Otimização de escalas de serviço de tripulações estudo de caso em uma empresa de transporte urbano na região metropolitana de Natal/RN

(1)

UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE CENTRO DE TECNOLOGIA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA DE PRODUÇÃO

OTIMIZAÇÃO DE ESCALAS DE SERVIÇO DE TRIPULAÇÕES – ESTUDO DE CASO EM UMA EMPRESA DE TRANSPORTE URBANO NA REGIÃO

METROPOLITANA DE NATAL/RN

MIRIAM KARLA ROCHA

(2)

ii MIRIAM KARLA ROCHA

OTIMIZAÇÃO DE ESCALAS DE SERVIÇO DE TRIPULAÇÕES – ESTUDO DE CASO EM UMA EMPRESA DE TRANSPORTE URBANO NA REGIÃO

METROPOLITANA DE NATAL/RN

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação de Engenharia de Produção da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (PEP-UFRN), como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia de Produção.

Orientador: Prof. Dr. Dario José Aloise

Co-orientadora: Prof.ª Dr.ª Laura Silvia Bahiense da Silva Leite

(3)

iii Rocha, Miriam Karla

Otimização de escalas de serviço de tripulações: estudo de caso em uma empresa de transporte urbano na região metropolitana de Natal / Miriam Karla Rocha. – Natal, RN, 2012.

64 f. : il.

Orientador: Dario José Aloise.

Co-orientador: Laura Silvia Bahiense da Silva Leite.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Tecnologia. Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Produção.

(4)

iv MIRIAM KARLA ROCHA

OTIMIZAÇÃO DE ESCALAS DE SERVIÇO DE TRIPULAÇÕES – ESTUDO DE CASO EM UMA EMPRESA DE TRANSPORTE URBANO NA REGIÃO

METROPOLITANA DE NATAL/RN

Dissertação de mestrado apresentada ao Programa de Pós-graduação de Engenharia de Produção da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (PEP-UFRN), como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Engenharia de Produção.

Dissertação de Mestrado apresentada e aprovada em 25 de junho de 2012 pela seguinte banca examinadora:

Prof. Dr. Dario José Aloise

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Presidente da banca (Orientador)

Prof.ª Dr.ª Laura Silvia Bahiense da Silva Leite

Universidade Federal do Rio de Janeiro

Co-orientadora

Prof.ª Dr.ª Caroline Thennecy de Medeiros Rocha

Universidade Federal do Rio Grande do Norte

Membro Interno

Prof. Dr. Francisco Chagas de Lima Júnior

Universidade Estadual do Rio Grande do Norte

(5)

v

(6)

vi AGRADECIMENTOS

Aos meus pais, que sempre me apoiaram nas minhas decisões e o ao meu namorado, André Soares, por estar ao meu lado nos momentos difíceis.

A CAPES, pelo apoio proporcionado ao longo deste mestrado que possibilitou que eu chegasse até aqui.

A Empresa que a abriu as portas para que eu pudesse aplicar o modelo e que forneceu os dados necessários para a pesquisa.

Ao meu orientador, amigo e exemplo de profissional, professor Dario Aloise, pelo apoio e ajuda ao longo dessa jornada.

A minha co-orientadora, a professora Laura Bahiense, pela acolhida na UFRJ e ajuda prestada no decorrer desta dissertação. Sempre se mostrou muito disponível, apesar da distância.

As professoras Mariana Almeida e Caroline Rocha da UFRN, pelas contribuições na etapa da qualificação.

Aos meus amigos Rafael Rodrigues, Aline Dantas, Hildelana Paiva e Saulo de Tarso pela amizade e conselhos que fizeram amadurecer as minhas ideias no decorrer deste trabalho.

As minhas amigas do estado do Rio de Janeiro Vanessa Cecatto, Thaís Iendrick, Thaís Cardoso, Mariana Ribeiro, Francyane Basile e Carina Ramos, pela acolhida de braços abertos na minha estadia de sete meses em uma cidade totalmente estranha para mim. Elas me ajudaram a suportar a dor da saudade.

(7)

vii RESUMO

Este trabalho tem por objetivo “construir” escalas de serviços de tripulações de ônibus urbano de forma a minimizar o custo com horas extras. Para tanto desenvolveu-se um modelo matemático por meio de um estudo de caso em uma empresa de transporte urbano na região metropolitana de Natal. Este problema, de uma maneira geral, é conhecido na literatura como Problema de Programação de Tripulação (PPT) e classificado como NP-difícil. A programação matemática contempla restrições tais como: realização de todas as viagens, jornada diária máxima permitida e intervalo de repouso e/ou alimentação. Foi utilizado o aplicativo Xpress-MP para implementar e validar o modelo proposto. Para as instâncias testadas o modelo apresentou uma redução da hora extra entre 38% e 84%.

(8)

viii ABSTRACT

This work aims to "build" rostering urban bus crews to minimize the cost of overtime. For this purpose a mathematical model was developed based on case study in an urban transport company in the metropolitan region of Natal. This problem is usually known in the literature as the Crew Scheduling Problem (CSP) and classified as NP-hard. The mathematical programming takes into account constraints such as: completion of all trips, daily and maximum allowable range of home and / or food. We used the Xpress-MP software to implement and validate the proposed model. For the tested instances the application of the model allowed a reduction in overtime from 38% to 84%.

(9)

ix SUMÁRIO

1. INTRODUÇÃO ... 1

1.1. CONTEXTUALIZAÇÃO DO OBJETO DE ESTUDO ... 1

1.2. RELEVÂNCIA DO TEMA ... 4

1.3. OBJETIVOS ... 5

1.4. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO ... 5

2. PROBLEMA E ESCOPO DA PESQUISA ... 7

2.1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA ... 7

2.2. RESTRIÇÕES DO PROBLEMA ... 7

3. REVISÃO DA LITERATURA ... 10

3.1. O SISTEMA DE TRANSPORTE COLETIVO ... 10

3.2. PROGRAMAÇÃO DE TRIPULAÇÕES ... 13

3.2.1. Alocação de Pessoal e Escalas de Serviços ... 13

3.2.2. Problema de Programação de Tripulações (PPT) ... 15

3.2.3. Problema de Programação Integrada de Veículos e Tripulações (PPVT) ... 17

4. MÉTODO DE PESQUISA ... 20

4.1. CLASSIFICAÇÃO DA PESQUISA ... 20

4.2. ETAPAS DA PESQUISA ... 21

5. MODELAGEM ... 24

5.1. MODELAGEM MÁTEMÁTICA ... 24

6. RESULTADOS ... 32

7. CONCLUSÕES E NOVAS DIREÇÕES DE PESQUISA ... 36

7.1. CONCLUSÕES DA PESQUISA TEÓRICA ... 36

7.2. CONCLUSÕES DO MÉTODO DE PESQUISA ... 37

7.3. CONCLUSÕES DOS RESULTADOS ... 37

7.4. LIMITAÇÕES DO TRABALHO E DIREÇÕES DE PESQUISA ... 39

REFERÊNCIAS ... 40

ANEXO A – INSTÂNCIA 1 (PEQUENA)... 43

ANEXO B – INSTÂNCIA 2 (PEQUENA)... 44

ANEXO C – INSTÂNCIA 3 (MÉDIA) ... 45

(10)

(11)

xi LISTA DE TABELAS

Tabela 1 - Evolução do PPVT ... 19

Tabela 2 - Linhas em operação ... 22

Tabela 3 - Tabela para exemplicação ... 28

Tabela 4 - Instância 1 ... 32

(12)

xii LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS

CLT - Consolidação das Leis do Trabalho

IPEA - Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada IBGE - Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística OSO - Ordem de Serviço de Operação

PCC - Problema de Cobrimento de Conjuntos PMC - Problema de Máxima Cobertura

PPC - Problema de Particionamento de Conjuntos PPT - Problema de Programação de Tripulantes PPV - Problema de Programação de Veículos

PPVT - Problema de Programação de Veículos e Tripulantes

SETRANS - Sindicato das Empresas de Transporte do Rio Grande do Norte SINTRO - Sindicato dos Trabalhadores em Transporte dos Rodoviários do

(13)

xiii LISTAS DE FIGURAS

(14)

1

1. INTRODUÇÃO

Este primeiro capítulo apresenta o contexto de forma geral e a problemática do trabalho, assim como os objetivos (geral e específico), a relevância da pesquisa e a estrutura da dissertação.

1.1. CONTEXTUALIZAÇÃO DO OBJETO DE ESTUDO

Em Natal-RN e cidades circunvizinhas, como Parnamirim, Macaíba e São Gonçalo do Amarante, as empresas de transporte coletivo utilizam as jornadas semanais de trabalho das equipes (motoristas e cobradores) com padrão ideal de duração de 44 horas, e cada funcionário trabalha 6 dias por semana. As jornadas semanais com duração maior do que o padrão ideal representam um custo maior para a empresa, pois o que excede as 44 horas é contabilizado como hora extra, e o valor pago pela hora extra é 65% maior do que a hora normal. Jornadas semanais com duração menor do que o padrão ideal representam ociosidade para a empresa e devem ser evitadas também, já que a empresa é obrigada a pagar pelas 44 horas nestes casos.

O ideal seria que a jornada de trabalho de cada equipe (tripulação – motorista e cobrador ou somente o motorista) fosse 7h20min por dia, que totalizaria 44 horas semanais, podendo ter no máximo 2h extras diárias, ou seja, jornada diária de trabalho para cada equipe de ônibus não deveria ultrapassar 09h20min, que é o tempo máximo de trabalho permitido por lei.

Criar jornadas de trabalhos a partir das tabelas de horários (sequência de viagens de uma determinada linha – Figura 1) de maneira otimizada (reduzir ao máximo os custos referentes às jornadas) é uma tarefa difícil.

De forma geral, esse problema é intitulado na literatura como Alocação de Pessoas (Staff Schedule Problem) ou também Escala de Serviço (Rostering

Problem) e pode se referir a qualquer construção de jornadas de trabalho

(15)

2 Figura 1 - Tabela de horários

Fonte: Trampolim da Vitória, 2011.

No transporte público, usualmente a programação das equipes – motoristas e cobradores – é realizada após a programação horária das linhas (Tabelas de Horários). Na figura 1, uma tabela de horário é representada com uma solução viável para as tripulações.

Nestas tabelas, as viagens são reunidas em posições (ocupação dos ônibus na linha). Uma posição apresenta a sequência de viagens que um ônibus tem que realizar em um dia típico de operação (dias úteis, sábados e domingos), começando e terminando na garagem/terminal. Não faz parte do escopo deste trabalho determinar as posições.

(16)

3 equipes. Intervalo de repouso é o tempo de descanso/alimentação entre a jornada de trabalho de uma tripulação e recolher significa que o carro foi recolhido para a garagem.

Geralmente, a partir da posição de um veículo são criados os serviços. O serviço é um conjunto de viagens que podem ser associadas a uma equipe. Para cada serviço, um custo é associado, representando custos reais, como horas extras, adicionais noturnos, e custos artificiais como, por exemplo, troca de veículos, prestação de contas. Neste trabalho, a modelagem focará apenas nos custos reais.

Cada serviço representa a jornada de trabalho de uma equipe, que é formada pelos seguintes dados: linha de operação, dia típico da operação do serviço, local inicial e final da jornada, horário de início da jornada, intervalo de repouso/alimentação, horário de rendição/término, carga diária da jornada de trabalho, e número de horas extras ou ociosas.

Neste trabalho será feito um estudo de caso na Trampolim da Vitória, empresa de transporte urbano na região metropolitana de Natal. A Trampolim foi fundada oficialmente em 19 de maio de 1998, porém suas atividades na cidade de Parnamirim foram iniciadas em 1984, após a compra da Viação Sena. Em 15 de agosto de 2004, a Trampolim passou a operar também em Macaíba e São Gonçalo do Amarante. Em 2011, começou a operar também em Ielmo Marinho.

(17)

4 1.2. RELEVÂNCIA DO TEMA

Segundo o Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada (IPEA), no que concerne aos meios de transporte, 44,3% da população utilizam o transporte público e, de acordo com o censo 2010, feito pelo IBGE, 19,6% das despesas das famílias brasileiras é com transporte.

É notório que o tema transporte urbano tem grande importância para o Brasil, uma vez que sua população necessita, na maioria dos casos, deste modal para se deslocar. Em princípio, uma redução nos custos de operação deste meio de transporte possibilitaria reduções nas despesas dos brasileiros.

Além disso, nesta área é muito difícil encontrar boas soluções que atendam preferências de empregados, distribuam igualitariamente as mudanças entre os funcionários e satisfaçam as restrições do local de trabalho. Isso porque os problemas são complexos e possuem restrições de alto nível de dificuldade (ERNST et al, 2004).

Em muitas organizações, conforme verificado por Ernst e seus colaboradores (ERNST et al, 2004), os funcionários que desenvolvem escalas de serviço necessitam de ferramentas de suporte à decisão para ajudar a escalonar os funcionários certos, no tempo certo, e com o custo certo, de modo a alcançar um alto nível de satisfação dos empregados.

Tais fatores revelam a necessidade e a importância do estudo de modelos matemáticos que proporcionem bons resultados na otimização de escalas de serviço aplicadas ao transporte urbano.

(18)

5 1.3. OBJETIVOS

O objetivo geral deste trabalho é propor um modelo matemático que minimize as horas extras das jornadas de trabalho das tripulações (motoristas e cobradores), possibilitando redução de custos trabalhistas das linhas, que representam a maior parcela nos gastos na Trampolim da Vitória. Este modelo deve respeitar a legislação trabalhista e os acordos com o Sindicato dos Trabalhadores em Transporte dos Rodoviários.

Os objetivos específicos são:

a) Incluir o caráter impessoal nas escolhas da tripulação para cada serviço;

b) Reduzir a carga de trabalho para as pessoas encarregadas pela elaboração das escalas; e,

c) Diminuir os erros (uma tripulação alocada em uma viagem inviável).

Para atender esses objetivos realizou-se um estudo de caso na Trampolim da Vitória, empresa de transporte urbano de passageiros, localizada na região metropolitana de Natal, situada em Parnamirim. Esta é responsável pela operação de 12 linhas de ônibus intermunicipais, com frota empenhada de 81 veículos além de 154 motoristas e 36 cobradores.

1.4. ESTRUTURA DA DISSERTAÇÃO

O Capítulo 1 começou situando o trabalho proposto dentro do contexto do transporte urbano. Em seguida, foi apresentado o objeto da pesquisa e discutida a relevância da pesquisa a que se propõe esta dissertação. Ao final foram apresentados os objetivos geral e específicos que nortearam a pesquisa.

(19)

6 O Capítulo 3 apresenta a revisão da literatura onde são abordados os principais sistemas de transporte coletivo, alocação de pessoal e escala de serviço, além de fazer menção às abordagens tradicionais para o problema de programação de veículos e tripulantes.

O Capítulo 4 aborda o método de pesquisa escolhido e os fatores que contribuíram para escolha do método. Nesse capítulo também são descritas as etapas do processo de pesquisa desenvolvidas que viabilizaram a execução deste projeto.

O Capítulo 5 mostra a modelagem matemática com as variáveis, parâmetros, função objetivo e restrições do problema de pesquisa, assim como a modelagem na linguagem Mosel (utilizada pelo Xpress-MP).

O Capítulo 6 apresenta os comparativos entre os resultados obtidos por meio da modelagem matemática implementada no MP-Xpress e os resultados empíricos da Trampolim da Vitória.

(20)

7

2. PROBLEMA E ESCOPO DA PESQUISA

Neste capítulo é apresentada a descrição do problema de pesquisa com a definição das hipóteses nula (H0) e alternativa (H1). Além de restrições importantes aplicadas ao transporte urbano.

2.1. DESCRIÇÃO DO PROBLEMA

O problema de pesquisa em apreço consiste em obter o melhor arranjo de viagens (escalas) para as tripulações que compõem o quadro operacional de uma empresa de transporte urbano, de modo a minimizar os custos com horas extras, por meio de um modelo matemático, a partir de uma tabela de horários de viagens de determinadas linhas (instâncias). Este modelo deve retornar as viagens que cada equipe fará, ou seja, a jornada de trabalho. Depois disto é realizado um comparativo com a solução empírica fornecida pela empresa.

A hipótese a ser verificada neste trabalho é que o modelo matemático é capaz de fornecer soluções melhores do que as da empresa, ou seja, diminuir a quantidade de horas extras das tripulações. As instâncias testadas mantêm o número de tripulações que a empresa definiu.

As hipóteses a serem testadas são definidas, estatisticamente, a seguir:

• Hipótese nula (H0): as soluções fornecidas pelo modelo são iguais a solução empírica (fornecida pela empresa);

• Hipótese alternativa (H1): as soluções fornecidas pelo modelo são melhores do que a solução empírica (fornecida pela empresa);

2.2. RESTRIÇÕES DO PROBLEMA

Antes de dimensionar as equipes de trabalho, é imprescindível respeitar as restrições estabelecidas pela convenção trabalhista, pelos acordos trabalhistas sindicais e pelos regulamentos internos da empresa.

(21)

8 não essenciais (são aquelas cujo atendimento melhora a qualidade da escala, mas que, se não satisfeitas, não geram escalas inviáveis).

A maioria das restrições essenciais consta na Convenção Coletiva de Trabalho 2010/2011 celebrada entre o Sindicato dos Trabalhadores em Transporte dos Rodoviários do Rio Grande do Norte (SINTRO) e o Sindicato das Empresas de Transporte do Rio Grande do Norte (SETRANS). Outras restrições são definidas pela CLT, e as demais pela lógica operacional (por exemplo: restrição 2), a seguir, são listadas restrições aplicadas ao transporte urbano.

1. Na eventualidade de prestação de horas extras por qualquer empregado, a empresa se obriga a efetuar o pagamento com adicional de 65% (sessenta e cinco por cento) sobre a hora trabalhada. (Cláusula 8ª da convenção trabalhista 2010/2011); 2. As rendições das equipes só podem ocorrer nos terminais das

linhas;

3. A jornada máxima de trabalho diário é de 7h20min para todos os serviços, acrescidas de até duas horas extras (Cláusula 29ª da convenção trabalhista 2010/2011);

4. O tempo entre o final de uma jornada diária de trabalho e o seu início no dia seguinte deve ser de, no mínimo, 11 horas (CLT); 5. Deve haver um intervalo mínimo de repouso de 1 hora e no

máximo de 3 horas entre as jornadas (Cláusula 33ª da convenção trabalhista 2010/2011);

6. Folga no 7º domingo: o empregado tem o direito a pelo menos um domingo a cada sete semanas de trabalho consecutivas (Cláusula 37ª da convenção trabalhista 2010/2011).

As restrições 2,4 e 6 não são contempladas neste trabalho, pois na fase de construção de jornadas elas não são relevantes.

As restrições não essenciais são definidas pelos regulamentos internos da empresa. A seguir algumas são listadas:

(22)

9 8. O tempo ocioso de uma equipe deve ser o menor possível; 9. O número de equipes deve ser mínimo;

10. Carro fixo; 11. Rendeiro fixo; 12. Turno fixo;

13. Folgas nos domingos para os operadores que não têm serviço fixo durante a semana;

14. As rendições das equipes só podem ocorrer entre grupos de linhas predeterminadas, ou seja, grupos de linhas com as mesmas características;

15. O número de vezes que uma equipe troca de linhas de um mesmo grupo deve ser minimizado;

16. O número de vezes que uma equipe troca de veículo deve ser reduzido.

(23)

10

3. REVISÃO DA LITERATURA

Neste capítulo é apresentada uma revisão da literatura perpassando pelo Sistema de Transporte Coletivo (principais etapas, atribuições do poder público e privado). Na sequência, são apresentados os principais problemas de programação matemática nessa área: Problema de Alocação de pessoal e Escala de Serviço, Problema de Programação de Tripulações (PPT)e, por fim, o Problema de Programação integrada de Veículos e Tripulações (PPVT).

Este trabalho está focado na parte de programação de tripulações, apesar disto é importante transcorrer pelos principais problemas na área de transporte coletivo, uma vez que podem trazer elucidações importantes.

3.1. O SISTEMA DE TRANSPORTE COLETIVO

As principais etapas que compõem o planejamento dos transportes públicos são (SOUSA et al., 2000; DIAS et al., 2001; CEDER, 2002) definição da rede de atendimento, definição da tabela de horários, escalonamento dos veículos às viagens e escalonamento das tripulações. Weider (2007) divide o planejamento dos transportes públicos em duas grandes fases: o planejamento estratégico, que compreende o projeto da rede de atendimento, o planejamento das linhas e definição da tabela de horários; e o planejamento operacional, que consiste na programação dos veículos, na alocação de serviços e no rodízio das tripulações (motoristas e cobradores).

As decisões sobre a estrutura dos serviços, isto é, as linhas que compõem cada serviço, seus respectivos itinerários e freqüências, assim como o tipo de veículo utilizado, geralmente, são de atribuição do poder público (planejamento estratégico). Tais decisões devem ser tomadas com base nas demandas de passageiros, nos serviços requeridos, na infra-estrutura viária disponível e nas condições disponível e nas condições de tráfego e de circulação dos veículos (REIS, 2008).

(24)

11 viagens, que indica as viagens correspondentes a cada horário e respectivos locais de partida e de chegada. A empresa operadora fica responsável pela programação de veículos e de tripulantes (planejamento operacional) com base nas programações das viagens diárias a serem cumpridas (REIS, 2008).

A figura 2 mostra esquematicamente o processo de planejamento de transportes públicos.

Figura 2 - Processo de planejamento de transportes públicos

Fonte: Adaptado de Reis (2008, p. 22)

Segundo Ceder (2002), no que se refere ao planejamento de transportes públicos, os dados a serem levantados são:

1. Topologia da rede de atendimento: a) Número de rotas;

b) Nós, paradas e tempos em uma rota; Projeto da rede de

atendimento

Planejamento das linhas

Planejamento dos pontos de paradas

Definição da tabela de horários

Programação dos veículos

Programação dos tripulantes

Rodízio das tripulações

Rotas

Tarefas Viagens

Pontos intermediáros de interfaces com a demandas

Linhas e interfaces com a demanda

Jornadas (serviços) das Tripulações Leis trabalhistas

(25)

12 c) Padrões (seqüências de nós em uma rota).

2. Demanda de passageiros e nível de serviço:

a) Carregamentos de passageiros entre dois pontos adjacentes em uma rota;

b) Número desejado de passageiros à bordo do veículo em trânsito; c) Política de freqüência dos veículos.

3. Características dos veículos: a) Tipo de veículo;

b) Capacidade do veículo;

c) Tempo de viagem do veículo entre pontos notáveis de uma rota. 4. Características das viagens:

a) Tempos de escalas (layovers) máximos e mínimos;

b) Tolerâncias nas partidas das viagens (atraso máximo de partida e adiantamento máximo de partida).

5. Informações sobre viagens em vazio (deadheads): a) Nome e localização das garagens;

b) Lista dos locais de início e término das viagens;

c) Tempos de viagens em vazio a partir da garagem para os locais de início das viagens (pull-ins);

d) Tempos de viagens em vazio dos locais de término das viagens para a garagem (pull-outs);

e) Matriz de tempos de viagens em vazio entre todas as origens e destinos das viagens.

6. Informações sobre pontos de rendição: a) Localização dos pontos de rendição;

b) Tempos de viagens entre os pontos de rendição. 7. Restrições nos serviços de pessoal tripulante:

a) Tipo de serviço; b) Duração do serviço;

c) Número de mudanças de veículo em um serviço (changeovers); d) Paradas para lanche;

e) Composição do serviço;

(26)

13 a) Lista dos tripulantes por nome e tipo;

b) Prioridade do tripulante ou regras de igualdade; c) Descrição da jornada de trabalho.

A complexidade envolvida no processo de planejamento operacional do transporte público motiva muitos pesquisadores a desenvolver procedimentos informatizados. Este trabalho, a seguir comentará alguns trabalhos desenvolvidos nessa área.

3.2. PROGRAMAÇÃO DE TRIPULAÇÕES

Nesta seção, serão apresentados conceitos relevantes para a construção do modelo matemático. Começando pela Alocação de Pessoal e Escalas de Serviços (Staff Scheduling and Rostering), que abrange a construção de jornadas de trabalhos de funcionários de qualquer ramo, desde hospitais até supermercados, farmácias, delegacias entre outros.

Na sequência, será visto o Problema de Programação de Tripulações (PPT) que é mais específico, se referindo à construção de jornadas de trabalho para tripulações.

Os problemas de alocação de pessoas e escalas de serviços (HADWAN; AYOB, 2010) e programação de tripulações (MARTELLO; TOTH, 1986) são classificados como NP-difíceis.

3.2.1. Alocação de Pessoal e Escalas de Serviços

(27)

14 a cada um. Todos os regulamentos industriais e acordos trabalhistas devem ser observados durante a implantação do modelo. (ERNST et al, 2004)

Os componentes de tal decisão incluem sistemas de suporte bem típicos como planilhas e ferramentas de banco de dados que possibilitam desenvolver ferramentas de escala de serviço, essenciais para o desenvolvimento de modelos matemáticos e algoritmos.

O desenvolvimento de modelos matemáticos e algoritmos para o problema de escala de serviço (alocação de pessoal) envolve: a) o estudo da demanda, a utilização de dados históricos e a previsão de demanda para serviço, convertendo os dados em pessoal necessário para atender os padrões, b) a análise de técnicas de solução requeridas para a ferramenta de alocação de pessoal que satisfazendo as restrições pertinentes e buscando minimizar custos e maximizar a satisfação dos empregados, e c) especificações sobre ferramentas de relatórios para exibir soluções e fornecer relatórios de desempenho (ERNST et al, 2004).

Existe um razoável número de pacotes computacionais disponíveis para ajudar na confecção de escalas de serviço. Estes softwares fornecem uma significativa capacidade de otimização que geralmente é o alvo específico da área e não pode ser de fácil transferência para outra indústria, enquanto aqueles projetados para ser amplamente aplicáveis geralmente se concentram mais em oferecer aos usuários funções de edições de manuais e relatórios extensos, mas tem suporte limitado para geração de escalas automáticas (ERNST et al, 2004).

Ernst et al (2004) propôs uma classificação para o problema de alocação de pessoal e escalas de serviço. Os problemas de escala de serviço e alocação são tratados como sinônimos.

(28)

15 Embora possa haver alguma flexibilidade associada com a utilização de pessoal permanente e em tempo parcial, as escalas de serviço têm como finalidade principal a atribuição de postos de trabalho de uma força de trabalho disponível. Há também um grande corpo de pesquisas relacionadas aos efeitos sociais e psicológicos de diferentes tipos de escalas, particularmente aquelas que envolvem o trabalho por turnos ou longos períodos de plantão. Estes estudos podem afetar o desenvolvimento das escalas, influenciando a especificação de regras locais de trabalho adequadas, ou seja, são restrições dentro de um contexto de escalas de serviço.

3.2.2. Problema de Programação de Tripulações (PPT)

O problema de programação de tripulações (Crew Scheduling Problem) consiste em alocar tripulações para o cumprimento de viagens em sistemas de transportes. Um caso particular do PPT é o problema de escalonamento de motoristas de ônibus (Bus Driver Scheduling Problem) no qual se deve construir um conjunto viável de tarefas efetuadas por uma equipe de trabalho (motorista e cobrador) em um dia de trabalho, de modo que todas as equipes cubram as escalas dos veículos. (WREN; ROSSEAU, 1995).

O PPT consiste em determinar jornadas de trabalho para os tripulantes de tal forma a viabilizar a execução de todas as viagens da empresa. Além disso, esta distribuição de trabalho deve ser realizada de maneira a minimizar os custos com mão-de-obra e, ao mesmo tempo, obedecer a legislação trabalhista e as regras operacionais sob as quais a empresa atua (SIMÕES, 2009).

O tempo consumido pela tripulação corresponde a viagens produtivas, viagens não produtivas (viagens “mortas”) e tempos de espera. Os locais onde os tripulantes podem iniciar ou terminar uma viagem, são chamados de pontos de rendição (relief points). O trabalho entre dois pontos de rendição é denominado tramo (também conhecido como peça de trabalho, ou em inglês,

piece-of-work) e este corresponde à menor unidade de trabalho de uma

(29)

16 conjuntos - PCC (Set Covering Problem ) e particionamento de conjuntos – PPC (Set Partitioning Problem).

A modelagem por meio de cobrimento de conjuntos é de mais fácil resolução computacional, se comparada à modelagem de particionamento de conjuntos. No entanto, as soluções do PCC precisam ser corrigidas, pois mais uma tarefa pode ser coberta por mais de um motorista ao mesmo tempo.

Tal situação não acontece com o modelo PPC, que se mostra mais robusto para resolução do PPT. Contudo, o PPC é um dos mais difíceis problemas de otimização combinatória existentes (PRATA, 2010).

Park e Ryu (2006) adotaram um modelo de máxima cobertura – PMC (Maximal Covering Problem) para encontrar um subconjunto de serviços que cubram a maior quantidade de tramos, ao invés de adotar um modelo de PCC para otimização de tripulantes. Segundo os autores, a abordagem PMC deixa menos tramos descobertos do que um modelo PCC.

Modelos do tipo PMC permitem que haja a sobreposição de serviços ao cobrir o tramo (overcovers). Mesmo usando o modelo PPC não existe garantia de obtenção de uma solução viável, pois as restrições de igualdade podem impedir que haja uma solução em que todas as linhas da matriz A sejam cobertas sem interseções de colunas.

Para resolver este problema, Dias et al.(2002) propõem um modelo de particionamento de conjuntos relaxado – PPCR (Relaxed Set Partitioning

Problem). Neste modelo a restrição de cobrimento de todas as linhas da matriz

A é relaxada (ou seja, leftovers são permitidos), e, desta maneira, as soluções

viáveis são garantidas.

(30)

17 3.2.3. Problema de Programação Integrada de Veículos e Tripulações (PPVT)

O problema de programação de veículos (Vehicle Scheduling Problem) consiste em designar um conjunto de veículos a um conjunto de viagens, objetivando minimizar uma função de desempenho relacionada ao capital investido e aos custos operacionais (CARRARESI; GALLO, 1984; FRELING et

al., 1999a; BAITA et al., 2000). Esta função geralmente expressa o número de

veículos alocados, o custo operacional e os tempos não produtivos (tempos de espera, viagens “mortas”, etc.).

O PPV, em termos da teoria dos grafos, pode ser descrito como a determinação do conjunto de circuitos de menor custo em um grafo, de modo a serem cobertas todas as viagens. Quando o custo fixo associado aos veículos é elevado, o PPV corresponde a encontrar o número mínimo de veículos necessários para operar todas as viagens, o que corresponde ao serviço mínimo (DADUNA; PAIXÃO, 1995).

Normalmente o PPV e PPT são resolvidos de forma seqüencial tradicional, isto é, primeiro é definido o modo de operação da frota e, em seguida, as jornadas dos tripulantes. A desvantagem desta metodologia é que o PPT torna-se dependente da programação de veículos, pois, em muitas situações práticas, os gastos das empresas com tripulantes superam aqueles relativos aos veículos (SIMÕES, 2009).

Outras abordagens para tratar PPV e PPT encontradas na literatura são (Freling et al., 2003):

(31)

18 2. Independente: PPV e PPT são resolvidos separadamente, em qualquer ordem e de forma a não se relacionarem. Geralmente os resultados obtidos são inviáveis do ponto de vista prático, pois dificilmente as soluções para PPV e PPT são compatíveis. A principal finalidade desta abordagem é a determinação de uma melhor programação para as tripulações desconsiderando os veículos e de uma melhor programação para os veículos desconsiderando as tripulações;

3. Integrada: PPV e PPT são resolvidos simultaneamente. Trata-se de uma abordagem promissora, uma vez que a forte dependência entre estes problemas sugere que uma resolução integrada possa resultar em consideráveis reduções de custo. Porém é uma abordagem de difícil resolução.

O Problema de Programação Integrada de Veículos e Tripulações (PPVT) consiste em resolver de forma simultânea o PPV e PPT, desta maneira alocar de forma eficaz e eficiente todas as viagens diárias aos veículos e as tarefas aos tripulantes. O PPVT apresenta melhores resultados do que as outras abordagens de resolução do PPV e PPT.

Contudo, conforme salientado acima, apesar de oferecer soluções melhores do que as outras abordagens, o PPVT é um problema de natureza combinatória, difícil de ser resolvido, requerendo um esforço computacional não polinomial (HUIMAN; WAGELMANS, 2006), isto significa dizer que o tempo e o esforço computacional para resolvê-lo cresce exponencialmente com o tamanho do problema.

(32)

19 Tabela 1 - Evolução do PPVT

Fonte: Elaborada pelo autor.

Autor

Contribuição

Kirkman, 1968 Primeiro trabalho que tratava o PPV utilizando método exato.

Saha, 1970; Wren, 1972 Primeiros trabalhos que tratavam o PPV utilizando procedimentos heurísticos.

Elias, 1964 Um dos precurssores das pesquisas para resolução do PPT.

Ball et al.,1983 Primeiros a propor um método de resolução para PPVT. (Método heurístico).

Tosini e Vercellis, 1988; Patrikalakis e

Xerocostas, 1992. Apresentaram heurísticas similares a Ball et al.

Patrikalakis e Xerocostas, 1992.

Primeira formulação matemática para o PPVT. No entanto, este modelo era apenas para fins ilustrativos sendo computacionalmente intratável (Freling et al., 1999).

Freling et al., 1995. Primeiros a propor uma formulação inteira para o PPVT.

Hasse e Friberg, 1999. Primeira abordagem de solução exata para o PPVT.

(33)

20

4. MÉTODO DE PESQUISA

Neste capítulo é apresentado o método de pesquisa escolhido e os fatores que contribuíram para escolha do método. Nesse capítulo também são descritas as etapas do processo de pesquisa desenvolvidas e que viabilizaram a execução deste projeto.

4.1. CLASSIFICAÇÃO DA PESQUISA

A pesquisa deste trabalho está enquadrada nas formas clássicas, (SILVA; MENEZES, 2005) descritas a seguir:

• Do ponto de vista da sua natureza: aplicada, pois objetiva gerar conhecimentos para aplicação prática e dirigidos à solução de problemas específicos envolvendo verdades e interesses locais;

• Do ponto de vista da forma de abordagem do problema: quantitativa, porque considera fatores quantificáveis;

• Do ponto de vista de seus objetivos: exploratória, pois visa proporcionar maior familiaridade com o problema por meio de construção de hipóteses;

• Do ponto de vista dos procedimentos técnicos: estudo de caso, uma vez que envolve um estudo profundo e exaustivo de um ou poucos objetos de maneira que permita o seu amplo e detalhado conhecimento.

(34)

21 na qual uma intervenção tenha ocorrido. A terceira se refere à descrição, a partir de um caso ilustrativo. Finalmente, a última aplicação se refere à estratégia do uso do caso para explorar situações que não têm um conjunto de resultados claros. Esta pesquisa se enquadra no primeiro tipo.

Ainda segundo Yin (2005), um método de estudo de caso tem como objetivo pesquisar fenômenos contemporâneos em seu próprio ambiente e, especialmente, quando a fronteira entre o fenômeno e o contexto não são claros.

No caso desta pesquisa, entenda-se por fenômeno contemporâneo a análise dos modelos matemáticos para o problema de otimização das escalas de serviço para tripulações e a avaliação de suas lacunas, considerando o caso abordado. Em termos de ambiente pode-se considerar a própria empresa onde os modelos serão aplicados.

4.2. ETAPAS DA PESQUISA

Primeiramente, foi feita uma observação direta na empresa estudada para compreender as peculiaridades envolvidas no problema, a fim de se obter dados de determinados aspectos da realidade.

Na sequência, foram feitas entrevistas não-estruturadas, uma vez que não existia rigidez de roteiro (SILVA; MENEZES, 2005). Desta forma, algumas questões poderiam ser exploradas mais amplamente. O objetivo destas entrevistas foi a obtenção de informações pormenorizadas do problema.

A observação e as entrevistas foram feitas no período de Junho de 2011 a Maio de 2012.

(35)

22 Tabela 2 - Linhas em operação

Fonte: autoria própria.

Foram selecionadas duas linhas pequenas (linhas 2 e 3 com 23 e 26 viagens, respectivamente), duas médias (linhas 9 e 10 com 46 e 50 viagens, respectivamente) e duas grandes (linhas 11 e 12 com 70 e 74 viagens, respectivamente).

À medida que o modelo matemático ia sendo construído, simultaneamente era implementado em um aplicativo de otimização (Xpres-MP). Este aplicativo utiliza a linguagem Mosel para modelagem. Atualmente, tem sido bastante útil na solução de diversos tipos de problemas, figurando entre as melhores ferramentas disponíveis no mercado para esse fim. Essa ferramenta foi desenvolvida pela empresa DASH/FICO OPTIMIZATION.

No decorrer da implementação, o modelo matemático foi re-avaliado e ajustado para representar o problema de maneira correta. Por fim, foi validado e os resultados obtidos foram analisados e comparados com os fornecidos pela empresa.

A figura 3 mostra um resumo das etapas deste trabalho.

Linha

Número de Viagens

(Dias úteis)

Linha 1 16

linha 2 23

Linha 3 26

Linha 4 30

Linha 5 31

Linha 6 34

Linha 7 35

Linha 8 46

Linha 9 50

Linha 10 53

Linha 11 70

(36)

23 Figura 3 - Etapas da Pesquisa

COMPARAÇÃO DOS RESULTADOS VALIDAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO AVALIAÇÃO DO MODELO MATEMÁTICO

MODELAGEM MATEMÁTICA IMPLEMENTAÇÃO NO XPRESS-MP SELEÇÃO DAS INSTÂNCIAS

(37)

24

5. MODELAGEM

Este capítulo apresenta a modelagem matemática proposta neste trabalh, com as variáveis, parâmetros, função objetivo e restrições do problema de pesquisa, assim como a modelagem na linguagem Mosel (utilizada pelo aplicativo Xpress-MP).

5.1. MODELAGEM MÁTEMÁTICA

O custo com as tripulações representa a maior parcela de gastos na empresa estudada, situação similar na maioria das empresas de transporte urbano.

Por este motivo, este trabalho almeja diminuir os gastos com as tripulações. Para tanto, foi elaborado um modelo matemático que tem como objetivo principal a redução de horas extras, consequentemente a redução de cargas trabalhistas.

Nenhum modelo matemático visto durante a revisão bibliográfica pôde ser aplicado diretamente no caso estudo, mas proporcionaram algumas contribuições para o problema estudado.

Primeiramente, assim como no Problema de Programação de Veículos (PPV), se faz necessário criar uma variável de decisão que informe quais as viagens consecutivas de uma tripulação qualquer. Isto porque, no momento de definir o intervalo de repouso/alimentação de uma tripulação, é necessária esta informação.

(38)

25 Outra contribuição veio da modelagem do Problema de Particionamento de conjuntos (PPC), que foi utilizada na primeira restrição do modelo deste trabalho. Nesta restrição, todas as viagens da tabela de horários de determinada linha (instância) devem ser cobertas por exatamente uma equipe.

Antes de apresentar o modelo matemático propriamente dito, faz-se necessário mencionar outra peculiaridade do problema estudado. Cada linha (instância) tem um “tempo morto” que é definido como o tempo de saída do ônibus da garagem até a chegada no terminal para começar a operação (cumprir as viagens da tabela de horários). Esse “tempo morto” conta como jornada, e deve ser decrementado nas restrições de jornada e de hora extra.

Por exemplo, sabendo que a jornada máxima permitida para uma tripulação de ônibus é de 9h20min, e uma linha leva 30 minutos da garagem até o terminal, têm-se que então o tempo máximo de operação dessa linha é de 8h50min.

O modelo matemático é apresentado a seguir:

Parâmetros:

ℎ : horário da saída da viagem i.

ℎ : horário da chegada da viagem i.

: tempo morto para a linha instância analisada.

Variáveis:

(39)

26

-.= "1, se a tripulação ( realizar a viagem / imediatamente depois da viagem *._{0, caso contrário.},

0.= "1, se a tripula_{0, caso contr}_áçã_rio.o ( realizar uma ou mais viagens entre as viagens * e /.,

12 : Hora extra da tripulação (.

Função objetivo:

5*6 7 = 8 12

9

:;

(5.1)

Restrições:

8 = 1 ∀ * = 1, … , 6

9

:;

(5.2)

+ . ≤ 1

∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6; ∀ / = 1, … , 6 tal que / > * C ℎ > ℎ. (5.3)

8 D ≤ .E;

D: F;

0.∗ / − * − 1

∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6; ∀ / = 1, … , 6 tal que / > * + 1

(5.4)

8 D ≥ .E;

D: F;

0.

∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6; ∀ / = 1, … , 6 tal que / > * + 1

-.≤

∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6; ∀ / = 1, … , 6 tal que / > *

(5.5)

-.≤ .

(40)

27

-. ≥ + . − 0.− 1

∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6; ∀ / = 1, … , 6 tal que / > *

-.≤ 1 − 0.

∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6; ∀ / = 1, … , 6 tal que / > *

8 8 -. = 1 J

.: F; ;KLMNELOPKQ

∀ ( = 1, … ,

JE;

:;

(5.6)

8 8 -. = 0 J

.: F; LMNELOPRQ

∀ ( = 1, … ,

JE;

:;

(5.7)

ℎ .− ℎ ∗ S + . − 1T − U6 CVWXYZ ≤ 9,33 −

∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6; ∀ / = 1, … , 6; ∀ / > *

(5.8)

]6^C: U6 CVWXYZ = 8 8 -.∗ ℎ.− ℎ J

.: F; ;KLMNELOPKQ

∀ ( = 1, … ,

JE;

:;

12 ≥ ℎ .− ℎ ∗ + . − 1 − U6 CVWXYZ − 7,33 −

∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6; ∀ / = 1, … , 6; ∀ / > * (5.9)

∈ a0,1 b ∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6

(5.10)

-., c. ∈ a0,1 b ∀ ( = 1, … , ; ∀ * = 1, … , 6; ∀ / = 1, … , 6

12 ≥ 0 ∀ ( = 1, … , (5.11)

A função 5.1 objetiva minimizar as horas extras de cada tripulação (equipe) – é considerada hora extra qualquer excedente a 7h20mim, por exemplo, se uma tripulação k tiver uma jornada de 7h50min, a hora extra, neste caso, seria igual 30min (0,5h).

(41)

28 Tabela 3 - Tabela para exemplicação

Fonte: autoria própria

Observando as equações abaixo, fica claro que a restrição 5.2 obriga que cada viagem j tenha exatamente uma tripulação k que a realize. Para todas as viagens o somatório das equipes é igual a um, uma vez que, esse variável é binária então somente uma tripulação será escolhida.

dXVX * = 1 → a ;;+ ;f+ ;Q= 1 (5.12)

dXVX * = 2 → a f;+ ff+ fQ= 1 (5.13)

dXVX * = 3 → a Q;+ Qf+ QQ= 1 (5.14)

dXVX * = 4 → a i;+ if+ iQ= 1 (5.15)

A restrição 5.3 garante que cada tripulação k só fará a próxima viagem j quando chegar da viagem anterior i. Nesta restrição, houve a necessidade de se criar o índice j (que também se refere a uma viagem), para comparar se o

hci (horário de chegada da viagem i) é maior que o hsj (horário de saída da

viagem j).

Ainda utilizando ainda a tabela 3 para exemplificar, a equação 5.16 mostra como funciona a restrição 5.3. Para uma mesma tripulação k e j= 2, o índice i só pode ser igual a 1 , pois j>i. Neste caso hc1>hs2 , um vez que, 6:25>5:35. Desta forma apenas uma das duas viagens (1 e 2) poderá ser feita por uma mesma equipe. No caso das viagens 1 e 4 não há restrições, pois

hc1<hs4.

Viagem Tripulação Horário de

Saída

Horário de Chegada

1 1 4:55 6:25

2 2 5:35 7:20

3 3 6:10 7:55

(42)

29

dXVX ( = 1 → / =

j k k l k k

m1 → a* = 0 → ∅ _{2 → a* = 1 → ℎ}

;> ℎ f→ o* ∴ ;;+ f;≤ 1

3 → q* = 1 → ℎ_{* = 2 → ℎ} ;> ℎ Q→ o* ∴ ;;+ Q;≤ 1

f> ℎ Q→ o* ∴ f;+ Q;≤ 1

,

4 → r* = 1 → ℎ* = 2 → ℎ;f> ℎ> ℎii→ sãZ ∴ oC VC . → o* ∴ f;+ i;≤ 1

* = 3 → ℎ Q> ℎ i→ o* ∴ Q;+ i;≤ 1

,

, (5.16)

As restrições 5.4 servem para encontrar o valor da variável auxiliar, 0_.,

que será igual a 1 se a tripulação k realizar uma ou mais viagens entre as viagens i e j ; 0, caso contrário.

Se k=1 e i=1 então j será qualquer valor maior que 2, pois j>i+1. Utilizando a tabela 3 para exemplificar a restrição 5.4, temos:

dXVX / = 4,

C Z :

j k l k

m 8 D;≤ iE;:Q

D:;F;:f

0;i; ∗ 4 − 1 − 1 → 0 ≤ 20;i; ∴ 0;i; = 0 Zt 0;i; = 1

8 D;≥ iE;:Q

D:;F;:f

0;i; → 0 ≥ 0;i; ∴ 0;i; = 0

, (5.17)

∴ 0;i; = 0

Supondo que a viagem 3 também seja feita pela equipe 1 (esta suposição é inviável, mas será utilizada para exemplificar outra situação na restrição 5.4), temos:

dXVX / = 4,

C Z :

j k l k

m 8 D;≤ iE;:Q

D:;F;:f

0;i; ∗ 4 − 1 − 1 → 1 ≤ 20;i; ∴ 0;i; = 1

8 D;≥ iE;:Q

D:;F;:f

0;i; → 1 ≥ 0;i; ∴ 0;i; = 0 Zt 0;i; = 1

, (5.18)

∴ 0;i; = 1

As restrições 5.5 servem para encontrar o valor da variável auxiliar, -_.,

(43)

30 encontrar o intervalo de repouso e/ou alimentação das tripulações que minimize as horas extras.

As equações 5.19 a 5.24 mostram como a restrições 5.5 funcionam.

= . = 0.= 0 , C Z : q-_-.≤ 0 C -. ≤ 0

.≥ −1 C -.≤ 1, ∴ -.u= 0

(5.19)

= . = 0 C 0.= 1 , C Z : q_--. ≤ 0 C -.≤ 0

. ≥ 0 C -.≤ 0 , ∴ -.u= 0 (5.20)

= . = 0.= 1 , C Z : q-_-.≤ 1 C -.≤ 1

.≥ 0 C -.≤ 0 , ∴ -.u = 0 (5.21)

= . = 1 C 0.= 0 , C Z : q-_-.≤ 1 C -.≤ 1

.≥ 1 C -.≤ 1 , ∴ -.u = 1

(5.22)

S = 0, . = 1TZt = 1, . = 0 C 0.= 1 , C Z : q_--.≤ 0 C -.≤ 1 . ≥ −1 C -.≤ 0

,

∴ -.u= 0

(5.23)

S = 0, . = 1TZt = 1, . = 0 C 0. = 0 , C Z : q-_-.≤ 0 C -.≤ 1 .≥ 0 C -.≤ 1

,

∴ -.u= 0

(5.24)

A restrição 5.6 garante que cada tripulação k tenha somente 1 (um) intervalo de repouso e/ou alimentação de no mínimo 1 hora e no máximo de 3 horas na sua jornada de trabalho diária.

Para duas viagens consecutivas com uma diferença de 1h à 3h entre o horário de saída (hsj) e o horário de chegada (hci) esta restrição permitirá

escolher um par de viagens (i e j) consecutivas que satisfaz este intervalo e que minimize a quantidade de horas extras na função objetivo.

O intervalo de repouso e/ou alimentação é uma condição imposta pelo sindicato dos rodoviários do RN, e deve ser igual ou superior a 1h e igual ou inferior a 3h entre duas viagens consecutivas de uma mesma tripulação.

A restrição 5.7 garante que cada tripulação não tenha nenhum intervalo superior a 3 horas na jornada.

(44)

31 qualquer par de viagens que a tripulação k fizer a diferença entre hcj e o hsi

menos o intervalo da equipe k não deve ultrapassar a 9,33h.

A restrição 5.9 atribui o valor da hora extra de cada tripulação k. É calculado da seguinte forma: a jornada da tripulação menos 7h20min (7,33h), desta forma qualquer excedente a 7,33h será hora extra.

(45)

32

6. RESULTADOS

Neste capítulo são mostrados comparativos entre os resultados obtidos por meio da modelagem matemática implementada no MP-Xpress e os resultados empíricos aplicados pela empresa. Os modelos foram executados em um computador Intel Core 2 Duo, 2,66 GHz, 3,93 GB de RAM.

A tabela 4 apresenta o comparativo da instância 1. Esta linha possui 23 viagens diárias, 38 minutos de hora extra por dia útil (segunda a sexta) e 6 tripulações para cumprir a tabela de horário.

Tabela 4 - Instância 1

A modelagem matemática conseguiu reduzir 15 minutos por dia útil na instância 1. Isto significa que houve uma redução de 38% de hora extra por dia. A tabela 5 apresenta o comparativo da instância 2. Esta linha possui 26 viagens diárias, 2h e 55 minutos de hora extra por dia útil e 5 tripulações para cumprir a tabela de horário.

Tripulação Jornada Hora extra Jornada Hora extra

1 7h05min 0min 5h30min 0min

Total 40 min 25min

Redução 38%

(46)

33 Tabela 5 - Instância 2

A modelagem matemática conseguiu reduzir 1h e 10 minutos por dia útil na instância 2. Isto significa que houve uma redução de 40% de hora extra por dia.

A tabela 6 apresenta o comparativo da instância 3. Esta linha possui 46 viagens diárias, 2h e 39 minutos de hora extra por dia útil e 15 tripulações para cumprir a tabela de horário.

Tripulação Jornada Hora extra Jornada Hora extra

3 9h10min 1h50min 7h20min 0min

4 7h25min 5min 8h45min 1h25min

Total 2h55min 1h45min

Redução 40%

EMPRESA MODELAGEM

Equipe Jornada Hora extra Jornada Hora extra

5 8h31min 1h11min 7h00min 0min

14 8h23min 1h03 6h21min 0min

Total 2h39min 26min

Redução 84%

(47)

34 A modelagem matemática conseguiu reduzir 2h e 13 minutos por dia útil na instância 3. Isto significa que houve uma redução de 84% de hora extra por dia.

A tabela 7 apresenta o comparativo da instância 3. Esta linha possui 50 viagens diárias, 2h e 38 minutos de hora extra por dia útil e 15 tripulações para cumprir a tabela de horário.

Fonte: autoria própria.

A modelagem matemática conseguiu reduzir 1h e 54 minutos por dia útil na instância 4. Isto significa que houve uma redução de 77% de hora extra por dia.

Os tempos de processamento para encontrar a solução ótima foram de aproximadamente 2h e 26 minutos, 1h e 46 minutos, 1h e 43 minutos e 18h e 3 minutos para as instâncias 1, 2, 3 e 4, respectivamente.

Equipe Jornada Hora extra Jornada Hora extra

Total 2h28min 34min

Redução 77%

(48)

35 Comparando os resultados, pode-se afirmar que para as primeiras quatro instâncias testadas houve uma redução expressiva das horas extras variando entre 38% e 84%.

Sabendo que o valor da hora extra é 65% maior do que à hora normal e que o salário de um motorista e cobrador é de R$1350,00 e R$810, respectivamente, pode-se concluir que esta modelagem proporcionou uma redução de 67% no custo com horas extras para as quatro instâncias testadas.

Para as duas instâncias maiores, o Xpress-MP apresentou um erro: out of

memory. É provável que este erro tenha sido devido a falta de memória do

computador utilizado para executar o modelo matemático, porque o modelo está muito grande em termos de variáveis inteiras. São 6.486, 6.890, 64.170, 75.750, 256.620 e 308.728 variáveis inteiras para as instâncias 1, 2, 3, 4, 5 e 6, respectivamente.

Por meio da análise deste problema, pode-se notar que nas linhas com maior número de viagens houve o maior percentual de redução. Isto porque, na medida em que se aumenta este parâmetro aumenta em escala exponencial a dificuldade de encontrar boas soluções. Desta forma, o modelo mostrou um melhor desempenho nestes casos.

(49)

36

7. CONCLUSÕES E NOVAS DIREÇÕES DE PESQUISA

Neste capítulo são apresentadas conclusões da pesquisa teórica, do método de pesquisa, dos resultados e por fim limitações do trabalho e direções de pesquisa.

7.1. CONCLUSÕES DA PESQUISA TEÓRICA

Nas pesquisas prévias, foram encontradas algumas resoluções deste problema com algoritmos heurísticos. Possivelmente, pelo fato deste problema ser NP-difícil. O que significa que para instâncias grandes o tempo de solução pode ser intratável. Estes algoritmos não estão no referencial teórico, pois não fazem parte do escopo deste trabalho.

Apesar disto, foram encontrados modelos matemáticos correlatos valiosos para a elaboração deste trabalho, como os de Freling et al. (1999a) e Freling et

al. (2001a). Os demais modelos analisados foram considerados pouco

(50)

37 7.2. CONCLUSÕES DO MÉTODO DE PESQUISA

O método de estudo de caso proporcionou avaliar o comportamento do modelo matemático com um problema da vida real. Desta forma, se mensurou os benefícios que esta aplicação traria em uma empresa de transporte urbano.

A escolha de utilizar um método exato ocorreu pelo fato de não ser encontrado na literatura nenhum modelo matemático que contemplasse o problema em apreço. Além disso, por se tratar de uma empresa que possui linhas de no máximo 74 viagens diárias, este tipo de método poderia resolver o problema de forma ótima.

Outro fator que contribuiu para a escolha do método exato foi o tempo necessário para resolução deste problema de forma ótima. Este tempo variou de 1h e 43 minutos à 18h e 3 minutos para as instâncias testadas com sucesso.

Em conversa com os responsáveis operacionais da empresa o tempo de espera poderia ser até maior que 18h e 3 minutos. Segundo a empresa poderia se considerar aceitável até uma espera de dias, uma vez que o processo de construir escalas de serviço e alocar as tripulações a tabela de horários, é demorado, por vezes consome dias dos funcionários que a elaboram.

7.3. CONCLUSÕES DOS RESULTADOS

Os resultados obtidos com a modelagem matemática foram satisfatórios para as quatro primeiras instâncias testadas (duas pequenas e duas médias). O modelo apresentou uma melhoria significativa (até 84% de redução), diminuindo o total de horas extras das linhas de ônibus. Além disso, houve redução no custo com horas extras de 67% para as quatro linhas testadas.

(51)

38 uma vez que modelo reduziu as horas extras em todas as instâncias testadas com sucesso.

A modelagem matemática também proporcionou o cumprimento dos objetivos específicos mencionados a seguir:

a) Incluir o caráter impessoal nas escolhas da tripulação para cada serviço;

b) Reduzir a carga de trabalho para as pessoas que desenvolvem as escalas; e

c) Diminuir os erros (uma tripulação alocada em uma viagem inviável).

O modelo alocou de forma ótima as tripulações para cada serviço. Os funcionários responsáveis por esta função, que antes demoravam até dias para cumpri-la não vão mais despender tanto tempo, já que o modelo exerceu essa tarefa sem erros e com mínimo de horas extras. Desta forma, poderão se dedicar a tarefas de monitoramento, gestão, controle, avaliação de desempenho e funções que estavam em segundo plano devido à alta carga exigida para elaboração das escalas serviço.

As hipóteses que foram testadas neste trabalho eram:

• Hipótese nula (H0): as soluções fornecidas pelo modelo são iguais a solução empírica (fornecida pela empresa);

• Hipótese alternativa (H1): as soluções fornecidas pelo modelo são melhores a solução empírica (fornecida pela empresa);

(52)

39 7.4. LIMITAÇÕES DO TRABALHO E DIREÇÕES DE PESQUISA

A maior limitação deste trabalho foi o erro apresentado nas instâncias grandes. Como já mencionado, esse erro se deu pela falta de memória do computador utilizado para executar o modelo matemático, porque o modelo está muito grande, com muitas variáveis inteiras.

Contudo, para remediar este problema, seria necessária uma reformulação do problema por meio de um número bem menor de variáveis inteiras, pois a quantidade muito grande de variáveis inteiras inviabiliza a resolução de problemas grandes em um tempo computacional razoável, mesmo utilizando-se computadores de grande porte.

Como direções para a pesquisa futura neste tema, sugere-se considerar as restrições não essenciais da empresa apresentadas no capítulo 2, e que ficaram de fora da modelagem matemática realizada neste trabalho, quais sejam:

• Garantir que o tempo ocioso de uma equipe seja o menor possível;

• Garantir que o número de equipes seja mínimo.

Isso pode ser feito por meio de uma abordagem multiobjetivo na formulação matemática.

(53)

40 REFERÊNCIAS

ARABEYRE J. et al.,.The airline crew scheduling problem: A survey, Transportation Science, vol. 3, p. 140–163, 1969.

BAILEY J., Integrated days oﬀ and shift personnel scheduling, Computers and Industrial Engineering, vol. 9, p. 395 – 404, 1985.

BAITA, F. et al,. A comparison of different solution approaches to the vehicle scheduling problem in a practical case. Computers & Operations Research, vol. 27, n. 13, p. 1249–1269, 2000.

CAPRARA A. et al, A global method for crew planning in railway applications, Computer-Aided Scheduling of Public Transport, Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, vol. 505, Springer Publishers, p. 17– 36, 2001.

CARRARESI, P.; GALLO, G. Network models for vehicle and crew scheduling models. Transportation Research Part B, vol. 37, p. 301 – 322, 1984.

CEDER, A. Urban transit scheduling: framework, review and examples. Journal of Urban Planning and Development, vol. 128, n. 4, p. 225 – 244, 2002.

Convenção Coletiva de Trabalho 2010/2011. Natal-RN.

DADUNA, J. R.; PAIXÃO, J. M. P. Vehicle Scheduling for public mass transit – an Overview. In: DADUNA, J. R.; BRANCO, I.; PAIXÃO, J. M. P. (Eds.) Computer-Aided Transit Scheduling. Lecture Notes in Economics and Mathematical Systems, Springer, vol. 430, p. 76–90, 1995.

DIAS, M. T. G.; SOUSA, J. M. P.; CUNHA, J. F. Genetic algorithms for the bus driver scheduling problem: a case study. Journal of the Operational Research Society, vol. 53, p. 1–12, 2002.

(54)

41 ERNST, A. T. et al. Staff scheduling and rostering: A review of applications, methodos and models. European Journal of Operational Research, vol. 153, p. 3-27, 2004.

FRELING, R. et al. An overview of models and techniques for integrating vehicle and crew scheduling. Computer-Aided Transit Scheduling, p. 441– 460. 1999b.

FRELING, R. et al. Models and Algorithms for Integration of vehicle and Crew Scheduling. Journal of Scheduling, v. 6, p,63-85. 2003.

FRELING, R. et al., Models and algorithms for vehicle scheduling. In: Report 9562/A, Econometric Institute, Erasmus University Rotterdam, 1999a.

FRELING, R.; Boender, C. G. E. e Paixão, J. M. P. An integrated approach to vehicle and crew scheduling. Technical Report 9503/A. Econometric Institute, Erasmus University Rotterdam, Rotterdam. 1995.

FRELING, R.; PAIXÃO, J. M. P.; WAGEKMANS, A. P. M. Models and algorithms for single-depot vehicle scheduling. Transportation Science, vol. 35, n. 2, p. 165 – 180, 2001a.

HADWAN, M., AYOB, M. A Constructive Shift Patterns Approach with Simulated Annealing for Nurse Rostering Problem. Proceedings 2010: International Symposium on information Technology – Visual informatics. Art. nº 5 561304, 2010.

IBGE (Instituto Brasileiro de Geografia Estatísticas). Disponível em:< http://www.ibge.gov.br/censo2010/> Acessado em: 09.Jun.2012

IPEA (Instituto de Pesquisa Econômica Aplicada). Disponível em:< http://www.ipea.gov.br/portal/index.php?option=com_content&view=article&id=6 966&catid=159&Itemid=75> Acessado em: 09.Jun.2012

(55)

42 PARK, T.; RYU, K. R. Crew pairing optimization by a genetic algorithm with unexpressed genes. Journal of Intelligent Manufacturing, vol. 17, n. 4, p. 375–383, 2006.

PRATA, B. D. A. Programação integrada de veículos e motoristas: uma visão geral. Revista Eletrônica Sistemas & Gestão 4, p.182-204. 2010.

REIS, J. V. A. D. Heurísticas Baseadas em Busca em Vizinhança Variável para o Problema de Programação Integrada de Veículos e Tripulações no Transporte Coletivo Urbano por Ônibus. Dissertação de Mestrado. Escola Politécnica da Universidade de São Paulo. 2008.

SILVA, E. L. D, MENEZES, E. M. Metodologia da Pesquisa e Elaboração de Dissertação. 4ª Ed. Florianópolis – SC. 2005

SIMÕES, E. M. L. Algoritmo para Programação Integrada de veículos e Tripulantes no Sistema de Transporte Público por Ônibus. Dissertação. Mestre em Ciência da Computação. Universidade Federal de Minas Gerais. 2009.

SOUSA, J. P; et al., Um Sistema de Apoio à Decisão para o Planejamento Operacional de Transportes Colectivos. In: Casos de Aplicação da Investigação Operacional, McGraw-Hill, p. 109 –130, 2000.

TIEN, J., KAMIYAMA, A. On manpower scheduling algorithms, SIAM Review 24, p. 275–287, 1982.

YIN, R. K. Estudo de caso: planejamento e métodos. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2005.

WEIDER, S. Integration of vehicle and duty scheduling in public transport. Der. Rer. nat. Thesis. Technischen Universität Berlin, Berlin. 2007.

(56)

43 ANEXO A – INSTÂNCIA 1 (PEQUENA)

Viagem Horário de Saída

Horário de Chegada

1 4:55 6:25

2 5:35 7:20

3 6:10 7:55

4 6:50 8:35

5 7:25 9:10

6 8:20 9:45

7 9:20 10:45

8 10:15 11:40

9 11:00 12:30

10 11:45 13:15

11 12:10 13:40

12 13:00 14:25

13 14:00 15:25

14 15:00 16:27

15 16:00 17:52

16 16:40 18:42

17 17:20 19:15

18 18:05 20:00

19 18:50 20:20

20 19:35 21:05

21 20:30 21:55

22 21:25 22:50

23 22:20 23:45

(57)

44 ANEXO B – INSTÂNCIA 2 (PEQUENA)

Horário de Chegada

1 4:30 5:45

2 5:00 6:15

3 5:50 7:20

4 6:20 7:55

5 7:25 8:50

6 8:00 9:15

7 8:55 10:10

8 10:00 11:20

9 11:00 12:20

10 11:25 12:50

11 12:00 13:25

12 12:30 14:00

13 12:55 14:25

14 13:35 14:55

15 14:10 15:30

16 15:00 16:20

17 15:50 17:10

18 16:25 17:45

19 17:15 18:35

20 17:55 19:25

21 18:40 20:05

22 19:35 20:55

23 20:15 21:40

24 21:00 22:20

25 21:45 23:00

26 22:30 23:45

(58)

45 ANEXO C – INSTÂNCIA 3 (MÉDIA)

Horário de

Chegada Viagem

Horário de Saída

Horário de Chegada

1 4:30 6:00 24 12:21 14:11

2 4:55 6:30 25 12:41 14:36

3 5:10 6:55 26 13:01 14:56

4 5:25 7:20 27 13:21 15:11

5 5:40 7:35 28 13:51 15:41

6 5:55 7:50 29 14:21 16:11

7 6:10 8:05 30 14:51 16:46

8 6:25 8:20 31 15:11 17:06

9 6:40 8:35 32 15:31 17:26

10 7:00 8:55 33 15:49 17:44

11 7:25 9:20 34 16:07 18:02

12 7:55 9:45 35 16:25 18:20

13 8:30 10:20 36 16:43 18:38

14 9:05 10:55 37 17:03 18:58

15 9:40 11:30 38 17:23 19:18

16 10:05 11:55 39 17:53 19:48

17 10:30 12:20 40 18:28 20:18

18 10:48 12:38 41 19:03 20:48

19 11:06 12:56 42 19:38 21:23

20 11:21 13:11 43 20:13 21:58

21 11:36 13:26 44 20:48 22:28

22 11:51 13:41 45 21:23 23:03

23 12:06 13:56 46 21:53 23:38