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Texto

(1)SKRVIÇO Df PÓS-GRADIJAÇÂO DO ICMC-USP Data de Depósito: Assinatura:. •. 28.10.2002 "!•• ' "••;.. ;. Ações de Rn em Mm com 2 < n < m < 31. Carlos Alberto Maquera Apaza. O r i e n t a d o r : Prof. Dr. José Luis Arraut Vergara. Tese apresentada ao Instituto de Ciências Matemáticas e de Computação - ICMC-USP, como parte dos requisitos para obtenção do título de Doutor em Ciências - Matemática.. USP - São Carlos O u t u b r o de 2 0 0 2 'Este trabalho teve suporte financeiro da FAPESP..

(2) A Comissão Julgadora:. Prof. Dr. .José Luis Arraut I ergara. Prof. Dr. < 'esar Leopoldo ( amacho. lanço. Prof. Dr. Nathan Moreira dos Santos. Prof. Dr. Sebastião Marcos Antunes Firmo. Prof Dr. ( \irlos Biasi.

(3) Agradecimentos Agradeço aos meus pais Mauro e Juana. aos meus irmãos, em especial ao meu irmão .José pela sua ajuda e motivação desde a época da universidade. A uma mulher muito especial Gloria pela compreensão e apoio nas minhas decisões, pelo amor incondicional e por ter me dado dois filhos maravilhosos. Luana e Matheus. Ao meu orientador. Prof. Arraut, pela paciência, amizade, atenção e pelas boas discussões, sugestões e ideas. Gostaria de agradecer as pessoas que me ajudaram ao longo da minha vida e me honraram com sua amizade.. A todos meus amigos e amigas.... Aos Professores do. ICMC pela formação, que sem lugar a duvidas facilitaram a realização deste trabalho. A todos os funcionários e alunos do ICMC. que ao longo desse tempo me fizeram me sentir em casa. Finalmente agradeço à FAPESP pelo apoio financeiro..

(4) Resumo Consideramos ações de classe C.. r > 2, do grupo IR" em variedades diferenciáveis. fechadas M"' de dimensão m com 2 < n < m < 3. Introduzimos o conceito de órbita compacta normalmente hiperbólica e para n = m obtemos alguns resultados de estabilidade estrutural em torno de uma órbita singular compacta. Combinando estes resultados com os resultados de C. Camacho obtemos também alguns resultados de estabilidade estrutural global.. Também demonstramos que em alguns casos o tipo. topológico das órbitas de uma ação impõe restrições sobre a topologia da variedade M m . Finalmente, definimos o conceito de órbita compacta centro para órbitas compactas singulares e obtemos alguns resultados de estabilidade estrutural global de ações singulares analíticas reais..

(5) Abstract We consider C"\ r > 2, actions of IR" on closed ra-manifolds with 2 < n < m < 3. We introduce the concept of normally hyperbolic compact orbit and for n = m obtain some results on local structural stability. Combining these resnlts with others of C. Camacho we obtain also some results on global structural stability. We also show that the topological type of the orbits uriposes restrictions on the topology of the mamfold. Finally. we define the concept of center for compact singular orbits and obtam some results on the global structural stability of analytic singular actions..

(6) Sumário Introdução. 1. 1. Preliminares. 9. 2. Formas C a n ó n i c a s Locais d e A ç õ e s. 11. 3. Orbitas C o m p a c t a s N o r m a l m e n t e H i p e r b ó l i c a s. 21. 3.1. Pontos Fixos Hiperbólicos. 21. 3.2. Definição de Orbita Compacta Normalmente Hiperbólica. 23. 3.3. Algumas Consequências da Definição de Orbitas Compactas Normal-. 4. 27. 3.3.1. Caso dim M = n :. 29. 3.3.2. Caso m > n = 2 :. 32. 3.3.3. Caso m = n = 3 e k: — 1 :. 3.3.4. Demonstração dos Teoremas A e A'. 32 35. D e m o n s t r a ç ã o dos T e o r e m a s B e B '. 37. 4.1. Demonstração do Teorema B. 40. 4.1.1. Alguns Resultados Sobre Instabilidade: Caso n = 2. 42. 4.1.2. Demonstração do Teorema B. 46. 4.2. 5. mente Hiperbólicas. Demonstração do Teorema B'. 47. 4.2.1. Alguns Resultados sobre Instabilidade: Caso Geral. 47. 4.2.2. Demonstração do Teorema B'. 51. A l g u m a s P r o p r i e d a d e s G l o b a i s de A ç õ e s. 52. 5.1. Orbitas Compactas Centro. 52. 5.1.1. Órbitas Compactas Centro em Act, r (IR"" 1 . M n ). 52. 5.1.2. Órbitas Compactas Centro em A c t ^ , ( I R " . Mn). 58. 5.2. Propriedades de Ações de IR2 Sobre M2. 60. 5.2.1. 65. Algumas Aplicações í.

(7) 5.3. Propriedades de Ações de IR3 Sobre i\/,J. 71. 5.3.1. 80. Algumas Aplicações. R e f e r ê n c i a s Bibliográficas. 85.

(8) Introdução Seja ç : G x M —>• Al urna ação do grupo G sobre M isto ó, a aplicação g fç = ç(g. •) c um homomorfismo de G 110 grupo de transformações invertíveis de M. Tradicionalmente, ações de IR e Z tem sido os principais objetos de estudo da teoria de sistemas dinâmicos.. Por exemplo, se X. é um campo vetorial sobre uma. variedade compacta M, seu fluxo define urna ação de IR, sobre Al; analogamente se / é uru difcomorfismo de Al. os iterados de / e. definem uma ação de Z sobre M.. Podemos pensar 110 grupo como parâmetro de "tempo"e assim, a órbita dt: ç passando pelo ponto p Op(v). = {AíJiP). I <1 e G}. descreve a evolução do sistema, começando de um estado inicial em M representado por p. Para ações de um grupo mais geral, os "tempos de evolução" associados para seus subgrupos a uni parâmetro são "relacionados" de acordo com a estrutura algébrica de G. Em particular, se G = IR", as evoluções dadas pelos subgrupos a um parâmetro são dadas por fluxos que comutam. Associados a estes fluxos temos uma família de campos vetoriais. X„ (geradores infinitesimais de tp) em M tais que o colchete. de Lie satisfaz [Xl.XJ]. = i.Y. i.j = 1. n.. Como é de se esperar, se espelhando 11a teoria clássica dos sistemas dinâmicos, aparecem naturalmente muitos problemas para ações. dentre eles os problemas de estabilidade estrutural (local e global). Quando G é um grupo de Lie compacto o conexo. R. Palais [19] demonstrou que qualquer ação de G é estruturalmente estável. Desde então vários autores estudaram problemas de estabilidade de ações de grupos não compactos. entre eles. C. Camacho [2] e [3], Pugh-Shub [17], M. Hirsch [15] e N. Saldanha [21]. De modo geral não houve muito avanço pois. até hoje poucos resultados deste tipo de problemas foram obtidos. classe C .. Porém C. Camacho [2] e [3] considerou ações de. r > 1 do grupo G = IRfc x j } sobre uma variedade diferenciável C°°. M. de dimensão m e definiu o conceito de ponto fixo hiperbólico de uma tal ação e provou 1.

(9) entre outros os seguintes resultados: (1) Seja p um ponto fixo hiperbólico da ação ip : (E^xZ^xM. —> M com rn <. k+l.. Então p é localmente estruturalmente estável em p. (2) Seja p um ponto fixo hiperbólico da ação p : IR2 x Al —> M com rn — 4. Então <p é localmente estruturalmente estável em p. Para k = m = 2 e í = 0 em [3] C. Camacho definiu uma família de ações chamando-as de Morse-Smale provando os seguintes resultados: (3) As ações de Morse-Smale sao estruturalmente. estáveis.. (4) As ações estruturalmente estáveis não formam um conjunto denso. O conceito de ponto fixo hiperbólico implica, entre outras coisas, que o conjunto de pontos pertencentes às órbitas de dimensão k é um aberto e denso numa vizinhança do ponto fixo. Em :2] o autor enunciou a recíproca de (1), riras segue do Exemplo 4.1 que a recíproca deste teorema é falsa. Por outro lado em [7] P. Sad demonstrou o seguinte resultado. Seja Ar. O subconjunto (aberto) de TîM). de todos os campos vetoriais que sat-. isfazem o Axioma A e a condição de transversalidade forte. denso A de ÁT. (na C°°-topologia),. Então existe um aberto e. tal que se X e A e [X.Y]. = 0. então Y = cX. para algum c £ IR.. Seja Act/'(IR". M'"). finitesimais Cr. o espaço das C. ações de IR" sobre Mm. com geradores in-. munido da C'-topologia definida pela correspondente C^-topologia. no seus geradores infinitesimais. mos um aberto Ai. Então como consequência deste resultado obte-. de Act°°(lR", Mm). (na C°°-topologia) cujos elementos são C°°-. estruturalmente estáveis. Note-se que para cada ação em A i as órbitas tem dimensão menor o igual a um. Consequentemente, se verifica que nenhum ponto fixo destas ações pode ser hiperbólico (no sentido de Camacho). Neste trabalho introduzimos o conceito de lnperbolicidade normal para órbitas compactas singulares e exploramos este conceito no contexto da estabilidade estrutural demonstrando no caso geral: Se O. ~. Act r (]R". Mm).. k. <. n -. 1, é uma órbita normalmente. hiperbólica de p. r > 1. com m < n + 1 ou n = 2, m = 4. então O é persistente.. e.

(10) 3 E natural pensar que as ações no caso ti — m sejam mais simples cie se estudar e entender, no entanto são conhecidos poucos resultados de estabilidade estrutural (local e global) sobre estas ações, entre eles temos (1) e para n = 2 (3) e (4). Nesta tese centramos os esforços no estudo das ações de IR." em variedades AIn de dimensão n dando maior ênfase nos casos em que n = 2.3. Neste caso, as órbitas compactas normalmente hiperbólicas são mais do que persistentes. Mais precisamente ternos: Teorema. A. Se. Act' (IR'1. AIn).. On. é uma órbita compacta. normalmente. hiperbólica de 1. com ri e { 2 , 3 } . então é localmente estruturalmente. estável. em O o . De forma análoga que no ponto fixo hiperbólico, o conceito de órbita compacta normalmente hiperbólica implica, entre outras coisas, que o conjunto dos pontos que pertencem às órbitas de dimensão n é um aberto t: denso numa vizinhança da órbita compacta. Para n = 2. do Exemplo 4.1, segue que 0 O ser normalmente hiperbólica não é condição necessária para obter a estabilidade estrutural de. em C 0 • Para. n > 2, ternos o seguinte resultado de Kato-Morirnoto [12] Sejam X,Y se. Y = cX.. G Xl(M). com X. campo de Anosov.. Então [A". Y'] = 0 se. e somente. onde c £ IR. é constante.. Como consequência deste resultado obtemos um aberto A\ de ActÎR". Mm).. r >. 1, m > 3 (na C^-topologia) cujos elementos são estruturalmente estáveis. Além disso, para cada ação em A\ as órbitas tem dimensão igual a um (não há pontos fixos), isto implica que as órbitas compactas não podem ser normalmente hiperbólicas. A dificuldade de encontrar uma condição necessária para a estabilidade estrutural local está no fato de que é muito difícil perturbar ações em Act''(IR". Mm).. n > 2.. Alas em determinadas situações a hiperbohcidade normal de uma órbita círculo se torna uma condição necessária para estabilidade estrutural local.. Mais precisa-. mente, para ip € Act r (IR n .M' n ). seja Sing(p) o conjunto de pontos (singulares da ação ip) cujas ^-órbitas tem dimensão menor do que n e Act' r i (IR n .M n ) = {p> e Act''(IRr'. il/"); M n \ Sing(s^) = M n } , obtemos o seguinte resultado. T e o r e m a B Seja O0. uma órbita círculo de ip e ActÎR 2 , M2),. localmente estruturalmente estável em O0 . então 0Q. é normalmente. r > 2. Se ip é hiperbólica.. Também foram encontrados alguns resultados de natureza global. Seja ^„ r (IR 2 . M2) a família de ações ç G Act''(IR 2 , AI'2) tal que para cada p € Fix(<p) existe uma vizinhança Vp de p satisfazendo uma das seguintes propriedades:.

(11) 4 (1) Vp é ^-invariante. liorneomorfo a um disco aberto e Vp H Fix(i^) =. {p}.. (2) Vp contém no máximo um número finito de órbitas de dimensão maior ou igual a 1.. Em determinadas situações, a estrutura de órbitas destas ações é muito rígida e, consequentemente elas só convivem em ambientes AÍ2 bem determinados. Nesse sentido temos o seguinte resultado. T e o r e m a C Se p E. 2.M2).. r > 2, tem uma órbita cilíndrica, então p não. possui órbitas plano. Além disso. (1) Smg{p) = 0, então AI = T2. (2) Se Fix(v?). 0. então Fix(tp) tem exatamente dois pontos e AI — S2.. Como a família ^ r ( I R 2 . AI2) contém as ações em Act£(]R 2 . AI2) e todas as ações em Act r (lR 2 , AI2). cujos pontos fixos são hiperbólicos e órbitas círculo normalmente. hiperbólica, então o Teorema C dá uma descrição completa da estrutura de órbitas destas ações. Usando alguns resultados de C. Camacho [2] em torno de pontos fixos hiperbólicos, obtemos o seguinte teorema: T e o r e m a D Se p E Act r (lR 2 . il/ 2 ). r > 1. tem cada ponto fixo hiperbólico e cada órbita círculo normalmente hiperbólica, então p é estruturalmente estável. Além disso se c é o número de p-órbitas círculo, uma das seguintes possibilidades é satisfeita: (1) se Fix(^) = 0. então ou Aí2 = T2. e p possui exatamente. 2c órbitas, sendo. c o número de órbitas cilíndricas, ou Aí2 = S2 e p possui exatamente. 2c + 3. órbitas, sendo elas dois pontos fixos e c + 1 órbitas cilíndricas. (2) se FIX(Í^) / 0, então c = 0. as p-órbitas de dimensão dois são planos e Sing(v?) é um grafo orientado. conexo.. Este Teorema exige menos do que (3) e dá uma informação mais completa da estrutura de órbitas da ação e em que ambiente elas existem. Algumas das consequências do Teorema C estão na mesma direção dos resultados de P. Sad e Kato-Morimoto. e a seguir as descrevemos. Seja @ o conjunto dos campos.

(12) 5 X G X~[AI2). tal que existe p G Sing(À") o cuja parte linear em p é .4 = (. t^ 0. Claramente /si? e aberto em C o r o l á r i o 1 Se genus(AÍ2) somente se, Y -— fX,. com. X^(AI2).. > 1, X e ^. com f G ('-':. e K G 3^{M2).. então [X,Y]. = 0 .se, e. IH ; integral primeira de X.. Cabe ressaltar que uma das condições que P. Sad impôs aos elementos de A são as de não ressonância nos pontos singulares. No corolário acima, pela analiticidade e o fato de serem elementos de. com genus(il/ 2 ) > 1, estas condições não são necessárias.. O Teorema C também será aplicado para encontrar um resultado de estabilidade estrutural global de uma família de ações singulares de Act"'(IR 2 , M2) seguir descrevemos. Para ações em Actj(IR 2 . M2) A/2},. = {ç. definimos o conceito de ponto fixo centro.. que a. G Act r (IR 2 . Aí2):Sing(^). Consideramos. %. =. =. {p> G. Act"'(IR 2 . Aí 2 ): ç tem um ponto fixo centro} e usando o Teorema C obtemos. Teorema E Se genus(AÍ2). > 1, então existe. ralmente estáveis. Consequentemente, O aberto. C %. cujos elementos são estrutu-. £?t', é aberto em Actf^lR 2 . M 2 ).. é constituído de elementos de %. satisfazendo algumas condições,. dentre elas, a de possuir integral primeira não constante. Em particular, estas condições implicam que cada ação em ^. tem todas suas órbitas círculo a menos de um número. finito delas. Segue que este resultado se torna típico do caso analítico real já que em classe Cr.. r > 1. estas ações não são nem localmente estruturalmente estáveis (ver. item (1) do Lema 4.10). Observemos também que o aberto A\ (na C°°-topologia) de Act 00 (IR 2 . Aí2),. dado. pelo Teorema de P. Sad. está contido em A e t f (IR2. Aí2), mas a diferença de %. é que. os elementos de AI não tem integral primeira. Para poder atingir uma compreensão quase completa sobre a estabilidade estrutural das ações em Act''(IR 2 , Aí2),. 2 < r < oo, r = to, faltariam esclarecer as seguintes. questões: 1. Suponha que 2 e localmente estruturalmente estável em p G Fix(^). Será que p é um ponto fixo 2. Suponha que ip G Act''(IR 2 , Al2), verdade que ^ G ,\cf ;. hiperbólico?. r > 2 é estruturalmente. estável.. Será que é. Aí2) U A c : I R 2 . Aí2) ?. 3. Será que é possível caracterizar a estabilidade estrutural global em Act"'(IR 2 .. M2)?.

(13) 6 Posteriormente tentamos generalizar os Teoremas A. B, C, D, e E. nesse sentido obtivemos os seguintes resultados. T e o r e m a A ' Seja O0 é uma órbita horneomorfa a Ta~x. de p G Act r (IR", Mn).. Se. Oq é normalmente hiperbólica, então ç é localmente estruturalmente estável em Oq . Se Act' n (]R". M"). =. {p. G Act' (IR". M'L): Mn \ Smg(^). =. Mn}.. obtemos a. seguinte generalização do Teorema B. T e o r e m a B ' Seja OQ uma órbita horneomorfa a Tn~l. de p G Act^((IR'\ Mn), r > 2.. Se p é localmente estruturalmente estável em O o , então a órbita O o é normalmente hiperbólica. Consideremos agora ações ern Act r (IR 3 , il/ 3 ). Sing^(v?) denotará o conjunto dos pontos cujas respectivas ^-órbitas são círculos e .«//"(IR3, il/ 3 ) o conjunto das ações p G Act r (IR 3 .-U 3 ) tal que Fix(^?) = 0 e cada órbita Op.. com p G Sing^ (</;), possui. uma vizinhança \ 'p em M A satisfazendo uma das seguintes propriedades: (1) Vp é ^-invariante, homeomorfo a S1 x D2 e Op é a única ^-órbita círculo em VV (2) VP contém no máximo um número finito de órbitas de dimensão maior ou igual que 1. Um resultado análogo ao Teorema C é o seguinte. T e o r e m a C' Se p G .«^(IR 3 . M3).. r > 2. possui uma órbita horneomorfa a T2 x IR,. então cada órbita de p de dimensão três é horneomorfa a T2 x IR.. Além disso, existem apenas duas possibilidades: (1) Se Sing^y) = 0, então M = T:i. (2) Se S i n g ^ ) /. 0. então Sing^y) contém só duas órbitas e M3. admite decom-. posição de Heegaard de género um. Para uma definição exata de decomposição de Heegaard ver ;8].. Se p. G. Act' (IR3. A/ 3 ), r > 1, tem cada ponto fixo hiperbólico e cada órbita singular compacta normalmente hiperbólica, então como as (^-órbitas de dimensão três podem ser homeomorfas a T2 x IR, Sl x IR2 ou IR3, facilmente se demonstra que o tipo topológico de cada uma destas órbitas é o mesmo (Proposição 5.36). Para poder obter o análogo do Teorema D é preciso saber em quais variedades M 3 existe uma ação cujas órbitas.

(14) 7 de dimensão três são homeomorfas a S1 x IR2. O Teorema 5.35 dá a resposta a esta questão. De maneira análoga ao Teorema D temos: T e o r e m a D ' Se p> <G ActÎR' 3 . A/ 3 ), r > 1, tem cada ponto fixo hiperbólico e cada órbita singular compacta normalmente hiperbólica, então ip é estruturalmente. estável.. Além disso se c é o número de tp-órbitas círculo e t é o número de sp-órbitas difeomorfas a T2, uma das .seguintes possibilidades é satisfeita: (1) se Fix(y>) = 0 e c = 0. então A/ 3 = T 3. e ip possui exatamente. 21 órbitas. sendo t o número de órbitas T2 x IR.: (2) se Fix(y) = 0 e c ^ 0. então A/ 3 admite decomposição de Heegaard de género um, c — 2 e p> possui exatamente. 21 + 3 órbitas, dentre elas t + 1 órbitas são. homeomorfas a T2 x IR; (3) se Fix(í^) = 0 e t = 0, então A/ 3 é um fibrado principal sobre uma superfície com fibra Sl,. as ^p-órbitas de dimensão três são 5*1 x IR2, e Sing(^), que é a. união finita de ^p-órbitas círculo e cilindro, é conexo: (4) se. Fix(í^). 0, e t = 0. então A/ 3 = S1 x S2. as ip-órbitas de dimensão três. são Sl x IR2 e Sing(^) é conexo e #Fix(v?) é um número par igual ao número de <p-órbitas rela; (5) se Fix(y?). 0, e t = 0 = c, as ^-órbitas. de dimensão três são IR3 e Smg(^). conexo O Teorema C também tem consequências análogas ao Corolário 1 (Proposição 5.44 e Teorema 5.45). Para ActÎR 3 , A/ 3 ). o subconjunto de Act r (IR : \ A/ 3 ) cujas órbitas de dimensão dois formam um aberto e denso em A/ 3 , definimos o conceito de órbita círculo centro. consideramos 9X = {<p £ Act£(IR 3 , A/ 3 ); ip tem uma órbita círculo centro} e usando o Teorema C' obtivemos. T e o r e m a E' Se A/ 3 não admite decomposição de Heegaard de género um. então existe %. C ®x. cujos elementos. são estruturalmente. estáveis.. Consequentemente.. é. aberto em Act"(IR 3 , M 3 ). Como no Teorema E, o aberto. é constituído de elementos de 9\ satisfazendo. algumas condições, sendo uma a de possuir integral primeira não constante. Em particular. estas condições implicam que, cada ação em. tem todas suas órbitas difeomor-.

(15) 8 fas a T - a menos de um número finito delas. Novamente neste resultado a analiticidade é muito importante já que em classe C"\ r > 1. estas ações não são nem localmente estruturalmente estáveis (Proposição 4.16). A seguir descrevemos como este trabalho esta organizado. No primeiro capítulo, introduzimos alguns conceitos, notações e convenções que serão usados em quase todo restante do trabalho. No segundo capítulo, obtemos sistemas de coordenadas para Mn y>õrbita compacta horneomorfa a Tn~l. em torno da. de maneira que neste sistema, os geradores. infinitesimais da ação <p tenham uma expressão que nos permitirá construir algumas perturbações (Teorema 2.4, Proposição 2.13 e Corolário 2.15). No terceiro capítulo, definimos o conceito de ponto fixo hiperbólico e detalhamos alguns resultados obtidos por C. Camacho [2] a respeito destes pontos. Em seguida usando o conceito de ponto fixo hiperbólico, definimos o conceito de órbita compacta normalmente hiperbólica. Em seguida apresentamos algumas consequências deste conceito dentre eles a persitêneia (Teorema 3.11) e os Teoremas A e A'. No quarto capítulo, demonstramos os Teoremas B e B', para isto demonstramos alguns resultados de instabilidade de p £ Act r (IR n , M n ) em uma vizinhança da pórbita O0 horneomorfa a Tn~l. ver Teorema 4.14, Proposição 4.16 e Teorema 4.20.. No quinto capítulo, os resultados principais são obtidos para ações de IR" sobre nvariedades, onde n = 2.3. Obtemos algumas propriedades globais de algumas famílias destas ações (dentre elas os Teoremas G c C') e as exploramos para conseguir alguns resultados de estabilidade estrutural global para ações Cr também para ações analíticas reais (Teremos E e E').. (Teoremas D e D'), como Para o caso analítico real.. precisamos introduzir os conceitos de ponto fixo centro quando n = 2 e de órbita círculo centro quando //. = 3..

(16) Capítulo 1 Preliminares Neste capítulo introduzimos algumas notações, definições e alguns resultados conhecidos que serão usados na maioria dos capítulos. Seja AIm uma variedade Cx. de dimensão ///. compacta, sem bordo e orientável.. Uma ação <p de classe Cr de um grupo de Lie simplesmente conexo G sobre Mm uma aplicação (i). de classe C M. Mrn — Mm. é. < r < a; tal que. = p. para cada p G M'n\. (ii) <p{gh,p) = ç{g, p{h,p)),. para cada gji. G G e p G Mm:. onde e é a identidade em G. A órbita de um ponto p G Mm. (pela ação ip) é o conjunto. Op = op{?). = {v(y,p)\. o e G}. que algumas vezes será chamada de ^-órbita de p. Um ponto p G M'n é chamado de ponto jixo de 9 se ç{g.p). = p. para cada g G G.. O conjunto de todos os pontos lixos de ç 6 denotado por Fix(^). O grupo de isotropia de p G Mm. (pela ação ç) é o subgrupo de G definido por. Gp = Gp(^) = {geG\. A9-P)=P}-. Da definição segue claramente que Gp é um subgrupo fechado de G. Para cada p G Mm. a aplicação g ^ <p{g,x) induz uma imersão mjetiva do espaço homogéneo G/Gp. em Mm. cuja imagem é. Op{ç).. Em particular se G = II", então as órbitas de <p são imersões injetoras de Tk x IR', onde Tk denota o Â:-toro e k + l = 11. Em todo este trabalho sempre escreveremos órbita reta. círculo, plano, cilindro, toro, Tk x IR', ete. para nos referirmos a uma órbita horneomorfa a reta, círculo, plano, cilindro, toro. Tk x IR', etc. respectivamente. 9.

(17) 1.. Preliminares. 10. Dizemos que p G Mrn. 6 um ponto singular da ação ç : lRn x Mm. —• A/ 7 ". de. classe C r . 1 < r < u, se a sua ^-órbita tem dimensão topológica menor do que ri. Denotaremos por Sing(cp) o conjunto de todos os pontos singulares de p, Sing^tp). i = 1,. . . , ri — 1. o conjunto de todos os pontos cuja ^-órbita tem dimensão igual a i e Sing-'(y). i = 1... ., n — 1, o conjunto de todos os pontos cuja (^-órbita é horneomorfa a T\ Se Sing(^) = A/ m . a ação p : IR'1 x Mm — Mm. será chamada singular.. Para cada ir G IR" \ { 0 } a ação ç induz um fluxo por (plw(p) = •f(tw.p).. para cada p G Mm. classe C r _ 1 dehnido por Xw(p). = Dip(O.p). de classe Cr definido. e. consequentemente, um campo A",,, de • u:. Nesta situação dizemos simplesmente. que o campo A'u, provém da ação p. Fixada uma base {wi,.... associados XWI, . . . . XWn. wn} de IR" os campos. chamados de geradores infinitesimais de p comutam dois a. dois e determinam completamente a ação p. Assim uma ação de IR" sobre é equivalente a n campos vetoriais comutando.. Mm. Denotaremos por Act r (IR", M m ). conjunto das ações de classe Cr de IR" sobre Mrn. o. com geradores infinitesimais de. classe C r . Fixada uma base para IR", para 0 < k < r podemos munir o espaço Act' (IR", A/'71) de uma "CA:-métrica" definida pela correspondente C fc -métrica para campos vetoriais, da seguinte maneira. Sejam X, e X;. i = 1.2. geradores infinitesimais das ações p e íp respectivamente. Dado e > 0. então H^ —. <. 5 se, e somente se,. —. < 5. para i — 1. 2. Duas ações p.ij: G Act/'(IR". M"1). são topologicarnente equivalentes se existe um. homeomorfismo h : A/7" —> A/"' que transforma órbitas de p sobre órbitas de v. Sejam p. q G A/ 7 " dizemos que p em p e u: em q são localmente. topologicarnente. equivalentes se existem vizinhanças Up e Uq de p e q respectivamente e um homeomorfismo h : Up —> Uq que transforma órbitas de p em Ut> sobre órbitas de y: em Uq. Uma ação p é chamada Ch-estruturalmente. estável se existe uma vizinhança AC. de p na C fc -topologia para ações tal que qualquer v G A ^ é topologicarnente equivalente a p. A ação p é Ck-localmente. estruturalmente. estável em p G A/ se para. cada vizinhança U de p. existe uma vizinhança AC de p com a propriedade que: qualquer que seja v € AC. existe um ponto q G U tal que p em p. é localmente topologicarnente equivalente a t' em q. Diremos estruturalmente estável e localmente estruturalmente estável em lugar de (^-estruturalmente estável e CMocalmente estruturalmente estável, respectivamente..

(18) Capítulo 2 Formas Canónicas Locais de Ações Neste capítulo consideramos ações -ç e Act''(111". M n ) que possuem uma órbita O n homeomorfa a T"1'1.. Nosso objetivo é obter sistemas de coordenadas para MN. em. torno da órbita compacta OQ de maneira que neste sistema os geradores infinitesimais da ação ip tenham uma expressão '"simples", que nos permitirá construir algumas perturbações. Nessa direção entre outros temos o Teorema 2.4. a Proposição 2.13 e o Corolário 2.15. ~. G» G'(2). Figura 2.1: n = 2.. O grupo de isotropia G 0 de 0 ( ) é isomorfo a IR x Z " " 1 . Seja G" a componente conexa de Gfí que contém a origem. Como é uma reta passando pela origem em IR", então a menos de um isomorfismo linear de IR", temos que G" é transversal ao subespaço í„_i.O) G IR":/, G IR}. Sejam a\ G G\j - {()}. IR" =. 11.

(19) 12. 2. Formas Canónicas Locais de Ações {(O. r,. 0) G IH'. ' G IR + } o. = {«••',} + G{] . / - 2. . . . n. onde ir, G IR". o tal que. so Z, c o subgrupo de G 0 gerado por IR, . então G 0 = Sejam Z, + = {mw,\ m = 1 . 2 . . . . } e G[=. S Z-2 © • • • © ZN .. G[> © Z + © • • • © Z+_x (ver Figura 5.3).. Como neste capítulo estamos interessados em olhar as ações numa vizinhança de 0 O . podemos supor que (90 = Tn~l inhança de Co em Mn. {9X. ...,9,,-i.x). x. Como T"~l. { 0 } e que Vó = Tn~{ = JR'Í_1/Z"_1. G Vo onde 9 = (6X,.... 0„_i) G T"-1. campos de vetores correspondentes.. x ( - 1 . 1 ) é uma viz-. consideremos as coordenadas 0 0 Õ e sejam . _ os o0\ o9n_i ox. Suponhamos que a ação ip tem por geradores. infinitesimais os campos c) Xi{9.. x) = UXÁO.x)^- + • • . + com i = 1 Se atj(0,x). (Hr^x)i(e,. c) x)^—. c) + am(0.x)^. (2.1). n. e que as funções a^ : V0 —• IR são de classe Cr para j = 1 . . . . , n. = (iij(x). para cada i.j G {1. ri}, então dizemos que a ação y? é. homogénea em ló . Se ç é homogénea e a„, = 0 para j = I. //.. dizemos que ip é. homogénea horizontal em \ Q. Seja A(9,x). a matriz com entradas c^Ô. x)-, a y-ésima coluna de A(9. x) dá as d 0 0 coordenadas de X, na base — — , t t - • Denotemos por All[9.x) a matriz J 09C 09n_ j Ox de ordem (n — 1) x (n — 1) que resulta de tirar a í-ésima linha e a j-ésima coluna da matriz. A(9.x).. No seguinte resultado D = {(x. Y) G JR2\X2 + TJ2 < 1}. Para n = 3 este resultado é devido a E. L. Lima e pode ser encontrado em [10], para ri > 3 a prova é feita usando os mesmos argumentos de E. Lima. P r o p o s i ç ã o 2.1 Sejam. V„_i . n >. 2.. Tn~2 x D tais que nos pontos de 0(Tn~'2 x D). campos de vetores comutativos. eles são linearmente independentes e. tangentes a 0(T"~2 x D). Existe um ponto em Tn~2 x D onde os campos Yx são linearmente. em. Ka_i. dependentes.. Dita de uma outra forma, a proposição acima afirma que toda ação de IR" - 1 sobre Tn~2 x D que tem por órbita 0{Tn"2. x D) possui órbitas singulares. Para demonstrar. esta proposição precisaremos do seguinte resultado que pode ser encontrado em [22] (ver 22.9. página 118). P r o p o s i ç ã o 2.2 Para cada ri > 2. o grupo irx(SO(n)). é cíclico de ordem dois e seu. gerador é representado pela aplicação inclusão do círculo SO(2). em. SO{n)..

(20) 13. 2. Formas Canónicas Locais de Ações Antes i'i 1. do. demonstrar. 2.1. façamos. i',1-1 vetores em IR" linearmente independentes.. uma. consideração,. Se v, = (xtí. sejam. xin),. i =. n — 1. e Xj é o determinante da matriz que resulta de tirar a j-ésima coluna da. matriz com entradas (xl]), onde xnk. =. então definimos o vetor vn = u\A - • -Ai; n _i = ( x ' n l . . . . . , k =. ( — l)l+kxk. ortogonal a r, . i = í!i. a Proposição. 1.. 1. n. Pode ser verificado que. n — 1. e que det(:/;(. r n _i são ortonormais. então { r j. xnn),. A ••• A vn-i. é. > 0. Além disso se os vetores. <\,-i-<!,i} é uma base ortonormal de IR".. com det(a'.; 7 ) = 1. D e m o n s t r a ç ã o d a P r o p o s i ç ã o 2.1: Se ip : IR ri_1 x (Tn~2 x D). Tn~2 x D é a. ação induzida pelos campos Y\. . . . , Yn-i . então d(Tn~2 x D) — T"-'2 x 5 1 = xSx x • • • x S\, ^ ^ (?i —1) vezes é uma ^-órbita.. Logo existem vetores linearmente independentes t>,. IR" - 1 — { 0 } . tais que o grupo de isotropia de d(T'l~2 x D) é estes vetores temos. í;„_i G. Z • v-j. Associados a. X „ _ i geradores íníinitesimais de ç . Além disso, o conjunto. {>"i(/>), • • • . F „ - i ( p ) } ó linearmente dependente se. o somente se. {A"](/j). À'„_i(p)}. é linearmente? dependente. Sem perda de generalidade para cada 6 = (6{. 0„_ 2 ) G Tn~2 e. (9i. #„-i). G 5 1 . podemos supor que X,(6) = ^. G r n ~ 2 x S1 , 1, = 1. com. n-1.. É. suficiente demonstrar que não existem extensões ortonormais de ( A ^ j y / j . . . . . À'„_i|y£>) ao interior de D. Consideremos o caminho a = (A^\ 0D , . . . . Xn\oo). : OD —>• O (ri). onde A'n = X\ A • • • A l „ _ i . Pela Proposição 2.2, segue que a representa um elemento não trivial de TrJÔfn)) e, conseqíiêntemente. a não pode ser estendida a D, o que conclui a demonstração.. D. Utilizaremos este resultado para demonstrar a seguinte propriedade de estrutura local para ações de IR" sobre //-variedades em torno de uma órbita O0 ~. P r o p o s i ç ã o 2.3 Suponhamos que existem duas ^-órbitas distintas 0-\ mensão dois tal que V'0 = CL 1 U C 0 U 0\. O, ~ T"-1. Para 1 G { - 1 , 1 } ,. e 0\ de di-. é ama vizinhança aberta e conexa de Oy).. Então as órbitas Ot são homeomorfas a T"'1 Demonstração:. Tn~l.. x IR. para i = -1, 1.. a órbita O t só tem duas possibilidades:. ou. x IR ou Oi ~ Tn~2 x IR2. Suponhamos que a segunda possibilidade é. satisfeita. Neste caso temos que O, U O0 é um {ri - l)-toro sólido com interior O, ..

(21) 14. 2. Formas Canónicas Locais de Ações Sejam Y\ = Xu,„. Y„-i = A'„.„ o consideremos a ação v gerada por estes campos.. Para p G C 0 . temos que Op(il>) = O0 . Logo pela Proposição 2.1. temos que os campos são linearmente dependentes em algum ponto do interior de O, . de onde. Y{...... segue que a ação <p não pode ter órbita de dimensão n liomeomorfa a Tn~2 x IR2 no interior de O 0 . Assim O l é liomeomorfa a T " ~ l x IR.. •. O seguinte resultado á um dos principais deste capítulo pois, na maioria dos casos, ele nos possibilitará perturbar ações.. T e o r e m a 2.4 ( T e o r e m a de H o m o g e n e i z a ç ã o ) Seja p G Act r (IR'\ Mn). que existe uma vizinhança aberta V de 0{) a menos de um difeomorfismo.. ç. em Mn. r > 1, tal. saturada por três órbitas. Então,. é homogénea cm V. Sc v — 2 c V está saturada. apenas por órbitas homeomorfas a T1 = Sl.. então o resultado também segue.. Para demonstrar este teorema precisaremos de alguns resultados prévios. L e m a 2.5 Sejam A'i,. G A c t ^ I R " - 1 , Mn),. r. 1.. >. AR„_I e OQ uma p-órbita horneornorfa a Tn~l. com geradores. tais que XL . i = 1. possui apenas (rebitas fechadas de período um cm alguma vizinhança Se todas as p{)-órbitas. em IQ são homeomorfas. Tn~l X ( - 1 . 1 ) tal que f*X, Demonstração: transversal a seja Xf. infinitesimais. a Tn~K. n — 1.. V0 de Ot) .. então existe. f. : U(). = J - . onde U{) C Ii, é. uma vizinhança de C 0 .. Sem perda de generalidade podemos supor que { 0 } x ( - 1 . 1) é . onde 0 = (0. 0) G. /Zn~l. =. Para i = 1. n-. com t G IR. o fluxo associado ao campo A',-. Consideremos Ut) C Vq uma. vizinhança de O0. ^-invariante. A aplicação / : Ua. T'1'1 x ( - 1 . 1 ) definida por d. /(0, x) = x f 1 o • • • o A„l"i' (0, x) é um difeomorfismo de classe Cr tal que f*Xt para cada z = 1 , . . . , n — 1.. infinitesimais X{. —. 1 < r . tem geradores. Y„_i tais <-iue A', em AI+ = Tn~l x [0. 1) possui apenas órbitas. fechadas de período um. para cada / ài. = ^. C o r o l á r i o 2.6 Suponhamos que p0 G ActÎR' 1 - 1 . Mn).. de M+. 1.. são homeomorfas. a Tn~\. 1. n-1.. Se todas as órbitas de Pu por pontos. então existe f G Diff r (A/) tal que f*Xt\M+. =.

(22) 15. 2. Formas Canónicas Locais de Ações D e m o n s t r a ç ã o : Os campos Y, £ Xr(M). Y,(e.x\. \. definidos por X,(0,x).. x > 0. X,(9.-x),. x < 0. tem todas as suas órbitas fechadas de período um. Então pelo Lema 2.5 temos que o existe / £ D i S r ( M ) tal que f*Y] = J - . Logo como |A/ + = À ^ j ^ . o resultado 00,. •. O b s e r v a ç ã o 2.7 Quando n = 2. as órbitas não precisam ter o mesmo período. De fato, neste caso a ação é dada pelo campo A' com fluxo X' r : M —>• IR, a aplicação tal que r(9.x) ponto (9.x).. 6 o período da órbita de A" passando pelo. Como neste caso (em dimensão 2) r é de classe C r segue que a função. M definida por f(9.x). / :M. com t £ IR. Seja. = A' fir(U ' x) (0, x) é um difeomorhsmo de classe C. tal. Analogamente temos:. O b s e r v a ç ã o 2.8 Suponha que X. 1 < r < u.. £ Xr(M):. tem todas suas órbitas. fechadas em M+ = S1 x [0,1). Então existe f £ D i f f r ( M ) tal que f*X|A/+. Suponhamos que p tenha exatamente três órbitas: pela Proposição 2.3. 0} . GCi homeomorfas a Tn~l de isotropia de Ov . 0-X. 0-i.0n. = f| A /+ •. c 0 } . Neste caso. x IR. Se G{ . G _ i são os grupos. respectivamente, então G{ .G'_i = Z". \ Com estas notações. temos:. L e m a 2.9 Suponhamos que ç G-{. tem exatamente três órbitas.. estão contidos em Gn . Mais ainda, para i = 2. tais que Gx. e G_i são gerados por uu ... yun-i. Então Ui,u-i £ Gl0{i) para cada i = 2 D e m o n s t r a ç ã o : De fato. fixado i £ {2 cada p = (9.x) ou seja.. Ui. e -u.i. n, sejam uhu-i ti-(a-i). e. £ G° ©. respectivamente.. n. n}, como <pl.(p) = p(uz,p). com x > 0. segue que < ^ ( 0 , 0 ) =. £ G 0 . Agora, se u, 0 Gl0{i).. Então os grupos G}. Para. cada. = p. para 6. G. então existe um inteiro n, > 1 tal que.

(23) 16. 2. Formas Canónicas Locais de Ações. u, = p-u, E G ( j(/) . As órbitas cio campo A",7, passando por pontos (lc O0 são fechadas de período igual a 1. Por outro lado a órbita de X^, passando por p = (6,x) x > 0 tem período n, > 2. pela continuidade de = 2.. Corolário 2.10 Sc 0. Logo o fato da ação p ser analítica implica que ç]h {p) = ç(ui,p). = p, para cada p E M2. e isto significa que u, E G-i . Portanto G\ = G-\ .. • P r o p o s i ç ã o 2.11 Se a ação p possui exatamente três órbitas, então existem campos linearmente independentes. que tem todas as suas órbitas fechadas, de. período um e que comutam com qualquer gerador infinitesimal de p.. Além disso,. todas as órbitas da ação gerada por estes campos são homeomorfas a Tn~l.. inclusive. O0. Se n = 2 e ç possui apenas órbitas círculo, então existe X gerador infinitesimal de tp cujas órbitas são exatamente as órbitas de p. Demonstração:. Suponhamos que. ç. possui exatamente três órbitas.. Quando. = G-1 . temos que u, = u . i . Logo. a primeira parte da proposição segue pondo Y) = À'„, . Assumamos agora que G\ ± G_i . Então para alguns valores de i. temos.

(24) 17. 2. Formas Canónicas Locais de Ações. que w, = u, — //._,; ^ O está na componente conexa de G () que contém a origem. Sejam Xu.t . XUl ,Xtl. i. e 3T{M). os campos associados aos fluxos. . p\h pptu_i respectiva-. mente. Segue que XWl = XU) — X„_r. ou. equivalentemente.. = pllh o. Para cada p = (0.x) e AI com x > 0. plUi(p) = V- Logo. Dip\. (9, x) = id e D{3)plu%(9, x) = 0 . j = 2....,. r ; Vx > 0.. conseqúêntemente. Dp\h(9. 0) = hl e D{])p\ít(9. 0) = 0 , j = 2. r : W9e. T".. Analogamente. DplU Como Dp]J9.. i (9.. 0) = id e D{j]pl,l. t(9.0). = 0 . j = 2. r : V0 G T.. 0) = e x p ( D X l t , , ( M ) ) e DplWi(9. 0) = £ ^ ( 0 . 0 ) 0 / ^ ( 0 . 0 ) .. ternos. que DXWi(9, 0) = O,V0 G Tn. Por outro lado, para cada p G AI, temos. e. como. XUi(Çjh(p)). D^2'XUi(9,x). =. Xu.(p). para cada p =. = 0 e. portanto. Du)XUi(9.x). Conseqúêntemente,. Du) XUi (9.0). =. D(:')Xu_i (9, 0) = O.V0 G T" e j = 2. = 0. p=. O.V0 G T". com x. (9. x). >. 0, segue que. (9. x) com x > 0 e j = 2,. .. . r. e j. =. 2. r. Analogamente.. r. Finalmente, o campo A", dado por. [ Xu_,{9. x),. x < 0. é de classe Cr e tem as propriedades requeridas. Finalmente, suponhamos que n = 2 e que p possui apenas órbitas círculo. Como G 0 = IR x Z consideremos uma reta C C IR2 transversal a G 0 • Seja w G G 0 \ { 0 } o gerador do subgrupo £ n G 0 de G 0 . Então O0 é uma órbita periódica do campo A,,,. Além disso as órbitas da ação são invariantes pelo seu fluxo plw. Existe uma vizinhança V (que podemos supor que é AI) de O0 tal que Xw. não tem singularidades em V.. Portanto, todas as órbitas de Xw passando por pontos de V são exatamente as órbitas da ação.. u.

(25) 18. 2. Formas Canónicas Locais de Ações C o r o l á r i o 2.12 Sc ip é analítica, . .. .. são geradores. então na Proposição. 2.11 anterior. ternos que. infinitesimais.. Demonstração:. De fato, se >p possui exatamente três órbitas, então do Corolário. 2.10 segue que. = G - \ . O resto segue da prova, da proposição anterior.. •. D e m o n s t r a ç ã o d o T e o r e m a 2.4: Se <p possui exatamente três órbitas, o resultado segue da primeira parte da Proposição 2.11 e do Lema 2.5. Suponhamos agora que n — 2 e que todas as órbitas de íp são homeomorfas a Sl. O resultado segue da segunda parte da Proposição 2.11 e da Observação 2.7.. •. Embora o seguinte resultado seja para ações em A c t ^ I R " - 1 . A/ n ), ele nos possibilitará encontrar uma forma canónica para a mesma situação no caso de ações em Act r (IR n . M n ) (ver Corolário 2.15).. P r o p o s i ç ã o 2.13 Seja. ip 6 A c f Q R ' 1 - 1 , A/").. •invariante de Ou . Se todas as y-órbitas. r >. l.. e V0. uma vizinhança. em V0 são homeomorfas. a T"~x.. v-. então. O é homogénea horizontal em VQ .. O seguinte resultado pode ser encontrado em [1] (ver Lema 6 da página 74) e será necessário para demonstrar a proposição acima. L e m a 2.14 Seja &. urna folheação. F seja uma folha compacta de. Cr.. com holonomia trivial. Então existe uma vizinhança. aberta VF de F em M. saturada por VF tal que as folhas de ^. r > 1. de codimensão um. Suponhamos que. . e um difeomorfismo. CR, h : F x ( - 1 , 1 ) —•. em VF são os conjuntos de tipo h{F x {:i:}), x G ( - 1 , 1).. sendo F = h(F x {()}). Em particular VF \ F tem duas componentes. conexas.. Agora demonstraremos a Proposição 2.13.. D e m o n s t r a ç ã o d a P r o p o s i ç ã o 2.13:. Pelo Lema 2.14 podemos supor que Vq =. TN~L x ( - 1 , 1 ) é uma vizinhança de O0 • saturada pela ação (> tal que todas as órbitas da ação em [•'„ são T " " 1 x { x }. para cada. G ( - 1 . 1 ) . Segue que os geradores. infinitesimais de v em Uq são da forma n— 1 Xj(9,x). = Y,aij(e,x). Q — ; j = 1. n-1..

(26) 19. 2. Formas Canónicas Locais de Ações. Agora definiremos um difeomorfismo tal que a ação seja homogénea horizontal em 0o ti menos desse difeomorfismo. Para cada i Ç ( - 1 . 1 ) , o grupo de isotropia Gx de Ox = T " " 1 x { x } é isomorfo a Z™^1. Sejam W\(x). uma base de Gx tal. wn-i(x). que Wjfx) G IR*. onde IH. = {(0,. . . . Xj,. . . . 0) G li;". 7= 1. n - 1.. Pelo Lema 2.5. para cada ponto x G ( — 1. 1) existe um difeomorfismo /,. : Ox —>• Oz tal que / * X w < =. . Consequentemente, pela comutatividade dos campos Xj e A',,.,. temos, f:XJ(e,x) = ^ r. l. ( x ). :. w. (=i. j = f. n - 1.. 1. Finalmente, o fato da ação ser C . a escolha dos ixfx) c o lema anterior permitem concluir que os ic, são funções de classe C.. Daí como a função fx. foi construída. usando a ação e os w,, (ver demonstração do Lema 2.5) segue que a aplicação / : Tn~l x ( - 1 , 1). Tn~l x ( - 1 , 1) dado por f{8,x) rXj(9,x). n~ ^ = 1£aij(x) t=i. = fx(9). d — ; j = 1. é um difeomorfismo tal que n — 1.. 1. para cada (6. x) G Vn . Isto conclui a prova. Se para 0 G Aet r (lR n . Mn),. •. n > 2, existir um aberto em Mn. ©-saturado por. órbitas homeomorfas a TN~X. então nem sempre é homogénea. Porém possui a seguinte forma canónica:. C o r o l á r i o 2.15 Seja o G ActÎR", Mn),. n > 2, e Vq uma vizinhança aberta de O0. tal que todas o-órbitas são homeomorfas a Tn~[.. Então a menos de um difeomorfismo. de Vo os geradores infinitesimais de 0 são da forma: Xtf.x). =. an{e.x)±. X liO.x). =. au(x)^. Além disso, para cada k = 1 akl(6.x). =. rt„i(x)^[.4nl(i-)]_1. + --- + a ^. i n. { e . x ) ^ + (/ = 2. + --- + a{n_l)i(x)^—.. anl(x)± n)'.. n — 1. tem-se ' o{.{x).. onde ( . ) denota o produto interno. + dk(x):. canónico.. ak(x). = {ak2{x). a f c n (x))..

(27) 20. 2. Formas Canónicas Locais de Ações Demonstração:. Sejam À", = Xw,.. i = 2. ir, estes campos geram uma ação. v G Act''(lR r ' _ 1 . A/'") a qual possui apenas órbitas homeomorfas a Tn~l.. Do Lema. 2.14 e da Proposição 2.13. podemos supor que em VQ = T n ~ l x ( —1.1) temos. X i. =. NUWL. +. '--. +. A. ^ O I R. onde as funções a^, . . . . a( n -i)i, i = 2. Í. -. ' =. 2. >. ri, só dependem de x 6 ( —1,1).. Finalmente, pela coniutatividade do campo X{. com os campos Xo,. Y ( l , para. cada i = 2, . . . , n, temos que. Ou 1 au(x)^(0. OU] onde k = 1 (2.3) que. dOj. +. +. *) + ••• +. x). Otln.-i. Como a matriz .4, a (0. x) = Anl(x). n-i.. = 0. para cada j = 1 ani{0-x). a'kl{x)anl{0,. =. n - 1. existem 4. 0.. (2.2) (2.3). é mversível. segue da relação. =. aní{x). n - 1. obtemos. - . I r ^ í M ) ) =«niW[A.i(x)]"1(ajt2(x). Para cada A: = 1.. x). n - 1. Logo.. Substituindo isto na relação (2.2), para k = L fê1^),--. =. OVnî. aj^z)).. tal que. se Q:/f(x) = (ak2{x),. (2.4) akn{x)).. então =anl(x)([Anl(z)yl ficando assim demonstrado o corolário.. • a'k(x).. (2.5) •.

(28) Capítulo 3 Orbitas Compactas Normalmente Hiperbólicas Consideremos ações ç. em Act r (lR n , Mm). homeomorfa ao toro /.'-dimensional Tk. que possuem uma órbita compacta. (a variedade Mm. O0. tem dimensão rn > ri).. Para tais ações definiremos o conceito de órbita compacta normalmente hiperbólica; particularmente damos ênfase nos casos em que k = n - 1 e rn - n pois nestes casos se apresentam propriedades mais relevantes. Apresentaremos um resultado que caracteriza este conceito em coordenadas locais (Proposição 3.14) e algumas consequências Teorema A'. Exploramos também algumas propriedades do caso n = vi = 3 o k = 1, as quais serão usadas para demonstrar o Teorema A e na Seção 3 do Capítulo 5.. A definição de órbita compacta normalmente hiperbólica será dada usando a noção de ponto fixo hiperbólico introduzida em [2] por C. Camacho, a qual descrevemos a seguir.. 3.1. Pontos Fixos Hiperbólicos. Consideraremos ações ^ G kctr{G.Mrn). onde G = Mk x Ze.. Daremos a definição. de ponto fixo hiperbólico de uma ação em Act' ( G . i U m ) introduzida em [2] por C. Camacho. A cada ação. G A c t r ( G . M ' n ) com ponto fixo p. associaremos uma ação. linear. O ponto fixo p G M'" será chamado de hiperbólico se a ação linear associada é hiperbólica. Seja E um espaço vetorial real de; dimensão m. Uma ação linear do grupo de Lie G sobre E é um homomorfismo o : G -> A u t ( E ) do grupo G sobre o grupo de. 21.

(29) 22. 3. Orbiteis Compactas \Normalmente Hiperbólicas automorfismos A u t ( E ) de E. O posto do grupo G denotado por rank(G) é definido por rank(G) — k + f.. Dizemos que a ação linear g : lRfc x Z f — Aut(ii) é hiper"bélica quando satisfaz uma das seguintes propriedades: (a) se k + f = 1. então todos os autovalores do automorfismo g(s). tem módulo. diferente de 1; (b) se k + í > 2, definimos por indução sobre k + f. Suponhamos que tem-se definido ações lineares hiperbólicas para ações de posto menor do que k + L Então se posto(G) — k + C dizemos que a ação o é hiperbólica se: (b.l) Existe uma decomposição de E. E = 0,_ Ef.. invariante por o. tal que. para qualquer t. g é transitiva sobre cada componente conexa de Et \ { 0 } . (b.2) A ação \t : Cffg) g(g).. g G Gv(g),. A u t ( 0 t , _ i t Ef).. v G E, . definida por \t(g) o ix = TT O. é hiperbólica para cada t. Aqui a aplicação 7r : E —> 0t/_éí Et>. denota a projeção. Por (b.l) segue que. é uma ação do grupo G,:{g) de posto. posto(G) — 1. Dizemos que o ponto fixo p de p G Act r (lR fc x Z l . M ) é hiperbólico se a ação linear induzida o : IRk x Z (. A u t { T P M ) definida por g{g) = Dpg(p). é hiperbólica.. Os seguintes resultados podem ser encontrados em [2], T e o r e m a 3.1 Seja p um ponto fixo hiperbólico da ação p : (M.k x Jf) x AI'" com m <k+l.. AIm.. Então Al rn = 4. Então ç é localmente estruturalmente. com. estável em p.. Para ações de Z e IR, temos o conhecido Teorema de Hartmann o qual lineariza topologicarnente estas ações em torno de um ponto fixo hiperbólico. O seguinte resultado devido a Camacho [2] generaliza este resultado para ações de IR".. T e o r e m a 3.3 ( C a m a c h o Act r (lR". Mm).. um ponto fixo hiperbólico de ip G. r > 1, onde m < n + 1. Então paru qualquer vizinhança V de p. ex-. iste uma vizinhança h : U — r.. [2]) Seja p G AI"1. de <p tal que para qualquer v G V,R~ existe um horrieomorfismo. com U C V" vizinhança de p. e um isomorfismo. h o çr = vuir) o h.. u de IR". satisfazendo.

(30) 23. 3. Orbiteis Compactas \Normalmente Hiperbólicas Para cada g G IR", definimos JRn(g) = {tg-,tGJR}. e JRl(g) = {tg: t > 0}.. Um cone em IR" é um conjunto da forma U g6l (o)IR" (g), onde i : D —> IR" — { 0 } é um mergulho linear de um d-disco D. 0 < d < n. Seja p G M'" um ponto fixo hiperbólico de ç G Act' (IR". M"1). decomposição TpMm. Então existe unia. — @t Et invariante pela ação lmear p : IR," x TpM"' —» TpM'n. induzida por ç, onde cada ET c uma reta e Et — {p} ou um plano e Et — {p}. ó a união duas o-órbitas reta. é uma ^-órbita cilíndrica. Seja Gt o subgrupo de isotropia. de uma o-órbita em Et - {p}.. Temos que Gt = IR"" 1 ou Gt = IR" - 1 x Z , com estas. notações temos:. T e o r e m a 3.4 ( C a m a c h o Act r (lR". Mm). uma Cr. [2]) Seja p G Mrn. um ponto fixo hiperbólico de ^ G. r > 1, e G um subgrupo fechado de IR". Então Vc = Fix(<^|<y) é. variedade de dimensão dim Ea t tangente a Ec. em p. onde Ec, = Fix(oic)-. Mais ainda, para qualquer cone C em G - UtGt . com G (/_ Gt , os conjuntos W c ( ^ ) = {q G Mm\limôo W?{VG). = {q£. são subvaricdades de classe Cr. -f(g, q) G VG , g G C}.. Mm\limôo se interceptando. q) G VG,g. G C}. transversalmente. ao longo de Va •. Além disso. (f,)0 é normalmente hiperbólica em Vc , para qualquer g0 G C.. C o r o l á r i o 3.5 Existem, subvariedades invariantes Vt difeomorfas a E, c tangentes a Et em p. onde Vf = Fix^je;, )•. 3.2. Definição de Órbita Compacta Normalmente Hiperbólica. Dada uma ação. usando "coordenadas triviahzadoras"em torno da ^-órbita com-. pacta se associará uma ação local. de IR""*" sobre o (m - A:)-disco aberto. Dm~k.. a qual possui um ponto fixo correspondente á (^-órbita compacta. A ^-órbita compacta será normalmente hiperbólica se o ponto fixo de. correspondente a esta órbita. é hiperbólico. Antes de formalizar este conceito precisamos dos seguintes resultados locais..

(31) 24. 3. Orbiteis Compactas \Normalmente Hiperbólicas L e m a 3.6 ( L e m a d e Trivialização L o c a l ) Sejam p 6 Act/'(IRA:. Mm).. r > 1. uma. ação localmente livre. -— = (0 0.1.0 0) o campo constante em, IRm e Dm = ux7 {(xi xrn) G IRm: |.Xj| < c } , e > 0. Se X-{,... são geradores infinitesimais de p e p G Mm.. então existe um difeomorfismo de classe Cr. h : Vp D™, onde Vp é d uma vizinhança de p em M"1. tal que h*Xl = —— em D™, para cada i — 1 k. axi. D e m o n s t r a ç ã o : Sejam p : U —> UQ uma carta local de Mm p(p) = 0 e }'t = p,X{.. i = 1. Uq • Como X[(p)....... em torno de p, com. k. os campos induzidos por Xt,. i = 1. ,k, em. Xk{p) são linearmente independentes, segue que l j ( 0 ) , . . . , 1^(0). também são linearmente independentes. Os fluxos locais V'/ de Y, definem uma ação local o: Dkx. Vn. Un dada por ©(r,. rk. q) = Yf1 o ••• o YfJk (q) onde Dk C IR*. e V'0 C ( o é uma vizinhança apropriada de 0. Seja H o subespaço de IR"1 ortogonal ao subespaço gerado pelos vetores Y i ( 0 ) , . . . . Vfc(O). o qual é isomorfo a. Seja. \\ o = H H l o e w : Dk x U 0 —>• U0 a restrição de <j> a Dk x IV0 . Tomemos uma base {cj. c, n } de IR/0 x / / , onde { e i , . . . . e k } é a base canónica de IRfc x { 0 } e e m } C { 0 } x H. Obtemos então que Dlp(0. 0)6.; = .m. uma vez que c(O.q). = q. para todo q G l l 0 .. Logo. Dw{0.0). : lRfc x H. IR"1. é uni isomorfismo.. Pelo Teorema da Aplicação Inversa. existe1 um £ > 0 tal que. : Dk x D?~K. U0 (estamos denotando pela mesma letra a restrição de v a. v. jjm _ £)k. x. £>m-k^ £. u m. difeomorfismo sobre sua imagem que é um aberto de C 0 .. Além disso pode-se verificar que ç:*Y = -r—. para cada i = 1 ox, Vp =. a aplicação. k. Portanto pondo. h : Vp -> Dk x DF~K dada por h = / / r 1 o p é um. difeomorfismo e satisfaz a conclusão do lema.. •. O b s e r v a ç ã o 3.7 Notemos que na demonstração do lema anterior, pela construção, o difeomorfismo. h = h(p) : Vp. D™ depende continuamente. sentido: dado ò > 0. .se p € Act r (IR fc . M'n). da ação p no seguinte. está Ô-C1-próximo. morfismo h{p) : Vp -* D"1 está ô-Cl -próximo de h(p). de p. então o difeo-. em Vp n Vp .. A vizinhança Vp dada no lema anterior será chamada de caixa trivial de <p em p. Um k-fluxo tubular da ação p e Act.r(lRA'. Mm) é um par (V.h). onde V é um aberto de M"' e h é um difeomorfismo Cr de Vr sobre o cubo D"1 = D\ x D"l~k . tal.

(32) 25. 3. Orbiteis Compactas \Normalmente Hiperbólicas que fuXj é paralelo ao campo constante - — . i — 1 dxi sao geradores infinitesimais de p.. k, onde os campos A"i. A'/,. Observe que o lema anterior garante a existência de um A:-fluxo tubular de p em torno de qualquer ponto p G Mm não singular, isto é. quando a dimensão da sua órbita é igual a k. Usando o lema anterior obtemos a seguinte versão de trivialização longa.. L e m a 3.8 ( L e m a d e Trivialização L o n g a ) Sejam p G Act r (IR fc , Mm), r > 1. 0 uma ação localmente livre. 0„ a ip-órbita passando por p. -— = (0 0, 1. 0 0) ox, o campo constante. em IR"1 e D"1 = {(.ri. xm). G IRm: \x,\ < s},. s > 0. Se. Xk são geradores infinitesimais de tp e 7 C Op um arco compacto não f echado.. Xi. então existe um difeomorfisino de classe C de -> em M'n,. tal que //„X, — -— o:ii. Demonstração: Q ([0,1]). h : V-, — D"1, onde V- é uma vizinhança. cm Dm.. Seja a : [ - e , 1 4- e] —> Op,. para cada. 1 = 1. k.. e > U. um caminho contínuo tal que. = 7. Podemos supor que a(0) = p. Considerando o compacto 7 = a ( [ - e , 1 4-. e]). pelo Lema reftrivializacao, para cada ponto em 7 existe uma caixa trivial de p. o que dá uma cobertura de 7. Seja ô o número de Lebesgue desta cobertura. Tomemos uma cobertura finita. Vi de 7 por caixas triviais de diâmetro menor que 5/2.. Daí segue que, se V, fl Vj ± 0, então l) U V} está contido numa mesma caixa trivial de ç . Usando esta propriedade podemos, diminuindo os V) se necessário, reordená-los de modo que cada l í intercepte apenas V, ^ e Denotemos por. = {0} x D o n d e. 0 G Dkd . Sejam (V)./;,) os A-fluxos. tubulares correspondentes às caixas triviais acima, sendo que h Cíh) = 0 G. onde. = q(—e). É claro que Ei = l C l { D ' ^ k { 0 ) ) é urna seção transversal à ação ^ e que. Pl. Pi G Ei . O conjunto U = U ' = i ( ^ n C , o ) « unia vizinhança aberta de 7 11a órbita O0 • Para cada q G U seja I G IR* t.al que q = p{t.pi).. Considerando a seção E (/ =. ^.(£1). e escolhendo d > 0 suficientemente pequeno, ternos que E f/ C I7 para algum /. 1. I.. Pelo Lema de Trivialização Local temos que E 9 l D V = U. eU. = 0. se qx / q2 , e que. é uma vizinhança de 7 em Al.. Nesta vizinhança está definida uma Cr fibração sobre U cuja fibra sobre o ponto (/. g U é. q tal que -2. :. . Isto é. a projeção tt, : V. U. <iue a cada ponto :: G U associa o ponto. é uma aplicação de classe Cr. Temos também definida uma projeção Si . que a cada ponto 2 G V associa o ponto da intersecção da órbita.

(33) 26. 3. Orbiteis Compactas \Normalmente Hiperbólicas 0,(ç). com S , . Consideremos dois difeomorfismos gt : U —> Dk e g2 : Si —> D™. quaisquer e definimos /. : V —> Dkx x D™~k. pondo f(z). Este difeomorfismo tem a propriedade que o campo f*X, 1. k. (tti (2)), . ^ ( ^ l © ) ) ) •. =. 6 paralelo a ——. com i = OXi. k. Sejam q0 G - e s > 0 tal que 7 C Utei^ 9t{Qo) C V" Seja S 0 a seção transversal. a yp pelo ponto q0,. suficientemente pequena para que V- = Uteí^. contida em V. Se c G VI, então y-í<©) G S 0 pa.ra algum t = t(z) h : l/7. Dk x D'?-k. dada por h{z) = (t{z). g(ip_t(z))).. esteja G Dk.. Seja. onde g : S 0 -»• D™~k é um. difeomorfismo qualquer.. O difeomorfismo h tem as propriedades requeridas, o que. conclui a demonstração.. •. Como Co é uma órbita compacta de <p G A c t r ( l R n , M m ) horneomorfa ao A;-toro Tk. o grupo de isotropia G{] de O0 é isomorfo a IR"^' x Z f c . Seja G„ a componente conexa de G 0 que contem a origem. A menos de um isomorfismo linear de IR", temos que G° é transversal ao subespaço {{ti f. n. sejam IRf = {(0. c,-. f n _i.O) G IR": t, G IR}. Para t = n - k +. 0) G IR": x, € JR + } e Gl0{i) = {•«.',} + G[j, onde. Wi G IR+ ó tal que, se Zt o o grupo gerado por tt»f. então G 0 = G o © Z „ _ f c + i © • • - © Z n . Sejam Z + = {hc,: Seja {wi A'i. Y„. 1 = 1, 2.. . . } e G+ = G° © Z+_k+l. unia base de G[j. consideremos os geradores infinitesimais. w,,-k} onde A,. Act r (IR"~ A '. Mm). O • • • © Z+ .. =. A',,., . i =. 1. n. Temos duas ações induzidas:. que tem geradores infinitesimais A',.. .. . Xn-k. que tem por geradores infinitesimais Xn^k+1,. e. G. <E Act r (IR fc , M'n). Xn . Pelo Lema 3.6 se p G C 0 , existe. um sistema de coordenadas h : Vp -> D[n. onde Vp é uma vizinhança de p em. Mm.. tal que nessas coordenadas os geradores infinitesimais de 9 são da forma k. m. q. -j. i = 1 J=. -W<«.*>. =. 1. >. ' '. j=k+1. • = '. ±. «•. onde cada ponto em D™ é denotado por (0.x). sendo que 9 = (9x (xfe+i, • • • xm)• Sejam A'i. Xn-k. n — k. 9k) e x =. os campos definidos em D'{l~k dados por. * = £. 3=k+1. <=. l. j. pode-se verificar facilmente que estes campos comutam. Além disso, como eles deixam invariante { 0 } x D"l"k.. para cada 0 G. . induzem uma ação local (p0 de JRn~k.

(34) 3.. 27. Orbiteis Compactas \Normalmente Hiperbólicas. sobre D\". k. com ponto fixo 0 £ D"1. k.. As .seguintes propriedades desta ação podem. ser verificadas facilmente: (1) O fato de 0 G D™~k ser ponto fixo hiperbólico da ação (p0 independe da escolha da carta trivializadora. (2) Sejam p.q £ Afm. dois pontos distintos de O o. Pelo Lema de Trivialização. Longa temos sempre uma carta trivializadora de uma vizinhança em M m contendo os pontos p e q. Das observações acima segue que o seguinte conceito está bem definido. D e f i n i ç ã o 3.9 Dizemos que a ^-órbita compacta O o é normalmente. hiperbólica se. existe p £ C 0 tal que, para qualquer sistema de coordenadas h em p como no Lema 3.6, 0 G D'"~k. 6 ponto fixo hiperbólico de p () .. A seguinte observação mostra realmente que a ação da dinâmica da ação p em torno de O b s e r v a ç ã o 3.10 Observemos {Ai... 1. .. An_fc}. 3.3. espaço vetorial,. de. D"1,. além disso. { A ^ , . . . . Xn_k} [Xj,A^]. e. — 0, i. =. n. Logo se (p é a ação local de IR" .sobre D™. n — fc e j = n — k + L. Algumas. O0.. que em cada ponto. geram o mesmo. gerada pelos campos X\. carrega toda a informação. Y„ . então. Xn„k. Xn^kr[.. Consequências. da. = 0,,{ç). em D"'.. Definição. de. Órbitas Compactas Normalmente Hiperbólicas A seguir descreveremos algumas propriedades de órbitas compactas normalmente hiperbólicas dentre delas a persistência de tais órbitas por pequenas perturbações Teorema 3.11, assim como também outras propriedades em alguns casos específicos, como por exemplo órbitas homeomorfas a. Também demonstramos os Teoremas A e. A'.. T e o r e m a 3.11 (Persistência de Ó r b i t a s N o r m a l m e n t e H i p e r b ó l i c a s ) Seja O 0 uma órbita liomeomorfa a Tk. de p £ Act''(IRr\ Mm).. r > 1, com m < n + 1, ou. n = 2 e rn = 4. Se O0 é normalmente hiperbólica, então existem V^ vizinhança de p em Act' (IR". M'"). c V0 vizinhança de O0. em Mm. tais que. cada açéio ir £. possui uma única órbita homeomorfa a Tk contida em V0 •.

(35) 28. 3. Orbiteis Compactas \Normalmente Hiperbólicas Demonstração:. Seja p € Oq , pelo Lema 3.6 existe um sistema de coordenadas. h. : Vp — D"'. hç(p) = 0. onde \'p é uma vizinhança de p em Mm. tal que, nessas. coordenadas, os geradores infinitesimais de ip são da forma k Xt(9,x). ^. m I ] j=k+í. -. Xl+n-k{0-x). j=i d —, o9i. =. 3. i—. q l. sendo que 9 = ( ^ . . . . . (?/,.) e x =. Seja ô a ação local de IRfc sobre. são. n~k'. 1. \,....k. onde cada ponto em D™ é denotado por (9.x), (xfe+i, • • • xm).. =. 3. m. Q. Y, j=k+i. •. 1 =. . cujos geradores infinitesimais. 1. 3. Por hipótese, o ponto 0 é um ponto fixo hiperbólico desta ação. Seja y e Act r (lR". M"1). e sejam \ \. Yn os seus correspondentes geradores. infinitesimais. Para cada ó suficientemente próximo de ç , pelo Lema 3.6. existe um sistema de coordenadas /;.,,., : Vp —» D™. hu,(p) = 0. tal que nessas coordenadas os geradores infinitesimais de (p são da forma k Yt(9,x). m. Q. =. Yi+n.k(B.x). =. J-,. i = l. Seja r 0 a ação local de IRfc sobre. —. i=. l....,n-k. 3. k. . cujos geradores infinitesimais são. rn. Y=. £ ^(x) ;', = k+1. 3. j=l. Q. ,-j. E. '=. 1. n~k•. Pelos Teoremas 3.1, 3.2 e pela observação do Lema 3.6 segue que existem uma vizinhança Vp de ç e sp > 0 tal que as ações ç0. e v'o são localmente topologicamente. equivalentes em D'"~k C D'"~k . Obtemos uma cobertura por abertos { 6 p } p £ o 0 de Oo • onde Up = h~l{D^~k). (observemos que h9 dado pelo Lema 3.6 depende do. ponto p G Co). Tomemos uma subcobertura finita {Uu ... Mi}. de O0 . O resultado. segue pondo V'0 = U l l=l [f, .. Se O0 é homeomorfa a T"'1.. d. então a ação. : IR x D'{'-". +l. pelo campo: 0. X^(x) = j= n. ern. x = (xn, . . . .xm). G D\n~"+l. é gerada.

(36) 29. 3. Orbiteis Compactas \Normalmente Hiperbólicas O b s e r v a ç ã o 3.12 Seja C ( ) uma órbita homeomorfa a Tn~l. de p G Act/'(IR n . Mm),. r > 1. Então O» é normalmente hiperbólica se. e somente se. 0 G Í)J""" + 1. é uma. singularidade hiperbólica de Xi .. Seja O uma órbita homeomorfa a Tk. de p G Act''(IR". M"1).. 6 normalmente hiperbólica, então a. ação local 0 G Dr"~k. r > 1. Se O. : R' l _ A ' x D\n~k -*. tem. D"l~k. por ponto fixo hiperbólico. Logo existe uma decomposição IR.m~A' =. invariante pela ação linear. : IR"-^' x ]R m ~ k. E,. ]R m ~ k induzida por <pQ, onde cada. Et é uma reta e Et — { 0 } é a união duas o 0 -órbitas reta ou um plano e Et — { 0 } é uma po-órbita cilíndrica.. Seja Gt o subgrupo de isotropia de uma £ 0 -órbita em. ET - { 0 } , temos que GT = M ' 1 " ^ 1 ou GT = UN~K~L x Z . O subespaço ET visto em TpKI* será denotado por E,{p). fibra Et{p),. p G O. e EtO. denota o subfibrado de T0M*. para p e O. Olhando JRn~k = {{U. ín-A-,0. com. 0) G IRn;í,; G IR}.. podemos supor que Gt C IR". Com estas notações, como consequência da Observação 3.10 e dos Teoremas 3.3 e 3.4 obtemos:. T e o r e m a 3.13 Seja Act r (lR n , Mm). Ef xO.. uma órbita compacta. normalmente. r > 1. Então existem variedades p-invariantes. contendo O e tangentes a EtO+TO. Além disso. pgo. 3.3.1. O. hiperbólica \Yt{0). ao longo de O, onde Wt(0). é normalmente hiperbólica em \Vt(0).. de p. G. homeomorfas a = Fix(p| G( ).. para qualquer g0 G Gt.. Caso dim Aí = n :. Neste caso temos que existe uma vizinhança V0 de C 0 em Aí1 difeomorfa ao librado normal de O0 cm Mn.. Podemos supor que Vá = T"'1. Consideremos as coordenadas (0.x). x ( - 1 . 1) e 0 „ = T'1'1 x {()}.. G Vfí onde 9 G Tn~l. e x G (-1.1).. Nestas. coordenadas suponhamos que a ação p tem por geradores infinitesimais os seguintes campos: ,1—1 Xl(9.x) = J 2 a ^ 7=1 onde i. = 1. Q 9. -ôf + '. ^ — .. (3.1). n e Xx = Xw com w G G[j • Temos o seguinte resultado:. P r o p o s i ç ã o 3.14 Suponha que p tem por geradores infinitesimais os campos dados em (3.1). Então, a órbita O0 é normalmente hiperbólica se. e somente se. "^-(M) 0 para cada 9 G Tn~l.. ^.

(37) 30. 3. Orbiteis Compactas \Normalmente Hiperbólicas Demonstração:. Pelo Lema 3.6, dado p G O0 . existem Vp C V0 vizinhança de. •p, 0 < s < 1 e um difeomorfismo h : Vp —> D " tal que se Yt — h„Xi,. i — 1 , . . . . n.. então 9 j=i Y+l(9.x). =. 4-,. .. 09,. , níK. / = 1. ft. dx. !>-\.. 09, Além disso, se h = (hi,..... hn) e g — h~] = (g\ .... gn) então hn(9< 0) = gn{9, 0) = 0.. para cada 9. Como Xi(9. x) = g*Y\ [9. x). temos que X^.x). =. Dg(h{9, x)). •Yl{h{9.x)). =. n -1 Y,hjÁKî-))Dg{h{e.x)) j=i n~ ^. • ^ + bnl(h(9.x))Dg(h(9.x)) " ? M. =. '^. + bm(hn(9,x))Dg(h(9:x)). Q •— Q • —,. 1. .7 = 1. para cada (9, x) G Vp . Segue que. j=i. J. Consequentemente, derivando em relação a x e avaliando no ponto (9. 0) obtemos que. .7 = 1. 7. Mas como gn{9, 0) = 0 para cada 9. então. Por outro lado. pode-se verificar facilmente que. (/t(0, 0 ) ) - ^ - ( t f . 0) = 1. Assim. temos que ^ ± { 9 . 0) = ò' nl (0). Finalmente, por definição, a hiperbohcidade normal da dx órbita Oo se reduz ao fato de 0 6 {-e.s) ser uma singularidade hiperbólica do campo. ou seja a' nl (0) / 0. Portanto o resultado segue.. Como consequência disto temos o seguinte lema:. D.