Controle robusto de sistemas não lineares e chaveado de sistemas lineares usando realimentação derivativa

Ilha Solteira

Ilha Solteira

MANOEL RODRIGO MOREIRA

CONTROLE ROBUSTO DE SISTEMAS NÃO LINEARES E

CHAVEADO DE SISTEMAS LINEARES USANDO

REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA

MANOEL RODRIGO MOREIRA

CONTROLE ROBUSTO DE SISTEMAS NÃO LINEARES E

CHAVEADO DE SISTEMAS LINEARES USANDO

REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA

Tese apresentada à Faculdade de Engenharia do Campus de Ilha Solteira - UNESP como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Engenharia Elétrica.

Especialidade: Automação.

Prof. Dr. Marcelo Carvalho Minhoto Teixeira Orientador

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À toda minha família, em especial aos meu pais Messias e Jocerlinda; à minha irmã Florizete, à minha esposa Talita, por todo amor, apoio, confiança e incentivo em todos os momentos.

AGRADECIMENTOS

Agradeço a Deus, que me deu força, saúde e perseverança para superar todos os obstáculos encontrados no caminho até chegar a este momento. A todos os familiares, amigos, professores e funcionários da FEIS-UNESP, que direta ou indiretamente contribuíram para a realização deste trabalho. Em especial, dedico meus agradecimentos:

• À minha esposa Talita pelo amor, apoio, confiança e incentivo em todos os momentos. Com ela tenho compartilhado os momentos difíceis e multiplicado minha força e fé nos momentos de felicidade;

• Aos meus pais Messias e Jocerlinda e a minha irmã Florizete pelo carinho, apoio e incen-tivo. Sou o que sou, graças a vocês;

• Ao meu orientador, Prof. Dr. Marcelo C. M. Teixeira, por todo ensinamento, incentivo, confiança e orientação. Com certeza, um exemplo em todas as áreas;

• Aos professores Edvaldo Assunção, Rodrigo Cardim e Jean M. de S. Ribeiro, do Depar-tamento de Engenharia Elétrica (DEE/FEIS/UNESP), pelo acompanhamento nas bancas examinadoras, sugestões, incentivo e palavras de paz sempre presentes na minha cami-nhada que perdurarão por toda minha vida;

• Aos professores Célia A. dos Reis, Neusa A. P. da Silva e Paulo I. Hiratsuka, do Departa-mento de Matemática (DMAT/FEIS/UNESP), por todo apoio, incentivo e ensinaDeparta-mentos valiosos desde a graduação que levarei por toda minha vida;

• Aos meus amigos e colegas do laboratório que de forma direta ou indiretamente me aju-daram, em especial Edson I. M. Júnior, Luciano de S. da C. Silva, Talita T. Esteves, Diogo R. de Oliveira, Luiz F. S. Buzachero, Fernando B. Rodrigues, Luiz A. Jacyntho, Herbert E. S. Pereira, Uiliam N. L. T. Alves, Lázaro Ismael Hardy Llins, pela amizade e contribuições;

• Aos meus grandes amigos de Santa Fé do Sul/SP, Rafael, Maicon, Renan, Démerson, Marcelo, Fabiano e Alex, pelo companheirismo e força em todas as horas;

• À Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira (FEIS-UNESP), local onde estudei durante graduação, mestrado e o doutorado;

• À FAPESP (Processo 2012/1212945-7 vinculado ao Projeto Temático processo: 2011/17610₋0) e à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior

de São Paulo (Capes) pela oportunidade e apoio financeiro.

EPÍGRAFE

“Talvez não tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. Não sou o que deveria ser,

mas graças a Deus, não sou o que era antes.”

Marthin Luther King Jr.

“Se vi o longe é porque estava nos ombros dos gigantes”

Aristóteles

“Sigo firmado na rocha que é Cristo, em que estão escondidos todos os tesouros da sabedoria e da ciência.”

Este trabalho apresenta estudos teóricos que investigam os seguintes problemas: estabilidade e controle de sistemas (descritores) não lineares com incertezas variantes no tempo limitadas em norma, incertezas do tipo politópicas e sujeitos a distúrbios exógenos; estabilidade e con-trole de sistemas chaveados lineares e contínuos no tempo. Inicialmente, um estudo sobre o projeto de controladores estáticos robustos para sistemas não lineares, usando a realimenta-ção da derivada do vetor de estado é apresentado. Em decorrência desse estudo, propõe-se métodos de projetos de controle para sistemas (descritores) não lineares que apresentam per-turbações exógenas. Por fim, é apresentado um estudo sobre controle chaveado de sistemas lineares usando a realimentação derivativa. Todo o trabalho é fundamentado em leis de controle por realimentação da derivada temporal do vetor de estado (realimentação derivativa) e na fun-ção quadrática de Lyapunov (comum ou por partes do tipo mínimo). A motivafun-ção em utilizar a realimentação derivativa, ou sejau(t) =₋Kx˙(t), em vez da realimentação do vetor de estado

x(t)convencional, está na facilidade de implementação em algumas aplicações mecânicas, por exemplo, no controle de vibrações de sistemas mecânicos, nos quais sensores como acelerôme-tros têm sido utilizados para medir a derivada de segunda ordem (aceleração) de uma variável de estado (posição) desse sistema. A metodologia apresenta condições suficientes na forma de desigualdades matriciais lineares (LMIs, acrônimo inglês paraLinear Matrix Inequalities) para a síntese dos seguintes controladores: controladores chaveadosK_σ, visando a estabilização de sistemas lineares utilizando a realimentação derivativa; e controladores robustos estáticos K, visando, inicialmente, a estabilização de sistemas não lineares, e em seguida, adicionam-se ao projeto índices de desempenho, tais como, restrição da taxa de decaimento, restrição na saída e na norma da matriz de ganho e a redução da influência de distúrbios. A inserção dos índices de desempenho no projeto é muito importante, visto que usualmente, somente a estabilidade não é suficiente para o desempenho adequado do sistema controlado. A metodologia apresenta também condições suficientes, representadas por uma classe de desigualdades matriciais biline-ares (BMIs, acrônimo inglês paraBilinear Matrix Inequalities), para a síntese de controladores chaveados(K_vσ), baseado na função de Lyapunov quadrática por partes do tipo mínimo e na minimização da derivada temporal desta função de Lyapunov. Hoje em dia, pelo conhecimento do autor, não há método disponível que assegure a determinação de soluções para todos os tipos de BMIs. No entanto, para a classe de BMIs obtida nesta tese, o método path-followingtem fornecido soluções factíveis.

ABSTRACT

This work presents theoretical studies that investigate the following problems: stability and control of nonlinear systems (descriptors) with time-varying and norm bounded uncertainties, polytopic uncertainties and exogenous disturbances; stability and control of continuous-time switched systems. Initially, a study on the design of static robust controllers for nonlinear sys-tems using state-derivative feedback is presented. Based on this study a control design method for nonlinear systems (descriptors) with exogenous disturbances is proposed. Finally, we pre-sent a study about switched linear control systems using state-derivative feedback. The work is based on feedback control laws of the time derivative of the state vector (derivative feedback) and a quadratic Lyapunov function (common or minimum-type piecewise). The motivation to use the state-derivative feedback(u(t) =₋Kx˙(t))instead of the conventional feedback of the state vectorx(t), is its easier implementation in some mechanical applications, for instance, in control of vibrations of mechanical systems, where sensors such as accelerometers have been used to measure the second-order derivative (acceleration) of a state variable (position) of these systems. The methodology presents sufficient conditions described by linear matrix inequa-lities (LMIs) for the synthesis of the following controllers: switched controllers K_σ, for the stabilization of linear system using state-derivative feedback; and static robust controllers K, for, initially, the stabilization of nonlinear system, and then, are added to the design perfor-mance indices, such as the specification of the decay rate, constraint on output peak and on norm of the gain matrix and finally the constraint of the influence of exogenous disturbances. The inclusion of performance indices in the designs is very important, since usually only the stability is not sufficient for a suitable performance of the controlled system. The methodology also presents sufficient conditions represented by a class of bilinear matrix inequalities (BMIs) for the synthesis of the switched controllers (K_vσ), based on a minimum-type piecewise quadra-tic Lyapunov function and the minimization of the time derivative of this Lyapunov function. Nowadays, to the best knowledge of the authors, there are no solvers that can find solutions for all kinds of BMIs. However, for the class of BMIs obtained in this thesis, thepath-following

method provided feasible solutions.

Figura 1 Sistema de suspensão ativa de um veículo. 44 Figura 2 Respostas do sistema controlado (29) com lei de controle (32), sendo:

(_×) u(t) =0 (ganho nulo), (₋) ganho (88) do Teorema 2 (ASSUN-ÇÃO et al., 2007);(.)ganho (87) deste capítulo. 48 Figura 3 Entrada de controle do sistema controlado (29) com lei de controle (32)

e ganho (88) de (ASSUNÇÃO et al., 2007). 48 Figura 4 Entrada de controle do sistema controlado (29) com lei de controle (32)

e ganho (87) deste capítulo. 49

Figura 5 Resposta do sistema controlado (59) com lei de controle (32), com

m_s=120kg,b₁=103Ns/meb₂=0 (b₂ está quebrado), sendo:(_×)

u(t) =0 (ganho nulo), (₋)ganho (112) do Teorema 4 (ASSUNÇÃO et al., 2007);(.)ganho (111) deste capítulo. 56 Figura 6 Entrada de controle do sistema controlado (59) e lei de controle (32)

ms=120kg,b1=103Ns/meb2=0 (b2 está quebrado), sendo:(−) ganho (112) do Teorema 4 (ASSUNÇÃO et al., 2007);(.)ganho (111)

deste capítulo. 57

Figura 7 Velocidades do sistema controlado (59) e (32) com lei de controle (32), sendo: (₋)ganho (112) do Teorema 4 (ASSUNÇÃO et al., 2007);(.)

ganho (111) deste capítulo. 57

Figura 8 Região de factibilidade dos valores de (α1 x α2 x H∞), a partir do

Teorema 10. 70

Figura 9 Região de factibilidade dos valores de(α1xα2), a partir do Teorema

10. 71

Figura 11 Região de factibilidade dos valores de(α1xα2), a partir do Teorema 11. 72 Figura 10 Região de factibilidade dos valores de (α1 x α2 x H∞), a partir do

Figura 12 Resposta do sistema (195) com lei de controle (165) e ganho (221), sendo:(₋)(b=1 funcionando);(_{− −})(b=0 falhando). 87 Figura 13 Entrada de controle do sistema (195) com lei de controle controle (165)

e ganho (221), sendo: (₋)b=1 funcionando;(_{− −})b=0 falhando. 87 Figura 14 Resposta do sistema (195) com lei de controle (165), ganho (222),

sendo:(₋)b=1 sem falha;(_{− −})b=0 com falha. 89 Figura 15 Entrada de controle do sistema (195) com lei de controle (165), ganho

(222), sendo:(₋)b=1 sem falha;(_{− −})b=0 com falha. 89 Figura 17 Região de factibilidade dos valores de (α1 x α2 x H∞), a partir do

Teorema 18. 99

Figura 16 Região de factibilidade dos valores de(α1xα2), a partir do Teorema 18. 99 Figura 18 Região de factibilidade dos valores de(α1xα2), a partir do Teorema 19.100 Figura 19 Região de factibilidade dos valores de (α1 x α2 x H∞), a partir do

Teorema 19. 101

Figura 20 Esquemático do controle chaveado para uma planta incerta descrita em

(256)-(262). 105

Figura 21 Região de factibilidade, sendo:(µ2=1,4×103,)Teorema 5 (SILVA et al., 2011);(µ1=0,01,,◦)Teorema 4 (SILVA et al., 2012a) e (, .)

Teorema 20. 112

Figura 22 Região de factibilidade, sendo:(µ2=1,4×103,)Teorema 5 (SILVA et al., 2011);(µ1=0,01,,◦)Teorema 4 (SILVA et al., 2012a); (, .) Teorema 20 e (,_◦, .,_⋄) Teorema 24 . 120 Figura 23 Região de factibilidade, sendo: (µ2=0,01,) Teorema 5 (SILVA et

al., 2011); (µ1=0,01,,◦) Teorema 4 (SILVA et al., 2012a); (, .) Teorema 20 e (,_◦, .,_⋄) Teorema 24. 122

Figura 24 Região de factibilidade, sendo:(µ2=8×103,)Teorema 5 (SILVA et al., 2011);(µ1=0,001,,◦)Teorema 4 (SILVA et al., 2012a); (, .) Teorema 20 e (,_◦, .,_⋄) Teorema 24. 124

Figura 25 Resposta do sistema controlado (262) com regra de chaveamento (286),

Figura 27 Entrada de controle u(t) do sistema controlado (262) com regra de chaveamento (286), a partir do Teorema 24. 128 Figura 28 Chaveamento do ganho do controlador chaveadoK_vσ,v_∈K₄e_σ∈K₂,

a partir do Teorema 24. 128

Figura 29 Função de Lyapunov quadrática por partesV(xN) =min k∈K_N

xN(t)TPkxN(t), k_∈K2, a partir do Teorema 24. 129

Figura 30 Regiões de factibilidade utilizandoKX =10 com: Teorema 23 e Lema

6 (.); Teoremas 27 e 22 (.,_×); Teoremas 21 e 22 (.,_×,o); e Teoremas 25

e 26 (.,_×,o,+). 130

Figura 31 Detalhe da Figura 30, isto é, regiões de factibilidade utilizandoK_X = 10 com: Teorema 23 e Lema 6 (.); Teoremas 27 e 22 (.,_×); Teoremas 21 e 22 (.,_×,o); e Teoremas 25 e 26 (.,_×,o,+). 131 Figura 32 Resposta do sistema controlado (256), com vértices (309) e regra de

chaveamento (286), a partir dos Teoremas 25 e 26. 135 Figura 33 Entrada de controle uN(t) do sistema controlado (256), com vértices

(309) e regra de chaveamento (286), a partir dos Teoremas 25 e 26. 135 Figura 34 Entrada de controle u(t) do sistema controlado (256), com vértices

(309) e regra de chaveamento (286), a partir dos Teoremas 25 e 26. 136 Figura 35 Chaveamento do ganho do controlador chaveado K_νσ, ν _∈K₄ e _{σ ∈}

K₄, a partir dos Teoremas 25 e 26. 136

Figura 36 Chaveamento do ganho do controlador chaveado K_νσ, ν _∈K₄ e _{σ ∈}

K₄, a partir dos Teoremas 25 e 26. 137

Figura 37 Função de Lyapunov quadrática por partesV(xN) =mink∈K_{N x}

N(t)TPkxN(t) k_∈ K₄, dada em (285), com matrizes simétricas definidas positivas

LISTA DE TABELAS

Tabela 1 Valores deγ1,γ2,α1eα2, obtidos a partir do Teorema 6. 46 Tabela 2 Valores deΓ11,Γ21,Γ22,α11,α21 eα22 a partir do Teorema 7. 55 Tabela 3 Valores deµ,H_∞, K_M, K_X e_||K_||a partir dos Teoremas 10 e 11, para

αi=1,5, i∈K2. 73

Tabela 4 Valores dos parâmetros e₁₁, a21, h221, b do sistema(195). 83

Tabela 5 Valores deΓ11, Γ21, Γ22, α11, α21, α22, KM, KX e ||K||dos Teoremas

14 e 15. 88

Tabela 6 Valores dos parâmetros e₁₁, a₁₁, a₂₂ e b₁₁ do sistema(247). 97 Tabela 7 Valores deµ, H_∞, K_M, K_X, e _||K_||dos Teoremas 18 e 19, para _αi=

R denota o conjunto dos números reais N denota o conjunto dos números naturais

Rn×n é o espaço real das matrizes reais de dimensãon_×n M>(_≥)0 M é uma matriz (semi-definida) positiva

M<(_≤)0 M é uma matriz (semi-definida) negativa

K_N Conjunto_{1_,2_{, . . . ,}N_}

x(0) condições iniciais do vetor de estado

I_n matriz identidade de ordemn_×n

0m×n matriz nula de dimensãom×n

∗ indica termos transpostos em uma matriz simétrica ()T indica transposição de uma matriz

()−T indica a inversa de uma matriz transposta

diag(_∗,_∗, . . . ,_∗) indica uma matriz diagonal de dimensões adequadas

diag_{U,V_} matriz bloco diagonal formada pelas matrizesU eV. ||._||2 representa a norma Euclidiana

L₂ Conjunto de todas as trajetórias_ξ(t₎tais que_||ξ||2_2<∞

LMIs Desigualdade matriciais lineares (do inglês: Linear Matrix Inequalities)

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO 16

2 CONCEITOS INICIAIS E RESULTADOS PRELIMINARES 22

2.1 Sistemas Lineares com Realimentação Derivativa 23 2.2 Caracterização da NormaH_∞e Controle ÓtimoH_∞de Sistemas Não Lineares 24

2.3 Sistemas Descritores Lineares com Realimentação Derivativa 26 2.4 Lema de Finsler e Lema da Projeção Recíproca com Realimentação Derivativa 27

3 CONTROLE ROBUSTO DE SISTEMAS NÃO LINEARES INCERTOS USANDO

REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA 30

3.1 Sistemas Não Lineares 30

3.2 Lemas e Definições 31

3.3 Índices de Desempenho para Realimentação Derivativa 33

3.3.1 Taxa de decaimento 33

3.3.2 Restrição na saída 33

3.3.3 Norma da matriz de ganho 35

3.4 Condições de Estabilidade Baseadas em LMIs para Realimentação Derivativa 36 3.5 Estabilização Robusta de Sistemas Não Lineares Incertos 38

3.6 Exemplos 43

3.6.1 Exemplo 1 43

3.6.2 Exemplo 2 49

4.1 Caracterização da NormaH_∞para Sistemas Não Lineares 59

4.2 Projeto de Controle ÓtimoH_∞ 61

4.2.1 Projeto do controlador 64

4.3 ControleH_∞de Sistemas Não Lineares Incertos 65

4.3.1 Projeto do controlador 66

4.4 Exemplo 68

4.5 Conclusões Parciais 73

5 CONTROLE ROBUSTO DE SISTEMAS DESCRITORES NÃO

LINEA-RES INCERTOS USANDO REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA 74

5.1 Sistemas Descritores Não Lineares 74

5.1.1 Projeto do controlador 76

5.2 Sistemas Descritores Não Lineares Incertos 79

5.2.1 Projeto do controlador 80

5.3 Exemplo 83

5.4 Conclusões Parciais 90

6 CONTROLE H_∞ DE SISTEMAS DESCRITORES NÃO LINEARES

IN-CERTOS USANDO REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA 91

6.1 Projeto de Controle ÓtimoH_∞ 91

6.1.1 Projeto do controlador 92

6.2 ControleH_∞de Sistemas Descritores Não Lineares Incertos 94

6.3 Exemplo 97

6.4 Conclusões Parciais 102

7 CONTROLE CHAVEADO DE SISTEMAS LINEARES USANDO

REALI-MENTAÇÃO DERIVATIVA 103

7.1 Sistema Linear Incerto 103

7.2 Projeto de Controle Chaveado I 106

7.2.1 Exemplo 1 109

7.3 Projeto de Controle Chaveado II 113

7.3.1 Exemplo 2 118

7.3.2 Exemplo 3 120

7.3.3 Exemplo 4 123

7.3.4 Exemplo 5 125

7.3.5 Exemplo 6 129

7.4 Conclusões Parciais 138

8 CONCLUSÕES 140

8.1 Sugestões de Pesquisas Futuras 142

8.2 Publicações diretamente relacionadas com o conteúdo da tese 142 8.3 Publicações indiretamente relacionadas com o conteúdo da tese 143

REFERÊNCIAS 145

APÊNDICE A - Restrição da Norma do Ganho 152

APÊNDICE B - Restrições na Entrada e na Saída 157

1

INTRODUÇÃO

Na teoria de controle clássico é bem conhecido que a utilização da realimentação da deri-vada do vetor de estado, chamada de realimentação derivativa(u(t) =₋Kx˙(t))pode ser muito útil e, em alguns casos, essencial e vantajosa para alcançar os índices de desempenho desejados em sistemas dinâmicos (LEWIS; SYRMOS, 1991). O interesse para o estudo da realimenta-ção derivativa vem do fato que em sistemas que utilizam acelerômetros como sensores para medir sinais desses sistemas, é mais fácil obter os sinais da derivada do vetor de estado do que os sinais do vetor de estado. A partir da aceleração é possível obter a velocidade com boa precisão, porém para a estimação da posição o resultado poderá ter um acúmulo de er-ros e não representará adequadamente o deslocamento do sistema (ABDELAZIZ; VALÁŠEK, 2004). Logo, os sinais usados na realimentação são: as velocidades e as acelerações. Res-pectivamente, estes são as derivadas das posições e das velocidades que, na maioria dos casos, representam as variáveis de estado do sistema. Devido à sua estrutura simples e ao baixo custo operacional, os acelerômetros têm sido aplicados nas indústrias para a solução de vários tipos de problemas de engenharia. Por exemplo, na controle de vibrações dos cabos de pontes sus-pensas (DUAN; NI; KO, 2005), no controle de vibrações dos componentes de aterrissagem de aviões (KWAK; WASHINGTON; YEDAVALLI, 2002), em sistemas de suspensão ativa de veí-culos (REITHMEIER; LEITMANN, 2003) e em controle de oscilações de sistemas mecânicos (ABDELAZIZ; VALÁŠEK, 2004, 2005a).

1 INTRODUÇÃO 17

ainda, um estudo sobre a rejeição de distúrbios com realimentação derivativa foi apresentado. (MOREIRA et al., 2012) abordaram sistemas descritores não lineares sujeitos a incertezas va-riantes no tempo, e propuseram condições suficientes para o projeto de controladores robustos. (MOREIRA et al., 2011, 2014) fizeram uma análise de estabilidade, considerando índices de desempenho para sistemas não lineares incertos com incertezas variantes no tempo limitadas em norma, sendo que estes resultados são apresentados no Capítulo 3 deste trabalho. (CAR-DIM et al., 2007) apresentam uma forma de se obter o controlador da realimentação da derivada do vetor de estado a partir da realimentação do vetor de estado usual(u(t) =₋K_ox(t)). Um es-tudo comparativo envolvendo a realimentação do vetor de estado e a realimentação derivativa em sistemas lineares invariantes no tempo é apresentado por (ARAÚJO et al., 2007). Uma abordagem sobre a estabilizabilidade e robustez da estabilidade com realimentação derivativa, incluindo a fragilidade, pode ser vista no trabalho de (MICHIELS et al., 2008). Projetos de controle menos conservadores e utilizando função de Lyapunov dependente de parâmetros em sistemas lineares incertos usando realimentação derivativa foram estudados em (SILVA et al., 2012a, 2011). Outros trabalhos que relatam o projeto de controladores para sistemas mecânicos e sistemas amortecedores de vibrações utilizando realimentação derivativa podem ser encontra-dos nas obras de (ABDELAZIZ; VALÁŠEK, 2005b, 2005c; ABDELAZIZ, 2007, 2009, 2010). Ainda, na literatura especializada, existem trabalhos que relatam o uso da realimentação derivativa em sistemas lineares, sistemas não lineares, sistemas descritores, sujeitos a incerte-zas na planta, entre outros, utilizando técnicas baseadas em desigualdades matriciais lineares (LMIs, acrônimo inglês para Linear Matrix Inequalities) (COVACIC, 2006; CARDIM et al., 2008, 2009; FARIA et al., 2009; MOREIRA et al., 2012, 2014). Projetos empregando LMIs têm a vantagem de permitir facilmente a inclusão de incertezas no modelo, por exemplo, do tipo politópicas, e índices de desempenho na abordagem do problema. Além disso, LMIs podem ser resolvidas eficientemente em microcomputadores utilizando procedimentos de otimização con-vexa através de algoritmos de tempo polinomial com o uso, por exemplo, dosoftware MATrix LABoratoty(MatLab) (GAHINET et al., 1995).

utilizando a realimentação da derivada do vetor de estado, sendo esta expandida no Capítulo 6, onde serão considerados sistemas descritores no estudo. O objetivo é propor uma extensão dos resultados descritos em (SILVA; BOTTURA, 2010a; ŠILJAK; STIPANOVI ´C, 2000) com base na metodologia desenvolvida no Capítulo 3, para uma classe de sistemas não lineares incertos utilizando realimentação derivativa.

Os sistemas descritores podem ser encontrados na modelagem de vários problemas de enge-nharia, por exemplo, em circuitos elétricos e robótica (BUNSE-G; MEHRMANN; NICHOLS, 1999). A utilização de acelerômetros como sensores para medir o estado desses sistemas, tor-nando mais fácil a obtenção dos sinais da derivada do vetor de estado do que os sinais do vetor de estado, neste tipo de equipamento torna interessante a utilização da realimentação derivativa, que vem sendo bastante utilizada por pesquisadores para o projeto de controladores de sistemas descritores (DUAN; NI; KO, 2005; CARDIM et al., 2008; LEWIS; SYRMOS, 1991; BUNSE-G; MEHRMANN; NICHOLS, 1999; BUNSE-GERSTNER; MEHRMANN; NICHOLS, 1992; DUAN; IRWIN; LIU, 1999). Porém na maior parte dos trabalhos, os autores consideram a realimentação derivativa e proporcional (u(t) =Lx(t)₋Kx˙(t)), enquanto que neste trabalho consideramos apenas a realimentação derivativa, o que diminui a complexidade do controla-dor quanto à sua implementação. (FARIA, 2009; FARIA; ASSUNÇÃO; TEIXEIRA, 2007) apresentaram resultados sobre sistemas descritores lineares. Buscando estender estes resulta-dos, com base na metodologia desenvolvida no Capítulo 3, é proposto, no Capítulo 5, um novo método de projeto de controle para sistemas descritores não lineares, levando em consideração índices de desempenho, tais como taxa de decaimento, restrição na saída e na norma da matriz de ganho. Parte dos resultados obtidos neste capítulo, foram apresentados no XIX Congresso Brasileiro de Automática em 2012 (MOREIRA et al., 2012).

1 INTRODUÇÃO 19

2000).

Em (MAINARDI JÚNIOR, 2013; MAINARDI JÚNIOR et al., 2014) pode-se encontrar resultados importantes sobre estabilidade e controle de sistemas lineares chaveados contínuos no tempo, com acesso somente à saída da planta. Os autores também propuseram: uma nova es-tratégia de controle para sistemas chaveados afins, considerando somente acesso à informações da saída estática da planta; novas condições suficientes, baseadas em LMIs, e projeto de estra-tégias a tempo fixo de chaveamento, que asseguram a estabilidade uniformeultimate bounded

(CORLESS; LEITMANN, 1981) do sistema chaveado afim. Em (BUZACHERO, 2014; BU-ZACHERO; ASSUNÇÃO; TEIXEIRA, 2014), o problema de estabilidade robusta de sistemas lineares sujeitos a incertezas paramétricas do tipo politópicas, variantes no tempo (LPV, acrô-nimo inglês para Linear Parameter Varying) foi estudado. Os autores propuseram critérios menos conservadores para a análise de estabilidade e projeto de controladores chaveados, utili-zando a realimentação do vetor de estado e funções de Lyapunov quadráticas por partes do tipo mínimo.

Recentemente, foram concebidas condições baseadas em uma classe particular de (BMIs, acrônimo inglês paraBilinear Matrix Inequalities), utilizando funções de Lyapunov quadrática por partes (CHEN et al., 2012), resolvidas eficientemente pelo métodopath-following (HAS-SIBI; HOW; BOYD, 1999). Essa solução alcançou resultados novos, possibilitando uma flexi-bilização ainda maior, porquanto os escalares de relaxação que aparecem na multiplicação de matrizes variáveis podem se adaptar convenientemente durante o método, na busca por facti-bilidade. De posse destes resultados, propuseram-se métodos mais gerais para sistemas fuzzy chaveados (SOUZA, 2013; SOUZA et al., 2014), em que os ganhos de otimização são esco-lhidos em dois estágios. O primeiro estágio segue a mesma regra de (CHEN et al., 2012), em-pregando uma função de Lyapunov do tipo mínimo e quadrática por partes. O segundo estágio ocorre através da escolha de uma função auxiliar que minimiza a derivada temporal da função de Lyapunov, escolhendo, assim, o ganho adequado a cada instante de tempo (BUZACHERO, 2014).

Na literatura de controle chaveado, não foram encontrados resultados sobre o controle cha-veado de sistemas lineares utilizando a realimentação da derivada do vetor de estado. Visando preencher esta lacuna, novos resultados são propostos no Capítulo 7 (Seções 7.2 e 7.3), cujo

objetivo é propor uma estratégia de chaveamento adequada que seleciona a cada instante de tempo, um controladorK_σ, σ_∈K_f, dentre um determinado número de controladores

serão realizadas para ilustrar a eficácia da metodologia. Entretanto, o grau de conservadorismo presente nas condições de estabilidade quadrática, uma vez que uma única matriz de Lyapunov é utilizada, aponta para uma continuação imediata dos estudos apresentados nas seções anteri-ormente mencionadas. Assim, as Seções 7.4 e 7.5 propõem-se condições baseadas em BMIs, utilizando agora uma função de Lyapunov quadrática por partes do tipo mínimo e um contro-lador chaveado. Segundo (CHEN et al., 2012) esse tipo de BMI pode ser resolvida de forma eficiente pelo métodopath-following(HASSIBI; HOW; BOYD, 1999), cujos passos, que foram inspirados nos apêndices de (CHEN et al., 2012) e (SOUZA et al., 2014), são apresentados com detalhes na Apêndice C. Entretanto, é conhecido que a solução de BMIs não é um assunto resol-vido e que não existem métodos disponíveis que asseguram a determinação de soluções. O que se pode afirmar é que o métodopath-following tem sido usado e fornecido soluções factíveis para este tipo de problema, como pode ser visto em (CHEN et al., 2012; SOUZA et al., 2014). Novamente, estudos comparativos de regiões de factibilidade entre resultados conhecidos na literatura, ilustrarão um menor conservadorismo dos resultados e a eficácia da metodologia pro-posta nestas seções.

Notações: M >0 (M _≥0) é usada para representar matrizes definidas (semi-definidas) positivas e de modo equivalenteM<0 (M_≤0) representa matrizes definidas (semi-definidas) negativas; (T_{) indica transposição de um vetor ou matriz; (}−T_{) indica a inversa de uma matriz}

transposta;Ie 0 representam a matriz identidade e matriz nula com dimensões apropriadas;(_∗) indica termos transpostos em uma matriz simétrica;diag(_∗,_∗, . . . ,_∗)indica uma matriz diagonal de dimensões adequadas. A estrutura do texto é organizada da seguinte forma:

•Capítulo 2: Conceitos necessários ao desenvolvimento teórico no decorrer deste trabalho e resultados preliminares que foram utilizados como pontos a serem expandidos;

•Capítulo 3: Resultados de projeto de controladores robustos para sistemas não lineares incertos, com realimentação derivativa via LMI;

•Capítulo 4: Resultados de projeto de controladores robustosH_∞para sistemas não

linea-res incertos sujeitos a perturbações exógenas, com realimentação derivativa via LMI;

•Capítulo 5: Resultados de projeto de controladores robustos para sistemas descritores não lineares incertos, com realimentação derivativa via LMI;

•Capítulo 6: Resultados de projeto de controladores robustosH_∞para sistemas descritores

1 INTRODUÇÃO 21

utilizando uma função de Lyapunov quadrática por partes do tipo mínimo (via BMI).

• Capítulo 8: Apresentam-se as conclusões, estabelecem-se as perspectivas futuras para a continuidade deste trabalho, listam-se as publicações realizadas.

2

CONCEITOS INICIAIS E RESULTADOS

PRELIMINARES

Neste capítulo são apresentados conceitos iniciais e alguns resultados preliminares sobre sistemas lineares, sistemas não lineares e sistemas descritores, utilizando a realimentação do vetor de estado e a realimentação da derivada do vetor de estado.

Por conveniência, serão estabelecidas notações que serão utilizadas em todo o trabalho:

K_r={1_,2_{, . . . ,}r_}, r_∈N_, V₍x₍t_{)) =}V₍x_),

(A,B,E,h,H₁,H₂)(β) =

f

∑

e=1

βe(Ae,Be,Ee,he,H1e,H2e), f

∑

e=1

βe=1, β = [β1, β2, . . . , βf], βe≥0.

(1)

Propriedade 1. (Complemento de Schur) O complemento do Schur garante que a LMI

Q(x) S(x)

S(x)T R(x)

>0, (2)

sendo que Q(x) =Q(x)T, R(x) =R(x)T e S(x)têm uma dependência afim de x, é equivalente a:

R(x)>0 e Q(x)₋S(x)R(x)−1S(x)T >0. (3)

Em outras palavras, o conjunto de inequações não lineares(3)pode ser representado pela LMI

(2).

Demonstração. Maiores detalhes podem ser encontrados em (BOYD et al., 1994).

Propriedade 2. Para toda matriz M não simétrica (M =MT), se M+MT <0, então M é invertível.

2.1 Sistemas Lineares com Realimentação Derivativa 23

2.1 Sistemas Lineares com Realimentação Derivativa

Nesta seção é apresentado um resultado obtido no projeto de controle para sistemas lineares com realimentação derivativa (ASSUNÇÃO et al., 2007).

Considere o sistema linear definido da seguinte forma: ˙

x(t) =A(β)x(t) +B(β)u(t), (4) sendox(t)_∈Rn, as matrizes A_(β)∈Rn×n eB_(β)∈Rn×mdefinidas em (1), eu₍t_)∈Rmdado

por:

u(t) =₋Kx˙(t). (5)

Considerando que o posto de (I+B(β)K)é completo para todoβ descrito em (1), isto é igual an, então substituindo (5) em (4), tem-se a equação do sistema em malha fechada:

˙

x(t) = (I+B(β)K)−1A(β)x(t). (6)

Problema 1. O problema proposto é encontrar uma matriz constante K _∈Rm×n, tal que as seguintes condições sejam válidas:

1. O posto de(I+B(β)K)é completo;

2. O ponto de equilíbrio x=0do sistema em malha fechada(4)-(6), que consiste da planta

(4)com a lei de controle utilizando uma realimentação derivativa dada em(5), é global-mente assintoticaglobal-mente estável.

Teorema 1. (ASSUNÇÃO et al., 2007) Uma condição suficiente para a solução do Problema 1 para o sistema incerto(4), é a existência de matrizes Q=QT _{e Y , sendo Q∈R}n×n_{e Y ∈R}m×n_, tais que

AeQ+QATe +AeYTBTj +BjYATe <0, Q>0, e,j∈Kf. (7) Além disso, quando as LMIs (7) são factíveis, então uma matriz de ganho da realimentação derivativa que resolve o Problema 1, é dada por:

2.2 Caracterização da Norma

H

e Controle Ótimo

H

de

Sistemas Não Lineares

Nesta seção são apresentados alguns resultados obtidos na caracterização da norma H_∞

e controle ótimo H_∞ de sistemas não lineares utilizando a realimentação do vetor de estado

(ZHOU; DOYLE; GLOVER, 1995; SILVA; BOTTURA, 2010a).

Considere o sistema não linear com incertezas variantes no tempo limitadas em norma e dis-túrbios exógenos, dado pela seguinte representação em espaço de estados (SILVA; BOTTURA, 2010a):

˙

x(t) = Ax(t) +Bww(t) +h(t,x)

y(t) = Cx(t) +Dw(t), (9)

sendo A_∈Rn×n, B_{w ∈}Rn×m¯, C_∈Rq×n, x₍t_)∈Rn é o vetor de estado, y₍t_)∈Rq é o vetor

de saída, w(t)_∈Rm¯ é um distúrbio exógeno e h₍t_,x₎ é o termo não linear variante no tempo

limitado em norma (ŠILJAK; STIPANOVI ´C, 2000), dado por:

h(t,x)Th(t,x)_≤α2x(t)THTHx(t), (10)

sendo que o limite de incerteza do sistemaα >0 e a matrizH, são conhecidos.

Dado o sistema não linear (9), o objetivo do controle ótimo H_∞ não linear é atenuar a

influência das entradas exógenasw(t)na variávely(t). Essa atenuação é definida em termos das razão entre as normasL₂dew₍t₎paray₍t₎, o chamado ganhoL₂ induzido, ou simplesmente,

ganhoL₂, formalizado a seguir (VAN DER SCHAFT, 1992).

Definição 1. (GanhoL₂induzido) Dado qualquer _{ψ >}0, o mapeamento de w₍t₎para y₍t₎é

dito ter ganhoL₂finito menor ou igual a_ψ se, sob condição inicial nula, x₍0_{) =}0,

t

o ||y(t)||

2_dt ≤ψ2

t

0 ||w(t)|| 2_dt

,

para todo t_≥0e todo w(.)_∈L₂₍0_,t₎, sendo que_||.||denota a norma-2 Euclidiana.

Logo, neste caso, a normaH_∞ pode ser caraterizada pelo menor valor de_ψ,_{ψ >}0 finito,

(ZHOU; DOYLE; GLOVER, 1995), tal que:

||y(t)_||2≤ψ_||w(t)_{||2 ↔} y(t)Ty(t)<ψ2w(t)Tw(t). (11)

2.2 Caracterização da NormaH_{∞e Controle Ótimo}H_{∞de Sistemas Não Lineares} 25

V(x) =xTPx,P=PT >0 impondo que

˙

V(x) +y(t)Ty(t)₋ψ2w(t)Tw(t)<0. (12)

Para o projeto de controle ótimoH_∞, considere o sistema não linear com incertezas

varian-tes no tempo limitadas em norma, com a seguinte representação em espaço de estados: ˙

x(t) = Ax(t) +Buu(t) +Bww(t) +h(t,x)

y(t) = Cx(t) +Dw(t), (13)

sendoA_∈Rn×n, B_w∈Rn×m¯,C_∈Rq×n, x₍t_)∈Rn é o vetor de estado, y₍t_)∈Rq é o vetor de

saída,w(t)_∈Rm¯é um distúrbio exógeno,h₍t_,x₎é o termo não linear variante no tempo limitado

em norma dado por (10) eu(t)é a lei de controle dada por:

u(t) =Kx(t), K_∈Rm×n_. (14)

Substituindo (14) em (13), tem-se que ˙

x(t) = (A₋B_uK)x(t) +B_ww(t) +h(t,x). (15) Teorema 2. (SILVA; BOTTURA, 2010a) Dada uma constanteα >0, uma condição suficiente para que o sistema(13)seja robustamente estabilizável com a lei de controle(14), é que existam matrizes Y =YT _∈Rn×ne L_∈Rn×n, tais que o seguinte problema de otimização seja factível:

minimize µ

sujeito a Y >0 (16)

⎡

⎢ ⎣

YAT_+AY+LT_BT

u+BuL+I Bw+YCTD Y

BT

w+DTCY DTD−µ 0

Y 0 ₋(CTC+α2HT_H)−1

⎤

⎥

⎦<0, (17)

sendoµ =√ψ.

Além disso, quando as LMIs (16)e (17)são factíveis, então uma matriz de ganho é dada por:

K=LY−1_{, (18)}

2.3 Sistemas Descritores Lineares com Realimentação

Deri-vativa

Nesta seção são apresentados alguns resultados obtidos no projeto de controladores para sistemas descritores lineares com realimentação derivativa (FARIA et al., 2009).

Considere o sistema descritor linear definido da seguinte forma:

Ex˙(t) = Ax(t) +Bu(t), (19)

sendox(t)_∈Rn, A_∈Rn×n,B_∈Rn×m,E _∈Rn×n eu₍t_)∈Rmé o vetor de entrada de controle

dado por (5).

SeE é invertível, então o sistema (19) é equivalente a um sistema linear na forma padrão: ˙

x(t) =AFx(t) +BFu(t), sendo AF =E−1A, BF =E−1B.

O processo em que se consegue transformar o sistema (19) para o formato padrão é chamado de processo de padronização. Os sistemas em que é possível efetuar essa transformação,

det(E)= 0

, são chamados de sistemas padronizáveis.

Sendo(E+BK)invertível, de (5) e (19) tem-se que ˙

x(t) = (E+BK)−1Ax(t). (20)

Considere, por exemplo, o sistema controlado (20). De acordo com (BOYD et al., 1994), a taxa de decaimento é definida como o maior valor realφ,φ >0, tal que

lim

t→∞e φt

||x(t)_||=0, (21)

para todas as trajetórias x(t), t _≥0, de (20). Se existirem P = PT > 0 e φ > 0 tais que

V(x) =xTPxsatisfaz a condição ˙V(x)_{≤ −}2φV(x), então o sistema controlado (20) têm taxa de decaimentoφ (BOYD et al., 1994).

Problema 2. O problema proposto é encontrar uma matriz constante K _∈Rm×n, tal que as seguintes condições sejam válidas:

1. O posto de(E+BK)é completo;

2. O ponto de equilíbrio x=0do sistema em malha fechada (19), (20)e(5), que consiste

2.4 Lema de Finsler e Lema da Projeção Recíproca com Realimentação Derivativa 27

Teorema 3. (FARIA et al., 2009) Considere que o sistema(19)não apresenta polos na origem (ou, det(A)=0) e que uma constanteφ >0 foi dada. Se existirem uma matriz simétrica Q_∈

Rn×ne uma matriz Y _∈Rm×n, tais que:

Q>0 ,

AQET_+EQAT_+BYAT_+AYT_BT _EQ+BY QET+YTBT ₋Q/2φ

<0,

então o sistema(20)é estabilizável com taxa de decaimento maior do queφ, e uma matriz de ganho da realimentação derivativa é dada por:

K=Y Q−1.

2.4 Lema de Finsler e Lema da Projeção Recíproca com

Re-alimentação Derivativa

• Lema de Finsler

Agora são apresentados alguns resultados obtidos no projeto de controladores para sistemas lineares utilizando a realimentação derivativa e o Lema de Finsler (OLIVEIRA, 2004; SILVA et al., 2012a). O Lema de Finsler é utilizado para expressar condições de estabilidade em termos de LMIs. A introdução de novas variáveis, como µ eX, em condições que envolvem

matri-zes com estruturas particulares e com dimensões adequadas D, B, B⊥ (OLIVEIRA, 2004),

propiciam uma vantagem sobre a teoria já existente de Lyapunov (BOYD et al., 1994).

Lema 1. (Finsler)(SKELTON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997) ConsidereW _∈R2δ,D_(β)∈

R2δ×2δ eB_(β)∈Rδ×2δ com posto₍B_(β)<δ)e₍B_(β)⊥₎uma base para o espaço nulo de

(B_{(β))(isto é}B_(β)B_(β)⊥₌0_).

Então as seguintes condições são equivalentes:

(i) W TD_(β)W _<0_{, ∀}W ₌0_, B_(β)W ₌0_,

(ii) B_(β)⊥TD_(β)B_(β)⊥_<0_,

(iii) _∃µ _∈R:D_(β)−µB_(β)TB_(β)<0_,

(iv) _∃X _∈R2δ×δ :D_{(β) +}X B_{(β) +}B_(β)TX _<0_,

Demonstração. Maiores detalhes sobre o Lema de Finsler podem ser encontrados em (SKEL-TON; IWASAKI; GRIGORIADIS, 1997).

Considere um sistema controlável, linear com incertezas invariantes no tempo, dado em (4) com lei de controle (5). De (4) e (5) segue que

0=A(β)x(t)₋(I+B(β)K)x˙(t). (22)

Em (SILVA et al., 2012a) os autores incorporaram no conjunto de LMIs, um escalarµ1>0. Com a escolha adequada de µ1, é possível obter resultados menos conservadores do que os encontrados sem a utilização do escalarµ1.

Teorema 4. (SILVA et al., 2012a) Dado um escalar arbitrário µ1>0, se existirem matrizes

simétricas Q_i∈Rn×n, matrizes G_∈Rm×ne Y _∈Rn×nsatisfazendo as LMIs(23)

Q_e>0,

A_eYT +YAT_e Q_e−YT₋B_eG+µ1YATe

∗ −µ1YT−µ1Y−µ1BeG−µ1GTBTe

<0, e_∈K_f (23)

então, o sistema(4)é estabilizável com a lei de controle(5)e uma matriz de ganho que resolve o problema pode ser dado por:

K=GY−T. (24)

• Lema da Projeção Recíproca

São apresentados agora, alguns resultados obtidos no projeto de controladores para sistemas lineares utilizando a realimentação derivativa e o Lema da Projeção Recíproca (APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001; SILVA et al., 2011). Considere um sistema controlável, linear com incertezas invariantes no tempo, descrito em (4) com vetor de entrada de controle dado em (5).

Usando a propriedade de formas quadráticas e considerando (4) e (5), conclui-se que para

x=0,

V(x) =xTPx>0, _⇒ V˙(x) =x˙TPx+xTPx˙<0, P=PT >0. (25)

é equivalente à solução das LMIs (26)

P(I+B(β)K)−1A(β) +A(β)T(I+B(β)K)−TP<0, P>0. (26)

2.4 Lema de Finsler e Lema da Projeção Recíproca com Realimentação Derivativa 29

(i) Ψ+S+ST <0,

(ii) A seguinte LMI é factível em relação a W :

Ψ+Y₋(W+WT) ST +WT

S+W ₋Y

<0.

Demonstração. Maiores detalhes sobre o Lema da Projeção Recíproca podem ser encontrados em (APKARIAN; TUAN; BERNUSSOU, 2001).

Em (SILVA et al., 2011) os autores incorporaram no conjunto de LMIs, um escalarµ2>0. Com a escolha adequada deµ2, o objetivo é a obtenção de resultados menos conservadores do que os encontrados sem a utilização do escalarµ2.

Teorema 5. (SILVA et al., 2011) Dado um escalar arbitrárioµ2>0e considerandoAˆi=A−_i 1, se existirem matrizes simétricas P_k∈Rn×n, matrizes Z_∈Rm×ne V_∈Rn×nsatisfazendo as LMIs

(27)

⎡

⎢ ⎢ ⎣

−(VT +V) _{∗ ∗} ˆ

AeV+AˆeBjZ+Pk −µ2Pk ∗

V 0 −Pk

µ2

⎤

⎥ ⎥ ⎦

<0, P_k>0, e,j,k_∈K_r (27)

então, o sistema(4)é estabilizável com a lei de controle(5)e uma matriz de ganho que resolve o problema pode ser obtida por:

3

CONTROLE ROBUSTO DE SISTEMAS NÃO

LINEARES INCERTOS USANDO

REALIMENTAÇÃO DERIVATIVA

Neste capítulo será proposta uma nova metodologia de projeto de controladores robustos para uma classe de sistemas não lineares com incertezas variantes no tempo limitadas em norma e incertezas politópicas, que estabiliza o sistema e ao mesmo tempo maximiza o limite das in-certezas não lineares que podem ser toleradas pelo sistema (MOREIRA et al., 2014). Esta metodologia permite a inserção de restrições de projeto, tais como: taxa de decaimento, restri-ção na saída do sistema, restrirestri-ção na norma da matriz de ganho e existência de falhas estruturais. Inevitavelmente, todos os tipos de sistemas e equipamentos estão sujeitos a apresentarem algum tipo de interrupção permanente não desejada em seu funcionamento. Isto pode ocorrer devido, por exemplo, ao desgaste natural de algum componente, quebra por fatores externos, quebra por manuseio incorreto, entre outras (ISERMANN; BALLÉ, 1997). Então denominamos estes eventos como sendo falhas estruturais e as mesmas podem ser inseridas no modelo dinâmico da planta através de incertezas do tipo politópicas (BOYD et al., 1994).

3.1 Sistemas Não Lineares

Considere o sistema não linear com incertezas variantes no tempo limitadas em norma, descrito por:

˙

x(t) =Ax(t) +Bu(t) +h(t,x), (29) sendox_∈Rno vetor de estado,A_∈Rn×n,B_∈Rn×m,u:Rn_→Rmé vetor de entrada de controle

eh:Rn+1_→Rné o termo não linear variante no tempo, dado por: h(t,x) =

r

∑

i=1

h_i(t,x), (30)

3.2 Lemas e Definições 31

desigualdade quadrática (ŠILJAK; STIPANOVI ´C, 2000)

hT_i (t,x)hi(t,x) ≤ αi2xTHiTHix, i∈Kr, (31)

sendo os limites das incertezas do sistemaαi>0 e as matrizesHi∈Rl×n, i∈Kr, são

conheci-das.

Problema 3. O problema proposto é encontrar uma matriz constante K _∈Rm×n, tal que as seguintes condições sejam válidas:

1. O posto de(I+BK)é completo;

2. O ponto de equilíbrio x=0 do sistema em malha fechada (29)-(31)é assintoticamente

estável, com a lei de controle utilizando a realimentação derivativa, dada por:

u(t) =₋Kx˙(t); (32)

3. Os limites das incertezas do sistemaα1, . . . ,αr, são maximizados.

Observação 1. Note que de(29)e(32),

˙

x(t) =Ax(t)₋BKx˙(t) +h(t,x) (I+BK)x˙(t) =Ax(t) +h(t,x).

Quando o posto de(I+BK) é completo, isto é igual a n, então o sistema em malha fechada (29)e(32)está bem definido e é dado por:

˙

x(t) =

I+BK−1

Ax(t) +

I+BK−1

h(t,x). (33)

Esta condição também já foi considerada por outros pesquisadores (ABDELAZIZ; VALÁŠEK, 2004).

3.2 Lemas e Definições

Considere o sistema não linear invariante no tempo (29) com não linearidades dadas por (30) e satisfazendo as desigualdades quadráticas (31). Os próximos lemas serão úteis na solução do Problema 3.

Lema 3. Para quaisquer matrizes (ou vetores) hi e hk, com dimensões apropriadas, dadas em

(30), a seguinte desigualdade é válida:

Demonstração. Sabe-se que toda matriz multiplicada pela sua transposta é positiva semi-definida. Assim, de

hi(t,x)−hk(t,x)Thi(t,x)−hk(t,x) ≥ 0,

tem-se que

hT_i (t,x)h_k(t,x) +h_kT(t,x)hi(t,x) ≤ hTi (t,x)hi(t,x) +hT_k(t,x)hk(t,x), ∀ i,k∈Kr.

Lema 4. Para quaisquer matrizes (ou vetores) h e h_i com dimensões apropriadas dados em

(30), as seguintes condições são válidas:

hT(t,x)h(t,x) _≤ r r

∑

i=1

hT_i (t,x)hi(t,x). (35)

Demonstração. De (30) e do Lema 3,

hT(t,x)h(t,x) =

r

∑

i=1

r

∑

k=1

hT_i (t,x)h_k(t,x)

= 1 2

r

∑

i=1

r

∑

k=1

hT_i (t,x)h_k(t,x) +hT_k(t,x)hi(t,x)

≤ 1₂

r

∑

i=1

r

∑

k=1

_hT

i (t,x)hi(t,x) +hTk(t,x)hk(t,x)

=2r 2

r

∑

i=1

hT_i (t,x)hi(t,x)

=r

_∑

hT_i (t,x)h_i(t,x).

Observação 2. De(30),(31)e(35)tem-se que

hT_{(t,x)h(t,x) ≤ r}

_∑

hT_i (t,x)hi(t,x)

= r_hT

1(t,x)h1(t,x) +. . .+hTr(t,x)hr(t,x)

≤ r

α₁2xTH₁TH₁x+. . .+α_r2xTH_rTH_rx

= xTHTΔ(rα)Hx,

(36)

sendo H=_HT

3.3 Índices de Desempenho para Realimentação Derivativa 33

Definição 2. Sejam h_i(x)_∈Rn+1_→Rn, i_∈K_r, definidas anteriormente, funções não lineares localmente contínuas. Então, dadoΔ(rα) =diag_{rα₁2I, . . . ,rα_r2I_}, as funções h_i(x)_∈H_Δ(rα)

se o seguinte conjunto for não vazio:

H_Δ(rα)=

h(x)_∈Rn_|hT₍x₎h₍x_)≤xTHT_Δ(r_α)Hx_. (37)

A classe H_Δ(rα) é composta por funções que satisfazem h(t,0) = 0 no seu domínio de continuidade, ex=0 é um ponto de equilíbrio do sistema (29).

Usualmente, somente a estabilidade assintótica de um sistema de controle é insuficiente para garantir um desempenho dinâmico satisfatório. Então, índices adicionais de desempenho, tais como, taxa de decaimento, limite na saída do sistema e limite na norma da matriz de ganho, podem ser especificados.

3.3 Índices de Desempenho para Realimentação Derivativa

3.3.1 Taxa de decaimento

Considere, por exemplo, o sistema controlado (33). De acordo com (BOYD et al., 1994), a taxa de decaimento é definida como o maior valor realφ,φ >0, tal que

lim

t→∞e φt

||x(t)_||=0, (38) para todas as trajetórias x(t), t _≥0, de (33). Se existirem P = PT > 0 e φ > 0 tais que

V(x) =xTPxsatisfaz a condição ˙V(x)_{≤ −}2φV(x), então o sistema controlado (33) tem taxa de decaimentoφ (BOYD et al., 1994).

3.3.2 Restrição na saída

Defina a saída do sistema (29) como sendo:

y(t) =Cx(t), (39)

sendoy(t)_∈RqeC_∈Rq×n. Suponha que a condição inicial de (29) e (39) éx₍0₎.

Se o ponto de equilíbriox=0 do sistema em malha fechada (29), (32) e (39) é assintotica-mente estável, podemos especificar um limite para a saída, descrito como:

max

t≥0 ||y(t)||2=maxt≥0

yT_{(t)y(t)<ξ0, (40)}

parat_≥0, sendoξ0uma constante positiva conhecida. De (BOYD et al., 1994), (40) é satisfeita quando as LMIs

1 xT(0)

x(0) X

>0,

X XCT CX ξ₀2I

>0, (41) e também um conjunto de LMIs que garantem a estabilidade assintótica do ponto de equilíbrio

x=0, com a condiçãoV(x) =xTPx,P=PT >0, ˙V(x)<0 parax=0, sendo queX=P−1.

• Restrição na saída do sistema, com um conjunto de condições iniciais

Considere quex(0)_∈I_c (conjunto de condições iniciais), dado por:

I_c=

x(0,τ)_∈Rn:x₍0_{,τ) =}

η1

∑

τηx0η

, x_0η = [x_0η1 x_0η2 . . . x_0ηn]T, (42)

sendo queη1 é dado porη1=2η2, eη2 é o número de incertezas politópicas do vetor x(0)e

x_0η, η _∈K_η

1, representa os vértices politópicos. Os parâmetros τη, η ∈Kη1, são constantes

reais desconhecidas, pertencentes ao simplexA, ou seja, satisfazendo a relação (43).

A ₌

τ = [τ1 τ2 . . . τη1]T :τη ∈R, τη ≥0, η∈Kη1 e

η1

∑

τη =1

. (43)

Note que, de (42) e (43) tem-se que

x(0,τ) =

⎡

⎢ ⎢ ⎣

x1(0,τ) ...

x_n(0,τ)

⎤ ⎥ ⎥ ⎦ = η1

∑

τ_ηx0η = ⎡ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣ η1

∑

τηx0η1

...

η1

∑

τ_ηx0ηn

⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

, e τ_∈A_. (44)

Lema 5. A especificação do limite para a saída de(29)e(39), com condição inicial x(0)_∈I_c,

tal que, a condição max_||y(t)_||2=maxy(t)Ty(t)<ξ0 é válida, para t≥0, ξ0>0, pode ser

obtida quando as seguintes LMIs

1 xT_0η x_0η X

>0,

X XCT CX ξ₀2I

>0, (45)

para todoη _∈K_η

3.3 Índices de Desempenho para Realimentação Derivativa 35

ponto de equilíbrio x=0, com a condição: V(x) =xTPx, P=PT >0,V˙(x)<0 para x=0,

sendo que X=P−1.

Demonstração. Considere que as LMIs em (45) são factíveis, para todo η _∈K_η

1, e a

estabi-lidade assintótica do ponto de equilíbriox=0 é assegurada usando uma função de Lyapunov

V(x) =xTPx,P=PT >0. Multiplicando a primeira desigualdade em (45) porτη, η ∈Kη1 e

tomando a somaη=1 atéη=η1, de (42)-(44) segue-se que

η1

∑

τη

1 xT

0η

x0η X

=

1 x(0,τ)T

x(0,τ) X

>0. (46)

Note que (46) é equivalente a (41), aplicada a um conjunto de condições iniciais definido em (42) e (43). Portanto, a partir dos resultados bem conhecidos da literatura (BOYD et al., 1994), a condição (40) é válida.

3.3.3 Norma da matriz de ganho

Para tornar alguns resultados de problemas, mais práticos e implementáveis, às vezes é necessário limitar o ganho da matrizK, e ao mesmo tempo, garantir um certo limite para o vetor

αi, i∈Kr, cujos elementos são incertos e foram definidos em (31) (ŠILJAK; STIPANOVI ´C,

2000). Podemos restringir a norma do ganho do controlador por meio de restrições em M

(MTM<KMI)eX−1 (X−1<KXI)(CHEN; YU; CHU, 1999) visto que utiliza-seK =MX−1

(BERNUSSOU; PERES; GEROMEL, 1989; ŠILJAK; STIPANOVI ´C, 2000).

Lema 6. A especificação dos limites da norma da matriz de ganho da realimentação derivativa K, tal que KTK<KMK_X2In, sendo KM>0e KX >0, pode ser obtida por meio da solução do seguinte problema de otimização:

minimize K_M+K_X,

sujeito a

KXI I

I X

>0, (47)

K_MI MT

M I

>0, (48)

Demonstração. A prova do Lema 6 encontra-se detalhada no Apêndice A.

3.4 Condições de Estabilidade Baseadas em LMIs para

Rea-limentação Derivativa

Teorema 6. Uma condição suficiente para a solução do Problema 3, para uma planta dada por

(29)-(31)com uma condição inicial x(0)_∈I_{c definido em}(42)_-(44)_{, sendo x0η, paraη∈}K_η 1 dados, considerando também uma taxa de decaimento maior ou igual aφ >0, um limiteξ0>0

no sinal de saída, como dado em(40), e um limite na norma da matriz de ganho KTK<K_MK_X2, é a existência de matrizes X =XT _∈Rn×n, M_∈Rm×ne_γi, sendo i_∈K_r, K_M,K_{X ∈}R, tais que o seguinte problema de otimização é factível:

minimize r

∑

i=1

γi+KM+KX,

sujeito a X>0, (49)

⎡

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎣

AQT +QAT I Q QHT

I ₋I 0 0

QT ₀ −X

2φ 0

HQT _{0 0 −Δ(γ)}

⎤

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦

<0, (50)

1 xT_0η x_0η X

>0, (51)

X XCT CX ξ₀2I

>0, (52)

KXI I

I X

>0, (53)

K_MI MT

M I

>0, (54)

sendo Q= (X+BM), H =_HT

1 . . .HrTT ∈Rrl×n,Δ(γ) =diag{γ1I, . . . ,γrI}é uma matriz bloco diagonal eη _∈K_η

1. Além disso, quando as LMIs(49)-(54)são factíveis, a matriz de ganho de realimentação derivativa é dada por:

K=MX−1_{, (55)}