıcitos P12 : g1 → g2 e P21 : g2 → g1, observamos

que a restri¸cão de πi à subalgebra h de g é sobrejetora e injetora. De fato, se tivessimos

πi(h)$gi, existiria uma subalgebra maximal ˜gi degi tal queπi(h)⊂˜gi, e ent˜ao a subalgebra

˜

g= ˜g1⊕g2 (parai= 1) ou ˜g=g1⊕˜g2 (parai= 2) claramente conteriahe seria diferente de

g, o que contradiria a maximalidade de h, mostrando assim que a proje¸cão πi é sobrejetora. Por outro lado, se X ∈ h satisfaz πi(X) = 0, então X ∈ h ∩g2 = {0} (para i = 1) ou

X ∈ h ∩g1 = {0} (para i = 2), mostrando assim que a proje¸c˜ao πi ´e injetora. Logo,

g1 ∼= h ∼= g2 eg ∼= g1⊕g2 ∼= h⊕h.

O proximo teorema, que se encontra em Dynkin [10, pag. 235, teo. 15.1], ´e o principal teorema desta se¸c˜ao.

Teorema 1.2.1 (Dynkin [10]). Seja guma ´algebra de Lie semisimples e g=g1⊕. . .⊕gr

sua decomposi¸c˜ao em soma direta de ideais simples. As subalgebras maximais eg de g s˜ao de dois tipos:

1. Tipo simples:

eg=g1⊕. . .⊕egi⊕. . .⊕gr (16i6r), ondeegi ´e subalgebra maximal de gi;

2. Tipo diagonal:

eg = g₁ ⊕. . .⊕g_i−₁ ⊕g_i₊₁ ⊕. . .⊕g_j−₁ ⊕g_j₊₁ ⊕. . .⊕g_r ⊕g_ij (1 6 i < j 6 r), onde gi e gj s˜ao ideais simples isomorfos de g, Pij : gi → gj ´e algum isomorfismo e

gij ={(X, PijX)∈gi⊕gj |X ∈gi}.

Observa¸c˜ao. A existˆencia de subalgebras maximais do tipo diagonal requer que pelo menos dois dos ideais simples g1, . . . ,gr de g sejam iguais (a menos de um isomorfismo).

Demonstração. Pela decomposi¸cão em soma direta, todo elementoX ∈gpode ser escrito da seguinte forma:

X = X1+. . .+Xr com Xi ∈gi.

Além disso, como esta representa¸cão é única, cadaXié determinado porX. Assim definimos as proje¸cões sobre cada fator gi por

πi : g −→ gi

X 7→ Xi

que são homomorfismos de álgebras de Lie devido ao fato de que os gi são ideais emg.

Seja ent˜aoh uma subalgebra maximal de g.

Consideramos primeiro o caso em que πi(h)$gi para ao menos um i. Seja egi uma

(32)

claramente contém h e é diferente de g, mas como h é maximal, temos que h =eg. Agora consideraremos o caso em que

πk(h) = gk para k = 1, . . . , r.

Mostraremos primeiro que para k= 1,2, . . . , r,gk∩h´e um ideal emgk. De fato, dadosY ∈

gk∩heZ ∈gk, podemos escolherX ∈htal queπk(X) =Z e, escrevendoX =X1+. . .+Xr,

temosXk =Z e [Y, Xl]∈gk∩gl ={0}sel 6=k; logo [Y, X] = [Y, X1+. . .+Xr] = [Y, Xk] =

[Y, Z] e portanto [Y, Z] = [Y, X]∈gk∩h. Como gk ´e simples, devemos ter

gk∩h = gk, i.e. gk ⊂h, ou gk∩h = {0}.

Em geral, sejam

g′ = M

gk∩h={0}

gk e g′′ =

M

gk⊂h gk.

Obviamente, temos g′′ ⊂ h e, portanto, pondo h′ = g′ ∩h, podemos escrever h = h′ ⊕g′′. Observamos também que o conjunto de ´ındices k para os quais gk ∩h = {0} não é vazio

(poish6=g) e cont´em pelo menos dois elementos (se tivessemos gk∩h ={0}para um ´unico

´ındice k, poderiamos concluir que g1⊕. . .⊕gk−1⊕gk+1⊕. . .⊕gr ⊂h, e como πk(h) =gk,

teriamos também quegk ⊂h, o que é absurdo). Portanto, a álgebra de Lie g′ é semisimples

e não é simples, e h′ é uma subálgebra maximal de g′ que não contém nenhum ideal próprio deg′. Aplica¸cão do lema 1.2.1 termina a demonstra¸cão.

Este teorema fornece um procedimento para se determinar todas as subalgebras ma-ximais semisimples de uma álgebra de Lie semisimples, desde que se tenha uma classifica¸cão de todas as subalgebras maximais semisimples das álgebras de Lie simples.

Agora vamos determinar as classes de conjuga¸c˜ao destas subalgebras. Para tanto, precisamos do seguinte lema.

Lema 1.2.2. Seja g uma ´algebra de Lie semisimples e g =g1⊕. . .⊕gr sua decomposi¸c˜ao

em soma direta de ideais simples. Ent˜ao

Int_{(g) =} Int_(g₁₎_×_{. . .}_×Int_(g_r₎

Demonstração. Seja σ um automorfismo interno de g; estudaremos primeiro o caso em que σ é da forma exp ad(X) para X ∈g. Vamos escrever X =X1+. . .+Xr com Xi ∈gi,

ent˜ao ´e claro que ad(Xi) ad(Xj) = ad(Xj) ad(Xi), para i, j quaisquer. Portanto para todo

X ∈g temos:

exp ad(X) = exp ad(X1+. . .+Xr)

= exp(ad(X1) +. . .+ ad(Xr))

(33)

Escrevendo Y =Y1+· · ·+Yr com Yj ∈gj, temos exp ad(Xi)(Yj) =Yj parai6=j e portanto

exp ad(Xi)(Y) = exp ad(Xi)(Y1+. . .+Yr)

= exp ad(Xi)(Y1) +. . .+ exp ad(Xi)(Yr)

= Y1+. . .+Yi−1+ exp ad(Xi)(Yi) +Yi+1+. . .+Yr.

Da´ı,

exp ad(X)(Y) =

r

Y

i=1

exp ad(Xi)(Yi).

Isto mostra que para todoi= 1, . . . , r, σ(gi)⊂gi eσ restrito a gi coincide com exp ad(Xi).

Agora, escrevendo σi = exp ad(Xi), que ´e um automorfismo interno de gi, temos que σ = σ1·. . .·σr com σiσj =σjσi se i6=j.

Passando ao caso geral, sejaσ ∈ Int_{(g) qualquer, ent˜ao} _σ ₌_σ₁ _·_{. . .}_·_σk_{, onde cada}

σi ´e da forma exp ad(X) com X ∈ g. Ent˜ao podemos escrever cada σi como produto de

automorfismos internos de cada ideal de g, como automorfismos que correspondem a ideais diferentes comutam, podemos escrever o automorfismo interno σ deg como um produto de automorfismos internos de seus ideais g1, . . . ,gr. Com isso, mostramos que

Int_{(g) =} Int_(g₁₎_·_{. . .}_·Int_(g_r₎_. Para mostrar que o produto ´e direto precisamos provar que

Int_(g_i₎_∩₍Int_(g_i₊₁₎_·_{. . .}_·Int_(g_r_{)) =} _{1}

para todo i= 1, . . . , r. Mas isto decorre do fato de que o centro do grupo de automorfismos internos de uma ´algebra de Lie semisimples ´e trivial [19, pag.129, cor. 5.3].

Agora podemos demonstrar o teorema de conjuga¸cão, que reduz o problema de de-cidir se duas subalgebras maximais de uma álgebra de Lie semisimples g são conjugadas ao caso em que gé simples. Este teorema aparece junto com o teorema 1.2.1 na versão original de Dynkin [10].

Teorema 1.2.2 (Dynkin [10]). Seja guma ´algebra de Lie semisimples e g=g1⊕ · · · ⊕gr

sua decomposi¸c˜ao em soma direta de ideais simples. Seja h uma subalgebra maximal de g. Se h for do tipo simples vamos escrever h=h(i,egi) com

h(i,egi) = r

M

k=1

k6=i

(34)

com eg_i subalgebra maximal de g_i e se h for do tipo diagonal vamos escrever h = h(i, j, Pij)

com

h(i, j, Pij) =

r

M

k=1

k6=i,j

gk⊕gij (1.3)

onde i6=j e gij ={(Xi, Pij(Xi)) | Xi ∈gi} para algum isomorfismo Pij :gi →gj. Ent˜ao:

1. A condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que h(i1,egi1) e h(i2,egi2) sejam conjugadas em

g ´e que i1 =i2 e que egi1 e egi2 sejam conjugadas em gi1 =gi2.

2. A condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para queh(i1, j1, Pi1j1)e h(i2, j2, Pi2j2)sejam

conju-gadas em g ´e que i1 =i2, j1 =j2 e que Pi1j1 seja levado em Pi2j2 por composi¸c˜ao com

automorfismos internos de gi1 =gi2 e de gj1 =gj2.

Al´em disto h(i,egi) e h(i, j, Pij) nunca s˜ao conjugadas.

Demonstração. Observe que o lema 1.2.2 mostra que os automorfismos internos de g sempre preservam a decomposi¸cão direta degem ideais simples: automorfismos que induzem permuta¸cões entre ideais simples isomorfos são necessariamente externos. Além disto, como h(j, i, Pji) = h(i, j, Pij) com Pij =Pji−1 podemos supor desde já que i < j.

Mostraremos primeiro a afirma¸c˜ao 1. Obviamente, se i1 = i2 e se egi1 e egi2 s˜ao

conjugadas em gi1 = gi2, basta extender o automorfismo interno de gi1 = gi2 que leva

e

gi1 para egi2 pela identidade nos demais ideais simples de g para obter um automorfismo

interno de g que leva h(i1,egi1) para h(i2,egi2). Reciprocamente, suponhamos que h(i1,egi1)

e h(i2,egi2) s˜ao conjugadas em g, isto ´e, existe um automorfismo interno σ de g tal que

σ(h(i1,egi1)) =h(i1,egi2). Pelo lema 1.2.2 podemos escreverσ =σ1·. . .·σr com automorfismos

internos σℓ degℓ (ℓ= 1, . . . , r) e usando a decomposi¸c˜ao (1.2), obtemos

h(i2,egi2) =

r

M

k=1

k6=i2

gk⊕egi2

e por outro lado

h(i2,egi2) = σ(h(i1,egi1))

= (σ1·. . .·σr)(h(i1,egi1))

=

r

M

k=1

k6=i₁

(35)

o que, pela unicidade da decomposi¸c˜ao (1.2) e pelo fato de que eg_i₁$g_i₁ e eg_i₂$g_i₂, implica que i1 =i2 e σi1(egi1) =egi2.

Antes de mostrar a afirma¸c˜ao 2 faremos algumas observa¸c˜oes. Suponhamos que gi

e gj s˜ao dois ideais isomorfos de g e, dado um isomorfismo Pij : gi → gj, consideremos a

aplica¸c˜ao ψij :g→g definida por

ψij(X′+Xi+Xj) = X′+ (Pij)−1(Xj) +Pij(Xi)

ondeX =X′₊_Xi₊_Xj_{é a decomposi¸cão direta de}_X _∈_g_{induzida pela decomposi¸cão direta}

g=g′⊕gi⊕gj, com

g′ =

r

M

k=1

k6=i,j gk.

´

E claro que ψij ´e um automorfismo de g e que a subalgebra h(i, j, Pij) =g′ ⊕gij com gij =

{(Xi, Pij(Xi))|Xi ∈gi}´e a subalgebra dos elementos fixos porψij. Como este automorfismo

permuta dois ideais isomorfos o lema 1.2.2 implica que ele ´e um automorfismo externo deg. Agora suponhamos que o isomorfismo P_ij(2) :gi →gj definindo g(2)ij ´e obtido do isomorfismo P_ij(1) : gi → gj definindo g(1)ij pondo P

(2)

ij = σj◦P

(1)

ij ◦σ−i 1 com automorfismos internos σi de

gi e σj degj, ent˜ao se definimos o automorfismo internoσ deg pondoσ = 1⊕σi⊕σj temos

que ψ(2)_ij = σ◦ψ_ij(1)◦σ−1. Por outro lado, se σ ´e um automorfismo interno de g tal que ψ_ij(2)

e ψ_ij(1) sejam conjugados, isto é, ψ_ij(2) =σ◦ψ_ij(1)◦σ−1 então pelo lema 1.2.2 podemos escrever σ = σ1·. . .·σr com automorfismos internos σℓ de gℓ (ℓ = 1, . . . , r) e portanto temos que P_ij(2) = σj◦P_ij(1)◦σ_i−1. Ou seja, os isomorfismos P_ij(2) e P_ij(1) são levados um no outro por

automorfismos internos de gi e de gj se e somente se os automorfismos ψij(2) e ψ

(1)

ij de g s˜ao

conjugados em Aut_g _{por um automorfismo interno de} _g.

Agora passaremos a demonstra¸c˜ao da afirma¸c˜ao do item 2. Obviamente, sei1 =i=

i2, j1 = j = j2 e se o isomorfismo Pij(2) : gi → gj definindo g(2)ij ´e obtido do isomorfismo P_ij(1) : gi → gj definindo g(1)ij pondo P

(2)

ij = σj◦P

(1)

ij ◦σ−i 1 com automorfismos internos σi de

gi e σj de gj, ent˜ao pelas observa¸c˜oes acima podemos construir um automorfismo interno σ

deg tal que ψ(2)_ij =σ◦ψ_ij(1)◦σ−1 e obtemos

X ∈h(i, j, P_ij(1)) ⇐⇒ ψ_ij(1)(X) =X

⇐⇒ ψ_ij(2)(σ(X)) = σ(ψ_ij(1)(X)) =σ(X) ⇐⇒ σ(X)∈h(i, j, P_ij(2))

mostrando que σ leva h(i, j, P_ij(1)) para h(i, j, P_ij(2)). Reciprocamente, suponhamos que h(i1, j1, Pi1j1) e h(i2, j2, Pi2j2) s˜ao conjugadas em g, isto ´e, existe um automorfismo

(36)

decomposi¸c˜ao σ =σ1 ·. . .·σr com automorfismos internos σℓ de gℓ (ℓ = 1, . . . , r) e usando

a decomposi¸c˜ao (1.3), obtemos

h(i2, j2, Pi2j2) =

r

M

k=1

k6=i₂,j₂

gk⊕gi2j2,

e por outro lado

h(i2, j2, Pi2j2) = σ(h(i1, j1, Pi1j1))

= (σ1 ·. . .·σr)(h(i1, j1, Pi1j1))

=

r

M

k=1

k6=i1,j1

gk⊕(σi1 ⊕σj1)(gi1j1)

o que, pela unicidade da decomposi¸c˜ao (1.2) e pelo fato de quei1 < j1 ei2 < j2, implica que

i1 =i=i2 e j1 =j =j2. Portanto, podemos escrever Pi1j1 =P (1)

ij e Pi2j2 =P (2)

ij e obtemos ψ(1)_ij (X) =X ⇐⇒ X ∈h(i, j, P_ij(1))

⇐⇒ σ(X)∈h(i, j, P_ij(2)) ⇐⇒ ψ(2)_ij (σ(X)) = σ(X) ⇐⇒ (σ−1_◦_ψ(2)

ij ◦σ)(X) =X,

isto ´e, ψ(2)_ij = σ◦ψ_ij(1)◦σ−1. Pelas observa¸c˜oes acima, podemos concluir que P_ij(2) = σj◦P_ij(1)◦σ_i−1 com σi automorfismo interno de gi e σj automorfismo interno de gj.

Pro-vamos ent˜ao que h(i1, j1, Pi1j1) e h(i2, j2, Pi2j2) s˜ao conjugadas em g se e somente se ψ (2)

ij e ψ_ij(1) s˜ao levados um no outro por automorfismos internos deg, o que ´e equivalente aP_ij(2) ser levado emP_ij(1) por automorfismos internos de gi e de gj.

Este teorema juntamente com o teorema 1.2.1 reduz o problema de classifica¸cão das subalgebras maximais das álgebras de Lie semisimples a menos de conjuga¸cão ao problema de classifica¸cão das subalgebras maximais das álgebras de Liesimples a menos de conjuga¸cão: este problema será discutido na próxima se¸cão.

Sejag uma ´algebra de Lie eτ um automorfismo qualquer de g. Defina a subalgebra gτ deg⊕g pondo

gτ = {(X, τ(X)) |X ∈g}.

e extenda o automorfismoτ deg para um automorfismo τ′ _de _g_⊕_g _pondo

τ′ _: _g_⊕_g _−→ _g_⊕_g

(37)

de modo que g_τ ´e a subalgebra dos pontos fixos de τ′_{. Por exemplo, se} _τ _{= 1, ent˜ao} _τ′ _{= 1}

também, e g1 é a inclusão diagonal de g em g⊕g. Dizemos que dois automorfismos τ1 e

τ2 de uma ´algebra de Lie g s˜ao conjugados se existe um automorfismo interno σ de g tal

que τ1 = στ2σ−1. É claro então que gτ1 e gτ2 são conjugadas em g⊕g se e somente se

τ1 e τ2 s˜ao conjugados. Como Int(g) ´e um subgrupo normal do grupo Aut(g), o conjunto

das classes de conjuga¸cão de automorfismos de uma álgebra de Lie g é o grupo quociente Aut_(g)_/Int_{(g), chamado}_{grupo de automorfismos externos} _de_{g. No caso em que a álgebra}_g só possui automorfismos internos, todas as inclusões diagonais deg emg⊕g são conjugadas à inclusão canônica dada por τ = 1. Por outro lado se g possui automorfismos externos o número de classes de conjuga¸cão de inclusões será igual ao número de classes de conjuga¸cão de automorfismos deg. Quando a álgebragé semisimples, o grupoInt_{(g) é igual à componente} conexa de 1 do grupoAut_{(g) e portanto a ordem do grupo de automorfismos externos é igual} ao número de componentes conexas do grupoAut_{(g). ´}_{E um fato bem conhecido que quando} gé semisimples seu grupo de autmorfismos externosAut_(g)_/Int_{(g) é isomorfo ao grupo dos} automorfismos de seu diagrama de Dynkin (ver [15, pag. 498]), isto é, se Π é um conjunto de raizes simples degentão Aut_{(Π) é o grupo de permuta¸cões de Π que preservam o ângulo} entre duas raizes simples quaisquer e também preservam o comprimento de todas as raizes simples. Estas observa¸cões juntamente com o teorema 1.2.2 fornecem o seguinte

Corol´ario 1.2.1. Seja g uma ´algebra de Lie semisimples e g =g1⊕ · · · ⊕gr sua

decompo-si¸cão em soma direta de ideais simples. Então o número de classes de conjuga¸cão de uma subalgebra maximal do tipo diagonal h, isto é

h =

r

M

k=1

k6=i,j

gk⊕gij

onde i6=j e gij ={(Xi, Pij(Xi)) | Xi ∈gi} para algum isomorfismo Pij :gi →gj, ´e igual a

ordem do grupo de automorfismos externos da ´algebra de Lie simples gij∼=gi∼=gj.

No próximo cap´ıtulo, usaremos os teoremas desta se¸cão para analisar o que acontece quando restringimos uma representa¸cão irredut´ıvel de uma álgebra de Lie semisimples g a uma de suas subalgebras maximais, obtendo assim as regras de ramifica¸cão necessárias para implementa¸cão do modelo de quebra de simetrias para o código genético.

1.3 Algebras de Lie Redutivas e Compactas

´

(38)

Defini¸cão 1.3.1. Uma álgebra de Liegreal ou complexa é chamada redutiva se o seu radical

Radg ´e igual ao seu centro z(g).

Pelo teorema de Levi-Malcev [24, pags. 91,92] sabemos que toda álgebra de Lie g admite uma decomposi¸cão na soma direta (como espa¸co vetorial) de seu radical Radg(que é o ideal solúvel máximo deg) e uma subalgebra semisimples maximal gss, e esta decomposi¸cão

é única no sentido de que duas subalgebras maximais semisimples que realizam uma tal decomposi¸cão são conjugadas em g. Agora Radg = z(g) implica que gss também é um

ideal em g e que g é a soma direta (como álgebra de Lie) de Radg e gss. É claro que a

álgebra derivada de g denotada por [g,g] é igual a gss. Logo, uma álgebra de Lie redutiva

se decompõe de forma única na soma direta de uma álgebra abeliana (seu centro) e uma álgebra semisimples (sua subalgebra derivada). Observe que qualquer subespa¸co do centro de uma álgebra de Lie g é um ideal em g, mostrando que uma álgebra redutiva admite uma decomposi¸cão em soma direta (não necessáriamente única) de ideais simples, sendo que alguns destes ideais são abelianos unidimensionais. Portanto, álgebras de Lie abelianas e álgebras de Lie semisimples são exemplos de álgebras de Lie redutivas.

A seguinte proposi¸cão dá outra caracteriza¸cão de álgebras redutivas que será útil para estabelecermos a rela¸cão destas com as álgebras compactas.

Proposi¸cão 1.3.1 (Knapp [28]). Seja g uma álgebra de Lie real ou complexa. São equi-valentes:

(i) g ´e redutiva;

(ii) Para todo ideal a em g existe um ideal a′ complementar a a em g, isto ´e, tal que

g=a⊕a′. Demonstrac¸˜ao.

(i)⇒(ii) Suponhamos queg´e redutiva, e sejaaum ideal qualquer emg; provaremos primeiro que a=z(a)⊕[a,a] e al´em disso que

z(a) = a∩z(g) e

[a,a] = a∩[g,g].

Claramente [a,a] ⊂ a∩[g,g] e a∩z(g) ⊂ z(a). Para mostrar a igualdade, decompomos a ´algebra semisimples [g,g] = gss em soma direta de ideais simples, [g,g] = g1 ⊕. . .⊕gk, e

usamos o fato de que qualquer ideal de uma álgebra semisimples é soma direta de certos dos seus ideais simples. Por exemplo, [a,a] ea∩[g,g] são ideais de [g,g]; portanto, [a,a]$a∩[g,g] implicaria que

(39)

onde g₁, . . . ,g_j seriam certos ideais simples de [g,g]. Mas se X, Y ∈ g_ℓ para algum ℓ

(16ℓ6j), então [X, Y]∈[a,a]∩gℓ ={0}, isto é, [X, Y] = 0 para todo X, Y ∈gℓ, o que é

absurdo, pois gℓ ´e ideal simples. Logo

[a,a] = a∩[g,g].

De forma an´aloga, para mostrar que z(a)⊂ z(g), suponha que A ∈z(a), e seja gi um ideal

simples qualquer de [g,g]. Se gi ⊂ [a,a] ent˜ao para Xi ∈gi, Xi ∈a e portanto [A, Xi] = 0.

Se g_i 6⊂ [a,a], g_i∩[a,a] = {0} e, para Xi ∈ gi, [A, Xi] ∈ gi ∩a∩[g,g] e, pela rela¸c˜ao que

acabamos de demonstrar, [A, Xi]∈gi∩[a,a] ={0}, isto ´e, [A, Xi] = 0. Portanto, [A, X] = 0

para X ∈ [g,g], e como é óbvio que [A, X] = 0 para X ∈ z(g), conclu´ımos que [A, X] = 0 para X ∈g, isto é,A ∈z(g). Logo

z(a) = a∩z(g).

Isso posto, podemos ap´os uma permuta¸c˜ao dos ´ındices escrever [a,a] = a∩[g,g] = g1⊕. . .⊕gℓ

com ℓ 6 k, isto ´e, temos apenas duas possibilidades: gi ⊂ [a,a] se i 6 ℓ e [a,a]∩gi ={0}

se i > ℓ. Agora, sejaA ∈a, e escrevemos A =A0 +A1+. . .+Ak com A0 ∈z(g) e Ai ∈gi

(16i6k). Seja g_j um ideal simples qualquer de [g,g]. Ent˜ao para Xj ∈gj,

[A, Xj] = [A1, Xj] +. . .+ [Ak, Xj] = [Aj, Xj]∈a∩gj = [a,a]∩gj

e portanto, Aj ∈z(gj) ={0}, isto ´e, Aj = 0 para j > l. Logo A =A0 +A1+· · ·+Al com

A0 ∈z(a) e Ai ∈gi (16i6l), o que mostra que

a=z(a)⊕[a,a].

Finalmente, para demonstrar a afirma¸cão (i) ⇒(ii) basta definir a′ como sendo a soma direta de um subespa¸co complementar a z(a) em z(g) (que é um ideal em g) com o ideal complementar a [a,a] em [g,g]: a′ é um ideal em gque satisfaz

a⊕a′ = g.

(40)

este processo decompomos g em uma soma direta de ideais que não contêm ideais próprios não-triviais. Escrevemos esta soma direta na forma

g = a1⊕. . .⊕aj⊕aj+1⊕. . .⊕ak,

onde a1, . . . ,aj são unidimensionais e aj+1, . . . ,ak são álgebras de Lie simples. Como

[aℓ,aℓ] =aℓ para ℓ=j+ 1, . . . , k, temos

[g,g] = [aj+1,aj+1]⊕. . .⊕[ak,ak] = aj+1⊕. . .⊕ak,

que ´e semisimples. Agora provaremos quez(g) =a1⊕. . .⊕aj. Claramente,z(g)⊃a1⊕. . .⊕aj.

Na outra dire¸cão, se X =X1+. . .+Xk está em z(g) com Xi ∈ ai, então Xi ∈ z(ai) que é

{0} para i > j, pois ai ´e simples nestes casos. Portanto X =X1 +. . .+Xj, e conclu´ımos

que z(g)⊂a1⊕. . .⊕aj.

Finalmente, para descrever a estrutura do grupo Aut_{(g) de automorfismos e do} grupo Int_{(g) de automorfismos internos de uma álgebra redutiva} _{g, observamos primeiro} que uma álgebra de Lie abeliana h não possui automorfismos internos não-triviais, porém qualquer transforma¸cão linear é um automorfismo (mais precisamente, um automorfismo externo) de h. Tendo em vista que automorfismos (arbitrários/internos) σ deg=z(g)⊕gss

levam z(g) emz(g) egss = [g,g] emgss = [g,g] e portanto se decomp˜oem em soma direta de

automorfismos (arbitr´arios/internos) σzde z(g) e σss degss, temos

Aut_{(g) =} _GL_(z(g))_×Aut_(g_ss₎ Int_(g) ₌ Int_(g_ss₎_.

Agora passaremos a discutir uma outra classe de álgebras e Lie, as álgebras de Lie compactas, que têm papel fundamental em toda teoria de álgebras e grupos de Lie.

Defini¸cão 1.3.2. Seja g uma álgebra de Lie real. Dizemos queg é uma álgebra de Lie com-pacta se existe uma forma bilinear simétrica invariante (·,·) sobreg que é positiva definida. A invariância de (·,·) significa que:

([Z, X], Y) + (X,[Z, Y]) = 0 para todoX, Y, Z ∈g. (1.4) Nesta defini¸cão há um certo abuso de linguagem, pois uma álgebra de Lie nunca é compacta no sentido topológico, pois é um espa¸co vetorial real; por isso alguns autores usam o termo “álgebra de tipo compacto”.

A identidade (1.4) é a versão “infinitesimal” da afirma¸cão de que o produto escalar (·,·) é invariante sob o grupo de automorfismos internos de g, isto é

(41)

para todo X, Y ∈ g e todoσ ∈ Int_{(g). Observe que (1.5) implica que, relativamente a este} produto escalar, o grupo Int_{(g) age por transforma¸cões ortogonais e portanto a aplica¸cão} ad(Z) é anti-simétrica para todoZ ∈g.

Obviamente, toda subalgebra de uma álgebra de Lie compacta é também uma álgebra de Lie compacta. Uma outra consequência óbvia da defini¸cão 1.3.2, é que toda álgebra de Lie real abeliana é compacta, pois, neste caso, a condi¸cão de invariância (1.4 é trivialmente satisfeita por qualquer forma bilinear, e em particular pelo produto escalar canônico de um espa¸co vetorial real.

A principal motiva¸cão para a defini¸cão 1.3.2 é sugerida pela seguinte proposi¸cão. Proposi¸cão 1.3.2. Seja G um grupo de Lie compacto e g sua álgebra de Lie. Então g é uma álgebra de Lie compacta.

Demonstração. Usando integra¸cão sobre o grupo Ad(G), que também é compacto, intro-duzimos um produto escalar (·,·) invariante, come¸cando por um produto escalar qualquer h·,·i, pondo:

(X, Y) =

Z

Ad(G)

hgX, gYidµ(g),

onde µ é a medida de Haar bi-invariante em Ad(G) normalizada por µ(Ad(G)) = 1 (para a constru¸cão de µ veja Warner [56, pag. 151] ou Bröcker & tomDieck [7, pag. 40]). É fácil ver que (·,·) é positiva definida, pois para todo X ∈ g, a fun¸cão h·X,·Xi sobre Ad(G) é não-negativa e se anula se e somente se X = 0. Só falta mostrar que (·,·) é invariante. De fato, se h= Ad(k)∈Ad(G) é fixo, temos

(Ad(k)X,Ad(k)Y) =

Z

Ad(G)

hghX, ghYidµ(g) =

Z

Ad(G)

hlX, lYidµ(lh−1) =

Z

Ad(G)

hlX, lYidµ(l) = (X, Y)

e portanto para todok ∈G a transforma¸cão Ad(k) é ortogonal. Isto é equivalente a (ad(Z)X, Y) + (X,ad(Z)Y) = 0

para todoX, Y, Z ∈g, demonstrando assim que (·,·) satisfaz a identidade (1.4).

(42)

Demonstração. Seja (·,·) uma forma bilinear simétrica invariante e positiva definida em g. Os subespa¸cos invariantes de gsob ad(g) são os ideais de g. Portanto, se aé um ideal de g, então seu complemento ortogonal

a⊥ = {X ∈g | (X, Y) = 0 para todo Y ∈a}

também é um ideal de g. Como (·,·) é positiva definida, g = a⊕a⊥. Portanto a tem a⊥ como ideal complementar e, pela proposi¸cão 1.3.1, gé redutiva.

O próximo teorema é o clássico “critério de Weyl”, que caracteriza as álgebras de Lie semisimples que são compactas.

Teorema 1.3.2 (Weyl). Seja g uma álgebra de Lie real semisimples. Então g é compacta se e somente se a sua forma de Killing é negativa definida.

Demonstração. Se a forma de Killing de g é negativa definida, então é óbvio que g é compacta. Reciprocamente, suponhamos que g é compacta e que (·,·) seja uma forma invariante positiva definida sobreg. A condi¸cão de invariância implica que para todoX ∈g, ad(X) é anti-simétrico: isto significa que ad(X) é diagonalizável sobreC_{e que todos os seus} valores próprios são imaginários puros. Portanto, tr(ad(X)2₎ ₆ _{0 e, como} _g _{é semisimples,}

tr(ad(X)2_{) = 0 se e somente se} _X _{= 0.}

Corolário 1.3.1. Toda álgebra de Lie compacta é isomorfa à álgebra de Lie de um grupo de Lie compacto.

Demonstração. Seja k uma álgebra de Lie compacta, então como k é redutiva podemos escrever k =z(k)⊕[k,k], e basta mostrar que a cada um destes dois ideais corresponde um grupo de Lie compacto, pois então o produto direto destes dois grupos tem álgebra de Lie isomorfa a k(ver Knapp [28, pag. 58]) e é obviamente compacto. Como z(k) é abeliana, ela é isomorfa à álgebra de Lie de um torus, que é um grupo de Lie compacto. Falta mostrar que l = [k,k] é isomorfa à álgebra de Lie de um grupo compacto. Como l é semisimples, ela é isomorfa a ad(l) que é a álgebra de Lie do grupo de Lie Int_{(l) que por sua vez é a} componente conexa de 1 do grupoAut_(l)_⊂_GL_{(l) e portanto}Int_{(l) é fechado em}_GL_{(l). Por} outro lado, cada membro de ad(l) é uma transforma¸cão anti-simétrica e portanto o grupo correspondente Int_{(l) age por transforma¸cões ortogonais. Exibimos então um grupo de Lie} que possui álgebra de Lie isomorfa a l e, sendo um subgrupo fechado do grupo SO(l), é compacto.

Juntos, a proposi¸cão 1.3.2 e o corolário 1.3.1 justificam o abuso de linguagem do termo “álgebra de Lie compacta”.

(43)

Teorema 1.3.3. Seja g uma álgebra de Lie redutiva e g=z(g)⊕[g,g]sua decomposi¸cão na soma direta de seu centro e sua álgebra derivada. As subalgebras maximais h de g são da forma

h = z(g)⊕f

onde f ´e uma subalgebra maximal de [g,g].

Demonstração. Sejaf uma subalgebra maximal de [g,g], então a subalgebra h=z(g)⊕ f é obviamente maximal em g. Reciprocamente, seja h uma subalgebra maximal de g. Obviamente temos que

h⊃(z(g)∩h)⊕([g,g]∩h).

Porém h não pode conter [g,g], pois senão ter´ıamos que h = (z(g)∩h)⊕[g,g] e a única possibilidade de ter h maximal seria com z(g)∩h =z(g), o que contraria a hipótese de que h 6= g. Por outro lado h deve conter z(g). De fato, se existisse X ∈ z(g) tal que X 6∈ h a subalgebrah′ gerada porX eh seria igual ag, portanto [g,g]⊂h, e como já mostramos isto não pode ocorrer. Portanto, definindo a subalgebra f de [g,g] por

f= [g,g]∩h,

temos que h=z(g)⊕f com fsubalgebra maximal de [g,g].

Portanto, para determinar todas as subalgebras redutivas maximais de uma álgebra de Lie redutiva g, basta determinar todas as subalgebras redutivas maximais de [g,g]. Mos-traremos agora que a classifica¸cão das subalgebras maximais de uma álgebra de Lie semi-simples compacta é equivalente à classifica¸cão das subalgebras redutivas maximais da sua complexifica¸cão. Para tanto precisamos discutir a rela¸cão entre álgebras de Lie compactas e álgebras de Lie complexas redutivas, e suas respectivas subalgebras. Obviamente a comple-xifica¸cão de uma álgebra de Lie compacta k fornece uma álgebra de Lie complexa redutiva g=kC, e como toda subalgebraldeké compacta (e portanto redutiva), sua complexifica¸cão f = lC será uma subalgebra complexa redutiva de g. Mas em geral nem toda subalgebra complexa redutivaf deg=kC corresponde a uma subalgebra l dek tal que f=lC.

Para analisar a questão quais subalgebras complexas redutivas de g = kC provêm de subalgebras de k por complexifica¸cão, observemos primeiro que devido ao teorema 1.3.3 acima, podemos nos restringir a responder esta pergunta para o caso em que k e g são semisimples.

(44)

subalgebra compacta maximal ([19, pag. 184, prop. 7.3]). Portanto, k ´e uma forma real compacta deg e l⊂f∩k, mas l´e subalgebra compacta maximal de f, logo l=f∩k.

Para analisar o caso em quef´e uma subalgebraredutiva degconsideremos a decom-posi¸c˜ao de Cartan deg,

g = k⊕ik,

junto com a correspondente involu¸cão de Cartanθ, que é o automorfismo deg(como álgebra de Lie real) definido como a identidade sobre k e menos a identidade sobre ik. Observamos que uma subalgebraf deg é a complexifica¸cão de uma subalgebra l dek se e somente se fé

θ-invariante:

θ(f) = f.

Portanto, podemos reformular a afirma¸cão anterior como dizendo que qualquer subalgebra complexa semisimplesf degé necessariamente θ-invariante. Além disto, pode-se provar que toda subalgebraθ-invariante de gé necessariamente redutiva ([28, pag. 304, cor. 6.29]). Defini¸cão 1.3.3. Uma subalgebra f de uma álgebra de Lie complexa redutiva g é dita de posto máximo se f contém alguma subalgebra de Cartan h de g.

Uma subalgebra de Cartan h de uma álgebra de Lie complexa redutiva g (como no caso das álgebras semisimples) é uma subalgebra abeliana maximal tal que ad(X) é semisimples para todoX ∈h. É fácil ver quehé a soma direta de uma subalgebra de Cartan da subalgebra derivada [g,g] com z(g). É claro então que o centro de g é a interseçcão de todas as subalgebras de Cartan de g. Ademais se f é uma subalgebra redutiva de posto máximo de uma álgebra de Lie semisimplesg, então uma subalgebra de Cartan deftambém é uma subalgebra de Cartan de g. Lembremos também que, fixada uma decomposi¸cão de Cartan de uma álgebra de Lie complexa semisimplesg com involu¸cão θ, sempre existe uma subalgebra de Cartan de g que éθ-invariante ([55, pag. 57]).

Teorema 1.3.4. Seja g uma ´algebra de Lie complexa semisimples com forma real compacta

k e seja ef uma subalgebra redutiva maximal de g com centro não-trivial. Se fé a complexi-fica¸cão de uma subalgebral dek entãofé uma subalgebra de posto máximo. Reciprocamente, se f é uma subalgebra de posto máximo então f é conjugada a uma subalgebra de g que é complexifica¸cão de uma subalgebra de k.

(45)

g e k são semisimples. Seja agora t uma subalgebra abeliana maximal de k que contém X: então

t=zk(t)⊂zk(X) = l,

e portanto h=tC ´e uma subalgebra de Cartan deg contida em f.

Reciprocamente, suponhamos que f é uma subalgebra redutiva de g com centro não-trivial e de posto máximo. Escrevemos f = z(f)⊕[f,f] e observamos que existe uma subalgebra de Cartan h de g contida em f; portanto temos z(f)⊂h⊂f.1 _{Ademais, como já}

vimos anteriormente, a parte semisimples [f,f] de fé θ-invariante: θ([f,f]) = [f,f]. Portanto, precisamos apenas mostrar que o centroz(f) deftambém éθ-invariante. Seja entãoX ∈z(f). Logo X ∈ h e θ(X)∈h e θ(X)∈f. Por outro lado, θ(X) comuta não apenas comz(f) mas também com [f,f] =θ([f,f]):

[θ(X), θ([Y, Z])] = θ([X,[Y, Z]]) = 0 para Y, Z ∈f.

Logo θ(X)∈f.

Como veremos na próxima se¸cão, uma subalgebra redutiva maximal de uma álgebra de Lie simplesgou é semisimples ou é redutiva de posto máximo com centro unidimensional; portanto, cada classe de conjuga¸cão de subalgebras complexas redutivas maximais degdefine uma classe de conjuga¸cão de subalgebras maximais da forma real compacta de g.

1.4 Classifica¸

c˜

ao das Subalgebras Maximais das

´

Algebras de Lie Simples

Nesta se¸cão enunciamos os teoremas de Dynkin que classificam todas as subalgebras maximais das álgebras de Lie simples: as quatro séries infinitas de álgebras clássicas e as cinco álgebras excepcionais, segundo a classifica¸cão de Cartan. Todas as álgebras de Lie nesta se¸cão são complexas, a menos que se mencione explicitamente o contrário.

Como estamos interessados na classifica¸cão das subalgebras maximais das álgebras de Lie compactas e os teoremas são formulados para álgebras complexas, vamos considerar sempre subalgebras redutivas. Portanto quando apresentamos uma lista de subalgebras maximais de uma álgebra de Lie g, fica subentendido que esta lista se refere a subalgebras redutivas maximais, ou seja, subalgebras que são maximais dentro de todas as subalgebras redutivas de g. É perfeitamente poss´ıvel que tais subalgebras não sejam maximais dentro

1_{Como todas as subalgebras de Cartan de}_g_s˜_{ao conjugadas e como a complexifica¸c˜}_{ao de qualquer}

(46)

de todas as subalgebras de g e que existam outras subalgebras maximais, com radical não-abeliano e portanto não redutivas. Porém, esta ambiguidade é eliminada quando passamos à forma compacta k de g, pois as subalgebras maximais de g podem ser agrupadas em subalgebras maximais que contêm uma determinada subalgebra redutiva maximal. De fato, se ˜f é uma subalgebra maximal de g, redutiva ou não, então l = ˜f∩k é uma subalgebra maximal de k e f=lC é uma subalgebra redutiva maximal de g com f⊂˜f.

Nos limitaremos a enunciar e comentar os teoremas, pois a demonstra¸cão nos levaria muito longe e não é essencial para a compreensão do modelo algébrico para a evolu¸cão do código genético que motivou o presente trabalho. Por outro lado os resultados destes teoremas são fundamentais para a implementa¸cão do modelo.

Os resultados que enunciaremos se encontram em dois artigos de Dynkin [10, 11] que por sua vez se baseiam principalmente sobre um trabalho anterior de Malcev [34]. Alguns destes resultados já haviam sido obtidos por Borel e Siebenthal [4] por métodos diferentes, e depois por Golubitsky [16], que também reproduz vários resultados de Morozov e Karpele-vich. A forma em que apresentamos os teoremas, que difere um pouco da forma original, se baseia em um artigo de Tits [53] e na apresenta¸cão moderna de Onishchik & Vinberg [42].

Estudaremos primeiro as álgebras clássicas que são naturalmente definidas como álgebras de matrizes e portanto possuem uma representa¸cão linear preferencial. Esta repre-senta¸cão pode ser caracterizada como sendo a reprerepre-senta¸cão irredut´ıvel de menor dimensão poss´ıvel, com algumas exce¸cões: a sérieAr com r>2 e a álgebra D4. As álgebrasAr

possu-em duas representa¸cões irredut´ıveis de dimensão m´ınima que são inequivalentes, sendo que uma é a conjugada complexa da outra: são equivalentes apenas quandor= 1. A álgebraD4

possui três representa¸cões irredut´ıveis de dimensão m´ınima, 8 no caso, que são inequivalen-tes: uma vetorial e as outras duas spinoriais. Mas, mesmo nestes casos, podemos fixar uma representa¸cão preferencial definindo-a explicitamente. Ademais, quando escolhemos uma re-presenta¸cão de uma álgebra complexag, fixamos automáticamente uma única representa¸cão da sua forma real compacta k.

Então quando dissermos que uma álgebra de Lie complexa g é uma álgebra de Lie clássica complexa, estaremos nos referindo a uma das seguintes álgebras de Lie:

sl(n,C₎ ₌ _{_X _∈_gl(_n,C₎ _| _tr(_X_{) = 0},} _para _n >2,

so(n,C₎ ₌ _{_X _∈_gl(_n,C₎ _| _X₊_XT _{= 0},} _para _n _>₂_,

sp(2n,C_{) =} _{_X _∈_gl(2_n,C₎ _|_XT_J₂_n₊_J₂_nX _{= 0}, para} _n >1,

onde XT _{´e a matriz transposta de} _X _e _J

2n ´e a matriz 2n por 2n dada por J2n =

0 1n

−1n 0

(47)

´

E claro que estas defini¸cões carregam consigo uma representa¸cão linear, que tem dimensão m´ınima: são estas representa¸cões que fixaremos para as álgebras de Lie clássicas. Há formas alternativas de definir as álgebras so(2n,C_{) e} _sp(2_n,C_{) que são muito ´}_{uteis, e} cujas representa¸cões lineares associadas são equivalentes às que apresentamos:

so(2n,C₎ ₌

A B

C −AT

∈gl(2n,C₎

A, B, C ∈gl(n,

C₎

B, C anti-sim´etricas

,

sp(2n,C_{) =}

A B

C −AT

∈gl(2n,C₎

A, B, C ∈gl(n,

C₎

B, C sim´etricas

.

Uma das vantagens destas defini¸cões é que fica óbvia a rela¸cão so(2n,C₎ _∩ _sp(2_n,C_{) =}_gl(_n,C₎_. As respectivas formas compactas das álgebras clássicas são

su(n) = {X ∈gl(n,C₎ _| _X₊_X† _{= 0}_, _tr(_X_{) = 0}, para} _n >2, so(n) = {X ∈gl(n,R₎ _| _X₊_X† _{= 0},} _para _n _>_2,

sp(2n) = {X ∈gl(n,H₎ _| _X₊_X† _{= 0},} _para _n >1,

onde X† _{´e a matriz transposta conjugada a} _X_.

Nota¸c˜ao Algebra´ Forma Real Diagrama de Cartan Complexa Compacta Dimens˜ao de Dynkin

Ar(r >1) sl(r+ 1,C₎ _su(_r_{+ 1)} _r₍_r_{+ 2)} ❡ ❡ . . . ❡ ❡

Br(r >2) so(2r+ 1,C₎ _so(2_r_{+ 1)} _r₍₂_r_{+ 1)} ❡ ❡ . . . ❡ ❡❍_✟❍✟ ❡

Cr (r>3) sp(2r,C₎ _sp(2_r₎ _r₍₂_r_{+ 1)} ❡ ❡ . . . ❡ ❡✟❍✟_❍❡

Dr (r>4) so(2r,C) so(2r) r(2r−1) ❡ ❡ ❡ ❡

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