Unidade9 Centro Massa Mom Linear

Centro de Massa e Momento Linear

Prof. Eduardo Fuzer Rosso

Centro de Massa

Prof. Eduardo Fuzer Rosso 22

Definimos o centro de Massa (CM) de um sistema de partículas para podermos prever com mais facilidade o movimento do sistema.

Portanto o centro de massa de uma sistema de partícula é o ponto que se move como se toda a massa do sistema estivesse concentrada nesse ponto e todas as forças externas estivessem aplicadas nesse ponto.

Centro de Massa

1. Sistemas de Partículas:

Na figura temos duas partículas de massa m₁ e m₂ separadas por uma distância d. Escolhemos de forma arbitraria que a partícula m₁ é a origem do eixo x, a posição do centro de massa (CM) desse sistema de duas partículas será:

x

=

m

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Na figura novamente temos duas partículas de massa m₁ e m₂ separadas por uma distância

d. O sistema de coordenadas foi deslocado para a esquerda. A posição do centro de massa

é agora definida como:

Podemos escrever essa equação para um sistema de mais de duas partículas, ou seja uma situação geral onde temos n partículas. Portanto

x

=

m

x

+m

x

m

+m

M=m

+m

+

.. . +m

:

x

=

m

x

+m

x

+m

x

+

.. .+m

x

M

X

=

1

M

∑

m

x

x

=

m

x

+m

x

M

, onde M = m

+m

Centro de Massa

Se as partículas estão distribuídas nas três dimensões, então ao invés de x_CM teremos r_CM, assim: Portanto:

⃗

r

=

1

M

∑

m

⃗

r

;

⃗

_r

_=x

^i +y

^j +z

^k ;

⃗

_r

_=x

^i+y

^j +z

^k.

x

=

1

M

∑

m

x

;

y

=

1

M

∑

m

y

;

z

=

1

M

∑

m

z

.

Centro de Massa

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Agora se tivermos um corpo maciço, como um taco de beisebol. O taco contém muitas partículas e, assim, temos que aproximá-lo como uma distribuição continua de massa. Nestes caso as partículas se torna elemento infinitesimais de massa dm, assim, as somas se tornam integrais.

Centro de Massa

Exemplo: Três partículas de massas m₁ = 1,2 kg, m₂ = 2,5 kg e m₃ = 3,4 kg formam um

Centro de Massa

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Exemplo

As três partícula da Figura estão inicialmente em repouso. Cada uma sofre a ação de uma força externa devido a agentes fora do sistema das três partículas. As orientações das forças estão indicadas e os módulos são:

Qual é aceleração do centro de massa do sistema e em que direção ele se move?

Momento Linear

O momento linear de uma partícula é uma grandeza vetorial definida pela expressão:

onde m é a massa da partícula e v a velocidade da partícula. O momento e a velocidade tem a mesma orientação. A unidade é o Kg . m/s. Newton expressou a sua lei através do momento, ou seja:

⃗

p

∑

_F

⃗

=

d ⃗p

dt

.

O momento linear de um sistema de partícula: quando temos um número n de partículas e cada com sua respectiva massa m, velocidade e momento linear.

Portanto, temos:

⃗

P=⃗p

+ ⃗

p

+ ⃗

p

+

.. .+⃗p

⃗P =m

⃗

v

+m

⃗

v

+m

⃗

v

+. . .+m

⃗

v

⃗

p=m ⃗v

⃗

P=M ⃗

v

⃗

F

=

d ⃗P

dt

.

Colisão e Impulso

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O momento de qualquer corpo (que se comporta como partícula) não pode variar, a menos que uma força externa atue sobre o corpo. Podemos fazer que o corpo colida com algo. Como exemplo uma bola que colide com o taco de beisebol.

Colisão e Impulso

Vamos discutir um tipo de colisão simples na qual um corpo que se comporta como partícula (um projétil) colide com outro objeto (um alvo). Como exemplo temos um bola (que será o projétil) colide com uma taco (que é o alvo). A colisão ocorre em um intervalo de tempo pequeno, mas suficiente para alterar o movimento. Portanto a bola sofre ação de uma força que irá mudar o momento linear da bola. Aplicando a segunda lei de Newton para o momento:

Obtemos a equação para o impulso da colisão que é representado por

E a variação do momento de uma objeto é igual ao impulso exercido sobre o objeto:

∑

_F

⃗

=

d ⃗p

dt

.

⃗J :

⃗

J =

∫

⃗

F

(

t

)

dt .

Δ ⃗

P=⃗J

Colisão e Impulso

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Como a é uma função, podemos calcular integrando a função. Se temos um gráfico de em função de t, o calculo de será a área entre a curva e o eixo t.

Tera casos que conhecemos o módulo da força média, e a duração do tempo da colisão, assim, o impulso será calculado por:

Colisões em Série: quando um corpo sofre uma série de colisões iguais.

A letra n é o número de projéteis que irão colidir com o alvo, e o sinal negativo indica que J e

Δt têm sentidos opostos.

J=F

Δt

J=−nΔp

⃗

F

(

t

)

⃗J

⃗F

_⃗J

Colisão e Impulso

Combinando as equações temos:

Para um intervalo de tempo Δt, uma quantidade de massa Δm = nm colide com o alvo. Assim:

J=F

ΔteJ=−nΔp

F

=−

n

Δt

mΔv

F

=−

Δm

Δt

Δv .

Exemplo: Quando um carneiro montês se choca de frente com outro macho, a taxa com a qual sua velocidade escalar se anula é muito elevada. A figura ao lado, mostra um gráfico típico da aceleração a em função do tempo t para um choque desse tipo, com a aceleração sendo tomada como negativa para corresponder a uma velocidade inicialmente positiva. O módulo máximo da aceleração é 34 m/s2 _{e a duração da} colisão é de 0,27 s. Suponha que a massa de um carneiro é

90.0 kg. Qual são os módulos do impulso e da força média

Colisão e Impulso

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Conservação do Momento Linear

Suponha agora que tenhamos um sistema isolado, ou seja a força externa resultante que age sobre um sistema de partícula seja zero e que nenhuma partícula entre ou saia do sistema (sistema fechado). Assim, temos

Se um sistema de partículas não está submetido a nenhuma força externa, o momento linear total do sistema não pode variar.

Esse resultado é a lei de conservação do momento linear, e pode ser escrita como

O memento linear total em um instante inicial é igual ao momento linear total em um instante posterior.

Exemplo – Explosão unidimensional: Uma urna de votação de massa m = 6,0 kg desliza

com velocidade v = 4.0 m/s em um piso sem atrito no sentido positivo de um eixo x. A urna explode em dois pedaços. Um pedaço, de massa m₁ = 2,0 kg, se move no sentido positivo

do eixo x com v₁ = 8,0 m/s. Qual e a velocidade do segundo pedaço, de massa m₂?

⃗

F

=0

d ⃗p

dt

=

0→ ⃗P=0

⃗P

⃗

P

=⃗

P

Momento e Energia Cinética em Colisões

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Nas colisões e interessante conhecermos a energia cinética total de uma sistema de dois corpos que colidem. Queremos saber se a energia cinética total irá se conservar, para isso temos dois tipos de colisões.

i) Colisões Elástica: é quando a energia cinética total não é alterada pela colisão, a energia cinética do sistema é conservada (é a mesma antes e depois da colisão);

ii) Colisão Inelástica: é quando a energia cinética total é alterada, e, portanto, a energia cinética não é conservada. Essa colisão é a do dia-dia. Por exemplo uma colisão entre dois carros, parte da energia é sempre transferida de energia cinética para outras formas de energia, tais como energia térmica e a energia sonora.

Colisões Inelástica em Uma Dimensão

A Colisão Inelástica Unidimensional da figura mostra antes e logo depois da colisão de dois

corpos. Os dois corpos constituem um sistema fechado e isolado, portanto, podemos escrever a lei de conservação do momento linear.

⃗

p

+⃗

p

=⃗

p

+⃗

p

m

v

+m

v

=m

v

+m

v

⃗

P

=⃗

P

V=

m

m

+m

v

Se o corpo m₂ está em repouso (alvo) e o corpo incidente (projétil), colidem. Após a colisão os dois corpos vão se mover juntos com velocidade V.

Antes Depois m₁ Projétil m₂ Alvo _m 1 m₁ + m₂ x x ⃗v_{2 i}=0

⃗V

Momento e Energia Cinética em Colisões

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Colisões Elástica em Uma Dimensão

A Colisão Elástica Unidimensional da figura mostra antes e logo depois da colisão de dois

corpos.

Energia Cinética total

antes da colisão

=

Energia cinética total

depois da colisão

Momento e Energia Cinética em Colisões

Colisões em Duas Dimensões

A Colisão Elástica Unidimensional da figura mostra antes e logo depois da colisão de dois

corpos.

⃗P

+⃗

P

=⃗

P

+P

⃗

Momento e Energia Cinética em Colisões

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

Halliday & Resnick & Walker, Fundamentos de Física - Mecânica, Volume 1, 8ª

Edição, LTC, 2009;

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TIPLER, P., MOSCA, G. Física para engenheiros e cientistas. Volume 1, 6ª

Edição, LTC, 2009;



Nussensveig, H. M. Curso de Física Básica. Volume 1. São Paulo: Edgard

Blücher, 1999.