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, ,
,
e
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e
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l
l Q
Q
Q H H
P P P
X X X
h h h h
(
(
( (
IFT
Instituto de Fsia Teoria
Universidade Estadual Paulista
TESE DE DOUTORAMENTO IFT{T.012/07
Energia Esura e Forma~ao
de Estruturas em Larga Esala
Lamartine Liberato
Orientador
Prof. Dr. Rogerio Rosenfeld
Agradeimentos
AgradeoaosamigosRonaldoCastlhoMarquesLimaeAlexandre
Stefanipela revis~ao deste trabalho. Sou grato ao Prof. Dr. Rogerio
Rosenfeldporsuaorienta~ao e ontribui~ao.
AgradeoaindaaosolegasdetrabalhoProf. Dr. LuisRaulWeber
Abramoe RonaldoCarloto Batista.
Resumo
Investigamos a forma~ao, em larga esala, de estruturas no
Uni-verso, na presena da energia esura. Sua inu^enia sobre o
resi-mentodeperturba~oesosmologiaseexeridatantoatravesdoefeito
sobre a taxa de expans~ao do fundo osmio homog^eneo, quanto de
suas proprias utua~oes de densidade de energia. Para alularmos
a taxa de forma~ao de aglomerados de galaxias, empregamos uma
generaliza~ao do formalismo de olapso esferio para a inlus~ao de
uidos om press~ao. Um importante efeito de utua~oes de energia
esura assoiados a halos de materia esurae a indu~ao de halosde
energiaesura, que reprimemo resimento de estruturas quando
te-mos equa~oes de estado n~ao phantom; por outro lado,quando temos
equa~oesdeestadophantom,s~aogeradosvaziosdeenergiaesura,
au-mentando o resimento deestruturas de materia. Outro importante
efeito oorre quando onsideramos a possibilidade da energia esura
mudar sua equa~ao de estado quando ha grandes varia~oes de sua
densidade no interior dos halos em rela~ao ao fundo homog^eneo. O
grandenumerode parametriza~oesda energia esuraqueforam
obti-dosomdados,de supernovasIas~aosensveisapenasatedesviospara
o vermelho de ordem um. Mostramos que as parametriza~oes
pro-duzem assinaturas distintas na forma~ao de aglomerados om o uso
do formalismo de Press-Shehter. Portanto, futuras observa~oes de
aglomeradosgalatiospodemprovervnulosimportantesno
Abstrat
We investigate large sale struture formation in universe with
darkenergypresene. Thedark energyinueneonosmologial
per-turbationgrowth is exerted both throughits eet on the expansion
rate of bakground, and throughits own density utuation as well.
Toomputetherateofformationofmassiveobjetsweemployed the
spherial ollapse formalism, whih was generalized to inlude uids
with pressure. An important eet aused by utuations in dark
energy assoiated with dark matter halos is the indution of dark
energyhalosdampingthegrowthof strutureswhenthe equationsof
state arenon-phantom;on theother hand,phantom modelsgenerate
dark energy voids, enhaning thegrowth of matter halos. Other
im-portant eet ourswhen we onsider thepossibilityof dark energy
hangingitsequationofstatewhentherearelargedierenesbetween
densities in the bakground and in the halos. The large number of
dark energy parametrizations obtained with supernova Ia data are
onlysensitive to redshiftsupto order one. We showthese
parametri-zations produedistinguishable signatures inluster formationusing
the Press-Shehter formalism. Therefore, future observations of
ga-laxy lusters an provide important onstraints on the behavior of
1 Introdu~ao 1
2 O Modelo Padr~ao 4
2.1 A Metriade
Friedmann-Lema^tre-Robertson-Walker . . . 4
2.2 As Equa~oes de Einstein . . . 5
2.3 Energia Esura e Parametriza~oes da Equa~ao de Estado . . . 11
3 Modelo de Colapso Esferio 17 3.1 O ColapsoEsferio . . . 17
3.2 Energia EsuraHomog^eneaeEvolu~aoLinear das Perturba~oes 20 3.3 Energia Esura Homog^enea e Evolu~aoN~ao Linear doHalo . . 24
4 Contagens de Aglomerados de Galaxias 27 4.1 O Formalismode Press-Shehter . . . 28
4.2 Contagens de Aglomerados de Galaxias . . . 33
5 Energia Esura Inomog^enea 38 5.1 Evolu~ao N~aoLinear das Perturba~oes . . . 39
5.2 Evolu~ao Linear das Perturba~oes . . . 39
5.3 Modelos N~aoPhantom om w Constante . . . 42
5.4 Modelos Phantomom wConstante . . . 44
5.5 Equa~ao de Estado Variavelw e (z) . . . 46
5.6 Regime N~ao Linear . . . 48
5.7 Fun~aode Massa e EnergiaEsura Inomog^enea . . . 51
SUMARIO V
6 Transmuta~ao da Energia Esura 59
6.1 Flutua~oes doFluido . . . 59
6.2 Evolu~ao das Flutua~oes N~aoPhantom . . . 62
6.3 Evolu~ao das Flutua~oes Phantom. . . 64
7 Conlus~ao 66
Introdu~ao
Ha fortes evid^enias que sugerem que o Universo e espaialmente plano
e que sua omponente dominante na densidade de energia possui natureza
desonheida. Analises de dist^anias luminosas em grandes desvios para o
vermelho, doravante denominados redshifts, de supernovas do tipo Ia
leva-ram a onlus~ao de que a expans~ao do Universo esta aelerando, om
in-dia~oes de queesta aelera~aoereente, iniiadahapouosbilh~oesde anos
[1, 2,3, 4, 5, 6℄. Tais observa~oes s~aoorroboradas por pelo menos tr^es
ob-serva~oesextensaseindependentes, oespetroangulardasutua~oesde
tem-peraturadaradia~aoosmia de fundo emmiroondas[7,8℄, asobserva~oes
dadistribui~aoespaialde estruturas emgrande esala[9,10℄easosila~oes
austiasde barions [11℄.
Estes dados observaionais sinalizam para uma ontribui~ao dominante
a densidade de energia de um uido om press~ao negativa,usualmente
ha-mado de \energia esura". N~ao sabemos o que a energia esura e, e em
nossa ignor^ania de sua real natureza muitas parametriza~oes onstantes ou
variaveisom rela~aoaotempoouao redshiftforamintroduzidas atravesde
sua equa~ao de estado, numa tentativade desri~ao de sua evolu~ao.
A abordagem mais direta a energia esura em seu ontexto osmio e
a fenomenologia, reentemente adotada por varios autores [12, 13,14, 15℄,
na qual a equa~ao de estado e expressa em termos do fator de esala a ou
do redshift z, que s~ao relaionados ao tempo osmio. Este proedimento
gerou varios modelosbaseados na parametriza~ao daequa~ao de estado ou,
CAPITULO 1. INTRODUCAO 2
Embora determinar a equa~ao de estado omo fun~ao do redshift
prova-velmente n~ao ajude muito em revelar a natureza da energia esura, podera
diminuir o longo o aminho atraves da elimina~ao de varios modelos
exis-tentes. Portanto, uma das mais importantes tarefas no avano da
osmolo-giaobservaional e aumular dados suientes em numeroe preis~ao para a
inequvoa distin~ao entre t~ao numerosa diversidade de possibilidades.
As-sim,omo para os teorios, o desaoe determinar de que formas adiionais
aenergiaesurapode semanifestarouinueniaro omportamentodo
Uni-verso alem, obviamente, dataxade expans~ao aelerada doUniverso.
Osdados de supernovas Ias~aosensveisom rela~aoaequa~ao de estado
da energia esura somente em uma pequena faixa de redshifts, tipiamente
ate z = O(1). Esta e a raz~ao pelaqual ha grandevariedade de par^ametros
permitidosom diferentes equa~oes de estado. De fato,amaissimples
possi-bilidade,o modelo de onstante osmologia CDM ( Cold Dark Matter),
para o qual temos uma equa~ao de estado onstante e igual a 1, ainda
proporiona um dos melhores ajustes aos dados. Esse fato torna bastante
desejaveltermosoutroobservavel,sensvelemaltosredshifts,quepossa
que-brar adegeneres^enia entre tantasparametriza~oes propostas.
A energiaesuratem um efeitodramatiosobre adin^amiadoUniverso,
alterandoaformaomoasestruturas osmologiasresem [16℄. Istooferee
apossibilidadedequeobserva~oesdaforma~aodeestruturasemlargaesala
possam forneer um teste mais aprofundado das propriedades da energia
esura, omplementares as informa~oes derivadas dos dados de supernovas
Ia.
O desenvolvimento de estruturas no Universo om energia esura e
as-sunto de grande relev^ania em estudos orrentes [17, 18, 19, 20, 21, 22, 23,
24, 25,26,27, 28, 29℄partiularmenteatravesdo modelo de olapsoesferio
[30℄, em assoia~ao om fun~oes de massa omo a do formalismo de Press
& Shehter [31℄. Usaremos estas tenias na investiga~ao de modelos
os-mologios onde a omponente de energia esura permanee homog^enea nas
esalas de grandes estruturas ou permitimos sua aglomera~ao, i.e., energia
esura inomog^enea, para avaliarmos observaionalmente suas onsequ^enias
naforma~aode estruturas,espeialmenteatravesdonumerode aglomerados
de galaxias.
A base de nosso estudo e a inu^enia da energia esura em dois asos
esseniais quanto a perturba~oes, om objetivosdiferentes. O primeiroaso
possibili-CAPITULO 1. INTRODUCAO 3
dePress-Shehter paradistinguirefuturamenteonfrontarosdiversos
om-portamentosou parametriza~oes daenergiaesura aos dados observaionais
de estruturas em largaesala, omo desenvolvido em[32℄.
No segundo aso a densidade de energiaesura poderautuar, i.e.,riar
halosouvazios. Istoalteraraaforma~aodeestruturasdemateriaproduzindo
um enario araterstio que podera ser visto omo uma assinatura sobre
um omportamento fundamental da omponente de energia esura, se esta
aglomeraoun~ao. Esta possibilidade foi exploradaem[33℄.
Abordagens semelhantes tambemforam reentemente desenvolvidas por
ummodelodeNunes &Mota[26℄, Manera&Mota[28℄ eDutta&Maor[34℄.
Porem,estestrabalhosusaramampoesalarparaaenergiaesura. Todavia,
omo ja dissemos, aqui nosso foo esta na desri~ao do omportamento da
energiaesuraomoparametriza~oes daequa~aode estado,queemaisgeral
doque o ampo esalar,e possui arater fenomenologio, pois a equa~ao de
estadopodeserrelaionadadiretamenteomosobservaveismaisamplamente
usados namedidada aelera~ao osmia.
Ademais, em ontraste om [26, 28℄, somos apazes de investigar
onsis-tentementeo regimen~aolinear de aglomera~aode ambas as omponentes, a
de materia e a de energia esura, e enontramos que ha efeitos importantes
sobre aforma~aode objetosom grandes massas (M >10 13
M
O Modelo Padr~ao
2.1 A Metria de
Friedmann-Lema^tre-Robertson-Walker
Para a Relatividade Geral a Cosmologia e a tarefa de enontramos as
solu~oes das equa~oes de ampode Einstein ques~ao onsistentes om a
dis-tribui~ao em larga esala da energia e da materia no Universo ao longo de
sua evolu~aoosmia.
As observa~oes osmiasmodernast^emdemonstradoque oUniverso real
e altamentesimetrio emsuas propriedades emlarga esala. Entretanto, as
evid^eniasde talsimetriidadeaindaeram desonheidasquandoFriedmann
eLema^treomearamsuasinvestiga~oespioneirassobreumdosmaissimples
modelos de Universo, que pressup~oe homogeneidade e isotropia. De fato a
isotropiaimplia em homegeneidade, e.g.,[35℄.
Posteriormente Robertson e Walker, independentemente, demonstraram
quea metria usadaporLema^tre levaa geometria Riemannianamais geral
ompatvel om homogeneidade eisotropia.
Homogeneidadeosmiasignia,grossomodo,queoUniversoeomesmo
em todo lugar em um dado tempo, ou de maneira mais preisa, que para
ada evento no Universo ha uma `hipersuperfie de homogeneidade', i.e.,
ondi~oes fsias id^entias para todo evento nesta hipersuperfie. Em ada
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 5
asmesmas.
A metria que ondensa estes oneitos e onheida omo a metria de
Friedmann-Lema^tre-Robertson-Walker, ou metria FLRW, omumente
ex-pressa omo ds 2 =g dx dx = dt 2 +R 2 (t) " dr 2 f 2 (r) +r 2 d 2 # ; (2.1)
onde osndies e referem-seas oordenadas, i.e., x 0
=t, x 1
=r, x 2
=
e x 3
= . R (t) e o fator de expans~ao do Universo, onheido omo fator
de esala, d 2 = d 2 +sin 2 d 2 e f 2
(r) = 1 kr 2
om k = 1
desre-vendo, matematiamente,um Universo \aberto"; k=+1, \fehado"ek =0
\plano".
2.2 As Equa~oes de Einstein
Adin^amiaosmiadeorredosvnulosimpostospelasequa~oesde
Eins-tein G =R 1 2 g
R= 8GT
; (2.2)
sobre o tensor metrio. Enontraremos, a seguir, as equa~oes de Einstein
paraametriade FLRWisotropiaehomog^enea(2.1). AsquantidadesR
,
R eT
ser~aodenidas ao longo dos alulos.
Considerealagrangeanadeuma partulalivrenoespao-tempodenido
pelametria FLRW,
L=g
dx d dx d ; (2.3)
onde eo par^ametro am, i.e., uma parametriza~ao das oordenadas.
As equa~oes de Euler-Lagrange s~ao
d d L _ x L x
=0: (2.4)
Usando o tensor metrio de FLRW (2.1) e alagrangeana (2.3)
enontra-mos asequa~oes de Euler-Lagrange. Ummetodopratio paradeterminar os
smbolosde Christofel , t+ R 2 R ! _ r 2 + R R r 2 ! _ 2 + R R r 2 sen 2 ! _ 2
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 6 r+ 2 R R t ! _
tr_ R f df dr _ r 2 +f 2 r _ 2 f 2 r(sen 2 ) _ 2
= 0; (2.6)
+ 2 R R t ! _ t _ + 2 r _ r _ (senos) _ 2
= 0; (2.7)
+ 2 R R t ! _ t _ + 2 r _ r _ (2ot) _ _
= 0; (2.8)
onde opontosignia derivada om respeito ao par^ametro .
Lembrandoas equa~oes dageodesia,
x + _ x _ x
=0; (2.9)
podemos extrair ossmbolosde Christoel das equa~oes (2.5), (2.6), (2.7) e
(2.8) de Euler-Lagrange,ou equa~oes dageodesia,
0 11 = R f 2 R t ; (2.10) 0 22 = R R t r 2 ; (2.11) 0 33 = R R t r 2 sen 2 ; (2.12) 1 01 = 1 R R t ; (2.13) 1 11 = 1 f df dr ; (2.14) 1 22 = f 2
r; (2.15)
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 7
2
33
= senos; (2.19)
3 03 = 1 R R t ; (2.20) 3 13 = 1 r ; (2.21) 3 23
= ot; (2.22)
onde os ndies referem-se as oordenadas, i.e., x 0
= t, x 1
= r, x 2
= e
x 3
=.
ComestessmbolospoderemosenontrarotensordeRii,queeotensor
de Riemann-Christoel ontrado,
R = R = ; ; + ; (2.23)
onde avrguladenota derivada parial.
Utilizando o smbolos de Christoel na express~ao (2.23), do tensor de
Rii, enontramos osseguintes termos diferentes de zero:
R 00 = 3 R R ; (2.24) R 11 = R R f 2 2 _ R 2 f 2 + 2f 0 fr ; (2.25) R 22 = f 2 r 2 0 R R f 2 2 _ R 2 f 2 + f 0 fr 1 f 2 r 2 + 1 r 2 1 A ; (2.26) R 33 = (sen 2 )R 22 : (2.27)
Aima, opontodenotaderivada omrela~aoaotempoealinha derivada
om rela~aoa oordenadaradial r. Com estes termospodemos efetuarmais
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 8
R = R
= g R = g 00 R 00 +g 11 R 11 +g 22 R 22 +g 33 R 33 ; (2.28)
neessariaparaobtermosoesalardeurvatura(2.29),paraasequa~oes(2.2)
de Einstein. Portanto, obtivemos,
R = 2f 2 R 2 0 3R R f 2 3 _ R 2 f 2 + 2f 0 fr 1 f 2 r 2 + 1 r 2 1 A : (2.29)
O tensorde Energia-Momentopara um uidoperfeitoe dadopor
T
=pg
+(p+)U
U
; (2.30)
sendo ppress~ao, densidade eU
oquadri-vetor veloidade,
U = dx d ; (2.31) U i = v i q
(1 ~v 2 ) ; (2.32) U 0 = 1 q
(1 ~v 2
)
: (2.33)
Usando um refenial omovel, ouseja, um referenial onde o observador
desloa-se om o uido emada instante, temos U i
0 e U 0
1. Obtemos
ent~aoos elementosn~aonulos dotensor Energia-Momento,
T
00
= ; (2.34)
T 11 = p r R 2 f 2 (2.35) T 22 = p R 2 r 2 ; (2.36)
T = p R
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 9
Portanto,nalmenteobtemosos elementos n~aonulos, dotensor de
Eins-tein, (2.2), G 00 = f 2 R 2 0 3 _ R 2 f 2 + 2f 0 fr 1 f 2 r 2 + 1 r 2 1 A ; (2.38) G 11 = 2R R f 2 + _ R 2 f 2 + 1 f 2 r 2 1 r 2 ; (2.39) G 22 = f 2 r 2 2R R f 2 + _ R 2 f 2 f 0 fr ! ; (2.40) G 33 = (sen 2 )G 22 : (2.41)
A densidadede energia(t) pode ser expressaatraves de R (t)e sua
deri-vada temporalpelaomponente tempo-tempodaequa~ao (2.2) de Einstein.
Ou seja, usando(2.38) e (2.34)temos
8G(t)=3 _ R 2 R 2 + 3k R 2 : (2.42)
Com o uso de qualquer uma das omponentes espaiais da equa~ao de
Einstein(2.2)eahipotesedeisotropiaenontramosamesmaequa~aoespa
o-espao, i.e., usando (2.39)e (2.35) ou (2.40) e(2.36) ou (2.41) e(2.37) om
p=p
r =p =p , enontramos
8Gp(t)= 2 R R 2 _ R R 2 k R 2 : (2.43)
Combinandoasequa~oes (2.42) e (2.43)enontramos
4G[(t)+3p(t)℄=3
R
R 2
: (2.44)
O que poderamos ter feitodifereniando (2.42) om rela~ao aotempo e
ouso daequa~ao de ontinuidade abaixo,
_
(t)+3 _
R
R
((t)+p(t))=0: (2.45)
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 10
De fatoestaindepend^eniae maisgeral. NoAp^endieAmostramos que,
a taxa de aelera~ao, da ontra~ao ou expans~ao, de uma esfera radialmente
inomog^eneatambem e independente da urvatura.
Podemos fazero fatorde esala R (t) sem dimens~aodenindo
a(t) R (t)
R
0
; (2.46)
portantoa
0 a(t
0
)= 1no tempo t
0
atual. Denimos tambem opar^ametro
de Hubble,
H(t) _ a(t)
a(t)
: (2.47)
Nesteasopodemosesreveraexpress~oes(2.42)e(2.44),onheidasomo
equa~oes de Friedmann, emsua forma onvenional
H 2
(t)= 8G
3 (t)
k
a 2
; (2.48)
a(t)
a =
4G
3
[(t)+p(t)℄: (2.49)
Aequa~aodeFriedmann(2.48)revelaosurpreendentefatodequehauma
onex~ao direta entre a densidade de energia do Universo e sua geometria.
Para uma dada taxa de expans~ao, ha uma densidade rtia total,
r
,soma
detodasasomponentesdofundohomog^eneo,quelevaaumUniversoplano,
k=0, i.e.,
r (t)=
3H 2
(t)
8G
: (2.50)
UmUniversoomdensidadede energiaaimadestevalor,rtio,sera
es-paialmentefehado, poroutrolado,umadensidade deenergiamenorlevara
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 11
2.3 Energia Esura e Parametriza~oes da Equa~ao
de Estado
A historia da expans~ao do Universo e determinada pelo par^ametro de
Hubble, H(t)=a=a,_ onde a(t) R (t)=R
0
e o fatorde esala denido de tal
formaque a(t
0 )=a
0
=1 hoje. Assumimos quea energiaesura possui uma
equa~ao que relaionasua press~ao p
e
e om sua densidade de energia
e em
umdadoinstanteatravesdep
e
(t) =!
e (t)
e
(t)ou,de formamaisapropriada,
em um dado redshift p
e
(z) = !
e (z)
e
(z). A omponente de materia n~ao
relativstia n~ao possui press~ao, p
m
=0. Para uma dada equa~ao de estado
ataxa de expans~ao doUniverso egovernadapela equa~ao de Friedmann
H 2 (a) H 2 0 = (0) m a 3 + (0) K a 2 + (0) e e g(a) ; (2.51)
onde usamoso par^ametro de densidade de energiadenido omo
i (t) i (t) r (t) =
8G
3H 2 (t) i (t)= (0) i H 2 0 H 2 (t) i (t) i (t 0 ) ; (2.52)
para ada omponente i de densidade de energia, ou seja, (0) m , (0) K e (0) e
que s~ao os par^ametros de densidade de energiarelativos a materia n~ao
rela-tivstia (bari^onia e n~ao bari^onia),urvatura e energiaesura,
respetiva-mente. Adotamosum Universo plano
K
(1
m
e
)=0. H
0
H(t
0 )
ea onstante de Hubble.
A equa~ao de estado determina a fun~ao g(a), ou seja, usando que p
e = w e e eque d e da
=aH d
e
dt
(2.53)
naequa~ao daontinuidade daenergia esura,temos que
_
e
+3H(+p
e )
d
e
dt
=0 ) d
e
e
= 3(1+w
e )
da
a
: (2.54)
Portanto, o omportamento da energia esura e determinado por sua
equa~ao de estado om
g(a)=3 Z
a
0
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 12
Opar^ametrode densidade de materia
m
(a)eopar^ametrode densidade
de energia esura
e
(a)evoluem omo fun~ao dofatorde esala a(t):
m
(a)= (0)
m a
3 H
2
0
H 2
(a)
; (2.56)
e
e
(a)= (0)
e e
g(a) H
2
0
H 2
(a)
: (2.57)
Neste trabalho adotamos (0)
m
= 0;25, (0)
e
= 0;75, H
0
= 72 km s 1
Mp 1
[8℄ e zemos uso do redshift z omo variavel, uja orrespond^enia
om o fator de esala e z = (1 a)=a, para desrevermos a evolu~ao de
diferentes quantidades,espeialmente asobservaionais.
Medidasreentes de supernovasdotipoIa[4,5℄levaramaumaevid^enia
onlusiva de desaelera~ao da expans~ao doUniverso no passado (z >0;5),
evoluindo para um Universo em expans~ao aelerada ateo presente.
Aexist^eniadaenergiaesuraquereentementeaeleraaexpans~aoosmia
esta estabeleida ea magnitude atual dadensidade de energia esurae bem
onheida. Oobjetivoagoraedeterminaroomportamentopassadoda
den-sidade de energia esura e sua equa~ao de estado em epoas diferentes da
evolu~ao osmia. O andidato mais simples e natural e a onstante
os-mologia om par^ametrode densidade de energia
eequa~aode estado
!
e
= 1, o que ainda proporiona um bom ajuste aos dados atuais de
su-pernovas Ia,pelomenos emredshiftsmenores que1.
A exata forma funional da equa~ao de estado !
e
(z) da energia esura
poderiaseguirdeumateoriafundamentalsobreanaturezadestaenergia. Os
asos mais bem estudados s~ao os modelos de quintess^enia, onde a energia
esuraresulta de um ampo esalarom potenialderesente.
Na aus^enia de uma teoria siamente bem motivada sobre a energia
esura,t^em-seusadoumaabordagemfenomenologiaomaado~aodeformas
parametrias de !
e
(z) que permitam o uso dos dados de supernovas para
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 13
Tabela2.1: Parametriza~oes P., para a energiaesura. Algunsdestes modelos
s~ao de[15℄.
P. H 2
(z)ou !(z) Par^ametros
Ia !(z)=!
0 +! 1 z (1+z) 2 =! 0 +! 1
(1 a)a !
0
= 1:3
!
1 =4
Ib !(z)=!
0 +! 1 z (1+z) 2 =! 0 +! 1
(1 a)a !
0
= 1:3
!
1 = 2
II !(z)=!
0 +! 1 z (1+z) 1:8 =! 0 +! 1 (1 a)a 0:8 ! 0 = 1:3 ! 1 =4 III H 2
(z)=H 2
0 [
(0)
m
(1+z) 3 + (0) e + a 1 =0:13 +a 1
(1+z) 3
[os (a
2 z+a
3
) os (a
3 )℄℄ a 2 =6:83 a 3 =4:57 IV H 2
(z)=H 2
0 f
(0)
m
(1+z) 3
+a
1
(1+z)+ a
1
= 4:16
a
2
(1+z) 2 +( (0) e a 1 a 2 )g a 2 =1:67 V H 2
(z)=H 2
0 [
(0)
m
(1+z) 3 q a 1 +a 2
(1+z) 3 a 1 =29:08 ( (0) e + p a 1 +a 2 )℄ a 2 = 0:097
VI !(z)= !
0
1+bl n(1+z)
!
0 = 1
b=0:25
VII !(z)=!
0 +!
1 z =!
0 +! 1 1 a a ! 0 = 1:4 ! 1 =1:67
VIII !(z)=!
0 +! 1 z 1+z =! 0 +! 1
(1 a) !
0
= 1:6
!
1 =3:3
!= 1 ou H
2
(z)=H 2
0 [
(0)
m
(1+z) 3
+ (0)
-CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 14
As parametriza~oes mostradas na Tabela2.1 s~aoobtidas de diversos
au-tores, nas parametriza~oes Ia e Ib usamosamesma fun~aoparametriaom
omesmovalorde !
0
mas om valordistintopara !
1
nafaixa de valores
per-mitidospeloSuperNova Legay Survey (SNLS) e peloWilkinson Mirowave
Anisotropy Probe (WMAP) [38℄. O modelo II e uma suave modia~ao do
modelo I. Os modelos III, IV e V s~ao ansatze motivados por osila~ao,
po-lin^omios quadratios [13℄ e branas para H(z), respetivamente. Usamos os
valores entrais de [15℄. O modelo VI foi proposto por [41℄ e seu melhor
ajuste aos par^ametros obtido por [24℄. As parametriza~oes VII [36, 40℄ e
VIII[21,39℄s~aoexpans~oes emTaylorateprimeiraordememtornode z =0
eem torno de a=1,respetivamente.
0
1
2
3
4
5
z
-
0.5
-
0.25
0
0.25
0.5
0.75
1
W
e
z
Figura2.1: Evolu~aodadospar^ametrosdedensidadedeenergiaesura
e omo
fun~ao do redshift z para parametriza~oes da Tabela 1. As linhas s~ao: CDM
(lisa),Ia(traourto),Ib(pontos),II(pontoduploetrao), III(traolongo),IV
(ponto e trao urto, V(ponto e traolongo), VI (ponto duplo e traolongo),
VII(traoduplo e ponto), VIII(pontotriplo etrao).
es-CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 15
maiorparte delas apresenta problemas, valores exessivamentegrandespara
redshifts maiores que 1. Varias parametriza~oes apresentam valores muito
altosparaopar^ametrodedensidadede energiaesuranopassado, indiando
uma domin^ania desta omponente que ainda n~aohavia, uma outra mostra
valores negativos do par^ametro de densidade de energia, que e absurdo por
si so. Muitas parametriza~oes ajustam-se bem aos dados de supernovas Ia,
entretanto, s~aosiamente improvaveisou impossveis quando onsideradas
em um enario mais amplo, em redshifts maiores dos que os obertos pelos
dados de supernovas Ia.
0
2
4
6
8
10
12
14
z
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
W
e
Figura 2.2: Evolu~ao dos par^ametros de densidade de energia esura
e om
rela~ao ao redshift z para modelos seleionados da Tabela 1. As linhas s~ao:
CDM (lisa), Ia (trao urto),Ib (pontos) e IV (pontoe traourto).
Em nosso estudo seleionamos apenas alguns dos modelos, om
ontri-bui~aoderesente de
e
(z) em rela~aoao
Total
(z),na dire~ao dopassado.
Esolhemos modelos om omportamentos aima e abaixo dos valores da
densidade de energia esura do modelo CDM, om proposito
ompara-tivo, usando-o omo limite entre os modelos ques~ao ditos phantom, quando
CAPITULO 2. O MODELO PADRAO 16
Os modelosesolhidos s~ao Ia, Ibe IV, ujos par^ametros de densidade de
energia e equa~oes de estado s~ao expostas, respetivamente, nas Figs. 2.2 e
2.3.
0
2
4
6
8
10
12
14
z
-
1.75
-
1.5
-
1.25
-
1
-
0.75
-
0.5
-
0.25
0
w
e
Figura2.3: Evolu~aodaequa~aodeestado!
e
(z)omrela~aoaoredshiftz para
modelos seleionados da Tabela 1. As linhas t^em a mesma rela~ao da Fig. 2.2.
Nas proximas Se~oes investigaremos as onsequ^enias destes diferentes
modelos aos par^ametrososmologios que s~ao relevantes na forma~aode
Modelo de Colapso Esferio
A ferramenta semi-analtia mais simples no estudo de forma~ao de
es-truturas em larga esala e o modelo de olapso esferio [30℄. As equa~oes
de olapso esferio podem ser derivadas da RelatividadeGeral, desde que o
shear (isalhamento)n~aotenha papelsigniante[42℄.
Amaiorpartedosestudossobreoimpatodaenergiaesuranaforma~ao
de estruturas foram realizados sob a hipotese de que esta e uniformemente
distribuda. Neste aso a energia esura afeta apenas a evolu~ao do fundo
homog^eneo.
Oolapsoesferio podesermodiadoparainorporarosefeitosde
ener-giaesura,porexemplo,aabund^aniade aglomeradosdegalaxiasestimadas
dentro do modelo de olapso esferio foram usadas para limitar as
propri-edades do uido de energia esura no aso mais simples de uma onstante
osmologia [17, 18℄, no aso da equa~ao de estado onstante w
e
6= 1
[16,20,25,43,44℄,assimomooasodemodelosdeenergiaesuradin^amios
om algumasparametriza~oes de w
e
(t)[32, 33℄.
3.1 O Colapso Esferio
A equa~ao de ontinuidade (2.45) para ada uido j om densidade de
energiaosmia homog^enea
j
epress~ao p
j =w
j
j
edada por
_
j
+3H
j
(1+w
j
CAPITULO 3. MODELO DE COLAPSO ESFERICO 18
ondeH =a=a_ eopar^ametrodeHubbleeopontodenotaderivadatemporal.
Considere ent~aouma regi~aoesferiamentesimetriade raior e om
den-sidade de energia homog^enea
j
, a hamada distribui~ao top-hat. Suponha
que em um dado instante t tenhamos
j
(t) =
j
(t)+Æ
j
(t). Se noinstante
iniial t i tivermos Æ j (t i
) > 0 esta regi~ao esferiamente simetria
eventual-mente olapsara devido a seu proprio pux~ao gravitaional. Caso ontrario,
Æ
j (t
i
) <0, esta regi~ao se expandira mais rapido do que o uxo de Hubble,
gerando o queonheemos omo vazio.
A equa~ao de ontinuidade destas regi~oes esferias homog^eneas,
simpli-adas(top-hat),podeserdesritaemanalogiaproximaomaequa~aode
on-tinuidade(3.1). Usandoa equa~aode estadopara ohalo, p
j
(t)=w j (t) j (t), obtemos _ j +3h j
1+w
j
=0; (3.2)
onde h=r=r_ ea taxa de expans~ao loal, no interiordo halo.
Note que,emprinpio, poderamoster equa~oes de estado diferentes no
exterior e no interior da regi~ao esferia w
j 6=w
j
. De fato, a diferena entre
aequa~ao de estado loalea dofundo homog^eneo, Æw
j w j w j
,pode ser
relaionada om a veloidade efetiva do som do uido, 2 ef j Æp j =Æ j [45℄,
atravesde
Æw j =( 2 ef j w j ) Æ j
1+Æ
j
: (3.3)
Usualmente 2
ef
e onsiderado omo um par^ametro livre, apesar de que,
rigorosamente, em teoria de perturba~ao o unio outro par^ametro livre e a
verdadeira veloidade do som das inomogeneidades, 2
X
[46℄. Porem a
velo-idadedosom 2
ef
edenida omo araz~aoentre dois graus independentes de
liberdade daperturba~ao,portantotambempodera depender das ondi~oes
iniiais destas perturba~oes. Neste Captulo onsideraremos o aso onde a
equa~ao de estado e a mesma no interior da esfera olapsante e no fundo
homog^eneo,i.e. w
j =w
j
. Destaforma,temos 2
ef
j =w
j
eonsequentemente
Æw
j =0.
No Captulo 6 exploramos, um pouo, a possibilidade da equa~ao de
es-tado da energia esura no halo w
j
ser diferente da equa~ao de estado da
energiaesura nofundo homog^eneow
j
,omo feito em[47℄.
Denimos, de maneira usual, o ontraste de densidade de enrgia de um
dado uidoj pelaequa~ao
CAPITULO 3. MODELO DE COLAPSO ESFERICO 19
Derivando(3.4) om rela~ao aotempo,podemosesrever
_
Æ
j
= 3(1+Æ
j ) _ a a
(1+w
j )
_ r
r
(1+w
j )
;
= 3(1+Æ
j
)(H h)(1+w
j
); (3.5)
onde assumimos que w
j =w
j
. Derivando novamente om rela~aoao tempo
obtemosa seguinte equa~ao n~ao linearpara Æ
j a a r r + _ a 2 a 2 _ r 2 r 2 ! = _ w j
3(1+w
j ) 2 _ Æ j
1+Æ
j +
1
3(1+w
j )
Æ
j
1+Æ
j
1
3(1+w
j ) _ Æ j 2
(1+Æ
j )
2
: (3.6)
Usando (3.5) temos que
_ r 2 r 2 = _ a 2 a 2 2
3(1+w
j ) _ a a _ Æ j
1+Æ
j +
1
9(1+w
j ) 2 _ Æ j 2
(1+Æ
j )
2
: (3.7)
Asegunda equa~aodeFriedmannapliadaaregi~aoesferiaehomog^enea,
top-hat,e
r
r =
4G
3 (
+3p
) : (3.8)
Notequeaesfera de sobredensidade ousubdensidadede energiaa quese
refere a express~ao aima, neessariamente deve ter urvatura k 6=0.
Entre-tanto,aEq. (3.8)eindependentedestaurvatura,omopudemos omprovar
anteriormente, quando enontramos (2.44).
Apliandoasequa~oes defundohomog^eneo,alemde(3.7)e(3.8)em(3.6)
podemosobter aseguinteequa~aode evolu~aon~aolinear paraoontrasteÆ
j
de um uido qualquer
Æ j + 2H _ w j
1+w
j ! _ Æ j "
4+3w
j
3(1+w
j ) # _ Æ 2 j
1+Æ
j =
4G(1+w
j
)(1+Æ
j )
n
X
k=1
(1+3w
k ) k Æ k : (3.9)
CAPITULO 3. MODELO DE COLAPSO ESFERICO 20
enquantoque,asequa~oesdeontinuidade(3.2)s~aovalidasapenasparaada
uido,naaus^enia,e laro,de vnulosadiionaisentre taisuidos,alemdo
gravitaional.
Observe que a hipotese de termos uma equa~ao de estado dependente
do tempo e fundamentalem nossa abordagem de evolu~ao da densidade de
energiaesura eelevada em onsidera~aoem (3.9).
Para um sistema de n uidos que possam ser perturbados via intera~ao
gravitaional, devemos onsiderar n equa~oes tais quais a (3.9), onde ada
uidoj esta gravitaionalmenteaopladoom os demaisatraves dolado
di-reitodaequa~ao,otermoproporionalaonstantegravitaionalde Newton.
3.2 Energia Esura Homog^enea e Evolu~ao
Linear das Perturba~oes
Nesta se~ao exploraremos iniialmente um aso mais simples de
per-turba~oes na omponente n~ao relativstia de materia, pois neste aso
ad-mitiremosquea energiaesuran~aose aglomera,i.e., ontribui apenas omo
parte dofundo homog^eneo emesalas menores doque o horizonte[48℄.
En-tretanto veremos que a energiaesura, mesmo homog^enea,e apaz de
inu-eniara evolu~ao doontrastede materiaalemdoomportamentodofundo
homog^eneo eportantoo resimentode estruturas.
Considerando um Universo omposto por dois uidos, prinipalmente,
materia e energia esuras. A densidade de radia~ao eletromagnetia tem
poua inu^enia, pois sua densidade e pequena e ai rapidamente. Alem
disso, as utua~oes de densidade de materia s~ao onsideras apenas apos o
desaoplamento(z 1000).
Porenquanto,investigaremos apenasumaomponenteompossibilidade
de riar inomogeneidades, a materia. Podemos restringir a express~ao (3.9)
assumindo quea materia tem press~ao zero, p
m
=0, eque a energiaesurae
homog^enea,Æ
e
=0. Alemdissodesprezamosostermosn~aolineares. Obtemos
ent~ao omo aso partiular a bem onheida [49℄ equa~ao de ontraste de
densidade para amateria
Æ
m
+2H(t) _
Æ 3
2 H(t)
2
m
(t)Æ =0; (3.10)
CAPITULO 3. MODELO DE COLAPSO ESFERICO 21
A equa~ao para a evolu~aodo ontraste de densidade de materia servira
melhoraonossos propositosseusarmosomovariaveloredshiftz. Portanto,
alteramosa variavelde t para z.
Sendo que usamosas equa~oes de Friedmann abaixo
H 2
(z)= _ a 2
a 2
= 8G
3
(z); (3.11)
e
a
a =
4G
3
[(z)+3p(z)℄; (3.12)
om (z)=
m
(z)+
e
(z) ep(z)=p
e =w
e (z)
e (z).
Enontramos ent~ao,
Æ 00
m +
"
1
2(1+z)
! 0
e (z)
1+w
e (z)
+ 3
2(1+z) w
e (z)
e (z)
#
Æ 0
m =
= 3
2(1+z) 2
[1+w
e (z)℄
m (z)Æ
m
; (3.13)
onde alinha denota derivada om rela~aoaoredshift z.
Observe que esta transforma~ao,da variavel t para a z, torna mais
apa-renteainu^eniadaenergiaesuraem(3.13),sendoqueaevolu~aodofundo
homog^eneo aindaoorre atraves dopar^ametro de Hubble H(z) presente em
m
(z) e
e
(z),reveja as express~oes (2.56)e (2.57).
Na Fig. 3.1 mostramos a evolu~ao do ontraste de materia normalizado
por seu valor hoje D(z) Æ
m (z)=Æ
m
(0), para os modelos de energia esura
que seleionamos, alem de um aso de interesse omparativo, o de materia
pura, ouseja, =
m =1.
A solu~ao analtia para o aso de materia pura pode ser enontrada
failmenteom o uso da equa~ao (3.10) na variavel a, e da hipotese de que
a solu~aoe do tipo Æ
m =Aa
sendo A e onstantes. Com istotemos que
=1e portanto,Æ
m (z)=Æ
m
(0)=a(z)= 1
1+z .
A equa~ao diferenial (3.13) e resolvida numeriamente om o auxlio
do programa Mathematia 5. Utilizamos o mesmo programa nas demais
equa~oes difereniaisdeste trabalho.
Noteque,omo esperado, perturba~oes mais intensas nopassados~ao
ne-essariaspara alanarmosamesmaamplitudehoje(Fig.3.1),para modelos
CAPITULO 3. MODELO DE COLAPSO ESFERICO 22
0
1
2
3
4
5
z
0.2
0.4
0.6
0.8
1
∆
m
∆
m
0
Figura 3.1: Evolu~ao do ontraste normalizado Æ
m (z)=Æ
m
(0) omo fun~ao do
redshift para os modelos de energia esura seleionados. As linhas s~ao as
mes-mas da Fig. 2.2 e para o aso de materia esura pura, que tem a solu~ao
Æ
m (z)=Æ
m
(0)=a(z) = 1
1+z
, representada pela linha traejada longa.
inibir o resimento de perturba~oes, pelo menos nos asos onde a energia
esuran~ao possui utua~oes.
A inu^enia do fundo de energia esura depende do qu~ao negativa e a
equa~ao de estado e da propor~ao entre materia e energia esura em ada
estagiodaevolu~aoosmia. Obviamentetodas estasquantidades~ao
depen-dentes da esolha da fun~ao !(z), porem a ompreens~ao fsia das
quanti-dades que levam a forma~ao de estruturas e mais failmente vista quando
analisamosestasquantidadesomrela~aoaseus efeitosnaforma~aode
aglo-meradosde galaxias.
CAPITULO 3. MODELO DE COLAPSO ESFERICO 23
0
1
2
3
4
5
z
1
2
3
4
5
X
Figura 3.2: Comportamento da raz~ao X(z)
m (z)=
e
(z) omo fun~ao do
redshift para os mesmos enarios de energia esura da Fig. 2.2. As linhas s~ao
mesmas da referida gura.
de energia esura
X(a)
m (a)
e (a)
=
(0)
m
1
(0)
m e
3 R
1
a
dlnyw(y)
: (3.14)
Para valores grandes de X reuperamoso omportamento dominanteda
materia Æ
m
a. A raz~ao entre a densidade de materia e a densidade de
energia esura X(z) pode ser vista na Fig. 3.2. Note que, para todos os
modelos, exeto o modelo IV, a ontribui~ao de energia esura derese
ra-pidamente om o resimento do redshift. No modelo IV a densidade de
energia esura derese lentamente, mas para redshifts maiores do que 0;5
CAPITULO 3. MODELO DE COLAPSO ESFERICO 24
3.3 Energia Esura Homog^enea e Evolu~ao
N~ao Linear do Halo
Paraprosseguirmosnadesri~aodaevolu~aon~aolineardohalodemateria
eenergiaesura,adotamos omodelode olapsoesferio [30℄ ondeoraior(t)
daregi~aoesferiahomog^eneasobredensaobedeeaequa~aodeRayhaudhuri,
r
r =
4G
3
[+3p℄ 2
3
2
+ 2
3 !
2
+ 1
3 _ v
;
: (3.15)
Esta equa~ao tem sua origem na deomposi~ao do ampo de
quadri-veloidades v
de um uido no espao urvo [50, 51℄. A equa~ao (3.15)
esta expressaemtermos das quantidadesdaosmologiaFLRW apliadasao
halo de materia eenergia esura.
1
10
100
1+z
0.01
0.1
1
10
100
1000
10000
1e+05
1e+06
δ
Figura3.3: Evolu~ao doontrastelineardedensidadedemateria(traos)en~ao
linear (linhalisa) no modeloCDM para valores iniiais esolhidos de tal forma
CAPITULO 3. MODELO DE COLAPSO ESFERICO 25
Considerando um uido isotropio e homog^eneo no halo, n~ao teremos
isalhamento,, nem vortiidade, !, nem gradientes de press~ao, v_
;
, onde o
ponto evrgula denotam derivada ovariante.
Portanto,apos umabreve manipula~ao,temos
r=
3
2
(0)
e
[w(a)+1=3℄e g(a)
r 1
2
(0)
m
(1+
i )
1
r 2
; (3.16)
ondeotempotemedidoemunidadesde1=H
0 e
i
easobredensidadeiniial
naesfera. Note queesta equa~aojafoi obtida antes de outra forma,(3.12).
0
1
2
3
4
5
6
z
1.65
1.66
1.67
1.68
∆
c
z
Figura3.4: Limiar desobredensidade om rela~ao ao redshiftpara os diferentes
modelos onsiderados. As linhas s~ao as mesmas da Fig.2.2.
Resolvemos esta a equa~ao, (3.16), n~ao-linear, numeriamente para um
tempoiniialt
i
ondea(t
i )=10
3
,omasondi~oes iniiaisesolhidasde tal
forma que a esfera que olapsa esta iniialmente no arrasto de Hubble, i.e.
r(t
i
)=a(t
i ) e r(t_
i
)=a(t_
i ).
Utilizando a solu~ao numeria, de maneira interativa, enontramos os
valoresde
i
paraqueoolapsooorrahoje. A evolu~aolinear doontraste
CAPITULO 3. MODELO DE COLAPSO ESFERICO 26
i
que enontramos,o queresulta novalordoontraste de densidade linear
rtio Æ
,queeum importanteelementonoformalismoPress-Shehter [31℄,
disutido noCaptulo seguinte.
NaFig. 3.3mostramos umexemplodomodelo CDMde evolu~aolinear
e n~ao linearpara uma sobredensidade
i =10
4:446
, esolhida de forma que
oolapso dohalo de materia oorra hoje.
EmumUniversodeEinstein-deSitter,ovalorexatoobtidoedeÆ
=1:686
[30℄, e veria-se que seu valor e bastante independente da osmologia de
fundo [22℄.
Todavia, alulamos Æ
(z) nos diferentes modelos, e sua evolu~ao om
rela~aoaoredshiftz. Osresultadosexpostos naFig.3.4mostramquede fato
n~aoha grandes diferenas entre os valores de adamodelo, emonord^ania
om[16,26℄. Usamos osvaloresdeÆ
(z)paraalularaabund^aniadehalos
naproximaSe~ao,quandoent~aoveremosqueexisteumagrandesensibilidade
aovalordoontraste de densidade rtio Æ
Contagens de Aglomerados de
Galaxias
O Universo que observamos, direta ou indiretamente, i.e., a parte
lumi-nosaen~aoluminosademateriabari^oniaeamateriaesura,apareem omo
adensamentossuavesde materiaemumaesala de 200h 1
Mp. Alemdesta
esala, os adensamentos de materia pareem se distribuirhomogeneamente.
Asobserva~oes de galaxias,aglomeradosde galaxiase super aglomeradosde
galaxiaspossuem um amplo intervalo de massas que araterizam estes
sis-temas,aproximadamente 10 9
10 10
M
, 10
11
10 13
M
, 10
12
10 14
M
, e
10 15
M
ondeM
eamassa solar. Estes objetos,ombinados,formama
ha-mada Estrutura em Larga Esala (LSS: Large Sale Struture) doUniverso.
Um desao fundamental na osmologia atual e entender a forma~ao e
evolu~ao das LSS, e para tanto preisamos de um arabouo teorio que
possa fazer previs~oes daforma~aode taisestruturas.
Asteoriasdeforma~aodeestruturast^emomopontodepartidaqueestas
nasemde pequenas perturba~oes dadistribui~aohomog^enea de densidades
de materia e energia no Universo primordial, que na maior partee suposta
ser omposta de materia esura.
Comomateriaesurasupomosumgasn~aorelativstiopresenteemtodos
os aglomerados galatios, a segunda maior omponente do Universo atual,
araterizada por n~ao emitir radia~ao eletromagnetia nem interagir om
esta, possuindo apenas, ou preponderantemente, intera~ao gravitaional.
CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 28
possvelextender este modeloinluindoa possibilidadede intera~oes, outras
quea gravitaional,entre amateria esura ea energiaesura.
A distribui~ao de materia, esura e bari^onia, em estruturas osmias,
oorreomo aglomeradosde galaxias. Onumerode aglomeradosdegalaxias
porunidade de volume em um intervalode massaeomumente hamadode
fun~ao de massa. A determina~ao preisa de tal fun~ao possui diuldades
ainda n~ao totalmenteresolvidas, doponto de vista teorio e observaional.
Umaprevis~aoexata, analtiadafun~aode massaeimpratiavel,mesmo
nos modelos osmologios mais simples, devido a forte n~ao linearidade da
din^amia gravitaionalenvolvidana forma~aode taisobjetos.
4.1 O Formalismo de Press-Shehter
Ha um onsenso geral de que uma boa aproxima~ao que desreve uma
fun~ao de massa em esala osmia naseu em 1974, om a publia~ao do
trabalhode Press &Shehter (PS)[31℄. Este trabalhoprop^osum raionio
heurstio para obter a fun~ao de massa. Seu suesso omeou a ser
reo-nheido em 1988, om a veria~ao dos primeiros resultados de numerosas
simula~oesdeN-orpos,revelandosurpreendentessemelhanasomaformula
dePS.MuitosautorestentaramestenderoformalismodePS, oupropuseram
alternativase.g., [52, 53, 54℄.
Os aglomerados de galaxias s~ao, por suposi~ao, formados por pios na
utua~ao da densidade de materia que s~ao aproximadamente esferios, o
que torna possvel o uso do modelo de olapso esferio na forma~ao destas
estruturas. Com o formalismo de PS podemos obter uma fun~ao de massa
quedaraonumerodesistemasgravitaionalmeteligadosqueestejamemum
erto intervalode massa ou, que exedam uma dada massa.
A prinipal hipotese do formalismo PS e a gaussianidade do ampo de
densidade de materia, adotando o perl de densidade top-hat, om o qual a
ondi~aoparaformarobjetosmaiostomaamediadadensidadedemateria
Æ em torno de ada ponto. A densidade de probabilidade da amplitude das
perturba~oes iniiais,porsuposi~ao, segueuma Gaussiana, assim temos
p(Æ
L ;R )=
1
p
2 e
Æ 2
L
2 2
; (4.1)
CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 29
esfera onde onsideramosesta vari^ania,e.g, o onheido
8
edenido omo
avari^ania dautua~ao linearÆ
L em R 8 =8Mp, 8 (R 8 ).
Ambos, (R ) e Æ
L
s~ao fun~oes do redshift z. Desta forma se assumimos
umadistribui~aoGaussiana,aprobabilidadedetermosum objetoolapsado,
um halo, de massa M om sobredensidade
(z) em um modelo linearizado
maior ouigual aÆ
e f(Æ L Æ
;M)= Z 1 Æ p(Æ L ;R )dÆ
L = 1 p 2(M) Z 1 Æ e Æ 2 L 2 2 (M) dÆ L ; (4.2)
que e suposto ser igual a fra~ao de massa em objetos ligados om M
4 3 m R 3
. Esta probabilidadeorresponde a fra~ao de volume da regi~aoom
ontrastededensidademaiorouigualaoontrastededensidadelinearrtio
Æ
(z)naamostradeUniversoomvolumeM=
m
. Portanto,adiferenaentre
f(Æ
L Æ
;M) e f(Æ
L Æ
;M +dM) representa a fra~ao de volume para a
regi~ao naqualÆ
L =Æ
preisamente.
Estamosinteressados nadensidade numeria omovelde objetos
olapsa-dos emum dadointervalode massa. Para obtermos talquantidadedevemos
tomaraderivadade f om rela~aoaM que forneeaquantidadede objetos
om massaentre M e M+dM. Multipliando por m
M
,oresultado e
onver-tido numa densidade numeria onde
m
ea densidade media de materia.
Oontraste de densidade de um halo preisa ser preisamente iguala Æ
,
poisum objetoomÆ
L >Æ
seria eventualmenteontado omoum objetode
um esala de massa maior. Como ovolume de ada objeto om massa M e
M=
m
,ent~ao obtemosa seguinterela~ao
n(M)dM = 2 m M f(Æ L Æ ;M)
M dM; = 2 m M df d d dM
dM; (4.3)
onde n(M) e a densidade do numero de halos om massa M, i.e., a fun~ao
de massa.
Entretanto, a regi~ao subdensa n~ao e oberta na equa~ao aima. Press e
Shehter simplesmentemultipliaram adensidade numeria pelofatordois.
O metodo mais onavel para se estudar a abund^ania de aglomerados
de galaxias no Universo e atraves de simula~oes numerias. Entretanto, a
CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 30
resultadosde simula~oes de N-orpos[55℄. Existemaproxima~oesmelhorese
mais reentes om par^ametroslivres extras, omo[53℄ e[52℄. Todavia
onti-nuaremos, porenquanto,nossaexplana~aoomabemonheidaabordagem
de PS.
Note queneste formalismo apenas quantidadeslineares s~aousadas.
Comestasonsidera~oeseousode(4.2)em(4.3),levamabemonheida
formulaanaltiapara adensidade omovelde halosde massa olapsadosno
intervalode massa M e M+dM emum redshift z.
dn
dM
(M;z)= s 2 m M Æ (z) (M;z)
dln(M;z)
dM exp " Æ 2 (z) 2 2 (M;z) # ; (4.4) onde m
e a densidade de materia media do Universo e Æ
(z) e a densidade
rtia, i.e., a extrapola~aolinear doontrastede densidade limiteaima da
qualestruturas olapsam, ouseja,Æ
(z)=Æ(z =z
ol ).
A vari^ania dautua~aolinear Æ
L ,
(M;z)=D(z)
M
; (4.5)
e a utua~ao de densidade em esferas de raio omovel R ontendo a massa
M. D(z)Æ
L (z)=Æ
L (0).
Aesala Resempreespeiada pelamassaepelovolumedenidos pela
fun~ao janela dotempo presente, veja e.g. [56℄. Em nossa analise usamos o
ajustedado por [18℄
M = 8 M M 8 (M)=3 ; (4.6) onde M 8
= 6 10 14 (0) m h 1 M
e a massa de uma esfera de raio R
8 = 8h 1 Mp, e 8
e a vari^ania da utua~ao da densidade suavizada em uma
esala de R
8
. O ndie e fun~ao da massa e do fator de forma, =
(0) m h e b b = (0) m ( b
= 0:05 e o par^ametro de densidade bari^onia), do
espetro de pot^enia damateria[18℄,
(M)=(0:3 +0:2) 2:92+ 1 3 log 10 M M 8 : (4.7)
Denotando ~(M)=
dln(M;z)
dM ,
~
CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 31
podemos reesrever (4.4) omo
dn
dM
(M;z)= s
2
m0
M Æ
(z)
(M;z) ~
(M) exp "
Æ
(z)
2
2(M;z) 2
#
: (4.9)
0
1
2
3
4
z
0
2
4
6
8
10
12
14
dn
dM
H
10
18
Mpc
3
L
0
1
2
3
4
5
z
-
1
0
1
2
D
dn
dM
H
10
18
Mpc
3
L
z
Figura 4.1: Fun~oes de massa Press-Shehter para modelos diferentes, todos
normalizados a ummesmo valor emz =0. As linhas~ao as mesmas da Fig.2.2.
Para um
8
xo o numero de halos de materia previstos, dados pela
formulaaima,euniamenteafetadopelosmodelosde energiaesuraatraves
daraz~aoÆ
(z)=D(z). Paraompararmosdiferentesmodelosnormalizamosas
fun~oes de massaa um mesmovalorhoje,ou seja,emz =0,om rela~aoao
modelo CDM, i.e., impomosque
M
8 =
Æ M
(z =0)
Æ
(z =0)
8
; (4.10)
onde ondie M india um dado modelo M, onde usamos
8
= 0:76 [8℄.
MostramosnaFig.4.1oresultadodealgumasfun~oes demassadediferentes
modelos.
O efeito da energia esura sobre os halos de materia e estudado pelo
alulode duas quantidades. A primeiraeonumerode halos de materiaem
um dado intervalode massaem todaa esfera eleste, N
bin
(z), dado por
N
bin (z)=
Z
4 d
Z
M
sup
M
dn
dM
(M;z) dV
dzd
CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 32
onde oelementode volume omovele dado por
dV(z)
dzd =
r 2
(z)
H(z)
; (4.12)
sendo quer(z)= R
z
0 H
1
(x)dxea dist^ania omovel.
A evolu~ao do elemento de volume omovel dV=dzd om rela~ao ao
redshiftparaosdiferentesmodelosdeenergiaesuras~aomostradosnaFig.4.2.
Note que o elemento de volume omovel n~ao depende das perturba~oes na
materia Æ
m
(z), depende apenas do omportamento do fundo de uidos. O
volume omovel e maior para equa~oes de estado mais negativas, pois isto
impliaemuma maioraelera~aona expans~ao,ompare as Figs. 2.3e 4.2.
0
2
4
6
8
10
z
0
1
2
3
4
5
dv
dzd
W
H
Mpc
3
10
10
L
Figura4.2: Evolu~ao do elemento de volumeomovelom respeito ao redshift
para os quatro enarios onsiderados ate aqui. As linha s~ao as mesmas da
Fig.2.2.
A segunda quantidade om rela~ao a estruturas emlarga esala que
al-ulamoseo numero de aglomerados de galaxias integradona esfera eleste,
aimade uma dada massa M
inf
, eate um redshift z [26℄
N(z;M >M
inf )=
Z
4 d
Z
1
M
inf Z
z
0 dn
dM dV
dz 0
d
dMdz 0
CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 33
4.2 Contagens de Aglomerados de Galaxias
As modia~oes ausadas pelaomponente de energia esura nonumero
deaglomeradosdegalaxiasnaformadeaglomeradosdematerias~aotestados
eonfrontados om o modelo de onstante osmologiaCDM.
0
1
2
3
4
z
0
5
10
15
20
25
N
bin
10
6
0
0.5
1
1.5
2
z
0
5
10
15
20
25
30
N
bin
10
4
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
0
10
20
30
40
50
N
bin
Figura 4.3: N umero de aglomerados de glaxias fun~ao do redshift para halos
emintervalosdemassa10 13
<M=(h 1
M
)<10
14
(quadrosuperioresquerdo),
10 14
< M=(h 1
M
)<10
15
(quadro superior direito) e 10 15
<M=(h 1
M
)<
10 16
(quadro inferior). A linha lisa orresponde ao modelo de CDM. Note os
fatores de normaliza~ao N
bin
10 6
e N
bin
10 4
nos quadros superiores da gura. As linhas
s~ao as mesmas da Fig. 2.2.
Examinamososefeitosdealgumasparametriza~oesdeequa~oes deestado
ilus-CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 34
trandodiferentes lasses,ou ordensde grandeza, de estruturas osmias. Os
intervalosqueusamosforam[10 13
;10 14
℄,[10 14
;10 15
℄e[10 15
;10 16
℄emunidades
de h 1
M
.
O numero de aglomerados de galaxias num dado intervalo de massa
N
bin
= dN=dz, obtido em (4.11), s~ao mostrados na Fig. 4.3. Em ada aso
destas gurasexpomos oefetivonumero de aglomerados galatios.
0
1
2
3
4
z
-
10
-
5
0
5
D
N
bin
10
6
z
0
0.5
1
1.5
2
z
-
10
-
8
-
6
-
4
-
2
0
2
4
D
N
bin
10
4
z
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
z
-
4
-
2
0
2
D
N
bin
z
Figura4.4: Diferenados modelosdaFig.4.3omorela~aoao modeloCDM,
sendoN
bin N
M
bin N
bin
. Osintervalosde massas~ao os mesmosdaFig.4.3.
Note as diferentes esalas de z entre os quadros e os fatores de normaliza~ao
N
bin
10 6
e N
bin
10 4
nos quadros superiores da gura. As linhas s~ao as mesmas da
Fig.2.2.
Reparequeestruturasommaiormassas~aomenosabundantese
formam-se mais tarde, omo deveria ser em modelos de forma~aohierarquia de
CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 35
de aglomerados de galaxias nos diferentes modelos de energia esura
onsi-derados.
Paraquepossamosompararmelhorosmodelosentresi,eomnosso
mo-delo padr~aoCDM, subtramos os valores N M
bin
, de ada modelo dos valores
de N
bin
do modeloCDM, omopode ser vistona Fig.4.4.
0
1
2
3
4
z
0
5
10
15
20
25
N
10
6
0
1
2
3
4
z
0
5
10
15
20
N
10
4
0
0.2 0.4 0.6 0.8
1
1.2 1.4
z
0
5
10
15
20
N
Figura 4.5: N umero de aglomerados de galaxias integrado ate o redshift z.
Os intervalos de massa s~ao os mesmos da Fig. 4.3, 10 13
< M=(h 1
M
) <
10 14
(quadro superior esquerdo), 10 14
< M=(h 1
M
) <10 15
(quadro superior
direito) e 10 15
< M=(h 1
M
) < 10 16
(quadro inferior). Note os fatores de
normaliza~ao N
10 6
e N
10 4
nosquadrossuperioresdagura. Aslinhass~aoasmesmas
da Fig. 2.2.
Adiferenaentre osmodelosresultade umaompeti~aoentre os
CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 36
Eq. (4.11).
Aima deste redshift o elemento de volume omovel n~ao varia
signia-tivamente, onde ent~ao as perturba~oes tornam-se as fontes dominantes na
arateriza~ao de diferenas entre os valores dos numeros de aglomerados
N
bin
(z) de adamodelo.
1
2
3
4
z
-
0.4
-
0.2
0
0.2
D
N
N
L
z
1
2
3
4
z
-
0.3
-
0.2
-
0.1
0
0.1
D
N
N
L
z
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
z
-
0.06
-
0.04
-
0.02
0
0.02
0.04
0.06
D
N
N
L
z
Figura 4.6: Diferenas absolutas do n umero de aglomerados integrado ate
o redshift z. Os intervalos de massa s~ao os mesmos da Fig. 4.3, 10 13
<
M=(h 1
M
) < 10 14
(quadro superior esquerdo), 10 14
< M=(h 1
M
) < 10 15
(quadro superior direito) e 10 15
< M=(h 1
M
) < 10 16
(quadro inferior). As
linhas s~ao as mesmas da Fig. 2.2.
Uma outra importante quantidade observaional e o numero de
estru-turas aima de uma dada massa obtida om o uso de (4.13).
Apresen-tamos os resultados do numero de halos integrado om massa aima de
10 13
h 1
M , 10 14
h 1
M e 10 15
h 1
CAPITULO 4. CONTAGENSDE AGLOMERADOS DE GALAXIAS 37
Fig. 4.5. Nos quadros da Fig. 4.6 mostramos as diferenas absolutas, (N
N
)=N
, om respeito ao nosso modelo duial CDM. Interrompemos a
integra~aonumeria emM
sup =10
18
h 1
M
na Eq.(4.13).
Observeoplat^ononumerode aglomerados integradoquereeteaepoa
de forma~ao de aglomerados de uma dada massa. Em outras palavras, n~ao
ha forma~ao de estruturas om massa aima de 10 13
h 1
M
, 10
14
h 1
M
e
10 15
h 1
M
pararedshiftsaproximadamenteaimade z =2,z =1ez =0:6,
respetivamentenosquadros superioresquerdo, superiordireito einferiorna
Energia Esura Inomog^enea
Amaiorpartedosestudossobreoimpatodaenergiaesuranaforma~ao
de estruturas foram realizados sob a hipotese de que a energia esura esta
uniformemente distribuda. Nestes asos, a energia esura afeta apenas as
quantidadesdofundohomog^eneo,tendoaindaassimalgumainu^eniasobre
oresimento de estruturas de materia, omo vimosnoCaptulo anterior.
Neste Captulo exploraremosum aso umpouo mais omplexodoqueo
anterior,ondealemdeutua~oesnaomponenten~aorelativstiademateria,
admitimosutua~oes naomponenteresponsavel pelareenteexpans~ao
ae-leradado Universo. Permitiremos que aenergia esurase aglomere, ouseja,
que ontribua omo parte do fundo homog^eneo em esalas menores do que
o horizonte, e que tambem inuenie diretamente o onteudo da densidade
de energiadaesfera emolapso, omuma novafontede gravita~ao,quetem
press~aonegativae variavel.
Enontramos asequa~oes difeniais n~ao lineares aopladas que mostram
o resimento destas utua~oes, em regi~oes simetriamente esferias sob a
hipotese de perl top-hat. O aoplamento entre os uidos, neste aso, e
apenas atravesda intera~ao gravitaional.
Mostraremos omo o ontraste da omponente de materia inuienia o
resimento das utua~oes daenergia esura,que porsua vez, altera o
om-portamento do halo de materia, mais intensamente de que quando e
ho-mog^enea. Mostraremosaindaque,aanergiaesura,emsuasvers~oesphantom
en~ao phamtominduzem efeitos ontrarios nohalo de materia.
CAPITULO 5. ENERGIA ESCURA INOMOGENEA 39
de estruturas formadas.
5.1 Evolu~ao N~ao Linear das Perturba~oes
Destaveztemosdoisuidosomutua~oes,materian~aorelativstia,que
inluimateriabari^oniaemateriaesuraeenergiaesuraqueearaterizada
por sua equa~ao de estado.
As regi~oes esferias om perl de densidade top-hat evoluem de aordo
om o sistema de equa~oes deduzido anteriormente. Usando (3.9) para dois
uidosque om utua~oes de densidade, temos
Æ m +2H _ Æ m 4 3 _ Æ 2 m
(1+Æ
m ) = 3 2 H 2
(1+Æ
m )[
m Æ
m
+(1+3w
e )
e Æ
e
℄ ; (5.1)
Æ e + 2H _ w e
1+w
e _ Æ e "
4+3w
e
3(1+w
e ) # _ Æ 2 e
1+Æ
e = 3 2 H 2
(1+w
e
)(1+Æ
e )[
m Æ
m
+(1+3w
e )
e Æ
e
℄ ; (5.2)
ondeÆ
m
eoontrastede densidadedemateriaeÆ
e
eoontrastededensidade
de energia esura. Este e o sistema de equa~oes n~ao lineares aopladas que
estudaremosnas proximas Se~oes.
5.2 Evolu~ao Linear das Perturba~oes
O regimelinear das perturba~oes e failmenteextradodo sistema
(5.1)-(5.2). Desprezando os termos de ordem O(Æ 2
), obtemos o sistema linear
aoplado Æ m +2H _ Æ m = 3 2 H 2 [ m Æ m
+(1+3w
e )
e Æ
e
CAPITULO 5. ENERGIA ESCURA INOMOGENEA 40 Æ e + 2H _ w e
1+w
e _ Æ e = 3 2 H 2
(1+w
e )[
m Æ
m
+(1+3w
e )
e Æ
e
℄ : (5.4)
Podemosusarqualquerparametriza~aoparaaenergiaesuraomofun~ao
do tempo ou doredshift. Entretanto, seremosmais autelosos neste modelo
emquea energiaesuraaglomera. Iniialmenteempregaremos aequa~aode
estado w
e
=onstante.
Considere asEqs. (5.3)e(5.4) noperodoemquea materiaedominante
(z = 10 3
), quando podemos assumir que
e
0 e
m
1 no sistema
aoplado(5.1)-(5.2). Realizando uma mudanade variavel de t para a om
d
dt =a_
d
da
=H(a)a d da ; (5.5) e d 2 dt 2 = 1 2
[1+3w(a)℄ H(a)a d da +H 2 (a)a 2 d 2 da 2 ; (5.6)
onde usamosque _
H = 3
2
(1+3w)H 2 , obtemos Æ 00 m + 3 2a Æ 0 m 3 2a 2 Æ m
=0; (5.7)
Æ 00 e + 3 2a Æ 0 e 3 2a 2
(1+w
e )Æ
m
=0; (5.8)
onde alinha denota derivada om rela~aoaofator de esala a.
A solu~ao de (5.7) para o modo resente do ontraste de densidade de
materia, e Æ
m = 1 a, onde 1
e uma onstante arbitraria. Em (5.8) o
on-trastede materiaeumafonteparao resimentode perturba~oes naenergia
esura. Substituindo a solu~ao resente do ontraste de materia em (5.8),
enontramos asolu~aodomodo resente do ontraste de energiaesura
Æ
e =
1
[(1+w
e )a+
2
℄=(1+w
e )Æ m " 1+ 3
(1+w
e )a
#
: (5.9)
Esta solu~aomostra queÆ
e
!(1+w
e )Æ
m
para (1+w
e )a 3 . Mesmo omÆ e
0emuminstanteiniial,jÆ
e
jreseraatequeoequilbrioaimaseja
CAPITULO 5. ENERGIA ESCURA INOMOGENEA 41
Einteressantenotarqueaondi~aodeequilbrioÆ
e
=(1+w
e )Æ
m
e
onhe-ida omo modo \adiabatio", pois pode ser obtida onsiderando-se que as
expans~oes ouontra~oes dohalo oorremsem troade energiaom o fundo
[49℄. Ademais, note que, as utua~oes iniiais oorrem em um perodo em
que a materia e dominante. Qualquer queseja ovaloriniial das utua~oes
na energia esura este valor tendera a ser suprimido ou inrementado para
que oorra o equilbrio adiabatio imposto, pela omponente de materia e
pelaequa~ao de estadoda propria energia esura.
Devemosobservaraindaque,oasodomodeloCDMn~aopermitequeas
utua~oes naenergiaesuraresam, poisw
e
= 1, logoÆ
e
=(1 1)Æ
m =0.
Finalmente,onsidereadistin~aodeomportamentoqueasutua~oesna
energia esura possuem, quando temos um modelo n~ao phantom, w
e
> 1,
eum modelo phantom,w
e
< 1,quando onsideramosoequilbriodomodo
adiabatio.
A obedi^enia da adiabatiidade oorre enquanto tivermos a raz~ao entre
ontrastes Æ
e (t)=Æ
m
(t) = [1+w
e
(t)℄, o que leva o modelo n~ao phantom a
promover a aglomera~ao da energia esura quando a materia aglomera, ou
a promover a rarefa~ao da energia esura quando a materia e subdensa em
rela~aoao fundo, Æ
m
(z)<0.
Omodelophantomporoutrolado, promoveum omportamento
simetri-amenteontrario, i.e.,asobredensidade de materiapromoveuma
subdensi-dadede energia esura. Emoutraspalavras,quando temoshalos de materia
temos vazios de energia esura, e vie-versa. Esse e um omportamento
oposto quantoa forma~ao de halos entre osdois uidos.
O efeito das perturba~oes de energia esura sobre a evolu~ao das
per-turba~oes de materia pode ser entendida de maneira pitoria. Como
vi-mos, o ontraste de materia pode ser visto omo uma fonteque alimentaas
perturba~oes da energia esura e esta por sua vez retroalimenta o sistema
servindo omouma fontemais fraa para asperturba~oes da materia.
Quantoa forma~aode halos de materia, uma sobredensidade de energia
esura diminui a ei^enia om que a materia aglomera, o que de fato e
intuitivo, pois uma onentra~ao loal de energia esura e uma inu^enia
maiordoqueofundoparaaexpans~ao. Istooorreapenasnosasosdeenergia
esura n~ao phantom. Analogamente nos asos de energia esura phantom,
quandotemos umasubdensidade deenergiaesura, amateria aglomeraom
maior ei^enia, pois a onentra~ao de energiaesura no interior dohalo e
