Acoplamento BCS em um líquido de Luttinger em uma dimensão

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(1)Catalogação da Publicação na Fonte. UFRN / SISBI / Biblioteca Setorial Centro de Ciências Exatas e da Terra – CCET.. Eneias, Ronivon Lourenço. Acoplamento BCS em um líquido de Luttinger em uma dimensão / Ronivon Lourenço Eneias. - Natal, 2015. 118 f. : il. Orientador: Prof. Dr. Álvaro Ferraz Filho. Tese (Doutorado) – Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Centro de Ciências Exatas e da Terra. Programa de Pós-Graduação em Física.. 1. Supercondutores – Tese. 2. Emparelhamento do tipo BCS - Tese. 3. Bosonização – Tese. 4. Quasipartículas antinodais e nodais - Tese. I. Ferraz Filho, Álvaro. II. Título.. RN/UF/BSE-CCET. CDU: 538.945.

(2) UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO GRANDE DO NORTE ˆ CENTRO DE CIENCIAS EXATAS E DA TERRA ´ DEPARTAMENTO DE FÍSICA TEORICA E EXPERIMENTAL ´ ˜ EM FÍSICA PROGRAMA DE POS-GRADUA C ¸ AO. Ronivon Louren¸co Eneias. Acoplamento BCS em um L´ıquido de Luttinger em uma dimens˜ ao..

(3) Ronivon Louren¸co Eneias. Acoplamento BCS em um L´ıquido de Luttinger em uma dimens˜ ao.. Tese apresentada ao Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em F´ısica do Departamento de F´ısica Te´ orica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten¸c˜ ao do grau de Doutor em F´ısica.. ´ Area de Concentra¸c˜ ao: Mat´ eria Condensada. Orientadora:. Prof. Dr. Alvaro Ferraz Filho.

(4) Ronivon Louren¸co Eneias. Acoplamento BCS em um L´ıquido de Luttinger em uma dimens˜ ao. Tese apresentada ao Programa de P´ os-Gradua¸c˜ ao em F´ısica do Departamento de F´ısica Te´ orica e Experimental da Universidade Federal do Rio Grande do Norte como requisito parcial para a obten¸c˜ ao do grau de Doutor em F´ısica.. ´ Area de Concentra¸c˜ ao: Mat´ eria Condensada. Aprovado em:. /. /. Banca Examinadora: Prof. Dr. Alvaro Ferraz Departamento de F´ısica Te´ orica e Experimental - UFRN Orientador Prof. Dr. Pasquale Sodano IP-UFRN Examinador Interno Prof. Dr. Dmitry Melnikov IIP-UFRN Examinador Interno Prof. Dr. Eduardo Cantera Marino IF - Instituto de F´ısica-UFRJ Examinador Externo Prof. Dr. Eberth de Almeida Corrˆ ea ?Faculdade de Engenharia-UNB Examinador Externo.

(5) Dedicat´ oria ` Deus e a minha fam´ılia. Opcional. A. i.

(6) Agradecimentos Agrade¸co primeiramente a Deus pela vida concedida e por me dar for¸ca e dedica¸caõ para prosseguir nos momentos mais dif´ıceis. Um especial agradecimento à minha mãe por ter acreditado em mim, diante de todas as dificuldades neste longo caminho percorrido até aqui. ` minha querida esposa Vitória e ao meus filho Rônulo e Vanessa, pelo apoio e A incentivo constantes. Obrigado! Aos meus irmãos e irmãs, por estarem sempre ao meu lado nos momentos dif´ıceis. ´ Agrade¸co ao meu orientador e amigo professor Dr. Alvaro Ferraz Filho por me orientar e pela amizade e dedica¸caõ demostrada durante a realiza¸cão deste trabalho de Doutorado. Gostaria de deixar um agradecimento aos professores S. Brazovskii e Hratchya M. Babujian, e ao colega de sala Dr. Oleg Alekseev por importantes comentários e discussões que contribu´ıram em muito para com esse trabalho..

(7) ”Os ensinamentos das pessoas sábias são uma fonte se vida.” Provérbios 13.14.

(8) Resumo. Neste trabalho nós investigamos o efeito de um emparelhamento do tipo BCS para férmions livres sem spin, em 1+1 dimensões. Usando técnicas de bosoniza¸caõ testamos a existência de modos de quasipart´ıculas no estado supercondutor resultante. Nós calculamos a fun¸caõ de Green de uma part´ıcula isolada, a fun¸caõ de correla¸cão de pares, a fun¸cão espectral e a condutividade o´ptica e mostramos como elas diferem das fun¸co˜es análogas para quasipart´ıculas convencionais. Nós compararmos os nossos resultados com os resultados experimentais relacionados aos supercondutores de alta temperatura e mostramos que eles se encaixam qualitativamente bem com os modos de quasipart´ıculas observados nesses materiais.. Palavras-chave: Emparelhamento do tipo BCS. Bosoniza¸cão. Quasipart´ıculas antinodais e nodais.. iv.

(9) Resumo In this work we investigate the effect of a BCS-type pairing for free spinless fermions, in 1+1 dimension. Using bosonization techniques we test the existence of quasiparticle modes in the resulting BCS like superconducting state. We calculate the single particle Green’s function, the pair correlation function, the spectral function and the optical conductivity and we show how they differ from their conventional quasiparticle analogues. We compare our results with the related experimental findings for high temperature superconductors and we show that they fit qualitatively well the observed quasiparticles modes in those materials..

(10) Keywords: BCS pairing. Bosonization. Nodal and antinodal quasiparticle. i.

(11) Sum´ ario. 1 Introdu¸c˜ ao. 1. 1.1. Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 1. 1.2. Objetivos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 1.3. Descri¸caõ dos Cap´ıtulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 3. 2 Bosoniza¸c˜ ao e o L´ıquido de Luttinger. 5. 2.1. Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 5. 2.2. Conceitos sobre Bosoniza¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 6. 2.3. Bósons Livres e Elétrons Livres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 9. 2.4. Bosoniza¸cão do L´ıquido de Luttinger . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 18. 2.5. Fun¸co˜es de Correla¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 23. 2.6. O Modelo de sine-Gordon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 26. 2.7. Teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner . . . . . . . . . . . . . . . . .. 28. 3 Liquido de Fermi-Landau. 30. 3.1. Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 30. 3.2. Energia de Excita¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 31. 3.3. Quasipart´ıculas de Landau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 32. 4 Quasipart´ıculas Nodais e Antinodais 4.1. Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. ii. 39 39.

(12) 4.2. Aspectos Gerais dos Cupratos e Diagrama de Fase . . . . . . . . . . . .. 40. 4.3. Quasipart´ıculas nos Cupratos Supercondutores de Alta Temperatura . .. 47. 5 Acomplamento BCS em um L´ıquido de Luttinger em uma Dimens˜ ao 52 5.1. Introdu¸caõ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 52. 5.2. Esquema de Bosoniza¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 54. 5.3. ´ Fun¸caõ de Correla¸caõ de Pares e Fun¸cão de Green de uma Unica part´ıcula 59. 5.4. Fun¸caõ de Correla¸cão Completa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 62. 5.5. Fun¸caõ Espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 63. 5.6. ´ Condutividade Optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 67. 6 Conclus˜ ao. 74. A Transformada de Fourier da Fun¸c˜ ao de Green. 77. A.1 Cálculo da Fun¸caõ de Green . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B. 77. Fun¸c˜ ao Espectral. 83. C Fatores de Forma. 90. C.1 Fatores de Forma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 90. C.1.1 Fun¸co˜es de Correla¸cão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 92. ´ C.1.2 Condutividade Optica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 95. iii.

(13) Cap´ıtulo 1 Introdu¸ c˜ ao. 1.1. Introdu¸c˜ ao. Os cupratos supercondutores se notabilizam por possu´ırem propriedades metálicas anômalas acima da temperatura cr´ıtica Tc e uma fase supercondutora do tipo-d em baixas temperaturas. Em dopagem o´tima e em baixas dopagens na fase metálica para T > Tc , as quasipart´ıculas não são bem definidas, mesmo na vizinhan¸ca da superf´ıcie de Fermi. Em contraste, para T < Tc , na fase supercondutora, apesar do fato que essa fase está longe de ser um estado supercondutor convencional do tipo BCS, nota-se a presen¸ca de pares de Cooper assim como estados bem definidos de quasipart´ıculas ao longo da dire¸caõ nodal, que são, portanto, chamadas de quasipart´ıculas nodais. Nas regiões antinodais no espa¸co de momento e, também na fase supercondutora, existe um ”gap” de energia diferente de zero [1], e estados de quasipart´ıculas que, por sua vez são observados sempre que se dá a quebra dos pares de Cooper presentes nessa região. Essas observa¸cões levantam uma questão sobre essas excita¸cões de uma u ńica part´ıcula próximas ao estado fundamental; se temos essas excita¸co˜es na fase supercondutora 1.

(14) 1.1 Introdu¸caõ. 2. abaixo de Tc , por que elas não são observadas no estado de pseudogap nem na fase metálica anômala acima de Tc . Sabemos que os cupratos supercondutores de alta temperatura são materiais bidimensionais (camadas bidimensionais de óxido de cobre). Porém, é também verdade que esses notáveis supercondutores exibem caracter´ısticas t´ıpicas de um gás de elétrons, bem como propriedades de transporte caracter´ısticas de sistemas unidimensionais [16]. Existe evidencia recente de fortes correla¸co˜es entre ondas de densidade de carga e o parâmetro de ordem de um supercondutor do tipo d. Essas correla¸cões também são t´ıpicas de um gás de elétron em 1D. O modelo básico de referência para um estado de não l´ıquido de Fermi em 1 + 1, é claro, o modelo de um ´ de fato muito importante tentar entender, como l´ıquido de Tomonaga-Luttinger [19]. E um termo de intera¸caõ do tipo BCS afeta diretamente as propriedades das fun¸cões de Green de uma u ńica part´ıcula, no Hamiltoniano do l´ıquido de Tomonaga-Luttinger mesmo para férmions sem spin em uma dimensão. Levando-se em conta que nos cupratos supercondutores, as quasipart´ıculas nodais convivem com pares de Cooper que se situam uniformemente nas regiões antinodais no espa¸co de momenta, nós formulamos um modelo m´ınimo que descreve essa situa¸cão. Alem disso, calculamos as fun¸co˜es de correla¸cão associadas que são de estrema relevância para descrever a natureza dos estados de uma u ńica part´ıcula, na presen¸ca de uma gap supercondutor do tipo BCS..

(15) 1.2 Objetivos. 1.2. 3. Objetivos. Nosso objetivo é investigar diretamente o efeito que esse termo de emparelhamento do tipo BCS produz em um l´ıquido de Tomonaga-Luttinger. Usando métodos de bosoniza¸caõ, técnica muito usada em sistemas unidimensionais e o método de fatores de forma para auxilar nos cálculos de fun¸cões de correla¸co˜es, vamos explorar a condi¸caõ de existência de quasipart´ıculas no nosso modelo. Nós Verificamos a validade do teorema de Mermin-Wagner-Hohenberg [85] e calculamos também algumas propriedades dinâmicas de transporte para o nosso modelo.. 1.3. Descri¸c˜ ao dos Cap´ıtulos. No Cap´ıtulo seguinte, falaremos sobre o liquido de Luttinger e faremos uma breve introdu¸cão sobre a ferramenta matemática conhecida como bosoniza¸caõ. A bosoniza¸caõ é uma ferramenta muito usada, especialmente, em uma dimensão. Este é o método principal usado aqui nesta tese. Essa técnica consiste de um mapeamento sistemático de um sistema fermiônico (estados, operadores, Hamiltonianos, etc.) em um modelo análogo de campos bosônicos. A linguagem bosônica é a`s vezes mais adequada para a compreensão do sistema f´ısico e em alguns casos, até permitindo uma solu¸caõ exata, como veremos. No Capitulo 3, veremos os conceito básicos da teoria do l´ıquido de Fermi que foi desenvolvido por Landau entre 1957-1959. A conclusão básica é que um gás de part´ıculas que interagem ente si pode ser descrito por um sistema de ”quasipart´ıculas”sem intera¸cão..

(16) 1.3 Descri¸cão dos Cap´ıtulos. 4. No quarto Cap´ıtulo, abordamos aspectos gerais sobre cupratos supercondutores e as quasipart´ıculas nodais e antinodais cujo melhor entendimento da dinâmica pode nos ajudar a entender, o ainda desconhecido mecanismo de forma¸cão dos pares de Cooper, nesses supercondutores de alta temperatura. Os cupratos supercondutores possuem algumas caracter´ısticas de um modelo unidimensional. Por exemplo, as velocidades de Fermi no ”hot spots” de sua superf´ıcie de Fermi comporta-se com se fossem unidimensionais. Finalmente no Capitulo 5, vamos discutir o assunto desta tese, considerando férmions livres sem spin na presen¸ca de um condensado de pares de quasipart´ıculas, em um gás de elétron em 1D. A proposta do cap´ıtulo 5 é analisar como um termo de intera¸cão do tipo BCS afeta diretamente as propriedades de uma u ńica part´ıcula, na hamiltoniano de Tomonaga-Luttinger, com dois tipos de quasipart´ıculas, no espa¸co 1D. Vamos usar o método de bosoniza¸caõ e fatores de forma para fazer essa análise. Reservamos para o Capitulo 6, as conclusões finais desta tese. Os Apêndices A, B e C usaremos para demonstrar com mais detalhes alguns dos cálculos do Capitulo 5. Em cada cap´ıtulo, tentamos motivar e apoiar o modelo de Tomonaga-Luttinger como referência básica para o estado normal dos cupratos supercondutores. Esse é o objetivo inicial deste trabalho, apresentando nossas solu¸cões para esses materiais como uma tentativa de chegar a previsões quantitativas sobre esses supercondutores. Infelizmente, a complexidade dos cupratos requer cálculos mais detalhados que estão fora do escopo deste trabalho. No entanto, acreditamos que a solu¸caõ do modelo apresentado aqui é um bom ponto de partida na tentativa de descrever com precisão esses materiais..

(17) Cap´ıtulo 2 Bosoniza¸ c˜ ao e o L´ıquido de Luttinger. 2.1. Introdu¸c˜ ao. A observa¸caõ crucial que as excita¸cões de baixa energia em um metal unidimensional podem ser descritos em termos de férmions de Dirac sem massa em 1+1 dimensões foi feita por Tomonaga [13]. Essa foi uma ideia que, mais tarde, produziu muitas outras ramifica¸cões. Uma das mais importantes foi feita por Luttinger [14] que propôs um modelo, hoje chamado modelo de Luttinger, incorporando parcialmente as aproxima¸co˜es feitas por Tomonaga. As excita¸co˜es do sistema são descritas em termos de dois tipos de férmions com rela¸cão de dispersão linear, em um mar de Dirac cujo estados com energias negativas estão todos preenchidos. Luttinger conjecturou que seu modelo era exatamente sol´ uvel, mas essa solu¸caõ só foi encontrada mais tarde por Mattis e Lieb. A solu¸caõ do modelo Luttinger [19] é baseada 5.

(18) 2.2 Conceitos sobre Bosoniza¸caõ. 6. no fato de que os operadores de densidade satisfazem uma rela¸caõ comuta¸caõ anômala, um ponto crucial que não foi levado em conta por Luttinger. Pode se mostrar que, o termo de intera¸caõ quártica entre os férmions no hamiltoniano desse modelo é poss´ıvel ser mapeado em um termo quadrático de bósons. Veremos esse fato na se¸cão 2.4. Isto permite a determina¸cão de todas as fun¸cões de correla¸caõ e de várias outras grandezas f´ısicas também. Verificou-se também que a intera¸caõ altera radicalmente o comportamento f´ısico das part´ıculas em um l´ıquido de Luttinger. O n´ umero de ocupa¸cão, que tem uma descontinuidade na ausência de intera¸caõ, torna-se cont´ınuo nos pontos de Fermi.. 2.2. Conceitos sobre Bosoniza¸ c˜ ao Para teorias de campo unidimensionais que descrevem intera¸caõ entre elétrons, a. técnica de bosoniza¸caõ é geralmente um ótimo ponto de partida. Fazendo uso dessa técnica vamos introduzir a nota¸caõ usada para grande parte desta tese. A ideia básica da bosoniza¸caõ é a de que existem certas quantidades, por exemplo, as fun¸cões de correla¸caõ que podem ser calculadas em modelos tanto fermiônicos ou bosônicos e ambos dão o mesma resultado [20], [24]. Isso é muito u ´til pois, uma determinada quantidade pode ser muito dif´ıcil de se calcular em uma versão fermiônica e pode ser mais facilmente calculável na sua versão bosônica ou vice versa. A bosoniza¸cão funciona melhor em 1 + 1 dimensões do espa¸co-tempo, embora tenha havido algumas tentativas para a estendê-la à dimensões mais elevadas [21]. Em sistemas unidimensionais, a superf´ıcie de Fermi reduz-se simplesmente a dois.

(19) 2.2 Conceitos sobre Bosoniza¸caõ. 7. Figura 2.1: Uma excita¸caõ part´ıcula buraco na vizinhan¸ca de k = kF . pontos ±kF . As excita¸co˜es de baixa energia acima do estado fundamental consistem em se tirar um elétron perto de um destes pontos, para excitá-lo para um estado não ocupado à direita de kF ou a` esquerda de −kF , deixando assim um buraco no estado k abandonado (ver figura 2.1). A transferência de momento é q = ke − kh e a energia de excita¸cão é = Ee − Eh . Como podemos ver na figura 2.2, as excita¸co˜es de baixa energia são estados coerentes de elétrons e de buracos, e por isso essas excita¸co˜es podem ser consideradas com um u ńico estado bosônico. Embora os dois sistemas da figura 2.2 sejam diferente para grandes diferen¸cas de momentos, eles são bem parecidos entre si em baixas energias de excita¸caõ. Note que falar-se em um espectro linear é, simplesmente, equivalente a falar-se em densidades de estado constantes, que é uma aproxima¸caõ muito comum tratando-se de férmions em 1D. Em duas ou três dimensões, existe uma gama de transferências de momentos q’s (ver figura 2.3), com isso é preciso considerar ainda, as excita¸cões de part´ıculas e de buracos de maneira independentes o que dificulta em muito a análise do espectro de excita¸co˜es..

(20) 2.2 Conceitos sobre Bosoniza¸caõ. 8. Figura 2.2: Excita¸cões part´ıcula-buraco em um sistema de elétrons em 1D. Devido a` superf´ıcie de Fermi ser constitu´ıda simplesmente de dois-pontos, o espectro das excita¸co˜es de baixa energia colapsa em uma linha estreita. A largura está relacionada com a curvatura do espectro nos pontos de Fermi, essa curvatura torna-se praticamente nula para q pequeno e podemos com isso assumir que o espectro varia linearmente com o momento na vizinhan¸ca de q = 0 e q = 2kF [22]. Figura 2.3: Excita¸co˜es part´ıcula buraco em um sistema de elétrons em 2 dimensões. k é o momento em qualquer dire¸cão. Existe um cont´ınuo de excita¸cões part´ıcula buraco de baixa energia [22]..

(21) 2.3 Bósons Livres e Elétrons Livres. 9. Há uma série de bons trabalhos sobre a técnica de bosoniza¸caõ em uma dimensão, (e.g. Tsvelik, Nersesyan Gogolin [24]) ou Emery [17]. Outra revisão muito boa e bastante ampla é feita por Von Delft e Schoeller [18]. Mas aqui neste trabalho vamos seguir de perto a nota¸caõ de Senechal [22], que utiliza uma formula¸cão mais próxima da teoria de campos.. 2.3. B´ osons Livres e El´ etrons Livres. Vamos mostrar aqui a equivalência entre um modelo bosônico e um modelo fermioˆnico em uma dimensão. Consideremos primeiro as propriedades relevantes do modelo gaussiano bosônico definido pela a¸caõ. 1 S= 2. Z. . 1 2 2 dτ dx (∂τ ϕ) + v(∂x ϕ) , v. (2.1). onde τ = it é o tempo imaginário, v é a velocidade e ϕ é um campo escalar bosônico. A correspondente densidade de hamiltoniano é dada por. 1 H = vF Π2ϕ + (∂x ϕ)2 . 2. (2.2). Part´ıculas bosônicas em 1D podem ser separadas em; part´ıculas que se movem à direita do ramo (+) e part´ıculas que se movem a` esquerda do ramo (-). Podemos também separar o campo bosônico ϕ em componentes à esquerda e a` direita. Primeiro, vamos.

(22) 2.3 Bósons Livres e Elétrons Livres. 10. definir as variáveis complexas z e z¯ como. z = vτ − ix,. z¯ = vτ + ix. (2.3). e assim segue-se que. ∂τ = v(∂z + ∂z¯), ∂τ = −i(∂z − ∂z¯).. (2.4). O campo bosônico pode ser decomposto na forma. ϕ(z, z¯) = φ+ (z) + φ− (¯ z ),. (2.5). Com isso o propagador de 1-part´ıcula se fatoriza em duas partes independentes, representando part´ıculas que se movem a` esquerda e part´ıculas que se movem a` direita, que são fun¸co˜es de z¯ e z respectivamente, ou seja, são fun¸co˜es holomórficas, ou antiholomórficas. Vamos então definir o campo dual a ϕ como. ϑ(z, z¯) = φ+ (z) − φ− (¯ z ),. (2.6). e desse modo chegamos nas equa¸cões de Cauchy-Riemann. ∂z ϕ = ∂z ϑ ∂z¯ϕ = −∂z¯ϑ.. (2.7).

(23) 2.3 Bósons Livres e Elétrons Livres. 11. Em outras palavras, temos que. i∂x ϑ = ∂τ ϕ.. (2.8). A rela¸caõ de comuta¸cão entre o campo ϕ e o campo dual ϑ no mesmo instante de tempo t é [ϕ(x), ϑ(x0 )] = −iΘ(x − x0 ),. (2.9). onde Θ é a fun¸cão degrau de Heaviside. Esse resultado estabelece a rela¸cão de não localidade entre os campos ϕ e ϑ. E, por isso é natural definimos o momento conjugado Π(x, τ ) ao campo ϕ como Π(x.τ ) = −∂x ϑ,. (2.10). e que, por sua vez, satisfaz a rela¸caõ de comuta¸cão. [ϕ(x), Π(x0 )] = iδ(x − x0 ).. (2.11). Agora, podemos considerar as fun¸cões de correla¸cões para os operadores de vértices eiβψ− (¯z) e eiβψ+ (z) de maneira independente. Essa fatora¸caõ simplifica bastante os cálculos e faremos uso dela várias vezes ao longo desta tese. A fim de eliminar as divergências ou infinitos da teoria, devemos considerar o ordenamento normal dos operadores de vértices eiβφ(x) . No ordenamento normal de produtos de operadores : ABCDE... :, os operadores de destrui¸caõ (com respeito a um dado vácuo) são colocados a` direita e os operadores de cria¸cão a` esquerda. Para dois operadores A e B que podem ser.

(24) 2.3 Bósons Livres e Elétrons Livres. 12. uma combina¸caõ linear de operadores de cria¸caõ e destrui¸cão, é fácil checarmos que, o ordenamento normal dos operadores é equivalente a subtrairmos o produto desses operadores do seu valor médio no estado fundamental [23]. O ordenamento normal significa na prática que, para multiplicarmos dois operadores um pelo outro, podemos usar a fórmula abaixo [22]. 0. 0. 0. eiαφ(z) eiβφ(z ) = eiαφ(z)+iβφ(z ) e−αβhφ(z)φ(z )i ,. (2.12). onde hφ(z)φ(z 0 )i é o valor esperado desse produto de operadores no estado fundamental. Essa equa¸caõ pode ser deduzida a partir da fórmula Baker-Campell-Hausdorff. A demonstra¸cão pode ser encontrada na ref. [22]. Essa fórmula é de grande importância e simplifica bastante vários cálculos. A fun¸caõ de Green de uma part´ıcula isolada, em T = 0, pode ser derivada da seguinte maneira. A a¸caõ 2.1 escrita em termos de z e z¯ torna-se. Z. d2 z∂z ϕ(z, z¯)∂z¯ϕ(z, z¯) Z −1 d2 zϕ(z, z¯)(∂z ∂z¯ + ∂z¯∂z )ϕ(z, z¯), = 2. S =. (2.13). A equa¸caõ de movimento é. (∂z ∂z¯ + ∂z¯∂z )G(z, z¯, z 0 z¯0 ) = −δ 2 (z − z 0 , z¯ − z¯0 ).. (2.14). Essa equa¸cão pode ser resolvida facilmente se usarmos a representa¸cão da fun¸caõ delta.

(25) 2.3 Bósons Livres e Elétrons Livres. 13. em coordenadas complexas. −. 1 1 (∂z ∂z¯ + ∂z¯∂z ) ln |z − z 0 |2 = − (∂z ∂z¯ + ∂z¯∂z )(ln |z − z 0 | + ln |¯ z − z¯0 |) 4π 4π 1 1 1 = − ∂z + ∂z¯ 4π z¯ − z¯0 z − z0 = δ 2 (z − z 0 , z¯ − z¯0 ).. (2.15). Comparando 2.14 com 2.15, nós conclu´ımos que. G(z, z¯, z 0 , z¯0 ) = hϕ(z, z¯)ϕ(¯ z , z¯0 )i = −. 1 1 ln(z − z 0 ) − ln(¯ z − z¯0 ) + const. 4π 4π. (2.16). Dessa maneira, podemos facilmente ver, que, na verdade, teremos duas fun¸cões de Green associadas a esse sistema: uma fun¸cão G+ que corresponde a propaga¸caõ de elétrons situados no ramo (+) e outra fun¸caõ G− correspondente aos elétrons situados no ramo (-). Portanto, temos. 1 ln(z − z 0 ), 4π 1 hφ− (¯ z )φ− (¯ z 0 )i = − ln(¯ z − z¯0 ). 4π hφ+ (z)φ+ (z 0 )i = −. (2.17). Vamos agora para o modelo fermiônico. Considere um hamiltoniano continuo de elétrons sem intera¸caõ em uma dimensão. Podemos linearizar o espectro de uma part´ıcula com indicado na figura 2.2 próximo ao dois pontos de Fermi ±kF . Note que, as excita¸co˜es de part´ıcula buraco são agora dadas, por exemplo, para part´ıculas que se.

(26) 2.3 Bósons Livres e Elétrons Livres. 14. movem para à direita no ramo (+), por. E+,k (q) = vF (k + q) − vF k = vF q.. (2.18). Vemos com isso que as excita¸co˜es de part´ıcula buraco são totalmente independentes de k. Essas excita¸co˜es têm um momento q e energia E = vF q bem definidos. O hamiltoniano próximo aos dois pontos de Fermi pode ser escrito então na forma. † † H = −vF (−iψ+ (x)∂x ψ+ (x) + iψ− (x)∂x ψ− (x)). (2.19). onde ψ− e operador de férmions que se movem à esquerda e ψ+ o operador de férmions que se movem à direita e vF é a velocidade de Fermi. O operador de aniquila¸caõ de elétrons pode ser expandido em termos de ψ− e ψ+ como. ψ ' ψ+ (x)eikF x + ψ− (x)e−ikF x .. (2.20). As rela¸co˜es de anticomuta¸caõ entres esses campos são. {ψ+ (x), ψ+ (x0 )† } = δ(x − x0 ), † {ψ− (x), ψ− (x0 )} = δ(x − x0 ), † {ψ+ (x), ψ− (x0 )} = 0.. (2.21).

(27) 2.3 Bósons Livres e Elétrons Livres. 15. A transformada de Fourier dos operadores ψ− e ψ+ é dada por. Z. +∞. ψ± (k) = −∞. dx ikx e ψ± (x). 2π. (2.22). O anticomutador dos operadores fermiônicos no espa¸co de momento é então. † {ψ± (k), ψ± (k 0 )} = 2πδ(k − k 0 ). (2.23). O propagador fermiônico pode ser calculado prontamente resolvendo as equa¸cões de movimento,. ∂z¯hψ+ (z)ψ+ (z 0 )i = δ(z − z 0 ), ∂z hψ− (¯ z )ψ− (¯ z 0 )i = δ(¯ z − z¯0 ),. (2.24). Assim, temos que. † hψ+ (z)ψ+ (z 0 )i =. 1 1 , 2π z − z 0. (2.25). † hψ− (¯ z )ψ− (¯ z 0 )i =. 1 1 . 2π z¯ − z¯0. (2.26). Assim a bosoniza¸caõ mostra um resultado equivalente entre os dois modelos se identi-.

(28) 2.3 Bósons Livres e Elétrons Livres. 16. ficarmos os operadores fermiônicos com. ψ(+) (z) = A exp −2λφ(+) (z) , ψ(−) (¯ z ) = A exp +2λφ(+) (¯ z) ,. (2.27). onde A e λ são constantes a serem determinadas. Para determinarmos as constantes A e λ, procedemos da seguinte maneira. Usando a equa¸cão 2.12, temos. 0. hψ+ (z)ψ+ (z 0 )† i = A2 he−2λ(φ(z)−φ(z )) i(z − z 0 )−λ = A2 (z − z 0 )−λ. 2 /π. 2 /π. .. (2.28). Note que, o valor esperado do ordenamento normal de operadores. 0. he−iαφ(z)−iβφ(z )) i,. (2.29). somente é diferente de zero se α+β = 0 que é conhecida como condi¸caõ de neutralidade [22]. Comparando este resultado com a equa¸caõ 2.24, segue-se que devemos ter A = eλ=. √. √1 2π. π. Então a equivalência entre os dois modelos se o operador (2.25) é dado por. √ 1 ψ(+) (z) = √ exp − 4πφ(+) (z) , 2π √ 1 ψ(−) (¯ z ) = √ exp +2 4πφ(+) (¯ z) , 2π. (2.30).

(29) 2.3 Bósons Livres e Elétrons Livres. 17. Nós também definimos as correntes quirais como. † J+ = ψ+ ψ+ ,. (2.31). † J − = ψ− ψ− .. (2.32). A bosoniza¸caõ dessas correntes requer um pouco de cuidado, pois podemos ter divergências. Para evitar essas divergências podemos usar a equa¸caõ 2.12, junto com a técnica de ”point splitting” como veremos a seguir. A densidade de corrente pode ser escrita como J = lim−→0 ψ † (z)ψ(z+) e utilizando a fórmula acima, pode se derivar a forma bosonizada dos operadores de corrente como:. i J+ = √ ∂z φ+ , π. (2.33). −i J− = √ ∂z¯φ− . π. (2.34). Podemos provar as equa¸cões acima usando a técnica de expansão do produto de operadores ou ”point splitting”, por defini¸cão, a expansão de produtos de operadores, por exemplo, para o ramo +, a corrente J+ = ψ+ (z)† ψ+ (z), é dada por. h D Ei † † † ψ(+) (z) ψ(+) (z) = lim ψ(+) (z + ) ψ(+) (z) − ψ(+) (z + ) ψ(+) (z) . →0. (2.35).

(30) 2.4 Bosoniza¸caõ do L´ıquido de Luttinger. 18. Usando a equa¸caõ (2.18), temos que. J+ = = = =. √ √ 1 1 i 4πφ+ (z+)−i 4πφ+ (z) −4πhφ+ (z+)φ+ (z)i lim e e − 2π →0 √ 1 1 1 lim ei 4π(φ+ (z+)−φ+ (z)) − 2π →0 1 i√4π∂z (φ+ (z)) 1 1 lim e − 2π →0 i √ ∂z φ+ (z) . π. (2.36). No u ´ltimo passo usamos uma expansão de Taylor. Uma fórmula semelhante para a corrente J− pode ser obtida seguindo-se o mesmo procedimento. Assim,. i J+ = √ ∂z φ+ (z) , π −i J− = √ ∂z¯φ− (¯ z ). π. 2.4. (2.37). Bosoniza¸c˜ ao do L´ıquido de Luttinger. Vamos usar agora as identidades de bosoniza¸cão para, justamente, derivarmos a forma bosonizada do modelo do l´ıquido de Tomonaga-Luttinger. Como vimos, um sistema de férmions livres é equivalente a um sistema de bósons livre com a mesma velocidade vF . A densidade de hamiltoniano H para elétrons livre sem spin é dado por. 1 H0 = vF Π2 + (∂x ϕ)2 , 2. (2.38).

(31) 2.4 Bosoniza¸caõ do L´ıquido de Luttinger. 19. Figura 2.4: Intera¸cões consideradas no modelo de Tomonaga-Luttinger. A linha cheia representa férmions com momento próximo a +kF (férmions que se propagam para a direita) e a linha pontilhada representa férmions com momento próximo a −kF (férmions que se propagam para a esquerda). A nota¸cão g para denotar as diferentes intera¸cões é conhecida como g-ologia que, em termos do campo ϕ e do campo dual ϑ, tem a forma simétrica. 1 H0 = vF (∂x ϑ)2 + (∂x ϕ)2 . 2. (2.39). Por sua vez, a densidade de hamiltoniano das intera¸cões pode ser escrita na forma. Hint = 2g2 J+ (z)J− (¯ z ) + g4 J+2 (z) + J−2 (¯ z) .. (2.40). O processo g4 , ver figura 2.4 (a)-(b), é o acoplamento de férmions que se situam no mesmo ramo de um dos pontos de Fermi. g2 é o acoplamento de férmions que se situam em ramos diferentes desses pontos de Fermi. Entretanto, mesmo sobre o efeito dessas intera¸cões, cada férmion permanece no seu próprio ramo da superf´ıcie de Fermi. Essas intera¸cões de baixa transferência de momento e energia estão associadas aos processos de espalhamento frontal da figura 2.4 (c)..

(32) 2.4 Bosoniza¸caõ do L´ıquido de Luttinger. 20. As densidades de part´ıculas que se movem a` direita e a` esquerda dentro do mapa de bosoniza¸cão podem ser escritas como. i √ (∂x ϕ − Π) 2 π 1 ≡ √ ∂x (ϕ − ϑ), 2 π. J+ (z) =. (2.41). e. −i √ (∂x ϕ + Π) 2 π 1 ≡ √ ∂x (ϕ + ϑ). 2 π. J− (¯ z) =. (2.42). Em termos dessas duas densidades de carga Hint é dada por. Hint = g4 (J+2 + J−2 ) + 2g2 J+ J− .. (2.43). Aqui, o termo de intera¸caõ de espalhamento frontal associado a contribui¸caõ de g4 é. g4 (J+2 + J−2 ) =. g4 2 (Π + (∂x ϕ)2 ). 2π. (2.44). Similarmente, a contribui¸caõ g2 para a densidade de hamiltoniano de intera¸cão pode ser escrito na forma. 2g2 J+ J− =. g4 ((∂x ϕ)2 − Π2 ). 2π. (2.45).

(33) 2.4 Bosoniza¸caõ do L´ıquido de Luttinger. 21. Assim, vemos que a densidade de hamiltoniano do modelo de Tomonaga-Luttinger pode ser representado por uma teoria bosônica efetiva que incluem os efeitos de intera¸cões. O efeito resultante pode ser absolvido em dois novos parâmetros. Vamos diagonalizar este Hamiltoniano por meio de uma transforma¸caõ de Bogoliubov:. J+ = cosh λJ˜+ + sinh λJ˜− J− = sinh λJ˜+ + cosh λJ˜− ,. (2.46). com. tanh 2λ = −. g2 . πvF + g4. (2.47). Logo, podemos reescrever o hamiltoniano de TL na forma bosônica. 1 = v 2. HT L. . 1 2 2 Π + K(∂x ϕ) , K. (2.48). onde v e K são dados por s. e. 2. −. g2 π. v u g u vF + 4 + u π K=t g4 vF + − π. g2 π g2 . π. v=. g4 vF + π. 2 ,. (2.49). (2.50). O parâmetro K é conhecido como parâmetro de Luttinger e v é a chamada velo-.

(34) 2.4 Bosoniza¸caõ do L´ıquido de Luttinger. 22. cidade de Fermi efetiva. Portanto, vemos que o modelo de Tomonaga-Luttinger que descreve as densidades de flutua¸cões para férmions que interagem em uma dimensão, é efetivamente equivalente a uma teoria de bósons livres. Também vemos imediatamente dois efeitos: para g2 = 0, o u ńico efeito do termo de intera¸caõ do espalhamento frontal, parametrizado pela constante de acoplamento g4 é renormalizar a velocidade de Fermi, se incluirmos os efeitos de spin, g4 está associado também a separa¸caõ de spin-carga; já a o termo de intera¸cão de espalhamento frontal associado a g2 altera o peso relativo dos termos ∂x φ e ∂x ϑ no hamiltoniano. Podemos notar que, de maneira bastante geral, se K < 1, ou seja, g2 /πvF > 0 a intera¸caõ é repulsiva e se K > 1, (g2 /πvF < 0) a intera¸cão é atrativa. Finalmente para K = 1, g2 = g4 = 0, o l´ıquido de Luttinger torna-se um gás de eletron livres. Nós podemos sintetizar nossas representa¸cões de operadores em um ”dicionário” que mapeia férmions em bósons e vice-versa (ver figura 2.5).. Representa¸caõ Fermiônica. Representa¸caõ Bosônica. Densidade de Hamiltoniano. † † [ψ+ ∂z ψ+ + ψ− ∂z¯ψ− ]. Férmions ramo +. † ψ+ (z), ψ+ (z). √ √1 e−i 4πφ+ (z) 2π. Férmons ramo -. † ψ− (¯ z ), ψ− (¯ z). √ z) √1 e+i 4πφ− (¯ 2π. Corrente ramo+. † J+ = ψ+ ψ+. √i ∂z φ+ π. Corrente ramo-. † J− = ψ− ψ−. −i √ ∂φ π z¯ −. 1 1 [ (∂τ ϕ)2 2 v. + v(∂x ϕ)2 ]. † Anticomutador/comutador (+) {ψ+ (z), ψ+ (z 0 )} = δ(z − z 0 ) [φ+ (z), φ†+ (z 0 )] = δ(z − z 0 ). Anticomutador/comutador (-). † {ψ− (¯ z ), ψ− (¯ z 0 )} = δ(¯ z − z¯0 ) [φ− (¯ z ), φ†− (¯ z 0 )] = δ(¯ z − z¯0 ). Figura 2.5 Dicionário.

(35) 2.5 Fun¸cões de Correla¸caõ. 2.5. 23. Fun¸c˜ oes de Correla¸ c˜ ao. O campo fermiônico associado ao hamiltoniano 2.45, ψ torna-se uma mistura de campos que se movem à direita e à esquerda, ou seja,. √ 1 ψ± (x, τ ) = √ e∓i 4πφ± 2π √ √ 1 = √ e∓i 4π cosh λφ± e−i 4π sinh λφ± . 2π. (2.51). A fun¸cão de correla¸caõ para férmions do ramo (+) é então. 1 −i√2π cosh λφ(x,τ )−i√2π sinh λφ(x,τ ) +i√2π cosh λφ(0,0)+i√2π sinh λφ(0,0) he e i 2π 1 1 1 = 1 2 2π (vτ − ix) 2 cosh λ (vτ + ix) 12 sinh2 λ 1 1 1 = (2.52) 2 . (K+1)2 2π (vτ − ix) 4K (vτ + ix) (K−1) 4K. hψ(x, τ )ψ † (0, 0)i =. O n´ umero de ocupa¸caõ de momentos, n+ (k), é obtida através da transformada de Fourier da equa¸caõ 2.50 e se comporta como a seguinte lei de potência nas proximidades da superf´ıcie de Fermi (±kF ):. Z n+ (k) − n+ (kF ) =. e−i(k−kF )x hψ(x)ψ † (0)i. ∼ sinal(k − kF )|k − kF |A. (2.53).

(36) 2.5 Fun¸cões de Correla¸caõ. 24. Figura 2.5: A fun¸caõ n´ umero de ocupa¸cão de momentos n+ (k) tem uma nãoanaliticidade em vez da habitual descontinuidade do l´ıquido de Fermi em k = kF . onde. (K + 1)2 (K − 1)2 + −1 4K 4K (K − 1)2 = > 0. 2K. A =. (2.54). O resultado cima é muito relevante, pois mostra que o comportamento do l´ıquido de Luttinger nas proximidades de kF é completamente distinto do comportamento de um l´ıquido de Fermi (ver cap´ıtulo 3). Como mostrado na figura 2.5, n+ (k) não apresenta nenhuma descontinuidade em k = kF , o que confirma a inexistência de excita¸co˜es do tipo quasipart´ıcula em sistema unidimensionais. Entretanto, ∂k n+ (k) |k=kF −→ ∞ e isso garante a natureza metálica do l´ıquido de Luttinger. Em contraste se ∂k n+ (k) |k=kF < 0 o sistema é um isolante e não há mais nenhum resqu´ıcio da superficie de Fermi. Outra grandeza importante que pode ser obtida através da fun¸caõ de Green é a.

(37) 2.5 Fun¸cões de Correla¸caõ. 25. Figura 2.6: Fun¸cão espectral A(k, ω) para k − kF ∼ 0 [35]. 1 fun¸cão espectral. A(k, ω) = − ImG(k, ω). Para k = kF é poss´ıvel demonstrar o π seguinte comportamento da fun¸caõ espectral (considerando férmions sem spin) [35], [36],. A(k, ω) ∼ (k − kF )A [ω − v(k − kF )]1−A. (2.55). A caracter´ıstica interessante da fun¸cão espectral mostrada acima é a inexistência de um polo simples em ω ∼ 0. Este comportamento também é completamente diferente do observado em l´ıquidos de Fermi, onde existem picos bem definidos indicando a existência de quasipart´ıculas (ver fig. 4.2). A fig. 2.7 ilustra o comportamento da fun¸cão espectral para o caso em que k − kF ∼ 0..

(38) 2.6 O Modelo de sine-Gordon. 2.6. 26. O Modelo de sine-Gordon. O modelo de sine-Gordon é um modelo onipresente em f´ısica matemática com uma vasta gama de aplica¸cões em 1+1. Esse modelo é basicamente um modelo de um sóliton descrito por campo escalar φ(x), e seu lagrangiano é. m2 1 LSG = (∂µ φ)2 + 20 cos(βφ) 2 β. (2.56). Do ponto de vista matemático o lagrangiano acima representa um modelo de teoria de campos relativistico no espa¸co-tempo de dimensão 1+1. O modelo de sine-Gordon é integrável e tem um n´ umero infinito de leis conservadas. As suas fun¸co˜es de correla¸caõ também são bem conhecidas (para uma revisão completa ver [20]). Aqui, nos limitamos a indicar simplesmente as propriedades básicas do modelo. As propriedades do modelo de sine-Gordon dependem muito fortemente do parâmetro β. Se β 2 > 8π, pode-se mostrar o termo cosseno é suprimido por tão rapidamente flutua¸cões que ele se torna irrelevante em compara¸caõ com o termo gradiente. O sistema, neste caso, é descrito por um lagrangiano livre. Por outro lado, se β 2 < 8π, o termo cosseno cresce em rela¸caõ ao termo de gradiente e o modelo então adquire um ”gap” de energia. No cap´ıtulo 5 vamos mostrar que o termo de cosseno no modelo de sine-Gordon pode ser gerado por um termo de intera¸caõ do tipo BCS no modelo de Tomonaga-Luttinger. Muitos dos modelos não-lineares possuem como solu¸caõ ondas solitárias, ou sólitons que se propagam em um meio sem alterar sua forma ou velocidade. A colisão entre dois sólitons é um fenômeno muito interessante, quando os, dois sólitons estão localizados.

(39) 2.6 O Modelo de sine-Gordon. 27. Figura 2.7: Colisão entre dois sólitons mutuamente distantes, cada um deles é aproximadamente um pacote de onda localizado e se deslocando com forma e velocidade constante. A medida que essas ondas solitárias se aproximam, eles gradualmente se deformam e, finalmente, se fundem em um u ńico pacote de ondas; este pacote de ondas, no entanto, logo se divide em duas outras ondas solitárias com a mesma forma e velocidade de antes da ”colisão”, como podemos ver na figura 2.7. Como foi demonstrado por Sidney Coleman [26] o modelo de sine-Gordon é equivalente ao modelo de Thirring massivo descrito pelo lagrangiano. ¯ µ ∂µ − M )ψ − 1 g(ψγ ¯ µ ψ)2 . LM T M = ψ(iγ 2. (2.57).

(40) 2.7 Teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner. 28. onde g é uma constante de acoplamento para o modelo de Thirring e M a massa associada ao campo ψ. A rela¸caõ precisa entre as constantes de acoplamento foi encontrado por Coleman [26] no cenário de teoria de perturba¸caõ,. β2 π . = 2 8π − β π + 2g. (2.58). No modelo de Thirring os férmions, assim como no modelo de sine-Gordon, podem ser representados por excita¸co˜es de sólitons. O modelo Thirring se torna nãointeragente no ponto especial g = 0 (β = Luther-Emery. Para β >. √ 4π) que é conhecido como o ponto de. √ 4π as excita¸cões de energia ainda são sólitons (estados. espalhados), no entanto, para β <. √. 4π temos estados ligados de sólitons e antisólitons. conhecidos como ”breathers”.. 2.7. Teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner. A ausência de quebra espontânea de simetria em sistemas com dimensão espacial D 5 2 foi rigorosamente provado por Sidney Coleman ( 1973 ), em uma teoria quântica de campos relativ´ıstico e por David Mermin , Herbert Wagner e Pierre Hohenberg em f´ısica estat´ıstica para sistemas não-relativ´ısticos. O teorema pode ser enunciado da seguinte maneira: em uma ou em duas dimensões, não pode haver quebra espontânea de simetria cont´ınua em nenhuma temperatura finita para um sistema interagente. Como consequência desse teorema, temos que esses mesmos sistemas não podem apresentar um ordenamento propriamente dito de longo alcance em temperaturas fini-.

(41) 2.7 Teorema de Hohenberg-Mermin-Wagner. 29. tas. Dessa maneira, eles podem apresentar basicamente dois tipos de ordenamento: A primeira possibilidade consiste em um ordenamento do tipo quase-longo alcance. Esse tipo de ordenamento se caracteriza pelo fato das fun¸co˜es de correla¸cões entre dois pontos no sistema deca´ırem lentamente em termos de uma lei de potência com o aumento da separa¸caõ entre os dois pontos com isso a simetria é ”quase” quebrada espontaneamente [27]. Porém, ainda assim essa correla¸cão é zero no infinto, ao contrario do caso de ordenamento longo alcance em três dimensões onde essa mesma quantidade não se anula porém nesse limite. Uma outra possibilidade consiste no fato do sistema apresentar um ordenamento de curto alcance. Esse tipo de ordenamento é também caracterizado por uma lei de potência da fun¸caõ de correla¸caõ associada ao sistema..

(42) Cap´ıtulo 3 Liquido de Fermi-Landau. 3.1. Introdu¸c˜ ao. O modelo proposto por Drude e Sommerfeld [32] foi empregado com sucesso para descrever de maneira qualitativa as propriedades eletrônicas de um metal. Esse modelo é baseado na aproxima¸caõ de elétrons independentes (despreza a intera¸cão coulombiana entre os elétrons). O calor espec´ıfico, propriedades de transporte, susceptibilidade magnética são de certa maneira bem explicada pela teoria de banda convencional, sem a necessidade do uso do recurso explicito de efeitos de muitos corpos. Porém existe exce¸cões, os fenômenos coletivos como a supercondutividade, ferromagnético e antiferromangético não podem ser explicados pela teoria de elétrons independentes. O sucesso da aproxima¸cão de elétrons independentes está, particularmente, relacionada a razão entre a energia Coulombiana e a energia cinética dos elétrons nos metais. A medida dessa razão é o parâmetro de densidade de elétrons rs , definido essencialmente como o espa¸camento médio entre os elétrons, medido em unidades do raio de 30.

(43) 3.2 Energia de Excita¸caõ. 31. Born a0 = 5, 2917 × 10−11 m (raio da camada eletrônica mais próxima do n´ ucleo atômico). Para rs 1, as intera¸cões coulombianas entre os elétrons são fracas, enquanto para rs 1 os efeitos do potencial é dominante em rela¸caõ aos efeitos cinéticos. Outra razão qualitativa do por que a aproxima¸caõ de elétrons livres funciona relativamente bem deve-se ao fato que as medidas t´ıpicas feitas em metais em temperaturas normais (T TF ∼ 105 K), onde TF é a temperatura de Fermi, envolvem somente excita¸co˜es de baixa energia nos metais. A compreensão de sistemas de part´ıculas fortemente interagentes tem sido um dos maiores desafios da f´ısica teórica nas u ´ltimas décadas. No final dos anos 50, Landau deu uma importante contribui¸cão a` este campo do conhecimento através do desenvolvimento da chamada teoria dos l´ıquidos de Fermi [30], [31], que descreve com notório sucesso em metais convencionais em 2 ou mais dimensões. A teoria dos l´ıquidos de Fermi de Landau trata sistemas de muitos férmions interagentes em fraco acoplamento em regimes de baixa temperatura comparada com a temperatura de Fermi TF .. 3.2. Energia de Excita¸ c˜ ao. Na teoria do liquido de Fermi assumimos que as excita¸co˜es de baixa energia são bem definidas. O resultado é que o espectro de excita¸cão mantém-se qualitativamente o mesmo de um gás de Fermi de elétrons livres, mas as energias de uma part´ıcula sofrem uma renormaliza¸caõ. Considere o caso especifico de uma esfera de Fermi totalmente preenchida, com mais uma part´ıcula com momento k, com (|k| > kF ). A energia de.

(44) 3.3 Quasipart´ıculas de Landau. 32. excita¸caõ de um gás ideal é simplesmente. k2 Ek − EF = − EF . 2m. (3.1). Em regimes de energias próximas a` superf´ıcie de Fermi, podemos expandimos E(k) e obtemos uma rela¸caõ de dispersão linear, dada por,. Ek − EF ≈. kF · (k − kF ). m. (3.2). O efeito da fraca intera¸cão faz com que as excita¸co˜es de energias continuem linear, porém o coeficiente não é mais |kF |/m. Podemos escrever as novas excita¸cões de baixas energia da mesma forma. Ek − EF ≈. kF · (k − kF ), m∗. (3.3). onde m∗ é defina como sendo a massa das quasipart´ıculas renormalizada devido a presen¸ca das intera¸co˜es. Podemos notar que a teoria de Landau é fenomenológica. A teoria tem um parâmetro, m∗ cujo valor é desconhecido teoricamente, mas pode ser obtida a partir de experimentos.. 3.3. Quasipart´ıculas de Landau. Landau fez as seguintes aproxima¸cões para descrever um metal. Ele supôs que mesmo na presen¸ca de fortes intera¸co˜es o espectro de excita¸co˜es permanecem regidas.

(45) 3.3 Quasipart´ıculas de Landau. 33. pela equa¸cão (3.3). Essas excita¸co˜es, chamadas de quasipart´ıculas, são essencialmente férmions “vestidos” de uma nuvem de buracos. Essa nuvem blinda esse elétron em questão e reduz a sua carga efetiva, i.e. e −→ Ze, com Z < 1. Os n´ umeros quânticos permanecem os mesmos dos férmions não-interagentes, porém com propriedades dinâmicas diferentes devido as intera¸cões. Outro ponto importante destacado por Landau é que o tempo de vida destas quasipart´ıculas é finito apesar de sua grande magnitude e, portanto, elas não são autoestados exatos do sistema. Entretanto, sabemos que o tempo de vida é maior quanto mais próximo a quasipart´ıcula se encontra em rela¸caõ ao n´ıvel de Fermi. Portanto, para sistemas com energias suficientemente baixas, as quasipart´ıculas são muito bem definidas. A fim de determinarmos a velocidade das quasipart´ıculas, podemos considerá-las como um pacote de ondas localizadas. Esses pacotes de onda viajam com a velocidade de grupo vgrupo . Com base na rela¸caõ de dispersão (3.3) a velocidade de grupo é. vgrupo = ∇k Ek =. kF . m∗. (3.4). Essa aproxima¸caõ é considerada suficiente, uma vez que os estados de quasipart´ıculas mais importante são aqueles imediatamente próximo a superf´ıcie de Fermi T TF . Uma maneira alternativa de se ver as quasipart´ıculas é através das fun¸co˜es de Green de teoria de muitos corpos [33], [34]. A fun¸cão de Green de uma part´ıcula, que, em geral, pode ser escrita como [50]. Gk,σ (t) = −hT ckσ (t)c†kσ (0)i.. (3.5).

(46) 3.3 Quasipart´ıculas de Landau. 34. Deve-se notar que, interpretando ω como uma variável complexa, as fun¸cões GR,A k,σ (ω) são fun¸cões anal´ıticas de ω, exceto por polos imediatamente abaixo (fun¸cão de Green retardada, quando iω −→ ω + iδ) ou imediatamente acima (Fun¸cão de Green avan¸cada, quando iω −→ ω − iδ) do eixo real. A fun¸cão de Green de uma part´ıcula está relacionada com a amplitude de probabilidade de uma part´ıcula com frequência ω e vetor de onda k que se propagar no sistema. No espa¸co, a fun¸cão de Green é definida por (ver por exemplo [50]). Z. +∞. Gk,σ (ω) =. dte−iωt Gk,σ (t).. (3.6). −∞. Uma forma mais acess´ıvel para a fun¸cão de Green é obtida através da equa¸cão de Dyson [50]. Gk,σ (ω) =. 1 ω + µ − k − Σk,σ (ω). .. (3.7). onde Σk,σ (ω) são as auto-energias. Essa fun¸caõ contem todas as informa¸co˜es sobre as intera¸cões e é em geral muito dif´ıcil de ser calcular exatamente. Porém, podemos fazer a continua¸caõ anal´ıtica para frequências reais e separar as partes real e imaginária da auto-energia, escrevendo-a na forma. Σk,σ(ω) = Re[Σk,σ (ω)] − iIm[Σk,σ (ω)].. (3.8). Inserindo a equa¸cão 3.6 para a auto-energia na fun¸caõ de Green, obtemos. Gk,σ (ω) =. 1 ω + µ − k − Re[Σk,σ (ω)] + iIm[Σk,σ (ω)]. .. (3.9).

(47) 3.3 Quasipart´ıculas de Landau. 35. Pode-se interpretar a parte imaginária da auto-energia com a taxa de espalhamento e, portanto, ela esta relacionada com o tempo de vida das quasipart´ıculas em um liquido de Fermi interagente. Em pr´ıncipio, a parte imaginária da auto-energia e finita. Assim, a fun¸caõ de Green será retardada ou avan¸cada conforme o sinal de Im[Σk,σ (ω)] seja positivo ou negativo respectivamente. O zero da parte real do denominador da fun¸caõ de Green (eq.3.7), que ocorre para uma frequência real ω tal que. ω + µ − k − Re[Σk,σ (ω)] = 0.. (3.10). Perto da energia de Fermi ω = 0, a parte imaginária torna-se pequena e, portanto, a fun¸cão de Green tem um polo simples. Podemos expandir o denominar em torno de ξk = ω e com isso obter a equa¸caõ 3.7 na forma. Gk,σ (ω) =. Zk + ..., ω + µ − k + iηk. (3.11). onde ηk = Zk Im[Σk,σ (ω)] com ZK sendo que o fator de renormaliza¸caõ é dado por #−1

(48) ∂Σkσ (ω)

(49)

(50) , Zk = 1 − ∂ω

(51) ω=ξk. (3.12).

(52) ∂Σkσ (ω)

(53)

(54) < 0. ∂ω

(55) ω=ξk. (3.13). ". com. Portanto, a amplitude da quasipat´ıcula Zk é claramente menor que um (Zk < 1). Assim, a fun¸caõ de Green interagente não descreve uma part´ıcula real, mas um objeto.

(56) 3.3 Quasipart´ıculas de Landau. 36. Figura 3.1: Fun¸caõ de distribui¸cão de momentos para um gás de Fermi (a) nãointeragentes e (b) interagentes [23]. semelhante a uma part´ıcula que contém apenas uma fraçcão da part´ıcula real. Por isso chamamos a excita¸cão descrita por essa fun¸caõ Geen de uma quasipart´ıcula e Zk o fator de renormaliza¸caõ da quasipart´ıcula. Existem duas caracter´ısticas básicas das quasipart´ıculas que podemos destacar. A primeira delas é a forma aproximada da sua fun¸cão de Green como indicado na equa¸cão (3.11), pode-se mostrar que a fun¸caõ de distribui¸caõ de momento nK em T = 0 tem um uma descontinuidade em k = kF (ver figura 3.1 (b)). Como no caso de férmions livres figura 3.1 (a), esta descontinuidade é um sinal da existência de excita¸co˜es individuais, com a diferen¸ca que no caso interagente a amplitude da descontinuidade é menor que um. A segunda caracter´ıstica aparece na fun¸caõ espectral A(k; ω) definida como. 1 A(k, ω) ≡ − ImG( ω), π. (3.14).

(57) 3.3 Quasipart´ıculas de Landau. 37. Figura 3.2: Fun¸cão espectral para l´ıquidos de Fermi (a) não-interagentes e (b) interagentes [23]. e, pela equa¸caõ 3.11, temos. A(k, ω) = Zk. |η| 1 + .... π (ω − ξk )2 + ηk2. (3.15). Como mostrar a figura 3.2, a fun¸cão espectral de um l´ıquido de Fermi apresenta picos do tipo lorentzianos bem localizados que definem essas quasipart´ıculas. Essas quasipart´ıculas merecem ser destacadas pelo fato de serem excita¸co˜es individuais que se comportam de modo muito similar a`s excita¸cões de part´ıculas livres em sistemas não interagentes. Por este motivo, a dinâmica e as propriedades termodinâmicas de sistemas interagentes podem ser tratados como sistemas livres apenas com renormaliza¸co˜es qualitativas. Apesar do sucesso da teoria dos l´ıquidos de Fermi de Landau para descrever metais convencionais em duas ou mais dimensões espaciais, em um dimensão espacial precisamos substitu´ı-la, como vimos, pela teoria dos l´ıquidos de Luttinger. Como foi visto no capitulo 2, a f´ısica de sistemas unidimensionais é muito diferente.

(58) 3.3 Quasipart´ıculas de Landau. 38. da f´ısica descrita pela teoria dos l´ıquidos de Fermi. O mesmo parece acontecer em regimes de forte intera¸caõ, como se observa, por exemplo. nos supercondutores de alta temperatura em algumas situa¸co˜es especiais. Além das excita¸co˜es de uma part´ıcula, que constituem as excita¸cões de baixa energia de um l´ıquido de Fermi, um sistema de elétrons interagentes manifesta também excita¸co˜es coletivas diversas, tais como a supercondutividade, o ferromagnetismo, o antiferromagnetismos, etc... Na supercondutividade convencional em baixas temperaturas essas quasipart´ıculas perdem a sua individualidade. A supercondutividade é realizada por pares de Cooper, usualmente descritos como pares de elétrons, que se movem através da rede cristalina sem resistência. Quando um par de Cooper é quebrado surgem novamente as quasipart´ıculas que, agora por sua vez, passam a ser chamadas de quasipart´ıculas de Bogoliubov. Já nos cupratos supercondutores de alta temperatura, a história é um pouco diferente. Por causa do forte acoplamento, as quasipart´ıculas não se comportam com se obeseva em metais simples. Na verdade, é por isso que o estado normal destes materiais são frequentemente chamados ”metais anômalos”. Falaremos mais sobre os cupratos no capitulo 4. Em resumo, vimos alguns conceitos básico da teoria do l´ıquido de Fermi de part´ıculas que interagem. Espantosamente, o sistema de part´ıculas interagentes pode ser descrito por um gás de part´ıculas que não interagem. Estas part´ıculas que chamamos de quasipart´ıculas são basicamente uma part´ıcula com uma massa renormalizada pelas intera¸cões..

(59) Cap´ıtulo 4 Quasipart´ıculas Nodais e Antinodais. 4.1. Introdu¸c˜ ao. A supercondutividade convencional foi descoberta em 1911 e só foi explicada microscopicamente em 1957. Em 1950, Ginzburg e Landau [2] constru´ıram uma teoria que explicava a supercondutividade fenomenologicamente. A teoria microscópica da supercondutividade foi formulada por Bardeen, Cooper e Schrieffer e ela é conhecida hoje em dia como a teoria BCS. A base da teoria BCS é a intera¸cão de um gás de elétrons de condu¸cão com ondas elásticas de uma rede cristalina (fônons). Como sabemos, dois elétrons no vácuo repelem-se mutuamente pela for¸ca coulombiana, mas em um supercondutor abaixo da temperatura critica Tc existe uma atra¸caõ resultante entre os dois elétrons que, assim, formam o chamado par de Cooper. Cada par de Cooper é formado por dois elétrons de momenta e polariza¸caõ de spins opostas. Além do 39.

(60) 4.2 Aspectos Gerais dos Cupratos e Diagrama de Fase. 40. emparelhamento dos elétrons, a supercondutividade também requer uma fase coerente de longo alcance entres os pares de Cooper. Nos supercondutores convencionais, o emparelhamento ocorre devido a uma intera¸caõ elétron-fônon, enquanto a fase coerente entre os pares de Cooper é estabelecida pela superposi¸caõ das suas fun¸co˜es de onda. Nesses supercondutores, o acoplamento entre as fun¸co˜es de onda (”overlap”das fun¸co˜es de onda) pode mediar a` fase coerente, pois a distância média entre os pares de Cooper é muito menor do que o comprimento de coerência (o tamanho de um par de Cooper). Os supercondutores que possuem alta temperatura de transi¸caõ Tc , os óxidos de cobre (cupratos) são materiais intrigantes por manifestarem fenômenos emergentes em sistemas f´ısicos com elétrons fortemente correlacionados. Isso atraiu grande interesse desde a sua descoberta por Bednorz e Muller, em 1986 [74]. Os supercondutores de alta temperatura têm sido objeto de muitas investiga¸co˜es teóricas e experimentais. Uma teoria que explica supercondutividade não convencional, abre possibilidades mais amplas também para aplica¸co˜es práticas, pois sua temperatura cr´ıtica vai muito além do valor limite ∼ 30Tc para supercondutores descrito pela teoria (BCS) [82] que é baseado na teoria do l´ıquido de Fermi.. 4.2. Aspectos Gerais dos Cupratos e Diagrama de Fase. Todos os cupratos supercondutores compartilham a mesma estrutura cristalina de camadas ver figura 4.1, feitas de um ou mais planos de oxido de cobre por célula unitária, a geometria dos cupratos é tipicamente tetragonal. Estes planos possuêm.

(61) 4.2 Aspectos Gerais dos Cupratos e Diagrama de Fase. 41. Figura 4.1: Estrutura cristalina. As camadas são composta por planos t´ıpicos de CuO2 dos cupratos [7]. Figura 4.2: Diagrama de fase t´ıpico dos cupratos.

(62) 4.2 Aspectos Gerais dos Cupratos e Diagrama de Fase. 42. portadores de cargas móveis e, por esta razão, acredita-se conter a f´ısica fundamental desses sistemas. O diagrama de fase t´ıpico de um cuprato supercondutor é mostrado na figura 4.2. Existem quatro fases bem definidas nos cupratos supercondutores. Há uma fase antiferromagnética que, de acordo com a teoria de banda, deveria se comportar como um estado metálico, uma vez que existe um n´ umero ´ımpar de elétrons por célula unitária. No entanto, a forte repulsão elétron-elétron impede a forma¸caõ de estados não localizados, produzindo um comportamento isolante devido a esses fortes efeitos de correla¸cão eletrônica. Esse tipo de isolante é conhecido, por sua vez, como isolante de Mott. Em temperatura suficientemente baixa, quando uma amostra é dopada, seja com buracos ou elétrons a fase isolante desaparece e surge a fase de pseudogap. Essa notória fase que se situa imediatamente a` esquerda da temperatura máxima supercondutora TcM ax e da fase chamada de metal anômalo, não l´ıquido de Fermi, é o regime de dopagem para a qual nosso trabalho deve se aplicar. Na fase de pseudogap, o ordenamento de quase longo alcance antiferromagnético do estado isolante de Mott desaparece completamente e também existem fortes evidências experimentais de uma abertura de ”gap” de spin sem nenhuma quebra espontânea de simetria no sistema. Recentemente, nos experimentos de ARPES (”Angle-resolved photoemission spectroscopy”), que é uma versão mais sofisticada do efeito fotoelétron, também foram observados que esses sistemas, quando levemente dopados de buraco, podem apresentar um ”gap”de carga ao longo de certas dire¸co˜es preferencias no espa¸co de momenta e, portanto, seriam metais muito pobres com a superf´ıcie de Fermi truncada [80]. Isso indicaria que a fase de pseudogap é influenciada pela proximidade.

(63) 4.2 Aspectos Gerais dos Cupratos e Diagrama de Fase. 43. com a fase isolante de Mott no sistema. [78]. Portanto, nas regiões subdopada e de dopagem ótima, a fase metálica em altas temperaturas (T > Tc ) é altamente anômala e, definitivamente, não se encaixa dentro da caracteriza¸caõ de um l´ıquido de Fermi. Por essa razão, essas duas fases são consideradas como l´ıquidos de Não-Fermi. Nesse regime de dopagem os experimentos de ARPES revelam evidencias da existência de uma superf´ıcie de Fermi coerente em 2D bem definida, e, ao mesmo tempo, indicam a ausência de quasipart´ıculas estáveis, acima de Tc . No intervalo de dopagem 0.05 . x . 0.25, em baixas temperaturas, encontramos a caracter´ıstica mais marcante desses sistemas, ou seja, uma região supercondutora, com notavelmente elevados valores de temperatura cr´ıtica Tc . A dependência de Tc com a dopagem exibe também um peculiar comportamento não-monotônico (em forma ”domo”), com um valor máximo de Tc obtido na dopagem o´tima. Embora este comportamento qualitativo seja uma caracter´ıstica de todos os cupratos dopados com buracos, o valor máximo de Tc depende consideravelmente do composto considerado. E por fim, no diagrama de fase T × x, há também a região superdopada onde se acredita que o estado volte a ser um metal l´ıquido de Fermi. Sabemos, agora, que a fun¸cão do gap supercondutor tem simetria do tipo-d em toda região supercondutora [1]. As excita¸co˜es de baixa energia tem um valor m´ınimo para momentos na dire¸caõ nodal o que esta orientada a 450 relativo a liga¸caõ Cu-O, e tem um valor máximo para momentos na dire¸cão antinodal, que corresponde, respectivamente, ao eixo principal e eixo diagonal da zona de Brilouin. Acredita-se que a supercondutividade está fortemente relacionada a essas excita¸cões. Nesse trabalho calculamos algumas propriedades dinâmicas, tais com a condutividade óptica e fun¸co˜es de corre-.

(64) 4.2 Aspectos Gerais dos Cupratos e Diagrama de Fase. 44. supercondutor do tipo s. supercondutor do tipo d. Figura 4.3: Compara¸caõ dos parâmetros de ordem dos supercondutores do tipo-s e do tipo-d.

(65) 4.2 Aspectos Gerais dos Cupratos e Diagrama de Fase. 45. la¸co˜es. Acredita-se que o estudo das propriedades espectrais e dinâmicas desses dois tipos de excita¸cões de quasipart´ıculas bem como o suas rela¸cões, ainda não muito bem entendidas, possa ajudar a compreender melhor o fenômeno da supercondutividade. Para o caso dos supercondutores do tipo-s, o gap é constante sobre toda a Superf´ıcie de fermi ∆(k) = ∆0 . Segundo a teoria BCS, a fórmula para a determina¸caõ do gap de energia (em MeV) é Eg = 7/2KTc , onde K = constante de Boltzmann e Tc é a temperatura cr´ıtica de transi¸caõ. Considere agora o diagrama da figura 4.3, onde nos comparamos a estrutura do gap para supercondutores do tipo-s e do tipo-d. A simetria do parâmetro de ordem de um cuprato supercondutor é do tipo-d ∆(k) = [cos(kx a) − cos(ky a)]/2, onde k é o vetor de onda [80]. A figura 4.4 exemplifica o comportamento do gap em baixa temperatura para dois cupratos de La: La2−x Bax CuO4 (LBCO) com dopagem x = 0.083 e La2−x Srx CuO4 (LSCO) com dopagem x = 0.11. Nota-se com isso que o gap tem um valor máximo para um momento paralelo a liga¸caõ Cu-O-Cu, dire¸caõ antinodal e tem um valor zero para momento com um aˆngulo de 450 em rela¸cão a esta liga¸cão, dire¸caõ nodal. O diferente comportamento das excita¸co˜es de quasipart´ıculas em diferentes regiões é reflexo dessa forte dependência em rela¸caõ ao momento [79]. Esse fenômeno é conhecido como a dicotomia nodal e antinodal. A figura 4.5 (a1-a6) mostra um pico bem definido de quasipart´ıculas que perde intensidade rapidamente enquanto se move para longe da dire¸cão nodal. Devido à alta complexidade dos sistemas fortemente correlacionados, depois de décadas de intensos estudos, o mecanismo da supercondutividade nos cupratos continua ainda desconhecido. Embora vários modelos teóricos tenham sido propostos para.

(66) 4.2 Aspectos Gerais dos Cupratos e Diagrama de Fase. 46. Figura 4.4: Fun¸caõ do gap os compostos LSCO e LBCO. A figura foi tirada da Ref. [8] explicar o desconhecido mecanismo da supercondutividade nos cupratos [10], [11], não temos uma explica¸caõ completa que reproduza de uma maneira inequ´ıvoca todos os dados experimentais. Apesar disso em uma primeira aproxima¸cão os cupratos supercondutores são, basicamente, supercondutores do tipo BCS, apesar do mecanismo de liga¸cão dos pares de Cooper não ser a intera¸caõ elétron fônon.. Figura 4.5: Dicotomia nodal e antinodal no espa¸co de momento. Figura ref. [6].