Funções complexas de uma variavel complexa : uma abordagem via software Mathematica

Universidade Estadual de Campinas

Instituto de Matemática Estatística e Computação

Científica

FUnções Complexas de uma Variável Complexa - Uma

Abordagem Via Software Mathematica

-V~!!~.\>

-~-·--·-N.' i;> ... ·. -~.:

I

Funções Complexas de uma Variável

Complexa - Uma Abordagem Via Software

Mathematica

Este exemplar corresponde à redação

fi-nal da dissertação devidamente

corrigi-da e defendicorrigi-da por Laudo Claumir

San-tos e aprovada pela comissão julgadora.

Campinas, 2 de Setembro de 1998

Dissertação apresentada ao Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica, UNICAMP, como requisito

Sa59f

FICHA CATALOGRÁFICA ELABORADA PIELA BIBLIOTECA DO IMECC DA UNICAMP

Santos, Laudo Claumir

Funções complexas de uma variável complexa- uma abordagem via software mathematica I Laudo Claumir Santos-- Campinas. [S.P.

:s.n.], 1998.

Orientador: V era Lúcia Xavier Figueiredo

Dissertação {mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica.

Dissertação de Mestrado defendida e aprovada em 02 setembro de 1998

Pela Banca Examinadora, colllposta pelos Profs. Drs.

Dedicatória

Agradecimentos

Agradeço à Professora Vera pela paciência, dedicação e amizade prestada em

sua orientação.

Aos professores com os quais tive contato em cursos: aos funcionários da biblioteca e da pós-graduação pela boa vontade com que me serviram quando

precisei.

Ao CNPq pelo auxílio financeiro sem o qual este trabalho não teria sido realizado e a CAPES, através do Programa de Apoio à Integração

Graduaçào/Pós-Graduaçã.o/PROIN, pelo suporte computacional do

labo--ratório rnultinúdia EMU /IMECC.

A todos os amigos da pós-graduação do IMECC em especial ao Edson,

Giuliano, Ryuichi, Osmar e Cláudio.

Agradeço, também, â minha fann1ia, pela união, incentivo e credibili-dade que sempre me pre.-.;taram, em especial a minha mãe :~daria. a minha irrnâ LeiJa. a meus sogros Ovandir e Dorca. a minha cunhada Viviane e à minha esposa Liliane que e.sta lindamente no quinto mês de gestação do nosso primeiro filho.

In memorian a meu pai Antônio, pelo exemplo de vida, amor e carinho

que o faz eterno entre nós.

A Deus) nosso pai criador, cujo amor por nós é inígualável.

Conteúdo

Introdução ... .

Capítulo 1: Funções Complexas de uma Variável Complexa ...

1

1.1 Estrutura Algébrica dos Números Complexos - Imple-mentação . . . . ... 2

1.2 Funções Complexas Vistas como 'Iransformações no Plano -Visualizações ... 4

1.3 Interpretação Geométrica para o Teorema Fundamental da Álgebra ... 7

1.4 Programas do Capítulo ... 12

Capítulo 2: Abordagem Geométrica dos Gráficos das Partes

Real,

Imaginária e do Módulo de Algumas Funções

Com-plexas . . .

. ...

2ó 2.1 Funções Polinomiais da Forma f,(z) = az" ... b; a,b·E (['e nE2Z . . . 26

2.2 F\mções Exponenciais da Fbrma f(z) ~ E.~piaz

+

b); a,bE

a:

...

. ...

34

2.3 Transformações de Moebius . . . . ... 39

2.4 Programas do Capítulo ... 47

Capítulo 3: Transformações Conformes - Projeção

Estereográ-fica - Transformações de Moebius ...

65

3.1 Equações de Cauchy-Riemann ... . . ... 65

3.2 Funções Analíticas - Funções Harmônicas ... 67

3.3 'Il:-ansformações Conformes ... 70

3.4 Projeção Estereográfica com polo em N ~ (0. O, 1)- Cons-trução - Propriedades . . . . ... 73

3.6 Transformações de Moebius ... . . . 85 3. 7 Rotações na Esfera Vistas con1o Transformações no Plano

Complexo Via Projeção Estereográfica ... , , , .. , . , 87 3,8 Programas do Capítulo , , , , , , , , , " ... , .... " " .. , , 88

Capítulo 4: Homotopia e Integração ...

no

Bibilografia . . .. .. . .. .. .. .. .. .. .. . .. . . .. . .. .. .. . .

. . . ...

124

Introdução.

Esta dissertação de mestrado foi produzida para ser um texto complementar para um curso de graduação de variáveis complexas, tendo corno inspiração

a introdução do artigo The Geometry of Harrnonic Functions onde o autor

narra a seguinte parábola:

Imagine urna sociedade onde seus cidadãos são estimulados, na verdade obrigados, a partir de urna certa idade, a lerem (e algumas vezes a escreverem) partituras musicais todas muito admiráveis. Entretanto esta sociedade tinha uma lei muito curiosa e perturbadora (pouco..'> sabiam como isto começou); Música nunca deve ser ouvida ou executada.

Apr...sar da música ser universalmente reconhecida, por alguma razão ela

não podia ser inteiramente apreciada nesta sociedade. Faltava aos

estu-dantao;- de múska a intuição sonora. Lei análoga a esta aplicada na área

de matemática seria: Matemáüca não deve ser msualizada.

Neste trabalho optamos então por desobedecer esta lei perturbadora que nos proíbe de intuir, experimentar, de buscar os apelos geornétricos para

elaborar um texto onde tudo isto foi possível, na busca de obter novas manen·a.s para e:-:;:plorar velhos temas.

Tendo como referências bá')icas livros tradicionais de variável complexa, utilizamos, como ferramenta para visualização dos conceitos e resultados

abordados, o pacote simbólico e gráfico Mathematíca por ter uma interface ínteressante além de ser amigável para programação.

O software Mathematica foi utilizado no texto de várias maneiras. No capítulo I: Funçàes Complexas de uma Van:ável Complexa são intro-duzidos os conceitos básicos de númerm complexos e funções complexas.

Uti-lizando comandos básícos do Mathematica pudemos implementar a estrutura

dos números compl0.xos e visualizar as fw1ções complexas vistas como

tra.ns-formaç:ões no plano, Alnda neste capítulo exploramos o Teon~ma

F\mdamen-tal da Álgebra. visualizando os zeros de um polinômio complexo de maneira

convincente, utilizando o Teorema do Valor Intermediário para funçôt~s reais contínuas de uma variável real.

No capítulo II: Abordagem Geométrica dos Gráficos da Part,e Real, Ima ginária e do Módulo de algumas Punções Complexas) a intuição e o auxilío do pacote Mathematica para experimentaçõe.'.l permitiram elaborar uma

complexas.

No capítulo III: Transforrnações Conformes Projeção Estereográfica

-Transformações de Moebius exploramos a definiçâo de derivada de uma função

complexa do ponto de vista analíti<;o e geométrico, trabalhando em particu lar com transformações conformes. Co:r:h ~ma programação mais elaborada foi possível a visualizaçào da construção da projeção estereográfica, a imple-mentação de suas principais propríedade..."i geométricas e um pequeno estudo sobre as transformações de l\·1oebius visando relacioná - la'3 com rotaç:õe,s na

esfera S2 •

Finalmente. no capítulo IV: Homotopi.a e Integração ímplementamos os conceitos de integral de linha e de homotopia entre cmvas que permitiram a

resolução de integrais e a visualízação de curvas homotópicas, além de ilus-trarmos o Teorema de Cauchy com relação a integração de funções analíticas sobre curvas homotópicas.

Acreditamos que o donúnio dos conceitos envolvidos, a capacidade de sistematização e a aprendizagem de programação d€',:;;envolvidos durante a

elaboração deste trabalho foram fatores decisivos para podermo.'> alterar a lei anterior para: Matemática pode ser visualizada!

Gostaríamos de ressaltar que existem muitos temas que podem ser abor-dados e explorados a partir deste texto, em vi"lta do caráter geral de muitas das programaç.Õf'.S aqui desenvolvidas e muito existe ainda para ser

investi-gado em vista da riqueza do ass1mto abordado.

Para uma maior comodidade dos leitores, este trabalho acompanha um disquete contendo todos os programas desenvolvidos no mesmo.

Capítulo 1

Funções Complexas de uma

Variável Complexa

Um número complexo z é uma expressão da forma a+ ib, sendo a e b números reais (a, b E IR) e i um número imaginário que satisfaz a relação í2 _{= -1. Denotamos por}

([' o conjunto dos números complexos. Munindo o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesiana..s) geometricamente podemos pensar em um número complexo z = a

+

ib eomo o ponto P, de coordenadas (a, b), deste plano ou como o vetor OP onde O = (0,0). Dado z = a+ ib E <17, definimos R(z) = a (parte real de

z) e J(z) = b (parte imagináría de z). O conjugado de um número complexo z

é definido por z = R( z) - il ( z) enquanto seu módulo ou norma é definido por

lzl

= jR(z)'

+

J(z)'.

Dado um número complexo não nulo z = a+ íb, existe um único O E [0, 271) tal que a=

i::'i

cosB e b =

lzl

sene. Geometricamente este B representa a medida.

em radianos. do ângulo de inclinação do vetor z. Desta forma podemos reprE",sentar o número z por z = lzj(cosiJ

+

isenB), chamada de forma polar.

Uma equação polinomial de grau dois az2

_{+ bz +c= O, a,b,c E IR. a}

_f.

_O

possui soluç:áo real se b2 ~ 4ac

2:

O. Caso b2 _{- 4ac}

_<

_{O este polinômio não possui}

soluçào reaL Entretanto, se f'..stamos trabalhando com os números complexos con-seguimos uma decomposição do polinômio de grau 2 acima como o produto de dois polinômios de grau 1:

-b + i/4ac- b2

(I) az2

+

bz +c= u(z- zl)(.::- z2 ) onde ZJ = e

· 2o

·-b- 1J4ac -[;2

2a

Para verificarmos que a identidade (I) é verdadeira necessitamos definir as operações. de soma e produto nos números complexos. Definimos as operações de soma e produto de números complexos como operações que estendem para IL' estas mesma13 operações em IR.

Se z = a+ ib e w =c+ íd são números complexo.':\1 definimos sua soma por: z+w = (a+c)+i(b+d) e seu produto por: zw = (ac-bd)+i(bc+ad). Estas operaçõc~

tornam o conjunto dos números complexos um corpo [9,Cap I]. Esta f'...strutura será

implementada na seção L L Observe que as definições acima permítem mostrar a identidade (!).

Surge então a pergunta: É sempre possível decompor um polin6mio de grau

n num produto de fatores complexos de grau um? A resposta para esta pergunta é baseada no Teorema Fundamental da Álgebra., devido a Gauss, que afirma que todo polinômio com coeficiente_s reais ou complexos possui ao menos uma raiz complexa. Uma demonstraçã.o geométrica d€'Bte teorema será dada na seção 1.3.

Na seção 1.2 utilizamos o programa 1v1athematka para a visualização de funções complexas vistas como transformações planas.

1.1 Estrutura Algébrica dos Números Complexos

- Implementação.

A

estrutma algébrica dos números complexos está implementada no Programa 1

que St! compõe de duas partes:

• A primeira parte deste programa tem por dado::: de entrada dois núJneros complexos z1 e z2 . Como rf'.sposta. ele fornecerá a seguinte li.;.;ta de seis posições z = {z1, zz, z1 +zz, Zl-zz.zl *Zz,

zdzz},

podendo o usuário teia representação geométrica de qualquer um destes ítens da lista na forma de ponto ou de v-etor.

• Na segunda parte o usuário fornece ao programa um número complexo w1 e

dois números inteiros m) n, n

i

O obtendo a lista w = { w1 , w1 ,

lwd,

R(w1 ), J(w1 )}, uma lista, raiz, contendo os números

w{t

e a representação geométrica destes

objetos.

Estrutura Algébrica dos Números Complexos - Programa 1 - Fig 1.1 e

1.2.

-1 5 -l_

Figura 1.1: Visualização dos números zl, z2, zl+z2, zl-z2 e zl*z2 onde zl = 1

+

í

e z2 = 0.5

+

2 i.

1.2 Funções Complexas Vistas como Transformações

no Plano - Visualizações

Sejam !1 C <V e

f :

!1 - <V. Então existem funções u, v : !1 ~ IR tais que, se

z = x

+

'lY E fl então f(z) = u(x, y)

+

iv(x:y); e reciprocarnente, duas funções a valores reais u, v : 0: c (f' ..., lR determinam uma única função complexa

f

tal que

u = R.(f) e v= I

(f).

Olhando pa1·a uma função

f :

n

c

a: ...,

<17 como uma transformação do plano no plano, é interessante investigar a imagem de alguns subconjuntos do plano segundo estas funções. Nos programa<;) que se seguem, o mmário tem a opçào de entrar com uma função complexa qualquer

f

=

f (

z), ou com suas partes real e imaginária, u e v, respectivamf'.nte para estudar a imagem de circulas, discos, curvas poligonais e polígonos através da função f.

Imagem de Círculos - Programa 2 - Fig L3.

Figura 1.3: Círculo de céntro na origem e raio 3 e sua imagem pela função f(z) = Senh z.

Imagem de Discos - Programa 3 - Fig 1.4.

Figura 1.4: Disco de centro (1,0) e raio 1 e sua imagem pela funçàD f(z) = z2

Imagem de Poligonais - Programa 4 - Fig 1.5.

Este programa tem por dados de entrada uma poligonal de vértlce_s { x1 , y1 } _

{x1),y •• } pondo:

i 2\ 10 o i

-4

_,

Figura 1.5: Poligonal de n = 3 vértices (2,-1), (3,0), (0,1) e sua imagem pela função f(z) = Exp z.

Imagem de Triângulos - Programa 5 - Fig 1.6 e 1. 7.

o.

Aqui o usuário fornece ao programa os vértices do triângulo { x1, y,), { x2 , y2},

{ x3 , y3 } onde x,

S

x,

S

x,, pondo x = {x1 , Xz, xs} e

y

=

{y, y,,

Ya},

Figura 1.7: Imagem do triângulo pela funçiiD f(z) ~ Exp z.

Imagem de Retângulos - Programa 6 - Fig 1.8.

.,

'

-2 c 2

Figura 1.8: Retângulo de vértices (-1r,l), (-n,2), (1r,2), (1r,l) e sua imagem pela funçiiD f(z) ~ Sen z.

1.3 Interpretação Geométrica para o Teorema

_,

Fun-damental da Algebra

Por que polinômios tem raízes? Ver \5].

O Teorema F\mdamental da Álgebra diz que um polinômio de grau n, com coeficientes em

<r)

possui exatamente n raizes, contadas com suas multiplicidadei!. Nesta seção daremos uma demo!lBtração geométrica para este teorema fazendo uso

preliminar de um Lema de geometria e recorrendo ao Teorema do Valor Intermediário de uma função real de uma variável reaL

Lema. Suponhamos que 2n pontos de um círculo estejam marcados alternada-mente com os sinais de mais e menos. Se este~'> vértice.."l são unidos em pare.s, de alguma maneira, por n arcos disjuntos no interior do círculo, então cada arco deve tmir pontos com sínaís opostos.

Dem: Suponha que um dos arcos una dois pontos com o mesmo sinaL Entào este arco divide o interior do círculo em duas regiões A e B, cada tuna com um número ímpar de pont-os. Cada um dos n-1 arcos restantes devem estar inteiramente em A

ou em B poís os arcos são disjuntos, o que é impossível.

Seja um polinômio mônico f(z) = zn

+

Un-_{1 zn-l}

+ · · · +

a1z

+ao

com

eo-eficientes complexos. Em coordenadas polares, z = reiOJ(z)

n n

L

air' cosjB +i

L

a,r'senjB = R(T, 8)

+

il(r, 0),

;=0 j=O

"

L

a,(re")'

j-=0

Por outro lado, R( r, 8) · cos n8 = 'rn cos2 n8+ termos de grau menor que n

em T, donde, para r » 1, isto é, para r suficientemente grande, o sinal de R,(T,8)

concorda com o sinal de cosnfJ, para todo ângulo polar onde c:osnO

=I

O. visto

que) neste caso, a parcela positiva r11 _cos2 _{n() é dominante no polinômio do segundo}

membro da igualdade. Da. meBma forma, os sinais de I(r, 8) e sennB coincidem para

T

»

1 e senne =I= O.

Notando que cos

ne

muda de sinal em múltiplos ímpares de 1r

/2n,

segue que

R( r, O) é positivo sobre n arcos abertos e negativo para n arcos abertos do círculo 11"

/zl

= T, T 4'> 1, sendo que os 2n raios fJ = (Zk

+

1)-onde cosnfJ =O, são assíntota..r.;

2n

das curvas de nível R( r, 8) =O, podendo haver possíveis intersecções.

Porém, o sinal de senne muda nos pontos médios de cada intervalo onde cos rdJ = O, assim para r ~ 1, sennB possui sinais alternados nos pontos onde os vários ramos das curvas de nível R(r,(}) =O cortam o círculo

/zl

= r, pois cada

extremidade das componentes conexas destas curvas são ramos assintóticos aos raios onde c:os nB = O.

Então, segue do Lema que J{r, B) possui sinais diferentes em pontos opostos de

cada componente conexa de R(T, fJ); daí, usa.ndo o Teorema do Valor Intermediário para funções reais contínuas de uma variável real, I(r, fJ) tem um zero em algum lugar sobre cada componente.

Teorema Fundamental da Álgebra- Programa 7 - Fig 1.9 a 1.11.

Neste programa o usuário fornece os coeficientes do polinômio f(z} = a,.zn

+

· · · +

a1 z

+

a0 em a = { a0 , a1 , • •• , an} e o número de coeficiente-s em n, visualizando

os gráficos e as curvas de nível, nível zero, das funções R(f) e 1(!), e obtendo os zeros do polinômio geometricamente e algebricamente.

Figura 1.9: Visualização dos gráfico...:; das partes real e imaginária do polinômio p(z)

- z

2 _'1

o.!~---- -~c·~---~----'

.j

.

.

-J

L_ _ _ _ _

I

• ______ j

I

-4 -2 o 2 4

Figura 1.10: Visualização das curvas de nivel1 nivel zero, das funções acima.

Fi!,rtrra 1.12: Gráficos das parte.c; real e imaginária, respectivamente do polinômio

p(z) = z0 _{+ (l-5i) z}5 _{- (8+17i) z}4 _{- (82+44i) z}3 _{- (170+40i) z}2 _{+ (-300+400i)} z.

-4 -2 o 2 4 -4 -2 o 2 4

-4 -2

o

2 4

Figura 1.14: Visualízação dos zeros do polinômio.

Zeros de funções complexas é um tema bastante rico a ser abordado. Em particular: trataremos deste assunto no Capítulo 3, onde abordaremos os zeros de funç'ões m1alíticas.

1.4 Programas do Capítulo

Programa 1 - Estrutura Algébrica dos Números Complexos .

(* Primeira Parte (********** DADOS DE ENTRADA **********) zl =; z2 =; *) (********** CORPO DO PROGMMA **********) z := { zl,z2,zl+z2,zl-z2,zl *z2,zl/z2} / /Simplify g[a_,b_] := {t*a,t*b}

repz[k _] := ParametricPlot[g[Re[z[[kllJ,Im[z[[klllJ//Evaluate, { t,O, 1} ,DisplayFunction-> ldentity,PlotStyle- > Thickness [0,0 1], AspectRatio-> Automatic,PlotPoints->50]

repzp[k _] := Graphics[ { PointSize[0,05],Point[ {Re[z[[k]]] ,Irn[z[[klll}]), Axes->'Irue]

(**********

DADOS DE SAIDA

**********)

(*Lista contendo zl,z2,z1+z2,zl-z2,zl*z2,zl/z2, respectivamente.

*)

z

(* Representação geométrica do item p da lista na forma de vetor. *)

Show[repz[p],Display Function- >$DisplayFunction]

(* Reptf'Bentaçã.o geométrica do item p da lista na forma de ponto. *)

Show[repzp[p] ,DisplayFunction->$Dk'PlayFunction]

(* Representaçã-O geométrica dos itens p e q da lista, em figuras diferentes,

na forma de veton"B. *)

Show[GraphicsArray[ { repz[p] ,repz[q]} ]]

(* Representação geométrica dos itens p e q da lista, em figuras diferentes₁

na forma de pontos. *)

Show[GraphicsArray[{repzp[p],repzp[q]}]]

na forma de vetores . *)

Show[repz[p) ,repz[q) .Display Function->$DisplayFUnction)

(* Representaçào geométrica dos itens p e q da lista, em urna mesma figura1

na forma de pontos. *)

Show[repzp[p),repzp[q],DisplayFunction->$DisplayFunction]

(* Representação geométrica de todos os itens da lista, em uma mesma figura, na forma de vetores. *)

A ~ Graphics[Text["zl", {R.e[zl )+O.l,lm[zl )+0.1 })); B = Graphics[Text["z2" ,{Re[z2]+0.l,Im[z2]+0.1})];

c ~ Graphics[Text["zl+z2" ,{R.e[zl+z2)+0.l,Im[zl+z2)+0.1 }));

d = Graphics[Text[''zl-z2" ,{Re[zl-z2]+0.l,lm[zl-z2]+0.1})); e = Graphics[Text[''zl *z2" ,{Refzl *z2)+0.l,Im[zl *z2)+0.1} )];

f = Graphics[Text['zl/z2", {Re[zl/z2]+0.l,Im[zl/z2]+0.1} ]]; Show[repz[l],repz[2],repz[3],repz[4),repz[5],re.Pz[6],A,B,c,d,e,f, DisplayFunction->$DisplayFunction] (* Seg1mda Parte

*)

(********** DADOS DE ENTRADA **********) wl::::::; m=; n - . _{- '} (********** CORPO DO PROGRAMA **********)

w2 := Conjugate[·wl] norma := Sqrt[w 1 *w2]

w := { wLw2,norma,Re[w1],lm[w1]) / /Simplify xl := (m/n)*(Arg[w1]+k*2*Pi)

raiz :~ Table[norma' (m/n)* (Cos[x1]+I*Sin[xl ]), { k,O,n-1} ]/ /Simplify g[a_,b_J := {t*a,t*b}

repw[k _] := ParametricPlot[g[Re[w[[k]])Jm[w[[k]]J]/ /Evaluare, { t ,0, l} ,Plot Style-

>

Thickness [O. O 1] ,Display Function-

>

Jdentity, Aspect Ra tiü- >A utomatic ,PJot Point s- >50}

repwp

[k _] :

= Gr ap hics

I

{PointSize[(),

05],

Point [ {Re[w[[k ]]] Jm[w[[k]]

í}]},

Axes- >'11-ue]

repraiz := Table[ParametricPlot[g[Re[raiz[[k]]],

lrn[raiz

[lk]]]J

j /Evaluate, { t,

O, 1}

,AspectRatío-

>

Automatic,PlotPoints-

>50,

PlotStyle-> Thickne.ss[O. 01] ,Display Function-> ldentity], {k 1 ,n}]

circulo:= PararuetricPlot[{normcr'' (m/n) Cos[tLnorma"' (m/n) Sin[tj},

{ t, 0,2 Pi}, Aspect Ratio-

>

Autornatíc,Display Function-

>

Jdentity]

repraizp: =Table[ Graphics[ {PoíntSize[O .05] ,Point [ {Re[raiz[[k]]] ,Im[raiz[[k]]] } ] } , Axes-

>

True], {k, I ,n) J

(********** DADOS DE SAlDA *********-*)

(*Lista contendo wl.wl,jwli,R(wl),I(wl), respectivamente. *)

(* Representaçilü geomNrica do.s ítem:. 1 e 2 da lista •v na fornH:~. de vf~tore.;;:. *)

A = Gra.phics[Text [··wl'" ,{Relwl]+0.2Jrn[wl]+O.l }]]; B = Graphícs[Te,a:·wJ" .{RefWIJ+0.2.!rn[w1]HJ.l )]]:

Shm,·[repw[ lj.repw[2j,A,B,Display Function-

>

$DisplayFtmctionj

(* Lista contendo os números w 1 7.: . *)

nuz

(* Reprf'..sentação geométrica dos números w 1 ~ na forma de vetores . *)

Show[repraiz,DisplayFunction->$DisplayFunction]

(*Representação geométrica dos números wl~ na forma de pontos.

*)

Sh ow [circulo :repraizp ,Displa y Fuuction-

>

$Display Funct i on] Programa 2 - Imagem de Círculos.

(********** DADOS DE EI\TRADA **********) xO =; r=· ,

(*

(* centro do círculo raio do círculo *) *)

(*** CORPO DO PROGRA,!A MAIS ALGUNS DADOS DE ENTRADA ***)

!' _{Caso em que é dada f(z)}

~: ' ·- x(J ' r· ('o-it' --- -,.- -- "'l j v := vO

+

r Sin[tl

.

.

' z::::::.x+yi f:iz .... J :"""-paramf : c• { Re[f[zj]Jm/f[zj]) *)

(* Caso em que são dadas u(x,y) e v(x,y) x := xO

+

r Cos[t] y := yO

+r

Sin[t]

ujx

~-,y _] :=· ' ' V[X __ ,.)'_j := paramf := {u[x,y],v[x,yj) círc := ParametrieP!ot[{x,y),{t,0,2 Pí}, *)

Aspect Ratio- >A utomatic ,Displa,vFunction-

>

Identity]

fcirc:=ParametricPlot [paramf//Evaluate.{ t ,0,2 Pi} ,PlotPoints- >50,

Asp<"..-et Ratio-> AutomaticlDisplayFunction-

>

Ident ity]

(********** DADOS DE SAlDA

**********)

{* Círculo dr centro (xO,;vO) e raio r e sua imagem segundo f *)

Show[GraphicsArray[ { circ,fcirc) ])

Programa 3 - Imagem de Discos.

(******-"'***

DADOS DE ENTEADA

**********)

xO ~ yO = : R=; (* (* centro do disco ralo do disco *) *)

(*** CORPO DO PROGRAMA MAIS ALGUNS DADOS DE ENTRADA *'*)

v := v()

+

r Sinlt I

•' ' ','

Z :=X+ y 1

f[z__]

:=

panrmf - {Re[f[z]j.Im[f[z]j.O}

(* Caso em que 5âo dada" u(x,y) e v(x,.v)

x := xO +r Cos[tj y := yü

+

r Sin[tj

u[x_,y

_.1

:=

v[x_,y _] :=

paramf := {u[x,y],v[x,y],O}

disc := ParametricP!ot3D[{x,y,O),{t,0.2 Pi},{LO,R}.

Vicw Point- >{O .000 .O .000 .7 .150} .DisplayFunction->I dent ity'

fdisc :=' ParametricPlot3D[Evalu8te[paramf], { t J\2 Pí} 1

{r .O.R}, ViewPoint- > {O. 000,0. 000.7 .150) .PlotPoints->50.

Display Functíon~ > Identity]

(********** DADOS DE SAlDA *'"'*""******)

(* Disco de centro (xO,yO) e raio R f' sua imagem segundo f *)

Shmr[ Graphics:Array

i {

chsc Jdisc}]]

Programa 4 - Imagem de Poligonais.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

n -"""-:

x:= {)

y := {}

(*** CORPO DO PROGRA~lA MAIS ALGUNS DADOS DE EXTRADA ***)

g[a_,b_,c_,d_J[t _]:=a+! (c-a)+ I (b+t (d-b))

w =

Table[g[x[[k]Lvllk]],xi[k+l]}s[[k+ 1]]][tL{k,Ln-1 }]

zl :=

g[x[[n]],y[[n]].x[[!Jh:i1J]Jit]

ll := Table[ParametricPloti{Re[w[[k]]]Jm[w[[k]]]},

{ t,O,l)

,Disp1ayFunction-

>

ldentity], {

k, 1 ,n-1}

J

12 := ParametricP1ot[ {Re;z1 j.Irn[zl]}, { t ,0.1},

Dí:-:pJay Function-

>

Identity:

(* Caso em que é dada f(z)

f[z_]

=:

* )

13 = Ta b1e[ParametricP1ot '{Re[f[w[[k]]]) ,Im[f[w[[k]]]]}

I

IEvalnate.

{ LÜ.l} ,DisplayFunction- >IdentityY1otPoints- >50,

AspectRatio-> Autornatic] ,{k,l ,n-1 }]

14 := ParametricP1ot[{Re[f[z1 ]],Im[f[z1]]}

I

/Eva1uate, { t,O,l },

DisplayFunction-> Identity,Plot Points->50,A<>pectRatio->A utomatic]

(* Caso em que são dadas u(x,y) e v(x,y)

u[x ___

.y _j := vlx .v 1 _:~

' ~·' _J

13 : = Tablc[ParametricPlot ~

{ u[Re[w[[kJJI ,Im[w[[k]J]], v[Re[w[[klll ,Im[w[[k]]]]} //Eva1uate,

{ t ,0.1} ,DisplayFunct.ion-> Idemíry,Plot Points- >50,

AspectRatio-> A utomatic; .{kJ .n-1}]

14 := Pararnet.ricP1ot[{ u[Re;z1 jJm[zl j],v[Re[zl ],Jm[zl]]}

I

/Emluate,

{ t ,0. J} ,DísplayFunction->1dentity,PlotPoints- >50.

A:o;pectRabo-> Automatie~

(**********DADOS DE SAlDA**********)

(* Poligonal fechada. *)

Sllow[ll,l2,Display Functíon-> $Display Funct ion]

(* Imagem da poligonal fechada. *)

Show[t~.l4 .Dísplayhmction-.>$DísplayFunction]

Programa 5 ~ Imagem de Triângulos.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

X = { }:

y = {}:

(*** CORPO DO PROGRAMA MAIS ALGUNS DADOS DE ENTRADA ***)

g[a _,b _,c_,d_] := a+t*(c-a) + I*(b+t*(d-b))

m =

vlll)]

+

(xlf2]]-x[[l]])*(y[l3]]-y[[l]J)/(xf13]]-xfll]])

lado[k _]

:= ParametricPlot3D[{Re[g[x[[k]J,yflk]],x[[2]].s]].

Ill.l[glxllkll _{,. tt JJ,,}

,.'•'k'!

_{a i!:} x[[21] _{J '"J ·} oi] O} _{' ., '} {t () 1} {s _{' l.llL-J'} v!f?l'l n1} _:

V iewPoint->{ 0.000,0.000,7 .150} ,DisplayFunction-> Identity]

(* Caso ern que é dada f(z)

fiz -.

'

fiado[k _]

=

ParametricPlot3D[{Re[f[g[x[[k]] ,y[[k]],x[[2]] .sJl!.

Im!f[g[x!_[kj] .}·

::kJ1.x[[2]].s]]j.O} / /Evaluate. { t .0.1}.

*)

{ s,y[[2]J' ,m} .\.iewPoínt-.> {0. 000.0. 000. 7.1.50} .Display:F\mction-

>

Identity)

u[x_y_] =; vfx .v ] _{I - · . -} = : _.

ftado[k _] := ParametricPlot3D[{ u[Re[g[x[lk]J,y[lk]],x[[2]] ,s]], lm[g[x [[k]] ,y[[k]] ,x[[2]] ,s j]], v[Re[g[xffkl] ,y[[k]] ,x[[2]] ,s]],

lrnfg[x[[k]] ,yf[k]] ,xf[2J],slJI ,0} / /Evaluate, {t,O,l }, { s,y[[2]],rn), ViewPoint- > { 0.000, 0.000, 7.150} ,Display Function-> ldentityj

(********** DADOS DE SAlDA **********)

('Triângulo de vértice,, {xLvl}, {x2.y2}, {x:J,y:l}. *)

Show]lado]l] ,lado]3] ,Display Functiou- >$Disp!ay Function]

(* Imagem do triângulo. *)

Show[fiad o[l] ,flado[3] ,Display Func:tíon- >$Disp!ay Frmct íon]

Programa 6 - Imagem de Retângulos.

(********** DADOS DE ENTRADA **********) xü =: vO = : , . xl :::.: .. v] ,--· . x2 =: y') _{' -} = .

_.

x:l = : y3 =: (* Vértice$ do retângulo *)

(* z :=X+ y I f['z _-·-' I:= Caso em é dada f(z) param[ = {Re[f[z]]Jm[f[z]],O} *)

(* Caso em que são dadas u(x.y) e v(x.y)

u[x v ]

~),._ :=

\'ÍX_.y_]

:=

param[:= {

u[x,y]s[x,y].O}

retan :o: ParametricPlot3D[{xy,O}, { x,x0,x2}, {y,y0,y2}, ViewPoint->{O. 000,0.000, 7.150} ,DisplayFUnction-> ldentity'

fretan := ParametricP1ot8D[E\~aJua.te[paramf], { x~x0.x2},

(y,yO.y2} ,ViewPoint ->{0.000.0.000. 7.150}, DisplayFunction-> Identity J

(********** DADOS DE SAlDA **********)

*)

(*Retângulo de vértice,, {xO.yO},{xl,yl},{x2,y2}.{x3,y3} e sua imagem segundo L *)

Programa 7 - Teorema Fundamental da Álgebra.

(********** DADOS DE ENTRADA **********)

n::::;

a:={}

z

1

_x

_{.y ·1 :=}

_x

+

_{I y}

I - " -· ,

f[x_,y_j := Sum[al[ijj*z[x,yJA (i-l),{i,l,n}j fl[x_,y _] := Re[f[x,yjj

f2[x __

,y _] := Im[f[x,yll

gfl [b .. ,c_ ,d _,e __ ] = Plot3D[fl [x,y], { x.b,c }, (y,d,e}, DisplayFunction-> Identity]

gf2[b_,c_,d _,e_] := Plot3D[f2[x,y], {x b,c }, {y,d,e),

Display Function-> Identity]

cl[k

J[b _

.c_,d_

,e_]

:= ContomP!ot[fl[x,y],{x,b.c},{y,d,e}. Cont-ours-

>

{k}, DísplayFunction-

>

Identity,PlotPoints- >50,

ContourShading-

>

False,AspectRatío- >A ut omatic)

c2[k_][b _.c ... d_ ,e_] := ContourPlot[f2[x,y],{x,b,c),{y.d.e}. Contours-> {k} .DisplayFunction-> Identity,PlotPoints->50, ContourSha ding-> False, A"ipect Ratio-->A utomaticj

g[w_] := Sum[a[[i]]*w'(i-l),{i,l,n}] raíz:= NSolve[g[wj = = 0]//Símplify

zeros •= Table[w /.raiz[[k]J, {k,l,n-1} ]//Simplify repraiz := Table[Graphics[{PointSíze[0.05],

Poin[ {Re[w (.raiz[[k]Jí.Im[w /.raiz[[k]J] }] }.Axes-

>

True], {k,l ,n-1)] (********** DADOS DE SAlDA ***"'*'!<****)

(*Gráfico:-, da..s parte~ reol P imaginária de- f uos domínios [à.b;X[cd] e

[t:'J]X(gV.

re:-;pectivarnente. *)

("" Reprt\"ientação das cmvas de nível das partes real(' imaginária de f, nível O. *.)

(* Visualização dos ZPIOS do polinômio. *)

Show[ c 1 [0][-5,5, -5,5] ,c2 [O] [-5,5,-5,5] ,repraiz,

DisplayFunction-> $DisplayFuuction]

(* Lista contendo os zeros do polinômio. *)

Capítulo 2

Abordagem Geométrica dos

Gráficos das Partes Real,

Imaginária e do Módulo de

Algumas Funções Complexas.

Dada u:rna função complexa

f :

G c

a:

--+

a::,

podemos obter trl?s funções de

duas variáveís reais a valores reais) a ela a...:;sociadas\ a saber: parte real R (f). pm·t€'

imaginária I

(f)

e módulo

IJI,

cujos gráficos sãD superfícies em

JR'-Surge, então, a seguinte pergunta:

·~Existe alguma relação, em termos de movi.mt:>nt~ rígidos, entre os gráficos das funções R(f) e I (f)?"

Neste capítulo analisaremos esta questão para alg'lllHt.'l funç'Ões particulare0

e, como será visto\ obteremos resultados intcre.ssantes. S:.:ientamos que os: progra-· ma.r.; aqui presenteB serviram de inspiração para a teoria obtída. pois, com eles. foi

possível \·isualizar os gráficos e as curv~ de nível das hu,\·3es R(f) c f (f) para

<.:8-da fuw;;ão analisa<.:8-da

f-

Além disso fizemos um estudo a t<:::-:.peit o da intersec<,:ão do:::

2.1

Funções Polinomiais da Forma

fn(z) = az11

+

b1 onde a = a1

+

ia21 b = b1

+

'ib2 e n E ::Z". Programa 8- Fig 2.1 a 2.7. Análise da função f3(z) = z3

Figura 2.1: Gráfico e nrrvas de níYel da função R1f3).

- 6 - 4 - 2 0 2 4 6

Fígura 2.3: Gráfico da função R((,)-I(f3) rotadonada de ângulo r. /6 ao redor do

eizo Oz.

Figura 2.5: Gráficos das funções R(f:1) e

lf:d

em urna meBma figura.

É interessante observar~ através da figura acima que existe intersecção entre

R(f3) e if31· Surge então a perguntac

I I

Figura 2.6: Visualização da intersecção dos gr~cm; da<5 flmçõe.;; R(f3) e

lfal-Para compreendermos melhor esta intersecção é int-eressante observarmos o

Figma 2.7: Visualização da projeção no plano Oxy da intersecção dos gráficos das funções H(f,) e

lf:Ji·

Conclusão: A curva intersecção destas superfícies é tal que sua projeção no

plano Ox,v c~ formada por trés semi - reta~. Veremos que o número de semi - rei as

coincide com o grau do polinómio.

Teorema 1. Os gráficos de R(fn) e I(Jn) não são alterados quando girados de

ângulo 2n/n ao redor do eixo Oz.

Dem:

Como a rotHçâo. Ptn torno da origem, de ângulo

e

equh'"'dlP a multiplicação pelo mimero complexo eill. prffi~amos mostrar que R{fn)(z) = R(f₁₁){eí'2;,""' _,)e

I(f,.)(z) = I(f,)(e''; z).

Pondo zn = R(zv)+ I(zn)í, temos que fn(z) = az11 +Ó = (a₁R(zn)-a:;J(z'1 ₎₊

+

hi)

+

i(aJ(::n)

+

a2R(2n)-b2), dondP:

R{j~d\z) = a1R(::n)- azl(zn)

+

b₁ e

I(f,,)(z) = a.1!(z")

+

azR(z")

+

bz.

Teorema 2. O grâfico de l(fn) é obtido pela rotação de 1i/2n, em relação ao eixo

Oz, seguido de uma t.ran.<;lação de (0, O. b2- b1) do gráfico de R(f71 ).

Dem;

Precisamos mostrar que R(f,.)(z) = l(f,.)(e',:·z)

+

b1 - b,. Com as notações do Teorema 1 temos: I {j11 )( e

1

. 2~, z) = alI ( ( e1 ;:, z )11 )+a₂R(( f:'~~. z

Y')

+

b₂ = a₁ I( ü")+a₂R( iz") +b2 = a1 R(z" )-a,I (z" )+b1 +(bz -b1 ) = R(fn )( z )+(b2-bJ).

Uma observaçiiD evidente é que a.s funçií€s R(fn),l(j~) e

lfnl

satisfazem: R(fn)(x,y)

S:

lfnl(x,y) e

I(fn)(x,y)

S:

lf,,l(x,y),

\i(x,y) E

IR

2

Teorema 3. D. d ( _{a o x,y} ) _E

IR'

_{, n x,y -}

IJ I(

) -

R(f )( _{n x,y} )

'*

{ I(fn)(x, _R(fn)(x,y) y) =O _{;:> 0}

Dem:

BaBta observar que

lfnl

= (R(f,,)'

+

I(fn)2)112, \l(x, y) E

IR

2

Pondo z = )z)ei0 , onde() é o argumento principal dez, temos que fn(z) =

=

ia

₁

1zl"

cos ne- o2izlnsennfl

+

b1)

+

i(a1)zjnsennB

+

a2izl" cos ne

+

b2). Assim. R(fn)(x, y) = lfnl(x, y) se, e somente se,

{

arlzlncosn&- a,lzlnsenn8

+

br ;:>O arlzl"senn8

+

axlzl" cosn8

+

b, =O

A seguir vamos explorar o caso a = 1 e b = O.

Afirmação 1.

Dem:

Seni feita por indução nos dois casos.

Para n

=

1 temos R(f,)(x, y)

=

x e I(f,)(x, y)

=

y, donde R(f,)(x, O)

= ,.

e I(f,)(:r, O) =O.

Suponhamos, que para k > 1, tenhamos R(/k)(x, O) = xk e I(/k)(x, O) =O. Então fk+r(z)

=

z'+'

=

zk · z

=

(xR(!k)(x,y)- y!(Jk)(x.y))

+

i(yR(J,)(x,y)+ +xl(fk}(I.'. y))

=

R(fk+r)(x, y) +il(fk+J)(x, y). Assim R(f;~r)(x, O)

=

x · x'

=

xk+l

e J(f,H)(x, O)= O.

Da mesma forma, para n

=

-1, tem-se R(f,)(x,y)

= ,

x ₂ e I(f,.)(x,y)

=

x- +y -y -2 2, donde R(f,.)(x,O) = x· 1 _{e I(f,.)(x,O) =O.} :r

+

y

Supondo que, para k < -1, se terura R(ft)(x,O) = x' e !(!,)(:r, O) =O,

segue que J;.₁(z) = z'-1

=

_{z' · , .. J}

= (

2 x 2R(f,)(x, y)

+

2 y 2.I(f,)(x,

y))

+

X +y X +y

+; (

'-y ,R(fk)(x, y)

+

2 X ,I(f,)(x,

vl)'

= R(/k .. J)(J.'. y)

+

i!(JH)(IC. y). Oll

:r+y :r +y

seja, R(/;.1)(x, O)= x-1 .xk =,;-r e I(J,_1)(x, O)= O.

Afirmação 2. Para todo n E !Z' temos R(f,.)(x, O) =

lf,l(x.

O) para x

2:

O. Além disso,

lf,!(x.O)

= R(f,)(x.O) para todo x se, e somente se. n for par.

R(J,.)(x,O) = IJ,I(a,O) -? x"

=

v'X"'

-? x•"

=

(x", -? x"

2:

O. Temos

que essa última desigualdade é sempre verdadeira para x ~ O; porém ela se verifica para todo :r se. e somente se, r1 é par.

Afirmação 3. l.fn!(O.y) = R(fn)(O. y) para todo y Re. e somente se. existe k E !Z

tal que n = 4J.·

Dem:

Paril n = 4 temos que R(fn)(.r.y) = JA- 6:r2y'l

+

Il'· donde R(f11)(0.y) = v'=

ff,,fiO.

y).

Suponhamos que, para n

=

4k,k >

1,

se tenha

ff,[(O,y)

=

R(f,)(O,y). De

J,,

₄(z)

=

z"+4

=

z" · z4 _{= [(x}4

- 6x2y2

+

y4) • R(f,)(x, y)- (4x3y- 4xy3) · I(f,)(x, y)] +i[( 4x3_y-4x:y3_{)-R(f,)(x, y) + (x}4

- 6x2y2 + y4) ·I (f,)(x, y )], segue que

R(f,H)(O,y) = y' · R(f,)(O, y)

=

y4 -y"

=

y"+4

=

ffn+4f(O,

y).

x4 _ 6x2y2

+

y4

Por outro lado, se n

=

-4 temos R(f,)(x, y)

=

(

₂ ' ) ' , donde

X

+

y

R(f,)(O,y) = 1;-4; e, supondo para n = 4k, k

<

-L[f,f(O,y) = R(f,)(O,y), de

fn-·4(z) = zn-4 = zn. z-4 =

(

x4 - 6x2y2

+

y4 4xy3- 4x3y )

= (x'

+

y')' R(f,)(x, y)- (x'

+

y')' I(f,)(x, y)

+

(

4xy3 - 4x3y x4 - 6x2y2

+

y4 )

+i

1

·

_x 2

₊

_{y )'} 2 , R(f,)(x, y)

+

( ,

_x.··

₊

_y-

'')'

I(f,)(x. y) .

segue que R(f,.4)(0. y) = y"-4 =

IJ,_,f(O,

y)[.

(~) Dado z

=:r+

iy, segue que :r= J1:2

+

y'lcosB e y = Jx2

+

y2seu().

onde O

:Se<

21t. Se :r= O então eosO

=o,

donde B = 1rj2 ou B = 37tj2.

- { 1(!,)(0, y)

=o

Por outro lado. de [/,[(0, y)- R(f,)(O, y), temos que R(f,)(O, y) 2 0 =? { senne

=o

eos nf:J

2:

O sermB =O =;- nB = b:. mskn 2 O =;- (-1)' 2 O=:. k = 2k', k' E JZ. . { {) = n/2 e B = k'2n/rt ou Assuntemos () = 37f/2 e

e=

k'2~/n

logo. exi:z;te p E Z: tal que n = 4p.

Afirmação 4.

lfnl(:r,

y) = R(fn)(x, y).x #O se, e somente se, y = tgk 2"' J:. onde

n

À2í./n é o o.rgulllento de ,r+I;tJ e k = _{O)L ... 1 n-1 se n >O ou h·= n·+} l,n+2 .... ,O para n

<

O.

Dem:

ne.ste caso, temos x

#

O. segue que y = igk2w j n x, onde k varia como acima. pois

o

:c:

e

<

2r,.

( .ç:::) Imediata.

Assim, vemos que o gráfico da funç:âo

lfnl

fica por sobre o gráfico de R(fn), tangencíando--o ao longo de alguns semi - planos . Temos, também que o número de semi - planos coincide com o grau do polinômio.

2.2 Funções Exponenciais da Forma

f(z) = EJcp(az

+

b) onde

a

=

a1

+

ia2 e b

=

b1 +i~ são números complexos.

Programa 9 - Fig 2.8 a 2.13.

Análise da função f(z) = Exp(z)

-4 -2

o

2 4

Figura 2.9: Gráfico e curvas de nível da função I(f).

-4 -2

o

2 4

Figura 2.11: Gráfico e curvas de nível da função

I fi.

' i I I

i

i i

Figma 2.13: Visualização da intersecção dos gráficos da.s funções R(f) e jfj.

i

't

_I

1

---,---figura 2.1-1. Visualízação da projeção no plano Oxy da intersecção dos gráficos das

Afirmação 5. Srjn g : l f - (['dada por g(z) ~ Exp(z). Então R(g)(x. y) = = I(g)(x. y+JC/2), isto é, o gráfico de J(g) é obtido pela translação de (O, nf2. O) do gráfico de R(g).

Dem:

Ba.ota observar que R(g)(x,y) = e'cosy,I(g)(x,y) = c'scny c que sen(y

+

rr/2) = cosy.

Teorema 4. Sejam J,g,h: l f - lf e Ç E 1R tais que R(!)(z) = I(f)(h(z))+ +Ç.h(z)

=

cz + d,

lei

=

l e g(z)

=

az +h, a

f

O. Então, se t

=f

o g, existem

J: l f - (]7 e~ E IR tais que R(t)(z) = I(t)(.i(z))

+~-Dem:

R(t)(z)

=

R(f)(g(z)) = I(f)(h(g(z)))

+

Ç =

=

I(J)(g(g~1(h(g(z)))))

+

Ç = I íf)(g(J(z)))

+

'I = I (t) (j( z)! + '1· onde j = g ~ 1 o h o g e 'I = Ç.

Pondo g(z) = Exp(z ), h(z) = az

+

b, a

f

O, t(z) = z +in /2 e

f=

goh. ternos que R(g)(z) = I(g)(t(z)), donde R(f)(z) = I(J)(j(z)), onde j(z) = z

+

i7r/2a

Neste caso temos queR(f)(x, y)

=

e""-a,y+br cos(a₁y+a₂x+b_{2 )} e I(f)(x, y)

=

= ea1_x-azy+b1sen(a

1y

+

a2:r

+

b2) onde a= a1

+

ia2 e b = b1

+

ib2.

Afirmação 6. R(!)(x, y) =

!fl(x,

y) ç; a1y

+

a,.x

+

b; ~ k2;r, k E !Z, isto é, a

pro jeçào da curv'd intersecçã.o no plano Oxy são retas paralelas.

Dem:

Segue do Teorema 3 que R.(f)(x.y) =

lfl(x

y) ç; { R(f)(x, y)

2:

0 ç;

· ' I(f)(.xy)=O

{:;;} cos(a1y+azx+b2) ~O e sen{aly+azx+bz) =O # a1y+a2x+bz = k2n, J.· E

z;.

Como as funçõe.:; .seno(' coseno são 27r-periôdica<;, podemos tomax b2 E [0. 2n}

2.3 Transformações de Moebius

-

-Dados a, b, cedE <L' satisfazendo ad- bc

i

O e c

i

O, seja

f'

([? ~ if dada por

az+b d

cz;td

z

f--

c

f(z) = _{Z = X} c

00 z = -d/c

onde a = al + úl2_ b = bl

+

ib2. c= c1

+

'ic2 t d = dl - id2.

Programa 10- Fig 2.14 a 2.19 .

. . (1-i)z+l

Análise da funçao f(z) = ( .) '

1

+

z z

Figura 2.17: Gráfico da função R( f)- I( f) rotacionada de ângulo -1f/2 ao redor do

eixo Oz e transladada do vetor (0,0,-1).

Figura 2.19: Gráficos das

funções

R(

f)

e

lfl

em uma mesma figura. -6 -4 r~ i

-7.5

/

ll·-f

o.$

_________________ ---.;

____ _

"1.5-1 -0.5: 0.5 1

-0.~

!

-i

i

-d

-3 -2

-4

-4

-6

' -8

Afirmação 7. Obtemos o gráfico de !(f) aplicando ao gráfico dt~ R (f) a seguinte

srquéncia de movirnent os rígidos: translação de (R( d/ c)+ I (di c), I (d/ c}-- R( d /c), O)_

rotação de -n/2 ao redor do eixo Oz e translação de (O, Q_ I(ajc)- R(

a/c))-Dem:

Basta observar que R(f)(z) =I( -i[z+R(d/c)+I(d/c)+í(I(d/c)-R( d/ c))]+

R( a/c)- I(

a/c)-Afirmação 8. Os gráficos dP. R(f) e

lfl

se interseptam ao longo de curvas cuja projeção no plano Oxy são retas, semi- retas, círculos ou partes dE'.stes.

Dem:

Pondo a = a1

+

ia2- b = b1

+

'ib2. c= c1

+

íc2 e d = d1

+

íd2 temos:

J(f) ( x, y) = [ ( a,c, -a, c,)x2

₊

_(azc

1 - a,c,)y2

+ (

a,d1 - a, dz

+

b2c1

-h

c2)-x

+

(a1d1 + u2d'2 - b2c2 - b1c1 )y

+

b2d1 - b1d2]/lcz

+

di

2 e

R (f) (x-y) = [(a1c1

+

a,c,)x2

+

(azcz +ar Cr )y2

+ (

a1 d1

+

a,d,

+

b1 c1

+

b2c2)x

+

(a1d2 - a2d1

+

b2c1 - b1c2)y

+

b1d1

+

b2d2]/icz

+

d[2 Assim, fazendo e1 = a1c1

+

a2c2

h=

a1d1

+

a2d2

+

b1c1

+

b2c2 91 = -a2d1

+

a1 d2 - b1 c2

+

b2c1 h, = b\dl

+

b,d, " 2 ir =

fí

+

9t - -ktfr e2 = azc1- a1c2

fz

= azdi- a1d2

+

bzcr- b1c2 92 = a1d1

+

azdz- b1c1- bzCz

h,= b,d,- b,d,

. 2 2

zz =

!

₂

+

g_{2 -} 4ezhz

segue do Teorema 3 que R(f)(x, y) =

1/l(x,y)

<9

S . { e1x

2

₊

e1y2

+

hx

+

9tY

+

h1 ~O

.

ezx

'

+

ezy

' f

+

zX

+

9zY

+

I lz =O

Análist' da.':i equaçõe;:; do si~tema S:

{ h, ::

o

fr = g, = O h,

<

O x:O-hr/h X :'Õ -h

r/

f1

e,

i

O ez =O

Seja c₁ o círculo de centro (x_{1 ,} y_{1 )} e rB.io _{T1 ,}

onde ::r1 = -h/2e1,yt = -gtf2e1 e r:=~

Íj

>o

{ e1

>O

exteríor de c1

e1 <O interior de c1 Í1

<o

_rP

h=

92

=o

{

h, =0

_h,#

_o

IR'

rP g,

f

o

=>

y =(-h,- fzx)jg, 9z

=O

=>

X=-h,jf,

Conclusão:

Seja c2 o círculo de centro {:r_{2 ,} y₂₎ e raio r2,

onde ;r2 =· - h/2e2, Y2 = -g2/2e.2 e r2 =

JT2

iz<O

1>

Segue da..<; três categorias de funçõe."l até aqui estudadas que, se

f

é uma tal flmção,

R(f)(z) = I(fl(e"z

+

b)

+f,.

onde f, E JR b E 11' e

e

E iO, 27f).

Para o caso das funções trigonométricas, f(z) = senz e g(z) = cos z, onde:

R(f)(x, y) = coshy senx

I(f)(x, y) = cosx senhy

R(g)(x,y) = cosx coshy

I(g)(x,y) = -senx senhy

o cornportamento das funções hiperbólicas reais impede que a relação acima citada se verifique para essas funções.

Programa 11 - Fig 2.20 a 2.25.

Figura 2.22: Gráfico e curvas de nível da fnnção R( f).

-4 -2

o

2 4

Figura 2.23: Gráfico e curvas de. nfvel da fnnção I( f).

2.4 Programas do Capítulo

Programa 8. (**********

DADOS DE ENTRADA

**********) al =; a2 =; bl =; b2 =·; n =;

a :~ al

+

a2 I b := bl

+

b2 I

fi:=

Pi/(2*n)

rü ;:::;::- 2*Pi/n

Rot

[x _

,y

_,][c_]

= { {

Cos[c],-Siu[c]}, {Sin[c] ,Cos[c]J} { { x

},{y}}

f[x_,yJ :~ a*(x

+

y

W

n

+

b

fl[x_,y _]

~

Re[f[x,y]]

f2[x_,y _] :~ Im[f[x,y]]

Rotfl [x _

,y _ _] := f! [Rot[x,y] [ni][[LJ]] ,Rot[x.y] [ni]

[[2, 1]]]

Rotf2[x _ ,Y _] :~ f2[Rot[xsi[ni][[l,1Jl .Rot[x.yJiniJ[[2,

llll

f2rn[x_,y _j := f2[Rot[x,yj[fiJI[l,l]j,Rot[x,yJifiJí[2,l]]J+ (bl- b2)

gfl [d __ ,e_

,f_

,g_] := Plot3D[fl [x,y], { x,d,e} ,{yJ,g},

DisplayFunction-

>

ldentity J

cnfl[d_ ,e_ ,f_,g_] :=

ContourPlot[fl[x,y[,{x,d,e},{y,f,g}.

DisplayFnnctíon-

>

Idcntity]

gt2[d _,e_ ,f_ ,g_] := Plot3D[f2[x,y], { x,d,e}, {y,f,g},

Display Fundion-> ldentity]

cnf2[d_ ,e_ ,f

_,g_]

:~ ContomPlot[f2(x,y],{ x,d,e },{y,f,g},

DisplayFunction-> Identi(v]

grnf(d_ ,e_ ,i_

,g_]

:= P!ot3D(Abs(flx,y]],{x,d,e },{y,i,g),

Display I<linction-

>

ldentityj

cnmf[d _,e_ ,i __

,g_]

:= ContourPlot(Abs[f(x,y]], { x,d,e}, {y,i,g},

DispbyF unct ion-> ldentity;

cl[k_]!d .e ___ J __ .g __ j :=-~ ContomPlot(fl[x.y].{x,d,c},{yJ.g}.

Contours- > {k

J,

ContourShading- > False,PlotPoints- >50,

Aspect Rm i o-> A ut owa ti c .Dü;;playFunction-

>

Identity]

c2[k __ j[d

_,e_J

_,g_] :~ ContourPlot[f2[x,y].{x,d,e),{y,f.g}.

Contours~

> {

k}, ContourShading-> False,PlotPoints->50: Aspect.Ra tio-> Automa tíc,DisplayFunct.ion-

>

Identíty]

Gont our.s- >

{k},

GontomSlwdíng- >F abe. Plot Points- >50. Aspect Ratio-- >A utomatic,Display Function-

>

Ident ity]

h[d_.e_] := {t d.t e}

hl[d __

,e_]

:= {t d,t e.Abs[f[t d,t

e]]}

xl := (k 2 Pi)/n

l[d_j := Tablc[ParametricPlot[h[d Cos[xl],d Sin[xl[]//EYaluatc.

{ t ,OJ} .Plot Points- >50.AspectRatio- > Automatic. Display Function- > !dentity], {k,O,n-1}]

11 [d _] := Table[ParametrícP!ot3D[h1[d Gos[xl],d Sin[x1]]//Evaluate, { t,O,l} ,PlotPoínts- >50,AspectRatio- >Automatic,

DisplayFlmctíon-> !dentity], {k.O.n-1}]

(**********

DADOS DE SAlDA

**********)

(* Gráfico da função R(fn). *)

Show[gfl [-6,6,-6,6] ,DisplayFunction-> $Display Functiou] (* Visualizaçào das curvas de nível da função R(fn). *) Show[cnfl [-6,6,-6,6], DisplayFuuction->$DisplayFuuction]

(*

Gráfico da fuução diferença entre as funções R(fn) e R(fn) girada de àngulo 2 Pi/n ao redc:>r do ei'(o z. *)

Plot3D[fl[x,y]- Rotfl[x,y],{x,-6,6},{y,-6,6}] (* Gráfico da função !(fn). *)

(* Visua.liza<,.·ão da.s curva.s de nível da função I(fn), *)

Show[cnf2[-6,6,-6,6], DisplayFunction- >$DisplayFunction]

(* Gráfico da função diferen<,.ca entre as funções I(fn) e I(fn) girada de ângulo 2 Pi/n ao r(~dor do eixo z. *)

Plot3D[f2[x,y]- Rotf2[x,y],{x,-6,6},{y,-6,6}]

(*Gráfico da função diferença entrf' a.~ funç6es I(fn) e R(fn) depois do movimento rígido de_scrito no texto. *)

Plot3D[fl [x,y]-f2rn(x,y], ( x,-6,6}, {y,-6,6}]

(*Gráfico da função

lfni.

*)

Show[gmf[-6,6,-6,6] ,Disp!ay Function- >$Display Function]

(* Visualização das curvas de nivel da função [fui,

*)

Show[cnmf[-6,6,-6,6] ,DísplayFunction->$DisplayFunction]

(* Visualização da curva de rúvel da fw1ção R(fn), rúvel p. *)

Show [c 1

[p

1 [-(.1.6 .-6

.ü:

.DispJayF uncho11- >SDbplo.y Fuuct ion}

(* Visualizaç:üo da curyu de nível da funçâo I(fu) nível p. *)

Shmv[c2[pj [-6,6,-6 ,6] ,DisplayFunction- >$Display Function]

Show[c3~>] [-6,6,-6,6] ,Display Function-

>

$DisplayFunction]

(* Gráficos das funções R(fn) e jfnl em uma mesma figura. *)

Show;gfl [ -4,4. -4A ].giHf[-4, 4,-4 ,4] ,DísplayFtmction-> SDisplay funct ion]

(* Visualização da projeção no plano Oxy da intersecção dos gráficos das funções

R(fn) e lfnl. *)

Shmv[l[4] .DisplayFunction- >$DisplayFunction]

(*Visualização da intersecção dos gráficos das funções R(fn) e lfnl. *)

Shm~·[ll [4J.Displa~'Function-

>

$DisplayFunction,Axes-

>

None. Boxed-

>

False]

Programa 9. (********** DADOS DE ENTRADA **********) al =: a2 =: bl =: b2 =:

(*** CORPO DO PROGRAMA. PRlMEIRA PARTE ***) a := al

+

I a2

b := bl +I b2 z := x _..__ I

r

f[zJ

:=

Exp[a z + b]

F2[z _)

:~

Im[qz)J

f2m[zJ :~ f2[z +I Pi/(2*a)]

gfl[c _ ,d -·,e_ ,gJ := Plot3D[fl[z],{x,c,d },{y,e,g),DisplayFunction->ldentity] cnfl [c_ ,d _,e_

,g_]

:~ ContourPlot[fl[z], { x,c,d},{y,e,g) ,Disp!ayFunction- > ldcntity] gf2[c _ ,d -·,e_ ,g_] := Plot3D[f2[z] ,{ x,c,d},{y,e,g) ,DisplayFunction-> ldentity] cnf2[c _ ,d _,e __ ,g_] := ContourPlot[f2[z] ,{ x,c,d}, {y,e,g} ,Disp!ayFunction- > ldentity] gmf[c _ ,d _.e __ ,g_] :~ Plot3D[Abs[f[z]J,{x,c,d} ,{y,e,g),DisplayFunction- >ldentity] cnmf[ c_, d _,e_ ,g_] : ~ Contour Plot[Abs[f[zJ], { x, c, d}, {y,e,g}, Display Fm1ction- > ldentity] cl[k_J[c_,d_,e_,gJ := ContourPlot[fl[z],{x,c,d},{y, e, g},Contours->{k).

ContourShading~ > Fa.lse .Plot Points- >50.AspectRatio-> A ut oma.tic.

Dü;play Function-

>

Identity]

c2[k_][c_,d_,e_,g_] := ContomPlot[f2[zJ,{x,c,d),{y, e, g),Contours->{k},

Cont.ourShading-

>

False ,PlotPoints-

>

50.Aspect.R.atio->A utomatic\

DisplayFunction->ldentity]

c3[k _][c_,d_.e _

,g_]

:= ContourPlot[Abs[f[z]],{x,c,d),{y.e.g).Contours->{k),

ContourShading-

>

Falsc1PlotPoints-> 50,AspectRatio->A ut omatic,

Display Function-

>

Identity]

(********** DADOS DE SAlDA **********)

(* Gráfico da fnncâo R(f). *)

S how [gfl [-6, 6.-6. 6] , Displ a y Funct.ion-

>

$DiDp lay Function]

Show[cllfll-li.ü.-6 J}~ J)isplay Function->$Display Funct íon:

(* Gráfico da função l(f). *)

(* R.epn?.sPntação da.;; curva-; de nínd da função I(f). *)

Show[cnf2 [-6.6A.i.6] .DisplH.y Funct ion-> $Disp]ay Puuction]

(* Gráfico da função diferença emre as funçôes I(f) e R(f) depois do movimento rígido df',.s.críto no texto.

*)

Plot3D[fl[z]-f2ru[z], { x,-6,6}, {y,-6,6}]

(* Gráfico da função 1~- *)

Show[gmf[-6.6 ,-6.

6]

.DlsplayFunct.ion-> $DisplayFunction]

(* Representação das curva..'.; de nível da função lf). *) Shm'-'[ cnmf[-6. 6 .-6,6] .DisplayFunct ion- >$DisplayFunct íon] (* Representação da curv-a de rúvel da função R(f), nível p, *)

Show[cl [p) [-6,6,-6,6] ,DisplayFunction->$Display Function]

(*Representação da curva de rúvel da ftmção I(f), nível p, *)

S!1ow[c2 [p ][-6,6 .-G.Gj .Dísp]ayFunct ion-

>

$Display Functíou]

("' Representação da curva de nível ela função

I fi.

níwJ p. *)

Show[

cJ[pJ

H5, G. -6. 6}. Display.Function-

>

$Displa.vFunct ion}

Show[gfl

H

,4 ,-4.4] ,gmf[-4,4,-4 ,4],

DisplayF unction-> $DisplayFunctíon]

(***CORPO DO PROGRAMA- SEGUl'iDA PARTE***)

(*

Caso ali O

*)

gl[cJ = {t,(c 2 Pi-a2 t-b2)/al)

ll[d _ ,g_l := Table[PaxametricPlot[gl[k]/ /Evaluate,{t,d,g}, Displayfunction-

>

Identity,AspectRatlo->A utornatíc, PlotStylc-> Thickness[0,02]] ,{k,-2,2 }]

g2[c_] ={t,(c 2 Pi-a2 t-b2)/aLAbs[f[t+l (c 2 Pi-a2 t-b2)/al]]} l2[d _ ,g_J := Table[Pa:rametricPlot3D[g2[k]//Evaluate, { t,d,g},

Displayf unction-

>

Identity1Aspect Ratio-> Automatic], {_k,- 2. 2}]

(* Casoal =O *)

g3[c_]:= {(c 2 Pi-b2)/a2,t}

ll[d __ ,g_j := Table[ParametricPlot[g3[kJ//Evaluate,{ t,d,g), DisplayFunction-

>

Identity1AspectRatio-

>

Automatic,

PlotStyk-> Thickness[O 02j],{k,-2,2}]

g4[c_] :={(c 2 Pi-b2)/a2,t,Abs[f[(c 2 Pi-b2)/a2+l t]]}

12[J _ ,g __ : :co~ Tah1c[ParametricPlot 3D[g4fk]/ /EYaluate,{ t .<Lg}. Display F unrt ion-> ldent íty_Aspect Ratio-

>

Automatic]. {k.- 2.2} j

(* Representaç-ão da projeção no plano Oxy da intersecção do." gráficos das hmçôes R( f) e

I

fi-

*)

Shmr[ll ( -4. 4j :DisplayFunction- >$Display Function]

(* Reprr_senta\·ão da intersecção dos gráficos das funçÕe.'i R( f e

lfi-

*)

Show[l2 [~4A] .DisplayFunction- >$Display Function,Axe,s-- > :\ Lt:. '':.Boxed- >F alsc]

Programa 10. (********** DADOS DE ENTRADA **********) al =; a2 =; bl =: b2 =; c!= : c2 =• : dl =: d2

=:

a = a.l

+

a2 l; b = bl

+

b2 I; c= c1

+

c21; d = dl

+

rl2 I: a d- b c!= O

(***CORPO DO PROGRA~IA- PRülEIRA PARTE*"

fi := - P . ··-lj L

z[x_,y_] :=x+yl

f[x __ ,_y_J :"'"'-(a zl:-<1:]-+- b)/(r zj-x,y] i" d)

fHx .v 1 ·:::- Rt>Wx.vJl

l ·-··· _ ] c' ',)

Rot[x_ ,y _] :={ { Cm[fi],-Sin[fi]}, { Sin[fi], Cos[fi]}

H {

Re[zl [x .

.V:

j. {lm[zl [x,y]]}) f'2rn[x_,yj := f2[Rot[x,yJií1,1Jl,Rot[x,y][[2,lliJ

+

(Re[a/c] -lm[a/c])

gfl [g_ ,h_ ,i_ ,j _] := Plot3D[fl [x,y],{x,g,h}, {y,íJ} ,Dísplayl'Unction-> ldentity] c:nfl[g_ .h_)_ j_] := ContourPlot[fl[x,y].{x,g.h),{y,i,j).

DisplayFundion-> Identity]

gf2[g_ ,h_ ,i_ ,j_] := Plot3D[f'2[x,y] ,{ x,g,h) ,{y,ij },DisplayFunn íon-> Idc:ntity] cnf2[g_ ,h_ j

_,L]

:= ContourPlot[f2[x,y],{x,g,h},{y,i,j),

DísplayFunction- > ldenti

ty]

gmf[g_,h_,i

_,j_j

:= Plot3D[Abs[f[x,y]],{x,g,h},{y,ij},

DisplayFunction-> Identity]

cnmf[g ... h_ .i_ ,j_] := ContourPlot[Abs[f[x.y]], {x,g,h },{y.i.j). DisplayF\mction- > ldentity]

Cl[k_][g_,h_,i_

j_]

:= ContourPlot[fl[x,y],{x,g,h),{y,ij}. Cont ours- > {k} ,Plot Points- >50, ContourShading- > False,

Aspect Ratio- >A utomatic, Display Function-> Identíty]

C2[k _][g_ ,h_ j_ ,j_j ;cc ContourPlot[f2[x,y], { x,g,h}, {y,i,j}. Contours-> {k} ,Plot.Points- >50:ContourShading-> False, AspectRatio-> Automatic,DisplayFunction-> Identity]

C3[k_J[g_ ,h_ ,i_

j_]

:= ContourP!ot[Abs[fjx,y]],{x,g,h},{yjj), Contours- > {k} .Plot Poínts- >50, ContourShading- > False,

AspeetRatio->Automatic,DisplayFunction->IdentityJ

(********** DADOS DE SAIDA **********)

("' Gráfico da fun(,'ão R( f). *)

Shov,·[gfl [ -6,6_.-6.6] ,Díspla~-Funct íon- >$Display Funct ion}

("' Representação das curvas: de nível da função R( f). *)

(* Gráfico da fum;ão !(f). *)

Show[gf2[ ~6 .6A>.6], Display Function-

>

$Dit>playFunct ion]

(* ReprrBentação das curvas de nível da função !(f). *) Show[cnf2[-6,6,-6,6],DisplayFunction->$DisplayFunction]

(* Gráfico da função diferença entre ru; funções !(f) e R(f) depois do movimento rígido descrito no texto.*)

Plot3D[fl [x,y]-f2m[x,y], { x,-6,6}. { y. -6,6}]

(*Gráfico ela função [fj. *)

Show[gmf(-6,6,-6.6] ,Display Function- > $Display Func:tion]

(* Represe . .ntação das curvas de nível da função [f[. *)

Show[crunf[-6,6.-6,6], DisplayFunction->$DisplayFunction]

(* Representaçâo da curva de nivel da funçãcJ R(f)1 nível p. *)

Shmv[ C 1 [r>] [-6,6 .-6,6j.DisplayFuncr ion-> $Display Function]

(* Representaçc'io da curva de nín'l ds função I(f). níYe] p. "'

Shm\·fC'2/p] i-G. 6. -6, 6], DisplayFuncriou-> SDisplayFunctiou]

Show [ C3[ 1] [-6.6 ,-6 ,G].Díspl"yFnnction- > $DísplayFunct íon]

(* Gráficos da_-; funções R(f) e

lfl

em uma mesma figura. *)

Show[gfl [-4, 4,-4,4] ,gmf[-4,4, -4,4], Dísplay Funetíon- >$DísplayFunct íon]

(*** CORPO DO PROGRAMA- SEGUNDA PARTE***)

c! :~ a! cl+a2 c2 fl :~ al dH-a2 d2+bl cl+b2 c2 gl :~ -a2 dl+al d2-bl c2-rb2 cl h! := bl dl+b2 d2 ÍJ :=fiA 2+gJA 2-4 e) hJ e2 :"" a2 cl-al c2 f2 := a2 dl-a! d2-cb2 cl-bl c2 g2 := al dl+a2 d2-bl cl-b2 c2 h2 := b2 dl-bl d2 i2 :~ !2' 2+g2A 2-4 e2 h2 pl :~{eLfl,gLhLil} p2 :={e2,f2,g2,h2,i2}

(* Duas listas contendo {el,fl,gl,hl,il} e {e2,f2,g2,h2,i2}, respectivamente. *)

pl

p2

(* Caso (el =O) e (gl

i'

O) *)

rgl[h_.U := ParametricPlot[{t,(-hl-fl t)/gl},{t.b.i}, Aspcct R.a tio--> A utomat ic.Plot.Style-

>

Thickness[O. 02].

Di~play Funct ion-

>

Identity]

g[m~ .nJ[eJ:= {m,nH*e}

![h~ j _] :=Table[ParametricP!ot[g[k,(-hl-fl *k)/ gl][5*gl/ Abs[gl]J / /Evaluate,

{ t ,O, 1) ,Display Function-

>

ldentity], {k,h,i} J

(*

Casu (el =O) e (gl =·O) *)

rgl[h _,i_] := ParametricP!ot[ { -hl/fl,t },{ t,h,i}, AspectRatio- >A ut omat.ic,PlotStyle->Thickncss [0.02],

DísplayFunn ion-

>

ldentity]

g[m_,n_J[e_]:= {m+t*e,n)

l[h _,i_] :=Tab!e[ParametricPlot[g[-hl/fl,k][5*fl/ Abs[fl]]/ /Evaluate, { t ,0, 1) ,DisplayFunction-

>

ldentity], {k,h,i}]

(*

Caso (el >O) e (il >O)

xl = -fl/(2 cl)

yl := -gl/(2 el)

r] := Sqrt[il]

g[m_.n_l:= {t*m.t*n}

*)

circulo:= ParametricPlot[{xl+rl Cos[t],yl+rl Sin[t]},{t,0,2 Pi}, PlotStyle-> Tlückne..s.s[O.O I] ,Aspect Rat i o-> A ut oma1 i c,

Ditsplay Funct i ou-> Identity]

ri] :::c.- Tabk[ParametriC'Plot[g[xl+rl Cos:[k],yl+rl Sín[k]J/ /EYaluate,

{ t ,1,4} ,AspectRati()-> Automatlc,DisplayFunct.ion-

>

Identityj, {k,0,6,0.5}]

I*

I Cam (el <O) e (il >O)

xl := -fl/(2 el) yl := -gl/(2 el)