01 - modelagem matemática

Modelagem Matemática de Sistemas de Controle

O modelo matemático de um sistema dinâmico é definido como um conjunto de equações que representa a dinâmica do sistema. Entretanto, um modelo matemático não é único para determinado sistema. Um sistema pode ser representado de muitas maneiras diferentes e, portanto, pode ter vários modelos matemáticos, dependendo da perspectiva a ser considerada.

A dinâmica de muitos sistemas mecânicos, elétricos, térmicos, econômicos, biológicos ou outros pode ser descrita em termos de equações diferenciais. Essas equações diferenciais são obtidas pelas leis físicas que regem dado sistema, por exemplo, as leis de Newton para sistemas mecânicos e as leis de Kirchhoff para sistemas elétricos. Devemos sempre ter em mente que construir modelos matemáticos adequados é a parte mais importante da análise de sistemas de controle como um todo. Modelos Matemáticos

Dependendo do sistema considerado e das circunstâncias particulares, um modelo matemático pode ser mais adequado que outros. Por exemplo, nos problemas de controle ótimo é vantajoso utilizar representações de espaço de estados. Por outro lado, para a análise da resposta transitória ou da resposta em frequência de um sistema linear, invariante no tempo, de entrada e de saída únicas, a representação pela função de transferência pode ser mais conveniente que qualquer outra.

Uma vez obtido o modelo matemático de um sistema, podem ser utilizadas várias ferramentas analíticas e de computação para efeito de análise e síntese.

Simplicidade e Precisão

Na obtenção de um modelo matemático, devemos estabelecer uma conciliação entre a simplicidade do modelo e a precisão dos resultados da análise. Na obtenção de um modelo matemático relativamente simplificado, frequentemente torna-se necessário ignorar certas propriedades físicas inerentes ao sistema.

Em particular, se for desejável um modelo matemático linear de parâmetros concentrados (isto é, se quisermos empregar equações diferenciais ordinárias), é sempre necessário ignorar certas não linearidades e os parâmetros distribuídos que podem estar presentes no sistema físico. Se os efeitos que essas propriedades ignoradas têm sobre a resposta forem pequenos, pode-se obter boa

aproximação entre os resultados da análise de um modelo matemático e os resultados do estudo experimental do sistema físico.

Em geral, na solução de um novo problema, é conveniente construir um modelo simplificado para que possamos ter uma percepção geral em relação à solução. Um modelo matemático mais completo pode, então, ser construído e utilizado para que sejam obtidas análises mais precisas. Devemos estar bastante atentos para o fato de que um modelo linear de parâmetros concentrados, válido em operações de baixa frequência, pode não ser válido para frequências suficientemente altas, uma vez que a propriedade de parâmetros distribuídos não considerada pode se tornar um fator importante no comportamento dinâmico do sistema.

Sistemas Lineares

Um sistema é dito linear se o princípio da superposição se aplicar a ele. O princípio da superposição afirma que a resposta produzida pela aplicação simultânea de duas funções de determinação diversas é a soma das duas respostas individuais. Então, para o sistema linear, a resposta a diversas entradas pode ser calculada tratando uma entrada de cada vez e somando os resultados.

Esse é o princípio que permite construir soluções complicadas para equações diferenciais lineares a partir de soluções simples.

Sistemas Lineares Variantes e Invariantes no Tempo

Uma equação diferencial é linear se os coeficientes forem constantes ou somente funções da variável independente.

Os sistemas dinâmicos compostos por componentes lineares de parâmetros concentrados invariantes no tempo podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo, isto é, de coeficientes constantes. Esses sistemas são denominados sistemas lineares invariantes no tempo (ou lineares de coeficientes constantes).

Os sistemas representados por equações diferenciais, cujos coeficientes são funções de tempo, são chamados sistemas lineares variantes no tempo.

Função Transferência

Na teoria de controle, as funções de transferência são comumente utilizadas para caracterizar as relações de entrada e de saída de componentes ou de sistemas que podem ser descritos por equações diferenciais lineares invariantes no tempo.

A função de transferência de um sistema representado por uma equação diferencial linear invariante no tempo é definida como a relação entre a transformada de Laplace da saída (response function) e a transformada de Laplace da entrada (driving function), admitindo-se todas as condições iniciais nulas.

Considere o sistema linear invariante no tempo definido pela seguinte equação diferencial:

a0y (n ) +a1y (n−1) +⋯+an −1y ' +any=b0x (m) +b1x (m−1) +⋯+bm−1x ' +bmx (n > m)

onde y é a saída do sistema e x é a entrada. A função de transferência desse sistema é a relação entre a transformada de Laplace da saída e a transformada de Laplace da entrada, quando todas as condições iniciais são zero, ou:

G(s)= L[saída] L[entrada]= Y (s) X (s)= b0s m +b1s m−1 +⋯+bm−1s +bm a₀sn+a₁sn−1+⋯+a_n−1s +b_n

onde X(s) é a transformada de Laplace da entrada e Y(s) é a transformada de Laplace da saída do sistema, considerando que todas as condições iniciais envolvidas sejam nulas.

Utilizando o conceito de função de transferência, é possível representar a dinâmica de um sistema por meio de uma equação algébrica em s. Se a maior potência de s no denominador da função de transferência for igual a n, o sistema será denominado sistema de ordem n. A aplicabilidade do conceito de função de transferência é limitada a sistemas de equações diferenciais lineares invariantes no tempo.

Se a função de transferência de um sistema não for conhecida, ela pode ser determinada experimentalmente com o auxílio de entradas conhecidas e do estudo das respectivas respostas do sistema.

Uma vez determinada, a função de transferência fornece uma descrição completa das características dinâmicas do sistema, independentemente de sua descrição física.

Integral de Convolução

A partir da definição de função transferência, podemos escrever a expressão da saída em função da entrada:

Y (s)=G(s) X (s) Aplicando a transformada de Laplace inversa, teremos:

y (t)=

∫

∫

onde ambas as funções são nulas para t < 0. A operação integral acima é chamada de convolução. A operação de convolução é mais facilmente entendida graficamente. Observe a animação disponibilizada na página da disciplina para melhor visualização da operação.

Resposta ao Impulso

Considerando agora, uma entrada impulsiva, ou seja, que a entrada do sistema é um impulso unitário, a saída expressa em função da entrada e função transferência fica:

Y (s)=G(s)⋅1

pois a transformada de Laplace do impulso unitário é 1. Dessa forma podemos dizer que a função transferência de um sistema é a resposta ao impulso desse sistema. A função g(t), que é a transformada inversa de Laplace, é portanto, chamada de função característica do sistema.

A função de resposta impulsiva g(t) é, portanto, a resposta de um sistema linear invariante no tempo a um impulso unitário de entrada, quando as condições iniciais do sistema são nulas. A transformada de Laplace dessa função fornece a função de transferência.

Assim, a função de transferência e a função de resposta impulsiva de um sistema linear invariante no tempo contêm as mesmas informações sobre a dinâmica do sistema. Dessa maneira, é possível obter informações completas sobre as características dinâmicas de um sistema, por meio da excitação por um impulso de entrada e medindo a resposta.

Sistemas de Controle

Um sistema de controle pode ter vários componentes. Para mostrar as funções que são executadas em cada um desses componentes, normalmente utilizamos um diagrama chamado diagrama de blocos.

Diagrama de Blocos

Um diagrama de blocos de um sistema é uma representação gráfica das funções desempenhadas por cada componente e do fluxo de sinais entre eles. Esses diagramas descrevem o inter-relacionamento que existe entre os vários componentes.

Diferindo da representação matemática abstrata pura, um diagrama de blocos tem a vantagem de indicar mais realisticamente o fluxo de sinais do sistema real. Em um diagrama de blocos, todas as variáveis do sistema são ligadas umas às outras por meio de blocos funcionais.

O bloco funcional, ou simplesmente bloco, é um símbolo da operação matemática que é aplicada ao sinal de entrada do bloco que produz o sinal de saída. A função de transferência dos componentes normalmente é incluída nos blocos correspondentes, os quais estão conectados por setas que indicam a direção do fluxo de sinais. A figura abaixo ilustra um exemplo de um bloco funcional.

As vantagens da representação de um sistema por diagramas de blocos consistem no fato de que é fácil construir um diagrama de blocos para todo o sistema pela simples interligação dos blocos componentes, de acordo com o fluxo de sinais, e pela possibilidade de avaliar a contribuição de cada componente para o desempenho global do sistema.

Quando o sinal (ou equação) de saída de um bloco deve ser somado/subtraído com o sinal (ou equação) de outro bloco, deve-se usar o símbolo de somador, como o ilustrado abaixo.

Nele, a operação a ser realizada dever ser representada explicitamente e, logicamente, os sinais (ou equações) devem representar as mesmas grandezas, com as mesmas unidades físicas.

Sistema de malha fechada

A figura abaixo traz o exemplo de um diagrama de blocos de um sistema de malha fechada. A saída C(s) é realimentada ao somador, em que é comparada à referência de entrada R(s). A natureza de malha fechada do sistema é claramente indicada pela figura.

A saída do bloco, C(s) nesse caso, é obtida pela multiplicação da função de transferência G(s) pela entrada do bloco, E(s). Todo sistema de controle linear pode ser representado por diagramas de bloco constituídos por blocos, somadores e pontos de ramificação.

Quando a saída é realimentada ao somador para comparação com a entrada, é necessário converter a forma do sinal de saída à do sinal de entrada. Essa conversão é realizada por meio do elemento de realimentação cuja função de transferência é H(s), como na figura abaixo.

O papel do elemento de realimentação é modificar a saída antes de ser comparada com a entrada. Por exemplo, em um sistema de controle de temperatura, o sinal de saída normalmente é a temperatura controlada. O sinal de saída, o qual tem a dimensão da temperatura, deve ser convertido para uma força ou posição ou tensão, antes de ser comparado ao sinal de entrada.

Nesse exemplo, o sinal de realimentação que é enviado ao somador para comparação com o sinal de entrada é B(s) = H(s)C(s). Enquanto que o a comparação entre o sinal de realimentação B(s) e o sinal de entrada R(s) é o sinal de erro atuante E(s).

Observando ainda a figura anterior, a relação entre o sinal de realimentação B(s) e o sinal de erro atuante E(s) é chamada função de transferência de malha aberta. Ou seja:

FunçãoTransferência em Malha Aberta=B(s)

E(s)=G(s)H (s)

A relação entre o sinal de saída C(s) e o sinal de erro atuante E(s) é denominada função de transferência do ramo direto, então:

FunçãoTransferência do Ramo Direto=C (s )

E(s)=G(s)

Se a função de transferência de realimentação H(s) for unitária, então a função de transferência de malha aberta e a função de transferência do ramo direto serão as mesmas.

Relacionando, agora, a saída global do sistema C(s) com a entrada R(s), podemos obter a função transferência do sistema como um todo:

C(s)=G(s )E (s) onde E(s)=R (s)−B (s )=R(s)−H (s)C (s ) logo: C(s)=G(s)[R (s)−H (s)C (s)] ou C (s) R (s)= G(s) 1+G(s) H (s)