Folhea¸c˜
oes holomorfas por curvas com
conjuntos singulares de dimens˜
ao um
Gilcione Nonato Costa
gilcione@mat.ufmg.br
`
AGRADECIMENTOS
Ao concluir essa importante etapa de minha vida, tenho o prazer de destacar algumas pessoas que me ajudaram, direta ou indiretamente, a concretiz´a-la.
Ao meu orientador, M´arcio Gomes Soares, pelos incentivos e as valiosas discuss˜oes. Aos integrantes da banca que tamb´em foram meus professores, Alcides Lins Neto, Paulo Sad, C´esar Camacho e Jorge Vit´orio pelas corre¸c˜oes.
Aos professores Rog´erio Santos Mol e F´abio Brochero pelas primeiras leituras, corre-¸c˜oes e sugest˜oes.
Tamb´em gostaria de agradecer aos professores e funcion´arios do IMPA e do Depar-tamento de Matem´atica da UFMG, em especial ao professor Bruno Azevedo Sc´ardua pelos ensinamentos.
N˜ao poderia deixar de mencionar a toda a minha fam´ılia, aos amigos e a minha namorada Adriana pelos constantes incentivos e compreens˜oes ao longo de todos esses anos. N˜ao podendo mencionar a todos, gostaria de agradecer de uma maneira geral, a todas as pessoas que contribu´ıram para a realiza¸c˜ao desse sonho.
1
Introdu¸c˜
ao
Este trabalho ´e dedicado ao estudo de folhea¸c˜oes holomorfas unidimensionais, tamb´em chamadas por curvas, com singularidades n˜ao-isoladas em variedades tridimensionais. Mais precisamente, folhea¸c˜oes com conjuntos singulares consistindo de curvas lisas e disjuntas e possivelmente com mais alguns pontos isolados.
Existe uma rica e vasta literatura sobre folhea¸c˜oes holomorfas, sobretudo folhea¸c˜oes por curvas em superf´ıcies e folhea¸c˜oes de codimens˜ao um em variedades de dimens˜ao supe-rior ou igual a dois. De uma maneira geral, nos trabalhos sobre folhea¸c˜oes por curvas, as singularidades s˜ao consideradas isoladas, embora, sempre possamos assumir que o conjunto singular de uma folhea¸c˜ao tenha codimens˜ao superior ou igual a dois.
A principal t´ecnica utilizada nesse trabalho ´e a transforma¸c˜ao quadr´atica tamb´em chamada de explos˜ao de uma variedade ao longo de uma subvariedade lisa. Explos˜oes cen-tradas em pontos n˜ao se aplicam ao caso em que as singularidades s˜ao n˜ao-isoladas, pois tais singularidades s˜ao persistentes por meio dessas explos˜oes. Na primeira parte desse tra-balho introduziremos conceitos b´asicos que ser˜ao ´uteis nas se¸c˜oes seguintes. Como no caso de singularidades isoladas, definiremos conceitos similares para curvas de singularidades. A come¸car pela defini¸c˜ao de multiplicidade de uma fun¸c˜ao holomorfa ao longo de uma curva. A partir dessa defini¸c˜ao, introduziremos o conceito de multiplicidade alg´ebrica de uma fol-hea¸c˜ao ao longo de sua curva de singularidades. Nesse sentido, demonstraremos que essa multiplicidade ´e um invariante bimeromorfo.
Teorema 2.1 Seja F uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas definida em uma variedade tri-dimensional M, singular ao longo da curva regular C. Consideremos um bimeromorfismo
Φ :N →M tal que Φ|N−Σ :N−Σ→M−Γ seja um biholomorfismo, comΓ eC em posi¸c˜ao
geral. Ent˜ao, multC1(G) = multC(F), em que G= Φ
∗F e C
1 = Φ−1(C).
Posteriormente, descreveremos o comportamento dessas folhea¸c˜oes quando explodi-mos uma variedade ao longo de uma curva de singularidades. Conceitos como curvadicr´ıtica
e n˜ao-dicr´ıtica de singularidades s˜ao obtidos diretamente, como no caso de singularidades isoladas. A classe mais importante dessas folhea¸c˜oes ser´a chamada defolhea¸c˜ao especial, por apresentar somente singularidades isoladas sobre o divisor excepcional da explos˜ao.
Na segunda parte nos restringiremos a folhea¸c˜oes emP3, especiais ao longo de curvas lisas e disjuntas. Mais precisamente, folhea¸c˜oes com conjunto singular da forma
Sing(F) =∪r
j=1Cj0∪ {p1, . . . , pq}
com C0
i ∩ Cj0 = ∅ se i 6= j e pj pontos isolados. O objetivo dessa se¸c˜ao ´e a determina¸c˜ao
do n´umero de singularidades isoladas, contadas as multiplicidades, dessas folhea¸c˜oes, nF =
r
X
j=1
µ(F, pj). O n´umero de Milnor, denotado por µ(F, pj), ´e a multiplicidade de cada ponto
singular.
Para alcan¸carmos esse objetivo, assumiremos inicialmente que r = 1, ou seja, que o conjunto Sing(F) contenha uma ´unica componente irredut´ıvel unidimensional, denotada por C. A demonstra¸c˜ao para o caso em quer >1 ´e similar. Como veremos, ao explodirmosP3ao
contadas as multplicidades, que ˜F apresenta sobre o divisor excepcional da explos˜ao. A id´eia da demonstra¸c˜ao consiste em determinarmos as classes de Chern do fibrado tangente holomorfo da folhea¸c˜ao ˜F e do fibrado tangente do divisor excepcional, e assim, utilizarmos o teorema de Baum-Bott, [1]. No teorema abaixo, ℓ = tang(π∗F, E) ´e a ordem de contado
ou de anulamento da folhea¸c˜aopullback π∗F sobre o divisor excepcional.
Teorema 3.2 Consideremos uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas F, especial ao longo de
C ⊂P3, uma curva regular de gˆenero g e de grau d. Seja π : ˜P3 →P3 a explos˜ao de P3 ao
longo de C, sendo E o divisor excepcional, ent˜ao
X
p∈SingF1
µ(F1, p) = (2−2g)(2 + 2ℓ+ℓ2) + 2d(ℓ+ 1)(k−2ℓ−1),
em que F1 = ˜F|E, k =grau(F) e ℓ =tang(π∗F, E).
Como a curvaC ´e ´unica componente unidimensional de Sing(F), a folhea¸c˜ao ˜F apre-senta somente singularidades isoladas em ˜P3. Dessa forma, utilizando novamente o teorema
de Baum-Bott, n´os podemos calcular o n´umero de singularidades, contadas as multiplici-dades, de ˜F em ˜P3.
Teorema 3.3 Seja F uma folhea¸c˜ao especial ao longo de C ⊂ P3, uma curva regular de
gˆenero g e de grau d tal que C seja a ´unica componente irredut´ıvel de dimens˜ao um de Sing(F). Consideremos P˜3 −→π P3 a explos˜ao deP3 ao longo deC eF˜ a folhea¸c˜ao induzida
de F via π. Ent˜ao
X
p∈Sing( ˜F)
µ( ˜F, q) = 1 +k+k2+k3−d(k−1)(3ℓ2+ 2ℓ−1)
−(2−2g)(ℓ3+ℓ2−1) + 4ℓd(ℓ2−1),
em que grau(F) =k e ℓ=tang(π∗F, E).
Como conseq¨uˆencia direta desses dois ´ultimos teoremas, n´os podemos efetivamente determinar o n´umeronF, bastando tomar a diferen¸ca entre as express˜oes dadas nesses dois
teoremas, pois, uma explos˜ao ´e um isomorfismo fora do divisor excepcional. Consequente-mente, teremos que
Corol´ario 3.1 Seja F como no teorema 3.3, ent˜ao o n´umero de singularidades isoladas de
F, contadas as multiplicidades, ´e
nF = 1 +k+k2+k3+ (ℓ+ 1)[(2g−2)(ℓ2+ℓ+ 1) +d(4ℓ2+ 3ℓ+ 1)−kd(3ℓ+ 1)].
Esse ´ultimo resultado ´e facilmente generalizado para o caso em que Sing(F) con-tiver outras componentes irredut´ıveis unidimensionais disjuntas. De fato, consideremos a seq¨uˆencia de explos˜oes πi :Mi →Mi−1 centrada em Cii−1 em que M0 =P3, Cji =π−1(Cji−1)
para j = i+ 1, . . . , r e Ei o divisor excepcional de cada explos˜ao πi. Seja Fi a folhea¸c˜ao
definida na Mi induzida por Fi−1 via πi para i = 1, . . . , r em que F0 = F. Como F0 ´e
especial ao longo de cada curva C0
i, a folhea¸c˜ao Fr possui somente singularidades isoladas
emMr. Segue-se ent˜ao quenF ser´a o n´umero total de singularidades deFr emMr subtra´ıdo
Posteriormente, demonstraremos que a express˜ao dada no teorema 3.2 e no corol´ario 3.1 s˜ao positivas quando a curva C ⊂ Sing(F) for dada pela interse¸c˜ao completa de duas superf´ıcies. Assim, com essa hip´otese, as folhea¸c˜oes F e F1 = ˜F|E possuem singularidades.
Na parte final, determinaremos as classes de Chern do fibrado tangente holomorfo da folhea¸c˜ao restrita ao divisor excepcional. Usando isso, daremos uma outra demonstra¸c˜ao para a positividade da express˜ao dada no teorema 3.2, com a a hip´otese de a curva C ser uma interse¸c˜ao completa de duas superfıcie e determinaremos o n´umero de curvas de singularidades que surgem no divisor excepcional, caso a folhea¸c˜ao n˜ao seja especial.
2
Preliminares
Uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvasF, possivelmente com singularidades, em uma variedade complexaM de dimens˜aom, pode ser definida por uma fam´ılia de campos vetoriais holomor-fos {Xα}, em uma cobertura por abertos {Uα} deM, que satisfazem a rela¸c˜ao Xα =fαβXβ
em Uα ∩Uβ 6= ∅, onde fαβ ∈ O∗(Uα ∩Uβ). O cociclo {fαβ} induz um fibrado
holomor-fo em retas em M, chamado de fibrado cotangente holomorfo a F e denotado por T∗
F. O
dual TF = (TF∗)∗ ser´a chamado de fibrado tangente holomorfo a F. Dessa maneira, uma
folhea¸c˜ao pode ser definida localmente por curvas integrais de um campo vetorial holomorfo
X n˜ao identicamente nulo, possivelmente com singularidades, sendo X|Uα =Xα, e definida
globalmente por um morfismo de um fibrado holomorfo por retas,TF, emM, para o fibrado
tangente deM,X :TF →T M, induzida porXα, unicamente determinado, a menos de uma
multiplica¸c˜ao por uma fun¸c˜ao holomorfa nunca nula.
O conjunto singular de F ´e a subvariedade anal´ıtica definida por:
Sing(F) = {p∈M|Xα(p) = 0, para algum α}.
Podemos supor que CodC(SingF)≥2, [9].
Seja z um sistema de coordenadas holomorfas em M em uma vizinhan¸ca de p ∈
Sing(F) tal quez(p) = 0 e F ´e gerado pelo campo vetorial holomorfo Y(z) =
m
X
i=0
Pi(z)
∂ ∂zi
.
Definiremos alguns objetos associados a um ponto singular p de uma folhea¸c˜ao F em M. 1) A multiciplidade µ(F, p) da folhea¸c˜ao F em p, tamb´em chamada de n´umero de Milnor, ´e a dimens˜ao da C−´algebra local
µ(F, p) = dimC
OM,p
< P1, . . . , Pm >
.
O n´umero µ(F, p) ´e finito se, e somente se,p for uma singularidade isolada, [13].
2) A multiplicidade alg´ebrica de F em p ´e o grau do primeiro termo n˜ao-nulo na expans˜ao em s´erie de potˆencias de Y. N´os dizemos que F ´en˜ao-dicr´ıticaem pse os termos de menor grau deY n˜ao forem um m´ultiplo do campo radial edicr´ıtica, caso contr´ario.
Introduziremos o conceito de transforma¸c˜ao quadr´atica ou explos˜ao de uma variedade ao longo de uma subvariedade lisa. Seja ∆ um polidisco n-dimensional com coordenadas holomorfasz = (z1, . . . , zn) e V ⊂∆ o lugar geom´etrico definido porz1 =. . .=zk= 0. Seja
tamb´em [l1, . . . , lk] as coordenadas homogˆenas do espa¸co projetivo Pk−1, e consideremos
˜
a variedade lisa definida pelas rela¸c˜oes
˜
∆ ={(z,[l]);zilj =zjli,1≤i, j ≤k}.
A proje¸c˜ao π: ˜∆→∆ ´e claramente um isomorfismo fora de V, enquanto a imagem inversa de um ponto z∈V ´e um espa¸co projetivoPk−1. A variedade ˜∆ juntamente com a aplica¸c˜ao
π : ˜∆ → ∆ ´e chamada de transforma¸c˜ao quadr´atica ou explos˜ao de ∆ ao longo de V. A imagem inversaE =π−1(V) ´e chamada de divisor excepcional da explos˜ao
O conjunto ˜∆ possui uma estrutura natural de variedade n-dimensional. Para cada
j ∈ {1,2, . . . , k}, sejaUj ={[l1, . . . , lk]∈Pk−1;lj 6= 0} o aberto afim usual. Ent˜ao, seja
˜
Uj ={(z,[ς])∈∆; [˜ ς]∈Uj}
com coordenadas holomorfas σj(ς1, . . . , ςn) = (z1, . . . , zn) dadas por:
(
zi = ςi, para i=j oui > k,
zi = lljizj =ςiςj, para i= 1,2, . . . ,ˆj, . . . , k,
sendo ς ∈Cn coordenadas euclidianas. Observemos que o divisor excepcional ´e dado em ˜U j
pela equa¸c˜aoςj = 0. Segue-se ent˜ao que E ´e um divisor de Cartier.
A explos˜aoπ : ˜∆→∆ ´e independente do sistema de coordenadas escolhido em ∆.Se {z′
i =fi(z)}´e um outro sistema de coordenadas em ∆ comV definida porz1′ =. . .=zk′ = 0,
temos que:
˜
∆′ ={(z′,[l′]);zi′l′j =zj′l′i,1≤i, j ≤k}
a explos˜ao de ∆ nesse novo sistema de coordenadas. Ent˜ao o isomorfismo
˜
f : ˜∆−E →∆˜′−E′
dado por z → f(z) pode ser estendido sobre o divisor E associando um ponto (z,[l]) com
z1 =. . .=zk = 0 ao ponto (f(z),[l′]) em que:
l′j =
k
X
i=1
∂fj(z)
∂zi
li.
Temos a identifica¸c˜ao da fibra de E −→π V, sobre o ponto (0, . . . ,0, zk+1, . . . , zn) com
a projetiviza¸c˜ao do fibrado normal sobre V,
P(NV /∆) =
P(T′
z(∆))
Tz(V)
feito via
(z,[l])→
k
X
i=1
li
∂ ∂zi
,
que ´e natural e n˜ao depende do sistema de coordenadas usado.
Seja (φα, Uα) uma cole¸c˜ao de cartas locais tal queS ⊂ ∪αUα eφα :Uα →∆α, onde ∆α ´e um
polidiscon−dimensional com coordenadas holomorfas (z1, . . . , zn).N´os tamb´em assumiremos
que Vα =φα(S∩Uα) seja dado por z1 =. . .=zk = 0. Sejaπα : ˜∆α→∆α a explos˜ao de ∆α
ao longo Vα. Para cada par de indices α, β tal que Uα∩Uβ 6=∅, temos o isomorfismo
παβ :πα−1[φα(Uα∩Uβ)]→πβ−1[φβ(Uα∩Uβ)].
Usando esses isomorfismos, colamos essas explos˜oes e formamos uma nova variedade, ˜∆ = ∪παβ∆˜α com a aplica¸c˜ao π : ˜∆ → ∪∆˜α. Visto que π ´e um isomorfismo fora do divisor
excepcional, n´os obtemos que
˜
M = (M \S)∪π∆˜,
juntamente com a aplica¸c˜ao π : ˜M → M ´e a explos˜ao de M ao longo da subvariedade S. Pela constru¸c˜ao , a explos˜ao possui as seguintes propriedades:
1 - A aplica¸c˜aoπ ´e um isomorfismo fora de S e E =π−1(S).
2 - O divisor excepcionalE´e um fibrado sobreS cuja fibra ´ePk−1. De fato,π:E →S
´e naturalmente identificado com a projetiviza¸c˜aoP(NS/M) do fibrado normal NS/M em M.
No caso em que M for uma variedade alg´ebrica de dimens˜ao 3 e S uma curva lisa compacta, o divisor excepcional E =π−1(S) ser´a uma superf´ıcie regrada, [8].
3 - Localmente a explos˜ao de uma variedade M ao longo de uma subvariedade S ´e isom´orfica `a explos˜ao de um polidisco como acima.
4 - Explos˜oes de uma variedade ao longo de subvariedades s˜ao ´unicas, no sentido que se
π :N →M
for qualquer aplica¸c˜ao entre variedades complexas que ´e um isomorfismo fora de uma sub-variedade lisa S de dimens˜aon−k emM e que a fibra de πsobre qualquer pontop∈S seja isom´orfica ao espa¸co projetivo Pk−1, ent˜ao π :N →M ´e a explos˜ao de M ao longo deS.
5 - SeM for uma variedade alg´ebrica complexa, ent˜ao, sendoE um divisor de Cartier, podemos associ´a-lo a um fibrado de posto um, determinado pelo cociclo de E, e denotado por [E]. Um fato importante ´e que a primeira classe de Chern de [E], c1([E]) ´e simplesmente
o dual de Poincar´e deE em ˜M ( [13], pag. 44).
6 - Para qualquer subvariedade Y ⊂ M, n´os podemos definir o transformado estrito ˜
Y ⊂M˜ deY em ˜M como o fecho em ˜M da imagem inversa
π−1(Y −S) = π−1(Y)−E
deY fora do divisor excepcionalE.Como no caso de uma explos˜ao em um ponto, n´os vemos que se a interse¸c˜aoY ∩S 6=∅, ent˜ao
˜
Y ∩E ⊂P(NS/M)
corresponde a imagem inversa em NS/M do cone tangente Tp(Y)⊂Tp(M) para um ponto p
deY ∩S. Em particular, se Y ⊂M for um divisor, ent˜ao
˜
em quem = multS(Y) ´e a multiplicidade deY em um ponto gen´erico deS. Observemos que
as explos˜oes s˜ao functoriais, no sentido que seY interceptaS transversalmente em qualquer ponto, o transformado de Y em ˜M ´e justamente a explos˜ao de Y ao longo Y ∩S.
Segue-se de (1) que
Pic( ˜M) = π∗Pic(M) +Z[E], (2)
em que [E] ´e o dual de Poincar´e do divisor E em ˜M.
Embora os c´alculos e as considera¸c˜oes que ser˜ao feitas abaixo possam ser facil-mente estendidas a folhea¸c˜oes F definidas em variedades complexas n−dimensionais com CodCSing(F) ≥ 2, nos restringiremos ao caso n = 3 e o conjunto singular da folhea¸c˜ao
tenha dimens˜ao um.
Sejam M uma variedade complexa tridimensional e C ⊂ M uma curva holomorfa regular. Uma vez que a curva ´e regular, pela forma local das submers˜oes, podemos supor que C seja definida localmente pelas equa¸c˜oes z1 = z2 = 0 e dessa forma, uma fun¸c˜ao
holomorfaf que se anula ao longo de C pode ser escrita da seguinte maneira:
f(z1, z2, z3) =z1f1(z1, z2, z3) +z2f2(z1, z2, z3). (3)
Se as fun¸c˜oes f1 ef2 tamb´em se anulam ao longo deC, podemos aplicar (3) novamente para
essas duas fun¸c˜oes. Portanto,f pode ser reescrita da seguinte maneira
f(z1, z2, z3) =z12f2,0(z1, z2, z3) +z1z2f1,1(z1, z2, z3) +z22f0,2(z1, z2, z3).
Repetiremos esse processo at´e encontrarmos alguma fun¸c˜ao fi,j que n˜ao se anula ao longo
do eixo−z3. Podemos ent˜ao escrever
f(z1, z2, z3) =
X
i+j=m
z1iz2jfi,j(z1, z2, z3), (4)
em que para algum par i, j, fi,j(0,0, z3) 6≡ 0 e os termos z1iz
j
2fi,j(z) sejam linearmentes
independentes.
Defini¸c˜ao 2.1 O n´umero m em (4) ser´a chamada de multiplicidade de f ao longo de C e ser´a denotado por multC(f).
Observemos que a defini¸c˜ao de multiplicidade de uma fun¸c˜ao ao longo de uma curva estende o conceito de multiplicidade de uma de fun¸c˜ao de uma vari´avel em um ponto, no sentido que se m = multC(f), ent˜ao
(Dif)|C ≡0, para i= 0, . . . , m−1 e (Dmf)|C 6≡0,
onde Dif|
C denota a i−´esima derivada de f restrita a C.
De fato, se m= 1, temos que
f(z1, z2, z3) = z1f1(z1, z2, z3) +z2f2(z1, z2, z3)
Df(z) = [f1(z) +z1
∂f1(z)
∂z1
+z2
∂f1(z)
∂z2
, f2(z) +z1
∂f2(z)
∂z1
+z2
∂f2(z)
∂z2
, z1
∂f1(z)
∂z3
+z2
∂f1
∂z3
],
e portanto,
Df(0,0, z3) = [f1(0,0, z3), f2(0,0, z3),0]6≡0,
Por indu¸c˜ao , suponhamos que a afirma¸c˜ao seja verdadeira param >1.Consideremos uma fun¸c˜ao f tal que m+ 1 = multC(f). Escrevemos
f(z) =z1m+1f0(z) +zm1 z2f1(z) +. . .+z1z2mfm(z) +z2m+1fm+1(z),
com algum fi(0,0, z3)6≡0. Ent˜ao ,
∂f ∂z1
(z) =
m
X
i=0
z1m−iz2i[(m+ 1−i)fi(z) +z1
∂fi(z)
∂z1
] +zm2 +1∂fm+1(z) ∂z1
.
Se m = multC(∂f∂z(1z)), acabou. Por´em, multC(
∂f(z)
∂z1 ) > m se, e somente se, fi(0,0, z3) ≡ 0
para i = 0, . . . , m. Nessa situa¸c˜ao, temos necessariamente que fm+1(0,0, z3) 6≡ 0, ou seja,
multC(∂f∂z(2z)) = m ao longo do eixo-z3. Escrevendo g =Df = [
∂f(z)
∂z1 ,
∂f(z)
∂z2 ,
∂f(z)
∂z3 ]. Temos que
multC(g) =mpois pelo menos uma das suas componentes possui esta multiplicidade. Assim,
por hipotese de indu¸c˜ao , temos que
(Dig)|C ≡0, para i= 0, . . . , m−1 e (Dmg)|C 6≡0,
visto que Dig =Di+1f, segue-se a afirma¸c˜ao .
Proposi¸c˜ao 2.1 Seja f uma fun¸c˜ao holomorfa que se anula ao longo de uma curva regular
C. Se m=multC(f) ent˜ao
(Dif)|C ≡0, parai= 0, . . . , m−1, e (Dmf)|C 6≡0.
SejaF uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas emM3 tal que o conjunto Sing(F) tenha
dimens˜ao 1 e que suas componentes unidimensionais sejam curvas regulares e disjuntas. Seja C ⊂Sing(F) uma dessas componentes. Ent˜ao, dado um aberto coordenadoU ⊂M tal que
U ∩ C 6=∅, a folhea¸c˜ao F pode ser gerada pelo campo vetorial
X(z) =P(z) ∂
∂z1
+Q(z) ∂
∂z2
+R(z) ∂
∂z3
em queP, QeRs˜ao fun¸c˜oes holomorfas que se anulam ao longo de C, que ´e dada localmente por z1 =z2 = 0. Dessa forma, podemos escrever estas fun¸c˜oes da seguinte maneira
P(z) = zm
1 P0(z) +z1m−1z2P1(z) +. . .+z1zm2 −1Pm−1(z) +zm2 Pm(z),
Q(z) = zn
1Q0(z) +z1n−1z2Q1(z) +. . .+z1z2m−1Qm−1(z) +z2nQn(z),
R(z) = zp1R0(z) +z1p−1z2R1(z) +. . .+z1z2p−1Rm−1(z) +z2pRp(z),
em que m = multC(P), n = multC(Q) and p = multC(R). Por uma mudan¸ca linear de
coordenadas podemos supor quem ≥n.
Como no caso de uma singularidade isolada, definiremos a multiplicidade alg´ebrica de uma folhea¸c˜ao singular ao longo de uma curva regular.
Defini¸c˜ao 2.2 A multiplicidade alg´ebrica deF ao longo de C, multC(F), ser´a o m´ınimo dos
n´umeros m, n e p.
Proposi¸c˜ao 2.2 Seja F uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas, singular ao longo de uma curva regularC. Ent˜ao a multiplicidade deF ao longo de C, multC(F), independe do sistema
de coordenadas escolhido.
Demonstra¸c˜ao SejaU ⊂M um aberto coordenado deM tal queU∩C 6=∅. Consideremos um biholomorfismo F : U → V1 ⊂ C3, C3 com coordenadas (z1, z2, z3) sendo F(U ∩ C) o
eixo-z3. Nesse sistema de coordenadas, a folhea¸c˜aoF ´e gerada pelo campo vetorial
X(z) = P(z) ∂
∂z1
+Q(z) ∂
∂z2
+R(z) ∂
∂z3
,
com P, Q eR dados como em (5), sendo m= multC(P),n = multC(Q) e p= multC(R).
Consideremos G : U → V2 ⊂ C3 um outro biholomorfismo, C3 com coordenadas
(w1, w2, w3) e G(U ∩ C) sendo o eixo-w3. Neste novo sistema de coordenadas, a folhea¸c˜aoF
tamb´em ´e gerada pelo campo vetorial Y(w) =A(w)∂w∂1 +B(w)∂w∂2 +C(w)∂w∂3, com A, B e
C identicamentes nulos sobre o eixo-w3. Os campos X e Y s˜ao analiticamente conjugados
pelo biholomorfismo Φ : V1 ⊂C3 → V2 ⊂C3, em que Φ =G◦F−1 = Ψ−1. Dessa maneira,
podemos escrever que w= Φ(z) = (Φ1(z),Φ2(z),Φ3(z)) com
wj =z1φj1(z) +z2φj2(z), para j = 1,2.
Como Φ ´e um biholomorfismo, escrevemos que z = Ψ(w) = (Ψ1(w),Ψ2(w),Ψ3(w)), com
zj =w1ψj1(w) +w2ψj2(w), para j = 1,2.
Em particular,
h
φ11(z)φ22(z)−φ12(z)φ21(z)
i∂Φ3
∂z3
(z)
¯ ¯ ¯ ¯
(0,0,z3)
6= 0.
Como w1 = Φ1(z), temos que
˙
w1 =
∂Φ1
∂z1
(z) ˙z1+
∂Φ1
∂z2
(z) ˙z2+
∂Φ1
∂z3
(z) ˙z3
= [φ11(z) +z1
∂φ11
∂z1
(z) +z2
∂φ12
∂z1
(z)] ˙z1 + [φ21(z) +z1
∂φ11
∂z2
(z) +z2
∂φ12
∂z2
(z)] ˙z2
+[z1
∂φ11
∂z3
(z) +z2
∂φ12
∂z3
(z)] ˙z3.
Como zj =w1ψj1(w) +w2ψj2(w), para j = 1,2, temos que
P ◦Ψ(w) =
m
X
i=0
z1m−iz2iPi(z)
¯ ¯ ¯
z=Ψ(w)=
m
X
i=0
w1m−iw2iP˜i(w),
com ˜Pi(0,0, w3) 6≡ 0 para algum i = 0, . . . , m. De fato, suponhamos por absurdo que
˜
Pi(0,0, w3)≡0,para todo i. Como wj =z1φj1(z) +z2φj2(z) paraj = 1,2, ao reescrevermos
o lado direito da igualdade acima, em fun¸c˜ao da vari´avel z, obter´ıamos quePi(0,0, z3)≡0,
parai= 0, . . . , m. Absurdo, pois multC(P) = m. De maneira an´aloga, s˜ao obtidas as demais
equa¸c˜oes do campo vetorial Y. Ent˜ao,
Y(w) =
˙
w1 = [φ11◦Ψ(w) +η11(w)]P ◦Ψ(w) + [φ21◦Ψ(w) +η12(w)]Q◦Ψ(w)
+η13(w)R◦Ψ(w)
˙
w2 = [φ21◦Ψ(w) +η21(w)]P ◦Ψ(w) + [φ22◦Ψ(w) +η22(w)]Q◦Ψ(w)
+η23(w)R◦Ψ(w)
˙
w3 =
∂Φ3
∂z1
◦Ψ(w)P ◦Ψ(w) + ∂Φ3
∂z2
◦Ψ(w)Q◦Ψ(w) + ∂Φ3
∂z3
◦Ψ(w)R◦Ψ(w).
com ηij(0,0, w3) ≡ 0 para todo i, j. Assumindo que m ≥ n, a multC(F) ser´a igual a n
ou igual a p. Suponhamos em primeiro lugar que p < n, ou seja, multC(F) = p. Como
∂Φ3/∂z3◦Ψ(0,0, w3)6= 0, a multiplicidade da terceira componente do campo Y ao longo do
eixo-w3 ´e igual a p, enquanto as demais componentes possuem multiplicidades, pelo menos,
iguais ap+ 1. Segue-se ent˜ao que multC(Y) = p.
Suponhamos agora que n ≤ p. A multiplicidade da terceira componente de Y ao longo do eixo-w3 ´e, pelo menos, igual an. Comoηi3(w)R◦Ψ(w) possui multiplicidade pelo
menos igual a p+ 1, para concluirmos a demonstra¸c˜ao, basta verificarmos que uma das fun¸c˜oes M(w) = [φ11P +φ12Q]◦Ψ(w), N(w) = [φ21P +φ22Q]◦Ψ(w) tenha multiplicidade
n. De fato, como φ11φ22−φ12φ21 6= 0, temos que
P = M φ22−N φ12
φ11φ22−φ21φ21
eQ= N φ11−M φ21
φ11φ22−φ21φ21
.
Mas, se as multiplicidades de M e N forem maiores que n, o mesmo ocorreria para P e Q. Ent˜ao, multC(Y) = n. Dessa maneira, demonstramos que a multiplicidade de uma folhea¸c˜ao
ao longo de uma curva, multC(F), independe do sistema de coordenadas escolhido.
Uma transforma¸c˜ao bimeromorfa Φ :N →M ´e um biholomorfismo Φ|N−Σ :N−Σ→
M −Γ, onde Σ e Γ s˜ao conjuntos anal´ıticos. Seja F uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas, definida em uma variedadeM, singular ao longo de uma curva regular C. Suponhamos que C e Γ estejam em posi¸c˜ao geral. Podemos definir uma folhea¸c˜ao holomorfa emN, opullback
G = Φ∗F. Esta folhea¸c˜ao tamb´em ´e singular ao longo da curva C
1 = Φ−1(C). Mostraremos
que multC1(G) = multC(F). Ou seja, a multiplicidade de uma folhea¸c˜ao ao longo da curva
Teorema 2.1 Seja F uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas definida em uma variedade tridi-mensional M, singular ao longo da curva regular C. Consideremos um bimeromorfismo
Φ : N → M tal que Φ|N−Σ : N −Σ → M −Γ seja um biholomorfismo, com Γ e C em
posi¸c˜ao geral. Ent˜ao, multC1(G) =multC(F), em que G= Φ
∗F e C
1 = Φ−1(C).
Demonstra¸c˜ao Seja{Uα}uma cobertura por abertos de M que cobreC. Diminuindo cada
Uα, se necess´ario, podemos assumir que C ∩Uα seja dada por zα1 = zα2 = 0 e que F seja
gerada por um campo holomorfo Xα = (Pα, Qα, Rα), sendoPα, Qα e Rα dados como em (5).
SeUα∩Uβ 6=∅, ent˜ao Xα =fαβXβ, comfαβ ∈ O∗(Uα∩Uβ). Como Γ eC est˜ao em posi¸c˜ao
geral, Φ−1|
Uα\Γ∩C :Uα\Γ∩ C →Φ
−1(U
α\Γ∩ C) ´e um biholomorfismo, o campo vetorial Yα
que gera G em Φ−1(U
α \Γ∩ C) ´e analiticamente conjugado a Xα. Como a multiplicidade
da folhea¸c˜ao ao longo de uma curva de singularidades independe do sistema de coordenadas escolhido, os campos Xα e Yα possuem a mesma multiplicidade. Dado que Xα = fαβXβ,
comfαβ ∈ O∗(Uα∩Uβ),Xα eXβ possuem a mesma multiplicidade ao longo de C. Portanto,
multC1(G) = multC(F).
Explodiremos M ao longo de C. Ent˜ao, em ˜U1, n´os temos que
(
zi = ςi, para i= 1 e i= 3,
z2 = ς1ς2.
Segue-se dessas equa¸c˜oes e de (5) que
˙
ς1 =
m
X
i=0
(ς1)m−i(ς1ς2)iPi(ς1, ς1ς2, ς3) = ς1m
m
X
i=0
ς2iPi(ς1, ς1ς2, ς3).
Mas, Pi(ς1, ς1ς2, ς3) = Pi(0,0, ς3) +ς1P˜i(ς1, ς2, ς3) =pi(ς3) +ς1P˜i(ς). Assim, n´os obtemos que
˙
ς1 =ς1m
hXm
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1P1(ς)
i
,
em que P1(ς) =
m
X
i=0
ςi
2P˜i(ς). De maneira an´aloga, conclu´ımos que
˙
ς3 =ς1p
hXp
i=0
ς2iri(ς3) +ς1R1(ς)
i
.
Finalmente, como z2 =ς1ς2, temos que ˙z2 = ˙ς1ς2+ς1ς˙2. Ent˜ao
ς1nh
n
X
i=0
ς2i[qi(ς3) +ς1Q˜i(ς)]
i
=ς2ς1m
m
X
i=0
ς2ihpi(ς3) +ς1P˜i(ς)
i
+ς1ς˙2.
Sendo assim, temos que
˙
ς2 =ς1n−1
hXn
i=0
ς2iqi(ς3)−ς1m−nς2
m
X
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1Q1(ς)
i
,
em que Q1(ς) =
n
X
i=0
ς2iQ˜i(ς)−ς1m−nς2
m
X
i=0
Portanto, em ˜U1,π∗F ´e induzida por ˙
ς1 = ς1m
hXm
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1P1(ς)
i
˙
ς2 = ς1n−1
hXn
i=0
ςi
2qi(ς3)−ς1m−nς2
m
X
i=0
ςi
2pi(ς3) +ς1Q1(ς)
i
˙
ς3 = ς1p
hXp
i=0
ς2iri(ς3) +ς1R1(ς)
i
.
(7)
Nessa forma, todos os pontos de E, dado em ˜U1 por ς1 = 0, s˜ao singularidades de π∗F.
N´os temos algumas maneiras de cancelar essa componente singular de codimens˜ao um, de-pendendo dos possiveis valores de m, n e p. E se m = n deveremos verificar se o termo
n
X
i=0
ςi
2[qi(ς3)−ς2pi(ς3)] ´e ou n˜ao identicamente nulo. Temos duas possibilidades, curva
di-cr´ıtica ou n˜ao-didi-cr´ıtica, dependendo se o divisor excepcional, E, for invariante ou n˜ao pela folhea¸c˜ao ˜F induzida por F viaπ.
(a)Curva n˜ao-dicr´ıtica de singularidades
(i) Se p+ 1 = n ≤ m, com
n
X
i=0
ςi
2[qi(ς3)− ς2pi(ς3)] 6≡ 0, caso m = n. Dividindo a
equa¸c˜ao (7) por ς1p, n´os obtemos que:
˙
ς1 = ς1m−p
hXm
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1P1(ς)
i
˙
ς2 =
n
X
i=0
ς2iqi(ς3)−ς1m−nς2
m
X
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1Q1(ς)
˙
ς3 =
p
X
i=0
ς2iri(ς3) +ς1R1(ς).
(8)
As equa¸c˜oes para π∗F podem ser encontradas no outro sistema de coordenadas, depois
de dividirmos por ς2p, estas equa¸c˜oes se ajustam com as de (8) para definir uma folhea¸c˜ao
˜
F em ˜M tendo o divisor excepcional E como conjunto invariante. Mais precisamente, as singularidades no divisor excepcional, em ˜U1, s˜ao as ra´ızes das equa¸c˜oes:
n X i=0
ς2i[qi(ς3)−ς2pi(ς3)] = 0
p
X
i=0
ς2iri(ς3) = 0
se n=m ou
n X i=0
ς2iqi(ς3) = 0
p
X
i=0
ς2iri(ς3) = 0
O divisor E ´e invariante por ˜F que por sua vez coincide com π∗F em ˜M −E.
(ii) Se p+ 1 < n≤m. Dividindo (7) por ς1p, temos que
˙
ς1 = ς1m−p
hXm
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1P1(ς)
i
˙
ς2 = ς1l
hXn
i=0
ς2iqi(ς3)−ς1m−nς2
m
X
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1Q1(ς)
i
˙
ς3 =
p
X
i=0
ς2iri(ς3) +ς1R1(ς)
(9)
coml ≥1.Nessa situa¸c˜ao , o divisor excepcional tamb´em ´e invariante pela folhea¸c˜ao induzida ˜
F, mas a restri¸c˜ao de ˜F a E ´e dada por
˙
ς2 = 0
˙
ς3 =
p
X
i=0
ς2iri(ς3). (10)
As folhas de ˜F quando restritas ao divisor excepcional s˜ao dadas por ς2 = cte, que s˜ao
transversais `as fibras π−1(q) ∼= P1, q ∈ C, mas com a diferen¸ca que surgem novas curvas
de singularidades sobre o divisor. Essas curvas s˜ao dadas em cada fibra ς2 = cte, pelas ra´ızes
da segunda componente de (10).
✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✻ ✲ ✛ z3 ς2 ς3 π
(iii) Se n ≤ p < m ou n < m ≤ p ou n = m ≤ p com
n
X
i=0
ς2i[qi(ς3)−ς2pi(ς3)] n˜ao
identicamente nulo. Dividindo (7) por ς1n−1, temos que
˙
ς1 = ς1m−n+1[
m
X
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1P1(ς)]
˙
ς2 =
n
X
i=0
ς2iqi(ς3)−ς1m−nς2
m
X
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1Q1(ς)
˙
ς3 = ς1l[
p
X
i=0
ς2iri(ς3) +ς1R1(ς)]
coml≥1.O divisor excepcionalE´e invariante por ˜F, mas agora, a restri¸c˜ao desta folhea¸c˜ao em E ´e dada por
˙
ς2 =
n
X
i=0
ς2iqi(ς3)−ς1m−nς2
m
X
i=0
ς2ipi(ς3)
˙
ς3 = 0.
(12)
Ou seja, uma folhea¸c˜ao cujas folhas s˜ao as fibras π−1(q)=∼P1, q∈ C, dadas por ς
3 = cte.
Tamb´em nesse caso, sobre o divisor excepcional surgir˜ao novas curvas de singularidades, dadas em cada fibra ς3 = cte pelas as ra´ızes da primeira componente de (12).
✻
✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✲ ✻
✲
✛
z3
ς2
ς3
π
(b) Curva dicr´ıtica de singularidades
(i) Se p= n =m e
n
X
i=0
ς2i[qi(ς3)−ς2pi(ς3)] identicamente nulo. Dividindo (7) por ς1n,
obtemos que
˙
ς1 =
m
X
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1P1(ς)
˙
ς2 = Q1(ς1, ς2, ς3)
˙
ς3 =
p
X
i=0
ς2iri(ς3) +ς1R1(ς).
(13)
Combinando com as equa¸c˜oes no outro sistema de coordenadas para a folhea¸c˜ao ˜F que coincide com π∗F fora de E, obtemos uma folhea¸c˜ao em ˜M com a diferen¸ca que o divisor
excepcional n˜ao ´e mais invariante por ˜F. A folhea¸c˜ao ˜F ´e transversal a E, exceto sobre a
superf´ıcie complexa dada por
m
X
i=0
ς2ipi(ς3) = 0, que pode ou n˜ao consistir de singularidades
de ˜F.
(ii) Se n =m < p e
n
X
i=0
ς2i[qi(ς3)−ς2pi(ς3)] identicamente nulo. Dividindo (7) por ς1n,
˙
ς1 =
m
X
i=0
ς2ipi(ς3) +ς1P1(ς)
˙
ς2 = Q1(ς1, ς2, ς3)
˙
ς3 = ς1l[
p
X
i=0
ς2iri(ς3) +ς1R1(ς)],
(14)
com l ≥0. O divisor excepcional E n˜ao ´e invariante por ˜F, mas a terceira componente do campo que define ˜F ´e identicamente sobre E.
Com os c´alculos feitos acima, podemos fazer duas novas defini¸c˜oes.
Defini¸c˜ao 2.3 Uma folhea¸c˜ao por curvas F em uma variedade tri-dimensional complexa
M ´e chamada de folhea¸c˜ao especial ao longo de C ⊂ Sing(F) se em (7) tivermos p+ 1 =
n≤m, com
n
X
i=0
ς2i[qi(ς3)−ς2pi(ς3)]6≡0 caso n =m e as singularidades de F˜ sobre o divisor
excepcional forem isoladas.
A outra defini¸c˜ao ser´a a ordem de tangˆencia ou de anulamento de π∗F sobre E.
Defini¸c˜ao 2.4 A ordem de tangˆencia de π∗F sobre E, denotada por tang(π∗F, E), ser´a
definida por:
tang(π∗(F), E) =
(
min{n−1, p}, se C for n˜ao-dicr´ıtica
min{n, p}, se C for dicr´ıtica. (15)
Nessa defini¸c˜ao, estamos assumindo que n ≤ m. Se F for uma folhea¸c˜ao especial ao longo deC, teremos que multC(F) = tang(π∗F, E).
3
Folhea¸c˜
oes Especiais em P
3.
Nesta se¸c˜ao, salvo men¸c˜ao em contr´ario,F ser´a uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas emP3,
especial ao longo das curvas lisas, disjuntas e compactas Cj, para j = 1, . . . , r. Sendo que
P3 uma variedade compacta, podemos assumir que
Sing(F) =∪rj=1Cj∪ {p1, . . . , pq}. (16)
compi ∈ C/ j pontos isolados. O objetivo dessa se¸c˜ao ´e calcularnF =
q
X
i=0
µ(F, pi), o n´umero de
singularidades isoladas, contadas as multiplicidades, deF. Para tal, consideraremos inicial-mente que Sing(F) contenha uma ´unica componente irredut´ıvel unidimensional, denotada porC. A demonstra¸c˜ao para o caso em que Sing(F) contiver outras componentes unidimen-sionais segue diretamente do caso em que r = 1. Caso Sing(F) contenha somente pontos isolados,nF ´e conhecido, veja [1].
A demonstra¸c˜ao consiste em explodirmos P3 ao longo da curva C e obtermos uma
folhea¸c˜ao ˜F definida em ˜P3 contendo somente singularidades isoladas bem como o divisor
total de singularidades de ˜F em ˜P3 e o n´umero de singularidades de ˜F sobre o divisor
excepcional, pois a explos˜ao π : ˜P3 → P3 ao longo de C ´e um isomorfismo fora deE. Para
calcularmos todos esses n´umeros, utilizaremos o teorema de Baum-Bott, [1], que relaciona o n´umero de singularidades de uma folhea¸c˜ao em uma variedade M com as classes de Chern dos objetos envolvidos.
Posteriormente, demonstraremos que ˜F sempre possui singularidades sobre divisor excepcional E e que nF >0 no caso em que r = 1.
3.1
Cohomologia de uma explos˜
ao
Seja π: ˜M →M a explos˜ao de variedadeM ao longo de uma subvariedade regularS ⊂M.
Descreveremos as rela¸c˜oes entre as cohomologia de Rham de M e ˜M.
Sejam U ⊂ M uma vizinhan¸ca tubular de S ⊂ M, ˜U = π−1(U), U∗ = U −S,
˜
U∗ = ˜U −E, M∗ = M −S e ˜M∗ = ˜M −E. Vamos considerar as seq¨uˆencias de
Mayer-Vietoris, [2], para M =M∗∪S e ˜M = ˜M∗∪E. Dessa maneira, π
∗ ´e um isomorfismo entre
H∗(U∗) e H∗( ˜U∗) e entre H∗(M) e H∗( ˜M∗). Por outro lado, a contra¸c˜ao deU em S induz,
via π, a contra¸c˜ao de ˜U em E. Assim, temos os isomorfismos entreH∗(U) e H∗(S) e entre
H∗( ˜U) e H∗(E).
Das seq¨uˆencias de Mayer-Vietoris para M e ˜M, obtemos as rela¸c˜oes
Hi−1(U∗) −→ Hi( ˜M) −→ Hi(M∗)⊕Hi(E) −→ Hi(U∗)
k ↑ k
Hi−1(U∗) −→ Hi(M) −→ Hi(M∗)⊕Hi(S) −→ Hi(U∗).
Desde que a aplica¸c˜ao pull-back π∗ :H∗(M)→H∗( ˜M) ´e injetiva, n´os obtemos que
H∗( ˜M) = [π∗(H∗(M))⊕H∗(E)]/π∗(H∗(S)).
Para descrevermos a cohomologia deE =P(NS/M), o projetivizado do fibrado normal
a S em M, precisaremos de um resultado geral de cohomologia de espa¸cos projetivos. Seja ρ: F →S um fibrado vetorial complexo de posto r e com fun¸c˜oes de transi¸c˜ao {gαβ} : Uα∩Uβ → GL(r,C). Ser´a denotado por Fp a fibra sobre p ∈ S e por PGL(r,C)
a projetiviza¸c˜ao do grupo linear GL(r,C). A projetiviza¸c˜ao de F, ρF : P(F) → S ´e, por
defini¸c˜ao, o fibrado cuja fibra sobre um pontop∈S´e o espa¸co projetivoP(Fp) e com fun¸c˜oes
de transi¸c˜ao gαβ : Uα ∩Uβ → PGL(r,C) induzidas a partir de gαβ. Desta maneira, a fibra
P(F)p ´e uma reta ℓp em Fp passando por p.
Como na projetiviza¸c˜ao de um espa¸co vetorial, em P(F) existe uma s´erie de fibrados tautol´ogicos: o fibrado pullback ρ−1
F F, o subfibrado universal ou tautol´ogico T e o fibrado
quociente universal Q.
0 −→ T −→ ρ−F1F −→ Q−→ 0
↓
P(F) ρF
−→ S ←−ρ F
O fibradopullbackρ−1
F F ´e um fibrado vetorial sobre P(F) cuja fibra emℓp ´eFp. Al´em disso,
quando restrito `a fibra emℓp torna-se trivial,
desde que Fp ρ
−→S seja um fibrado trivial. O subfibrado universal T sobre P(F) ´e definido por:
T ={(ℓp, v)∈ρF−1F|v ∈ℓp}.
A fibra em ℓp consiste de todos os vetores em ℓp. J´a o fibrado quociente Q ´e determinado
pela seq¨uˆencia tautol´ogica exata
0−→T −→ρ−F1F −→Q−→0.
O subfibradoT n˜ao ´e determinado somente pelo fibrado projetivo P(F)→S, pois se
L→S ´e qualquer fibrado em retas, n´os obtemos que
P(F)∼=P(F ⊗L),
mas os fibrados tautol´ogicos por retas em P(F) e P(F ⊗L) ir˜ao diferir. Por´em, uma coisa permanece verdadeira: a restri¸c˜ao de T a cada fibra P(F)p ∼=Pr−1 ´e o fibrado tautol´ogico
universal de Pr−1.
A cohomologiaH∗(P(F)) ´e, via aplica¸c˜ao pullback
H∗(S) ρ∗F
−→H∗(P(F))
uma ´algebra sobre o anel H∗(S). Uma completa descri¸c˜ao de H∗(P(F)) ´e dada em termos
da seguinte proposi¸c˜ao:
Proposi¸c˜ao 3.1 Para qualquer variedade C∞, compacta e orient´avel S, e para qualquer
fibrado vetorial F → S de posto r, o anel de cohomologia H∗(P(F)) ´e gerado como uma
H∗(S)-algebra pela classe de Chern
ζ =c1(T)
do fibrado tautol´ogico com a ´unica rela¸c˜ao
ζr−ρ∗Fc1(F)ζr−1+. . .+ (−1)r−1ρ∗Fcr−1(F)ζ+ (−1)rρ∗Fcr(F) = 0.
Demonstra¸c˜ao Consideremos o seguinte diagrama
ρ−F1F F
↓ ↓ ρ
P(F) ρF
−→ S
Da functorialidade resulta que c(ρ−F1F) = ρ∗
Fc(F). Ent˜ao, da f´ormula de Whitney aplicada
a seq¨uˆencia 0→ρ−F1F →Q→0, obtemos
(1 +ζ)(1 +η1+. . .+ηr−1) =ρ∗Fc(F),
ondeηi =ci(Q), s˜ao as classes de Chern do fibrado quocienteQ. Resolvendo sucessivamente
esta equa¸c˜ao, obtemos que:
η1 =ρ∗Fc1(F)−ζ,
...
ηr−1 =ρ∗Fcr−1(F)−ζρ∗Fcr−2(F) +. . .+ (−1)rζr−1.
Com a equa¸c˜ao
ρ∗
Fcr(F) =ζηr−1
obtemos a rela¸c˜ao desejada.
Como as classes 1, ζ, . . . , ζr−1 s˜ao classes globais em P(F) e quando restritas a cada
fibra P(Fp) geram livremente o anel de cohomologia de cada fibra, pelo teorema de
Leray-Hirsch ([2], pag. 50), o anel de cohomologia H∗(P(F)) ´e gerado como uma H∗(S)−´algebra.
Um fato importante que relaciona os dados acima com as explos˜oes ´e o seguinte: se ˜
M →π M for uma explos˜ao de M ao longo de uma subvariedadeS, o subfibrado universal T
do fibrado E =P(NS/M) ´e justamente o fibrado normal aE em ˜M. De fato, para qualquer
ponto (p, v)∈E, n´os vemos que:
π∗ :T(′p,v)( ˜M)−→T′(M)
induz a aplica¸c˜ao
˜
π∗ :NE/M˜(p, v)−→NS/M(p).
N˜ao ´e dif´ıcil ver que a imagem de ˜π∗ ´e justamente uma reta v em NS/M(p), figura abaixo.
Como conseq¨uˆencia, n´os vemos que a restri¸c˜ao da classe de cohomologiae=c1([E]) em E ´e
e|E =c1(NE/M˜)E =c1(T) = ζ,
sendo assim, com o conhecimento de H∗(E) e da aplica¸c˜aoH∗(M)→ H∗(S), n´os podemos
efetivamente calcular o anel de cohomologia da variedade explodida ˜M. Fixaremos a nota¸c˜ao
c1(NE/M˜) = [E].
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✻ ✛
z1
z2
z3
ς3
ς2
ς1
π
Exemplo 3.1 Seja P˜3 −→π P3 uma explos˜ao de P3 ao longo uma curva regularC de gˆenero
fibrado normal `a curva, NC/P3. SejaπE =π|E :E → C a restri¸c˜ao de π a E. Da proposi¸c˜ao 3.1, segue-se que
πE∗c2(NC/P3)−π∗
Ec1(NC/P3)·[E] + [E]2 = 0.
Como Z
Eπ
∗
Ec2(NC/P3) =
Z
Cc2(NC/P
3) = 0,
e a restri¸c˜ao ζ a cada fibra de E ´e a classe do fibrado tautol´ogico de P1, resulta que
Z
E[E]
2 =Z
Eπ
∗
Ec1(NC/P3) =−
Z
Cc1(NC/ P3).
Da f´ormula de Whitney, temos que c1(TP3)|C =c1(TC) +c1(NC/P3)|C. Ent˜ao
Z
E[E]
2 =Z
E[c1(TC)−c1(TP
3)] = 2−2g−4d. (17)
Consideremos o seguinte diagrama de uma explos˜ao ˜M →π M:
E −→j M˜
πE ↓ ↓ π
S −→i M
sendo i, j inclus˜oes e N = NS/M o fibrado normal de S em M de posto r e πE a restri¸c˜ao
da aplica¸c˜ao π a E. N´os escreveremos c(M), c( ˜M) e c(S) para as classes de Chern dos respectivos fibrados T M, TM˜ eT S.
Teorema 3.1 Com a nota¸c˜ao acima, ζ =c1(T), temos que
c( ˜M)−π∗c(M) =j∗(πE∗c(S)·α), (18)
onde
α= 1
ζ
r
X
i=0
[1−(1−ζ)(1 +ζ)i]π∗
Ecr−i(N).
Nesta express˜ao, os termos entre colchetes s˜ao expandidos como polinˆomios em ζ e α ´e um polinˆomio obtido ap´os a divis˜ao formal por ζ.
Demonstra¸c˜ao Veja [11] ou [5], pag. 298.
Exemplo 3.2 Para calcularmos as classes de Chern da variedade M˜ devemos comparar os termos da equa¸c˜ao 18. Igualando os termos de grau um, n´os obtemos que:
c1( ˜M)−π∗c1(M) = j∗(1−r) = (1−r)[E], (19)
pois j∗(1) = [E] e [E]´e o dual de Poincar´e de E em M .˜
Para os termos de grau dois, temos que:
c2( ˜M)−π∗c2(M) = −j∗[(r−1)π∗Ec1(S) +
r(r−3)
2 ζ+ (r−2)π
∗
Se r = 2,
c2( ˜M)−π∗c2(M) = −j∗πE∗c1(S)−[E]·[E] =π∗i∗[S]−π∗c1(M)·[E], (20)
onde [S]∈H4(M)´e a classe fundamental deS. Para a segunda parte da equa¸c˜ao (20), veja
em [5], p. 114 ou em [7], p. 609.
Fazendo r = 2 e igualando os termos de grau trˆes, temos que:
c3( ˜M)−π∗c3(M) = j∗[πE∗c2(N) +π∗(c1(N) +c1(S))ζ+ζ2].
Como c1(M)|S =c1(S) +c1(N)|E, temos que
c3( ˜M)−π∗c3(M) =−πE∗c2(N)·[E]−πE∗c1(M)·[E]2+ [E]3. (21)
Exemplo 3.3 SejamC0
1, . . . ,Cr0 curvas regulares contidas em uma variedade complexa
tridi-mensional M0. Consideremos a seq¨uˆencia de explos˜oes Mi πi
−→Mi−1, sendo que πi centrada
em Ci−1
i em que Cji = πi−−11(Cji−1) para j = i + 1, . . . , r. Sejam Ei = πi−1(Cii−1) o divisor
excepcional de cada explos˜ao e Ni o fibrado normal a Ci0 em M0, para i= 1, . . . , r.
Escreveremos cj(Mi) ao inv´es de cj(T Mi). Relacionaremos as classes de Chern de
Mr com as de M0. A partir do exemplo anterior, obtemos que
c1(M1) = π1∗c1(M0)−[E1]
c2(M1) = π1∗c2(M0) +π1∗[C10]−π1∗c1(M0)·[E1]
c3(M1) = π1∗c3(M0)−π1∗c2(N1)·[E1]−π∗1c1(M0)·[E1]2+ [E1]3
Aplicando essas rela¸c˜oes entre cj(M2) e cj(M1), n´os obtemos que
c1(M2) = π∗2c1(M1)−[E2] =π2∗π1∗c1(M0)−π2∗[E1]−[E2]
c2(M2) = π∗2c2(M1) +π2∗[C21]−π2∗c1(M1)·[E2]
= π∗
2π1∗c1(M0) +π∗2π1∗[C10] +π2∗[C21]
−π∗
2π1∗c1(M0)·[[E1] + [E2]] +π∗2[E1]·[E2]
c3(M2) = π∗2c3(M1)−π2∗c2(N2)·[E2]−π∗2c1(M1)·[E2]2+ [E2]3
= π∗
2π1∗c1(M0)−π2∗π∗1c2(N1)·[E1]−π2∗c1(N2)·[E2]
−π∗
2π1∗c1(M0)·[[E1]2+ [E2]2] +π2∗[E1]3 + [E2]3+π∗2[E1]·[E2]2
Seguem-se por indu¸c˜ao as equa¸c˜oes
c1(Mr) = πr∗. . . π1∗c1(M0)−
r
X
j=2
π∗r. . . πj∗[Ej−1]−[Er]
c2(Mr) = πr∗. . . π1∗c1(M0) +
r
X
j=1
πr∗. . . π∗j[Cjj−1]−πr∗. . . π∗1c1(M0)·
r
X
j=1
[Ej]
+
r
X
j=2
π∗r. . . π∗j
r
X
k=j
[Ej−1]·[Ek]
c3(Mr) = πr∗. . . π1∗c3(M0)−
r
X
j=1
π∗r. . . πj∗c2(Nj)·[Ej]−πr∗. . . π∗1c1(M0)·
r
X
j=1
[Ej]2
r
X
j=2
πr∗. . . πj∗[Ej−1]3+ [Er]3+ r
X
j=2
π∗r. . . π∗j[Ej−1]·
r
X
k=j
Para utilizarmos o teorema de Baum-Bott, resta-nos calcular a classe de Chern do fibrado tangente holomorfo por retas, TF˜. Segue-se ent˜ao de (2) que
TF˜ ∼=π∗(TF)⊗[E]ℓ.
Ent˜ao, para calcularc1(TF˜), basta determinarmos o parˆametroℓ, que ´e simplesmente
a ordem de tangˆencia da folhea¸c˜ao π∗F sobre E.
Proposi¸c˜ao 3.2 Com a nota¸c˜ao acima,
c1(TF˜) =π∗c1(TF) +ℓ[E],
em que ℓ=tang(π∗F, E).
Exemplo 3.4 Seja F uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas emP3 de grau(F) =k. Um fato
bem conhecido ´e que TF ∼= O(1−k) e por conseq¨uˆencia c1(TF) = (1−k)H, em que H ´e
classe do fibrado hiperplano de P3. Segue-se ent˜ao que
c1(TF˜) = (1−k)π∗H+ℓ[E].
Teorema 3.2 Consideremos uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas F, especial ao longo de
C ⊂P3, uma curva regular de gˆenero g e de grau d. Seja π : ˜P3 →P3 a explos˜ao de P3 ao
longo de C, sendo E o divisor excepcional, ent˜ao
X
p∈Sing(F1)
µ(F1, p) = (2−2g)(2 + 2ℓ+ℓ2) + 2d(ℓ+ 1)(k−2ℓ−1),
em que F1 = ˜F|E, k =grau(F) e ℓ =tang(π∗F, E).
Demonstra¸c˜ao Pelo teorema de Baum-Bott, [1], temos que
X
p∈Sing(F1)
µ(F1, p) =
Z
Ec2(T E⊗T
∗
˜
F).
Mas,
c2(T E⊗TF∗˜) = c2(T E) + c1(T E)c1(TF∗˜) + c1(TF∗˜)2.
Segue-se da f´ormula de Whitney que c1( ˜P3)|E = c1(T E) + [E]|E e de (19) que
c1(T E) = (c1( ˜P3)−[E])|E = (π∗c1(P3)−2[E])|E.
Como c1(TF∗˜) =π∗c1(TF∗)−ℓ[E], em quec1(TF∗) = (k−1)H,Ha classe do fibrado hiperplano
deP3, escrevemos que:
c2(T E⊗TF∗˜) = c2(T E) + (π∗c1(P3)−2[E])(π∗c1(TF∗)−ℓ[E])+
π∗c
Como
Z
Eπ
∗c
1(P3)π∗c1(TF∗) =
Z
Eπ
∗c
1(TF∗)2 = 0 e
Z
Eπ
∗H·[E] = −Z
CH = −d, segue-se do
exemplo 3.1 que
Z
Ec2(T E⊗T
∗
˜
F) =
Z
E
h
c2(T E)−[ℓπ∗c1(P3) + 2(1 +ℓ)π∗c1(TF∗)]·[E] + (2ℓ+ℓ2)[E]2
i
= 2(2−2g) +
Z
C[ℓc1(P
3) + 2(ℓ+ 1)c
1(TF∗)] + (2ℓ+ℓ2)
Z
E[E]
2.
Portanto, n´os conclu´ımos que:
X
p∈Sing(F1)
µ(F1, p) = 2(2−2g) + 4ℓd+ 2(1 +ℓ)(k−1)d+ (2ℓ+ℓ2)(2−2g−4d),
com os termos reagrupados, obt´em-se o teorema.
Exemplo 3.5 Seja Fk uma folhea¸c˜ao especial de grau k ≥ 2 em P3, induzida no aberto
afim V3 ={[ξ0 :ξ1 :ξ2 :ξ3]∈P3;ξ3 6= 0} pelo campo vetorial
Xk(z) =
˙
z1 = a0z1k+a1z1k−1z2+. . .+ak−1z1z2k−1+akzk2
˙
z2 = b0z1k+b1z1k−1z2+. . .+bk−1z1z2k−1+bkzk2
˙
z3 = z1k−1R0(z) +. . .+z2k−1Rk−1(z),
(22)
onde z1 =ξ0/ξ3, z2 =ξ1/ξ3, z3 =ξ2/ξ3,
k
X
i=0
aiz1k−iz2i e
k
X
i=0
biz1k−iz2i linearmente independentes
e Ri(z) =αi+βiz1+γiz2+δiz3 para i= 0, . . . , k−1.
A folhea¸c˜ao Fk ´e singular sobre a curva de grau um definida por ξ0 = ξ1 = 0 que ´e
isomorfica a P1.
Fa¸camos uma explos˜ao de P3 ao longo da referida curva. No aberto U˜1 com
coorde-nadas ς ∈C3, temos as rela¸c˜oes
σ1(ς1, ς2, ς3) = (ς1, ς1ς2, ς3) = (z1, z2, z3).
Dessa maneira, a folhea¸c˜ao F˜k induzida por Fk via π ´e gerada em V˜3 pelo campo vetorial
˜
Xk(z) =
˙
ς1 = ς1(a0+a1ς2 +. . .+akς2k)
˙
ς2 = b0+b1ς2+. . .+bkς2k−ς2(a0+a1ς2+. . .+akς2k)
˙
ς3 = α0+. . .+αk−1ς2k−1+ς3(δ0+. . .+δk−1ς2k−1) +ς1R(ς)
(23)
para um certo polinˆomio R. Sobre o divisor excepcional, dado em U˜1 por ς1 = 0, a folhea¸c˜ao
Fk ´e descrita pela equa¸c˜ao
˙
ς2 = b0+b1ς2+. . .+bkς2k−ς2(a0+a1ς2+. . .+akς2k)
˙
N˜ao ´e dificil ver que no aberto afim, ς3 ∈ C, a folhea¸c˜ao F˜k quando restrita ao divisor
excepcional, possui, contadas as multiplicidades, k + 1 singularidades. Resta-nos verificar as singularidades de F˜k na fibra de E sobre o ponto [0 : 0 : 1 : 0]. Fazendo a mudan¸ca de
coordenadas
w0 =
z1
z3
, w1 =
z2
z3
e w3 =
1
z3
obtemos o campo vetorial que gera Fk em V2 ⊂P3
Yk(z) =
˙
w1 =
k
X
i=0
aiwk1−iwi2−w1
k−1
X
i=0
w1k−i−1w2iR˜i(w)
˙
w2 =
k
X
i=0
biw1k−iwi2−w2
k−1
X
i=0
w1k−i−1w2iR˜i(w)
˙
w3 = −w3
k−1
X
i=0
wk1−i−1wi2R˜i(w)
(24)
em que R˜i(w) = αiw3+βiw1+γiw2 +δi. Observemos que o plano w3 = 0 ´e invariante por
Fk. Fa¸camos uma explos˜ao de V2 ao longo do eixo-w3. Com a a transforma¸c˜ao
σ1(ζ1, ζ2, ζ3) = (ζ1, ζ1ζ2, ζ3) = (w1, w2, w3),
ap´os efetuarmos as devidas simplifica¸c˜oes, obtemos o campo
˜
Yk(ζ) =
˙
ζ1 = ζ1[
k
X
i=0
aiζ2i−
k−1
X
i=0
ζ2iR˜i(ζ1, ζ1ζ2, ζ3)]
˙
ζ2 =
k
X
i=0
biζ2i −ζ2
k
X
i=0
aiζ2i
˙
ζ3 = −ζ3
k−1
X
i=0
ζ2iR˜i(ζ1, ζ1ζ2, ζ3).
(25)
que gera F˜k sobre V˜2. Sobre o divisor excepcional, fazendo ζ3 = 0, obtemos mais k + 1
singularidades. Portanto, o n´umero total de singularidades de F˜k sobre E ´e 2k + 2. O
teorema 3.2, confirma este resultado, pois ℓ =k−1, g = 0 e d = 1.
O pr´oximo resultado determina o n´umero de singularidades, contadas as multiplici-daddes, que a folhea¸c˜ao ˜F, induzida porF viaπ, apresenta em ˜P3, desde que C seja a ´unica
componente irredut´ıvel unidimensional de Sing(F). Contudo, no caso em que Sing(F) con-tiver outras componentes unidimensionais, o c´alculo ´e similar desde que essas componentes sejam disjuntas.
Teorema 3.3 Seja F uma folhea¸c˜ao especial ao longo de C ⊂ P3, uma curva regular de
gˆenero g e de grau d tal que C seja a ´unica componente irredut´ıvel de dimens˜ao um de Sing(F). ConsideremosP˜3 −→π P3 a explos˜ao deP3 ao longo deC eF˜ a folhea¸c˜ao induzida
por F via π. Ent˜ao
X
q ∈Sing( ˜F)
µ( ˜F, q) = 1 +k+k2+k3−d(k−1)(3ℓ2+ 2ℓ−1)
em que grau(F) =k e ℓ=tang(π∗F, E).
Demonstra¸c˜ao Pelo teorema de Baum-Bott, temos que
X
q∈Sing( ˜F)
µ( ˜F, q) =
Z
˜
P3c3(T
˜
P3⊗T∗
˜
F),
sendo que
c3(TP˜3 ⊗TF∗˜) =c3(TP˜3) +c2(TP˜3)c1(TF∗˜) +c1(TP˜3)c21(TF∗˜) +c31(TF∗˜).
Por uma quest˜ao de clareza, calcularemos separadamente cada termo dessa express˜ao e escreveremos ci(P3) em vez deci(TP3). Da equa¸c˜ao (21), obtemos
Z
˜
P3c3(TP
3) = Z ˜
P3
·
π∗c3(P3)−π∗c2(N)·[E]−π∗c1(P3)·[E]2+ [E]3
¸
,
onde N =NC/P3 ´e fibrado normal deC em P3.Portanto,
Z
˜
P3c3(TP
3) = Z
P3c3(P
3) +Z
E
·
−π∗c2(N)−π∗c1(P3)·[E] + [E]2
¸
,
pois [E] ´e o dual de Poincar´e de E em ˜P3. Como Z
Eπ
∗c
2(N) =
Z
Cc2(N) = 0 e
Z
E[E]
2 =
2−2g −4d, exemplo 3.1, concluimos que
Z
˜
P3c3(TP
3) = 4 + 4d+ 2−2g−4d= 4 + (2−2g). (26)
Da equa¸c˜ao (20) e da proposi¸c˜ao 3.2, obtemos que:
c2(TP3)c1(TF∗˜) =
·
π∗c2(P3) +π∗[C]−π∗c1(P3)·[E]
¸·
π∗c1(TF∗)−ℓ[E]
¸
.
De maneira an´aloga ao c´alculo anterior,
Z
˜
P3c2(TP
3)c
1(TF∗˜) =
Z
P3[c2(P
3) + [C]]c
1(TF∗)−ℓ
Z
Eπ
∗(c
2(M) + [C])
−
Z
Eπ
∗c
1(P3)π∗c1(TF∗) +ℓ
Z
Ec1(P
3)·[E]
=
Z
P3c2(P
3)c
1(TF∗) +
Z
Cc1(T ∗ F)−ℓ
Z
Cc1(P
3).
Sendo assim, conclu´ımos que
Z
˜
P3c2(TP
3)c
1(TF∗˜) = 6(k−1) + (k−1)d−4ℓd. (27)
Da equa¸c˜ao (19) e da proposi¸c˜ao 3.2, segue-se que:
Da mesma forma, temos que
Z
˜
P3c1( ˜P
3)c2
1(TF∗˜) =
Z
P3c1(P
3)c2
1(TF∗)−2ℓ
Z
Eπ
∗c
1(P3)π∗c1(TF∗) +ℓ2
Z
Eπ
∗c
1(P3)·[E]
−
Z
Eπ
∗c2
1(TF∗) + 2ℓ
Z
Eπ
∗c
1(TF∗)·[E]−ℓ2
Z
E[E]
2
=
Z
P3c1(P
3)c
1(TF∗)−
Z
C[ℓ
2c
1(P3) + 2ℓc1(TF∗)]−ℓ2
Z
E[E]
2.
Obtemos assim que
Z
˜
P3c1( ˜P
3)c2
1(TF∗˜) = 4(k−1)2−ℓ2(2−2g)−2ℓ(k−1)d. (28)
Uma vez que
c31(TF∗˜) = π∗c31(TF∗)−3ℓπ∗c21(TF∗)·[E] + 3ℓ2c1(TF∗)·[E]2−ℓ3[E]3.
e
Z
Eπ
∗c2
1(TF˜)·[E] = 0, resulta que
Z
˜
P3c
3
1(TF∗˜) =
Z
P3c
3
1(TF∗) + 3ℓ2
Z
Ec1(T
∗
F)·[E]−ℓ3
Z
E[E]
2
=
Z
P3c
3
1(TF∗)−3ℓ2
Z
Cc1(T ∗ F)−ℓ3
Z
E[E]
2.
Finalmente,
Z
˜
P3c
3
1(TF∗˜) = (k−1)3−3ℓ2(k−1)d−ℓ3(2−2g−4d). (29)
Somando e reagrupando as equa¸c˜oes (26), (27), (28) e (29), conclu´ımos a demonstra-¸c˜ao do teorema.
Como consequˆencia direta dos teoremas 3.2 e 3.3 podemos efetivamente calcular o n´umero de singularidades, contadas as multiplicidades, de uma folhea¸c˜ao especial ao longo de uma curva C, desde que essa curva seja a ´unica componente irredut´ıvel unidimensional de Sing(F). De fato, dado que a explos˜ao π:P3 →P3 ao longo de C ´e um isomorfismo fora
do divisor excepcional, o n´umero de singularidades isoladas de F ser´a a diferen¸ca entre os espress˜oes dadas nos teoremas 3.2 e 3.3.
Color´ario 3.1 Seja F como no teorema 3.3, ent˜ao o n´umero de singularidades isoladas de
F, contadas as multiplicidades, ´e:
nF = 1 +k+k2 +k3+ (ℓ+ 1)[(2g−2)(ℓ2+ℓ+ 1) +d(4ℓ2+ 3ℓ+ 1)−kd(3ℓ+ 1)].
Exemplo 3.6 Consideremos Fk, a folhea¸c˜ao de grau k ≥ 2 e V3 ⊂ P3 como no exemplo
3.5. Pelo corol´ario acima, Fk possui, contadas as multiplicidades, k+ 1 singularidades em
P3. De fato, em V
3, Fk n˜ao possui outras singularidades al´em de C ∩V3 em que C ´e dado
Seja H3 ⊂P3 o hiperplano definido por ξ3 = 0. Esse hiperplano ´e isomorfo a P2 bem
como ´e invariante porFk, equa¸c˜ao (24). Como o grau da folhea¸c˜ao Fk restrita `aH3 tamb´em
´ek, o n´umero de singularidades de Fk sobre H3 ´e 1 +k+k2, [9].
Como o ponto p = [0 : 0 : 1 : 0] ∈ C possui n´umero de Milnor µ(Fk|H3, p) = k
2,
a folhea¸c˜ao F˜k possui k + 1 singularidades isoladas, contadas as multiplicidades, em H3.
Segue-se que nFk =k+ 1. Como j´a mostramos, a folhea¸c˜ao F˜k possui 2k+ 2 singularidades sobre o divisor excepcional, somado com nFk, resulta em 3k+ 3 singularidades em P˜
3.
Podemos generalizar esse resultado assumindo que Sing(F) cont´em outras compo-nentes irredut´ıveis unidimensionais disjuntas.
Teorema 3.4 Seja F0 uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas em P3 de grau k. Suponhamos
que C0
i ⊂ Sing(F), em que Ci0 s˜ao curvas regulares, disjuntas, de gˆenero gi e de grau di
para i = 1, . . . , r. Se F0 for especial ao longo de cada uma dessas curvas, o n´umero de
singularidades isoladas, contadas as multiciplicidades, de F0 em P3 ´e
3
X
i=0
ki+
r
X
i=1
(ℓi+ 1)[(2gi−2)(ℓ2i +ℓi+ 1) +di(4ℓ2i + 3ℓi+ 1)−kdi(3ℓi+ 1)]
em que ℓi =multC0 i(F0).
Demonstra¸c˜aoSejamM0 =P3e{πi}uma seq¨uˆencia de explos˜oesπi :Mi →Mi−1centrada
em Ci−1
i em que Cji =πi−1(Cji−1) para j =i+ 1, . . . , r e Ei =πi−1(Cii−1) o divisor excepcional
de cada explos˜ao.
O exemplo 3.3 relaciona as classes de Chern deMr com as deM0.SejaFi a folhea¸c˜ao
induzida por Fi−1 via πi. Pela proposi¸c˜ao 3.2, tem-se por indu¸c˜ao que
c1(TFr) = π
∗
r. . . π1∗c1(TF0) +
r
X
j=2
ℓj−1π∗r. . . πj∗[Ej−1] +ℓr[Er] (30)
Por hip´otese, todas as singularidades de Fr em Mr s˜ao isoladas. Repetindo as id´eias
da demonstra¸c˜ao do teorema 3.3, tem-se que
X
q∈Sing(Fr)
µ(Fr, q) =
Z
Mr
c3(T Mr⊗TF∗r),
em que
c3(T Mr⊗TF∗r) = c3(Mr) + c2(Mr)c1(T
∗
Fr) + c1(Mr)c
2
1(TF∗r) + c
3 1(TF∗r),
e as classe de Chern de Mr s˜ao dadas no exemplo 3.3. Calcularemos separadamente cada
termo da express˜ao (30). Uma vez que as curvas C0
l s˜ao disjuntas, podemos assumir que
Ei·Ej = 0, sei6=j. Ent˜ao
Z
Mr
c3(Mr) =
Z
M0
c3(M0) +
r
X
j=1
Z
Ej
[Ej]2 + r
X
j=1
Z
C0 j
Portanto,
Z
Mr
c3(Mr) = 4 + r
X
j=1
(2−2gj−4dj) + r
X
j=1
4dj = 4 + r
X
j=1
(2−2gj). (31)
De maneira an´aloga, obtemos as rela¸c˜oes
Z
Mr
c2(Mr)c1(TF∗r) = 6(k−1) +
r
X
j=1
(k−1−4ℓj)dj, (32)
Z
Mr
c1(Mr)c21(TF∗r) = 4(k−1)
2−Xr
j=1
[ℓ2j(2−2gj) + 2ℓjdj(k−1)], (33)
Z
Mr
c31(TF∗r) = (k−1)3−
r
X
j=1
3ℓ2jdj(k−1) +ℓj3(2−2gj−4dj)]. (34)
Somando as equa¸c˜oes (31), (32), (33) e (34) obt´em o n´umero total de singularidades de Fr em Mr. Pelo teorema 3.2, Fr possui, contadas as multiplicidades, (2 −2gj)(ℓ2j +
2ℓj + 2) + 2dj(ℓj + 1)(k−2ℓj −1) em divisor excepcional Ej. Ent˜ao, como no teorema 3.3,
conclu´ımos que contadas as multiciplidades, F0 possui
3
X
j=0
kj+Xr
j=1
(ℓj + 1)[(2gj−2)(ℓ2j +ℓj + 1) +dj(4ℓ2j + 3ℓj + 1)−kdj(3ℓj + 1)]
singularidades isoladas em P3.
3.2
A positividade
Tendo em m˜aos o teorema 3.2 e o corol´ario 3.1, uma quest˜ao natural ´e se as express˜oes neles obtidas s˜ao positivas, ou mesmo se existe uma alguma obstru¸c˜ao no grau da folhea¸c˜ao para que exista uma folhea¸c˜ao especial. Demonstraremos que a positividade dessas express˜oes para o caso em que C for uma interse¸c˜ao completa de duas superf´ıcies.
Para fazermos isso, determinaremos uma cota para o graukde uma folhea¸c˜ao especial ao longo de uma curva em fun¸c˜ao do grau das superf´ıcies que definem C e da multiplicidade alg´ebrica multC(F). O gˆenero de uma curva nessa condi¸c˜ao ´e facilmente determinado.
Em [12], F. Sancho determina uma cota para o n´umero de componentes irredut´ıveis
m−dimensionais, contados com multiplicidade e grau, do conjunto singular de uma folhea¸c˜ao holomorfa por curvas em Pn.
Iniciaremos essas demonstra¸c˜oes descrevendo as folhea¸c˜oes especiais ao longo de cur-vas regulares deP3.
Como a curvaC ´e um conjunto anal´ıtico, pelo lema de Chow, tamb´em ´e um conjunto alg´ebrico. Ent˜ao, para cada pontop∈ C existem um abertoU ⊂Vi ⊂P3, para algum aberto
afim Vi de P3, e duas fun¸c˜oes polinomiais f1 ef2 tais que
