CENTRO DE CIˆ
ENCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE P ´
OS-GRADUAC
¸ ˜
AO EM MATEM ´
ATICA
APLICADA E ESTAT´ISTICA
M´
etodos Num´
ericos para Resolu¸c˜
ao de Equa¸c˜
oes
Diferenciais Ordin´
arias Lineares Baseados em
Interpola¸c˜
ao por Spline
Thiago Jefferson de Ara´
ujo
Orientador:
Prof. Dr. Nir Cohen
CENTRO DE CIˆ
ENCIAS EXATAS E DA TERRA
PROGRAMA DE P ´
OS-GRADUAC
¸ ˜
AO EM MATEM ´
ATICA
APLICADA E ESTAT´ISTICA
M´
etodos Num´
ericos para Resolu¸c˜
ao de Equa¸c˜
oes
Diferenciais Ordin´
arias Lineares Baseados em
Interpola¸c˜
ao por Spline
Thiago Jefferson de Ara´ujo
Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica Aplicada e Es-tat´ıstica da Universidade Federal do Rio Grande do Norte (PPGMAE - UFRN) como requisito par-cial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ma-tem´atica Aplicada e Estat´ıstica.
Diferenciais Ordin´
arias Lineares Baseados em
Interpola¸c˜
ao por Spline
Este exemplar corresponde `a reda¸c˜ao final,
defen-dida por Thiago Jefferson de Ara´ujo e aprovada
pela comi¸c˜ao julgadora.
Natal, agosto de 2012
Banca Examinadora:
• Prof. Dr. Nir Cohen
• Prof. Dr. Allan de Medeiros Martins
Neste trabalho desenlvolvemos um m´etodo de resolu¸c˜ao de problemas de valor inicial com equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias baseado em splines, com ˆenfase em equa¸c˜oes lineares. O m´etodo serve como alternativa para os m´etodos tradicionais como Runge-Kutta e no caso linear com coeficientes constantes, evita o c´alculo de ra´ızes de polinˆomios. O m´etodo foi aplicado para um problema central da teoria de controle, o problema de resposta a degrau para uma EDO linear, incluindo o caso de coeficientes n˜ao-constantes, onde a al-ternativa pelo c´alculo de ra´ızes n˜ao existe. Implementamos um algoritmo eficiente que usa apenas opera¸c˜oes tipo matriz-vetor. O intervalo de trabalho (at´e o tempo de acomoda¸c˜ao) para as equa¸c˜oes est´aveis com coeficientes constantes ´e determinado pelo c´alculo da raiz menos est´avel do sistema, a partir de uma adapta¸c˜ao do m´etodo da potˆencia. Atrav´es de simula¸c˜oes, comparamos algumas variantes do m´etodo. Em problemas lineares gerais com malha suficientemente fina, o novo m´etodo mostra melhores resultados em compara¸c˜ao com o m´etodo de Euler. No caso de coeficientes constantes, onde existe a alternativa ba-seada em c´alculo das ra´ızes, temos indica¸c˜oes que o novo m´etodo pode ficar competitivo para equa¸c˜oes de grau bastante alto.
PALAVRAS CHAVE:Equa¸c˜ao Diferencial Ordin´aria Linear; Estabilidade Assint´otica e Transiente; M´etodo da Potˆencia; M´etodos de Interpola¸c˜ao por Spline.
In this work we have elaborated a spline-based method of solution of inicial value problems involving ordinary differential equations, with emphasis on linear equations. The method can be seen as an alternative for the traditional solvers such as Runge-Kutta, and avoids root calculations in the linear time invariant case.
The method is then applied on a central problem of control theory, namely, the step response problem for linear EDOs with possibly varying coefficients, where root calcula-tions do not apply. We have implemented an efficient algorithm which uses exclusively matrix-vector operations. The working interval (till the settling time) was determined through a calculation of the least stable mode using a modified power method.
Several variants of the method have been compared by simulation. For general linear problems with fine grid, the proposed method compares favorably with the Euler method. In the time invariant case, where the alternative is root calculation, we have indications that the proposed method is competitive for equations of sifficiently high order.
KEY WORDS: Linear Ordinary Differential Equation; Asymptotic Stability and Transient; Power Method; Spline Methods.
”Esse trabalho ´e dedicado a minha m˜ae pelo amor
incondicional e por ter sempre me motivado a
es-tudar.”
Agrade¸co ao professor Nir Cohen (UFRN) pela orienta¸c˜ao, pelos concelhos pessoais e por compartilhar um pouco da genialidade e humor.
Agrade¸co a Anna Rafaella por estar ao meu lado durante todo o per´ıodo que fui aluno do PPGMAE, pelo carinho e por todo apoio que me deu me ajudando sempre que precisei.
Ao professor Marcelo Gomes (UFRN) por tudo que me ensinou durante a minha gradua¸c˜ao, pelo exemplo de professor e pessoa que eu tanto tento me espelhar e por entender as dificuldades que passei na ´epoca, muito obrigado.
A professora Viviane Simioli (UFRN) por ter me ajudado em diversos momentos al´em do per´ıodo em que fui seu aluno e por ser uma excelente professora.
Ao professor Roberto Hugo (UFRN) que durante a disciplina de Otimiza¸c˜ao me levou a estudar assuntos que foram fundamentais para que eu pudesse escrever esse trabalho.
Ao professor Allan de Medeiros (UFRN) por participar da minha qualifica¸c˜ao, da minha defesa e por ter ajudado diversas vezes na constru¸c˜ao desse trabalho.
A professora D´ebora Borges (UFRN) por ter participado da minha banca qualifica¸c˜ao.
Ao professor Daniel Cordeiro (UFCG) por participar da banca da minha Defesa e pelas sugest˜oes.
A CAPES por ter me concedido bolsa durante boa parte do mestrado.
Aos servidores do CCET.
A todos os meus amigos e familiares.
2.1 Itera¸c˜oes do m´etodo da Potˆencia aplicado a matriz do exemplo 2.1 . . . 31
2.2 Itera¸c˜oes do m´etodo da Potˆencia Adaptado aplicado a matriz do exemplo 2.2 38
2.3 EDO’s lineares com coeficientes constantes para estudar o tempo de aco-moda¸c˜ao . . . 42
3.1 Resolu¸c˜ao do exemplo 3.5 pelo m´etodo da Suavidade com s= 100 e xf = 20 69
3.2 Compara¸c˜ao entre as solu¸c˜oes do exemplo 3.7 pelo m´etodo de Euler e pelo m´etodo da Suavidade com o c´alculo dos autovalores . . . 77
3.3 Compara¸c˜ao entre as solu¸c˜oes do exemplo 3.7 pelo m´etodo de Euler e pelo m´etodo da Suavidade . . . 78
3.4 Compara¸c˜ao entre as solu¸c˜oes do exemplo 3.8 pelo m´etodo de Euler e pelo m´etodo da Suavidade e pelo c´alculo dos autovalores . . . 79
3.5 Compara¸c˜ao entre as solu¸c˜oes do exemplo 3.8 pelo m´etodo de Euler e pelo m´etodo da Suavidade . . . 81
1.1 Gr´afico da solu¸c˜ao do exemplo 1.5 . . . 14
1.2 EDO (exemplo 1.6) onde a parte real dos autovalores ´e nula . . . 17
1.3 EDOs estav´eis (a parte real de todos os autovalores ´e negativa) . . . 18
1.4 EDOs inst´aveis (a parte real de um dos autovalores ´e positiva) . . . 19
1.5 Solu¸c˜ao das EDOs das equa¸c˜oes 1.14, 1.14, 1.16 e 1.17 . . . 22
2.1 An´alise do tempo de acomoda¸c˜ao das EDO’s da tabela 2.4 . . . 43
3.1 Gr´afico da solu¸c˜ao do exemplo 3.1 . . . 48
3.2 Spline c´ubico para aproxima¸c˜ao do c´alculo de uma EDO . . . 53
3.3 Solu¸c˜ao Exata (tracejado) e spline calculado pelo m´etodo da Sub-parti¸c˜ao . 56 3.4 Solu¸c˜ao Exata (tracejado) e spline calculado pelo m´etodo da Suavidade . . 61
3.5 Solu¸c˜ao Exata (tracejado) e spline calculado pelo m´etodo da Suavidade Implementado . . . 70
3.6 Exemplo de como aplicar o m´etodo da Suavidade Adaptado a uma EDO de grau 6 . . . 72
3.8 Solu¸c˜ao da EDO do exemplo 3.7 pelo m´etodo de Euler com s = 175 e da Suavidade coms = 70 . . . 78
3.9 Solu¸c˜ao da EDO do exemplo 3.8 pelo m´etodo de Euler e da Suavidade . . . 80
Introdu¸c˜ao 2
1 Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias Lineares 5
1.1 Transformada de Laplace . . . 5
1.2 Fra¸c˜oes Parciais . . . 6
1.3 Solu¸c˜ao e An´alise da Estabilidade de EDO’s Lineares Com Coeficientes Constantes . . . 11
1.4 Pontos Cr´ıticos da Solu¸c˜ao de EDO’s Lineares com Coeficientes Constantes de Grau 2 . . . 19
1.5 Sistemas de Equa¸c˜oes Lineares de Primeira Ordem . . . 23
2 M´etodo da Potˆencia 25
2.1 M´etodo da Potˆencia para Matrizes com um ´Unico Autovalor Dominante . . 27
2.2 M´etodo da Potˆencia para Matrizes com um Par de Autovalores Dominantes Complexos Conjugados . . . 31
2.3 M´etodo da Potˆencia para o C´alculo do Autovalor com Maior Valor Absoluto de uma Matriz . . . 38
3 M´etodos Splines para o C´alculo Aproximado da Solu¸c˜ao de EDOs 45
3.1 Spline . . . 46
3.2 M´etodo da Sub-parti¸c˜ao . . . 48
3.3 M´etodo da Suavidade . . . 57
3.4 m´etodo da Suavidade Adaptado . . . 70
3.5 Resultados Num´ericos . . . 75
Conclus˜ao 82
A Propriedades B´asicas da Transformada de Laplace 84
B Estabilidade Assint´otica de EDOL’s com Coeficientes Constantes 86
C Programa¸c˜ao no MATLAB 88
Um problema de valor inicial com Equa¸c˜ao Diferencial Ordin´aria de Linear com Co-eficientes Constantes pode ser resolvido pelo M´etodo de Euler (ou m´etodos gerais de Runge-Kutta), ou a partir do conhecimento do polinˆomio caracter´ıstico da equa¸c˜ao (ver, por exemplo, Boyce e Di Prima [2] e o cap´ıtulo 1 desse trabalho). Por´em esse ´ultimo m´etodo ´e algo limitado `a EDO’s Lineares com Coeficientes Constantes e mesmo nesse caso o custo computacional para o c´alculo dessas ra´ızes pode ser alto, a depender do grau da equa¸c˜ao.
Neste trabalho ser´a desenvolvido um m´etodo alternativo, baseado na teoria de splines, que evita o c´alculo das ra´ızes e ´e numericamente competitivo com o m´etodo de Euler.
A motiva¸c˜ao deste trabalho ´e a an´alise de resposta ao degrau, e em particular do regime transit´orio, dentro da teoria de sistemas dinˆamicos na engenharia, usado na an´alise de fun¸c˜oes de transferˆencia para sistemas lineares com coeficientes constantes. Isto ´e baseado no fato que a resposta a degrau define completamente a fun¸c˜ao de transferˆencia (Lathi [7]), ou seja, permite recuperar completamente o sistema linear.
O estudo de sistemas est´aveis trata, de um lado, o regime transit´orio, que engloba a solu¸c˜ao em tempo limitado, e o regime permanente, onde o sistema aproxima-se do equil´ıbrio, ou seja, do seu valor assint´otico. Ressaltamos que a an´alise do regime tran-sit´orio ´e uma parte importante de algumas aplica¸c˜oes, por exemplo, em sistemas de alta tens˜ao, agendamento de controladores (gain scheduling) na avia¸c˜ao, ou o estudo de choque e amortecimento para sistemas de v´arios tipos.
Em sistemas lineares, enquanto a parte real dos autovalores define o regime permanente e a estabilidade assint´otica, o regime transit´orio ´e pouco estudado em termos espectrais e normalmente ´e calculado numericamente. Um artigo recente, Cohen e Lewkowicz [4], liga a qualidade do regime transit´orio `a riqueza do conjunto de fun¸c˜oes de Lyapunov do sistema, embora ainda falte testes num´ericos para essa afirma¸c˜ao.
Neste trabalho adotamos uma abordagem diferente para a resolu¸c˜ao de problemas de valor inicial, baseada em splines polinomiais. Esta abordagem permite a descri¸c˜ao num´erica eficiente da solu¸c˜ao no regime transit´orio, para sistemas est´aveis, e com isso, uma an´alise qualitativa da solu¸c˜ao. Apesar de ser um m´etodo geral, assim como o m´etodo de Euler, capaz de tratar equa¸c˜oes gerais, o m´etodo ´e particularmente bem comportado no caso de equa¸c˜oes lineares invariantes no tempo (LIT).
Splines s˜ao usados principalmente em problemas de interpola¸c˜ao, onde uma curva suave deve ser encontrada, passando em alguns pontos dados. O spline ´e determinado atrav´es de dois tipos de restri¸c˜oes: as restri¸c˜oes de interpola¸c˜ao nos pontos dados e res-tri¸c˜oes de suavidade entre duas se¸c˜oes vizinhas do spline. Aqui, no lugar de condi¸c˜oes de interpola¸c˜ao, as condi¸c˜oes for¸cam a curva a satisfazer a EDO em alguns pontos da curva. Na medida em que pudemos verificar, n˜ao encontramos esta ideia natural do uso de splines na literatura.
O m´etodo de splines requer a solu¸c˜ao de sistema linear em cada passo, para determinar os coeficientes de um k-´esimo polinˆomio. Aqui, apresentamos e comparamos duas vari-antes que chamamos o M´etodo da Sub-parti¸c˜ao e o M´etodo da Suavidade. Comparando os dois, o m´etodo de Sub-parti¸c˜ao apresenta menos suavidade, mas melhor aderˆencia `a equa¸c˜ao diferencial.
Nosso m´etodo evita completamente a necessidade de calcular ra´ızes de um polinˆomio. Por´em, uma op¸c˜ao vi´avel ´e a an´alise do modo principal de estabilidade, ou seja, a raiz com a maior parte real. Com isto, pode-se ser calculado o tempo de acomoda¸c˜ao do sistema, onde o sistema passa para o regime permanente, permitindo a determina¸c˜ao do intervalo de trabalho para o m´etodo de splines. Aqui existem duas possibilidades: caso o modo principal for real, ele ´e calculado usando o m´etodo da potˆencia aplicado na matriz associada com a EDO (ver, por exemplo, Poole [12]). O caso de duas ra´ızes complexas conjugadas requer uma adapta¸c˜ao do m´etodo da potˆencia, que apresentamos em Cap´ıtulo 2.
Equa¸c˜
oes Diferenciais Ordin´
arias
Lineares
1.1
Transformada de Laplace
Nesse trabalho a Transformada de Laplace ser´a usada unicamente com o intuito de resolver Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias Lineares, visto que ela permite resolver essas equa¸c˜oes a partir de opera¸c˜oes com equa¸c˜oes polinomiais que ´e bem mais simples de se realizar, por´em ela pode ser usada em diversas situa¸c˜oes. Pode encontrar mais detalhes sobre o assunto Ogata [10] e em Madureira [8], trataremos aqui apenas os resultados essenciais para o desenvolvimento do trabalho.
Defini¸c˜ao 1.1. Se y ´e uma fun¸c˜ao complexa, definida para todo t≥ 0 e s ´e um n´umero complexo onde s =p+qi, com p, q ∈R donde para cada p >0 a integral
Y(s) = Ly(s) = L[y(t)] =
∫ ∞
0
e−sty(t)dt (1.1)
´e convergente, ent˜ao a fun¸c˜ao Y ´e chamada de transformada de Laplace da fun¸c˜ao y.
A Transformada de Laplace de uma fun¸c˜ao satisfaz as seguintes propriedades:
p1 : L[a1y1 +a2y2] =a1L[y1] +a2L[y2], (linearidade)
p2 : L[y(k)] = skL[y]−sk−1y(0)−sk−2y(1)(0)−...−sy(k−2)(0)−y(k−1)(0)
p3 : L[eat] =
1 s−a
onde a, a1, a2 ∈ C e y, y1 e y2 s˜ao fun¸c˜oes definidas para todo t ≥ 0 e y(i) denota a
i-´esima derivada de y.
Para calcular o valor de y(t) = eλt quando o valor de λ ´e complexo, ser´a aplicada a Rela¸c˜ao de Euler.
Rela¸c˜ao de Euler: Para todo n´umero real r vale a seguinte rela¸c˜ao
eri = cos(r) +i sen(r). (1.2)
Se λ=c+di, ondec, d∈R ent˜ao, pela Rela¸c˜ao de Euler, temos
eλt =e(c+di)t=ectedti =ect(cos(dt) +i sen(dt)).
Defini¸c˜ao 1.2. A fun¸c˜ao degrau unit´ario ´e definida por:
u(t) =
0 , se t≤0 1 , se t >0
Exemplo 1.1. A Transformada de Laplace da fun¸c˜ao degrau unit´ario ´e dada diretamente
da propriedade p3
L[u(t)] = 1 s.
1.2
Fra¸c˜
oes Parciais
Quando estamos resolvendo uma EDO linear com coeficientes constantes, atrav´es da transformada de Laplace, algumas vezes nos deparamos com uma equa¸c˜ao do tipo
onde p(s) e q(s) s˜ao polinˆomios e o grau de p(s) ´e menor que o deq(s).
Pelas propriedades da Transformada de Laplace conhecemos a solu¸c˜ao para
L[y] = u1 s−v1
+ u2 s−v2
+. . .+ un
s−vn, (1.3)
onde uk, vk∈C para k = 1,2, . . . , n, que ´e
y(t) =u1ev1t+u2ev2t+. . .+unevnt.
Considerando o caso onde as ra´ızes de q(s) s˜ao distintas podemos escrever L[y] na forma da equa¸c˜ao 1.3, onde v1, v2, . . . , vn s˜ao as ra´ızes do polinˆomio q(s). Nesse caso
dizemos que a fun¸c˜ao L[y] foi decomposta em soma de fra¸c˜oes parciais.
Exemplo 1.2. Decomponha F(t) em soma de fra¸c˜oes parciais, onde
F(t) = 10x+ 5 x2−x−6.
Sabendo que as ra´ızes de x2−x−6 s˜ao {−2,3}, ent˜ao devemos determinar constantes
A1, A2 tais que possamos escrever F(t) na forma
F(t) = A1 x+ 2 +
A2
x−3 multiplicando ambos os membros por (x+ 2)(x−3), temos
A1(x−3) +A2(x+ 2) = 10x+ 5
logo,
A1 + A2 = 10
−3A1 + 2A2 = 5
que possui solu¸c˜ao,A1 = 3 eA2 = 7, portanto
F(t) = 3 x+ 2 +
Proposi¸c˜ao 1.1. Se q(x) = sn+an
−1sn−1 +. . .+a1s+a0, onde a0, a1, . . . , an−1 ∈ R possui n ra´ızes distintas e n˜ao nulas {λ1, λ2, . . . , λn} ent˜ao a decomposi¸c˜ao de
L[y] = 1 s q(x)
em soma de fra¸c˜oes parciais, ´e
L[y] = A0 s +
A1
(s−λ1)
+ A2 (s−λ2)
+. . .+ An (s−λn)
donde A1, A2, . . . , An∈C s˜ao dados por
A0 =
1
(−λ1). . .(−λn)
A1 =
1
λ1(λ1−λ2). . .(λ1−λn) ...
An = 1
λn(λn−λ1). . .(λn−λn−1)
.
(1.4)
Demonstra¸c˜ao. Seq(x) = sn+an
−1sn−1+a1s+a0 possui ra´ızes λ1, λ2, . . . , λn, ent˜ao
q(x) = (s−λ1)(s−λ2). . .(s−λn)
e para que L[y] seja decomposto em soma de fra¸c˜oes parciais ´e necess´ario que exista A0, A1, . . . , An ∈ C, tais que
L[y] = A0 s +
A1
(s−λ1)
+ A2 (s−λ2)
+. . .+ An (s−λn) assim, multiplicando ambos os membros por s·q(x) temos
A0(s−λ1). . .(s−λn) +A1s(s−λ2). . .(s−λn) +. . .+Ans(s−λ1). . .(s−λn−1) = 1
assim, para s= 0, s=λ1, . . . , s=λn, temos
A0(−λ1)(−λ2). . .(−λn) = 1
A1λ1(λ1−λ2). . .(λ1−λn) = 1
...
Anλn(λn−λ1). . .(λn−λn−1) = 1
Exemplo 1.3. Decomponha F(t) em soma de fra¸c˜oes parciais, onde
F(t) = 1
x3 −3x2−4x.
Comox3−3x2−4x=x(x2−3x−4) e as ra´ızes dex2−3x−4 s˜ao{λ
1 = 4, λ2 =−1},
ent˜ao devemos determinar constantes A0, A1 e A2 tais que possamos escrever F(t) na
forma
F(t) = A0 x +
A1
x−4 + A2
x+ 1 pela proposi¸c˜ao 1.1 temos
A0 =
1 (−λ1)(−λ2)
= 1
(−4)(−(−1)) =− 1 4
A1 =
1 λ1(λ1−λ2)
= 1
4(4 + 1) = 1 20
A2 =
1 λ2(λ2−λ1)
= 1
(−1)(−1−4) = 1 5
portanto
F(t) =−1 4 1 x + 1 20 1 x−4 +
1 5
1 x+ 1.
Nota¸c˜ao: Se A ´e um n´umero complexo, denotaremos por A o seu conjugado.
Algumas propriedades importantes dos n´umeros complexos
Se α, β ∈Cent˜ao
1. α+β=α+β;
2. αβ =α β;
3. −α=−α; 4. α−1 =α−1.
Demonstra¸c˜ao. Considere, sem perda de generalidade, que p= 1. Se λ1 =c+di=λ2,
onde c, d∈R, ent˜ao
(λ1−λ2) = (λ2−λ1)
e como cada um dos autovaloresλk, (k >2) da EDO ou ´e real ou ´e o conjugado de algum outro autovalor da EDO (λk+1) e pode-se verificar que seλk ´e real, ent˜ao
(λ1−λk) = (λ2−λk)
e se λk n˜ao ´e real, ent˜ao
(λ1 −λk)(λ1−λk+1) = (λ1−λk) (λ1−λk+1)
= (λ1−λk) (λ1−λk+1)
= (λ2−λk+1) (λ2−λk)
= (λ2−λk)(λ2−λk+1)
assim, pela propriedades dos n´umeros complexos, temos A−11 =A1
−1
=A−21, pois
A−11 =λ1 (λ1−λ2) (λ1−λ3). . .(λ1−λn)
e
A−21 =λ2(λ2−λ1)(λ2 −λ3). . .(λ2−λn)
portanto
A1 =A2.
Proposi¸c˜ao 1.3. Na proposi¸c˜ao 1.1, se λp ´e um n´umero real ent˜ao Ap tamb´em ´e um
n´umero real.
Demonstra¸c˜ao. Na proposi¸c˜ao 1.1, todas as ra´ızes de q(x) = sn+an
−1sn−1 +a1s+a0
s˜ao distintas, logo se λj ´e uma ra´ız de q(x) ent˜ao ouλj ´e um n´umero real ouλj e λj s˜ao ra´ızes deq(x). Assim seλp ´e uma raiz real deq(x) ent˜ao dada uma raiz λj deq(x),j ̸=p, seλj ∈R temos
e se λj ∈/ R ent˜ao λj tamb´em ´e uma raiz de q(x) assim, (λp −λj)(λp−λj)∈R.
Logo
λp(λp−λ1). . .(λp−λp−1)(λp−λp+1). . .(λ1−λn)∈R
e portanto
Ap = 1
λp(λp−λ1). . .(λp−λp−1)(λp−λp+1). . .(λ1−λn) ∈ R.
1.3
Solu¸c˜
ao e An´
alise da Estabilidade de EDO’s
Li-neares Com Coeficientes Constantes
Defini¸c˜ao 1.3. Sejam y(t) e r(t) duas fun¸c˜oes de R em R, onde y(t) ´e n vezes
dife-renci´avel, uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria (EDO) ´e uma equa¸c˜ao na forma
f(y, y(1), . . . , y(n), t) =r(t).
Defini¸c˜ao 1.4. Uma Equa¸c˜ao Diferencial Ordin´aria de ordem n ´e dita linear (EDOL)
quando pode ser escrita na forma
y(n)+pn
−1(t)y(n−1)+. . .+p1(t)y(1)+p0(t)y=r(t). (1.5)
Se p1(t), p2(t), . . . , pn(t) forem fun¸c˜oes constantes, a EDO ´e chamada linear com coe-ficientes constantes reais. Se r(t)≡0 dizemos que a EDO ´e homogˆenea e caso contr´ario dizemos que ela ´e n˜ao-homogˆenea.
Defini¸c˜ao 1.5. Dada a EDO linear com coeficientes constantes
y(n)+an
chamamos de polinˆomio caracter´ıstico dessa EDO o polinˆomio
p(λ) =λn+an−1λn−1 +. . .+a1λ+a0 (1.6)
e chamamos de autovalores dessa EDO as ra´ızes do seu polinˆomio caracter´ıstico.
Defini¸c˜ao 1.6. Definimos como Problema de Valor Inicial (PVI), a resolu¸c˜ao de uma
equa¸c˜ao diferencial de grau n, para t >0, considerando as restri¸c˜oes
y(k)(0) =y(0k), onde y (k)
0 ∈R, para k = 0,1, ..., n−1 chamadas de condi¸c˜oes iniciais.
Exemplo 1.4. Resolva a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria com coeficientes constantes
y′−a0y =u(t) com a condi¸c˜ao inicial y(0)=0, onde a0 ̸= 0.
Aplicando a Transformada de Laplace em ambos os membros temos
L[y′]−a0L[y] =L[u(t)] ⇒ sL[y] +y(0)−a0L[y] =L[u(t)]
⇒ L[y](s−a0) = L[u(t)]
⇒ L[y] = 1 s
1 s−a0
decompondo em soma de fra¸c˜oes parciais temos
L[y] = 1 a0
1 s −
1 a0
1 s−a0
logo, pela propriedadep3 da Transformada de Laplace apresentada nessa se¸c˜ao, a solu¸c˜ao
da EDO ´e
y(t) = 1 a0 −
1 a0
ea0t.
Exemplo 1.5. Resolva a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria linear com coeficientes constantes
y′′+ 10y′+ 26y= 2u(t),
Aplicando, em ambos os membros a transformada de Laplace, e usando algumas pro-priedades, temos
L[y′′] + 10L[y′] + 26L[y] = L[2u(t)] ⇒ s2L[y] + 10sL[y] + 26L[y] = 2L[u(t)]
⇒ L[y](s2+ 10s+ 26) = 2 s
⇒ L[y] = 2
s(s2+ 10s+ 26)
sabendo que as ra´ızes des2+ 10s+ 26 s˜ao λ
1 =−5 +i eλ2 =−5−ie decompondo L[y]
em uma soma de fra¸c˜oes parciais temos
L[y] = 2
(
1 26
1 s +
−1 + 5i 52
1 s+ 5−i +
−1−5i 52
1 s+ 5 +i
)
logo a solu¸c˜ao da EDO ´e
y(t) = 2
(
1 26+
−1 + 5i 52 e
(−5+i)t
+ −1−5i 52 +e
(−5−i)t
)
= 1 13+
(
−1 + 5i 26
)
e(−5+i)t+
(
−1−5i 26
)
e(−5−i)t
portanto
y(t) = 1 13 +
1 13e
−5t
(cos(t)−5sen(t)).
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0
0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08
Amplitude
t (tempo)
Figura 1.1: Gr´afico da solu¸c˜ao do exemplo 1.5
Proposi¸c˜ao 1.4. Se a EDO linear com coeficientes constantes
y(n)+an−1y(n−1)+an−2y(n−2)+...+a2y(2)+a1y(1)+a0y=u(t) (1.7)
possui autovalores λ1, λ2, ..., λn (distintos e n˜ao nulos), ent˜ao dadas as condi¸c˜oes iniciais
y(0) =. . .=y(n−1)(0) = 0 a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao ´e
y(t) =A0+A1eλ1t+A2eλ2t+...+Aneλnt (1.8)
onde A0 = 1/a0 e A1, A2, . . . , An s˜ao n´umeros complexos tais que
A1 =
1
λ1(λ1−λ2)(λ1−λ3). . .(λ1−λn)
A2 =
1
λ2(λ2−λ1)(λ2−λ3). . .(λ1−λn) ...
An = 1
λn(λn−λ1)(λn−λ2). . .(λn−λn−1)
.
Demonstra¸c˜ao. Aplicando a Transformada de Laplace a EDO dada pela equa¸c˜ao 1.7 temos
donde, considerando as condi¸c˜oes iniciaisy(0) =. . .=y(n−1)(0) = 0, temos
L[y](sn+an
−1sn−1+. . .+a2s2+a1s+a0) = L[u(t)]
que implica que
L[y] = 1
s(sn+an
−1sn−1+. . .+a2s2+a1s+a0)
.
e seλ1, λ2, ..., λn (distintos e n˜ao nulos) s˜ao os autovalores da EDO, ent˜ao pela proposi¸c˜ao
1.1 temos que L[y] pode ser escrito na forma
L[y] = A0 s +
A1
(s−λ1)
+ A2 (s−λ2)
+. . .+ An (s−λn) donde A1, A2, . . . , An s˜ao n´umeros complexos tais que
A0 =
1
(−λ1). . .(−λn)
A1 =
1
λ1(λ1 −λ2). . .(λ1−λn)
...
An = 1
λn(λn−λ1). . .(λn−λn−1)
.
portanto
y(t) =A0+A1eλ1t+A2eλ2t+...+Aneλnt
e de
sn+an
−1sn−1+. . .+a2s2+a1s+a0 = (s−λ1)(s−λ2). . .(s−λn)
temos que
a0 = (−λ1)(−λ2). . .(−λn)
sendo assim
A0 =
1 a0
.
Corol´ario 1.1. Na proposi¸c˜ao 1.4, se λk =ck+dkie Ak =uk+vki, ent˜ao a equa¸c˜ao 1.8 pode ser escrita como
y(t) = 1 a0
+ n
∑
k=1
eckt(uk cos(dkt)−vk sen(dkt))
onde 1/a0 ∈R e ck, dk, uk, vk ∈R para todo k = 1,2, . . . , n.
Corol´ario 1.2. Na proposi¸c˜ao 1.4, se a parte real de todos os autovalores da EDO dada
pela equa¸c˜ao 1.7 ´e nula e nenhum dos autovalores ´e nulo (λk = dki), ent˜ao sua solu¸c˜ao pode ser escrita como
y(t) = 1 a0
+ n
∑
k=1
Ak cos(dkt)
onde 1/a0 ∈R e Ak, dk ∈R e dk ̸= 0 para todo k= 1,2, . . . , n.
Corol´ario 1.3. Na proposi¸c˜ao 1.4, se a parte imagin´aria de todos os autovalores da EDO
dada pela equa¸c˜ao 1.7 ´e nula (λk =ck), ent˜ao sua solu¸c˜ao pode ser escrita como
y(t) = 1 a0
+ n
∑
k=1
Akeckt
onde 1/a0 ∈R e Ak, ck∈R para todo k = 1,2, . . . , n.
Exemplo 1.6. A figura 1.2 apresenta o gr´afico da solu¸c˜ao da EDO linear com coeficientes
constantes
y(4)+ 20y(2)+ 64y=u(t)
onde a parte real de todos os autovalores ´e nula. Nesse caso a fun¸c˜ao tem a forma dada
0 2 4 6 8 10 0
0.005 0.01 0.015 0.02 0.025 0.03 0.035 0.04 0.045
Amplitude
t (tempo)
Figura 1.2: EDO (exemplo 1.6) onde a parte real dos autovalores ´e nula
As proposi¸c˜oes a seguir: 1.5 e 1.6 s˜ao bem conhecidas. Suas demonstra¸c˜oes podem ser encontradas no apˆendice B.
Proposi¸c˜ao 1.5. Se a parte real de todos os autovalores da EDO 1.7 ´e negativa, ent˜ao
quando t → ∞ sua solu¸c˜ao converge para 1/a0.
Exemplo 1.7. A figura 1.3 apresenta o gr´afico da solu¸c˜ao de duas EDOs lineares com
coeficientes constantes onde a parte real de todos os autovalores ´e negativa. A figura 1.3
(a) mostra o gr´afico da solu¸c˜ao da EDO
y(3)+ 7y(2)+ 14y(1)+ 8y=u(t) (1.9)
que possui autovalores {−1,−2,−4}, com condi¸c˜oes iniciais y0 =y0′ =y0′′= 0. Enquanto a figura 1.3 (b) mostra o gr´afico da solu¸c˜ao da EDO
y(5)+ 8.2y(4)+ 987.41y(3)+ 5827.86y(2)+ 66360.33y(1)+ 234314.6y =u(t) (1.10)
0 1 2 3 4 5 0
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14
t
Amplitude
(a) EDO da equa¸c˜ao 1.9
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 1 2 3 4 5 6x 10
−6
t
Amplitude
(b) EDO da equa¸c˜ao 1.10
Figura 1.3: EDOs estav´eis (a parte real de todos os autovalores ´e negativa)
Defini¸c˜ao 1.7. Uma EDO linear com coeficientes constantes ´e dita est´avel quando a parte
real de todos os seus autovalores ´e negativa.
Exemplo 1.8. A EDO y′′
−0.4y′
+ 1.04y= 1 ´e est´avel.
Os autovalores dessa EDO s˜ao λ1 =−0.2 + 1i e λ2 =−0.2−1i que possuem a parte
real negativa, logo a EDO ´e est´avel e converge quando t→ ∞ para A0 =
1 λ1λ2
= 1
1.04 = 0.9615384615.
Proposi¸c˜ao 1.6. Se a parte real de um dos autovalores da EDO 1.7 ´e positiva ent˜ao
quando t → ∞ sua solu¸c˜ao diverge.
Exemplo 1.9. A figura 1.3 apresenta o gr´afico da solu¸c˜ao de duas EDOs lineares com
coeficientes constantes onde a parte real de um dos autovalores ´e positivo. A figura 1.3
(a) mostra o gr´afico da solu¸c˜ao da EDO
y(3)+ 2y(2)−y(1)+ 2y=u(t) (1.11)
que possui autovalores {1,−1,−2}, com condi¸c˜oes iniciais y0 =y0′ =y0′′= 0. Enquanto a figura 1.3 (b) mostra o gr´afico da solu¸c˜ao da EDO
y(4)−14y(3)+ 50073y(2)−380168y(1)+ 400730144y=u(t) (1.12)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0
0.5 1 1.5 2 2.5 3
t
Amplitude
(a) EDO da equa¸c˜ao 1.11
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5
2x 10 −7
t
Amplitude
(b) EDO da equa¸c˜ao 1.12
Figura 1.4: EDOs inst´aveis (a parte real de um dos autovalores ´e positiva)
Defini¸c˜ao 1.8. Uma EDO linear com coeficientes constantes ´e dita inst´avel quando a
parte real de algum dos seus autovalores ´e negativa.
Exemplo 1.10. A EDO linear
y′′+ 0.4y′+ 1.04y=u(t)
sob condi¸c˜oes y0 =y0′ = 0 ´e inst´avel.
Como essa EDO possui autovalores λ1 = 0.2 + 1i, λ2 = 0.2−1i ent˜ao ´e inst´avel.
1.4
Pontos Cr´ıticos da Solu¸c˜
ao de EDO’s Lineares
com Coeficientes Constantes de Grau 2
Para uma fun¸c˜ao diferenci´avel, ponto cr´ıtico ´e um ponto onde a derivada sua derivada ´e nula.
Proposi¸c˜ao 1.7. Dada a equa¸c˜ao diferencial linear com coeficientes constantes
onde a1, a0 ∈ R, possui autovalores λ1 = c+di e λ2 = c−di, onde c, d ∈ R e c < 0 e
d̸= 0 eu(t) = 0, se t≤0eu(t) = 1se t >0, com condi¸c˜oes iniciais y(0) = 0e y′(0) = 0.
Ent˜ao os pontos cr´ıticos de y(t) s˜ao
t= mπ
d , ∀ m∈N
e os valores de y(t) no pontos cr´ıticos s˜ao
y(t) = 1 a0
(1 +ecmπd ), ∀ m∈N.
Demonstra¸c˜ao. Sejaλ=c+di, onde c=−a1
2 edi=
√
a2
1−4a0.
A partir das proposi¸c˜oes 1.4 e 1.2 que a solu¸c˜ao para um problema desse tipo ´e da forma
y(t) = 1 a0
+veλt+veλt
onde v ∈C. Denote k=λv, e pelas proepriedades dos n´umeros complexos, temos
y′(t) = keλt+keλt.
Sendo assim, comoy′(0) = 0, temosk+k = 0 ⇒ k =qi, onde q∈R, temos
y(0) = 1 a0 + qi λ − qi λ = 1 a0 + λqi λλ − λqi λλ = 1 a0 +λqi a0 −
λqi a0
= 1 a0
(1 +qi(λ−λ))
logo,
1 +qi[(c+di)−(c−di)] = 1−2dq = 0⇒q= 1
2d (1.13)
Assim,
y′(t) = 0 ⇒ keλt+keλt = 0
⇒ 2d1 i eλt− 1 2d i e
λt = 0
⇒ 2d1 i ect(cos(ct) +sen(dt))− 1 2d i e
ct
(cos(ct)−sen(dt)) = 0
⇒ 2d1 i ect(2sen(dt)) = 0
Portanto, y′(t) = 0 quando
t= mπ
d , ∀ m∈N.
Como k =λv, ent˜ao v = k λ =
kλ λλ =
kλ a0
e v = kλ a0
, dessa forma podemos escrever
y(t) = 1 a0
+veλt+veλt
= 1 a0
+ect[(v+v)cos(dt) + (v−v)sen(dt)i] = 1
a0
(1 + 2qect(d cos(dt) +c sen(dt))).
Sabendo que y′(mπ
d ) = 0, para todo m∈N y(mπ
d
)
= 1 a0
(1 + 2qd ecmπd )
assim, pela equa¸c˜ao 1.13, os valores dey(t) no pontos cr´ıticos s˜ao
y(t) = 1 a0
(1 +ecmπd ), ∀ m∈N.
Exemplo 1.11. Na figura 1.5 (a), temos os gr´aficos de duas EDOs de grau 2
y′′+ 4y′+ 229y = 1 (1.14)
y′′+ 6y′+ 234y = 1 (1.15)
que possuem respectivamente autovalores {−2 + 15i,−2−15i}, {−3 + 15i,−3−15i}onde as partes complexas dos seus autovalores s˜ao iguais e sendo assim pela proposi¸c˜ao 1.7 o
tempos de m´aximo e m´ınimo de ambas as solu¸c˜oes das equa¸c˜oes s˜ao iguais.
Na figura 1.5 (b) podemos ver os valores de m´aximo e m´ınimo da solu¸c˜ao das EDO’s
y′′+ 6y′+ 90y= 1 (1.16)
y′′+ 2y′+ 10y= 1 (1.17)
que possuem respectivamente autovalores {−3 + 9i,−3−9i}, {−1 + 3i,−1−3i}. A raz˜ao entre a parte real e parte complexa dos autovalores das equa¸c˜oes (−3/9 = −1/3) ´e a mesma e pela proposi¸c˜ao 1.7 os valores de m´aximo e de m´ınimo da EDO devem ser os
0 0.5 1 1.5 2 0
1 2 3 4 5 6 7 8x 10
−3
exemplo 1 exemplo 2
(a) solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 1.14 (exemplo 1) e da equa¸c˜ao 1.15 (exemplo 2)
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4
exemplo 1 exemplo 2
(b) solu¸c˜ao da equa¸c˜ao 1.16 (exemplo 1) e da equa¸c˜ao 1.17 (exemplo 2)
Figura 1.5: Solu¸c˜ao das EDOs das equa¸c˜oes 1.14, 1.14, 1.16 e 1.17
De acordo com a proposi¸c˜ao 1.7 o valor de m´aximo dos pontos cr´ıticos da solu¸c˜ao de uma EDO linear com coeficientes constantes de grau 2 com autovalores complexos (n˜ao reais) com a parte real negativa ´e determinado a partir da raz˜ao entre a parte real e a parte complexa do autovalor da EDO, que pode ser visto tamb´em como a tangente do ˆangulo do autovalor.
Corol´ario 1.4. Se a equa¸c˜ao diferencial ordin´aria linear com coeficientes constantes
y(n)+an−1y(n−1)+. . .+a1y(1)+a0y= 1
possui autovalores λ1, λ2, . . . , λn distintos e n˜ao nulos e a equa¸c˜ao
x(n)+bn−1x(n−1)+. . .+b1x(1)+b0x= 1
possui autovalores pλ1, pλ2, . . . , pλn, onde p∈R, p̸= 0 ent˜ao para todo t∈R temos
x
(
t p
)
= 1 pn y(t).
Corol´ario 1.5. Dadas as condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao 1.4 (e pelo menos um dos autovalores
´e complexo), se t0, t1, . . . s˜ao os pontos de m´aximo e m´ınimo de y(t) ent˜ao t0/p, t1/p, . . .
s˜ao os pontos de m´aximo e m´ınimo dex(t)e os valores de m´aximo e m´ınimo das equa¸c˜oes
1.5
Sistemas de Equa¸c˜
oes Lineares de Primeira
Or-dem
Uma EDO linear homogˆenea de ordem n com coeficientes constantes pode ser trans-formada num sistema equivalente de equa¸c˜oes de primeira ordem. E nesse caso resolver a equa¸c˜ao caracter´ıstica da EDO ser´a equivalente a calcular os autovalores de uma matriz espec´ıfica.
Considere a seguinte EDO linear homogˆenea com coeficientes constantes de ordem n
y(n)+an−1y(n−1)+an−2y(n−2)+. . .+a2y(2)+a1y(1)+a0y = 0
e defina x1 =y, x2 =y(1), . . . , xn−1 =y(n−2), xn=y(n−1), assim
x′1 = x2
x′2 = x3
...
x′n−1 = xn
e
x′n =−a0x1−a1x2−a2x3−. . .−an−2xn−1−an−1xn
dessa forma, se
A=
0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 0 0 . . . 1
−a0 −a1 −a2 . . . −an−1
e x=
x1 x2 ... xn−1
xn (1.18) ent˜ao
´
E evidente da defini¸c˜ao 1.5 que o polinˆomio caracter´ıstico da EDO e o polinˆomio caracter´ıstico de A s˜ao iguais, ou seja,
det(A−λI) =λn+an−1λn−1+. . .+λs+a0. (1.19)
portanto os autovalores da EDO s˜ao iguais aos autovalores da matriz A.
Logo, faz sentido definir as ra´ızes do polinˆomio caracter´ıstico de uma equa¸c˜ao diferen-cial ordin´aria linear com coeficientes constantes como autovalores da EDO.
Defini¸c˜ao 1.9. Dada a equa¸c˜ao diferencial com coeficientes constantes
y(n)+an−1y(n−1)+an−2y(n−2)+. . .+a2y(2)+a1y(1)+a0y=r(t)
dizemos que a matriz A definida em 1.18 ´e a sua matriz associada (ou companheira).
Exemplo 1.12. A EDO y′′+ 2y′+ 5y= 0 possui autovalores iguais aos da matriz D (sua
matriz associada), onde
D=
0 1
−5 −2
.
De fato,
D−λI =
−λ 1
−5 −2−λ
e
det(D−λI) =−λ(−2−λ) + 5 =λ2+ 2λ+ 5
portanto os autovalores de D s˜ao iguais aos autovalores da EDO y′′+ 2y′+ 5y= 0, visto
que estes possuem o mesmo polinˆomio caracter´ıstico.
M´
etodo da Potˆ
encia
Resolver a equa¸c˜ao caracter´ıstica n˜ao ´e a ´unica forma conhecida para calcular auto-valores de uma matriz. Resolver uma equa¸c˜ao polinomial n˜ao ´e f´acil para polinˆomios de graus maiores que 4, e resolver uma equa¸c˜ao polinomial de alto grau atrav´es de c´alculo num´erico pode resultar em uma margem de erro maior do que se espera.
Nesse cap´ıtulo ser´a apresentado o m´etodo da Potˆencia que permite calcular os auto-valores que possui o maior valor absoluto de uma matriz. E atrav´es de uma adapta¸c˜ao calcular o autovalor que possui a maior parte real para assim conhecer a velocidade de convergˆencia das EDOs lineares com coeficientes constantes est´aveis.
Defini¸c˜ao 2.1. Dada uma matriz quadradaA de ordemn, dizemos que λ1 ´e um autovalor
dominante de A se
|λ1| ≥ |λ2| ≥. . .≥ |λn|.
Nas se¸c˜oes seguintes ser˜ao apresentados dois algoritmos para calcular autovalores es-pec´ıficos de uma matriz. O primeiro algoritmo (m´etodo da Potˆencia Cl´assico) permite calcular o autovalor dominante de uma matriz com um ´unico autovalor dominante e o segundo algoritmo (m´etodo da Potˆencia Adaptado) permite calcular o par de autovalo-res dominantes de uma matriz que possui somente um par de autovaloautovalo-res dominantes
complexos conjugados. Como os autovalores de uma matriz associada a uma EDO s˜ao sempre reais ou pares de autovalores complexos conjugados, ent˜ao com esses dois algorit-mos pode-se determinar os autovalores dominantes de qualquer matriz associada a uma EDO linear.
Defini¸c˜ao 2.2. Dada um matriz A definimos exponencial dessa matriz como
eA=
( ∞ ∑
k=0
1 k!A
k
)
.
Proposi¸c˜ao 2.1. Se Av=λv ent˜ao Akv =λkv.
Demonstra¸c˜ao. SeAv=λv ent˜ao
A2v =A(Av) =Aλv =λAv =λ(λv) =λ2v
logo, pode-se mostrar por indu¸c˜ao que
Akv =λkv,
∀ k ∈N.
Proposi¸c˜ao 2.2. SejaAuma matriz. Seλ´e um autovalor deA, ent˜aoλ−1´e um autovalor de A−1 (se A ´e invers´ıvel) e eλ ´e um autovalor de eA.
Demonstra¸c˜ao. Do teorema espectral temos que seλ´e um autovalor da matrizA, ent˜ao
Av =λv
sendo assim, aplicando A−1 (considerando que A ´e invers´ıvel) em ambos os membros,
temos
A−1Av =A−1λv ⇒ v =λA−1v
⇒ λ−1v =A−1v.
Assim,
eAv =
( ∞ ∑ k=0 1 k!A k ) v = ( ∞ ∑ k=0 1 k!A kv ) = ( ∞ ∑ k=0 1 k!λ kv ) = ( ∞ ∑ k=0 1 k!λ k )
v =eλv.
Portanto, eλ ´e um autovalor de eA.
Corol´ario 2.1. Se λ ´e um autovalor da matriz A, ent˜ao eλi ´e um autovalor da matriz eAi.
2.1
M´
etodo da Potˆ
encia para Matrizes com um ´
Unico
Autovalor Dominante
Nessa se¸c˜ao ser´a feito o estudo do m´etodo da Potˆencia Cl´assico (ver, por exemplo, Watkins [13]) que trata do caso onde as matrizes possuem um ´unico autovalor dominante , ou seja,
|λ1|>|λ2| ≥. . .≥ |λn|.
Proposi¸c˜ao 2.3. SejaAuma matriz de ordemndiagonaliz´avel e com um ´unico autovalor
dominante λ. Ent˜ao, para quase todo valor inicial x0 ∈ Rn dado, a sequˆencia de vetores
(xk) definida por
xk+1 =
Axk
||Axk||, ∀ k = 0,1, . . .
tende ao autovetor associado ao autovalor dominante de A.
Demonstra¸c˜ao. Considere que os autovalores estejam ordenados de modo que
|λ1|>|λ2| ≥. . .≥ |λn|
e sejamv1, v2, . . . , vnautovetores correspondentes, respectivamente, `aλ1, λ2, . . . , λn. Agora
defina
de modo quec1 ̸= 0 (´unica condi¸c˜ao sobre x0). Assim,
˜
xk :=Akx
0 = Ak(c1v1+c2+v2+. . .+cnvn)
= Akc
1v1+Akc2v2+. . .+Akcnvn
e pela proposi¸c˜ao 2.1 temos
˜
xk=Akx0 =λk1c1v1+λk2c2v2 +. . .+λkncnvn
logo
˜
xk =λk1(c1v1+
(
λ2
λ1
)k
c2v2 +. . .+
(
λn λ1
)k
cnvn)
desde queλ1 ̸= 0.
Assim, se λ1 ´e o ´unico autovalor dominante de A, ent˜ao |λm/λ1| < 1, o que implica
que
(λm/λ1)k →0 ∀ m= 2,3, . . . , n
quando k→ ∞. Agora defina
xk = xk˜
||xk˜||. Sendo assim, quando k→ ∞ temos
xk = λ k
1c1v1
||λk
1c1||||v1||
=± v1
||v1||
portanto xk = Akx
0
||Akx
0|| tende ao autovetor de A associado a autovetor que possui o maior
valor absoluto.
Algoritmo 2.1: M´etodo da Potˆencia (Cl´assico)
Entrada: A, x0,numInt (n´umero de itera¸c˜oes), tol (tolerˆancia).
Sa´ıda: λ (Autovalor Dominante de A).
in´ıcio
x0 ←x0/|x0|;
λ0 ←xt0Ax0;
para k=1 at´e numInt fa¸ca
xk ←Axk−1;
xk ←xk/|xk|; λk ←xt
kAxk;
se |λk−λk−1|< tol ent˜ao
break; /* Sair do La¸co */
fim se
fim para
λ←λk;
fim
De acordo com a proposi¸c˜ao 2.3, no algoritmo 2.1 o vetorxkfinal representa uma apro-xima¸c˜ao para o autovetor associado ao autovalor dominante deA. Sendo assim escolhendo o n´umero de itera¸c˜oes (numInt) e a tolerˆancia (tol) adequados podemos escrever
Axk =λxk
donde
λ= x t kAxk xt
kxk .
´
E muito raro que o valor dec1da proposi¸c˜ao 2.3 seja nulo, se o vetorx0no algoritmo 2.1
Exemplo 2.1. Considere a matriz
A=
0 2
10 −8
,
que tem como autovalores e respectivos autovetores
λ1 =−10, v1 =
1/√26
−5/√26
≈ −0.196116135138184 0.980580675690920 e
λ2 = 2, v2 =
1/√2 1/√2
≈ 0.707106781186547 0.707106781186547
donde λ1 ´e o autovalor dominante.
O m´etodo da Potˆencia aplicado a matriz A com numInt= 9 e tol = 10−5 e
x0 = [0.657818756480074,0.753176263316237]t
escolhido aleatoriamente, retorna o valor aproximado para o autovalor dominante da matrizA igual a
λ=−10.000040068812652.
Os valores de xk e λk a cada itera¸c˜ao k que ser˜ao retornados pelo m´etodo da Potˆencia, dado pelo algoritmo 2.1, com esse valores iniciais podem ser vistos na tabela 2.1.
De acordo com a tabela 2.1, podemos observar a r´apida convergˆencia para o valor exato −10. A velocidade da convergˆencia est´a associada ao valor absoluto da raz˜ao entre os autovalores λ2 λ1 = 2
10 = 0,2
quanto mais pr´oximo de 1 for essa raz˜ao mais lenta ser´a a convergˆencia do m´etodo. Isso ocorre pois na proposi¸c˜ao 2.3 ´e necess´ario que
(
λi λ1
)k
→0, quando k→+∞
k xk λk
0 [ 0.657818756480074, 0.753176263316237]t 1.407245806355873 1 [ 0.938786002137701, 0.344500859491398]t 2.931504277856682 2 [ 0.103336593054350, 0.994646443986968]t -6.681171890504509 3 [ 0.276140582947024,−0.961117255307425]t -10.574812777529857 4 [−0.180904934123345, 0.983500587091756]t -9.873228545495890 5 [ 0.199191173521070,−0.979960650430056]t -10.024977154694001 6 [−0.195502433185524, 0.980703216380236]t -9.994988769370785 7 [ 0.196238927810593,−0.980556109160383]t -10.001001619931117 8 [−0.196091578694559, 0.980585586659867]t -9.999799650919769 9 [ 0.196121046510547,−0.980579693403656]t -10.000040068812652 Tabela 2.1: Itera¸c˜oes do m´etodo da Potˆencia aplicado a matriz do exemplo 2.1
2.2
M´
etodo da Potˆ
encia para Matrizes com um Par
de Autovalores Dominantes Complexos
Conjuga-dos
A matriz associada de uma EDO linear com coeficientes constantes possui apenas autovalores reais ou complexos conjugados. Autovalores complexos conjugados possuem o mesmo valor absoluto, sendo assim ´e comum que a matriz associada de uma EDO linear com coeficientes constantes possua um par de autovalores complexos conjugados.
O m´etodo da Potˆencia Cl´assico n˜ao permite calcular esses autovalores, visto que a convergˆencia do m´etodo acontece apenas quando a matriz possui um ´unico autovalor do-minante. Esse ´e um problema bem incomum e levou ao desenvolvimento de um algoritmo espec´ıfico, visto que o m´etodo da Potˆencia cl´assico n˜ao funciona.
cal-cular o autovalor dominante de uma matriz que possui um par de autovalores dominantes e estes s˜ao complexos conjugados.
Proposi¸c˜ao 2.4. Sejam A uma matriz real diagonaliz´avel com um par de autovalores
complexos conjugados dominantes,λ =c+die λ, ondec, d∈R, e respectivos autovetores associados v =v1+v2i e v, onde v1, v2 ∈Rn. Se
u0 =g1v1+g2v2
onde g1, g2 ∈R∗, ent˜ao existem α, β ∈R definidos a partir de
A2u0 =αu0+βAu0
tais que,
λ= β+
√
β2+ 4α
2 .
Demonstra¸c˜ao. Sejaλ um autovalor dominante de A, dondeλ=c+di, com c, d∈Re
v =v1+v2i o autovetor associado a λ, com v1, v2 ∈Rn. Dessa forma Av=λv, logo
A(v1+v2i) = (c+di)(v1+v2i)
= (cv1−dv2) + (cv2+dv1)i
que pode ser escrito como
A[ v1 v2
]
=[ v1 v2
]
c d
−d c
.
Agora defina u1 =Au0 e u2 =A2u0, assim temos
u1 =Au0 =A(g1v1+g2v2) = g1Av1+g2Av2 =g1(cv1−dv2) +g2(cv2+dv1)
ou seja,
u1 = (g1c+g2d)v1+ (g2c−g1d)v2
denotando g3 =g1c+g2d e g4 =g2c−g1d temos, pelo mesmo racioc´ınio, que
logo u0, u1, u2 ∈span{v1, v2}. E definindoG como
G=
g1 g1c+g2d
g2 (g2c−g1d)
temos
[
u0 u1
]
=[ v1 v2
]
G.
Caso λ∈R, teremos v2 = 0, logo u0 =g1v1 e u1 = (g1c)v1 e portanto
span{u0, u1}=span{u0}=span{v1}=span{v1, v2}
e caso λ /∈R pode-se verificar que a matrizG ´e invers´ıvel e portanto tamb´em teremos
span{u0, u1}=span{v1, v2}.
De todo modo teremos u2 ∈ span{u0, u1}. Portanto existem constantes α e β, que
satisfazem
u2 =αu0+βu1 (2.1)
ou seja,
A2u0 =αu0+βAu0.
Assim, escreva
A[ u0 u1
]
= [ Au0 Au1
]
= [ u1 u2
]
= [ u1 αu0+βu1
]
ou seja,
A[ u0 u1
]
= [ u0 u1
] 0 α 1 β
e com isso temos
[
v1 v2
] G 0 α 1 β =A
[
v1 v2
]
G=[ v1 v2
]
c d
−d c
logo
c d
−d c
G=G
0 α 1 β
assim as matrizes
c d
−d c
e
0 α 1 β
tem os mesmos autovalores, visto queG´e invers´ıvel, e calculando diretamente seus auto-valores, temos que, respectivamente, seus autovalores s˜ao
c±di e β±
√
β2+ 4α
2 .
Portanto, temos que
λ= β+
√
β2+ 4α
2 .
Alguns resultados usados na demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao anterior podem ser encon-trados em Horn e Johnson [6].
Proposi¸c˜ao 2.5. Seja A uma matriz real diagonaliz´avel com um par de autovalores
com-plexos conjugados dominantes, λ /∈ R e λ cujo autovetores associados s˜ao, respectiva-mente, v = v1 +v2i e v com v1, v2 ∈ Rn. Ent˜ao para quase todo valor inicial x0 ∈ Rn dado, a sequˆencia (xk) definida por
xk+1 =
Axk
||Axk||
satisfaz
inf αk,βk∈R{||
xk−αkv1−βkv2||}= 0.
A condi¸c˜ao, quase todo, em x0 na proposi¸c˜ao 2.5 ´e equivalente ao da proposi¸c˜ao 2.3.
Algoritmo 2.2: M´etodo da Potˆencia (Adaptado)
Entrada: A, x0,numInt, tol.
Sa´ıda: λ (Autovalor Dominante de A).
in´ıcio
N0 ←1/|x0|;
x0 ←x0N0;
x1 ←Ax0;
N1 ←1/|x1|;
x1 ←x1N1;
λ0, λ1, e0, e1 ←0;
para k=2 at´e numInt fa¸ca
xk ←Axk−1;
Nk ←1/|xk|; xk ←xkNk; v0 ←uk−2;
v1 ←uk−1Nk−2;
v2 ←ukNk−1Nk−2;
resolva: v2 =a v0+b v1;
λk ←(b+√b2+ 4a)/2;
ek ← |λk−λk−1|;
se ek < tol ent˜ao
break; /* Sair do La¸co */
fim se
fim para
λ←λk;
Exemplo 2.2. Considere a matriz A =
0 1 0
0 0 1
−60 −32 −7
,
que tem como autovalores e respectivos autovetores
λ1 =λ2 =−2 + 4i, v1 =v2 =
−0.0292 + 0.0390i
−0.0975−0.1949i 0.9747
, λ3 =−3, v3 =
−0.1048 0.3145 −0.9435
donde λ1 e λ2 s˜ao os ´unicos autovalores dominantes de A e s˜ao complexos conjugados.
O m´etodo da Potˆencia aplicado a matriz A com numInt= 19, tol = 10−4 e
x0 = [0.8742,0.4856,0.0043]t
escolhido aleatoriamente, retorna o valor aproximado para o autovalor dominante da matrizA igual a
λ=−2.0001 + 4.0021i.
Os valores dexkeλka cada itera¸c˜aok que ser˜ao retornados pelo m´etodo da Potˆencia, dado pelo algortimo 2.2, com esses valores iniciais podem ser vistos na tabela 2.2.
´
k xk λk ek
1 [0.8742,0.4856,0.0043]t 0 0 2 [0.0071,0.0001,−1.0000]t 0 0 3 [0.0000,−0.1505,0.9886]t -3.2857 + 4.2878i 5.4019 4 [−0.0646,0.4241,−0.9033]t -2.4719 + 3.5182i 1.1201 5 [0.1205,−0.2566,−0.9590]t -1.8773 + 3.5258i 0.5946
... ... ... ...
15 [0.0068,−0.2733,0.9619]t -2.0099 + 3.9964i 0.0145 16 [−0.1447,0.5090,0.8485]t -2.0008 + 3.9930i 0.0097 17 [0.0375,0.0625,−0.9973]t -1.9960 + 3.9974i 0.0065 18 [0.0215,−0.3426,0.9393]t -1.9972 + 4.0016i 0.0044 19 [−0.1052,0.2884,0.9517]t -2.0001 + 4.0021i 0.0029
Tabela 2.2: Itera¸c˜oes do m´etodo da Potˆencia Adaptado aplicado a matriz do exemplo 2.2
2.3
M´
etodo da Potˆ
encia para o C´
alculo do Autovalor
com Maior Valor Absoluto de uma Matriz
Proposi¸c˜ao 2.6. Seja A uma matriz quadrada de ordem n. O m´etodo da Potˆencia
aplicado a eA converge para eλ, onde λ ´e o autovalor de A que possui a maior parte real.
Demonstra¸c˜ao. Sejam λ1 =c1+d1i, λ2 =c2 +d2i, . . . , λn = cn+dni os autovalores de
A, onde ck, dk ∈ R ∀k = 1,2, ..., n e µ1, µ2, . . . , µn os autovalores de eA, assim o m´etodo
da Potˆencia aplicado a eA converge para µ
1 se
|µ1|>|µ2| ≥ |µ3| ≥. . .≥ |µn|
mas, pela proposi¸c˜ao 2.2, os autovalores de eA s˜ao
sendo assim o m´etodo da Potˆencia aplicado aeA converge paraµ
1 se
|eλ1|>|eλ2| ≥ |eλ3| ≥. . .≥ |eλn
|
mas
|eλk|=|eck+dki|=|eck(cos(dk) +sen(dk)i)|=|eck| |cos(dk) +sen(dk)i|=|eck|
logo, o m´etodo da Potˆencia aplicado a eA converge paraµ
1 =eλ1 se
|ec1|>|ec2| ≥ |ec3| ≥. . .≥ |ecn|
ou seja, se
c1 > c2 ≥c3 ≥. . .≥cn.
Portanto o m´etodo da Potˆencia aplicado a eA converge para µ
1 = eλ1, onde a parte
real de λ1 ´e a maior dentre os autovalores de A, ou seja, o m´etodo da Potˆencia aplicado
a eA converge para o autovalor de eA que est´a associado ao autovalor deA que possui a maior parte real.
Corol´ario 2.2. Se A possui apenas autovalores reais ou complexos conjugados ent˜ao eA
tamb´em possui apenas autovalores reais ou complexos conjugados.
Exemplo 2.3. A matriz
A=
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
−200 −260 −69 −10
,
possui autovalores λ1 =−1, λ2 =λ3 =−2 + 6i e λ4 =−5.
Ao aplicarmos o m´etodo da Potˆencia (Adaptado) a matriz A com
obteremos o seguinte valor deλ
λ=−2.001517020121187 + 6.105585388659423i
eλ2 =λ3 =−2+6is˜ao os ´unicos autovalores dominantes deAe s˜ao complexos conjugados.
Mas caso o interesse seja determinar o autovalor deAque possui a maior parte real, pode-se aplicar o m´etodo da Potˆencia (Adaptado) a eA.
Aplicando o m´etodo da Potˆencia (Adaptado) a eA com os mesmos valores de entrada teremos como retorno
µ= 0.367877861118490,
donde µ=eλ, logo
λ= ln(µ) =−1.000004295038453
que ´e uma boa aproxima¸c˜ao, visto que o autovalor de A que possui a maior parte real ´e λ1 =−1.
2.4
Tempo de Acomoda¸c˜
ao de EDO’s Lineares Com
Coeficientes Constantes
Dada uma EDO linear com coeficientes constantes est´avel sem autovalores repetidos (no m´aximo complexos conjugados) conhecemos a sua solu¸c˜ao que de acordo com o Co-rol´ario 1.1
y(t) = A0+
n
∑
k=1
eckt(ukcos(dkt) +vksen(dkt)).
Como a EDO ´e est´avel sabemos que os valores c1, c2, . . . , cn s˜ao todos negativos, e que
y(t) converge paraA0. A medida que o valor detaumenta o autovalor que possui a maior
parte real da EDO ter´a mais influˆencia sobre o valor dey(t), visto queecit, converge mais
rapidamente queecjt, quando ci < cj <0.
Sendo assim, se as partes reais dos autovalores est˜ao ordenadas de modo que
podemos considerar a fun¸c˜aof1(t) = A0+ec1t(u1cos(d1t) +v1sen(d1t)) como uma simples
aproxima¸c˜ao paray(t). A fun¸c˜aof1(t) ´e uma aproxima¸c˜ao paray(t) a medida que o valor
det aumenta, mas n˜ao ´e t˜ao simples determinar o valor deu1cos(d1t) +v1sen(d1t). Sendo
assim considere a fun¸c˜aofa(t) =A0−A0ec1tpara estudar a estabilidade assint´otica dey(t)
visto que n˜ao precisamos calcular o valor de u1cos(d1t) +v1sen(d1t) que ´e determinado
em fun¸c˜ao dos autovalores, al´em de satisfazer y(0) = fa(0) = 0. Al´em disso essa fun¸c˜ao tamb´em ´e solu¸c˜ao do PVI
y′−a0y=u(t), y0 = 0,
veja o exemplo 1.4.
Defini¸c˜ao 2.3. Dada uma equa¸c˜ao diferencial ordin´aria linear com coeficientes constantes
est´avel com autovalores distintos
y(n)+an−1y(n−1)+. . .+a1y(1)+a0y=u(t)
a fun¸c˜ao de acomoda¸c˜ao de y ´e a fun¸c˜ao
fa(t) = 1 a0
(1−ect)
onde c´e a parte real do autovalor que possui a maior parte real dentre os autovalores da
EDO.
A fun¸c˜ao de acomoda¸c˜ao de um EDO ´e uma das aproxima¸c˜oes mais simples e de f´acil manejo que podemos ter da solu¸c˜ao exata da EDO, al´em de ser uma fun¸c˜ao mon´otona e convergente. Na engenharia a fun¸c˜ao de acomoda¸c˜ao tamb´em ´e conhecida como fun¸c˜ao de estabelecimento ou de assentamento.
Pode-se observar tamb´em que a solu¸c˜ao e a fun¸c˜ao de acomoda¸c˜ao da EDO y′−a
0y =u(t) s˜ao iguais.
Ex EDO Autovalores 1 y′′+ 6y′ + 58y= 1 -3 + 7i, -3 - 7i
2 y′′′+ 8y′′+ 45y′+ 116y= 1 -2 + 5i, -2 - 5i -4
3 y′′′′+ 24y′′′+ 875y′′+ 7594y′+ 41114y= 1 -5+6i, -5-6i, -7+25i, -7-25i
4 y′′′′+ 23y′′′ + 286y′′+ 2140y′+ 5800y= 1 -4+10i,-4-10i, -5, -10
Tabela 2.3: EDO’s lineares com coeficientes constantes para estudar o tempo de aco-moda¸c˜ao
Na figura 2.1 temos gr´aficos com a solu¸c˜ao das quatro equa¸c˜oes diferenciais da tabela 2.4 e suas respectivas fun¸c˜oes de acomoda¸c˜ao.
Defini¸c˜ao 2.4. O tempo de acomoda¸c˜ao com precis˜ao p, comp∈(0,1), denotado por ta, da EDO linear com coeficientes constantes est´avel
y(n)+an
−1y(n−1)+. . .+a1y(1)+a0y=u(t) ´e o valor de t que satisfaz
fa(t) =p 1 a0 onde fa ´e a fun¸c˜ao de acomoda¸c˜ao da EDO.
Assim como a fun¸c˜ao de acomoda¸c˜ao, o tempo de acomoda¸c˜ao tamb´em ´e conhecido como tempo de estabelecimento ou de assentamento. Pela defini¸c˜ao de tempo de aco-moda¸c˜ao, se estivermos interessados em determinar o tempo de acomoda¸c˜ao de uma EDO com precis˜ao de 99%, precisamos determinar o valor det, tal que a fun¸c˜ao de acomoda¸c˜ao nesse valor ´e 99% do valor limite, 1/a0.
Proposi¸c˜ao 2.7. O tempo de acomoda¸c˜ao da EDO est´avel
y(n)+an−1y(n−1)+. . .+a1y(1)+a0y=u(t)
´e
ta = ln(1−p)
c (2.2)
onde c´e a parte real do autovalor que possui a maior parte real dentre os autovalores da
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 0 0.005 0.01 0.015 0.02 0.025
(a) exemplo 1
0 1 2 3 4 5
0 0.001 0.002 0.003 0.004 0.005 0.006 0.007 0.008 0.009 0.01
(b) exemplo 2
0 0.5 1 1.5 2
0 0.5 1 1.5 2 2.5
3x 10 −5
(c) exemplo 3
0 0.5 1 1.5 2
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8x 10
−4
(d) exemplo 4
Figura 2.1: An´alise do tempo de acomoda¸c˜ao das EDO’s da tabela 2.4
Demonstra¸c˜ao. Pela defini¸c˜ao de tempo de acomoda¸c˜ao temos que
fa(ta) =p 1 a0
sendo c a parte real do autovalor que possui a maior parte real dentre os autovalores da EDO, temos
fa(ta) = p a0 ⇒
1 a0 −
1 a0
ecta = p
a0
⇒ 1−ecta =p
⇒ ecta = 1
−p
logo,
ta= ln(1−p) c .
M´
etodos Splines para o C´
alculo
Aproximado da Solu¸c˜
ao de EDOs
Nesse cap´ıtulo ser´a descrito Spline polinomial (Burden e Faires [3]) e ser˜ao apresen-tados m´etodos num´ericos para o c´alculo aproximado da solu¸c˜ao de EDOs baseado em t´ecnicas de interpola¸c˜ao por splines que chamaremos de m´etodo da Sub-parti¸c˜ao, m´etodo da Suavidade e m´etodo da Suavidade Adaptado.
Esses m´etodos s˜ao capazes de aproximar a solu¸c˜ao de EDO gerais (incluindo equa¸c˜oes n˜ao lineares e n˜ao est´avel). Por´em mesmo no caso linear est´avel eles parecem ser competi-tivos com os m´etodos normalmente usados, como o c´alculo da solu¸c˜ao exata e os m´etodos de Runge-Kutta.
Quando a EDO a ser estudada for linear com coeficientes constantes e est´avel esses m´etodos determinar˜ao um spline de aproxima¸c˜ao para a regi˜ao da solu¸c˜ao da EDO menos est´avel, conhecido como regime transit´orio, visto que no regime permanente a solu¸c˜ao pode ser aproximado por uma fun¸c˜ao constante.
Por fim, ser˜ao apresentados resultados num´ericos comparativos com o m´etodo de Euler (Boyce e DiPrima [2], Mathews [9]), m´etodo num´erico cl´assico para resolu¸c˜ao num´erica
de EDO’s, em tempo computacional e erro relativo.
Com exce¸c˜ao dessa primeira se¸c˜ao, que trata sobre Spline de modo geral, todas as outras se¸c˜oes apresentam resultados novos (que n˜ao foram encontrados na literatura), ou seja, o m´etodo da Sub-parti¸c˜ao, o m´etodo da Suavidade, o m´etodo da Suavidade Adaptado que permitem o c´alculo aproximado da solu¸c˜ao de EDO’s lineares s˜ao apresentados pela primeira vez nesse trabalho.
3.1
Spline
A t´ecnica de interpola¸c˜ao por Spline ´e usada quando se deseja passar por um conjunto de pontos dados no plano uma fun¸c˜ao cont´ınua e suave (sem bicos). Uma discuss˜ao completa sobre esse tema pode ser encontrado em Ahlberg, Nilson, and Walsh [1].
Defini¸c˜ao 3.1. Sejam xj, yj ∈R para j = 1,2, . . . , nk com n, k ∈N∗ e x1 > x2 > . . . >
xnk. Um Spline de grau n e ordem k ´e uma fun¸c˜ao polinomial por partes de classe Ck
que satisfaz
S(xj) =yj ∀j = 1,2, . . . , nk.
O problema geral que leva ao uso de spline ´e interpolar por um conjunto de pontos dados no plano uma fun¸c˜ao que ´e polinomial por partes.
Uma forma de determinar os coeficientes de cada um dos polinˆomios
Si(x), i= 1,2, . . . , n−1
´e montar um sistema linear baseado nas condi¸c˜oes que definem o spline S(x). Considere uma situa¸c˜ao onde se deseja determinar um spline de grau 3 e ordem 1 que interpola os pontos no plano, p1 = (x1, y1), p2 = (x2, y2), . . . , pn = (xn, yn). Para isso definaS0(x) = 0
e
Em cada intervalo [xk, xk+1] vamos determinar constantes ak, bk, ck, dk tais que possamos
definir uma fun¸c˜ao que passe pelos pontospk = (xk, yk) dados, e seja de classe C2.
Essas quatro vari´aveis, para cadak = 1,2, . . . , n−1 s˜ao determinadas por um sistema de equa¸c˜ao
Sk(xk) = yk S′
k(xk) = Sk′−1(xk)
S′′
k(xk) = Sk′′−1(xk)
Sk(xk+1) = yk+1
(3.1)
sendo assim pode-se definir a fun¸c˜ao (spline), S(x), que passa pelos pontos dados
S(x) =Si(x), se xi < x≤xi+1.
Nesse trabalho iremos chamar as trˆes primeiras linhas do sistema 3.1 de condi¸c˜oes de suavidade e a ´ultima linha de condi¸c˜ao de interpola¸c˜ao (a primeira linha tamb´em pode ser considerada uma condi¸c˜ao de interpola¸c˜ao).
Exemplo 3.1. Dados os pontos p1 = (1,3), p2 = (2,5), p3 = (4,2) e p4 = (6,3) determi-nar uma fun¸c˜ao que passa por esses pontos e seja de classe C2 no intervalo [1,6].
Substituindos os pontos dados no sistema de equa¸c˜oes 3.1 para k = 1,2,3, temos trˆes sistemas de equa¸c˜oes lineares e resolvendo cada um temos
S(x) =
2x3 − 6x2 + 6x + 1, se 1≤x≤2
−4.875x3 + 35.25x2 − 76.5x + 56, se 2< x <4
18.875x3 − 249.75x2 + 1063.5x − 1464, se 4≤x≤6
A determina¸c˜ao e solu¸c˜ao desses sistemas foram calculadas numericamente o software M atlab.
1 2 3 4 5 6 −35
−30 −25 −20 −15 −10 −5 0 5 10 15
S(x)
x
(a) Gr´afico de S(x)
1 2 3 4 5 6
2 2.5 3 3.5 4 4.5 5
S(x)
x
(b) Gr´afico de S(x) ampliado
Figura 3.1: Gr´afico da solu¸c˜ao do exemplo 3.1
3.2
M´
etodo da Sub-parti¸c˜
ao
Nessa se¸c˜ao ser´a apresentado o m´etodo da Sub-parti¸c˜ao que permite determinar um spline de grau m e classe C1, como solu¸c˜ao aproximada de uma Equa¸c˜ao Diferencial
Ordin´aria. Esse m´etodo foi criado especificamente para esse trabalho.
Considere a seguinte EDO geral de ordem n
f(y, y(1), . . . , y(n), t) = r(t)
estamos interessados em determinar uma fun¸c˜ao (spline) que seja uma aproxima¸c˜ao para solu¸c˜ao exata dessa EDO, y(t). O processo se inicia definindo o intervalo [0, xf] onde ser´a feita aproxima¸c˜ao quando a EDO que se deseja aproximar a solu¸c˜ao for linear com coeficientes constantes pode-se tomar xf =ta. O intervalo [0, xf] deve ser dividido, em s intervalos, ondes∈N, de forma que o comprimento de cada um deles seja o mesmo (por
quest˜ao de simplicidade). Definindohcomo sendo o comprimento de cada intervalo temos sh = xf. Sendo assim, temos s intevalos: I1 = [0, h], I2 = [h,2h], . . . , Is = [(s−1)h, sh]
e em cada um desses intervalos o spline de aproxima¸c˜ao S(t) ser´a um polinˆomio de grau m, onde m >2.