Um estudo global de campos de vetores planares

Instituto de Bioiênias, Letras e Ciênias Exatas

Um Estudo Global de Campos de

Vetores Planares

Durval José Tonon

Orientador: Prof. Dr. Claudio Aguinaldo Buzzi

Dissertação apresentada aoInstituto deBiologia, Letras

e CiêniasExatasda UniversidadeEstadual Paulista,

CampusSãoJosédoRioPreto, omopartedosrequisitos

paraa obtençãodo títulode Mestre emMatemátia

São José do Rio Preto

Titulares

Claudio Aguinaldo Buzzi

ProfessorDoutor -IBILCE -UNESP

Orientador

Maro Antnio Teixeira

Professor Doutor - IMECC - UNICAMP

1 o

Examinador

Paulo Riardo Silva

ProfessorDoutor -IBILCE -UNESP

2 o

Examinador

Suplentes

João Carlos da Roha Medrado

Professor Doutor -UFG

1 o

Suplente

Luiana de Fátima Martins Brito

ProfessoraDoutora - IBILCE -UNESP

2 o

A frase já tão batida Aspalavras não onseguem expressar oque sinto...

neste momentoda minhavidaé muito verdadeira.

Muitas pessoasontribuíramparaqueeste sonhosetornasse realidade. In

felizmentenãoonseguireiitartodosaquelesquemeauxiliaramnestajornada,

mas gostariade destaar pelomenos alguns.

Agradeço aoprofessor Dr. ClaudioBuzzi (Claudião)pelos grandesensina

mentos,paiênia,dediaçãoeprinipalmentepelaamizadequedesenvolvemos

durante todoeste tempoque estive sobre sua orientação.

Aos professores e funionários do departamento pelo inentivo, agradável

ambiente de trabalhoe pelas mais agradáveis aindareuniõessoiais.

Ao meu pai Durval Tonon e minha mãe Apareida Batista Tonon pelas

inúmeras vezes que levantaram as 4 e meia da manhã para que estudasse du

ranteoprimárioepartedoensinomédio,portrabalhareminansavelmenteno

soldesgastantepara medar asoportunidadesquenunativeram. Pormepas

sartodas asliçõespara metornaruma pessoa digna,peloapoioinondiional

que sempre me deram, apesar de saber que este apoio as vezes estava sendo

dolorosopara eles. Muito obrigado!

ari-nho quesempre tiveramomigo.

Aosmeus avos José e Zuleika (inmemorian).

Ao meu grande diretor professor Amaral Crepaldi Filho pelas onversas,

onselhose,pormeabriressamaravilhosaportaqueéaUniversidade Públia.

À Izilda, João, Laira e Thalisa pela onvivênia agradabilíssima e, por

me aolherem de braços abertos em sua asa nos primeiros anos de minha

graduação.

ÀNádiapelosinentivos,arinhoomqueouviaminhasdesobertasmatemáti

as",pelaompreensãonos momentos queestava ausenteestudando, peloom

bro aonhegante nos momentos difíeisedeliiosos momentosde alegria.

Aos meus grandes amigos de Mirassol e de Rio Preto que fazem om que

a vida seja muito mais feliz e interessante. Gostaria de agradeer aos amigos

de repúblia: Eduardo(Costela),Pedroe Marus pela onvivênia agradávele

muitos momentosde alegriaque tivemos.

Ao Aroldinho, Eduardo(Behram), Chio e Júlio, pelas lições que não se

aprendememlivrose,quesão tão valiosaspara minhavida. Desejoque todos

tenhammuito suesso.

Aos meus amigos de graduação e pós-graduação: Marus(Fortinho), Gra,

Viníius,Carol,RafaelOttoboni,Fernando,LígiaePaulinho,pelos momentos

agradáveisdeonvivêniaeamizade. ObrigadoCibele(Miguxa)portodosesses

anos de amizadee arinho, e Aline(Gobbi) por nossas onstrutivas onversas

eporse surpreender ao ser minha amiga.

À FAPESP pelo auxílionaneiro.

...Souseu objetivo, suarazão quea razão ignora e

des-onhee. Tenho milhões de denições, todas ertas, to

das imperfeitas, todas lógias apenas emmotivaçõespes

soais,todasorretas, todaserradas. Soutudo,semmim,

tudo é nada. Sou amanheer, sou Fênix, renasço das

inzas,seiquando tenhoquemorrer,seiquesempre irei

Lista de Figuras xv

Introdução 1

I Estudo daFamília

X

(x, y) = (ax+by, Ax

2

_+Bxy+

_Cy

2

_).

7

1 Formas Normais 9

2 Denições Preliminares 13

2.1 Introdução . . . 13

2.2 Pontos Singulares . . . 13

2.2.1 PontosSingulares Não Degenerados . . . 13

2.2.2 Pontos Singulares Elementares . . . 18

2.2.3 PontosSingulares Nilpotentes . . . 24

3 A Esfera de Poinaré e Pontos Singulares no Innito 27 3.1 Introdução . . . 27

3.2 A esfera de Poinaré . . . 27

4 Pontos Singulares na Parte Finita do Campo 39 4.1 Introdução . . . 39

5 Pontos Singulares na Parte Innita do Campo 47 5.1 Introdução . . . 47

ampo . . . 54

6 Retratos de Fase Global om Pontos Singulares Linearmente Nulo 67 7 Retrato de Fase Global om Innitos Pontos Crítios 69 8 Retratos de Fase Loal om Finitos Pontos Crítios 77 9 Retratos de Fase Global no Diso de Poinaré om Finitos Pontos Crítios 81 10 Demonstração do Teorema

0

.

0

.

1

87 II Estudo da Família

X

(x, y) = (x

2

₋

_{1, a}

₊

_bx

₊

_cy

₊

_dx

2

₊

exy

+

f y

2

).

89 11 Formas Normais 91 12 Estudo da Família

X

(

x, y

) = (

x

2

−

1

, a

+

bx

+

cy

+

dx

2

₊

_exy

₊

_y

2

₎

_.

93 12.1 Singularidadesna Parte Finita doCampo . . . 93

12.2 Singularidadesna Parte Innita doCampo . . . 98

12.3 Retratos de Fase LoalnoDiso de Poinaré . . . 103

12.4 Retratos de Fase Globalno Disode Poinaré . . . 108

13 Estudo da Família

X

(

x, y

) = (

x

2

−

1

,

1 +

cy

+

exy

)

. 119 13.1 Singularidadesna Parte Finita doCampo . . . 119

13.2 Singularidadesna Parte Innita doCampo . . . 123

13.3 Camposom Innitos Pontos Singulares naParte Innita . . . . 138

13.4 Retratos de Fase Loal . . . 145

13.5 Retratos de Fase Global . . . 147

15.1 Retratosde Fase Globalno Disode Poinaré . . . 155

16 Estudo da Família

X

(

x, y

) = (

x

2

−

1

, cy

+

exy

)

.

159

16.1 Retratosde Fase Globalno Disode Poinaré . . . 159

17 Demonstração do Teorema

0

.

0

.

2

163

1 Os 30possíveisretratos de faseglobal. . . 3

2 Os 48primeirosretratos de fase globaldo teorema

0

.

0

.

2

. . . 5

3 Os 51seguintes retratosde faseglobal doteorema

0

.

0

.

2

. . . 6

2.1 Nóestávelna formaannia. . . 16

2.2 Nó estáveldegenerado naformaannia. . . 16

2.3 Nó estável.. . . 17

2.4 Sela na formaannia. . . 17

2.5 Fooestável om

β >

0

. . . 18

2.6 Fooestável om

β <

0

. . . 18

2.7 As regiões

Ω

1,

Ω

2, . . . ,

Ω

n

. . . 20

2.8 Caso onde

∆

m

>

0

e

m

é ímpar. . . 23

2.9 Caso onde

∆

m

<

0

e

m

é ímpar. . . 23

2.10 Caso onde

∆

m

<

0

e

m

é par. . . 24

2.11 Caso onde

∆

m

>

0

e

m

é par. . . 24

3.1 Projeçãoestereográa de

S

2

sobre oplano

xy

. . . 28

3.2 Um orte nagura anterior. . . 28

3.3 Projeçãoentraldo hemisfériosuperior de

S

2

sobre oplano

xy

. 29 3.4 Projeçãoentralsobre o plano

xy

. . . 30

3.5 . . . 35

3.6 . . . 35

3.7 Projeçãoentralsomentesob um hemisfériodaesfera. . . 37

5.1 Projeçãoentralsomentesob um hemisfériodaesfera. . . 48

5.2 As artas

U1, U2, V1

e

V2

. . . 49

5.5

α

−

_<

₀

. . . 55

5.6

α

−

_>

₀

. . . 55

5.7 Sela nó nilpotente

−

_B

2

,

0

∈

U1

.. . . 59

5.8 . . . 65

6.1 O retratode faseloaldaorigem naarta

U1

. . . 68

6.2 O retratode faseglobal dos ampos

X7

e

X23

. . . 68

7.1 Retratosdefaseglobaldosamposominnitospontossingulares. 70 7.2 Retratos de fase global doampo

(1

, x

+

Cy

)

om

C <

0

. . . 71

7.3 Retratosde faseglobal doampo

(1

, x

+

Cy

)

om

0

< C <

1

e, dos ampos

X9

e

X1

om

0

< C <

1

, respetivamente.. . . 72

7.4 Retratosde faseglobaldoampo

(1

, x

+

y

)

e,doampo

X1

om

C

= 1

,respetivamente. . . 73

7.5 Retratos de faseglobal doampo

(1

, x

+

Cy

)

e, dos ampos

X1

om

C >

1

e

X2

om

C

= 1

, respetivamente. . . 73

7.6 Retratos de fase global dos ampos

X15

e

X22

, respetivamente. 74 7.7 Retratos de fase global dos ampos

(1

, x

)

e

X4

om

B

= 1

, respetivamente. . . 75

7.8 Retratos de fase global dos ampos

X14

e

X21

, respetivamente. 75 7.9 Retratosde fase global dos ampos

(1

, x

+

y

)

e

X20

,respetiva mente. . . 76

8.1 Os

12

primeirosretratosde fase loalno diso de Poinaré que possuemnitos pontos rítios. . . 79

8.2 Os

10

últimos retratos de fase loal no diso de Poinaré que possuemnitos pontos rítios. . . 80

9.1 Retratosde faseglobalnodisode Poinaré. Nãoonsideramos aqui as guras

4

e

6

do teorema referente aos retratos de fase loal. . . 83

9.2 Os

8

seguintes retratos de fase globalno diso de Poinaré. . . . 84

12.2 Retrato de fase loalda singularidadenaarta

U1

. . . 100

12.3 Retrato de fase loalda singularidadenaarta

V1

. . . 102

12.4 Retratosde faseloaldas singularidades

z

−

1

, z

−

2

, z

+

1

e

z

+

2

,respe tivamente. . . 104

12.5 Os

9

primeirosretratosde fase loalno diso de Poinaré. . . . 106

12.6 Os

9

seguintes retratos de fase loalnodiso de Poinaré. . . 107

12.7 Os

9

últimosretratosde faseloalnodiso de Poinaré.. . . 108

12.8 Os

9

primeirosretratosde fase global nodiso de Poinaré. . . . 115

12.9 Os

9

seguintes retratos de fase globalno diso de Poinaré. . . . 116

12.10Os

9

últimosretratosde faseglobal nodiso de Poinaré. . . 117

13.1 Retratos na parte nita do ampo om

c >

0

e

c <

0

, respeti

vamente. . . 121

13.2 Retratos na parte nita do ampo om

c <

0

e

c >

0

, respeti

vamente. . . 122

13.3 Retratosnapartenitadoampodasingularidade

1

,

₋

1

c

+

e

om

c

+

e <

0

e

c

+

e >

0

,respetivamente.. . . 123

13.4 Retratosnapartenitadoampodasingularidade

1

,

₋

1

c

₋

e

om

c

−

e <

0

e

c

−

e >

0

, respetivamente. . . 123

13.5 Retratos na parte innita do ampo om

c <

−

1

e

c >

−

1

,

respetivamente. . . 124

13.6 Fluxo do ampo sob a reta

x

= 1

. . . 125

13.7 Retratos na parte innitadoampo om

c <

−

1

,

−

1

< c <

0

e

c >

0

, respetivamente. . . 126

13.8 Retratos na parte innita do ampo om

c <

−

1

e

c >

−

1

,

respetivamente. . . 127

13.9 Retratos na parte innitadoampo om

c <

−

1

,

−

1

< c <

0

e

c >

0

, respetivamente. . . 128

13.10Retratos na parte innitado ampoom

c <

1

e

c >

1

, respe

tivamente. . . 129

c <

0

, respetivamente. . . 131

13.13Retratos na parte innitado ampoom

c <

1

e

c >

1

, respe tivamente. . . 132

13.14Retratos na parte innita do ampo om

0

< c <

1

, c >

1

e

c <

0

, respetivamente. . . 133

13.15Retratos na parte innitado ampo om

e <

1

e

e >

1

, respe tivamente. . . 134

13.16Retratos naparte innitado ampo om osreferidos asos. . . . 136

13.17Retratos na parte innitado ampo om

e <

1

e

e >

1

, respe tivamente. . . 137

13.18Retratos naparte innitado ampo om osreferidos asos. . . . 139

13.19Cartas

U1, U2, V1

e

V2

. . . 140

13.20 . . . 140

13.21 . . . 141

13.22Retrato de fase global para oaso

(1)

om

c

=

−

1

. . . 141

13.23 . . . 142

13.24 . . . 143

13.25Retrato de fase global para oaso

(2)

om

c

= 1

. . . 143

13.26Dinâmia próximoa reta de singularidadesnas artas

U1

e

V1

. . 144

13.27Retratos om relaçãoà arta

U2

.. . . 144

13.28Retratos om relaçãoà arta

V2

. . . 145

13.29Retratos de fase global para oaso

(3)

. . . 145

13.30Os 14retratos de fase loal. . . 146

13.31As quatro regiõesque deompõemo espaço de parâmetros. . . . 147

13.32Os possíveis retratos de fase que podem oorrer em ada uma das regiões doespaço de fase. . . 148

13.33Os retratosde faseglobal. . . 149

14.1 Os

15

primeirosretratos de fase globalno diso de Poinaré. . . 152

14.2 Os

15

seguintes retratosde faseglobal nodiso de Poinaré. . . 153

14.3 Os

13

últimos retratosde fase global nodiso de Poinaré. . . . 154

15.3 Os

12

últimos retratosde fase global nodiso de Poinaré. . . . 158

16.1 Os

9

primeirosretratosde fase global nodiso de Poinaré. . . . 160

Neste trabalhoestudamososamposdevetoresplanaressemi-homogêneos

quadrátios e também os ampos de vetores planares quadrátios om duas

retas paralelas invariantes pelouxo. Para ada uma dessas lasses, obtemos

uma lassiação dos retratos de fase global no diso de Poinaré e apresen

tamos as respetivas formas normais. Dentre as ténias utilizadas no desen

volvimentodotrabalhodestaamosaCompatiaçãodePoinaréeoMétodo

doBlow-up.

Palavras Chaves: Retratos de fase, sistemas semi-homogêneos,sistemas

Inthis workwestudy the planarquadratisemi-homogeneousvetorelds

and the lass of planar quadrati vetor elds possessing two parallelow in

variantstraight lines. For eah one of these lasses, we obtain alassiation

of the global phase portraits in the Poinaré dis and we present their nor

malforms. Among the tehnis used during the development of the work we

emphasize the Poinaré Compatiationand the Blow-up Method.

Key words: Phase portraits, semi-homogeneous systems, quadrati sys

Considere

P

e

Q

polinmioshomogêneosreais nas variáveis

x

e

y

de graus

m

e

n

, respetivamente. Nesse aso, dizemos queo ampo de vetores

X

= (

P, Q

) : IR

2

_→

IR

2

é um ampo de vetores polinomial planar semi-homogêneo. Em partiular, se

m

=

n

, temos que

X

é um ampovetorialpolinomialplanar homogêneo.

O aso

m

=

n

tem sido estudado porvários autores. Osampos vetoriais

polinomiais quadrátios homogêneos (

m

=

n

= 2

) foram estudados por

Lya-gina [14℄, Markus [15℄, Korol [16℄, Sibirskii e Vulpe [17℄, Newton [18℄, Date

[19℄eVdovina[20℄; osamposvetoriaispolinomiaisúbioshomogêneos(

m

=

n

= 3

) foi estudado por Cima e Llibre [21℄; o aso geral

m

=

n

foi estudado

por Argemí [22℄, Cima e Llibre [21℄, Collins [23℄ e Llibre e outros [24℄. Em

todos esses trabalhos é desrito um algoritmo para obter o retratode fase de

um ampo polinomial homogêneo para todo grau

m

=

n

, a lassiação de

todos os retratosde fase de ampos polinomiaishomogêneosde graus

2

e

3

e,

lassiaçãoalgébriade ampos polinomiaishomogêneos.

Neste ontexto podemos pereber que o estudo dos ampos de vetores ho

mogêneos já se enontra bem adiantado. Com isso nos sentimos motivados a

explorar outras lasses de ampos de vetores, omo por exemplo a lasse dos

ampos polinomiaissemi-homogêneos. Dentrodesta lasse afamíliamais sim

X

:

(

˙

x

=

ax

+

by

˙

y

=

Ax

2

₊

_Bxy

₊

_Cy

2

_.

(1)

Este estudoérelativamentereente, oartigo noqualbaseamosnosso trabalho

é [1℄de 1997, ujosautores são Laurent Cairó e Jaume Llibre. Este artigo foi

pioneiro na époa pois iniiou o estudo de ampos polinomiais semi-homogê

neos.

Esta área de pesquisa tem sido muito feunda, sópara seter um idéia nos

últimos

30

anos foram publiados mais de

1000

papers tratando de ampos

polinomiaisquadrátios.

Ospassosprinipaisparasehegaraessalassiaçãoonsisteiniialmente

emreduzir o ampo iniial que possui

5

parâmetros a

23

formas normaisque

possuemapenas

2

parâmetros. Depoispassa-seaumaanáliseloaldospontos

rítiosnitosutilizandooTeoremade Hartman,noasodospontoshiperbóli

os,Teorema daVariedadeCentral,noasodospontosparialmentehiperbóli

os e a Ténia do Blow-up para os pontos om autovalorzero duplo. Para a

análisedos pontos singulares noinnitonos valeremosda Compatiação de

Poinaré.

Temososeguinteresultadoreferenteaestafamíliadeampossemi-homogê

neos:

Teorema 0.0.1. Oretratode fasede todoampode vetores polinomial planar

semi-homogêneode graus 1 e 2

X

(

x, y

) = (

ax

+

by, Ax

2

+

Bxy

+

Cy

2

)

é topologiamente equivalente a uma das 30 ongurações listadas na Figura

1

.

Além disso ada um dos retratos a seguir provém de um ampo de vetores

de graus1 e 2.

Introdução0.0 3

k

= 1

k

= 2

k

= 3

k

= 4

k

= 5

k

= 6

k

= 7

k

= 8

k

= 9

k

= 10

k

= 11

_k

_{= 12}

k

= 13

k

= 14

_k

_{= 15}

k

= 16

k

= 17

k

= 18

k

= 19

k

= 20

k

= 21

k

= 22

_k

_{= 23}

k

= 24

k

= 25

k

= 26

k

= 27

k

= 28

k

= 29

k

= 30

Figura1: Os 30possíveisretratosde fase global.

partirpara o estudo de um problema om uma motivaçãona biologia.

NaliteraturaéonheidoomodelodeA.Lotka(1925)eV.Volterra(1926),

presa-predadorqueforneeadinâmiade populaçõesdependentes entresi. Se

x

denota o número de predadores e

y

denota o número de presas, então o

modelo de Lotka-Volterra tomaa forma

(

˙

x

=

₋

ax

+

bxy

=

x

(

₋

a

+

by

)

˙

y

=

₋

cxy

+

dy

=

y

(

₋

cx

+

d

)

,

Observe que trata-se de um sistema planar quadrátio onde, na ausênia

de predadores

(

x

= 0)

,

y

˙

=

dy

e, assim onúmero de presas reseexponenial

mente. Na ausênia de presas,

x

˙

=

−

ax

, e assim a população de predadores

tende a extinguir-se. Note também que os eixos

x

e

y

são invariantes pelo

uxo.

Tendo este famoso modeloemmente, estamosinteressados emestudarum

aso degeneradodeste problema: quando estamosom um sistema polinomial

planarom duas retas paralelasinvariantes pelouxo.

Podemos supor,sem perda de generalidade, que afamília de ampos é da

forma

X

(

x, y

) = (

x

2

−

1

, a

+

bx

+

cy

+

dx

2

+

exy

+

f y

2

)

.

(2)

Com efeito, dado um ampo de vetores qualquer que possua duas retas

paralelasinvariantespelouxo, podemosatravésde rotação,translaçãoemul

tipliaçãoporum esalar obter o ampo dadoaima.

As ténias utilizadas noestudo desta famíliade ampos são basiamente

asmesmas utilizadasnoestudo dafamíliade ampossemi-homogêneos.

Chamamos a atenção para o fato de que o estudo desta segunda família

de ampos é um trabalho original, desenvolvido durante o segundo ano do

mestrado.

Demonstraremoso seguinteresultado

Teorema 0.0.2. O retrato de fase global no diso de Poinaré do ampo

X

(

x, y

) = (

x

2

−

1

, a

+

bx

+

cy

+

dx

2

+

exy

+

f y

2

)

é topologiamente

equi-valente a um dos retratos apresentados nas Figuras

2

e

3

.

Dividiremos este trabalho em duas partes, uma referente ao estudo da

família de ampos

X

(

x, y

) = (

ax

+

by, Ax

2

₊

_Bxy

₊

_Cy

2

₎

e a outra ao es

tudo dafamília

X

(

x, y

) = (

x

2

−

1

, a

+

bx

+

cy

+

dx

2

Introdução0.0 5

k

= 1

k

= 2

k

= 3

k

= 4

k

= 5

k

= 6

k

= 7

k

= 8

k

= 9

_k

_{= 10}

_k

_{= 11}

_k

_{= 12}

k

= 13

k

= 14

k

= 15

k

= 16

k

= 17

k

= 18

k

= 19

k

= 20

k

= 21

k

= 22

k

= 23

k

= 24

k

= 25

k

= 26

k

= 27

k

= 28

k

= 29

k

= 30

k

= 31

k

= 32

k

= 33

k

= 34

k

= 35

k

= 36

k

= 37

k

= 38

k

= 39

k

= 40

k

= 41

k

= 42

k

= 43

k

= 44

k

= 45

k

= 46

k

= 47

k

= 48

Introdução 6

k

= 49

k

= 50

k

= 51

k

= 52

_k

_{= 53}

k

= 54

k

= 55

k

= 56

k

= 57

k

= 58

k

= 59

k

= 60

k

= 61

k

= 62

k

= 63

k

= 64

k

= 65

k

= 66

k

= 67

k

= 68

k

= 69

k

= 70

k

= 71

k

= 72

k

= 73

k

= 74

k

= 75

k

= 76

_k

_{= 77}

k

= 78

k

= 79

k

= 80

k

= 81

k

= 82

k

= 83

k

= 84

k

= 85

k

= 86

k

= 87

k

= 88

k

= 89

k

= 90

k

= 91

k

= 92

_k

_{= 93}

_k

_{= 94}

k

= 95

k

= 96

k

= 97

k

= 98

k

= 99

Estudo da Família

Formas Normais

Nosso interesse aqui restringir-se-á a ampos de vetores semi-homogêneos

X

(

x, y

) = (

P

(

x, y

)

, Q

(

x, y

))

da forma linear

P

(

x, y

) =

ax

+

by

e quadrátia

Q

(

x, y

) =

Ax

2

+

Bxy

+

Cy

2

. Notequeesse ampode vetoressemi-homogêneo

possui 5 oeientes independentes.

Nesse apítulo mostraremos que se pode reduzir o estudo desse sistema

para o estudo de 23 formas normais, levando em onta somente parâmetros

esseniais.

Denição 1.0.1. Dizemos que dois ampos de vetores

X

(

x, y

)

e

Y

(

x, y

)

em

IR

n

são topologiamente equivalentes se existeum homeomorsmodo

IR

n

quelevaórbitasdouxo induzidopor

X

(

x, y

)

em órbitas douxoinduzido por

Y

(

x, y

)

, preservandoou invertendoo sentido de todas as trajetórias.

Teorema 1.0.3. Seja

X

(

x, y

)

umampode vetores semi-homogêneodaforma

(

ax

+

by, Ax

2

₊

_Bxy

₊

_Cy

2

₎

, temos que seu retrato de fase é topologiamente

X1

= (

x

+

y, x

2

₊

_Bxy

₊

_Cy

2

₎

_{com B}

·

C

₆

= 0

,

X2

= (

x

+

y, xy

+

Cy

2

₎

_{com C}

6

= 0

,

X3

= (

x

+

y, x

2

+

Cy

2

)

com C

₆

= 0

,

X4

= (

x

+

y, x

2

+

Bxy

)

com B

₆

= 0

,

X5

= (

x

+

y, x

2

)

X6

= (

x

+

y, xy

)

,

X7

= (

x

+

y, y

2

)

,

X8

= (

y, x

2

+

xy

+

Cy

2

)

com C

₆

= 0

,

X9

= (

y, xy

+

y

2

)

,

X10

= (

y, x

2

+

y

2

)

,

X11

= (

y, x

2

−

y

2

₎

_,

X12

= (

y, x

2

+

xy

)

,

X13

= (

y, x

2

)

,

X14

= (

y, xy

)

,

X15

= (

y, y

2

₎

_,

X16

= (

x, x

2

₊

_xy

₊

_Cy

2

₎

_{com C}

6

X17

= (

x, xy

+

y

2

₎

_,

X18

= (

x, x

2

₊

_y

2

₎

_,

X19

= (

x, x

2

−

y

2

)

,

X20

= (

x, x

2

+

xy

)

,

X21

= (

x, x

2

)

,

X22

= (

x, xy

)

,

X23

= (

x, y

2

)

.

Demonstração Considere a seguinte mudançalinear de variáveis











x

=

αx

y

=

βy

t

=

γt.

Temos que o ampo

X

(

x, y

)

pode ser reesrito nas novas variáveisomo

X

(

x, y

) =

ax

γ

+

bαy

βγ

,

Aβx

2

α

2

_γ

+

Bxy

αγ

+

Cy

2

βγ

.

As 23 formas normais apareem quando onsideramos a ombinação das

3 possibilidades de

a

e

b

:

a

·

b

6

= 0

, a

= 0

e

b

6

= 0

, a

6

= 0

e

b

= 0

om as

7 possibilidades de

A, B

e

C

:

A

·

B

·

C

6

= 0

, A

= 0

e

B

·

C

6

= 0

, B

= 0

e

A

_·

C

₆

= 0

, C

= 0

e

A

·

B

6

= 0

, A

6

= 0

e

B

=

C

= 0

, B

6

= 0

e

A

=

C

= 0

, C

6

= 0

e

A

=

B

= 0

.

Note que desta formaobtemos 21possibilidades,ontudo quando

analisa-mososasosobservamos2dupliações,oqueresultaaotodo23possibilidades.

Vamos analisaralguns desses asos para eluidarasidéias.

esolher

α, β

e

γ

taisque:

a

γ

= 1

,

bα

βγ

= 1

e

βA

α

2

_γ

= 1

.

Oque nos remete aoseguinteampo:

(

x

+

y, x

2

+

Bxy

+

Cy

2

)

.

Se igno

rarmosas barrasulminamos noampo

X1.

•

Caso

a

·

b

·

A

6

= 0

, B

= 0

e

C

6

= 0

, temos

X3

= (

x

+

y, x

2

+

Cy

2

)

.

•

Caso

a

·

b

·

A

6

= 0

, B

6

= 0

e

C

= 0

temos

X4

= (

x

+

y, x

2

+

Bxy

)

.

•

Caso

a

·

b

·

A

6

= 0

e

B

=

C

= 0

temos

X5

= (

x

+

y, x

2

₎

.

•

Caso

a

·

b

·

B

6

= 0

,

e

A

=

C

= 0

. Consideremos aqui asrestrições

B

αγ

= 1

,

bα

βγ

= 1

e

γ

=

a,

temosoampo

(

x

+

y, xy

)

,ignorandoasbarrastemosoampo

X6

(

x, y

) =

(

x

+

y, xy

)

.

•

Caso

a

= 0

, b

·

A

·

C

6

= 0

e

B

= 0

.

Considere asequações

bα

βγ

= 1

,

βA

α

2

_γ

= 1

e

C

βγ

= 1

.

Notequenesse asosurgemduaspossibilidadesaserem onsideradas,as

quaissão as dupliações supraitadas:

A

·

C >

0

e

A

·

C <

0

, o que nos

levaaos ampos

X10

= (

y, x

2

+

y

2

)

e

X11

= (

y, x

2

−

y

2

)

.

Notequeproedendoanalogamenteaosítens aimaeutilizando-nosde um

argumento ombinatorial obtemos as 23 possibilidades de ampos na forma

normal.

Pelo Teorema

1

.

0

.

3

podemos observar que o estudo de ampos de vetores

semi-homogêneos

(

ax

+

by, Ax

2

+

Bxy

+

Cy

2

)

foireduzidoàanalisede ampos

Denições Preliminares

2.1 Introdução

Nesse apítulo serão introduzidas algumas denições básias e notações,

as quais neessitaremos para a análise do retrato de fase loal nos pontos

singulares naparte nitaouinnitade um ampode vetoressemi-homogêneo

dado peloTeorema

1

.

0

.

3

.

Denotaremospor

P

n

(IR

2

)

oonjuntodosamposdevetorespolinomiaisno

IR

2

daforma

X

(

x, y

) = (

P

(

x, y

)

, Q

(

x, y

))

onde

P

(

x, y

)

e

Q

(

x, y

)

sãopolinmios

reais nas variáveis

x

e

y

de grau no máximo

n

, onde

n

∈

IN

sendo que

IN

representa o onjunto usual dos inteiros positivos.

2.2 Pontos Singulares

2.2.1 Pontos Singulares Não Degenerados

Nessaseçãoapresentaremosalgunsresultados,aeradepontossingulares,

que são válidos para ampos mais gerais e não só para os ampos de nosso

interesse prinipal.

Um ponto

q

∈

IR

2

singularidadedeumampodevetores

X

(

x, y

) = (

P

(

x, y

)

, Q

(

x, y

))

se

P

(

q

) =

Q

(

q

) = 0

.

Chamaremos a atenção para alguns resultados onde

P

(

x, y

)

e

Q

(

x, y

)

são

funçõesanalítiasem umavizinhança de

q

.

Sejam

D

=

P

x

(

q

)

Q

y

(

q

)

−

P

y

(

q

)

Q

x

(

q

)

e

T

=

P

x

(

q

) +

Q

y

(

q

)

, temos que

uma singularidade é hamada não degenerada se

D

6

= 0

. Segue que esta

singularidadeé neessariamenteuma singularidadeisolada.

De fato, sabemos que

D

é o determinanteda matriz Jaobiana do ampo

e, omo

D

6

= 0

temos pelo Teorema da Função Inversa que

X

(

x, y

)

é um

difeomorsmoloal,assim levazero emzero dondeseguequenãopodemoster

outro pontoom imagemzero.

Admitamos, sem perda de generalidade,que a singularidade

q

é a origem.

Temos que o ampo

X

(

x, y

) = (

P

(

x, y

)

, Q

(

x, y

))

admite a seguinte repre

sentação em uma vizinhançadaorigem:











˙

x

=

P

(

x, y

) =

ax

+

by

+

ϕ

(

x, y

)

˙

y

=

Q

(

x, y

) =

cx

+

dy

+

ψ

(

x, y

)

.

A equação araterístia doestadode equilíbrio,nesse aso aorigem,é

a

₋

λ

b

c

d

₋

λ

=

λ

2

−

T

_·

λ

+

D

= 0

,

(2.1)

om

T

=

a

+

d

e

D

=

ad

−

bc

,neste aso.

Estamos no aso onde

D

6

= 0

. As raízes

λ1

e

λ2

da equação araterístia

são hamadas raízes araterístias. Dependendo da natureza das raízes

araterístiaso sistema pode ser reduzido poruma transformação linear, em

umavizinhançadoestadode equilíbrio,aumadasseguintes formasannias:











˙

x

=

P

(

x, y

) =

λ1x

+

ϕ

(

x, y

)

˙

y

=

Q

(

x, y

) =

λ2y

+

ψ

(

x, y

)

Caso 2: Raízes araterístias reais e iguais (

λ1

=

λ2

=

λ

).











˙

x

=

P

(

x, y

) =

λx

+

ϕ

(

x, y

)

˙

y

=

Q

(

x, y

) =

λy

+

µx

+

ψ

(

x, y

)

Aqui

µ

pode ser nulo ounão.

Caso 3: Raízes araterístias omplexas onjugadas (

λ1

=

α

+

βi, λ2

=

α

₋

βi,

β

₆

= 0

).

Temos o sistema:











˙

x

=

P

(

x, y

) =

αx

₋

βy

+

ϕ

(

x, y

)

˙

y

=

Q

(

x, y

) =

βx

+

αy

+

ψ

(

x, y

)

A seguir exibiremostodos os tipospossíveisde estados de equilíbrioujas

raízesaraterístiastêmparterealnãonulae,esboçaremososretratosdefase

em uma vizinhançadoestado de equilíbrio.

Para foos enós ilustraremos somente oaso estável. Para obter oretrato

de fase para nós ou foos instáveis, simplesmente revertemos a direção das

setas.

I.Nós: orrespondeao asoondeasraízesaraterístiassãoreais

e de sinais iguais.

(a)Nónão degenerado estável:

λ1

6

=

λ2, λ1

<

0

, λ2

<

0

.

Nesse aso temos

D >

0

, T

2

−

4

D >

0

e

T <

0

.

(b)Nó estável degenerado:

λ1

=

λ2

=

λ, λ <

0

, µ

6

= 0

,

istoé,

D >

0

, T

2

−

Figura2.1: Nóestável naformaannia.

Figura2.2: Nó estável degeneradona formaannia.

()Nó estável:

λ1

=

λ2

=

λ, λ <

0

, µ

= 0

.

II.Pontos de Sela : Correspondeao aso ondeas raízesaraterís

tias são reais e om sinais opostos.

Nesse aso temos

λ1

<

0

, λ2

>

0

ou

λ1

>

0

, λ2

<

0

, istoé,

D <

0

.

III.Foos: Corresponde a raízes araterístias omplexas onju

gadas.

Nesse aso temos

λ1

=

α

+

βi, λ2

=

α

−

βi, β

6

= 0

, isto é,

D >

0

e

T

2

Figura2.3: Nó estável.

Figura 2.4: Sela naformaannia.

Aquipodem oorrer dois asos:

(a)Fooestável: Se

α <

0

.

A gura

2

.

5

a seguirilustra um foo estável om

β >

0

. A gura

2

.

6

para

oaso onde

β <

0

.

(b)Fooinstável: Se

α >

0

.

Figura 2.5: Foo es

tável om

β >

0

.

Figura 2.6: Foo es

tável om

β <

0

.

2.2.2 Pontos Singulares Elementares

Denição2.2.1. Um pontorítio ou singularidade

q

éelementar se

D

= 0

e

T

6

= 0

.

Nesse aso temos que o ponto

q

é um ponto isolado no onjunto de todos

ospontossingulares.

Considere novamenteo ampo de vetores

X

(

x, y

) = (

P

(

x, y

)

, y

+

Q

(

x, y

)) = (

P

(

x, y

)

, Q

(

x, y

))

.

(2.2)

Admitamosagoraque

P

(

x, y

)

e

Q

(

x, y

)

possuiumúniopontorítio

(0

,

0)

emuma vizinhançada origem,e são analítiasnessa vizinhança. Temos tam

bémque sua expansão emsérie de potêniaomeçaom termosquadrátios.

Nossas armações, omo já omentamos, se restringem a uma vizinhança

suientemente pequena

U

δ

(0)

daorigem. Seja

T

=

T

(

x, y

) =

σ

(

x, y

) =

∂P

(

x, y

)

∂x

+

∂Q

(

x, y

)

∂y

.

(2.3)

Temos que

σ

(

x, y

)

é uma função ontínua,

σ

(0

,

0) =

σ

= 1

. Daí podemos

assumir que

σ

(

x, y

)

>

0

para quaisquer pontos em

U

δ

(0)

e assim faremos uso

doTeste de Bendixson e Dula,o qualenuniaremos abaixo.

Sejam



















dx

dt

=

P

(

x, y

)

dy

dt

=

Q

(

x, y

)

,

(2.4)

umsistemadinâmioanalítio,

G

umasubregiãosimplesmenteonexadodomínio

de denição do sistema

(2

.

4)

. Seja

B

(

x, y

)

uma função ontinuamente

dife-reniável denida em

G

tal que a função

∂

(

BP

)

∂x

+

∂

(

BQ

)

∂y

(2.5)

nãomuda de sinal. Temosque nãoexistem urvas simplesfehadas em

G

que

são união de trajetórias do sistema

(2

.

4)

.

Observação2.2.1. Aondiçãoaimapermitequeafunção

(2

.

5)

sejanulaem

umnúmeronito de pontos isoladose urvas suaves, ontudopossuio mesmo

sinal emtodos os pontos de

G

.

Demonstração

Demonstremosiniialmentequearegião

G

nãoontémtrajetóriasfehadas.

Vamos fazer ademonstração porpartes.

Suponhamosque

G

ontém umatrajetóriafehada

L

. Considereaintegral

de linha

I

=

Z

L

(

₋

BQdx

+

BP dy

)

.

Temos que

I

= 0

. Com efeito, sejam

x

=

ϕ

(

t

)

e

y

=

ψ

(

t

)

,

asequações datrajetória

L

, onde

0

≤

t

≤

T

. Temos

I

=

Z

T

0

ϕ

′

(

t

) =

P

(

ϕ

(

t

)

, ψ

(

t

))

,

ψ

′

(

t

) =

Q

(

ϕ

(

t

)

, ψ

(

t

))

,

pois

(

ϕ

(

t

)

, ψ

(

t

))

é soluçãodo sistema

(2

.

4)

.

Noteque os olhetes da equaçãoé nulo, logo

I

= 0

.

Poroutro lado, temospeloTeoremade Green que

I

=

Z Z

Ω

∂

∂x

(

BP

) +

∂

∂y

(

BQ

)

dxdy,

onde

Ω

éaregião limitadapelaurva fehada

L

(Ω

⊂

G

)

. Masporhipótesea

função que está sendo integrada não muda de sinal, logo a integral não pode

ser nula. O que nos onduz a uma ontradição. Portanto,

G

não ontém

trajetórias fehadas.

Mostremos agora que

G

não ontém um loop fehado simples, isto é,

a união de um ponto singular e uma trajetória fehada

L

que tende para a

origem quando

t

→ ±∞

. Analogamente ao feito anteriormente, suponhamos

que existe um loop em

G

. Seja

C

ε

um írulo entrado na origem om raio

suientemente pequeno tal que existem pontos de

L

fora da região limitada

peloírulo.

Como

(2

.

4)

é um sistema analítio,

L

é uma urva analítia e portanto

orta

C

ε

somente em um número nito de pontos, os quais dividem

C

ε

em

um número nito de subaros.

...

PSfrag replaements

Ω

1

Ω

2

Ω

n

γ1

γ2

γ

n

L

∆

1

∆

2

∆

n

ε

C

ε

Se

Ω

denotaaregiãolimitadapeloloop

L

e

Ω

ε

oonjuntodos pontosde

Ω

que distam mais do que

ε

da origem, temos que

Ω

ε

é um onjunto aberto do

IR

2

e,a fronteira desse onjuntoé a uniãodos subaros menionadosaima.

Daí temos que

Ω

ε

é a união de um número nito de omponentes

Ω

1

,

Ω

2, . . . ,

Ω

n

. Denotemosasfronteirasorientadaspositivamentede

γ1, γ2, . . . , γ

n

.

Temos que essas fronteiras são urvassuavesporpartes.

Considere a integral

I

ε

=

Z Z

Ω

ε

∂

∂x

(

BP

) +

∂

∂y

(

BQ

)

dxdy

=

n

X

k

=1

Z Z

Ω

k

∂

∂x

(

BP

) +

∂

∂y

(

BQ

)

dxdy.

Comoointegrando nãomudade sinal,aintegralénãonulaeportanto

|

I

ε

|

reseom oderesimento

ε

. Portanto,para todo

ε < ε0

,

|

I

ε

|

>

|

I

ε

0

|

.

(2.7)

Poroutro lado, oTeorema de Green nos dizque

I

ε

0

=

n

X

k

=1

I

γ

k

(

₋

BQdx

+

BP dy

)

.

Comojámostramosaimatemosqueaintegraldelinhade

−

BQdx

+

BP dy

sobre qualquer parte da trajetória

L

do sistema

(2

.

4)

é nula, segue que

I

ε

é

igual a soma de integrais sobre os aros de

C

ε

que apareem na fronteira das

regiões

Ω

k

. Denotemosesses aros por

∆

1,

∆

2, . . . ,

∆

k

, daítemos

I

ε

=

n

X

k

=1

Z

∆

k

(

₋

BQdx

+

BP dy

)

.

Expressando os termos da integral de linha om respeito ao omprimento

de aro, temos

I

ε

=

n

X

k

=1

Z

∆

k

onde

θ

é o ânguloentre a tangente aoírulo

C

ε

e o eixo

x

positivo.

Seja

M

o máximo daexpressão

|

BQ

_|

+

_|

BP

_|

em

Ω

.

Estimando a expressãoaima para

I

ε

e observando que asoma do ompri

mento de todos osaros

∆

k

é menorque o omprimento

2

πε

de

C

ε

, temos

|

I

ε

|

<

2

πMε.

Para

ε

suientemente pequeno, esta inequaçãoontradiz

(2

.

7)

. Daí segue

quenão existe loopna região

G

.

A prova de que

G

não pode onter trajetórias fehadas as quais são união

de trajetórias gerais e pontos singulares

O1, O2, . . . , O

m

éanáloga ao feito an

teriormente, exeto que teremos que onsiderar írulos

C1

ε

, C2

ε

, . . . , C

mε

sob

todos os pontos singulares.

Donde onluímos a demonstração.

Fizemosademonstração doTeste de DulaeBendixsonporque trata-sede

umresultadomuitoútilparadeidirmosquandoumsistemapossui trajetórias

fehadas. Este resultado é utilizado na demonstração do próximo teorema, a

qual não faremos aqui pois é muito longa e ténia e daí fugiria do enfoque

prinipaldotrabalho.

Vamosagoraenuniaroresultadodessaseçãoquedesreveaspossibilidades

deestruturatopológiadeumestadodeequilíbrio

(0

,

0)

doampoplanar

(2

.

2)

,

ujademonstração pode ser enontrada em[6℄.

Teorema 2.2.2. Seja

(0

,

0)

umpontosingularesisoladodosistema

(2

.

2)

. Seja

y

=

ϕ

(

x

)

a solução da equação

y

+

Q2

(

x, y

) = 0

na vizinhança da origem e

assumimos que a expansão em série da função

ψ

(

x

) =

P

(

x, ϕ

(

x

)) = ∆

m

x

m

₊

. . .

onde

m

≥

2

,

∆

m

6

= 0

. Temos:

(ii) Se m é ímpar e

∆

m

<

0

temos que

(0

,

0)

é um ponto de sela sendo que

duas de suas separatrizes tendem a

0

na direção

0

e

π

e outras duas na

direção

π

2

e

3

2

π

;

(iii) Semé par temosque

(0

,

0)

é umasela-nó,isto é,umpontosingularuja

vizinhançaé a união de um setor parabólio e doissetores hiperbólios.

Se

∆

m

<

0

ossetoreshiperbóliosontémumsegmentodoeixo

x

positivo

quetêmomofronteiraaorigem(vejagura2.10),ese

∆

m

>

0

ossetores

ontém um segmento do eixox negativo (veja gura 2.11).

Interpretação geométria do teorema 2.2.2.

Figura2.8: Caso onde

∆

m

>

0

e

m

éímpar.

Figura 2.9: Caso onde

∆

m

<

0

e

m

é

Figura2.10: Casoonde

∆

m

<

0

e

m

épar.

Figura2.11: Casoonde

∆

m

>

0

e

m

épar.

2.2.3 Pontos Singulares Nilpotentes

Quando

D

=

T

= 0

mas a matriz Jaobiana em

q

não é nula e

q

é um

pontosingularisoladonoonjuntode todos ospontossingulares,dizemosque

q

énilpotente. Citaremosagoraoresultadode pontossingularesnilpotentes,

oqual faremos uso e,uja demonstração pode ser enontrada em[3℄.

Teorema 2.2.3. Seja

(0

,

0)

um ponto singular isolado do ampo de vetores

(

y

+

F

(

x, y

)

, G

(

x, y

))

,onde

F

e

G

sãofunçõesanalítiasem umavizinhançada

origem omeçandoom termos quadrátios nas variáveis

x

e

y

. Seja

y

=

f

(

x

)

a solução da equação

y

+

F

(

x, y

) = 0

em uma vizinhançada origem.

Suponhamos queo desenvolvimentoda função

G

(

x, f

(

x

))

é da forma

G

(

x, f

(

x

)) =

Kx

r

+

H.O.T.

e

∂F

∂x

+

∂G

∂y

(

x, f

(

x

)) =

Lx

λ

+

H.O.T.

om

K

6

= 0

, r

≥

2

e

λ

≥

1

.

•

(a) Se

r

é par e

r >

2

λ

+ 1

, temos que a origem é umasela-nó;

ponto rítio formado pela união de dois setores hiperbólios. Portanto,

a úspide possui duas separatrizes tangentes ao eixo

x

positivo;

•

()Se

r

éímpar,

K <

0

, r

= 2

λ

+1

, λ

pare

L

2

+4

K

(

λ

+1)

_≥

0

temos que

a origem é um nóestável se

L <

0

, possuindo todas as órbitas tangentes

ao eixo

x

em

(0

,

0)

.

•

(d)Se

r

éímpar,

K <

0

, r

= 2

λ

+ 1

, λ

ímpar e

L

2

_{+ 4}

_K

₍

_λ

_{+ 1)}

≥

0

temos

que a origem é uma sela elíptia.

Finalmente, se a matriz Jaobiana no ponto singular

q

é identiamente

nula, e

q

é um ponto singular isolado dentro do onjunto de todos os pontos

singulares, dizemos que

q

é linearmente nulo. O estudo do retrato de fase

A Esfera de Poinaré e Pontos Singulares

no Innito

3.1 Introdução

Oobjetivodesseapítuloéenontrarferramentasasquaispropiieoestudo

do omportamento de uxos no innito e, não somente em vizinhanças de

pontossingulares.

Para estudarmos o omportamento de trajetórias de sistemas planares no

innitofaremos usodaprojeção estereográaedaprojeção entralas

quais, deniremos aseguir.

O omportamentode trajetórias longe da origem poderá ser entendidoes

tudandooomportamentode trajetóriaspróximasde pontosnoinnito",isto

é, próximas do polonorte da esfera de Bendixson ou noequador da esfera de

Poinaré.

3.2 A esfera de Poinaré

Denição3.2.1. Seja a esfera

S

2

₌

{

(

x, y, z

)

_∈

IR

3

; x

2

_{+ y}

2

_{+ z}

2

_{= 1}

}

em

IR

3

.

Projetamos a esfera

S

2

sobre o plano

xy

omo indiado na gura a seguir.

PSfrag replaements

(

x, y, z

)

(

X, Y

)

x

y

z

Figura 3.1: Projeção estereográa de

S

2

sobre o plano

xy

.

Analisando os triângulos dados na gura

3

.

2

temos que as equações que

denem

(

X, Y

)

em termos de

(

x, y, z

)

são dadas por

X

=

x

1

₋

z

,

Y

=

y

1

₋

z

.

Temos que a projeção denida pelo onjunto dessas equações é hamada

projeção estereográa.

PSfrag replaements

1

₋

z

0

x

X

(

x, y, z

)

(

X, Y

)

Notequeoonjuntodessasequaçõesestabeleeumabijeçãoentreospontos

(

x, y, z

)

dohemisférionortedaesfera unitária

S

2

eospontos

(

X, Y

)

doplano.

Aidéiadeanalisaroomportamentoglobaldesistemasdinâmiosplanares

usandoaprojeçãoestereográa daesfera sobreoplanoédevidaaBendixson.

A esfera, inluindoo pontorítio no innito, é hamada de esfera de Ben

dixson.

Se utilizarmosdaprojeçãoestereográa, opontonoinnitoé usualmente

um ponto singular ompliado do uxo induzido na esfera e, posteriormente

teremos uma diuldade para analisarmos o uxo na vizinhança desse ponto

singular.

Contudo,temosumaoutramaneiradeestudarmosoomportamentodetra

jetóriasno innito,aqualéhamadaesfera de Poinaré,onde projetamos

peloentroda esfera unitária

S

2

=

_{

(

X, Y, Z

)

_∈

IR

3

; X

2

+ Y

2

+ Z

2

= 1

_}

pontos diametralmenteopostos sobre oplano

xy

tangente a

S

2

nopolonorte

ouno polosul, onforme ilustraa gura

3

.

3

.

PSfrag replaements

(

X, Y, Z

)

(

X

′

_{, Y}

′

_{, Z}

′

₎

0

x

y

X

Y

Z

Figura 3.3: Projeção entraldo hemisfériosuperior de

S

2

sobre o plano

xy

.

esferade Poinaréesão portantomaisnaturaisdoqueospontossingulares no

innitodaesfera de Bendixson.

Se projetarmosohemisfériosuperiorde

S

2

sobreoplano

xy

,teremostriân

gulos similaresaos da gura

3

.

4

.

PSfrag replaements

Z

Z

X

X

0

1

x

Figura3.4: Projeçãoentralsobre o plano

xy

.

Observandoessestriângulosobtemosasequaçõesquerelaionamospontos

(

x, y

)

no planoom os pontos

(

X, Y, Z

)

na esfera

x

=

X

Z

e

y

=

Y

Z

.

(3.1)

De uma forma análogapodemos denirequações que expressam

(

X, Y, Z

)

emtermos de

(

x, y

)

quesão dadas por

X

=

p

x

1 +

x

2

₊

_y

2

, Y

=

y

p

1 +

x

2

₊

_y

2

e

Z

=

1

p

1 +

x

2

₊

_y

2

.

Essasequaçõesestabeleemumabijeçãoentreospontos

(

X, Y, Z

)

om

Z >

0

(o hemisférionorte da esfera) e ospontos

(

x, y

)

noplano. A origem

0

∈

IR

3

orresponde ao polo norte

(0

,

0

,

1)

da esfera, pontos no írulo

x

2

₊

_y

2

_{= 1}

orrespondemapontosnoírulo

X

2

+

Y

2

=

1

2

e

Z

=

1

√

2

em

S

2

e,pontosno

equador de

S

2

orresponde a írulos no innito ou pontos no innito de

Observe que pontos diametralmenteopostos que não estão noequador de

S

2

orrespondem ao mesmo ponto

(

x, y

)

∈

IR

2

(veja gura

3

.

3

). Portanto, é

natural esperarmos que pontos diametralmente opostos no equador levem a

pontosiguais no innito.

O hemisfério om os pontos diametralmenteopostos identiados é o

mo-delo para oplano projetivo.

VisualizaremosqueouxonaesferadePoinaréinduzumsistemadinâmio

em

IR

2

ondeo uxo em vizinhançasde pontosdiametralmenteopostosé topo

logiamenteequivalente.

Considere o uxo denido por um sistema dinâmioem

IR

2











˙

x

=

P

(

x, y

)

˙

y

=

Q

(

x, y

)

(3.2)

onde

P

e

Q

são funções polinomiaisde

x

e

y

. Seja

m

o maiorgrau de

P

e

Q

.

Osistema aima pode ser esrito

dy

dx

=

Q

(

x, y

)

P

(

x, y

)

ounaforma diferenialomo

Q

(

x, y

)

dx

₋

P

(

x, y

)

dy

= 0

.

(3.3)

Observequequalquerumadas últimasformas perdemos adireçãodouxo

aolongo daurva soluçãode

(3

.

2)

.

De

(3

.

1)

, temos

dx

=

ZdX

−

XdZ

Z

2

, dy

=

ZdY

₋

Y dZ

Z

2

.

(3.4)

Daí

(3

.

3)

pode ser reesrita omo

onde

P

=

P

(

x, y

) =

P

X

Z

,

Y

Z

e

Q

=

Q

(

x, y

) =

Q

X

Z

,

Y

Z

.

Para eliminarmos

Z

nos denominadores,multipliamosaequação anterior

por

Z

m

eobtemos

ZQ

∗

dX

₋

ZP

∗

dY

+ (

Y P

∗

₋

XQ

∗

)

dZ

= 0

(3.5)

onde

P

∗

₍

_{X, Y, Z}

_{) =}

_Z

m

_P

X

Z

,

Y

Z

e

Q

∗

₍

_{X, Y, Z}

_{) =}

_Z

m

_Q

X

Z

,

Y

Z

sãopolinmios

em

(

X, Y, Z

)

.

Poroutro lado essa equação pode ser reesrita aindana formade determi

nante

dX dY

dZ

X

Y

Z

P

∗

_Q

∗

₀

= 0

.

(3.6)

A equaçãodiferenial

(3

.

5)

deneuma famíliadeurvassoluçõesouuxos

em

S

2

. Cadaurvasoluçãoorresponde aexatamenteauma urva soluçãodo

sistema

(3

.

2)

em

IR

2

.

Além disso, o uxo na esfera de Poinaré denido por

(3

.

5)

nos permite

estudaroomportamentodo uxo denido por

(3

.

2)

noinnito,istoé, vamos

estudar o uxo denido por

(3

.

5)

nas vizinhanças do equador de

S

2

. Temos

queo equador de

S

2

é onstituídode pontossingulares e trajetórias de

(3

.

5)

.

Se tomarmos

Z

= 0

em

(3

.

5)

,temos que

(

Y P

∗

₋

_XQ

∗

₎

_dZ

_{= 0}

. Se

Y P

∗

₋

XQ

∗

₆

_{= 0}

temos que

dZ

= 0

, isto é, temos uma trajetória passando por um

ponto regular no equador de

S

2

. Daí onluímos que os pontos singulares de

(3

.

5)

, queestão noequador de

S

2

são dados pelaequação

Y P

∗

₋

XQ

∗

= 0

.

(3.7)

Se