calculo aula1.1[1]

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Funções (Aula 1/3)

Faculdade de Sistemas de Informação - UFPA Disciplina de Cálculo Computacional I

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Referência

  Este material é baseado nos slides de apoio e no livro

“Cálculo Vol. 1” de James Stewart, editora Cengage Learning.

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Introdução

  Cálculo é a parte da matemática que trata de variações,

de acumulo de quantidades e de quantidades que tendem a outras quantidades.

  O objeto fundamental do cálculo são as funções.

  Este capítulo abre o caminho para o cálculo discutindo:

  As ideias básicas concernentes às funções;   Os gráficos;

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Introdução

  EXEMPLO A

  A área A de um círculo depende de seu raio r;   A lei que relaciona r e A é dada por A =πr2.

  EXEMPLO B

  A população humana mundial P depende do tempo t;

  A tabela ao lado fornece estimativas da população mundial P(t) no instante t, para determinados anos.

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Introdução

  EXEMPLO C

  O custo C de enviar uma carta pelos Correios depende de seu peso w. Os Correios têm uma fórmula que permite calcular C dependendo da faixa em que w se encontra.

  EXEMPLO D

  A figura abaixo mostra o gráfico gerado pela atividade sísmica durante o terremoto de Northridge, que abalou Los Angeles em 1994.

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Introdução

  Cada um dos exemplos anteriores descreve uma lei segundo

a qual, dado um número (r, t, w ou t), fica determinado outro número(A, P, C ou a).

  Em cada caso dizemos que o segundo número é uma

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Função

  Uma função f é uma lei ou uma regra que associa cada

elemento x em um conjunto D exatamente a um elemento

y=f(x), em um conjunto E.

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Função

  D é chamado domínio da função f e corresponde ao conjunto

de todos os valores de x “aceitos” por f.

  E é chamado imagem da função f e corresponde ao conjunto

de todos os valores possíveis de f(x).

  x é chamado variável independente e f(x) de variável

dependente.

  Nos nossos estudos consideraremos as funções , ou seja

para as quais o domínio e a imagem são conjuntos de números reais.

  OBS: f(x) pode ser igual para diferentes valores de x, mas cada

valor de x só pode ter correspondência com um único valor f(x). €

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Função

  É útil considerar uma função como uma máquina:

  Se x estiver no domínio da função f, quando x entrar na máquina, ele será aceito como entrada, e a máquina produzirá uma saída f(x) de acordo com a lei que define a função.

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Gráfico de uma Função

  Como pode ser observado pelos exemplos A, B, C e D,

mostrados anterior mente, as funções podem ser representadas de 4 formas distintas:

  Por uma equação;   Por uma tabela;

  Por meio de palavras; ou   Por um gráfico.

  Sendo que entre estas, o gráfico é a forma mais comum de

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Gráfico de uma Função

  Se f for uma função com domínio D e imagem I, então seu

gráfico será o conjunto de pares ordenados:

  Em outras palavras, o gráfico de f consiste em todos os

pontos (x, y) do plano coordenado, tais que, x está no domínio de f e y=f(x) está na imagem de f.

  O gráfico de uma função f nos dá uma visualização útil do

comportamento ou da “história de vida” de uma função.

€

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Gráfico de uma Função

  Para cada par (x, f(x)), marca-se um ponto no plano

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Gráfico de uma Função

  O gráfico também nos permite visualizar o domínio (sobre o

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Gráfico de uma Função

  EXEMPLO: f(x) = x2

  Observando o gráfico:

  Domínio , ou seja, não há limitações para o valor de x;

  Imagem , ou seja, qualquer valor de x leva f(x) a um valor não negativo.

€

D = {x | x ∈ R}

€

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Exemplo de Funções

  Deseja-se construir uma caixa retangular para armazenar

10m3_{de um determinado produto.}

  O material utilizado para construir a base da caixa custa R

$10,00 o m2_.

  O material para construir os lados custa R$6,00 o m2.

  A caixa não possui tampa.

  Se o comprimento da base (w) deve ser o dobro da sua

largura, qual a função que relaciona o comprimento w com o custo C de construir a caixa? C(w)=?

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Exemplo de Funções

  A área da base é (2w)w = 2w2

  Assim o custo para construir a base é 10(2w2) = 20w2   A caixa possui dois lados com área

wh e outros dois lados com área 2wh   Assim o custo para construir os lados é

6[2(2wh) + 2(wh)] = 36wh

  O custo total para construir a caixa é

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Exemplo de Funções

  Para calcular o valor de h podemos utilizar a expressão do

volume da caixa:   V = h(2w)w = 2hw2 = 10   Então h = 10/(2w2) = 5/(w2)   Substituindo h em C(w)   C(w) = 20w2 + 36wh   C(w) = 20w2 + 36w(5/w2)   C(w) = 20w2 + 180/w

  Uma vez que w representa a largura da base, então o

domínio de w é

€

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Exemplo de Funções

  Se desenharmos o gráfico de C(w), temos

  Uma conclusão interessante ao visualizarmos o gráfico é que o

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Testa da reta vertical

  O gráfico de uma função é uma curva no plano xy.

  De imediato surge uma pergunta:

  Quais curvas no plano xy são gráficos de funções?

  Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se e

somente se nenhuma reta vertical cortar a curva mais de uma vez.

  Se qualquer reta vertical corta o gráfico da função apenas uma vez, então para todo x existe apenas um possível valor de f(x);

  Se alguma reta vertical corta o gráfico da função em mais de um ponto, então para um mesmo valor de x existe mais de um possível valor para f(x). Isto contradiz a definição de uma função.

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Testa da reta vertical

  O gráfico da esquerda representa uma função, mas o

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Testa da reta vertical

  Exemplo: o gráfico (mostrado abaixo) da parábola x = y2 – 2

não é uma função de x.

  Isto porque existem retas verticais que interceptam o gráfico duas vezes.

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Testa da reta vertical

  Comprova-se que x = y2 – 2 não é uma função de x,

observando que na realidade x é a variável dependente e

y é a variável independente, ou seja, a parábola descreve

uma função de y.

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Testa da reta vertical

  Se isolarmos y a fim de encontrar y em função de x, teremos

y=±√(x+2).

  Observe que na realidade temos duas funções

  y₁=+√(x+2)   y₂=-√(x+2)

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Funções definidas por partes

  Nas funções definidas por parte, dividi-se o domínio da

função em intervalos distintos e para cada intervalo associa-se uma determinada regra.

  OBS: não existe interseção entre os intervalos e a união de

todos os intervalos deve ser igual ao próprio domínio da função.

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Funções definidas por partes

  EXEMPLO 1:

  Se x estiver no intervalo ]-∞, 1] o valor de f(x) será 1-x

  Se x estiver no intervalo ]1, +∞[ o valor de f(x) será x2   O domínio de f(x) é Dx= ]-∞, 1] U ]1, +∞[

€

f (x) =

1 − x se x ≤ 1

x

2

se x > 1

$

%

&

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Funções definidas por partes

  EXEMPLO 2:

  Se x estiver no intervalo ]-∞, 0[ o valor

de f(x) será -x

  Se x estiver no intervalo [0, +∞[ o valor

de f(x) será x   O domínio de f(x) é Dx= ]-∞, 0[ U [0, +∞[

€

f (x) =| x |

=

x se x ≥ 0

−x se x < 0

$

%

&

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Funções definidas por partes

  EXEMPLO 3:

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Funções definidas por partes

  Exemplo 3:

  Verificamos que existem 3 intervalos distintos

  0≤x≤1

  1<x≤2

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Funções definidas por partes

  Exemplo 3:

  Para o primeiro intervalo 0≤x≤1:

  Tem-se um reta que passa pelos pontos (0,1) e (1,1), então encontramos essa reta que tem equação y = x

€

f (x) =

x se 0 ≤ x ≤ 1

__ se 1 < x ≤ 2

__ se x > 2

#

$

%

&

%

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Funções definidas por partes

  Exemplo 3:

  Para o segundo intervalo 1<x≤2:

  No segundo intervalo também tem-se uma reta que passa pelos pontos (1,1) e (0,2), então para este intervalo y = -x+2.

  Observe que a componente x do ponto (1,1) está fora deste segundo intervalo, contudo como a reta deste intervalo passaria por este ponto, caso este intervalo incluísse x=1, então pode-se usar este ponto somente para encontrar a equação da reta

€

f (x) =

x se 0 ≤ x ≤ 1

−x + 2 se 1 < x ≤ 2

__ se x > 2

$

%

&

'

&

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Funções definidas por partes

  Exemplo 3:

  Para o terceiro intervalo x>2:

  Para este intervalo, verifica-se que o valor da função é constante e igual a zero, assim f(x)=0.

  A fórmula completa que define esta função é:

€

f (x) =

x se 0 ≤ x ≤ 1

−x + 2 se 1 < x ≤ 2

0 se x > 2

$

%

&

'

&

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Simetrias

  FUNÇÃO PAR:

  Se uma função satisfaz f(-x) = f(x) para todo x em seu

domínio, então f é uma função par.

  Por exemplo, f(x)=x2 é par, pois

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Simetrias

  O significado geométrico de uma função ser par é que seu

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Simetrias

  FUNÇÃO ÍMPAR:

  Se uma função satisfaz f(-x) = -f(x) para todo x em seu

domínio, então f é uma função ímpar.

  Por exemplo, f(x)=x3 é ímpar, pois

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Simetrias

  O significado geométrico de uma função ser ímpar é que

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Simetrias

  Exemplo: determine se a função é par, ímpar ou nenhum dos

dois:

  a) f(x) = x5 + x

  b) g(x) = 1 – x4

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Simetrias

  Exemplos

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Funções crescentes e decrescentes

  O gráfico a seguir se eleva de A para B, cai de B para C, e

sobe novamente de C para D.

  Dizemos que a função f é crescente no intervalo [a, b],

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Funções crescentes e decrescentes

  Observe que se x₁ e x₂ forem dois números quaisquer entre a

e b com x₁ < x₂, então f(x₁) < f(x₂).

  Vamos usar isso como a propriedade que define uma

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Funções crescentes e decrescentes

  Uma função é chamada crescente em um intervalo I se

    E decrescente em I se  

€

f (x

₁

) < f (x

₂

) ∀x

₁

, x

₂

∈ I | x

₁

< x

₂

€

f (x

₁

) > f (x

₂

) ∀x

₁

, x

₂

∈ I | x

₁

< x

₂

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Funções crescentes e decrescentes

  Exemplo: f(x) = x2

  Crescente no intervalo[0, +∞[   Decrescente no intervalo ]-∞, 0]