Existência de soluções para um modelo de equação de onda fortemente amortecido

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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA´

PROGRAMA DE P ÓS-GRADUAÇ ÃO EM MATEMATICA´

M ´ario Bezerra de Sousa Neto

Exist ˆencia de soluc¸ ˜

oes para um modelo de equac¸ ˜ao de

onda fortemente amortecido

Recife 2019

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Exist ˆencia de soluc¸ ˜

oes para um modelo de equac¸ ˜ao de onda

fortemente amortecido

Dissertaç ão apresentada ao Programa de P ós-graduaç ão em Matem ática da Universidade Federal de Pernambuco, como requisito parcial para obtenç ão do t´ıtulo de Mestre em Matem ática.

´

Area de concentraç ão: An álise

Orientador(a): Dr. Claudio Cuevas Henr´ıquez

Recife 2019

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Catalogação na fonte

Bibliotecária Monick Raquel Silvestre da S. Portes, CRB4-1217

S725e Sousa Neto, Mário Bezerra de

Existência de soluções para um modelo de equação de onda fortemente amortecido / Mário Bezerra de Souza Neto. – 2019.

78 f.: il., fig., tab.

Orientador: Claudio Cuevas Henríquez.

Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal de Pernambuco. CCEN, Matemática, Recife, 2019.

Inclui referências.

1. Análise matemática. 2. Equações de ondas amortecidas. I. Cuevas Henríquez, Claudio (orientador). II. Título.

515 CDD (23. ed.) UFPE- MEI 2019-121

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EXISTÊNCIA DE SOLUÇÕES PARA UM MODELO DE EQUAÇÃO DE ONDA

FORTEMENTE AMORTECIDO

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação do Departamento de Matemática da Universidade Federal de Pernambuco, como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática.

Aprovado em: 31/07/2019

BANCA EXAMINADORA

________________________________________________________ Prof. Dr. Claudio Rodrigo Cuevas Henríquez (Orientador)

Universidade Federal de Pernambuco

_________________________________________________________ Prof. Dr. Clessius Silva (Examinador Externo)

Universidade Federal Rural de Pernambuco

________________________________________________________ Profª. Dra. Joelma Azevedo de Moura (Examinador Externo)

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Agradec¸o primeiramente a Deus por ter me dado forc¸as para essa caminhada, pois sem Ele nada disso seria poss´ıvel.

Agradeço a toda a minha fam´ılia a qual devo todo o apoio durante toda a minha vida, especialmente gostaria de agradecer ao meu pai M ário, minha m ãe Ang élica e ao meu irm ão Alysson.

Um agradecimento especial a Ananda Santos por quem tenho grande admirac¸ ˜ao e por todos momentos de companheirismo e apoio.

Aos professores do Departamento de Matem ática da UFPE, os quais contribuiram direta ou indiretamente, com a minha formaç ão acad êmica.

Ao meu orientador Claudio Cuevas o qual sou muito grato por todos os seus ensinamentos, paci ˆencia, conselhos e pelo incentivo aos estudos e a pesquisa.

Aos amigos e colegas do Departamento do Matem ´atica da UFPE.

Um agradecimento especial a Joelma Azevedo por todo suporte dado no desenvolvimento desta dissertac¸ ˜ao.

Ao professor Clessius Silva, por ter aceito o convite de fazer parte da banca examinadora.

Ao coordenador da p ós-graduaç ão do DMAT UFPE o professor Miguel Loayza, por sempre se mostrar prestativo.

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Neste trabalho, utilizando de ferramentas da An álise Funcional e da Topologia, estudamos a exist ência de soluç ões de equaç ões de onda semilineares fortemente amortecidas, mais especificamente, tratamos sobre a exist ência de soluç ões brandas e suas propriedades de limitaç ão, para isto, definimos inicialmente o conceito de soluç ão branda para o nosso problema, o qual ser á uma funç ão satisfazendo uma certa equaç ão integral, assim, ao definir certos operadores em Lp _{por essa equaç ão} integral utilizamos o Teorema do ponto fixo de Banach para garantir a exist ência e unicidade de ponto fixo para tal operador e, consequentemente, obtemos a exist ência e unicidade de soluç ão branda em Lp _{para o nosso problema.} _{Al ém} disso, tamb ém estudamos resultados diversos em exist ência, como a exist ência de soluç ões brandas, cl ássicas e fortes, para tais t ópicos, cabe ressaltar alguns resultados auxiliares essenciais como a generalizaç ão do Teorema do ponto fixo de Darbo que envolve medidas de n ão compacidade de Kuratowski que atrav és de tal Teorema nos garante a exist ência de soluç ões brandas, tamb ém utilizamos alguns Lemas auxiliares onde nos garante que soluç ão branda para o nosso problema, satisfazendo certas condiç ões, implica em soluç ão cl ássica ou soluç ão forte. Em um dos nossos resultados sobre soluç ões cl ássicas ou de soluç ões fortes, para garantir a exist ência de tal soluç ão utilizamos o Teorema de Schauder-Tychonoff, tamb ém cabe ressaltar o Teorema de Riesz-Weyl-Kolmogorov que estabelece crit érios para caracterizar subconjuntos compactos de Lp_{, o qual ser á fundamental para a aplicaç ão} do Teorema de Schauder-Tychonoff. E, por fim, conclu´ımos com algumas aplicaç ões dos resultados estabelecidos.

Palavras-chave: Equaç ões de ondas amortecidas. Limitaç ão. Exist ência de soluç ão.

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In this work, using tools of Functional Analysis and Topology, we study the existence of solutions of strongly damped semilinear wave equations, more specifically, we treat the existence of mild solutions and their properties of boundedness, for this, we initially defined the concept of mild solution to our problem, which will be a function satisfying a certain integral equation, thus, defining certain operators in Lp _{by this} equation integral we use the Banach fixed point theorem to ensure the existence and uniqueness of fixed point for such operator and, consequently, we obtain the existence and uniqueness of mild solution in Lp _{for our problem. Moreover, we also study diverse} results in existence, as the existence of mild, classic and strong solutions, for such topics, it is worth mentioning some essential ancillary results such as the generalization of Darbo’s fixed point Theorem which involves measures of Kuratowski noncompacity that through such Theorem guarantees us the existence of mild solutions, we also use some auxiliary lemmas where it assures us that mild solution to our problem, meeting certain conditions, implies classic solution or strong solution. On a From our results on classical or strong solutions, to ensure the existence of such a solution, we use the Schauder-Tychonoff Theorem. We also highlight the Riesz-Weyl-Kolmogorov Theorem which establishes criteria for characterize compact subsets of Lp_{, which will} be fundamental for the application of the Schauder-Tychonoff Theorem. And finally, we conclude with some applications of the established results.

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1 INTRODUÇÃO ... 8

2 PRELIMINARES ... 11

2.1 Notações e resultados básicos ... 11

2.2 Medida de não compacidade ... 13

2.3 Semigrupos e Geradores ... 15

2.4 Operadores Setoriais e Semigrupos Analíticos ... 18

2.5 Potências fracionárias ... 21

2.6 Métodos Topológicos ... 23

3 EQUAÇÕES DE ONDA FORTEMENTE AMORTECIDAS ... 26

3.1 Redução a primeira ordem ... 26

4 PROPRIEDADES DE LIMITAÇÃO EM Lp_{... 29}

4.1 Existência de soluções brandas Lp_{limitadas ... 29}

5 RESULTADOS DIVERSOS EM EXISTÊNCIA ... 50

5.1 Existência de soluções ... 51

5.1.1 Existência de soluções brandas ... 51

5.1.2 Existência de soluções clássicas ... 55

5.1.3 Existência de soluções fortes ... 61

6 APLICAÇÕES ... 70

REFERÊNCIAS ... 75

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1 INTRODUC

¸ ˜

AO

Desde os prim órdios nos estudos das equaç ões diferenciais, um dos principais problemas ao tentar compreender certo modelo é determinar se tal problema possui soluç ão. Em alguns casos, ao determinar se o modelo com tais par âmetros possui soluç ão, a pr óxima etapa natural consiste em estabelecer se a soluç ão é única ou n ão. Um caso interessante é o estudo das propriedades de limitaç ão em Lp _para soluç ões, o qual é um t ópico muito importante na an álise cl ássica. Atualmente, existem diversos trabalhos sobre propriedades de limitaç ão em Lp_{, podemos citar} alguns destes trabalhos (LUBINSKY; MASHELE, 2002; PENGTAO; LIZHONG, 2012; CUEVAS et al., 2013; CONSTANTIN; PEL ÁEZ, 2015; CHEN; MAGNIEZ; OUHABAZ, 2015; CHEN, 2016; GOLDBERG; GREEN, 2016; OTTEN, 2016; KYED; SAUER, 2017).

Nesta dissertaç ão, estamos interessados em estudar propriedades de limitaç ão em Lp _{e, al ém disso, a exist ência de soluç ões brandas, soluç ões cl ássicas e soluç ões} fortes para a equaç ão de onda semilinear fortemente amortecidas.

Este trabalho se encontra dividido em cinco cap´ıtulos. O Cap´ıtulo 2, intitulado “Preliminares”, tem por objetivo tornar o texto o mais autossuficiente. Este cap´ıtulo cont ém notaç ões, definiç ões e resultados relevantes para o desenvolvimento deste trabalho. Especificamente, faremos uma revis ão sobre medida de n ão compacidade, semigrupos e geradores, operadores setoriais, semigrupos anal´ıticos e pot ências fracion árias. Por fim, na última seç ão deste cap´ıtulo, enunciaremos alguns resultados cl ássicos da An álise Funcional e diversos resultados auxiliares.

No Cap´ıtulo 3, intitulado “Equaç ões de ondas fortemente amortecidas”, faremos a apresentaç ão do modelo de equaç ões de ondas fortemente amortecidas que

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ser á tratado neste trabalho. As equaç ões de ondas amortecidas tem sido bastante investigadas sob diferentes contextos e hip óteses. A literatura nos oferece t ópicos como exist ência (GEORGIEV; TODOROVA, 1994; BAHUGUNA, 1995; GAZZOLA; SQUASSINA, 2006), comportamento assint ótico (WEBB, 1980; GHIDAGLIA; MARZOCCHI, 1991; MASSATT, 1987), atratores (BORINI; PATA, 1999; BRUSHCHI et al., 2006; CARVALHO; CHOLEWA, 2002a; LI; ZHOU; YIN, 2004; PATA; SQUASSINA, 2005; YANG; SUN, 2009), boa colocaç ão (CARVALHO; CHOLEWA, 2002b), estimativas de decaimento (IKEHATA, 2001), blow-up (AVALOS; LASIESCKA, 2003; GAZZOLA; SQUASSINA, 2006; MESSAOUDI, 2001), controlabilidade (AVALOS; LALIESCKA, 2003), bootstrapping e regularidade (CARVALHO; CHOLEWA; DLOTKO, 2008), periodicidade assint ótica (CUEVAS; LIZAMA; SOTO, 2003). Tais equaç ões tamb ém podem ser encontradas em áreas da f´ısica tais como em conduç ão de calor, mec ânica dos s ólidos, entre outras. Al ém disso, observaremos que nosso modelo pode ser reduzido a um problema de Cauchy de primeira ordem (em tempo) em certos espaços, tamb ém citaremos algumas propriedades dos operadores de ondas fortemente amortecidas que ser ão fundamentais para o desenvolvimento do nosso trabalho.

No Cap´ıtulo 4, cujo t´ıtulo é “Propriedades de Limitaç ão em Lp _{”, estudaremos a} exist ência de soluç ões brandas em Lp _{para o seguinte problema de Cauchy:}

           utt+ 2ηA 1 2u_t+ Au = f (t, u, u_t), t > 0 u(0) = u0 ∈ X 1 2, u_t(0) = v₀ ∈ X, (1.1)

onde X é um espaço de Banach reflexivo, A : D(A) ⊂ X → X é um operador fechado densamente definido, X12 é o espaço de pot ência fracion ária associado a A como

em (HENRY,2006), η > 0 e f é uma funç ão cont´ınua adequada. Cabe ressaltar um exemplo de modelo matem ático representado na forma (1.1) que é conhecido na literatura como equaç ões de ondas fortemente amortecidas (CARVALHO; CHOLEWA, 2002a; CHEN; TRIGGIANI, 1989; CHEN; TRIGGIANI. 1990; CHEN; TRIGGIANI, 1988).

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No Cap´ıtulo 5, cujo t´ıtulo é “Resultados diversos em exist ência”, estudaremos a exist ência de soluç ões brandas, cl ássicas e fortes para o problema (1.1). Al ém disso, iremos considerar tal problema reduzido de primeira ordem (em tempo) satisfazendo uma condiç ão n ão local para tratar da exist ência de soluç ões brandas para o problema (1.1).

Por fim, no Cap´ıtulo 6, nomeado “Aplicac¸ ˜oes”, ilustraremos alguns exemplos de como tais resultados aqui estabelecidos podem ser aplicados.

Os resultados estabelecidos aqui para o problema (1.1) foram publicados em (AZEVEDO; CUEVAS; SOTO, 2017), onde os autores investigam a exist ência de soluç ões brandas pseudo S-assintoticamente ω-peri ódicas, para tais equaç ões de ondas fortemente amortecidas, definidas sobre espaços de dimens ão infinita. Al ém disso, investigam a exist ência de soluç ões brandas em Lp_{, soluç ões cl ássicas (e} fortes) e a estrutura topol ógica do conjunto soluç ão do problema (1.1).

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2 PRELIMINARES

Apresentaremos neste cap´ıtulo notaç ões, definiç ões e fatos relevantes que ser ão utilizados ao longo deste trabalho. Pretendemos com isso tornar o texto o mais autosuficiente poss´ıvel. Entretanto, n ão faremos detalhes das demonstraç ões dos resultados aqui apresentados.

2.1 Notac¸ ˜

oes e resultados b ´asicos

Definiç ão 2.1 (Norma). Dado um espaço vetorial X sobre o corpo K (R ou C), uma funç ão k · k : X → R é dita de norma se, para quaisquer x, y ∈ X e todo λ ∈ K, vale: (i) kxk ≥ 0, kxk = 0 ⇔ x = 0.

(ii) kλxk = |λ|kxk.

(iii) kx + yk ≤ kxk + kyk.

Se o espaço vetorial X est á munido com uma norma, dizemos que ele é um espaço normado e é denotado por (X, k · k).

Definiç ão 2.2 (Dom´ınio e Imagem). Chamamos de dom´ınio do operador T ao conjunto no qual o operador est á bem definido e denotemos por D(T ) e a imagem por R(X).

Notaç ão 2.3 (Espaço dos Operadores lineares limitados). Ao conjunto L(X, Y ) denota o espaço de Banach formado pelos operadores lineares limitados de X em Y.

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Definiç ão 2.4 (Norma Uniforme). Seja T : X → Y um operador linear limitado, a norma ser á definida por:

kT kL(X,Y ) := sup{kT xkY; x ∈ X, kxkX ≤ 1}

Note que (L(X, Y ), k · kB(X,Y )) ´e um espac¸o de Banach.

Notac¸ ˜ao 2.5 No caso em que X = Y denotamos simplesmente por L(X) e sua norma como k · k.

Seja T ∈ L(X, Y ), Tn _{é chamado a n- ésima iteraç ão de T , com n ∈ Z}+ 0. Denotamos por Br(X) a bola fechada com centro na origem e raio r no espaço X. Afirmamos que D(T ), com T ∈ L(X), é um espaço de Banach (D(T ), k · kD(T )) munido com a norma do gr áfico, isto é,

kxkD(T )= kxkX + kT (x)kX, ∀ x ∈ X.

Definiç ão 2.6 (Operador Fechado). Sejam X, Y dois espaços de Banach. Um operador linear T : D(T ) ⊂ X → Y é dito fechado se, para cada sequ ência xn em D(T ) convergindo para x em X tal que T xn → y ∈ Y quando n → ∞, tem-se que x ∈ D(T )e T x = y.

Definiç ão 2.7 (Resolvente e Espectro). Seja X um espaço de Banach sobre C e T : D(T ) ⊂ X → X um operador linear. O conjunto resolvente de T é o subconjunto ρ(T ) _{de todos os λ em C tais que λI − T é injetor, R(λI − T ) = X e (λI − T ) :} R(λI − T ) ⊂ X → X é limitado. Para λ ∈ ρ(T ), o operador R(λ, T ) := (λI − T )−1 _{é dito} operador resolvente de T . O espectro do operador T é definido por σ(T ) = C − ρ(T ).

Iremos denotar por L1_{(Ω, µ)} _{ou simplesmente L}1_{(Ω), como o espaço das} funç ões integr áveis de Ω em Rn_{com norma}

kf kL1 = kf k₁ =

Z Ω

|f |dµ. Definic¸ ˜ao 2.8 Seja p ∈ R com 1 < p < ∞, definimos

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com norma kf kLp = kf k_p = Z Ω |f (x)|p_dµ 1_p .

Notaç ão: Seja 1 < p < ∞, denotamos por q o expoente conjugado de p, isto é 1

p+ 1 q = 1.

Teorema 2.9 (Desigualdade de H ¨older) Sejam f ∈ Lp _{e g ∈ L}q_{com p, q > 1 expoentes} conjugados. Ent ˜ao f g ∈ L1 _e

kf gk1 ≤ kf kpkgkq. Demonstrac¸ ˜ao: Ver (BREZIS, 2010, Teorema 3.4.6).

Teorema 2.10 (Minkowski) Sejam f, g ∈ Lp _{e 1 ≤ p ≤ ∞. Ent ão} Z |f + g|p 1 p ≤ Z |f |p 1 p + Z |g|p 1 p . Demonstraç ão: Ver (BREZIS, 2010, Teorema 3.4.7).

Definiç ão 2.11 (Operador Compacto) Sejam X, Y espaços vetoriais normados. Dizemos que um operador linear T : X → Y é compacto se T leva conjuntos limitados em X em conjuntos relativamente compactos em Y .

Definiç ão 2.12 (Operador completamente cont´ınuo) Sejam X, Y espaços de Banach e T : D ⊂ X → Y . Dizemos que o operador T é completamente cont´ınuo se, é cont´ınuo e mapeia cada subconjunto limitado de D em um subconjunto relativamente compacto de Y .

Observaç ão 2.13 Se X é um espaço de Banach reflexivo, ent ão cada operador completamente cont´ınuo T : X → Y é um operador compacto.

2.2 Medida de n ˜ao compacidade

A definiç ão de medida de n ão compacidade de subconjuntos limitados em espaços normados foi introduzida por K. Kuratowski na d écada de 30. Posteriormente,

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na d écada de 50, essa definiç ão voltou a ser utilizada devido aos avanços na teoria das equaç ões diferenciais em espaços de Banach abstratos, na qual medidas de n ão compacidade se mostraram de grande utilidade para o estudo da exist ência de pontos fixos. A seguir definiremos tal medida e enunciaremos suas principais propriedades. Definiç ão 2.14 (Medida de n ão compacidade) Sejam X espaço de Banach, A um subconjunto limitado de X e > 0. Uma cobertura Vi de A é uma -cobertura se diam(Vi) := sup{kx − ykX; x, y ∈ Vi} ≤ , ∀ i. A medida de n ão compacidade de Kuratowski de A é definida por

ξ(A) = inf{ > 0; existe uma -cobertura finita de A}.

Para uma cobertura Aide A, composta por bolas de raio menor ou igual a , chamamos de -cobertura restrita de A. Com isto, definimos a medida de n ˜ao compacidade de Hausdorff de A por

˜

ξ(A) = inf{ > 0; existe uma -cobertura restrita finita de A}.

Proposiç ão 2.15 Sejam A e B subconjuntos limitados de um espaço de Banach X, λ ∈ C. Ent ão valem

(i) ξ(A) = 0, se e somente se, A ´e compacto, onde A denota o fecho de A. (ii) ξ(A) = ξ(A) = ξ(co{A}), onde co{A} denota a envolt ´oria convexa de A. (iii) ξ(λA) = |λ|ξ(A).

(iv) ξ(A) ≤ ξ(B), se A ⊆ B. (v) ξ(A + B) ≤ ξ(A) + ξ(B). (vi) ˜ξ(A) ≤ ξ(A) ≤ 2 ˜ξ(A).

Como consequ ˆencia dos itens (i) e (ii), temos

Corol ário 2.16 Se A é um subconjunto relativamente compacto de X, ent ão co{A} é compacto.

As demonstraç ões desta Proposiç ão e do Corol ário podem ser encontrados em (ARJUNAN; NADAF, 2014; CHUONG; KE, 2012; DEIMLING, 2010).

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2.3 Semigrupos e Geradores

Nesta seç ão apresentaremos os fatos b ásicos da teoria de semigrupos de operadores lineares e cont´ınuos que s ão indispens áveis ao entendimento de t écnicas de soluç ão de problemas parab ólicos e hiperb ólicos semilineares. Começaremos com uma revis ão da teoria b ásica com o objetivo principal de apresentar a teoria de semigrupos fortemente cont´ınuos e semigrupos anal´ıticos. Grande parte da nossa exposiç ão estar á concentrada na caracterizaç ão dos geradores de semigrupos lineares j á que nas aplicaç ões da teoria, em geral, conhecemos a equaç ão diferencial e n ão o operador soluç ão. A exposiç ão apresentada nesta seç ão pode ser encontrada em (PAZY, 1983).

Definiç ão 2.17 Um semigrupo de operadores lineares em X é uma fam´ılia {T (t)}t≥0 ⊂ L(X) tal que

(i) T (0) = I (operador identidade); e, (ii) T (t + s) = T (t)T (s), ∀ t, s ≥ 0.

Se al ´em disso,

(iii) kT (t)−IkL(X) −→ 0, quando t → 0+, dizemos que o semigrupo ´e uniformemente cont´ınuo.

(iv) kT (t)x − xkX −→ 0, quando t → 0+, para cada x ∈ X, dizemos que o semigrupo ´e fortemente cont´ınuo (ou um C0-semigrupo).

O estudo dos semigrupos de operadores lineares est ´a associado ao estudo de problemas de Cauchy lineares da forma

d

dtx(t) = Ax(t), x(0) = x0 (2.1)

onde A : D(A) ⊂ X → X é um operador linear (em geral ilimitado). Um semigrupo {T (t)}t≥0 pode ser o operador soluç ão de (2.1), isto é , para cada x0 ∈ X, t 7→ T (t)x0

(17)

Definiç ão 2.18 Se {T (t)}t≥0 ⊂ L(X) é um semigrupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares, seu gerador infinitesimal é o operador definido por A : D(A) ⊂ X → X Ax := lim t→0+ T (t)(x) − x t , ∀x ∈ D(A), onde D(A) = {x ∈ X; lim t→0+ T (t)x − x t existe}

Agora iremos estabelecer um teorema que caracteriza o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo.

Teorema 2.19 Um operador linear A ´e o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo se, e somente se, A ´e um operador linear limitado.

Diante de tal resultado, segue o seguinte Corol ´ario com propriedades bastante utilizadas para semigrupos uniformementes cont´ınuos.

Corol ário 2.20 Seja (T (t))t≥0 um semigrupo uniformemente cont´ınuo de operadores lineares limitados. Ent ão as seguintes propriedades s ão v álidas:

(i) Existe uma constante β ≥ 0 tal que kT (t)k ≤ eβt_{, ∀t ≥ 0.}

(ii) Existe um ´unico operador linear limitado A tal que T (t) = etA_{, onde e}tA ₌ P∞

n=0 (tA)n

n! .

(iii) O operador A do item (ii) ´e o gerador infinitesimal de T (t).

Observando a Definiç ão 2.19 é claro que um semigrupo (T (t))t≥0 tem um único gerador infinitesimal. Al ém disso, pelo Teorema 2.20, todo operador linear limitado A é o gerador infinitesimal de um semigrupo uniformemente cont´ınuo (T (t))t≥0. O pr óximo resultado nos fornece a unicidade deste semigrupo.

Estabeleceremos agora algumas propriedades sobre C0-semigrupos.

Teorema 2.21 Sejam (T (t))t≥0 um C0-semigrupo e A seu gerador infinitesimal. Ent ão s ão v álidas as seguintes propriedades.

(18)

(i) Para todo x ∈ X e t ≥ 0, limh→0 Rt+h

t T (s)xds = T (t)x.

(ii) Para todo x ∈ X e t ≥ s ≥ 0,R_stT (u)xdu ∈ D(A)e AR_stT (u)xdu = T (t)x − T (s)x. (iii) Para todo x ∈ D(A) e t ≥ 0, T (t)x ∈ D(A) e d

dtT (t)x = AT (t)x = T (t)Ax. (iv) Para todo x ∈ D(A) e t ≥ s ≥ 0, T (t)x − T (s)x = ARt

s T (u)xdu = Rt

s T (u)Axdu. Logo, pelo Teorema 2.22 temos o seguinte Corol ´ario.

Corol ário 2.22 Se A é o gerador infinitesimal de um C0-semigrupo (T (t))t≥0, ent ão A é um operador linear fechado e D(A) é denso em X.

O pr ´oximo resultado nos garante a unicidade do semigrupo associado a um gerador infinitesimal para o caso de semigrupos fortemente cont´ınuos.

Teorema 2.23 Sejam (T (t))t≥0e (S(t))t≥0C0-semigrupos com geradores infinitesimais Ae B, respectivamente. Se A = B, ent ˜ao T (t) = S(t), para todo t ≥ 0.

O resultado a seguir coleta alguns fatos importantes sobre semigrupos fortemente cont´ınuos. Valem que

Teorema 2.24 Suponha que (T (t))t≥0 ⊂ L(X) seja um semigrupo fortemente cont´ınuo.

(i) Para qualquer x ∈ X, t → T (t)x ´e cont´ınuo para t ≥ 0.

(ii) t → kT (t)(x)kL(X) ´e semicont´ınua inferiormente e, portanto, mensur ´avel.

(iii) Seja A o gerador infinitesimal de T (t), ent ão A é densamente definido e fechado. Para x ∈ D(A), t → T (t)x é continuamente diferenci ável e

d

dtT (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, t > 0.

(iv) Para Re λ > β, λ est ´a no resolvente ρ(A) de A, onde β ∈ R uma constante de modo que (β, ∞) ⊂ ρ(A). e

(λ − A)−1x = Z ∞

0

(19)

O pr óximo resultado que iremos enunciar é conhecido como o Teorema de Hille-Yosida que caracteriza os geradores de semigrupos fortemente cont´ınuos de operadores lineares em espaços de Banach.

Teorema 2.25 (ENGEL; NAGEL, 1999, Teorema II.3.8) Seja (A, D(A)) um operador linear sobre um espaço de Banach X e sejam β ∈ R e M ≥ 1 constantes. Ent ão, as seguintes propriedades s ão equivalentes:

(i) (A, D(A)) ´e o gerador de um semigrupo fortemente cont´ınuo de operadores lineares (T (t))t≥0que satisfaz

kT (t)kL(X) ≤ M eβt, ∀ t ≥ 0.

(ii) A ´e fechado, densamente definido, (β, ∞) ⊂ ρ(A) e k(λI − A)n_k

L(X) ≤

M

(λ − β)n, ∀ λ > β, n ∈ N.

(iii) A ´e fechado, densamente definido e para cada λ ∈ C com Reλ > β, λ ∈ ρ(A) e k(λI − A)n_k

L(X) ≤

M

(Reλ − β)n, ∀ n ∈ N.

2.4 Operadores Setoriais e Semigrupos Anal´ıticos

Naturalmente a construç ão e as propriedades da soluç ão de uma equaç ão diferencial dependem da classe de operadores considerada. Onde operadores setoriais e semigrupos anal´ıticos s ão boas ferramentas utilizadas na teoria de problemas parab ólicos abstratos. Para maiores consideraç ões sobre os assuntos abordados deste cap´ıtulo, ver (HENRY, 1981).

Definamos agora uma curva no plano complexo.

Definiç ão 2.26 Dizemos que Ha é um caminho de Hankel, se existem r > 0 e θ ∈ (π₂, π) tais que, Ha = Ha1 + Ha2 − Ha3 em que os caminhos Hai s ão dados por

(20)

Ha2 := {reiθ; t ∈ [−θ, θ)}; Ha3 := {te−iθ; t ∈ [r, ∞)}.

Tamb ém escrevemos por Ha = Ha(r, θ) para exibir a depend ência do ângulo e do raio. Consideremos a ∈ R e φ ∈ (0, π), definimos os seguintes subconjuntos do plano complexo,

Sa,φ := {λ ∈ C : φ ≤ |(arg(λ − a)| ≤ π, λ 6= a}; X

a,φ

:= {λ ∈ C : |arg(λ − a)| ≤ φ, λ 6= a}. (2.2) Note que −Sa,φ =

P

−a,π−φ.

Vamos considerar agora a possibilidade de estender o dom´ınio do par âmetro de um semigrupo para certos setores no plano complexo que incluem o eixo real n ão negativo. E, para que possamos preservar a estrutura de semigrupo, o domin´ıo onde o par âmetro complexo variar deve ser um semigrupo aditivo de n úmeros complexos. Definiç ão 2.27 Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado e densamente definido. Dizemos que A é um operador setorial se existem φ ∈ (0,π₂), M ≥ 1 e a ∈ R tais que o setor Sa,φ := {λ ∈ C : φ ≤ |(arg(λ − a)| ≤ π, λ 6= a} ⊂ ρ(A) e

k(λI − A)−1k ≤ M

|λ − a|, ∀ λ ∈ Sa,φ.

Observe que a abertura do ângulo da seç ão Sa,φ é 2π − 2φ > π. Observaç ão 2.28

(1) Se A é um operador linear limitado em um espaço de Banach, ent ão A é um operador setorial.

(2) Se A é um operador auto-adjunto densamente definido em um espaço de Hilbert e A é um operador limitado inferiormente, ent ão A é setorial.

(3) Se A é setorial em X e B é setorial em Y , ent ão A × B é setorial em X × Y , onde (A × B)(x, y) = (Ax, By) para x ∈ D(A), y ∈ D(B).

(21)

Definic¸ ˜ao 2.29 Seja P0

0,φ o interior do conjunto P

0,φ. Dizemos que uma fam´ılia de operadores lineares limitados {T (t); t ∈P0

0,φS{0}} é um semigrupo anal´ıtico se: (i) A funç ãoP0

0,φ 3 t 7→ T (t) ∈ B(X) ´e anal´ıtica;

(ii) T (0) = I, T (t + s) = T (t)T (s), para quaisquer t, s ∈P

0,φ∪{0};e

(iii) limt→0T (t)x = xpara todo x ∈ X (e observe que t → 0 por todos os pontos de P0

0,φ).

O gerador infinitesimal L deste semigrupo ´e definido por Lx = lim

t→0+

1

t(T (t)(x) − x),

cujo dom´ınio D(L) consiste de todos x ∈ X no qual o limite (em X) existe. Usualmente escrevemos T (t) = eLt_.

Teorema 2.30 (HENRY, 1981, Teorema 1.3.4) Suponha que A : D(A) ⊂ X → X ´e um operador setorial, ent ˜ao −A gera um semigrupo fortemente cont´ınuo {T (t); t ≥ 0} ⊂ L(X) com T (t) = 1 2πi Z a+Ha eλt(λI + A)−1dλ, t > 0,

onde a + Ha = a + Ha(r, φ) ´e o deslocamento do caminho de Hankel com r pequeno a+Ha ´e a fronteira deP

a,θ = {λ ∈ C : |arg(λ−a)| ≤ φ} com r pequeno. Al ém disso, t 7→ T (t)se estende a uma funç ão anal´ıtica deP0

0,φ−π

2 em L(X) (ou a complexificac¸ ˜ao

de X, se X ´e um espac¸o de Banach real) e para algum K > 0,

kT (t)kL(X) ≤ Ke−at, kAT (t)kL(X) ≤ Kt−1e−at, ∀ t > 0. d

dtT (t) = −AT (t)

´e um operador limitado para qualquer t > 0 e (0, ∞) 3 t 7→ T (t) ∈ L(X) ´e cont´ınua.

Observaç ão 2.31 Tamb ém vale que se −A gera um semigrupo anal´ıtico, ent ão A é um operador setorial.

(22)

Definiç ão 2.32 (Semigrupo Compacto) Um semigrupo fortemente cont´ınuo T (t) é dito compacto para t > t0 se para cada t > t0, T (t) é um operador compacto. Al ém disso, T (t) é dito compacto se for compacto para todo t > 0.

Teorema 2.33 Seja A : D(A) ⊂ X → X densamente definido tal que A é setorial com resolvente compacto. Ent ão o semigrupo {T (t)}t≥0 gerado por −A é compacto.

Demonstrac¸ ˜ao: Ver (PAZY, Teorema 2.3.3).

2.5 Pot ˆencias Fracion ´arias

As pot ências fracion árias de operadores setoriais desempenham um papel fundamental na teoria de exist ência de soluç ões para equaç ões diferenciais parciais n ão lineares do tipo parab ólico. Para mais detalhes deste t ópico, bem como as demonstraç ões dos teoremas enunciados, ver (HENRY, 1981).

Definiç ão 2.34 Suponha que A é um operador setorial com Reσ(A) > 0, ent ão para α > 0definimos A−α := 1 Γ(α) Z ∞ 0 tα−1T (t)dt, onde (T (t))t≥0 é o C0-semigrupo gerado por −A e Γ(z) =

R∞

0 t

z−1_e−t_dt_{denota a func¸ ˜ao} Gama, onde z ∈ C tal que Re(z) > 0.

Exemplo 2.35

(i) Se A é um escalar positivo (X = R), ent ão A−α é definido como a pot ência usual (−α)de A.

(ii) A−1 _{(o caso α = −1) ´e a inversa de A.}

Teorema 2.36 (HENRY, 1981, Teorema 1.4.2) Se A é um operador setorial em X com Reσ(A) > 0, ent ão para cada α > 0, A−α é um operador linear limitado em X. Al ém disso, para quaisquer α, β > 0,

(23)

Al ´em disso, para 0 < α < 1, A−α = sen(πα) π Z ∞ 0 λ−α(λ + α)−1dλ.

Definiç ão 2.37 Suponha que −A é um operador setorial com Reσ(A) > 0, ent ão para α > 0definimos por

Aα := (A−α)−1,

com D(Aα_{) := Im(A}−α₎_{e A}0 _{:= I} _{(operador identidade sobre X) .}

Teorema 2.38 Seja A um operador setorial sobre X com Reσ(A) > 0, ent ão as seguintes afirmaç ões s ão verdadeiras:

(i) Se α > 0, ent ão Aα _{é fechado e densamente definido.} (ii) Se α ≥ β, ent ão D(Aα_{) ⊂ D(A}β_).

(iii) Aα_Aβ _{= A}β_Aα_{= A}α+β _{sobre D(A}γ_{), onde γ = max{α, β, α + β}.} (iv) Aα_{T (t) = T (t)A}α _{sobre D(A}α_{), para t > 0, onde (T (t))}

t≥0 ´e o semigrupo gerado por −A.

Definiç ão 2.39 Seja A um operador setorial sobre X com Reσ(A) > 0. Para cada α ≥ 0, definimos o espaço Xα _{:= D(A}α_{), munido com a norma kxk}

α := kAαxkX. Tais espaços s ão chamados espaços de pot ências fracion árias associadas ao operador A.

Teorema 2.40 (HENRY, 1981, Teorema 1.4.8.) Seja −A um operador setorial sobre X com Reσ(A) > 0. Ent ão as seguintes afirmaç ões s ão verdadeiras:

(i) Para cada α ≥ 0, Xα _{munido com a norma k · k}

α ´e um espac¸o de Banach. (ii) X0 _{= X} _{e X}1 _{= D(A).}

(iii) Se α ≥ β ≥ 0, ent ão Xα _{é um subespaço denso de X}β _{e a inclus ão i : X}α_{→ X}β é cont´ınua.

(iv) Se A tem operador resolvente compacto, a inclus ˜ao Xα _{⊂ X}β _{´e compacta} sempre que α ≥ β ≥ 0.

(24)

2.6 M ´etodos Topol ´

ogicos

Nesta seç ão enunciaremos alguns resultados importantes de An álise Funcional e da Topologia. Al ém disso, tamb ém citaremos alguns resultados auxiliares que ser ão primordiais para o desenvolvimento do nosso trabalho, entre eles, cabe ressaltar o Teorema de Riesz-Weyl-Kolmogorov, que estabelece crit érios para caracterizar subconjuntos compactos de Lp_.

Definiç ão 2.41 Seja (X, d) um espaço m étrico. O mapa F : X → X é dito de contraç ão se existe λ ∈ [0, 1) tal que

d(F (x), F (y)) ≤ λd(x, y), ∀ x, y ∈ X.

Teorema 2.42 (GRANAS; DUGUNDJI, 2003, Princ´ıpio de contraç ão de Banach). Sejam (M, d) um espaço m étrico completo n ão-vazio e F : M → M uma contraç ão. Ent ão F possui um único ponto fixo.

Corol ário 2.43 (Princ´ıpio dos Iterados). Seja (M, d) um espaço m étrico completo n ão-vazio e seja F : M → M um mapa tal que, para algum natural n, Fn _{é um contraç ão,} ent ão F possui um único ponto fixo.

O pr óximo resultado que iremos enunciar é uma generalizaç ão do Teorema do ponto fixo de Darbo, ver (K. KURATOWSKI, 1930; BANAS; GOEBEL, 1980).

Lema 2.44 (DE ANDRADE et al., 2016, Lema 3.3) Sejam B um subconjunto fechado e convexo de um espac¸o de Banach X e F : B → B um operador cont´ınuo tal que F (B) ´e limitado. Para qualquer subconjunto limitado C ⊆ B, defina F1_{(C) = F (C)} _e Fn_{(C) = F (co(F}n−1_{(C))), n = 2, 3, .... Se existe uma constante 0 ≤ k < 1 e um inteiro} positivo n0 tal que para qualquer subconjunto limitado C ⊆ B,

ξ(Fn0_{(C)) < kξ(C),}

(25)

Lema 2.45 (DE ANDRADE et al., 2016, Lema 3.2) Seja B ⊂ C([0, 1]; X) um conjunto limitado e equicont´ınuo. Ent ˜ao,

(i) A aplicaç ão t 7→ ξ(B(t)) é cont´ınua em [0, 1]. (ii) ξ(B) = sup{ξ(B(s)); s ∈ [0, 1]}. (iii) ξ R₀1B(s)ds ≤ R₀1ξ(B(s))ds. Seja Cmn = (n−m)!m!n! , 0 ≤ m ≤ n, Sn = Pn j=0C n jn−j h j j!.

Lema 2.46 (DE ANDRADE et al., 2016, Lema 3.4). Sejam 0 < < 1 e h > 0. Ent ão Sn = o(_n1s)quando n → ∞, para um n úmero real arbitr ário s > 1.

Teorema 2.47 (GRANAS; DUGUNDJI, 2003, Teorema do ponto fixo de Schauder). Seja C um subconjunto convexo (n ão necessariamente fechado) de um espaço linear normado E. Ent ão um mapa compacto F : C → C possui ao menos um ponto fixo.

Teorema 2.48 (GRANAS; DUGUNDJI, 2003, Teorema do ponto fixo de Schauder-Tychonoff). Sejam C um subconjunto convexo n ão vazio de um espaço topol ógico localmente convexo E e F : C → C um mapa compacto. Ent ão F possui um ponto fixo.

O pr óximo resultado que iremos enunciar estabelece crit érios para caracterizar subconjuntos compactos de Lp_{, tal resultado é conhecido como Teorema de} Riesz-Weyl-Kolmogorov.

Teorema 2.49 (HENRÍQUEZ, 2012, Teorema III.3.8). Sejam 1 ≤ p < ∞ e Ω ⊂ Rn mensur ável no sentido de Lebesgue. Um conjunto H ⊆ Lp_{(Ω, X)} _{é relativamente} compacto se, e somente se, é limitado e satisfaz as seguintes condiç ões:

(a) Para todo > 0, existe δ > 0 tal que Z

Ω

kf (t + h) − f (t)kp_{dm(t) ≤}p_, para todo f ∈ H e h ∈ Rn_{, com khk ≤ δ.}

(26)

(b) Para todo > 0, existe um subconjunto mensur ´avel e limitado A de Ω tal que Z

Ω−A

kf (t)kp_{dm(t) ≤}p_{, ∀f ∈ H.}

(c) Para todo subconjunto mensur ´avel e limitado A de Ω, o conjunto {

Z A

f dm; f ∈ H} ´e relativamente compacto em X.

Lema 2.50 (DE ANDRADE et al., 2016, Lema 3.1). Seja B ⊂ C([0, 1]; X) um conjunto limitado e equicont´ınuo, ent ão co(B) é tamb ém limitado e equicont´ınuo.

Lema 2.51 (CUEVAS et al., 2017, Lema 3.5). Seja g : [0, a] × X → Y uma funç ão que satisfaz as seguintes condiç ões de Carath éodory:

(Ci) g(t, ·) : X → Y ´e cont´ınua para quase todo t ∈ [0, ∞).

(Cii) Para cada x ∈ X, a funç ão g(·, x) : [0, ∞) → Y é fortemente mensur ável.

Suponha ainda que para cada ρ ≥ 0 existe uma func¸ ˜ao Nρ∈ Lp([0, a])tal que g(t, x) ≤ Nρ(t), t ∈ [0, a],

para todo x ∈ X, com kxkX ≤ ρ. Assuma que para cada ρ, > 0, existe δ > 0 tal que Z t2

t1

kg(t + h, x) − g(t, x)kp_{dt ≤ (t}

2− t1)p, para todo t1, t2 ∈ [0, a], t1 ≤ t2, x ∈ X, kxkX ≤ ρ e |h| ≤ δ. Ent ˜ao

Z a 0

kg(t + h, x(t)) − g(t, x(t))kp_{dt ≤ a}p_, para toda func¸ ˜ao x(·) ∈ C([0, a]; X) tal que kxkC([0,a];X) ≤ ρ.

(27)

3 EQUAC

¸ ˜

OES

DE

ONDA

FORTEMENTE AMORTECIDAS

Neste cap´ıtulo iremos fazer uma explanac¸ ˜ao do seguinte problema de Cauchy:      utt+ 2ηA 1 2u_t+ Au = f (t, u, u_t), t > 0 u(0) = u0 ∈ X 1 2, u_t(0) = v₀ ∈ X (3.1)

onde X é um espaço de Banach reflexivo, A : D(A) ⊆ X → X é um operador fechado densamente definido, X12 é o espaço de pot ência fracion ária associado ao

operador A como visto em (HENRY, 1981), η > 0 e f é uma funç ão cont´ınua adequada. Com relaç ão aos operadores de amortecimento estudados aqui, note que eles ser ão expressos pela primeira ordem no tempo como um m últiplo de A12u_t. De maneira

mais espec´ıfica, neste cap´ıtulo iremos reduzir o problema (3.1) para um problema de Cauchy de primeira ordem (em tempo) em X12 × X e citarmos algumas propriedades

essenciais dos operadores de ondas fortemente amortecidos A(1/2).

Os t ópicos desenvolvidos ao longo deste cap´ıtulo sobre a equaç ão (3.1) s ão tratados no artigo de (AZEVEDO; CUEVAS; SOTO, 2017).

3.1 Reduc¸ ˜ao a primeira ordem

Observemos que o problema (3.1) pode ser reduzido a um problema de Cauchy de primeira ordem (em tempo) em X12 × X:

  u v   t + A(1/2)   u v  = F t,   u v   ! , t > 0, (3.2)

(28)

  u(0) v(0)  =   u0 v0  , (3.3) onde A(1/2) =   0 −I A 2ηA12  : D(A(1/2)) ⊆ X 1 2 × X → X 1

2 × X ´e definido por

A(1/2)   φ ψ  =   −ψ Aφ + 2ηA12ψ  , para   φ ψ  ∈ D(A(1/2)). e F t,   u v   ! =   0 f (t, u, v)  .

Definiç ão 3.1 (Par admiss´ıvel) Seja X um espaço de Banach reflexivo, A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado densamente definido, η > 0. Dizemos que (η, A) é um par admiss´ıvel se existem ψ ∈ (0,π₂)e M > 0 tais que k(λI − A)−1kL(X) ≤ _1+|λ|M , para todo λ no setor X ψ = {λ ∈ C : ψ ≤ |argλ| ≤ π} ∪ {0} e π 2 > ψ 2 + arg(η + p η2_{− 1).} _(3.4)

Observaç ão 3.2 Embora a condiç ão (3.4) na Definiç ão 3.1 pareça restritiva, pode ser verificada em todas as aplicaç ões interessantes para todo η ∈ (0, ∞). Infelizmente, essa condiç ão n ão pode ser evitada (ver (CARVALHO; CHOLEWA; DLOTKO, 2008, Observaç ão 1.1)). Se η ∈ (0, 1), ∆D é o Laplaciano de Dirichlet em um dom´ınio suave limitado Ω, p 6= 2 e

A = −ei(π2−arg(η−

√ η2₋₁₎₎

∆D,

ent ão (η, A) n ão é um par admiss´ıvel e consequentemente A(1/2) n ão gera um C0 -semigrupo e assim (3.2) seria um problema mal colocado.

Para o desenvolvimento do nosso trabalho, ´e fundamental citarmos algumas propriedades do operador A(1/2):

(29)

(1) Se (η, A) é um par admiss´ıvel, por (CARVALHO; CHOLEWA; DLOTKO, 2008, Proposiç ão 2.1), A(1/2) é um operador fechado com 0 ∈ ρ(A(1/2)) e o operador

A(1/2)tem inversa dada na forma matricial por

A−1_(1/2) =   2ηA−12 A−1 −I 0  ∈ L(X 1 2 × X).

Al ém disso, se A tem operador resolvente compacto, ent ão A(1/2) tamb ém tem operador resolvente compacto.

(2) Se (η, A) ´e um par admiss´ıvel, por (CARVALHO; CHOLEWA; DLOTKO, 2008, Teorema 2.3), o operador A(1/2) ´e setorial em X

1

2× X. Dessa forma o semigrupo

{e−A(1/2)t _{: t ≥ 0}} _{gerado por −A}

(1/2) em X

1

2 × X ´e anal´ıtico com decaimento

exponencial, isto ´e, existem constantes K ≥ 1 e C > 0 tais que ke−A(1/2)t_k

L(X12×X) ≤ Ke −Ct

, t ≥ 0. (3.5)

Observac¸ ˜ao 3.3 Escreveremos em alguns casos   u v 

 ao inv és de [u, v], para uma melhor exposiç ão, mas ambas as notaç ões possuem o mesmo significado.

(30)

4 PROPRIEDADES DE LIMITAC

¸ ˜

AO EM

L

p

Estudaremos neste cap´ıtulo a exist ência de soluç ões (brandas) Lp_-limitadas. A princ´ıpio iremos definir o conceito de soluç ão branda para o problema (3.1) e com isso utilizar de ferramentas da an álise funcional, como teoremas de ponto fixo, para garantir a exist ência e unicidade de soluç ão para o nosso problema proposto. Os resultados desenvolvidos neste cap´ıtulo podem ser encontrados em (AZEVEDO; CUEVAS; SOTO, 2017).

4.1 Exist ˆencia de soluc¸ ˜

oes brandas L

p

limitadas

Definiç ão 4.1 (Soluç ão Branda) Seja [u0, v0] ∈ X 1

2 × X. Dizemos que [u(·), v(·)] :

R+→ X

1

2× X é uma soluç ão branda para (3.2)-(3.3) (ou equivalentemente para (3.1))

se satisfaz a seguinte f ´ormula integral:   u(t) v(t)  = e−A(1/2)t   u0 v0  + Z t 0 e−A(1/2)(t−s)_F _s,   u(s) v(s)   ! ds (4.1)

para todos t, s ∈ R+ _{com t ≥ s.}

Teorema 4.2 (AZEVEDO; CUEVAS; SOTO, 2017, Teorema 1.6) Assuma que (η, A) é um par admiss´ıvel. Seja f : R+_{× X}1₂ _{× X → X uma funç ão cont´ınua que satisfaz a} condiç ão de Lipschitz:

kf (t, u1, v1) − f (t, u2, v2)kX ≤ Lku1− u2k_X1

2 + kv1− v2kX

(31)

para todo [ui, vi] ∈ X 1

2 × X, i = 1, 2. e, para cada t ≥ 0. Al ´em disso, suponha que

f (·, 0, 0) ∈ Lp_{(0, ∞; X). Se} K

CL < 1, onde K e C s ão as constantes dadas em (3.5), ent ão o problema (3.1) tem uma única soluç ão Lp_-branda.

Demonstrac¸ ˜ao: Definimos o mapa F : Lp_{(0, ∞; X}1₂ _{× X) −→ L}p_{(0, ∞; X}1₂ _{× X) por}

F   u v   ! (t) = e−A(1/2)t   u0 v0  + Z t 0 e−A(1/2)(t−s)_F _s,   u(s) v(s)   ! ds, (4.3)

onde t ∈ R+_._{Vamos mostrar que o mapa F est ´a bem definido. Com efeito, para todo} t ≥ 0, temos que e−A(1/2)•   u0 v0   Lp_(0,∞;X12×X) ≤ Z ∞ 0 ke−A(1/2)t_k L(X12×X)k   u0 v0  k p X12×Xdt 1_p . ≤ Z ∞ 0 Ke−Ctk   u0 v0   X12×X) p_dt 1_p ≤ K   u0 v0  k X12×X Z ∞ 0 e−Cptdt 1_p = √_pK Cp   u0 v0   X12×X. Logo, e−A(1/2)•   u0 v0   Lp_(0,∞;X12×X) ≤ √_pK Cp   u0 v0   X12×X. (4.4) Portanto, conclu´ımos que

e−A(1/2)•_[u

0, v0] ∈ Lp(0, ∞; X 1

2 × X).

Consideremos [u, v] ∈ Lp_{(0, ∞; X}1₂ _{× X) e seja V a func¸ ˜ao dada por}

V(t) = Z t 0 e−A(1/2)(t−s)_{F (s,}   u(s) v(s)  )ds, 0 ≤ s ≤ t. (4.5)

(32)

Vamos mostrar que kVk Lp_(0,∞;X12×X) := Z ∞ 0 kV(t)kp X12×Xdt 1_p < ∞

e, com isto, concluir que o mapa F est ´a bem definido. Utilizando a desigualdade de H ¨older, obtemos que

kV(t)kp X12×X ≤ Z t 0 ke−A(1/2)(t−s)_{F (s,}   u(s) v(s)  )k X12×Xds p ≤ Z t 0 Ke−C(t−s)kF (s,   u(s) v(s)  )k X12×Xds p = Kp Z t 0 e−C(t−s)(1p+ 1 q)kf (s, u(s), v(s)k Xds p = Kp Z t 0 e−C(t−s)q e− C(t−s) p kf (s, u(s), v(s))k Xds p ≤ Kp Z t 0 (e−C(t−s)q )qds 1 q Z t 0 (e−C(t−s)p kf (s, u(s), v(s))k X)pds 1_p p = Kp Z t 0 e−C(t−s)ds p_q Z t 0 e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kp_Xds . Da´ı, temos a seguinte estimativa

kV(t)kp X12×X ≤ Kp q √ Cp Z t 0 e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kp_Xds. Integrando esta express ˜ao acima em [0, ∞), obtemos

kVk Lp_(0,∞;X12×X) = Z ∞ 0 kV(t)kp X12×Xdt 1_p ≤ Z ∞ 0 Kp q √ Cp Z t 0 e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kp_Xdsdt 1_p = √_qK C Z ∞ 0 Z ∞ s e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kp_Xdtds _p1 = √_qK C Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s))kp_X Z ∞ s e−C(t−s)dtds _p1

(33)

= √_qK C Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s))kp_X(1 C)ds 1_p = K C1q 1 C1p Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s))kp_Xds 1_p = K C Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s))kp_Xds 1_p ≤ K C Z ∞ 0 (kf (s, u(s), v(s)) − f (s, 0, 0)kX + kf (s, 0, 0)kX)pds 1_p ≤ K C Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s)) − f (s, 0, 0)kp_Xds 1 p ₊ Z ∞ 0 kf (s, 0, 0)kp_Xds 1 p ≤ K C Z ∞ 0 Lp(ku(s)k X12 + kv(s)kX) p ds 1 p _{+ kf (·, 0, 0)k} Lp_(0,∞;X) = K C L Z ∞ 0   u(s) v(s)   p X12×Xds 1_p + kf (·, 0, 0kLp_(0,∞;X) = K C Lk   u v  k Lp_(0,∞;X12×X)+ kf (·, 0, 0)kLp(0,∞;X) . Logo, kVk Lp_(0,∞;X12×X) ≤ K C L   u v   Lp_(0,∞;X12×X)+ kf (·, 0, 0)kLp(0,∞;X) . (4.6) Portanto, das estimativas (4.4) e (4.6), conclu´ımos que o mapa F est ´a bem definido. Sejam [ui, vi] ∈ Lp(0, ∞; X

1

2 × X), i = 1, 2. Mostremos agora que F é uma (KL C )-contraç ão. Com efeito, comecemos notando que

F   u1 v1  (t) − F   u2 v2  (t) p X12×X ≤ Z t 0 Ke−C(t−s)kf (s, u1(s), v1(s)) − f (s, u2(s), v2(s))kXds p = Kp Z t 0 e−C(t−s)L   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×Xds p = KpLp Z t 0 e−C(t−s)q _e− C(t−s) q   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×Xds p ≤ KpLp Z t 0 (e−C(t−s)q ₎q_ds 1 q Z t 0 (e−C(t−s)p   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×X) p ds 1 p p

(34)

≤ Kp_Lp₍1 C) p q Z t 0 e−C(t−s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds. Logo, temos a seguinte estimativa

F   u1 v1  (t) − F   u2 v2  (t) p X12×X ≤ (KL)p q √ Cp Z t 0 e−C(t−s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds. (4.7) Como, F   u1 v1  − F   u2 v2   Lp_(0,∞;X1₂_×X) := Z ∞ 0 F   u1 v1  (t) − F   u2 v2  (t) p X12×Xdt 1_p .

Usando a estimativa (4.7) e o Teorema de Fubini, temos F   u1 v1  − F   u2 v2   Lp_(0,∞;X12×X) ≤ Z ∞ 0 (KL)p Cpq Z t 0 e−C(t−s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xdsdt 1_p = KL C1q Z ∞ 0 Z ∞ s e−C(t−s)dt   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds 1_p = KL C1q_C 1 p Z ∞ 0   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds 1_p .

Portanto, segue que F   u1 v1  − F   u2 v2   Lp_(0,∞;X12×X) ≤ KL C   u1 v1  −   u2 v2   Lp_(0,∞;X12×X). Como, por hip ´otese, KL

C < 1, ent ão segue do Princ´ıpio da Contraç ão que F tem um único ponto fixo em Lp_{(0, ∞; X}1₂ _{× X), isto é, existe uma única soluç ão branda [u, v]} de (3.1) tal que [u, v] ∈ Lp_{(0, ∞; X}1₂

× X).

Teorema 4.3 (AZEVEDO; CUEVAS; SOTO, 2017, Teorema 1.7) Assuma que (η, A) é um par admiss´ıvel. Seja f : R+_{× X}1₂ _{× X → X uma funç ão cont´ınua que satisfaz a} condiç ão de Lipschitz:

kf (t, u1, v1) − f (t, u2, v2)kX ≤ L(t)ku1− u2k_X1

(35)

para todo [ui, vi] ∈ X 1

2 × X, i = 1, 2; e cada t ≥ 0, onde L : R+ → R+ é uma funç ão

integr ´avel limitada em [N, ∞), para alguma constante N > 0, L(·) ∈ Lq_{(0, ∞)} _{e que} f (·, 0, 0) ∈ L1(0, ∞; X). Se K

p √

CpkLkq < 1 (onde p e q s ão expoentes conjugados), ent ão o problema (3.1) admite uma única soluç ão Lp_-branda.

Demonstraç ão: Consideremos o mapa F : Lp_{(0, ∞; X}1₂ _{× X) → L}p_{(0, ∞; X}1₂ _{× X)} definido por (4.3). A nossa primeira etapa consiste em mostrar que o mapa F est á bem definido. Como j á provado no Teorema 4.2, temos que

e−A(1/2)•_[u 0, v0] Lp_(0,∞;X12×X) ≤ K p √ Cp [u0, v0] X12×X. Logo, ´e suficiente mostrar que V

Lp_(0,∞;X12×X) < ∞. Notemos que a func¸ ˜ao V,

definida por (4.5), satisfaz a seguinte estimativa: kV(t)k X12×X ≤ K Z t 0 e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kXds ≤ K Z t 0 L(s)   u(s) v(s)   X12×Xds + K Z t 0 kf (s, 0, 0)kXds.

Portanto, tem-se que

sup t≥0 kV(t)k X12×X ≤ K Z ∞ 0 L(s)   u(s) v(s)   X12×Xds + K Z ∞ 0 kf (s, 0, 0)kXds ≤ K Z ∞ 0 L(s)qds) 1_q Z ∞ 0   u(s) v(s)   p ds 1_p + Kkf (·, 0, 0)kL1_(0,∞;X).

Da´ı, obtemos a seguinte estimativa

sup t≥0 kV(t)k X12×X ≤ K kLkLq_(0,∞)   u v   Lp_(0,∞;X12×X)+ kf (·, 0, 0)kL1(0,∞;X) . (4.9) Assim, V Lp_(0,∞;X12×X) := Z ∞ 0 kV(t)kp X12×Xdt 1_p ≤ sup t≥0 kV(t)kp−1 X12×X Z ∞ 0 kV(t)k X12×Xdt 1_p

(36)

≤ sup t≥0 kV(t)k X12×X 1−_p1 Z ∞ 0 kV(t)k X12×Xdt _p1 ≤ sup t≥0 kV(t)k X12×X 1−_p1 × Z ∞ 0 K Z t 0 e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kXdsdt 1_p ≤ K1p sup t≥0 kV(t)k X12×X 1−1_p × Z ∞ 0 Z ∞ s e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kXdtds _p1 = K1p _sup t≥0 kV(t)k X12×X 1−1_p × Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s))kX Z ∞ s e−C(t−s)dtds _p1 = K C 1_p sup t≥0 kV(t)k X12×X 1−1_p Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s))kXds 1_p . Usando a estimativa (4.9), temos

V Lp_(0,∞;X12×X) ≤ K C 1_p K kLkLq_(0,∞)   u v   Lp_(0,∞;X12×X)+ kf (·, 0, 0)kL1(0,∞;X) 1−_p1 × Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s))kXds 1_p ≤ K C1p kLkLq_(0,∞)   u v   Lp_(0,∞;X12×X)+ kf (·, 0, 0)kL1(0,∞;X) 1−1_p × Z ∞ 0 L(s)   u(s) v(s)   X12×X + kf (s, 0, 0)kXds 1_p ≤ K C1p kLkLq_(0,∞)   u v   Lp_(0,∞;X12×X)+ kf (·, 0, 0)kL1(0,∞;X) 1−1_p × kLkLq_(0,∞)   u v   Lp_(0,∞;X12×X)+ kf (·, 0, 0)kL1(0,∞;X) 1_p = K C1p kLkLq_(0,∞)   u v   Lp_(0,∞;X12×X)+ kf (·, 0, 0)kL1(0,∞;X) .

(37)

Logo,

V

Lp_(0,∞;X12×X) < ∞.

Portanto conclu´ımos que o mapa F est á bem definido. A etapa final da nossa demonstraç ão ser á provar que F é uma contraç ão em Lp_{(0, ∞; X}1₂ _{× X). Sejam} [ui, vi] ∈ Lp(0, ∞; X

1

2 × X), i = 1, 2. Comecemos notando que

F   u1 v1  (t) − F   u2 v2  (t) p X12×X ≤ Z t 0 e−A(1/2)(t−s) L(X12×X) F (s,   u1(s) v1(s)  ) − F (s,   u2(s) v2(s)  ) X12×Xds p ≤ Kp Z t 0 e−C(t−s)kf (s, u1(s), v1(s)) − f (s, u2(s), v2(s))kXds p ≤ Kp Z t 0 e−C(t−s)L(s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×Xds p .

Logo, utilizando a desigualdade de H ¨older e o Teorema de Fubini, obtemos as seguintes estimativas F   u1 v1  − F   u2 v2   Lp_(0,∞;X12×X) ≤ Z ∞ 0 Z t 0 Ke−C(t−s)L(s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×Xds p dt 1_p ≤ K Z ∞ 0 Z t 0 |L(s)|q_ds p_q Z t 0 e−Cp(t−s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12 ds dt 1_p ≤ K Z ∞ 0 kLkp q Z t 0 e−Cp(t−s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12 dsdt 1_p ≤ KkLkq Z ∞ 0 Z ∞ s e−Cp(t−s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12 dtds 1_p = KkLkq Z ∞ 0   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12 Z ∞ s e−Cp(t−s)dtds 1_p = KkLkq (Cp)1p Z ∞ 0   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12 ds 1_p .

(38)

Portanto, temos que F   u1 v1  − F   u2 v2   _Lp_(0,∞;X12×X) ≤ K p √ CpkLkq   u1 v1  −   u2 v2   _Lp_(0,∞;X12×X). Como, por hip ´otese, K

p √

CpkLkq < 1, segue que F é uma contraç ão em L

p_{(0, ∞; X}1₂_×X) e, portanto, existe uma única soluç ão branda [u, v] para o problema (3.1) tal que [u, v] ∈ Lp(0, ∞; X12 × X).

Observaç ão 4.4 Sob as condiç ões do Teorema 4.3, com L(·) ∈ Lp_{(0, ∞)}_{e f (·, 0, 0) ∈} Lp(0, ∞; X), se K(1

C) 1−1

pkLk

p < 1, ent ão o problema (3.1) tem uma única soluç ão Lp_-branda.

Demonstraç ão da Observaç ão 4.4: Consideremos o mapa F : Lp_{(0, ∞; X}1₂ _{× X) →} Lp_{(0, ∞; X}1₂ _{× X) definido por (4.3), onde t ∈ R}+_. _{Vamos mostrar que tal mapa est á} bem definido. Com efeito, sendo V a funç ão dada por (4.5), utilizando a desigualdade de H ölder obtemos kV(t)kp X12×X ≤ Kp Z t 0 e−C|t−s|kf (s, u(s), v(s)kXds p ≤ Kp Z t 0 e−C|t−s|kf (s, u(s), v(s)) − f (s, 0, 0)kX + kf (s, 0, 0)kX)ds p = Kp Z t 0 e−C|t−s|kf (s, u(s), v(s)) − f (s, 0, 0)kXds + Z t 0 e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kXds p ≤ 2p_Kp Z t 0 e−C|t−s|L(s)   u(s) v(s)   X12×Xds p +2pKp Z t 0 e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kXds p ≤ 2p_Kp Z t 0 e−C|t−s|q L(s)e− C|t−s| p   u(s) v(s)   X12×Xds p +2pKp Z t 0 e−C|t−s|q e− C|t−s| p kf (s, 0, 0)k Xds p

(39)

≤ 2p_Kp Z t 0 (e−C|t−s|q _L(s))q_ds 1_q Z t 0 (e−C|t−s|p   u(s) v(s)   X12×X) p_ds 1_pp +2pKp Z t 0 (e−C|t−s|q ₎q_ds 1_q Z t 0 (e−C|t−s|p kf (s, 0, 0)k X)pds 1_pp ≤ 2p_Kp Z t 0 e−C|t−s|L(s)qds p_q Z t 0 e−C|t−s|   u(s) v(s)   p X12×Xds +2pKp Z t 0 e−C|t−s|ds p_q Z t 0 e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kp_Xds ≤ 2p_Kp Z t 0 e−C|t−s|L(s)qds p_q Z t 0 e−C|t−s|   u(s) v(s)   p X12×Xds +2pKp 1 C p_q Z t 0 e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kp_Xds ≤ 2p_Kp Z t 0 e−C|t−s|L(s)pds Z t 0 e−C|t−s|ds p−q_q × Z t 0 e−C|t−s|   u(s) v(s)   p X12×Xds + 2pKp 1 C p_q Z t 0 e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kp_Xds ≤ 2p_Kp 1 C) p q−1 Z t 0 e−C|t−s|L(s)pds Z t 0 e−C|t−s|   u(s) v(s)   p X12×Xds +2pKp 1 C p_q Z t 0 e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kp_Xds . Portanto, obtemos a seguinte estimativa

kV(t)kp X12×X ≤ 2 p_Kp 1 C) p q−1kLkp Lp_(0,∞) Z t 0 e−C|t−s|   u(s) v(s)   p X12×Xds +2pKp 1 C p_q Z t 0 e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kp_Xds . (4.10) Como kVk Lp_(0,∞;X1₂_×X) := Z ∞ 0 kV(t)kp X12×Xdt 1_p .

(40)

Da estimativa (4.10), utilizando o Teorema de Fubini, obtemos o seguinte kVkp Lp_(0,∞;X12×X) ≤ Z ∞ 0 2pKp 1 C) p q−1kLkp Lp_(0,∞) Z t 0 e−C|t−s|   u(s) v(s)   p X12×Xds dt + Z ∞ 0 2pKp 1 C p_q Z t 0 e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kp_Xds dt ≤ 2pKp 1 C) p q−1kLkp Lp_(0,∞) Z ∞ 0 Z t 0 e−C|t−s|   u(s) v(s)   p X12×Xds dt +2pKp 1 C p_q Z ∞ 0 Z t 0 e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kp_Xds dt ≤ 2p_Kp 1 C) p q−1kLkp Lp_(0,∞) Z ∞ 0 Z ∞ s e−C|t−s|   u(s) v(s)   p X12×Xdtds +2pKp 1 C p_q Z ∞ 0 Z ∞ s e−C|t−s|kf (s, 0, 0)kp_Xdtds ≤ 2p_Kp 1 C) p q−1kLkp Lp_(0,∞) Z ∞ 0   u(s) v(s)   p X12×X Z ∞ s e−C|t−s|dtds +2pKp 1 C p_q Z ∞ 0 kf (s, 0, 0)kp_X Z ∞ s e−C|t−s|dtds ≤ 2p_Kp 1 C) p qkLkp Lp_(0,∞) Z ∞ 0   u(s) v(s)   p X12×Xds +2pKp 1 C p_q+1 Z ∞ 0 kf (s, 0, 0)kp_X)ds . Da´ı, segue que

kVk Lp_(0,∞;X12×X) ≤ 2K 1 C 1_q kLkLp_(0,∞) Z ∞ 0   u(s) v(s)   p X12×Xds 1_p +2K 1 C) Z ∞ 0 kf (s, 0, 0)kp_Xds 1_p . Portanto, kVk Lp_(0,∞;X12×X) ≤ 2K 1 C 1−1_p kLkLp_(0,∞)   u v  k Lp_(0,∞;X12×X) +2K 1 C)kf (·, 0, 0)kLp(0,∞;X).

(41)

Portanto, o mapa F est á bem definido. Provemos agora que F é uma contraç ão em Lp_{(0, ∞; X}1₂ _{× X). Sejam [u} i, vi] ∈ Lp(0, ∞; X 1 2 × X), i = 1, 2, ent ão F   u1 v1  (t) − F   u2 v2  (t) p X12×X ≤ Kp Z t 0 e−C|t−s|kf (s, u1(s), v1(s)) − f (s, u2(s), v2(s))k_X1 2×Xds p ≤ Kp Z t 0 e−C|t−s|L(s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×Xds p ≤ Kp Z t 0 e−C|t−s|L(s)qds 1_q Z t 0 e−C|t−s|   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds 1_pp = Kp Z t 0 e−C|t−s|L(s)qds p_q Z t 0 e−C|t−s|   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds ≤ Kp Z t 0 e−C|t−s|ds p−q_q Z t 0 e−C|t−s|L(s)pds × Z t 0 e−C|t−s|   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds

Da´ı, obtemos a seguinte estimativa F   u1 v1  (t) − F   u2 v2  (t) p X12×X ≤ Kp 1 C) p q−1kLkp Lp_(0,∞) Z t 0 e−C|t−s|   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds .

Logo, pela estimativa obtida acima, segue que F   u1 v1  − F   u2 v2   Lp_(0,∞;X12×X) ≤ K 1 C 1_q−1_p kLkLp_(0,∞) Z ∞ 0 Z t 0 e−C|t−s|   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xdsdt 1_p

(42)

≤ K 1 C 1_q−1_p kLkLp_(0,∞) Z ∞ 0 Z ∞ s e−C|t−s|dt   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds 1_p = K 1 C 1_q−1_p 1 C 1_p kLkLp_(0,∞) Z ∞ 0   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds 1_p = K 1 C 1_q kLkLp_(0,∞) Z ∞ 0   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds _p1 = K 1 C 1−1_p kLkLp_(0,∞)   u1 v1  −   u2 v2   Lp_(0,∞;X12×X).

Portanto, desta última desigualdade conclu´ımos que F é uma contraç ão em Lp_{(0, ∞; X}1₂ _{× X) e com isto, conclu´ımos a demonstraç ão da Observaç ão 4.4.}

A situaç ão torna-se mais complicada quando L(t) apresenta diferentes condiç ões de crescimento. Para enunciar o pr óximo resultado, precisamos introduzir as seguintes notaç ões:

La := sup t≥a L(t), B(a, L) := Kp_ap−1_kLkp Lp_[0,a], Θ := K C 2 La ∞ X j=2 (B(a, L))j j! !1_p ,

onde K e C s ˜ao as constantes dadas em (3.5).

Teorema 4.5 (AZEVEDO; CUEVAS; SOTO, 2017, Teorema 1.8) Assuma que (η, A) é um par admiss´ıvel. Seja f : R+_{× X}1₂ _{× X → X uma funç ão cont´ınua com f (·, 0, 0) ∈} Lp_{(0, ∞; X)}_{e que satisfaz a condiç ão de Lipschitz (4.8), onde L : [0, ∞) → R}+ _{é uma} funç ão integr ável em cada subconjunto compacto de R+_{. Suponha que existe a > 0} tal que K_CLa< 1e Θ < 1, ent ão o problema (3.1) possui uma única soluç ão Lp-branda.

Demonstraç ão: Definamos o espaço de Banach:

Lp_a(0, ∞; X12 × X) := n   u v  ∈ Lp(0, ∞; X 1 2 × X); u(·), v(·) s˜ao cont´ınuas em [0, a] o

(43)

equipado com a norma:   u v   a :=   u v   (0,a) +   u v   Lp_(a,∞;X1₂_×X), onde   u v  

(0,a):= sup0≤t≤a   u(t) v(t)   X12×X e   u v   Lp_(a,∞;X1₂_×X) := Z ∞ a   u(t) v(t)   p X12×Xdt 1_p

Definamos o operador F no espac¸o Lp

a(0, ∞; X 1

2 × X) pela express ˜ao (4.3). Levando

em conta a estimativa (4.4) e do fato de que o semigrupo {e−A(1/2)t_{; t ≥ 0}} ´e fortemente

cont´ınuo, temos que e−A(1/2)•_[u

0, v0] ∈ Lpa(0, ∞; X 1

2 × X). Provaremos agora que F

est ´a bem definido. De fato, considere [u, v] ∈ Lp

a(0, ∞; X 1

2 × X) e seja V dado pela

express ão (4.5), ent ão pela desigualdade de H ölder kV(t)kp X12×X ≤ Z t 0 Ke−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))k X12×Xds p ≤ Kp Z t 0 e−C(t−s)ds p_q Z t 0 e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kp_Xds ≤ Kp 1 C p_q Z t 0 e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kp_Xds . Portanto, kVk Lp_(0,∞;X1₂_×X) ≤ K 1 C 1_q Z ∞ 0 Z t 0 e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kp_Xdsdt 1_p = K 1 C 1_q Z ∞ 0 Z ∞ s e−C(t−s)kf (s, u(s), v(s))kp_Xdtds 1_p = K C Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s))kp_Xds 1_p ≤ K C Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s)) − f (s, 0, 0)kX + kf (s, 0, 0)kX p ds 1_p ≤ K C " Z ∞ 0 kf (s, u(s), v(s)) − f (s, 0, 0)kp_Xds 1_p + Z ∞ 0 kf (s, 0, 0)kp_Xds 1_p#

(44)

≤ K C " Z ∞ 0 L(s)p   u(s) v(s)   p X12×Xds 1_p + Z ∞ 0 kf (s, 0, 0)kp_Xds 1_p# = K C Z ∞ 0 L(s)p   u(s) v(s)   p X12×Xds 1_p +K Ckf (·, 0, 0)kLp(0,∞;X) = K C Z a 0 L(s)p   u(s) v(s)   p X12×Xds + Z ∞ a L(s)p   u(s) v(s)   p X12×Xds 1_p +K Ckf (·, 0, 0)kLp(0,∞;X) ≤ K C " Z a 0 L(s)p   u(s) v(s)   p X12×Xds 1_p + Z ∞ a L(s)p   u(s) v(s)   p X12×Xds 1_p# +K Ckf (·, 0, 0)kLp(0,∞;X) ≤ K C "   u v   p (0,a) Z a 0 L(s)pds 1_p + Lp_a Z ∞ a   u(s) v(s)   p X12×Xds 1_p# +K Ckf (·, 0, 0)kLp(0,∞;X) = K C   u v   (0,a) kLkLp_[0,a]+ L_a   u v   Lp_(a,∞;X12×X)+ kf (·, 0, 0)kL p_(0,∞;X) .

Isso mostra que F est á bem definido. Nossa pr óxima etapa é mostrar que o operador F tem um único ponto fixo em Lp

a(0, ∞; X 1 2×X). Sejam [u_i, v_i] ∈ Lp a(0, ∞; X 1 2×X), i = 1, 2.Notemos que sup 0≤t≤a F   u1 v1  (t) − F   u1 v1  (t) X12×X ≤ sup 0≤t≤a Z t 0 Ke−C(t−s)k(f (s, u1(s), v1(s)) − f (s, u2(s), v2(s))kXds ≤ sup 0≤t≤a Z t 0 Ke−C(t−s)L(s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×Xds ≤ K Z a 0 L(s)ds sup 0≤t≤a   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×X

(45)

≤ KkLkL1_([0,a]) sup 0≤t≤a   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×X. Logo, conclu´ımos que

F   u1 v1  − F   u2 v2   (0,a)≤ KkLkL 1_[0,a] sup 0≤t≤a   u1(s) − v1(s) u2(s) − v2(s)   X12×X (4.11) A seguir, estimamos F2   u1 v1  − F2   u2 v2  e obtemos F 2   u1 v1  (t) − F 2   u2 v2  (t) X12×X ≤ K Z t 0 e−C(t−s) f s, F   u1 v1  (s) − f s, F   u2 v2  (s) Xds ≤ K Z t 0 e−C(t−s)L(s) F   u1 v1  (s) − F   u2 v2  (s) X12×Xds ≤ K2 Z t 0 e−C(t−s)L(s) Z s 0 e−C(s−τ )L(τ )   u1(τ ) − u2(τ ) v1(τ ) − v2(τ )   X12×Xdτ ds ≤ K2 sup 0≤t≤a   u1(t) − u2(t) v1(t) − v2(t)   X12×X Z t 0 L(s) Z s 0 L(τ )dτds = K 2 2   u1 v1  −   u2 v2   (0,a) Z t 0 L(s)ds 2 .

Dessa forma, obtemos a seguinte estimativa F 2   u1 v1  − F2   u2 v2   (0,a) ≤ 1 2 KkLkL1(0,a) 2   u1 v1  −   u2 v2   (0,a) .

De maneira an ´aloga deduzimos que F 3   u1 v1  (t) − F3   u2 v2  (t) X12×X ≤ K Z t 0 e−C(t−s)L(s) F 2   u1 v1  (s) − F 2   u2 v2  (s) X12×Xds

(46)

≤ K 3 2 Z t 0 L(s) Z s 0 L(τ )dτ2ds   u1 v1  −   u2 v2   (0,a) ≤ K 3 6 Z t 0 L(s)ds 3   u1 v1  −   u2 v2   (0,a). Logo, F 3   u1 v1  − F 3   u2 v2   (0,a)≤ 1 3! KkLkL1[0,a] 3   u1 v1  −   u2 v2   (0,a). Atrav ´es de um argumento indutivo, pode-se mostrar que

F n   u1 v1  − Fn   u2 v2   (0,a) ≤ 1 n! KkLkL1[0,a] n   u1 v1  −   u2 v2   (0,a) . (4.12)

Consideremos agora um novo conjunto de notac¸ ˜oes:

Ln:= Z ∞ 0 F n   u1 v1  (t) − Fn   u2 v2  (t) p x12×Xdt 1_p , n ≥ 1, Jn:= Z ∞ a Z a 0 e −A(1/2)(t−s) _L(X1₂_×X)L(s) F n−1   u1 v1  (s) − Fn−1   u2 v2  (s) _x1₂_×Xds p dt 1_p , J := Z ∞ a Z t a e −A_(1/2)(t−s) _L(X1 2×X)L(s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×Xds p dt 1_p . A fim de obtermos uma estimativa para Ln estudamos as contribuiç ões dos termos Jn e J . De in´ıcio procedemos a an álise dos termos Ji, i = 1, 2.Temos que

J1 ≤ K Z ∞ a Z a 0 e−C(t−s)L(s)   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   X12×Xds p dt 1_p ≤ K Z ∞ a Z a 0 e−C(t−s)ds p_q Z a 0 e−C(t−s)L(s)p   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds dt 1_p ≤ K 1 C 1_q Z ∞ a Z a 0 e−C(t−s)L(s)p   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xdsdt 1_p ≤ K 1 C 1_q Z a 0 Z ∞ a e−C(t−s)L(s)p   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xdtds 1_p

(47)

= K 1 C 1_q Z a 0 L(s)p   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×X Z ∞ a e−C(t−s)dt ds 1_p ≤ K 1 C 1_q 1 C 1_p Z a 0 L(s)p   u1(s) − u2(s) v1(s) − v2(s)   p X12×Xds _p1 ≤ K CkLkLp[0,a]   u1 v1  −   u2 v2   (0,a), e, assim J1 ≤ K CkLkLp[0,a]   u1 v1  −   u2 v2   (0,a) . Agora para i = 2, temos que

J2 ≤ K Z ∞ a Z a 0 e−C(t−s)L(s) F   u1 v1  (s) − F   u2 v2  (s) _X1₂_×Xds p dt _p1 ≤ K Z ∞ a Z a 0 e−C(t−s)L(s) × Z s 0 Ke−C(t−s)L(τ )   u1(τ ) − u2(τ ) v1(τ ) − v2(τ )   _X1₂_×Xdτ ds p dt 1_p ≤ √_qK C Kp Z ∞ a Z a 0 e−C(t−s)L(s)p × Z s 0 e−C(t−s)L(τ )   u1(τ ) − u2(τ ) v1(τ ) − v2(τ )   _X1₂_×Xdτ p dsdt 1_p ≤ K C Kp Z a 0 L(s)p Z s 0 L(τ )dτ p ds 1_p   u1 v1  −   u2 v2   _(0,a) ≤ K C Kp Z a 0 L(s)p Z s 0 L(τ )pdτ Z s 0 dτ p−1 ds 1_p   u1 v1  −   u2 v2   _(0,a) ≤ K C Kpap−1 Z a 0 L(s)p Z s 0 L(τ )pdτ ds _p1   u1 v1  −   u2 v2   (0,a)