Osciladores clássicos com massa dependente da posição.

(1)

Osciladores cl´

assicos com massa dependente da posi¸c˜

ao

(Classical oscillators with position-dependent mass)

J.P.G. Nascimento

1

e I. Guedes

1,2

1

Departamento de F´ısica, Universidade Federal do Cear´a, Fortaleza, CE, Brasil

2

Seara da Ciˆencia, Universidade Federal do Cear´a, Fortaleza, CE, Brasil

Recebido em 20/2/2014; Aceito em 26/6/2014; Publicado em 3/10/2014

Neste trabalho estudamos osciladores clássicos com massa dependente da posi¸cão (OMDP). A correspondência entre as solu¸cões do OMDP e do oscilador com massa constante (OMC) é obtida através do método de fatora¸cão do hamiltoniano. Os resultados são ilustrados para o sistema comm(x) = m0(x2+a2), onde analisamos as

trajet´orias no espa¸co de fase.

Palavras-chave: oscilador harmˆonico, massa dependente da posi¸c˜ao, espa¸co de fase.

In this work we study from the classical point of view the position-dependent mass (PDM) oscillators. The cor-respondence between the solutions of the PDM and the constant mass (CM) oscillator is obtained by means of the factorization of the Hamiltonian. The results are illustrated by considering the system withm(x) =m0(x2+a2),

where we analyze its phase space trajectories.

Keywords: harmonic oscillator, position dependent-mass, phase space.

1. Introdu¸

c˜

ao

Nos livros básicos de f´ısica, o estudo do oscila-dor harmônico é feito considerando a massa (m) da part´ıcula independente tanto do tempo quanto da posi¸cão. Entretanto, existem diversos sistemas que para serem adequadamente descritos, a massa deve de-pender do tempo ou da posi¸cão. Sistemas onde a massa depende do tempo, ou de forma mais geral, sistemas descritos por hamiltonianos dependentes do tempo apa-recem em diversas áreas da f´ısica como, por exemplo: ótica quântica, f´ısica molecular, qu´ımica quântica, teo-ria quântica de campos, e f´ısica de plasmas [1-5]. Sis-temas onde a massa depende da posi¸cão são utilizados no estudo das propriedades eletrônicas de semicondu-tores [6], cristais homogêneos [7], pontos [8] e l´ıquidos quânticos [9].

Do ponto de vista da mecânica quântica, ao estudar-mos sistemas onde a massa depende da posi¸cão deveestudar-mos ter cuidado ao escrever o operador energia cinética (T), haja visto que, agora, a massa e o operador momentum não comutam. De acordo com vonRoos [10], para que o hamiltoniano que descreve o sistema seja hermitiano, o operador energia cinética deve ser escrito como

T =1 4 (

mα_pmβ_pmγ₊_mγ_pmβ_pmα)

, (1)

onde m =m(x), p=₋i~d_/_dx _e _α_, _β _e_γ _{satisfazem a}

rela¸c˜ao de v´ınculo

α+β+γ=−1. (2)

O operador hamiltoniano para um sistema com massa dependente da posi¸c˜ao ´e dado por

H =T(x) +V(x), (3)

onde T(x) é o operador energia cinética dado pela Eq. (1) eV(x) é o termo de potencial. A equa¸cão de Schrödinger independente do tempo (ES) para estados estacionários é dada por

Hψ(x) =Eψ(x). (4)

Considerando por simplicidadeα=γ= 0 eβ =₋1, obtemos

T =1 2 (

pm−1p)

. (5)

Substituindo as Eqs. (5) e (3) na Eq.(4), e conside-rando o sistema de unidades no qual~2_{= 2 , obtemos}

a seguinte ES para o operador energia cin´etica genera-lizado

d2_ψ dx2 −

m′ m

dψ

dx +m(E−V(x))ψ= 0, (6)

ondem′ ₌_dm/dx_{Agora, considerando atransforma¸c˜ao}

2

E-mail: [email protected].

(2)

ψ(x) =√

m(x)ϕ(x), (7)

encontramos

d2_ϕ dx2 +

[

m′′

2m −

3 4

m′2

m2 +m(E−V(x))

]

ϕ= 0, (8)

que ´e a ES para uma part´ıcula de massa constante e potencial efetivo

Vef(x) =

[

V(x)− m

′′

2m2 +

3 4

m′2 m3

]

, (9)

ou seja, o problema de uma part´ıcula com massa de-pendente da posi¸cão em um potencial V(x) pode ser transformado através da Eq. (7), no problema de uma part´ıcula com massa unitária em um potencial efe-tivo,Vef.

E do ponto de vista da mecânica clássica, que mu-dan¸cas devem ocorrer ao escrevermos o hamiltoniano do sistema? Considere o caso mais simples do movimento de uma part´ıcula com massa unitária que desliza sob a a¸cão da gravidade e sem atrito em um fio parabólico [11]. Escolhendo xcomo a coordenada generalizada e da equa¸cão da parábolay = x2

2, temos que a

lagrangi-ana ´e dada por

L=1 2 (

˙

x2+ ˙y2)

−gy= 1 2 (

1 +x2) ˙

x2₋g

2x

2_.

Como a energia cinética está na forma quadrática em ˙x2_{, o hamiltoniano (}_H ₌_T₊_V_{), é dado por}

H= p

2

2(1 +x2₎+ g

2x

2_. ₍₁₀₎

Observe que na express˜ao da energia cin´etica apa-rece um termo de “massa”,m(x) = (1 +x2_{), e, nesse}

caso, o momento canˆonico ´e dado por p= (1 +x2_{) ˙}_x_.

Devido ao v´ınculo y = x2

2 o potencial torna-se

pa-rabólico. A Eq. (10) é interpretada como a hamiltoni-ana de uma part´ıcula com massa dependente da posi¸cão movendo-se em um potencial harmônico. A Eq. (10) indica que não há problema em escrever a expressão para a energia cinética comoT = ₂_mp2₍_x₎. Mas, de uma maneira geral, dada uma distribui¸cão de massa (m(x)) como obter uma expressão para o potencialV(x)?

A resposta foi dada por Cruz y Cruz, Negro e Ni-eto. [12, 13] que utilizaram o método de fatora¸cão do hamiltoniano do sistema em considera¸cão para encon-trar a seguinte rela¸cão

V(x) = 1 2

(_x

∫√m(y)dy+X0

)2

, (11)

ondeX0´e uma constante de integra¸c˜ao.

Estes autores estudaram, tanto classicamente quanto quanticamente, trˆes sistemas com massa depen-dente da posi¸c˜ao, a saber [12]: (i) m1(x) = ₁₊₍m_λx0₎2,

(ii) m2(x) = ₍₁₊m_λx0₎2, e (iii) m3(x) =

(

m0 (1−(λx)2₎2

) . Pouco tempo depois, estes mesmos autores [13] apre-sentaram um estudo similar para os seguintes oscila-dores: (i) m1(x) = m0

(₁₊_λ₊₍_ax₎2 1+(ax)2

)

, (ii) m2(x) = m0tanh2(λx), e (iii)m3(x) =

(

m0 1−(λx)2

) .

Nosso objetivo neste trabalho é utilizar o método de fatora¸cão apresentado nas Refs. [12, 13] no sistema onde m(x) = m0(x2+a2) e estudar suas trajetórias

no espa¸co de fase (x(t),p(t)) Esta dependência é im-portante não apenas do ponto de vista teórico, mas também do ponto de vista prático, pois pode ser uti-lizada na modelagem de heteroestruturas abruptas ou suaves [14, 15]. Na se¸cão 2 discutimos o método de fatora¸cão apresentado nas Refs. [12, 13], na se¸cão 3 apresentamos e discutimos os resultados, e, por fim, na se¸cão 4 apresentamos alguns comentários finais.

2. O m´

etodo de fatora¸

c˜

ao

Nosso objetivo é encontrar a correspondência entre os hamiltonianos do oscilador harmônico com massa constante (OMC) e com massa dependente da posi¸cão (OMDP). Inicialmente vamos desenvolver o método de fatora¸cão para o OMC. Considere o seguinte hamilto-niano para o OMC

H =P

2

2 +

X2

2 , (12)

onde X eP (= ˙X) são, respectivamente, as variáveis canônicas de posi¸cão e momentum. Observe que ao escrevermos a Eq. (12) utilizamos um sistema de uni-dades no qualm=ω= 1 . Através das rela¸cões

a±₌ _√1

2(X∓iP), (13)

H pode ser fatorado nas formas

H =a+a− ₌_a−_a+_, ₍₁₄₎

onde (a−₎∗₌_a+_{. As novas vari´}_{aveis canônicas}_a−_e a+_{obedecem à álgebra de Heisenberg com os parênteses}

de Poisson [14], a saber

i{

a−_{, a}+}

= 1, (15)

i{

H, a±}

=_±a±_. ₍₁₆₎

Podemos obter as integrais primeiras de movimento definindo as vari´aveis

Q±₌_a±_e∓it₌_√1

2(X∓iP)e

(3)

com isto H = Q+_Q−_{. No presente caso, a energia}

cinética é uma fun¸cão puramente quadrática da cidade e a fun¸cão energia potencial independe da velo-cidade. Sendo assim, a hamiltonianaH é igual à ener-gia mecânica total do sistema, H = E, que é conser-vada. Escrevendo Q± ₌√_Ee±iϕ_{, onde} _ϕ _{é uma fase}

a ser determinada pelas condi¸c˜oes iniciais, e utilizando as Eqs. (17) e (13), obtemos as express˜oes usuais para

X eP a saber

X(t) =√2Ecos(t+ϕ), (18)

e

P(t) =−√2Esin(t+ϕ). (19)

Agora considere que de forma geral o hamiltoniano para um OMDP escreve-se

H = p

2

2m(x)+V(x), (20)

onde m(x) é uma fun¸cão arbitrária da posi¸cão eV(x) é o potencial a ser determinado a partir da forma de

m(x). O método utilizado por Cruz y Cruz, Negro e Nieto [12, 13] supõe que o hamiltoniano dado pela Eq. (20) também possa ser fatorado da mesma forma que foi feito para o OMC. Assim, considerando que

A±₍_{x, p}_{) =}

∓i√ p

2m(x)+W(x), (21) obtemos

H=A+A−₌_A−_A+₌ p2

2m(x)+W

2₍_x₎_, ₍₂₂₎

ou seja, V(x) = W2₍_x₎_._{O pr´oximo passo ´e considerar}

que as variáveisA+_e_A− _{também obede¸cam à álgebra}

de Heisenberg, isto ´e

i{

A−_{, A}+} = 2W

′₍_x₎

√

2m(x) = 1, (23)

i{

H, A±}

=_±2W

′₍_x₎

√

2m(x)A

±_, ₍₂₄₎

ondeW′₌dW_/

dx. Da Eq. (23) encontramos a seguinte

rela¸c˜ao

W(x) =_√1 2

(_x

∫√m(y)dy+X0

)

, (25)

onde X0 ´e uma constante a ser determinada.

Usual-mente considera-se X0 = 0, de forma que V(0) = 0.

Como V(x) =W2₍_x_{), temos}

V (x) =1 2

(_x

∫√m(y)dy+X0

)2

, (26)

e o hamiltoniano cl´assico para o OMDP passa a ser escrito como

H = p

2

2m(x)+ 1 2

(_x

∫√m(y)dy+X0

)2

. (27)

Ao compararmos as Eqs. (12) e (27), vemos que

X(x) =_∫x√m(y)dy+X0, (28)

e

P(x, p) = dX

dt = p

√

m(x) . (29) Das Eqs. (28) e (29) podemos obter as trajet´orias no espa¸co de fasex(t) ep(t) a partir das rela¸c˜oes

x(t) =X−1₍√₂_E_{cos (}_t₊_ϕ₎₎_, ₍₃₀₎

p(t) =₋√2m(x(t))Esen(t+ϕ), (31)

onde X−1_{´e a fun¸c˜ao inversa de} _X _{obtida a partir da}

Eq. (28).

3. Resultados e discuss˜

ao

Suponha que a massa dependa da posi¸c˜ao de acordo com a rela¸c˜aom(x) =m0 (x2+a2) Substituindo a

ex-press˜ao para m(x) na Eq. (26) e considerando m0= 1

eX0= −a 2

lna

2 , obtemos a seguinte express˜ao paraH

(ouE)

H = p

2

2(x2₊_a2₎+

1 8

(

x√x2₊_a2₊

a2ln x+

√

x2₊_a2 −a

2_ln_a)2_. ₍₃₂₎

Poder´ıamos obter as trajetórias no espa¸co de fase utilizando as equa¸cões de Hamilton, mas não é dif´ıcil perceber que as equa¸cões para ˙p e ˙x obtidas a partir da Eq. (32) são equa¸cões não lineares cujas solu¸cões são não-triviais. Por exemplo, para a part´ıcula com massa unitária que desliza sob a a¸cão da gravidade e sem atrito em um fio parabólico (veja Eq. (10)) as equa¸cões de Hamilton são expressas por

˙

x=₋ p

(1 +x2₎, (33)

˙

p=−x( p

2

(1 +x2₎2 −g). (34)

De outra forma, poder´ıamos tentar utilizar as Eqs. (30) e (31). Entretanto obter X−1 _{neste caso ´e}

também complicado em face da expressão de m(x). Assim, vamos analisar as trajetórias no espa¸co de fase utilizando diretamente a Eq. (32).

Nas Figs. 1(a)-(d) mostramos o gr´afico de V (x) para o OMC (m(x) = 1)e para o OMDP com a = 0,

a = 0,25 e a = 1,0, respectivamente. Observe que

(4)

Figura 1 - Gr´aficos deV(x)para: (a) OMC (m(x) = 1), (b) OMDP coma= 0 , (c) OMDP coma= 0,25 e (d) OMDP coma= 1,0.

Nas Figs. 2(a)-(d) mostramos o diagrama de fase para o OMC (m(x) = 1) e para o OMDP (a= 0) para alguns valores de E. Devido ao sistema de unidades utilizado (m = ω = 1) as trajetórias de fase para o OMC são circunferências concêntricas, ao invés de elip-ses. Já para o OMDP coma= 0 , observamos que as trajetórias de fase são deformadas próximo à origem e tendem a zero, evidenciando o fato que neste limite a massa tende à zero, e, por conseguinte, o momentum canônico,p=m(x) ˙x

O comportamento mostrado na Fig. 2(b) ´e muito semelhante ao exibido pelo OMDP com m2(x) =

tanh2(λx) estudado por Cruz y Cruz e Negro e Nieto. [13], onde as trajetórias no espa¸co de fase são obtidas da equa¸cão

H =1 2

p2

tan2₍_λx₎+

1 2λ2ln

2_{(cosh (}_λx₎₎_. ₍₃₅₎

As trajet´orias no espa¸co da fase para a = 0,25 e

a = 1,0 s˜ao mostradas nas Fig. 2(c) e 2(d),

respec-tivamente. Nestes casos a massa n˜ao vai `a zero para

x= 0. As trajetórias mostradas na Fig. 2(c) ainda são deformadas, mas não tendem à zero quando x _→ 0 . Na Fig. 2(d) as trajetórias não são mais deformadas. A velocidade da part´ıcula em todos os casos só se anula nos pontos de retorno.

4. Coment´

arios finais

Neste trabalho mostramos o procedimento de fatora¸cão do hamiltoniano que deve ser seguido quando estuda-mos sistemas com massa dependente da posi¸cão. Este procedimento desenvolvido por Cruz y Cruz e Negro e Nieto. [12, 13] consiste em decompor o hamiltoniano em termos de duas variáveis a+ _e_a− _{que satisfazem à}

´

(5)

Figura 2 - Trajet´orias no espa¸co de fase paraE= 0,3, 0,7 e 1,1. (a) OMC. (b) OMDP coma= 0 . (c) OMDP coma= 0,25 . (d) OMDP coma= 1,0.

Em particular investigamos o sistema comm(x) =

m0 (x2+a2) . Obtivemos as trajet´orias no espa¸co de

fase a partir da Eq. (32) paraa= 0, 0,25 e 1,0. Obser-vamos que para a= 0 as trajetórias de fase são defor-madas próximo à origem devido ao fato quem(x)→0 quando x → 0. Para a ̸= 0 , a deforma¸cão dimi-nui e praticamente desaparece para a = 1,0 . Mos-tramos assim que para sistemas nos quais as solu¸cões das equa¸cões de Hamilton fiquem muito complicadas ou não possamos obtê-las a partir das Eqs. (30) e (31), a análise das trajetórias no espa¸co de fase fornece uma boa descri¸cão da dinâmica do sistema em considera¸cão.

Agradecimentos

Os autores agradecem ao CNPq pelo aux´ılio financeiro.

Referˆ

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