Aplicações da expansão de Edgeworth à precificação de derivativos financeiros

(1)

Aplicações da Expansão de

Edgeworth à Precificação de

Derivativos Financeiros

Ruy Gabriel Balieiro Filho - FEA/USP e-mail: ruybalieiro@uol.com.br

Rogério Rosenfeld - Instituto de Física Teórica/Unesp e-mail: rosenfel@ift.unesp.br

(2)

Í

NDICE

A

NALÍTICO

1)

I

NTRODUÇÃO

PG 8

2)

A

ANÁLISE DE

B

LACK

-S

CHOLES

PG 9

2.1-A PRECIFICAÇÃO NEUTRA AO RISCO PG 14

2.2-O VIÉS DO MODELO PG 16

3)

A

EXPANSÃO DE

E

DGEWORTH PG 21

4)

A

EXPANSÃO DE

E

DGEWORTH E A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES PG 28

4.1-A EXPANSÃO DE EDGEWORTH E O MODELO DE PRECIFICAÇÃO NEUTRA AO RISCO PG 28

4.2-A ÁRVORE BINOMIAL DE EDGEWORTH PG 34

5)

R

ESULTADOS EMPÍRICOS

PG 36

5.1– OSMILE DA VOLATILIDADE PG 38

5.1.1–SMILE PARA OPÇÕES DE DÓLAR PG 40

5.1.2–SMILE PARA OPÇÕES DE S&P PG 42

5.2–TESTE DE ERRO DE REBALANCEAMENTO PG 44

6)

C

ONCLUSÃO

PG 50

7)

A

PÊNDICES PG 52

(3)

Í

NDICE DE TABELAS

Tabela 1 - Erro de rebalanceamento. Smile obtido em 22-maio pg 46

Tabela 4 - Erro de rebalanceamento. Smile obtido em 05-junho pg 47

Tabela 5 - Erro de rebalanceamento para certeira de opções. Smile obtido em 22-maio

pg 48

pg 49

Tabela 8 - Erro de rebalanceamento para certeira de opções. Smile obtido em 05-junho

pg 49

Í

NDICE DE

F

IGURAS

Figura 1 - Comparação entre densidades de probabilidade pg 17

Figura 2 - Comparação de curvas de Smile pg 19

(4)

Figura 4 - Comparação entre smile de Edgeworth e Black para opções de dólar com

vencimento em 56 dias pg 40

Figura 7 - Comparação entre smile de Edgeworth e Black para opções de índice S&P

com vencimento em 42 dias pg 42

(5)

1.I

NTRODUÇÃO

O mercado financeiro global vem passando por um processo de integração nos últimos

anos que tem aumentado sua importância nas decisões econômicas tomadas por países e

empresas. Dentro deste processo de globalização financeira e juntamente com a maior pressão

de alguns países desenvolvidos para que as nações abram suas economias ao comércio

exterior, as políticas macroeconômicas tem cada vez mais que levar em conta os fluxos e

expectativas deste mercado financeiro global. No âmbito microeconômico, a grande

flexibilidade e sofisticada engenharia dos mercados de capitais tem provido instrumentos

financeiros de financiamento e de hedge1 que proporcionam uma administração financeira

mais eficiente para as firmas.

Neste contexto, o mercado de derivativos financeiros é provavelmente a parte que mais

cresceu em termos de sofisticação e negócios realizados deste mercado de capitais global.

Apesar de existirem deste a antiguidade2, os mercados de futuros e opções sobre ativos

financeiros apresentaram um grande crescimento a partir de meados da década de oitenta.

Cada vez mais hedgers, especuladores e arbitradores usam estes mercados para assumirem

posições, diminuírem o risco de suas carteiras ou atacar uma política econômica que

consideram equivocada. Com este rápido aumento de negócios realizados, aumentou também

(6)

a demanda por modelos que precificassem3 corretamente estes derivativos, o que de forma

alguma pode ser caracterizado como um processo trivial. O modelo de precificação de opções

desenvolvido por F. Black e M. Scholes é o mais difundido e usado pelos agente econômicos,

mesmo sabendo que este apresenta algumas deficiências4.

Neste contexto, estamos propondo um modelo alternativo para a precificação de

opções baseado na expansão de Edgeworth com o principal intuito de corrigir estas

deficiências.

2. A

A

NÁLISE DE

B

LACK

-S

CHOLES

O modelo desenvolvido por Fischer Black e Myron Scholes no início dos anos 70

representou um grande avanço na moderna teoria de precificação de derivativos financeiros. A

sua facilidade de implementação aliada aos poderosos resultados tanto na determinação de

preços de opções quanto de seus parâmetros de hedge5, fizeram do modelo de Black-Scholes

um dos mais bem sucedidos da teoria das finanças. Além disso, possibilitou que as instituições

financeiras usassem o mercado de opções com muito mais frequência e segurança, o que

3_{Dada a falta de um termo mais adequado, usaremos a palavra precificação quando nos referirmos ao cálculo do} preço de um ativo ou derivativo qualquer.

4_{Estudos empíricos mostram que o preço de opções previsto no modelo de Black-Scholes é sistematicamente} diferente do preço de mercado destas opções, ou seja, o modelo apresenta um viés.

(7)

acabou sendo determinante no sucesso e crescimento que este mercado experimentou desde

então.

Em termos gerais, uma opção pode ser definida como um contrato que garante ao

detentor o direito de comprar ou vender determinado ativo financeiro, a um preço K6 em uma

data futura T, contra o lançador da opção.

No caso de uma opção de compra, temos que seu valor no vencimento é dado pela

seguinte expressão:

C = Max (St-K, 0), onde K é o preço de exercício e St o valor do ativo-objeto no

vencimento da opção (t=T)7.

O ponto de partida do modelo de Black-Scholes é a hipótese de que o ativo financeiro8

que dá origem ao derivativo segue um processo browniano geométrico, ou seja, a evolução do

ativo no tempo obedece a seguinte equação diferencial estocástica:

dz S dt S

dS =

µ

+

σ

onde, (1)

S é o preço da ação;

µ

dt

representa a tendência determinística seguida pela ação no tempo9 e;

σ

dz

representa a parte estocástica do movimento da ação, sendo

dz

um processo de Wiener10.

6_{O preço K é definido com preço de exercício (}_{strike price)}_{da opção.}

7_{Quando usarmos o termo}_payoff_{no decorrer do trabalho estaremos nos referindo a esta expressão.} 8_{No trabalho original de Black-Scholes este ativo é uma ação que não paga dividendos.}

9_µ_{seria a taxa de retorno esperada para o ativo S com relação a uma medida de probabilidade.}

(8)

Resolvendo a equação (1), temos a fórmula que descreve como o preço da ação (S) se

comporta com relação ao tempo:

+ −

= t

t S Exp t Z

S

µ

σ

2 2

0 onde,

Zt é a realização de um processo de Wiener.

Esta nova equação impõe que o retorno da ação é uma variável aleatória que segue

uma distribuição normal, enquanto que o preço segue uma distribuição log-normal. Como

veremos adiante, esta hipótese está associada ao viés que o modelo apresenta quando testado

no mercado, uma vez que em geral, ações e outros ativos financeiros não seguem uma

distribuição log-normal.

Os autores continuam a análise procurando criar uma carteira de investimento (Π) que

tivesse uma dependência temporal determinística. Para tanto, escolhem uma composta de ∆

ações compradas e um derivativo V(S,t) vendido.

∆ − =V(S,t) S

π (2)

A variação desta carteira no tempo é dada pela seguinte equação:

∆ − =dV dS

dπ onde, (3)

(9)

2 2 2 ) ( 2 1 ) , ( dS S V ds S V dt t V t S dV ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = (4)

Onde ( )2 2 2 ( sup )

dt em erior ordem de termos dt S

dS = σ +

Logo, temos que:

dt S S V dS S V dt t V t S

dV ₂ 2 2

2 2 1 ) , ( σ ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ = (5)

Vale colocarmos duas notas técnicas a respeito da equação (5):

a) A expansão em (5) deve seguir até termos de segunda ordem (

d

S)2 , pois sabemos pelo lema de Itô que (

dz)

2_{é da ordem de}

_d

_{t e portanto precisa entrar na equação (5).}

b) Como estamos tomando

d

t como uma variação infinitesimal, podemos excluir todos os termos proporcionais a potências de

d

t maiores do que um, por isso substituimos(dS)2 =S2σ2dt na equação (5).

Substituindo (5) em (3) e reagrupando termos proporcionais a

d

t e

d

S temos:

dS S V dt S S V t V

d ) ( )

2 1

( 2 2

2 2 ∆ − ∂ ∂ + ∂ ∂ + ∂ ∂ =

σ

(10)

Nesta carteira, o único termo estocástico é

d

S, que como vimos é dado pela equação

(1). No entanto, caso escolhamos

S V ∂ ∂ =

∆ temos que a variação da carteira no tempo se torna

determinística, uma vez que conhecemos todos os outros parâmetros e estes não são aleatórios

no tempo.

Neste caso, pela hipótese de estarmos trabalhando em mercados arbitrados, temos que

a valorização de Π no tempo deve ser a mesma da taxa de juros livre de risco (r), ou seja:

] [

0 Exp rt

t

π

= e,

dt r

d

π

=

π

(7)

Igualando a equação (6) com (7) e escolhendo S V ∂ ∂ =

∆ temos a equação diferencial de

Black-Scholes:

0 2

1 2 2

2 2

= − ∂ ∂ + ∂

∂ + ∂ ∂

rV rS S V S

S V t

V

σ

(8)

Esta equação diferencial deve ser obedecida pelas soluções de precificação de

derivativos financeiros. Dadas algumas condições de contorno, a solução desta equação resulta

(11)

2.1 A

P

RECIFICAÇÃO

N

EUTRA AO RISCO

Um resultado do modelo de Black-Scholes que usaremos neste trabalho diz respeito à

teoria de precificação de derivativos que envolve a hipótese de neutralidade ao risco dos

agentes.

Na equação diferencial de Black-Scholes (equação 8) aparecem as seguintes variáveis:

preço do ativo-objeto, volatilidade do retorno do ativo-objeto, tempo e a taxa de juros livre de

risco. Nenhuma destas variáveis é afetada pela preferência a risco dos investidores, ou seja, a

equação diferencial é independente de preferências a risco11.

Neste caso, podemos assumir a hipótese de que todos os investidores são neutros ao

risco o que simplifica consideravelmente qualquer modelo de análise e precificação de

derivativos, uma vez que podemos assumir que os ativos se valorizam com a taxa de juros

livre de risco e que o valor presente de qualquer fluxo de caixa é o seu valor esperado, nesta

medida de probabilidade neutra ao risco, descontado a esta mesma taxa de juros livre de risco.

Nos modelos de opções que estamos trabalhando até agora podemos usar esta nova

ferramenta da seguinte forma: assumimos que o valor esperado do ativo-objeto no vencimento

da opção é igual a seu valor atual corrigido pela taxa de juros livre de risco; calculamos o

payoff esperado da opção no vencimento (uma vez que temos o valor esperado do ativo-objeto

(12)

nesta data); descontamos este payoff a valor presente usando a taxa livre de risco. Desta

maneira temos o preço da opção na data de hoje.

O payoff esperado neste mundo neutro ao risco é calculado com relação a uma

densidade de probabilidade específica chamada de densidade neutra ao risco ou state price

density. Esta por sua vez, se aplica tanto ao valor esperado da opção quanto ao valor esperado do ativo-objeto na data de vencimento da opção.

Seguindo esta metodologia, o valor de uma opção (V) e do ativo (S) seria dado pelas

seguintes fórmulas:

V0 = Exp[-r T] Eq[VT(ST)]

Eq[ST] = Exp[r T] S0 onde,

T é a data de vencimento da opção, E[X] é o valor esperado de X e q é a medida de

probabilidade a ser usada neste mundo neutro ao risco12.

Este é um engenhoso método para obtermos algumas soluções para a equação

diferencial de Black-Scholes e será fundamental quando estivermos usando a expansão de

Edgeworth para precificar opções. Vale lembrar que as soluções obtidas valem para qualquer

preferência a risco e não apenas para o mundo neutro ao risco13.

12_Como ₌ ₋ ₊

t

t S Exp t Z

S

µ

σ

2 2

0 que fazemos é achar µ tal que a medida de probabilidade q seja

neutra ao risco.

13_{Quando passamos para um mundo averso ao risco, por exemplo, teríamos que alterar duas coisas: o retorno} esperado do ativo-objeto e a taxa de desconto para trazer o payoff a valor presente. Estas duas mudanças, no

(13)

2.2 O

VIÉS DO MODELO

A análise de Black-Scholes tem por detrás inúmeras hipóteses acerca do

funcionamento do mercado. Entre elas estão: inexistência de custos de transação, as operações

financeiras podem ser realizadas continuamente no tempo, a taxa de juros livre de risco (r) e a

volatilidade do ativo-objeto (

σ

)

são consideradas constantes, não há problemas de liquidez e a distribuição de probabilidade dos retornos do ativo-objeto seria uma distribuição normal.

Como dito anteriormente, esta última hipótese está associada ao viés do modelo e a sua

correção será o principal objetivo deste trabalho.

O viés pode ser explicado da seguinte forma: vamos supor que a state price density do

retorno do ativo-objeto é simétrica, mas possui curtose maior do que três14. Neste caso, a

fórmula de Black-Scholes estaria subestimando a probabilidade de ocorrer observações longe

da média (em desvios-padrões) e, consequentemente, o preço das opções in e

out-of-the-money. Por outro lado, o modelo sobrestimaria o preço das opções at-the-money15.

14_{A distribuição normal é simétrica e seu parâmetro de curtose é igual a três. Segundo estudos empíricos, a} distribuição de probabilidade dos retornos de uma ação é assimétrica à direita e possui coeficiente de curtose maior do que três, ou seja, possui caudas mais largas do que a distribuição normal.

15_Opções_at-the-money_{são aquelas em que o}_{strike price}_{é o mesmo do preço de mercado do ativo-objeto.} Opções in-the-money e out-of-the money são aquelas em que o strike price é maior ou menor que o preço atual do

(14)

Para exemplificar esta situação, comparamos no gráfico abaixo duas funções

densidades de probabilidade: z(x) uma densidade normal padronizada16 e g(x) uma densidade

padronizada, simétrica, mas com medida de curtose igual a 5,4 17_{. Podemos ver claramente as}

caudas mais largas da função representada por g(x) em relação a z(x)18.

Figura 1 - Comparação entre densidades de probabilidade

16_{Função densidade de probabilidade normal com média 0 e variância 1.}

17_{Esta densidade de probabilidade foi obtida a partir da expansão de Edgeworth, que será objeto de estudo dos} próximos capítulos.

18_{Ou seja, g(x) atribui maior probabilidade a eventos extremos do que z(x).}

Comparação entre densidades de probabilidades

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

-3

-2,7 -2,4 -2,1 -1,8 -1,5 -1,2 -0,9 -0,6 -0,3 1,52

7E-1 5

0,3 0,6 0,9 1,2 1,5 1,8 2,1 2,4 2,7 3

(15)

Uma forma equivalente de analisarmos o viés do modelo de Black-Scholes está na

análise da volatilidade implícita19 contida no preço das opções observadas no mercado. Caso o

retorno do ativo-objeto obedecesse uma distribuição neutra ao risco normal, a volatilidade

implícita das opções out-of-the-money até as opções in-the-money seria constante20. No

entanto, o que se observa no mercado é que esta curva não é uma reta, mas que varia entre as

opções que tem um strike price abaixo do preço atual do ativo-objeto e aquelas que possuem

strike price acima do preço atual. Novamente, a razão para isto é a diferença entre a distribuição de probabilidade assumida pelo modelo e aquela observada de fato no mercado.

Como exemplo, podemos supor que a verdadeira state price density do ativo-objeto

seja dada por g(x). Neste caso, a curva da volatilidade implícita calculada através do modelo

de Black-Scholes se aproximaria de uma parábola (por isso o nome de smile da volatilidade),

sendo que a volatilidade das opções in-the-money e out-of-the-money seriam maiores e a

volatilidade das opções at-the-money menor do que aquela volatilidade constante prevista pelo

modelo. O gráfico a seguir reproduz esta situação21 e foi calculado da seguinte forma:

supomos g(x) a distribuição neutra a risco do ativo-objeto, calculamos o valor das opções com

diferentes preços de exercício através do modelo de Edgeworth e depois achamos a

volatilidade implícita que iguala o valor da opção calculado por Black-Scholes ao valor

19_{O cálculo da volatilidade implícita é feito da seguinte forma: observa-se o preço de mercado de determinada} opção e coloca-se este preço no modelo de Black-Scholes. Depois, resolvemos o modelo para descobrir qual a volatilidade usada para se chegar neste preço.

20_{Obviamente para opções sobre o mesmo ativo-objeto e com mesma data de vencimento.}

(16)

calculado por Edgewoth. Repetimos o processo assumindo z(x) como distribuição neutra a

risco do ativo-objeto.

Figura 2 - Comparação de curvas de Smile

A intuição deste resultado é que como a probabilidade do ativo-objeto apresentar

movimentos extremos é maior do que o modelo prevê, as opções com strike price distante do

preço atual do ativo-objeto devem ser mais caras (maior volatilidade) do que a calculado pelo

modelo.

Comparação de curvas de Smile

0,17 0,18 0,19 0,20 0,21 0,22 0,23 0,24 0,25

70 80 90 100 110 120 130 140 150

strike price

v

o

la

ti

li

d

a

d

e

a

(17)

Na verdade, como muitos autores e estudiosos do assunto já colocaram, a fórmula de

Black-Scholes acabou sendo usada pelo mercado como uma forma de transformar preços de

opções em volatilidades implícitas e vice-versa, e não como um modelo de precificação de

opções propriamente dito.

Apenas como motivação, lembraremos que este trabalho tem dois objetivos básicos:

usar a expansão de Edgeworth para obter uma distribuição de probabilidade mais adequada à

distribuição do ativo-objeto, corrigindo assim o problema do viés e do smile da volatilidade

implícita causado pelo modelo de Black-Scholes, além de testar a eficiência deste novo

modelo através de uma análise empírica comparativa entre a medida de delta gerada e o delta

(18)

3. A

E

XPANSÃO DE

E

DGEWORTH

Nesta parte do trabalho tentaremos mostrar com maior detalhes técnicos como é

possível chegar à fórmula final da expansão de Edgeworth que usaremos na precificação de

opções22, ou seja, provaremos que:

) ( )) 15 45

15 (

72 ) 3 6 ( 24

3 )

3 ( 6 1 ( )

( 3 4 2 2 6 4 2

x z x

x x

x x k x x x

g = +

ξ

− + − − + +

ξ

− + − (9)

Onde: z(x) - Função densidade de probabilidade normal padronizada;

g(x) - Função densidade de probabilidade com curtose = k e assimetria = ξ23.

Supondo que {X1,X2,...,Xn} sejam variáveis aleatórias independentes e identicamente

distribuídas com média

µ

e variância finita

σ

2 temos que:

=

n

i i

X

n

X

1

)

1 (

é um estimador não viesado de

µ

.

(19)

Sabemos ainda, usando o Teorema Central do Limite, que:

∞ → →

−

= n X N quando n S_n ( ) (0,1)

σ µ

No entanto, estaremos interessados em saber o que acontece com a distribuição de Sn

antes do limite assintótico, ou seja, antes de Sn se transformar em uma normal.

Faremos esta análise da aproximação de uma normal através da função característica,

que é definida por:

1 ]],

[ [ )

(t =E ExpitS_n ondei= −

n

χ

Sabemos que quando n tende a infinito, a função característica da variável Sn converge

para a função característica da distribuição normal: −

2

t Exp .

Um outro resultado intermediário que usaremos é o seguinte:

(20)

n n

n t

t) { ( )}

(

χ

= 24, onde

χ

é a função característica da variável aleatória

) (

σ

µ

− = X Y

Para esta variável aleatória Y com função característica

χ

, temos que o j-ésimo

cumulante,

κ

j, de Y é definido como o coeficiente de it j j!( ) 1

na expansão em uma série de

potências de Log

χ

(t):

] ) ( ! 1 ) ( [ ) ( 2 2 2 1

1 + + + +

= j j it j it it Exp

t

κ

χ

Como a variável Y é centrada e padronizada, temos que E[Y] =

κ

1 = 0 e

Var[Y]=

κ

2 = 1. Neste caso,

] ) ( ! 1 ) ( ! 3 1 2 1 [ )

( 3 3 _/₂

5 . 1 2 + + + + −

= j j

j it j n it n t n Exp n

t

κ

χ

Como n

n

n t

t) { ( )}

(

χ

= , chegamos ao seguinte resultado:

(21)

] ) ( ! 1 ) ( ! 3 1 2 1 [ ) ( 1 2 3 3

2 ₊ ₊ ₊ ₊

− = − j j j n it j n it n t Exp

t

κ

χ

Expandindo esta função em Taylor e fazendo algumas transformações, temos que:

] ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 1 [ ] 2 [ ) ( 2 2 1 2 + + + + + − = − it r n it r n it r n t Exp

t j j

n χ

onde

r

j é um polinômio dependente dos cumulantes. Para

r

1 e

r

2 temos que:

3 3

1 ( )

6 1 )

(it it

r =

κ

6 2 3 4

4

2 ( )

72 1 ) ( 24 1 )

(it it it

r =

κ

+

κ

Logo, + − + − + − = ]] 2 [ ) ( 1 [ ]] 2 [ ) ( 1 [ ] 2 [ ) ( 2 2 2 1 2 t Exp it r n t Exp it r n t Exp t n

χ

Usando a transformada de Fourier inversa que nos dá a função densidade de

(22)

dt itx Exp t x

gn ) n( ) [ ]

2 1 ( ) ( = − ∞ ∞ −

χ

π

, onde g(x) é a densidade de probabilidade.

Resolvendo esta integral desprezando os outros termos chegamos a densidade de

probabilidade g(x) dependente do terceiro e quarto cumulante:

) ( )) 15 45 15 ( 72 1 ) 3 6 ( 24 1 ) 3 ( 6 1 ( )

( 2 6 4 2

3 2 4 4 3 3 x z x x x x x x x x

g = +κ − + κ − + + κ − + −

Mais ainda, sabemos que existe a seguinte relação entre cumulantes e momentos:

3

µ

κ

= e 2

2 4

4

µ

3(

µ

)

κ

= − , onde

µ

r é o r-ésimo momento central.

Definimos agora

α

3 e

α

4 como medidas de assimetria e curtose respectivamente25,

onde

α

r é dado por:

2 2) ( ) ( r r r x −

=

µ

α

Como z(x) é uma densidade normal padronizada, sabemos que

µ

2 = σ2 = 1.

(23)

Substituindo os cumulantes pelas medidas de assimetria e curtose chegamos a fórmula

final igual à equação (9).

Com esta nova fórmula de g(x) temos uma função densidade de probabilidade que

pode ter sua assimetria e curtose calibradas para aproximar a distribuição neutra ao risco do

retorno de um ativo financeiro26, ou seja, como mostramos anteriormente, podemos aumentar

a curtose e modificar a assimetria da distribuição para usá-la na precificação da opção sobre

um ativo-objeto qualquer. Caso sejamos bem sucedidos esperamos corrigir o problema do viés

e do sorriso da volatilidade implícita observada no mercado.

Na expansão de Edgeworth, no entanto, não podemos usar qualquer valor para os

parâmetros de assimetria e curtose. Estudos posteriores mostram que existe um intervalo

destes parâmetros para que a expansão produza uma função sempre positiva (necessária para

que possa ser caracterizada como uma função densidade de probabilidade) e unimodal.

No gráfico abaixo, reproduzimos o estudo de Barton e Dennis27_{que mostra os valores}

de assimetria e curtose que podem ser usados na expansão de Edgeworth. Como podemos ver,

existe uma área que nos permite uma razoável flexibilidade para ajustar a expansão à

distribuição do ativo financeiro.

25

_α

3 =ξ e

α

4 =κ.

26_{Vale lembrar que caso a assimetria seja igual a zero e curtose igual a três, a expansão nos dá a função} densidade de probabilidade normal.

(24)

Figura 3 - Valores de curtose e assimetria no uso de g(x)

Valores de que permitem o uso de g(x) como uma densidade de probabilidade

-0,7 -0,6 -0,5 -0,4 -0,3 -0,2 -0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7

3 3,1 3,2 3,3 3,4 3,5 3,6 3,7 3,8 3,9 4 4,1 4,2 4,3 4,4 4,5 4,6 4,7 4,8 4,9 5 5,1 5,2 5,3 5,4 5,5

Curtose

A

s

im

e

tr

(25)

4. A

E

XPANSÃO DE

E

DGEWORTH E A PRECIFICAÇÃO DE OPÇÕES

Tendo definido a expansão de Edgeworth, o próximo passo é aliar esta nova ferramenta

aos modelos de precificação de opções. Nesta etapa dividiremos o trabalho em dois tópicos: o

primeiro descreverá como podemos chegar a uma fórmula fechada para o preço de uma opção

de compra européia sobre uma ação sem dividendos aliando a expansão de Edgeworth com o

método de precificação neutra ao risco. No segundo tópico descreveremos uma solução

numérica que pode ser usada na precificação de algumas opções exóticas: a árvore binomial de

Edgeworth.

4.1 A

E

XPANSÃO DE

E

DGEWORTH E O MODELO DE

P

RECIFICAÇÃO

N

EUTRA AO RISCO

A primeira mudança a ser feita no modelo proposto por Black-Scholes para que

possamos usar a expansão de Edgeworth na precificação de opções européias e tentar corrigir

o problema do viés, diz respeito à distribuição de probabilidade assumida para o ativo na data

(26)

distribuição normal. Neste caso, iremos alterar esta hipótese, propondo que o ativo siga uma

distribuição de Edgeworth.

O próximo passo é descobrir o valor de

µ

tal que a medida de probabilidade seja neutra

ao risco. Desta forma poderemos achar o valor esperado da ação na data de vencimento da

opção e depois calcular o valor hoje desta opção descontando a valor presente o seu payoff.

Como estamos assumindo um mundo neutro ao risco, sabemos que a ação deve se

valorizar no tempo de acordo com a taxa de juros livre de risco. Logo temos:

] [ )

(S S₀Exp rt

Eq t = onde

,

E

q

(S

t

)

é o valor esperado do preço da ação no tempo t 28 na medida neutra ao risco

(

q

),

r

é a taxa de juros livre de risco e

S

0 é o valor da ação hoje. Como estamos medindo o valor esperado de St, temos que:

0

0 [ ] [ ]

) ( )

(S g x S Exp t t x dx Exp rt S

E_q _t = + =

∞

∞ −

σ

µ

onde g(x) é a distribuição de Edgeworth dada pela equação 9.

Tirando

S

0

Exp[

µ

t]

da integral e cancelando

S

0 dos dois lados da equação, temos:

(27)

] [ ] [ ) ( ]

[ t g x Exp t x dx Exp rt

Exp = ∞ ∞ − σ µ

Logo, podemos isolar

µ

t

da seguinte forma:

dx x t Exp x g t r

t ln[ ( ) [ ]

∞ ∞ − − =

σ

µ

Resolvendo a integral entre colchetes, temos que:

∞ ∞ − = dx x t Exp x

g( ) [

σ

]

] ) ( 72 1 ) ( 6 1 ) )( 3 ( 24 1 1 [ ] 2

[ 2 4 3 2 6

t t

t k

t

Exp σ + − σ + ξ σ + ξ σ

Com esta solução, chegamos ao valor final de

µ

t.

+ + − + − − = 6 2 3 4 2 ) ( 72 ) ( 6 ) ( 24 ) 3 ( 1 ln ) 2

(r t k t t t

t σ σ ξ σ ξ σ

µ (10)

Note que, para κ = 3 e ξ = 0 recuperamos o resultado usual de Black-Scholes,

) 2 ( σ2

(28)

Desta forma, podemos calcular o valor esperado de S na data de vencimento da opção29

e, consequentemente, o valor esperado do payoff da opção. Descontando este payoff a valor

presente pela taxa de juros livre de risco, temos o valor da opção na data inicial.

Para esta opção de compra européia que não paga dividendos temos que:

)] 0 , [max(

]

[ rt E S K

Exp

C= − _q _t − , onde:

C é o valor da opção na data inicial; K é o strike da opção;

E[max(St - K, 0)] é o payoff esperado desta opção na data de vencimento.

Usando os resultados até agora:

dx K x t t Exp S x

g t r Exp C

∞

∞ −

− +

−

= [ ] ( )max[ ₀ [

µ

σ

] ,0]

onde g(x) é a distribuição de Edgeworth e

µ

t

é dado pela equação 10.

O valor mínimo de x a partir do qual o integrando é não nulo é definido por:

K x

t t

Exp

S₀ [

µ

+

σ

_min ]=

(29)

Resolvendo a equação anterior, temos que:

t t S

K

x

σ

µ

− =

) ln(

0 min

Ou seja, o valor final da opção de compra é dado pela seguinte equação:

∞

−

− +

− =

min

] ] [

[ ) ( ]

[ ₀

X

dx K x t t

Exp S x g t r Exp

C µ σ

Um resultado interessante é que esta equação possui uma solução algébrica fechada, o

que nos permite calcular tanto o preço da opção quanto os parâmetros de sensibilidade de uma

forma exata30. A forma funcional desta equação está no apêndice II.

A esta altura é necessário esclarecermos alguns pontos relativos ao novo modelo

proposto. Em primeiro lugar, não sabemos exatamente como é o processo descrito no tempo

pelo ativo que nos dá uma distribuição de Edgeworth na data de vencimento da opção. Mais

ainda, não sabemos se este processo é realmente uma difusão, ou seja, um processo

markoviano definido por caminhos contínuos.

(30)

A literatura sobre o assunto é, no mínimo, confusa. Em seu famoso artigo de 1982 no

Journal of Financial Economics, Jarrow31 assume, mas não prova, que um ativo que segue

uma distribuição de Edgeworth a cada instante do tempo gera um processo difusivo. Em outro

artigo mais recente, Ait-Sahalia32 prova que não há nenhum modelo de difusão para o retorno

do ativo-objeto além daquele gerado por uma distribuição Gaussiana, citando inclusive a

expansão de Edgeworth e o artigo de Jarrow como improcedentes.

Nos parece correto então assumirmos que o processo gerado por um ativo que segue

uma distribuição de Edgeworth a cada instante do tempo não é uma difusão, mas um processo

que pode apresentar saltos. Neste caso, o principal problema do modelo diz respeito a não

conseguirmos gerar uma carteira livre de risco, ou seja, mesmo assumindo todas as outras

hipóteses do modelo de Black-Scholes, a menos da distribuição gaussiana para o ativo, não

conseguiríamos replicar perfeitamente o derivativo através de uma combinação do

ativo-objeto e de títulos livre de risco.

No entanto, podemos testar este novo modelo para saber se este é mais eficiente do que

o de Black-Scholes no hedge de opções quando analisado empiricamente. Para tanto, faremos

uma análise comparativa entre o erro de rebalanceamento de uma opção usando o delta gerado

pelo modelo de Black-Scholes e o delta gerado pelo modelo de Edgeworth.

31_{Jarrow, R., Rudd, A. (1982) “Aproximate Option Valuation for Arbitrary Stochastic Process”. Journal of} Financial Economics nº10, 347-369.

(31)

No mundo real sabemos que o delta de uma opção não pode ser rebalanceado

continuamente no tempo. Custos de transação e até os horários de funcionamento dos

mercados impedem este processo. Neste caso, faz pouca diferença o uso de um processo

difusivo na precificação de uma opção, visto que mesmo assim não conseguiríamos replicar o

derivativo através de uma carteira composta pelo ativo-objeto e por títulos de renda fixa. O

que testaremos então é se neste caso, o delta de Edgeworth é mais eficiente, ou seja, nos dá um

erro de rebalanceamento menor do que o delta tradicional de Black-Scholes.

4.2 A

Á

RVORE

B

INOMIAL DE

E

DGEWORTH

Como colocamos anteriormente, o próximo passo do trabalho é desenvolver uma

ferramenta capaz de aliar a expansão de Edgeworth a métodos numéricos para que possamos

calcular o preço e os parâmetros de sensibilidade de opções americanas.

O que faremos a seguir é apresentar sucintamente o método desenvolvido por

Rubinstein33 para usar a expansão de Edgeworth na derivação de uma árvore binomial.

(32)

O primeiro passo consiste em discretizar a equação 9 transformando z(x) em uma

distribuição binomial padronizada34. Neste caso, g(x) será uma distribuição aproximada de

Edgeworth que, no entanto, em geral, não soma um.

Para solucionar o problema da aproximação, o autor re-escala as probabilidades g(x)

para que estas somem a um, o que acaba modificando a assimetria e curtose desejada na

expansão. No entanto, Rubinstein defende que esta diferença é desprezível, principalmente

quando temos n (número de passos na árvore) grande.

Em seguida, define-se o seguinte processo para o ativo:

] [

0Exp t x t

S

Sj =

µ

+

σ

onde,

x é uma variável aleatória com probabilidade dada pela função discreta g(x) e os outros

termos tem o significado usual.

A partir deste processo define-se Sj para todos os pontos finais da árvore,

construindo-se o restante desta de trás para frente usando o método das árvores implícitas também

desenvolvido por Rubinstein.35 Uma vez concluída, a árvore binomial pode ser usada da

maneira usual para precificar tanto opções européias como americanas, juntamente com seus

parâmetros de sensibilidade.

34_{A fórmula da expansão de Edgeworth apresentada por Rubinstein contem um erro que não afeta} numericamente os resultados.

(33)

5. R

ESULTADOS

E

MPÍRICOS

Nesta última etapa procederemos com dois testes distintos para comparar o modelo de

precificação de Edgeworth com o modelo de Black36_{para opções sobre futuros}37_{: análise do}

smile da volatilidade e comparação de erro de rebalanceamento de carteiras. Para tanto

usaremos dados sobre opções de compra de dólar futuro negociadas na BM&F38 e opções de

compra de índice de ações S&P39 negociadas na CME40.

Para explicar como os dados foram obtidos é necessário entender melhor como

funciona o mercado de opções de dólar negociados na BM&F. Neste mercado, os players41

negociam através de corretoras de valores opções de compra ou de venda de dólar futuro

padronizados da seguinte maneira:

- Cada contrato tem valor de face de USD 50.000,00;

- Os contratos vencem no primeiro dia útil de cada mês e em geral são negociados

contratos de até um ano de duração;

36_{Black, F. (1976) “The Pricing of Commodity Contracts” Journal of Financial Economics, 3, 167-179.} 37_{Até então estávamos comparando o modelo de Edgeworth com o modelo tradicional de Black-Scholes, no} entanto, como usaremos opções sobre contratos futuros para o teste empírico, o modelo de Black se torna mais apropriado para fazermos a comparação de resultados.

38_{Bolsa de Mercadorias e Futuros.} 39_{Standard and Poors}_.

40_{Chicago Mecantile Exchange}_.

(34)

- O ativo-objeto é o dólar futuro negociado para o mesmo vencimento do contrato de

opção42;

- O strike-price é medido em reais por mil dólares e a diferença entre os strikes são de

50 pontos43;

- As opções são liquidadas por diferença financeira, ou seja, no vencimento da opção

não existe a troca física entre as duas moedas. O preço de ajuste final é a PTAX 800 divulgada

pelo Banco Central no dia útil anterior ao vencimento das opções44.

- O prêmio em reais a ser pago por uma opção pode ser calculado da seguinte maneira:

prêmio = (preço da opção * quantidade de contratos * 50.000)/1000

No mercado de opções de dólar, as corretoras promovem todas as manhãs um call de

abertura de mercado com todos os players. Neste call, os negociadores apregoam preços de

compra e de venda para opções com diferentes strike prices e diferentes data de vencimento.

Desta forma é possível obter preços de opções desde as in-the-money até as out-of-the-money

para diferentes prazos de vencimento45.

42_{Por exemplo: ao comprar contratos de opção de compra para vencimento em maio de 2003, pode-se negociar o} contrato de dólar futuro para vencimento na mesma data como forma de se fazer o delta hedge.

43_{Um strike price de 3000 indica uma taxa de câmbio de R$3 por dólar. Uma variação de 50 pontos para cima} nos dá um strike de 3050 e para baixo de 2950.

44_{O contrato de dólar futuro tem a mesma forma de liquidação das opções.}

(35)

Todos os dados referentes a opções de dólar usados neste trabalho empírico foram

obtidos a partir dos preços finais de compra destas opções negociadas no call de abertura do

mercado.

Com relação as opções sobre o índice futuro S&P, o procedimento é um pouco mais

simples: a CME arbitra preços de fechamento para estas opções46, a partir da análise de todos

os negócios fechados durante o pregão. Estes preços estão disponíveis em agências de notícias

e dados financeiros como a Bloomberg e a Reuters47_.

5.1 O

S

MILE DA VOLATILIDADE

Seguindo a lógica do modelo exposto, testaremos se com as novas fórmulas de

precificação de opções baseadas na expansão de Edgeworth conseguimos acabar com smile da

volatilidade, ou pelo menos suavizá-lo, visto que estaremos usando uma distribuição de

probabilidade neutra ao risco mais ajustada ao retorno do ativo-objeto.

46_{Tendo como base o valor de fechamento do índice futuro.}

(36)

O exercício será feito da seguinte forma: a partir dos dados obtidos, usaremos a

fórmula tradicional de Black48 para calcular a curva de volatilidade implícita destas opções de

diferentes strike prices. Posteriormente, repetiremos o cálculo da volatilidade implícita usando

a fórmula obtida a partir da expansão de Edgeworth para que possamos comparar as duas

curvas do smile.

Antes de usarmos o modelo de Edgeworth, no entanto, precisamos determinar o valor

dos parâmetros de curtose e assimetria. Estes serão calculados a partir da seguinte calibração

do modelo:

Mínimo Σ −

e e m

P P

P )2

(

, onde49:

(

σ

,

ξ

, k

)

σ

,

ξ

, k

são os parâmetros de volatilidade implícita, assimetria e curtose; Pm é o preço da opção observada no mercado e

Pe é o preço da opção calculado com modelo de Edgeworth.

Definiremos também PBS como o preço da opção calculado com modelo de Black para

uso posterior.

Desta forma estaremos determinando assimetria (

ξ

)

e curtose

(k)

de maneira que a soma quadrática ponderada do erro entre o preço de mercado e o preço do modelo seja

minimizado. Depois, fixaremos estes dois valores e variaremos o parâmetro de volatilidade

48_{Para opções sobre contratos futuros.}

(37)

implícita (

σ

)

para que Pm = Pe. Estes novos valores de

σ

nos darão o smile da volatilidade do

modelo de Edgeworth.

5.1.1 Smile para as opções de dólar

Os gráficos abaixo comparam as duas curvas de volatilidade implícita, ou seja, a curva

(38)

Figura 4 (assimetria = 0.6 curtose = 4.4 , vencimento da opções em 56 dias)

Figura 5 (assimetria = 0.6 curtose = 4.9, vencimento da opções em 117 dias)

1 5 ,0 % 1 6 ,5 % 1 8 ,0 % 1 9 ,5 % 2 1 ,0 % 2 2 ,5 %

-12, 9% -10, 6% -8,4 % -6,3 % -4,3 % -2,3 % -0,4 %

1,4% 3,2%

M o n e y n e s s

V o la ti lid a d e i m p lí c it a % a a

S m ile E d g e w o rth S m ile B S

1 5 ,0 % 1 6 ,5 % 1 8 ,0 % 1 9 ,5 % 2 1 ,0 % 2 2 ,5 %

-8,4 % -6,4 % -4,4 % -2,4 % -0,6 %

1,2% 3,0% 4,6% 6,3%

M o n e yn e s s

(39)

Figura 6 (assimetria = 0.6 curtose = 4.9, vencimento da opções em 299 dias)

Podemos notar que a curva

σ

e (smile Edgeworth) é mais suave do que a curva de smile

calculado com o modelo de Black, ou seja, temos um modelo que descreve melhor a

distribuição de probabilidade dos movimentos do ativo-objeto.

5.1.2 Smile para as opções S&P

Comparação das curvas de Smile

15,0% 16,5% 18,0% 19,5% 21,0% 22,5%

-9,7 %

-7,7 %

-5,8 %

-3,9 %

-2,0 %

-0,3 %

1,4% 3,1% 4,6%

Moneyness

V

o

la

til

id

a

d

e

im

p

líc

ita

%

a

Smile Edgew orth

(40)

Os gráficos abaixo sumarizam o mesmo estudo para as opções de compra baseadas no

índice de ações S&P.

Figura 7 (assimetria = -0.6 curtose = 4, vencimento da opções em 42 dias)

1 9 ,0 % 2 0 ,5 % 2 2 ,0 % 2 3 ,5 % 2 5 ,0 % 2 6 ,5 %

-4,3 %

-3,2 %

-1,6 %

-0,6 %

0,4% 1,4% 2,4% 3,3%

M on e yne s s

V

o

la

ti

lid

a

d

e

i

m

p

lí

c

it

a

%

a

(41)

1 9 ,0 % 2 0 ,5 % 2 2 ,0 % 2 3 ,5 % 2 5 ,0 % 2 6 ,5 %

-3,5 % -1,9 % -1,4 %

0,6% 3,0% 4,4% 5,3% 7,5%

M on e yne s s

S mile Ed g e w o r th S mile B S

1 9 ,0 % 2 0 ,5 % 2 2 ,0 % 2 3 ,5 % 2 5 ,0 % 2 6 ,5 %

-4,4 % -3,3 % -1,7 % -1,2 % -0,7 % -0,2 %

0,3% 0,8% 1,3% 2,3% 3,2%

M o n e yn e s s

(42)

O gráfico do smile da volatilidade mostra novamente uma curva menos inclinada

quando calculada a partir do modelo de Edgeworth, ou seja, estamos usando uma função

densidade de probalidade para o ativo-objeto mais próxima (em comparação a uma densidade

normal) da sua distribuição verdadeira.

5.2 T

ESTE DE ERRO DE REBALANCEAMENTO

O objetivo deste teste é comparar, sob certas condições, a eficiência do delta-hedging

do modelo de Edgeworth contra o modelo de Black. Este teste será feito da seguinte forma:

- Coletaremos dados sobre os preços das opções de compra de dólar na BM&F da

mesma maneira que no estudo anterior50;

- Calibraremos os parâmetros a serem usados pelo modelo de Edgeworth e pelo

modelo de Black, também como anteriormente;

- Construiremos uma carteira comprada em 100 contratos de opção de compra de dólar

(valor de face de USD 5.000.000) e vendida em delta contratos de dólar futuro de mesmo

vencimento;

(43)

- Rebalancearemos o delta da carteira uma vez por dia com base no preço de ajuste do

ativo-objeto divulgado pela BM&F até a data de vencimento da opção51;

- Assumiremos, a partir da calibração dos modelos, que as únicas variáveis que se

alteram até o vencimento da opção são: o preço do ativo-objeto e a taxa de juros livre de

risco52.

O gráfico abaixo mostra a série histórica do dólar futuro (preço de ajuste) com

vencimento em 2-agosto de 2002 desde o dia 22 de maio de 2002.

Série dólar futuro agosto

2500 2800 3100 3400 3700

22/0 5/02

29/0 5/02

05/0 6/02

12/0 6/02

19/0 6/02

26/0 6/02

03/0 7/02

10/0 7/02

17/0 7/02

24/0 7/02

31/0 7/02

Data

C

o

ta

ç

ã

o

e

m

R

$

/

m

il

U

S

D

Figura 10 - Preço de ajuste do dólar futuro agosto/02 (série histórica de 22-maio a 31-julho)

(44)

Desta forma, teremos valores diários mostrando qual o tamanho do erro de

rebalanceamento de cada carteira medido em reais, podendo assim comparar o erro gerado

pelo modelo de Edgeworth com aquele produzido pelo modelo de Black. Para facilitar o

entendimento do exercício o apêndice III contém um exemplo numérico.

A partir destes erros diários, construiremos uma média e desvio-padrão que serão

usadas para testar se a média do modelo de Edgeworth é significativamente menor do que a

média de Black.

As tabelas abaixo sumarizam o resultado:

Tabela 1 - Erro de rebalanceamento. Smile_{obtido no dia 22-maio-02 sobre opções com}

vencimento em 02-ago-02.

Modelo Edgeworth Modelo Black

Strike Média diária (R$) Desvio-Padrão Média diária (R$) Desvio-Padrão Estat t

α

2300 1.824,56 2.187,83 1.819,63 2.332,73 0,01 0,50

2500 1.670,40 3.797,33 1.591,93 3.590,72 0,11 0,46

2700 4.236,45 8.788,37 2.835,65 7.285,98 0,87 0,20

2900 4.403,06 13.147,20 4.493,10 15.215,07 -0,03 0,49

3100 6.394,84 41.275,96 8.381,41 44.475,51 -0,23 0,41

3300 8.134,20 51.428,65 7.740,75 46.266,74 0,04 0,48

3500 150,80 797,07 58,36 347,33 0,75 0,23

(45)

α

2300 1.836,71 2.244,46 1.862,92 2.360,63 -0,05 0,48

2500 1.699,64 3.805,95 1.662,55 3.585,59 0,05 0,48

2700 4.030,47 8.577,89 2.734,90 7.169,15 0,78 0,21

2900 4.134,96 13.747,78 4.331,86 15.729,14 -0,06 0,47

3100 6.017,91 40.875,20 8.472,82 44.512,93 -0,27 0,39

3300 7.999,32 50.925,39 7.823,65 45.952,14 0,02 0,49

3500 179,50 1.014,66 71,05 412,29 0,67 0,25

α

2300 1.992,14 2.306,01 2.073,38 2.393,29 -0,16 0,44

2500 2.251,80 3.694,20 2.225,75 3.384,45 0,03 0,49

2700 5.098,00 8.836,64 3.620,68 7.367,05 0,83 0,20

2900 5.087,56 14.087,26 5.229,04 16.233,17 -0,04 0,48

3100 7.212,99 43.732,06 9.587,88 47.363,09 -0,24 0,41

3300 9.204,92 54.475,48 8.824,78 49.195,03 0,03 0,49

3500 192,78 937,99 70,43 388,68 0,77 0,22

Tabela 4 - Erro de rebalanceamento. Smile_{obtido no dia 5-junho-02 sobre opções com}

α

2300 1.910,02 999,01 2.015,41 927,17 -0,48 0,32

2500 2.100,26 2.612,92 2.177,56 2.499,32 -0,13 0,45

2700 4.832,57 8.503,24 3.474,06 7.166,42 0,75 0,22

2900 4.911,53 15.460,96 5.205,83 17.319,77 -0,08 0,47

3100 7.242,12 44.333,40 10.183,66 48.530,55 -0,28 0,39

3300 9.423,51 54.743,11 9.381,34 49.949,25 0,00 0,50

(46)

Cada tabela mostra para diferentes dias de coleta a média e o desvio-padrão (em reais)

do erro de rebalanceamento diário da carteira (cujo valor de face é de USD 5.000.000) para

diferentes preços de exercício. Além disso, é mostrado a estatística t e a correspondente

significância para um teste unicaudal de diferença entre a média calculada pelo modelo de

Edgeworth e aquela do modelo de Black.

As tabelas abaixo mostram o mesmo teste só que agora para uma carteira composta de

três opções nos seguintes strikes: 2500, 2900 e 3300. A motivação deste novo teste é descobrir

se a moneyness das opções influiu de alguma forma no resultado do primeiro teste.

Tabela 5 - Erro de rebalanceamento. Smile_{obtido no dia 22-maio-02 sobre opções com vencimento}

em 02-ago-02.

Média diária (R$) Desvio-Padrão Média diária (R$) Desvio-Padrão Estat t

α

4.735,89 30.625,52 4.608,59 28.111,11 0,04 0,49

em 02-ago-02.

α

4.611,31 30.426,16 4.606,02 28.030,97 0,00 0,50

(47)

em 02-ago-02.

α

5.514,76 32.421,41 5.426,52 29.855,24 0,02 0,49

Tabela 8 - Erro de rebalanceamento. Smile_{obtido no dia 5-junho-02 sobre opções com vencimento em}

02-ago-02.

α

5.478,43 32.732,76 5.588,25 30.437,07 -0,03 0,49

Vale comentarmos alguns aspectos dos resultados encontrados. Em primeiro lugar, o

tamanho da média diária do erro de rebalancemanto encontrado para os dois modelos é bem

próxima de zero como seria de se esperar para uma carteira livre de risco53.

Em segundo lugar temos uma curiosidade: a média do erro de rebalanceamento foi

positiva para todos os strikes e perídos, ou seja, a carteira comprada em opções de compra de

dólar gerou um resultado positivo. Este resultado pode ser explicado da seguinte maneira: em

todos os dias de coleta de dados, a volatilidade implícita no preço das opções girava em torno

de 17% a.a. para o período. No entanto, como a taxa de câmbio teve um comportamento

(48)

“explosivo” perto do vencimento do contrato de opções54, a sua volatilidade realizada foi bem

maior do que a implícita, ficando em torno de 28% a.a. no período. Portanto, o resultado final

positivo veio de uma posição comprada em opções que se mostrou lucrativa visto que o preço

pago pela volatilidade implícita ficou bem abaixo da volatilidade final realizada pelo

ativo-objeto.

Finalmente, vemos que o desvio-padrão da média diária varia bastante entre os

diferentes strikes. A explicação para este resultado é parecida com a anterior, ou seja, reside

no fato da taxa de câmbio ter tido um comportamento muito volátil perto do vencimento do

contrato de opções. Como o ativo-objeto55 teve uma alta de 15% nos últimos quatro dias de

negociação, passando de 2983 a 3428.50, as opções com strike-prices perto destes valores

tiveram um erro de rebalanceamento muito grande, visto que a volatilidade do ativo-objeto

estava muito alta e a sensibilidade destas opções a uma variação no preço deste ativo também

era alta56_.

54_{Ver figura 10.}

55_{Contrato de dólar futuro com vencimento em 2 de agosto de 2002.}

(49)

6. C

ONCLUSÃO

Infelizmente o que podemos notar é que o modelo de Edgeworth não apresenta ganhos

estatisticamente significantes para este teste de eficiência de hedging, o que nos levaria a

descartar seu uso, visto que o modelo de Black é operacionalmente mais fácil de ser

implementado.

Uma das possíveis explicações para este resultado pode estar no fato de não podermos

usar quaisquer valores de assimetria e curtose para ajustar o modelo. Na verdade, praticamente

todas as calibrações feitas neste trabalho nos deram um resultado de canto, mostrando que se

fosse possível teríamos parâmetros de assimetria e/ou curtose maiores do que o permitido pela

expansão de Edgeworth. Talvez uma nova função densidade de probabilidade que fosse mais

flexível para se ajustar melhor à distribuição verdadeira do ativo-objeto traria ganhos efetivos

na precificação e hedging de uma carteira de opções.

No entanto, como o modelo de Edgeworth nos permite extrair algumas informações

acerca da distribuição de probabilidade esperada para o ativo-objeto em uma data futura, a

partir de dados de mercado, poderíamos imaginar a sua utilização na área de risk-management,

por exemplo. A partir dos parâmetros estimados de curtose e assimetria, poderíamos fazer

simulações de Monte-Carlo ou algum ajuste de VaR que levasse em conta esta distribuição

(50)

Uma outra sugestão para estudos futuros seria a utilização da expansão de Edgeworth

para gerar uma função densidade de probabilidade dependente de mais momentos além dos

quatro primeiros. Talvez desta forma teríamos ganhos de informação e de eficiência que

(51)

7.1 A

PÊNDICE

I

Prova do resultado n

n

n t

t) { ( )}

(

χ

= .

[

]

[

]

= = − = = n i i n n n X n X e X n S onde itS Exp E t 1 1 , ) (

σ

µ

χ

− = − = σ µ σ µ χ i n X n n it Exp E X n it Exp E t 1 ) (

(

−

)

= − σ µ σ µ i i X n it Exp E n X n it Exp E n n n t X n it Exp

E − =

χ

( )

(52)

7.2 A

PÊNDICE

II

Fórmula fechada para uma opção de compra européia.

onde Φ

[ ]

x representa a função normal acumulada e

t t S K x

σ

µ

− = ) ln( 0 min .

[

]

[

]

[

min

]

))

(53)

8. B

IBLIOGRAFIA

Ait-Sahalia, Y. (2002) “Telling From Discrete Data Whether The Underlying

Continuous-Time Model is a Diffusion”. Journal of Finance, vol 57, 2075-2112

Barton, D., Dennis, K.. (1952) “The conditions under which Gram-Charlier and Edgeworth

curves are positive definite and unimodal”. Biometrika nº 39, 425-427

Billingsley, P.. (1995) “Probability and Measure”. 3ª ed. Wiley & Sons.

Black, F. (1976) “The Pricing of Commodity Contracts”. Journal of Financial Economics nº

3, 167-179.

Hall, P. (1992) “The Bootstrap and Edgeworth Expansion”. Springer-Verlag

Hull, J., (1997) “Options, Futures and other Derivatives”. 4ª ed. Prentice-Hall.

Jarrow, R., Rudd, A. (1982) “Approximate Option Valuation for Arbitrary Stochastic

Process”. Journal of Financial Economics nº10, 347-369

Johnson, N., Kotz, S., Balakrishann, N.. (1994) “Continuous Univariate Distributions”.

(54)

Johnson, N., Kotz, S., Kemp, A.. (1992) “Univariate Discrete Distributions”. 2ª ed. Wiley &

Sons.

Kendall, M., Stuart, A.. (1963) “The Advanced Theory of Statistics”. 2ª ed. Charles Griffin

& Company

Mittelhammer, R.. (1996) “Mathematical Statistics for Economics and Business”. Springer

Rubinstein, M (1994) “Implied Binomial Trees”. The Journal of Finance nº 3, 771-818.

Rubinstein, M. (1998) “Edgeworth Binomial Trees”. Journal of Derivatives nº 3, 20-27

Wilmott, P ,Howison, S., Dewynne,J.. (1995) “The Mathematics of Financial Derivatives”.

Cambridge University Press