CENTRO DE CIENCIAS E TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
ANALISE DA DISSIPACAO DA PORO PRESSAO EM TORNO DO
PIEZOCONE ATRAVES DO HETQDO DOS ELEMENTOS FINITOS
INACIO DE SODSA FADIGAS
CAMPINA GRANDE - PARAIBA
1987
INACIO DE SOUSA FADIGAS
ANALISE DA DISSIPACAO DA PORO PRESSAO EM TORNO DO
PIEZOCONE ATRAVES DO METODO DOS ELEMENTOS FINITOS
DISSERTACAO APRESENTADA AO CURSO DE
MESTRADO EM ENGENHARIA CIVIL DA UNIVER
SIDADE FEDERAL DA PARAIBA, EM COMPRI
MENTO )\S EXIGENCIAS PARA OBTENCAO DO
GRAU DE.MESTRE.
AREA DE CONCENTRACAO: GEOTECNIA
ORIENTADOR : JEAN PIERRE DEMARTINECOURT
CAMPINA GRANDE - PARAIBA
1987
ANALISE DA DISSIPACAO DA PORO PRESSAO EM TORNO DO PIEZOCONE ATRAVES DO METODO DOS ELEMENTOS FINITOS
INACIO DE SOUSA FADI GAS
DISSERTACAO APROVADA EM: 1 9 JUNHO 1987
PROF. JEAN PIERRE DEMARTINECOURT PRESIDENTE/"""^ /
PRO/. MARCIO MIRANDA .^fpCAMINADOR ExTERNO
PRoi BERNARDyGENEVOIS
EXAMINADO/EXTERN (
PROF. /(URO TANAKA EXAMINADOR INTERNO
CAMPINA GRANDE - PARAIBA 1987
D I D I C l T f i l l A
Dedico este t r a b a l h o :
Aos mens p a i s , F r a n c i s c o e N i l d a Aos meus irmaos e sobrinha,
A minha esposa, Ma da Conceigao
Desejo expressar primeiramente meu agradec_i mento a Deus, c r i a d o r do s o l o , obra prima do meu t r a b a l h o p o r t e r me dado f o r g a s e saude para para r e a l i z a g a o desta t a r e f a . Ao p r o f e s s o r JEAN PIERRE DEMARTINECOURT, Ph.D., do Departamen t o de Engenharia C i v i l da Universidade Federal da P a r a i b a , pela forma p a c i e n t e , dedicada e competente com que o r i e n t o u esta d i s s e r t a g a o .
Quero agradecer ainda:
- A Universidade Estadual de F e i r a de Santana, a t r a v e s do seu M a g n i f i c o R e i t o r Jose Maria Nunes Marques, p e l o apoio f i n a n c e i r o e p e l o
i n c e n t i v o .
- A J o s e n i r a dos Santos Franga (UFPB) e Maria A r l e i d e Teles de Santana (UEFS), pelos s e r v i g o s de d a t i l o g r a f i a e a Cleide dos Santos pelos s e r v i g o s g r a f i c o s .
- A E l i z a , Leonidas e J a i l d a , f u n c i o n a r i o s do Nucleo de Processamento de Dados (NPD), pe
l o apoio dispensado durante a fase computa c i o n a l .
- Aos demais p r o f e s s o r e s do surso de Mestrado em Geotecnia, pelo embasamento dado durante a p r i m e i r a fase do curso.
- A todos os colegas, amigos e demais f u n c i o n a r i o s que de uma forma d i r e t a ou i n d i r e t a c o n t r i b u i r a m para a r e a l i z a g a o deste t r a b a l h o .
RESUMO
Este t r a b a l h o de pesquisa esta r e l a c i o n a d o a uma a n a l i s e numerica do fenomeno da d i s s i p a g a o do excesso de poro pressao da agua gerado durante a penetragao do piezocone em solos coe s i v o s . Uma a n a l i s e da i n f l u e n c i a de uma zona anolgada nas p r o ximidades da parede l a t e r a l do aparelho f o i f e i t a . 0 comporta mento das curvas de d i s s i p a g a o do excesso de poro pressao com a presenga da camada anolgada f o i v e r i f i c a d o usando modelos de d i s s i p a g a o baseados numa t e o r i a de expansao de cavidades, t a n t o c i l i n d r i c a quanto e s f e r i c a . Um modelo "raisto" tambem f o i i n t r o d u z i d o pela p r i m e i r a vez, de acordo com o conhecimento do a u t o r , para a n a l i s a r o problema, simulando a expansao de uma ca vidade e s f e r i c a para a ponta do aparelho e uma expansao c i l i n d r i c a na r e g i a o em t o r n o da l u v a de a t r i t o . Esse modelo "misto" f o i usado para a v a l i a r o e f e i t o do amolgamento e a i n f l u e n c i a da posigao do elemento poroso nas curvas de d i s s i p a g a o . F o i en contrado que a presenga da camada amolgada tem muito pouco efei. t o nas curvas de d i s s i p a g a o , comparada com o caso no q u a l e x i s t e a presenga da camada amolgada. A posigao do elemento poroso no piezocone mostrou uma marcada i n f l u e n c i a nas curvas de aden samento.
This research work i s r e l a t e d t o a n u m e r i c a l a n a l y s i s o f the phenomenon o f d i s s i p a t i o n o f the excess o f pore water pressure generated d u r i n g p e n e t r a t i o n o f the piezocone through
cohesive s o i l s . The i n f l u e n c e o f a zone .of remoulded s o i l surrounding l a t e r a l l y t h e s u r f a c e o f the piezocone has been accounted f o r i n t h e a n a l y s i s . The excess pore w a t e r : pressure d i s s i p a t i o n curves have been v e r i f i e d based on the c a v i t y expansion t h e o r y , which has been analyzed e i t h e r as a c y l i n d r i c a l o r s p h e r i c a l c a v i t y . A l s o , t o the author'r knowledge
the problem has been analyzed f o r t n e m f l x s t time as a "mixed" model, i . e., i t i s s i m u l a t e d as b e i n g a s p h e r i c a l expansion i n the v i c i n i t y o f t h e t i p o f the piezocone and as a cylindrical c a v i t y expansion i n t h e r e g i o n surrounding the f r i c t i o n sleeve above the cone t i p . T h i s "mixed" model has been used t o account f o r the e f f e c t o f s o i l remoulding and the i n f l u e n c e o f position o f porous element i n t h e d i s s i p a t i o n curves. I t has been found t h a t t h e zone o f remoulded s o i l has a v e r y l i t t l e e f f e c t on the d i s s i p a t i o n curves compared t o the case i n which t h e r e i s no s o i l remoulding. The p o s i t i o n o f the porous element o f piezocone has shown a marked i n f l u e n c e on the c o n s o l i d a t i o n curves.
V I N D I C E CAPlTULO I INTRODUCAO 01 - generalidades 01 - o b j e t i v o 0 3 CAPlTULO I I REVISAO BIBLIOGRAFICA 0 5 I I . 1 - O PIEZOCONE 05 - i n t r o d u g a o 05 - h i s t o r i c o 05 - d e s c r i g a o do aparelho 06
- f a t o r e s que i n f l u e n c i a m a medida da poro pressao 07
- d i s s i p a g a o do excesso de poro pressao 09 - a n a l i s e da d i s s i p a g a o baseada em solug5es t e o r i c a s 11
I I . 2 - EXPANSAO DE C AVI DADE S 13 - expansao de cavidades e s f e r i c a s 13
- expansao de cavidade c i l i n d r i c a s 17
I I . 3 - METODOS NUMfiRICOS 21
- generalidades 21 - abordagens para o uso do MEF 22
I I . 4 - TEORIA DO ADENSAMENTO DOS SOLOS 24
- generalidades 24 - t e o r i a do adensamento de BIOT 25
- p r i n c i p i o v a r i a c i o n a l 28
CAPlTULO I I I
FORMULACAO BASEADA NA FUNCIONAL USADA NA ELABORACAO DO PRO
GRAMA 30 I I I . 1 - FUNCIONAL PARA ELEMENTOS FINITOS 30
I I I . 2 - PROCEDIMENTOS PARA ELABORACAO DO PROGRAMA 31
- fungoes de i n t e r p o l a g a o para o t r i a n g u l o e para o q u a d r i
l a t e r o 33 - c a l c u l o das m a t r i z e s elementares 41
. r e l a g a o deformagao-deslocamento 41 . r e l a g a o tensao-deslocamento 41 . relagao deformagao volumetrica-deslocamento 44
. r e l a g a o v e l o c i d a d e de f i l t r a g a o - p r e s s a o 45 - montagem das m a t r i z e s elementares para o b t e r o sistema
g l o b a l de equag5es 52 . i n t e g r a g a o e marcha no tempo 54 - resolugao do sistema 56 - computagSes a d i c i o n a i s 57 CAPlTULO IV DESCRICAO DO PROGRAMA 59 - generalidades 59 - e s t r u t u r a do programa EFAECA 6 2 - r e l a g a o das v a r i a v e i s 63 - descrigao das v a r i a s p a r t e s do programa 66
- dados de entrada para o programa EFAECA 70
CAPlTULO V TESTES DO PROGRAMA 74 - solugoes de e l a s t i c i d a d e 74 - problema de f l u x o 75 - solugao do adensamento u n i d i m e n s i o n a l 76 - solugao do adensamento b i d i m e n s i o n a l 77 - consolidagao da e s f e r a (problema de Cryer) 78
- curvas de Randolph e de Torstensson 79
CAPlTULO V I
APLICACAO DO PROGRAMA 82 - espessura da camada amolgada 82
- i n f l u e n c i a da camada amolgada na solugao c i l l n d r i c a ....83
- i n f l u e n c i a da camada amolgada na solugao e s f e r i c a 84
v i i
CONCLUSAO 89 SUGESTOES PARA PESQUISAS POSTERIORES 91
BIBLIOGRAFIA 92
APENDICE A
- equagSes de Lame 96
APENDICE B
- dados de e n t r a d a , l i s t a g e m do programa EFAECA e dados de
CAPlTULO I
INTRODUCAO
Como em qualquer dominio de pesquisa de c a r a t e r c i e n t l f i co, a mecanica dos solos e a engenharia de fundacoes comegaram na decada passada a t i r a r p r o v e i t o do importante desenvolvimen t o t e c n o l o g i c o p a r t i c u l a r m e n t e no campo da e l e t r 5 n i c a , o que t o r n o u p o s s i v e l o uso de s o f i s t i c a d o s aparelhos, t a n t o para as medigoes quanto para o emprego de metodos numericos.Os ensaios de campo, no d e c o r r e r dos anos, tern se mostrado de grande va
l i a e despertado o i n t e r e s s e por p a r t e dos pesquisadores, vis_ t o que, as propriedades dos solos que sao de i n t e r e s s e da enge n h a r i a sao medidas em campo, evitando-se com i s s o as imprec_i soes i n e r e n t e s aos ensaios de l a b o r a t o r i o . 0 desenvolvimento de s o f i s t i c a d o s aparelhos para medidas no campo tern p e r m i t i d o uma acurancia muito grande nas medidas dos parametros desejados.
A l i a d o a esses desenvolvimentos, o progresso das t e c n i cas computacionais, associadas ao uso de metodos numericos per mite-se chegar cada vez mais proximos das solugoes exatas para as t e o r i a s e x i s t e n t e s , p r i n c i p a l m e n t e quando se t r a t a de p r o blemas que exigem um t r a t a m e n t o matematico muito complexo.
O problema da determinagao dos parametros de adensamen t o dos solos a t r a v e s de ensaios " i n s i t u " tern despertado o i n teresse de pesquisadores nos u l t i m o s anos, t a n t o no s e n t i d o de obter-se r e s u l t a d o s experimentais p r e c i s o s , quanto na formula gao de t e o r i a s para a a n a l i s e do adensamento.
Os t r a b a l h o s mais r e l e v a n t e s nesse campo de pesquisa, sao r e l a t a d o s resumidamente a s e g u i r a f i m de melhor s i t u a r o obje t i v o do presente t r a b a l h o .
As a n a l i s e s t e o r i c a s de Torstensson (1977) e de Randolph & Wroth (1979) sao exemplos do estudo da d i s s i p a g a o da poro pressao gerada p e l a expansao de uma cavidade e s f e r i c a e c i l i n d r i c a , respectivamente.
A n a l i s e s numericas e e x p e r i m e n t a i s foram tambem r e a l i z a das por Demartinecourt e t a l 1985) no s e n t i d o de estudar a dis sipagao da poro pressao em t o r n o do aparelho de cisalhamento so
02
bre paredes de f u r o s de sondagem (Bore Hole Shear D e v i c e ) . Durante ensaios de campo para medir a r e s i s t e n c i a ao c i salhamento de a r g i l a s moles e s e n s i v e i s com o a p a r e l h o , foram observados v a l o r e s excessivos da poro pressao na zona proxima a s u p e r f i c i e de cisalhamento, por meio de um t r a n s d u t o r de pressao incorporado ao a p a r e l h o .
Uma a n a l i s e numerica por elementos f i n i t o s f o i f e i t a i n corporando no modelo uma camada de m a t e r i a l amolgado e elemen tos de jungao e n t r e a p l a c a de cisalhamento e o s o l o i n t a c t o , r e s u l t a n d o assim em uma boa equiparagao e n t r e os v a l o r e s medi dos e os v a l o r e s numericos o b t i d o s .
Um estudo t e o r i c o da geragao e d i s s i p a g a o de pressao em t o r n o do p r e s s i o m e t r o f o i r e a l i z a d a por B a g u e l i n e t a l (1986) •', u t i l i z a n d o o metodo dos elementos f i n i t o s . Neste estudo f o i a n a l i s a d a a poro pressao gerada durante a pequena expansao da membrana do aparelho e sua d i s s i p a g a o .
Um modelo t e o r i c o do processo de adensamento que ocorre " i n ; . s i t u " durante ensaios com a p l a c a h e l i c o i d a l (screw p l a t e ) f o i apresentado por S e l v a d u r a i & Gopal (1986). Esses autores a n a l i s a r a m o problema p o r meio do metodo dos elementos f i n i t o s u t i l i z a n d o as equagoes de B i o t . A i n f l u e n c i a da drenagem, do a molgamento e da adesao na i n t e r f a c e s o l o - p l a c a , f o i levada em conta na resposta tempo-recalque da p l a c a h e l i c o i d a l .
Os estudos de campo tern mostrado que a penetragao em um s o l o c o e s i v o , t a n t o de uma estaca como de um piezocone, gera excesso de poro pressao nas v i z i n h a n g a s da parede l a t e r a l da estaca ou do a p a r e l h o . Este excesso e bem maior que as tensoes e f e t i v a s que circundam a estaca ou o piezocone, e o crescimen t o na capacidade de carga das estacas e grandemente c o n t r o l a d o p e l a d i s s i p a g a o do excesso de poro pressao com um consequente crescimento das tensoes e f e t i v a s . Uma a n a l i s e do adensamento em t 5 r n o do piezocone p e r m i t e uma e s t i m a t i v a do c o e f i c i e n t e de adensamento , que e um parametro determinante na p r e v i s a o da evolugao do recalque com o tempo.
As solugoes a n a l l t i c a s e x i s t e n t e s para o estudo da d i s s i pagao do excesso de poro pressao consideram o s o l o como ummeio homogeneo. Porera, durante a cravagao de uma e s t a c a , algum grau amolgamento e i n t r o d u z i d o ao s o l o que c i r c u n d a a parede l a t e
das nas condigoes i n i c i a i s geradas pela expansao de uma c a v i lade c i l i n d r i c a ou e s f e r i c a , dependendo da l o c a l i z a g a o do e l e mento poroso no piezocone.
- o b j e t i v o
Em v i s t a destas l i m i t a g o e s (solo homogeneo, formulagao c i l i n d r i c a e/ou e s f e r i c a ) dos modelos para descrever o fen5 meno da consolidagao em t o r n o do piezocone, o oresente traba lho o b j e t i v o u c o n s t r u i r um modelo de elasto-adensamento; oor elementos f i n i t o s que v i s a s s e superar aquelas l i m i t a g o e s na a n a l i s e numerica do fenomeno da consolidagao. Para alcangar este o b j e t i v o , o t r a b a l h o desenvolveu-se em t r e s etapas:
1 - elaboragao de um programa de elementos f i n i t o s para a a n a l i s e da elasto—adensamento • a x i s s i m e t r i c o em t o r n o do pi_ ezocone.
2 - a n a l i s e da i n f l u e n c i a da zona de s o l o amolgado so bre as curvas de d i s s i p a g a o u t i l i z a n d o t a n t o um modelo c i l i n d r i c o quanto um modelo e s f e r i c o .
3 - i n t r o d u g a o de um modelo misto para e s t u d a r a d i s s i pagao do excesso de poro pressao ao longo do aparelho piezoco ne. Nesse modelo m i s t o , a r e g i a o em t o r n o da l u v a de a t r i t o do aparelho e modelado como se expandisse uma cavidade c i l i n d r i c a , e a r e g i a o que c i r c u n d a a ponta conica como se expan d i s s e uma cavidade e s f e r i c a .
04
CAPlTULO I I
REVISAO BIBLIOGRAFICA
I I . 1 - O PIEZOCONE
- i n t r o d u g a o
S i g n i f i c a n t e s avangos tern sido f e i t o s nos u l t i m o s anos em pesquisa, desenvolvimento, i n t e r p r e t a g a o e a p l i c a g a o do co ne p e n e t r o m e t r i c o visando ampliar o quadro de conhecimentos a r e s p e i t o das c a r a c t e r i s t i c a s " i n s i t u " do s o l o . A da poro ores sao durante a penetragao do cone tern c o n t r i b u i d o para dar maio res s o b s i d i o s a i n t e r p r e t a g a o dos parametros g e o t e c n i c o s . 0 co nhecimento da poro pressao gerada durante a penetragao permite a i n t e r p r e t a g a o dos ensaios em termos de t e n s 5 e s e f e t i v a s como tambem, a observagao da d i s s i p a g a o da poro pressao apos a para da da sonda p e r m i t e a a v a l i a g a o das c a r a c t e r i s t i c a s de permea b i l i d a d e e de consolidagao dos s o l o s .
- h i s t 5 r i c o
Zuidberg e t a l . (1982) r e l a t a r a m que as p r i m e i r a s pes. quisas no s e n t i d o de c o l e t a r i n f o r m a g 5 e s sobre as c o n d i g 5 e s
de pressao no i n t e r i o r do s o l o a t r a v e s da cravagao de uma son da datam de 1969. Nestes estudos um sensor e l e t r i c o (transdu t o r ) f o i i n s t a l a d o em um cone de penetragao com o p r o p o s i t o de se medir durante a parada do aparelho o excesso de poro pressao em camadas arenosas situadas abaixo dos diques holan deses. Cones p i e z o m e t r i c o s foram usados por Schmertman na Uni versidade da F l o r i d a e por Jandu na Universidade de Trondhein, Noruega. Porem um maior impulso f o i dados a p a r t i r de 1975 com a p u b l i c a g a o dos t r a b a l h o s de Wissa e t a l . (1975). Duran t e a r e a l i z a g a o da p r i m e i r a c o n f e r e n c i a i n t e r aacional dedica
da exclusivamente aos ensaios de campo em g e o t e c n i a . Aqueles autores r e a l i z a r a m ensaios de campo com a f i n a l i d a d e de d e t e r minar o modelo de f l u x o a t r a v e s da secao de uma barragem de t e r r a ; a v a l i a r o excesso de poro pressao da agua gerado pelo pre-carregamento de uma barragem de t e r r a e observar a o s c i l a gao no v a l o r da poro pressao causada pelas ondas d e n t r o de uma camada de s o l o submarino.
Tambem em 1975 na Suecia, Torstensson p u b l i c o u um t r a b a lho no q u a l foram a n a l i s a d o s os p r i m e i r o s r e s u l t a d o s o b t i d o s com uma sonda p i e z o m e t r i c a para determinar a presenga de f i nas camadas a r g i l o s a s d e n t r o de s o l o s arenosos ou f i n a s cama das arenosas em formagoes a r g i l o s a s . Porem, antes da p u b l i c a gao desses d o i s t r a b a l h o s , Janbu e Snesset (1974) j a usavam combinar a medigao da poro pressao durante a medida de resis_ t e n c i a de ponta em ensaios com o cone (CPT).
A p a r t i r desses t r a b a l h o s i n i c i a i s um grande impulso f o i dado no desenvolvimento de aparelhos que permitissem a me dida simultanea da r e s i s t e n c i a de ponta e da poro pressao.
- d e s c r i g a o e uso do aparelho
Os r e s u l t a d o s o b t i d o s por Wissa e t a l (1975) e por Torstensson (1975), com os i n s t r u m e n t o s de medida da poro pres sao j u n t o com a necessidade de se o b t e r informagoes s i m u l t a neas da r e s i s t e n c i a da ponta e da poro pressao, i n c e n t i v a r a m a adaptagao de cones de penetragao j a e x i s t e n t e s com um dispo s i t i v o de medida de poro pressao.
O que tern sido geralmente f e i t o e adaptar o cone t i p o FUGRO, sem l u v a de f r i c g a o , com um d i s p o s i t i v o de poro pres_ sao. 0 aparelho c o n s i s t e de uma ponta conica com 60 graus e de um c i l i n d r o r e t o com diametro i g u a l ao diametro da base do cone e s i t u a d o imediatamente acima da p a r t e c o n i c a . Um t r a n s d u t o r de pressao e i n s t a l a d o logo acima da ponta. d e n t r o des_ t e c i l i n d r o e abaixo do l o c a l onde estao i n s t a l a d o s os medido res e l e t r i c o s de deformagao ( s t r a i n s - g a g e s ) para a medida da r e s i s t e n c i a de ponta.
06
Existem tambem aparelhos dotados de d i s p o s i t i v o s que per mitem a medigao simultanea da r e s i s t e n c i a de p o n t a , a t r i t o e poro pressao. Outros mais s o f i s t i c a d o s permitem alem destas t r e s medidas, a v e r i f i c a g a o da v e r t i c a l i d a d e do aparelho e a medida da temperatura. Na f i g u r a I I . 1 - 1 e mostrado um cone tipo FUGRO adaptado para a medida da poro pressao e na f i g u r a I I . 1-2 e apresentado um d e t a l h e da ponta conica mostrando o t r a n s d u t o r de pressao.
Para e f e i t o de padronizagao, a velocidade de penetragao do piezocone no s o l o normalizada p e l o comite I n t e r n a c i o n a l de Mecanica dos Solos e Fundagoes e de 2 cm/s, sendo i g u a l a v e l o cidade usada nos ensaios t r a d i c i o n a i s com o cone (C.P.T.). 0 a parelho e entao cravado no s o l o a velocidade de 2 cm/s e a ca da penetragao de 1 m d e n t r o do solo e adicionada mais uma has t e . Durante e s t a penetragao, o solo tende a gerar excesso de poro pressao, que pode ser t a n t o p o s i t i v o quanto n e g a t i v e Quan do a penetragao do aparelho e i n t e r r o m p i d a para adigao de mais de uma h a s t e , recomenda-se (Campanella, 1981) i m o b i l i z a r as hastes, e se d e s e j a v e l , pode-se m o n i t o r a r o decrescimo do exces_ so de poro pressao i n d u z i d o , visando obter-se as c a r a c t e r i s t i cas de adensamento Jo s o l o . A dissipagao desse excesso de po r o pressao e que sera de maior i n t e r e s s e em nosso t r a b a l h o .
- f a t o r e s que i n f l u e n c i a m na medida da poro pressao
Os f a t o r e s mais i m p o r t a n t e s que i n f l u e n c i a m na medida da poro pressao sao: a l o c a l i z a g a o do elemento poroso no apare l h o ; o grau de saturagao desse elemento, e a v e l o c i d a d e de pe netragao do aparelho. Porem e de i n t e r e s s e i n v e s t i g a r em nosso t r a b a l h o mais detalhadamente a dissipagao do excesso de poro pressao para v a r i a s posig5es do elemento poroso no a p a r e l h o .
Por causa da complexa variagao do estado das tens5es e deformagoes em t o r n o da ponta do cone, a medida da poro pres sao pode ser b a s t a n t e d i f e r e n t e de acordo com a posigao do e l e mento poroso. Em a r g i l a s normalmente adensadas onde grandes variagoes p o s i t i v a s de poro pressao sao geradas durante o c i s a
ssao
3500
0 7b
F i g u r a I I . 1 - 2 - Detalhe do Piezocone mostrando o t r a n s d u t o r (Zuidberg, 19 82)
i
F i g u r a I I . 1 - 3 - I n f l u e n c i a da l o c a l i z a c a o da pedra porosa na dissipagao da poro pressao
lhamento, os v a l o r e s da poro pressao na face l a t e r a l da p a r t e conica sao geralmente 10 a 20% maiores que os v a l o r e s medidos
imediatamente acima da p a r t e c o n i c a . Em a r g i l a s p r e - adensadas e em s i l t e s e a r e i a s f i n a s , onde uma pequena ou n e a a t i v a poro pressao na face l a t e r a l da p a r t e conica tende a ser p o s i t i v a , enquanto que a poro pressao medida logo acima da p a r t e c 5 n i c a
pode ser n e g a t i v a ( B a l i g h e t a l . , 1980; Roy e t a l . 1982, Campa n e l l a e t a l . 1983).
Campanella (1981) aponta v a r i o s f a t o r e s que levam a pre f e r e n c i a p e l a l o c a l i z a g a o do f i l t r o logo acima da ponta, ou se jam:
1 - boa protegao e menor r i s c o de d a n i f i c a g a o do f i l t r o ; 2 - f a c i l i d a d e de saturagao;
3 - obtengao de r e s u l t a d o s na resposta de poro pressao razoavelmente i n s e n s i v e i s a i m o b i l i z a g a o ou nao da haste de cravagao durante a fase de d i s s i p a g a o do t e s t e .
4 - boa l o c a l i z a g a o para o uso de modelos de d i s s i p a g a o de poro pressao usando solugoes a n a l i t i c a s apresentando sime t r i a de revolugao para o b t e r c a r a c t e r i s t i c a s de adensamento.
A l o c a l i z a g a o do f i l t r o tern i n f l u e n c i a d i r e t a no emprego de solugoes a n a l i t i c a s para a determinagao dos parametros de a densamento, p o i s na r e g i a o s i t u a d a em f r e n t e e em t o r n o da par t e conica do a p a r e l h o , a d i s s i p a g a o pode ser simulada com s o l u
5es a n a l i t i c a s apresentando s i m e t r i a de revolugao em v o l t a da
extremidade da p a r t e conica (solugao e s f e r i c a ) . Na r e g i a o s i t u ada em t o r n o do c i l i n d r o , a alguns diametros de d i s t a n c i a aci. ma da ponta, a d i s s i p a g a o podera ser simulada com b a s t a n t e pre c i s a o usando s o l u g 5 e s a x i s s i m e t r i c a s (solugoes c i l i n d r i c a s ) . Na r e g i a o s i t u a d a imediatamente acima da p a r t e c o n i c a e necessa r i a e n t r e t a n t o uma solugao m i s t a . G i l l e s p i e e Campanella (1981 ) apresentam curvas de d i s s i p a g a o medidas de campo para duas po sigoes d i f e r e n t e s do f i l t r o . Estas s o l u g 5 e s sao apresentadas na f i g u r a I I . 1 - 3 .
09
- d i s s i p a g a o do excesso de poro pressao
Quando o piezocone ou sonda p i e z o m e t r i c a e parado duran te sua penetragao, o excesso de poro pressao gerado comega a. d i s s i p a r . A v e l o c i d a d e de d i s s i p a g a o e fungao da p e r m e a b i l i d a de do s o l o . Em a r e i a s , que tern a l t o s c o e f i c i e n t e s de permeabi l i d a d e , a equalizagao da poro pressao com os v a l o r e s de e q u i l i b r i o o c o r r e em poucos minutos. Ja para a r g i l a s o tempo r e querido pode ser de v a r i a s horas. Isso mantem-se v e r d a d e i r o para excessos de poro pressao t a n t o p o s i t i v o s quanto n e g a t i vos. Sabe-se que a v e l o c i d a d e de d i s s i p a g a o do excesso de po ro pressao depende do c o e f i c i e n t e de adensamento do s o l o . Mo n i t o r a n d o os v a l o r e s da poro pressao, que decrescem com o tern po, uma e s t i m a t i v a do c o e f i c i e n t e de adensamento pode ser ob t i d a durante t e s t e s com o piezocone. Como i n d i c a d o por Wissa e t a l . (1975), as relagoes tempo-dissipagao o b t i d a s sao s i m i l a r e s aquelas o b t i d a s em l a b o r a t 5 r i o s a t r a v e s de t e s t e s oedo m e t r i c o s . Duas abordagens sao sugeridas para a i n t e r p r e t a g a o dos dados de d i s s i p a g a o o b t i d o s em campo. A p r i m e i r a u t i l i z a um modelo t e o r i c o enquanto que a segunda u t i l i z a c o r r e l a g o e s empiricas e n t r e os r e s u l t a d o s de campo e os de l a b o r a t o r i o
(Jones & Van Z y l , 1981). As solugoes t e o r i c a s sao o b j e t o de nosso i n t e r e s s e no presente t r a b a l h o .
V a r i a s solugSes t e o r i c a s tem sido desenvolvidas para r e l a c i o n a r a v e l o c i d a d e de d i s s i p a g a o do excesso de poro pres sao apos a parada da sonda com os v a l o r e s dos c o e f i c i e n t e s de adensamento. As solugoes desenvolvidas por Torstensson (1977), Randolph & Wroth (1979), B a l i g h & Levadoux (1980) e B a t t a g l i o e t a l . (1981), usam as t e o r i a s de expansao de cavidades para o b t e r a d i s t r i b u i g a o i n i c i a l do excesso de poro pressao U = f ( r ) (Tavenas, 1982). A t a b e l a I I . 1 - 1 mostra as p r i n c i p a l s so lugoes e x i s t e n t e s . Pode-se observar que as solugoes de Randolph e Wroth e as solugoes Torstensson requerem uma e s t i m a t i v a do i n d i c e de r i g i d e z do s o l o (G/Cu), onde G e o m5dulo de c i s a lhamento e Cu e a coesao nao drenada do s o l o . Nesses modelos o s o l o e considerado t e r um comportamento e l a s t o - p l a s t i c o . 0 i n d i c e de r i g i d e z d e f i n e a extensao da zona p l a s t i c a do mode
B a l i g h & Levadoux 19 80 Combinagao r a d i a l e e s f e r i c a Nao l i n e a r da a r g i l a Azul de Boston Estudos de E. F. usando o metodo do caminho das d e f o r -magoes C a r a c t e r i s t i -cas de conso-lidagao Mostra muito pouca dependen-c i a da dependen-coraponen t e e s f e r i c a de d i s s i p a g a o Randolph & Wroth 1979 Ci l i n d r i c a E l a s t o p l a s t i -co Ui = 2 cu l n ( R / r ) R/r0 = ( G / c u )1 / 2 Consolidagao em t o r n o de estacas /Analises Pres s i o m e t r i c a s ';Solugao a n a l i t i ca S oder berg 1962 Ci l i n d r i c a E l a s t o p l a s t i -co ur/U i = r i / r Consolidagao em t o r n o de estacas Obsoleta para ensaios de d i s sipagao Torstensson 1977 C i l i n d r i c a Elastoplas t i -co UJL • 2 cu I n (R/r) R/r0 = ( G / c u )1^ C a r a c t e r i s t i -cas de conso-l i d a g a o Propoe a media e n t r e os d o i s r e s u l t a d o s Torstensson 1977 E s f e r i c a : .i E l a s t o p l a s t i -co
4
= 4 cu l n ( R/r) R/rQ = ( G / c u )1 / 3 C a r a c t e r i s t t i - . cas de conso-lidagao Drenos v e r t i -cals Propoe a media e n t r e os d o i s r e s u l t a d o ssolugoes e x i s t e n t e s ' p a r a prever a dissipagao da ( G i l l e s p i e e Campanella, 1981 )
T a b e l a l l . l - l _ sumariO-i das Poro Pressao
10
l o , sendo que quanto mais r i g i d o f o r o solo maior sera a exten sao desta zona. Durante o processo de adensamento e assumido que o esqueleto s o l i d o devera deformar-se e l a s t i c a m e n t e . Na f i gura I I . 1 - 4 , a r e g i a o r Q S r S r p e d i t a p l a s t i c a para s i g n i f i car que o solo nesta r e g i a o a t i n g e a r u p t u r a por c i s a l h a m e n t o , como i s s o deve o c o r r e r durante a i n s t a l a g a o de uma estaca ou de um cone p i e z o m e t r i c o . Durante a fase de adensamento sera as sumido que o e s q u e l e t o de s o l o se deformara e l a s t i c a m e n t e sob o e f e i t o das variagoes do tensor das tensoes e f e t i v a s , bem co mo que a a r g i l a apresenta um v a l o r constante de seu c o e f i c i e n t e de adensamento h o r i z o n t a l .
Outro aspecto a ser observado e que f o i c i t a d o por Tave nas e t a l . (1982), e que quando a sonda e penetrada no s o l o , grandes deformagoes ocorrem na v i z i n h a n g a da s u p e r f i c i e do apa r e l h o , i n d u z i n d o algum grau de amolgamento para o s o l o . O s o l o amolgado proximo a parede l a t e r a l apresenta um b a i x o v a l o r do modulo de c o m p r e s s i b i l i d a d e e uma permeabilidade v a r i a v e l du r a n t e o adensamento. A extensao da zona amolgada bem como o grau de amolgamento sao i n c o g n i t a s suplementares do problema. Essa condigao heterogenea, bem como as variagoes na p e r m e a b i l i dade e no c o e f i c i e n t e de adensamento tern sido sugeridas por Ta venas e t a l . (1982) para serem levadas em consideragao nas so lugoes t e o r i c a s .
O modelo desenvolvido nesse t r a b a l h o p e r m i t i r a a i n t r o d u gao de uma zona amolgada em v o l t a do piezocone.
a n a l i s e de d i s s i p a g a o baseada em solugoes t e o r i c a s
Um exemplo da determinagao do c o e f i c i e n t e de adensamento e encontrado nos t r a b a l h o s de G i l l e s p i e e Campanella (1981).
Examinando-se a t a b e l a I I . 1 - 1 pode-se f a z e r uma a n a l i s e comparativa das solugoes. Para comparar os r e s u l t a d o s das d i f e r e n t e s solugoes, estas foram normalizadas como mostrado na f i gura I I . 1 - 5 , onde pode ser v i s t o o decrescimo do excesso de po r o pressao normalizado p l o t a d o versus o f a t o r tempo adimensio n a l T = c . t / r 2 . 0 uso do f a t o r "T" permite um r a p i d o c a l c u l o
do c o e f i c i e n t e de adensamento "C". 0 exame destes g r a f i c o s r e v e l a v a r i o s pontos i m p o r t a n t e s . As solug5es de B a l i g h & Le vadoux (1980), e de Randolph & Wroth (1979), j u n t o com a s o l u gao c i l i n d r i c a de Torstensson (1977) produzem essencialmente o mesmo r e s u l t a d o para o c o e f i c i e n t e de adensamento. A solugao c i l i n d r i c a de Torstensson e a solugao de Randolph & Wroth assu mem a mesma d i s t r i b u i g a o i n i c i a l do excesso de poro pressao. A a n a l i s e do adensamento f o i t r a t a d a porem de maneira l i g e i r a m e n t e d i f e r e n t e . Enquanto Randolph & Wroth usaram uma solugao ana l i t i c a , Torstensson usou o metodo das d i f e r e n g a s f i n i t a s .
As solugoes de B a l i g h & Levadoux foram o b t i d a s de manei_ r a completamente d i f e r e n t e s . A maior d i f e r e n g a e n t r e e l a s resi_ de no f a t o de que B a l i g h & Levadoux f i z e r e m uma a n a l i s e t r i d i _ mensional com s i m e t r i a de r e v o l u g a o , e em adigao a drenagem r a d i a l i n c l u i r a m tambem uma componente v e r t i c a l para o f l u x o .
Torstensson provou que e x i s t e uma acentuada d i f e r e n g a en t r e as solugoes c i l i n d r i c a e e s f e r i c a . o f a t o r tempo "T" em
qualquer n i v e l de d i s s s i p a g a o e cerca de 5 vezes maior para a solucao e s f e r i c a . Uma e x p l i c a g a o p a r c i a l para esta d i f e r e n g a e que Torstensson, usando d i f e r e n t e s modelos geometricos, i n c l u i componentes v e r t i c a l s em seu modelo e determinou o excesso de poro pressao de maneira d i f e r e n t e usando expansao de cavidade e s f e r i c a .
Para u t i l i z a r os modelos t e o r i c o s na determinagao do coe f i c i e n t e de adensamento, as medidas de d i s s i p a g a o de campo, r e g i s t r a d a s como fungao do tempo necessitam ser c o r r i g i d a s sub t r a i n d o a pressao h i d r o s t a t i c a do v a l o r da poro pressao medida
( AU = Ut - U^ ) . 0 excesso de poro pressao e entao normaliza do d i v i d i n d o - s e p e l o excesso de poro pressao i n i c i a l , e entao e p l o t a d o c o n t r a o tempo. Desta maneira o c o e f i c i e n t e de aden samento pode ser c a l c u l a d o a qualquer n i v e l de d i s s i p a g a o usan do o tempo medido e o f a t o r tempo t e o r i c o "T", correspondente a esse tempo medido.
I I . 2 - EXPANSAO DE CAVIDADES
0 problema da expansao de cavidades em uma massa de solo i d e a l tern r e c e b i d o atengao em relagao a um numero de problemas gee acnicos t a l como a capacidade de carga de fundag5es p r o f u n das i n t e r p r e t a g a o de ensaios p r e s s i o m e t r i c o s e p i e z o m e t r i c o s , r e s i s t e n c i a de ancoragem, e n t r e o u t r o s . Na m a i o r i a das vezes, o problema tern s i d o r e d u z i d o ao problema de expansao de uma ca vidade e s f e r i c a ou c i l i n d r i c a d e n t r o de uma massa i n f i n i t a de s o l o homogeneo e i s o t r 5 p i c o .
A solugao g e r a l de problemas de expansao de cavidades es f e r i c a ou c i l i n d r i c a em um solo i d e a l possuindo t a n t o coesao quanto a t r i t o , e obedecendo ao c r i t e r i o de Coulomb - Mohr f o i apresentada por Vesic (1972) e sera d e s c r i t o a s e g u i r .
Apesar de serem deduzidas equagoes para um s o l o com coe sao e a t r i t o , atengao sera dada para o caso p a r t i c u l a r de solos coesivos, sob condigoes nao drenadas onde o angulo de a t r i t o 0 e n u l o .
- expansao de cavidade e s f e r i c a
Consideremos o problema de uma cavidade e s f e r i c a de r a i o R i expandida por uma pressao uniformemente d i s t r i b u i d a p. Essa pressao tern por e f e i t o aumentar o r a i o e c r i a r na cavidade um estado de e q u i l i b r i o p l a s t i c o d e n t r o de uma zona adjacente a cavidade que se extendera ate a pressao a t i n g i r o v a l o r u l t i m o pu. Neste momento a cavidade t e r a um r a i o Ru e a zona p l a s t i c a
se estendera a t e um r a i o Rp. 0 solo alem deste r a i o permanece ra em e q u i l i b r i o e l a s t i c o . Para os problemas de engenharia e de i n t e r e s s e o conhecimento de pu e Rp.
Vesic (1972) assume que o solo na zona p l a s t i c a compor ta-se como um s o l i d o p l a s t i c o c o m p r e s s i v e l , d e f i n i d o pelos pa rametros de Mohr-Coloumb c e 0, bem como pela medida da d e f o r magao v o l u m e t r i c a , que pode ser determinada a p a r t i r do conhe cimento do estado de tens5es na zona p l a s t i c a e das relagoes e n t r e a mudanga de volume e a mudanga do estado de tensoes. Fo ra da zona p l a s t i c a o solo e assumido comportar-se como um so l i d o l i n e a r m e n t e e l a s t i c o e i s o t r o p i c o , d e f i n i d o p e l o
modulo de e l a s t i c i d a d e E e p e l o c o e f i c i e n t e de Poisson v fi assumido que antes do carregamento todo o s o l o e s t a sub -metido a um estado i s o t r o p i c o de tensoes e f e t i v a s q e que as forgas de volume sao d e s p r e z i v e i s d e n t r o da zona p l a s t i -ca.
A equagao de e q u i l i b r i o usando coordenadas e s f e r i c a s , com as notacoes da f i g u r a ( I I . 2 - 1 ) escreve-se como:
aC* + a g g - g r = Q ( n . 2 - 1 )
onde R e a d i s t a n c i a do ponto ao c e n t r o da cavidade.
Usando-se a condicao de r u p t u r a de Mohr e s c r i t a sob as duas formas e q u i v a l e n t e s s e g u i n t e s ,
( G < \ - ^ T ^ = l<Sa +G"T') <beu<f> + a c c o s ^ ( I I . 2 - 2 )
Cry 4- C co\a> (p _ 1 - S e n 0
<S<\ + C C o ^ y i +^ e n 0 ( I I . 2-3)
c a l c u l a - s e a expressao deOi" em fungao de G"(\ . Essa expressao e s u b s t i t u i d a na equagao ( I I . 2 1 ) que se t o r n a agora uma e -quagao d i f e r e n c i a l o r d i n a r i a para a fungao Ifl, .Essa e-quagao e i n t e g r a d a usando a condigao de contornoGft= pu quando K. =Ru e chega-se a s e g u i n t e expressao para SH:
( I I . 2 - 4 )
No caso p a r t i c u l a r de 0 = 0 temos:
(S"ft - ^ - H c l n (JL\ ( I I . 2 - 5 )
Para d e t e r m i n a r a pressao u l t i m a pu e o r a i o da zona p l a s t i c a Rp sera usada a h i p o t e s e de que a mudanga de v o l u -me da cavidade e i g u a l a mudanga de volu-me do s o l o na zona p l a s t i c a . Denotando o deslocamento r a d i a l por up, essa r e l a
-gao pode ser e s c r i t a como:
tC-R-,* = R? 3- ( R?- u p f + * ( I I . 2 - 6 )
F i g u r a I I . 2 - 1 - Expansao de cavidades (Vesic, 1972) "
15
das formulas de Lame, ou s e j a :
u ?
-2 E ( I I . 2 - 7 )
oi 3 dp e o v a l o r de em R = Rp. Logo,
( I I . 2 - 8 )
Combinando as equagoes ( I I . 2 - 7 ) e ( I I . 2-8) e desprezan do os termos de mais a l t a p o t e n c i a de up , bem como o termo R l , a equagao ( I I . 2 - 6 ) torna-se:
U 5er\0 J (j .yben 0 )
( I I . 2 - 9 )
Como r e s u i t a d o da e l a s t i c i d a d e , sabemos que a tensao o c t a e d r i c a f i c a constante durante a expansao da cavidade. I s -t o pode ser -t r a d u z i d o p e l a expressao (Sfi.+ 2.6V :=3&l-t;^. . Com i s s o podemos e s c r e v e r : •5, - feen (ft I n t r o d u z i n d o a equagao ( I I . 2 - 1 0 ) na equagao ( I I . 2 - 9 ) o btem-se: Ru3 " E 5 cos cj) + A 3 - t>eo<0 - ( I I . 2 - 1 1 1 Sabendo-se que f u ^ * 1 e ^ = s e nji ~ 1 , ^> cob szf chega-se a expressao: 14- E /
LzU+vKc
+ c j - t q ^ ) " ] . A ( I I . 2 - 1 2 ) Chamando-se o termo E / 2 . ( H = G>/(c+^-t:^^ =obtemos a expressao mais s i m p l i f i c a d a da forma:
onde I r e o i n d i c e de r i g i d e z do s o l o . Para o caso p a r t i c u -l a r de
0
= 0, I r = G/crA expressao ( I I . 2 - 1 3 ) pode ser ainda r e d u z i d a a:
na q u a l I r r e o i n d i c e de r i g i d e z r e d u z i d o .
Se considerar-mos a v a r i a g a o de volume n u l a , ou s e j a : k = 0 , e s t a u l t i m a expressao t o r n a - s e :
^ f -
-\l
I r ( I I . 2-14)Conhecendo-se =Rp/Ru, a pressao u l t i m a da cavidade po-de ser c a l c u l a d a p e l a expressao ( I I . 2 - 1 0 ) . E s t a por sua vez pode s e r colocada sob a forma:
pu a Fc + ^ ( I I . 2-15)
^ jiU+5en£)_ p j i ( I I . 2-16) 3 - S e n < £ L J
^ ( P ^ - l ) . C ^ ^ ( I I . 2 - 1 7 )
Quando se c o n s i d e r a 0 = 0 e /\= 0, chega-se a seguinte expressao s i m p l i f i c a d a :
Logo, os acrescimos de tensoes r a d i a i s e t a n g e n c i a i s po
dem ser c a l c u l a d o s a p a r t i r das expressoes ( I I . 2 - 2 ) e ( I I . 2 - 5 ) quando consideramos 0 = 0 da seguinte forma:
6*_<TT = Z C ( I I . 2 - 1 8 )
- expansao de cavidade c i l i n d r i c a
0 mesrao r a c i o c i n i o usado anteriorraente para a cavidade e s f e r i c a pode s e r erapregado para a dedugao das expressoes re l a t i v a s a expansao de cavidade c i l i n d r i c a , u t i l i z a n d o porem coordenadas c i l i n d r i c a s .
A equagao ( I I . 2 - 1 ) e agora e s c r i t a como:
f - - o < l l . 2 - l a >
B r r*
onde r e a d i s t a n c i a do ponto ao e i x o de s i m e t r i a da cavidade. Usando as consideracoes ante r i ore s , a equagao ( I I . 2-4) e e s c r i t a agora como:
= ^ u + CcoA*^) _ c c o ^ 0 (II.2-r4a)
e no caso p a r t i c u l a r de 0 = 0, temos:
G r - - a c l n f j C . \ ( I I . 2-5 a)
Da mesma forma, a equagao ( I I . 2 - 6 ) t o r n a - s e :
r ^ - r ^ s - [ ( ^ - u p l ' - r ^ ^ f / . r ^ . ^ ( I I . 2 - 6 a )
Pelo mesmo r a c i o c i n i o usado para expansao de cavidade e s f e r i c a , lembrando porem que a i n v a r i a n c i a da tensao octae-d r i c a e agora expressa por $ r -v 5e = 2-q. , chegamos a expressao e q u i v a l e n t e a ( I I . 2 - 1 0 ) que pode'ser e s c r i t a como:
l f \ j 4 - C c o l ^ ) ^ j - ( ^ c c o - l ^ ) ( i + seo$) ( I I . 2 - 1 0 a )
e colocando r p / r u = V I r r1 sen0, com I r r 1 = I r r / ( l + I r A s e c 0 ) , e para o caso p a r t i c u l a r de 0 = 0 e A =0, chegamos a expres-sao abaixo que e correspondente a ( I I . 2 - 1 4 )
Da mesma forma, seguem as expressoes:
Pu = C Fc' + q Fq« ( I I . 2 - 1 5 a )
Fg'= (1+sentf) Q r r s e c t f ) r M T / ( l l . 2 - 1 6 a )
Fc'= (Fg'-D Cotg^ ( I I . 2 - 1 7 a )
Com as mesmas consideragoes a n t e r i o r e s , cheaamos a ex pressSes para o c a l c u l o das tensoes para <t> = 0 e A = 0.
F '= l n l +1 c r F '= 1 q ar - ae = 2C ( I I . 2 - 1 8 a ) a = C ( l n l +1)-2Cln(£_) ( I I . 2 - 1 9 a ) r r ru
- a v a l i a g a o do excesso de poro pressao
Nas consideragoes procedentes, assumiu-se que a expansao de uma cavidade se da sob condigoes nao drenadas ou que o c a r regamento e l e n t o b a s t a n t e de modo que nenhum excesso de poro pressao se desenvolve. Se as condig5es de tensoes e f e t i v a s sao de i n t e r e s s e , a poro pressao induzida pela expansao da cavida de p r e c i s a ser determinada.
Para a a v a l i a g a o do excesso de poro pressao, pode-se u sar a s e g u i n t e expressao:
AU = gAa + aAx
o o
onde a e 8 sao os parametros de poro pressao de Henkel.
Assumindo a condigao i s o t r o p i c a para o estado i n i c i a l de tensoes e o s o l o saturado, a poro pressao em qualquer ponto da zona p l a s t i c a pode ser dada no caso de uma cavidade e s f e r i c a por:
AU = AaQ + 0,943 af.C ( I I . 2 - 2 0 )
onde A o q e o acrescimo de tensao media gerado p e l a expansao, e
19
A oo = 3 [°R + 2<C TR " 2C)] - g = a R - | c - q (II.2-21)
Levando-se em conta as equag5es ( I I . 2 - 1 4 ) e ( I I . 2 - 1 9 ) ,
AaQ = 4C l n ( Rp/ R ) ( I I . 2 - 2 2 )
S i m i l a r m e n t e , para uma cavidade c i l i n d r i c a temos:
A U = ACTo+ 0,817af.C (II.2-20a)
A c To = I [ a r + (0r " 2 c> + ^( c rr + a r -2C) ] - q = ar-C-q (II.2-21a) .Considerando as equagoes ( I I . 2 - 1 4 a ) e ( I I . 2 - 1 9 a ) , temos:
A aQ ;= 2C I n ( r / r ) (II.2-22a)
Corabinando as equagoes ( I I . 2 - 2 2 ) e ( I I . 2 - 2 2 a ) com as e quagoes ( I I . 2 - 2 0 ) e ( I I . 2 - 2 0 a ) , r e s u l t a em:
A U = [0,943af + 4 I n ( R / R ) ] C ( I I . 2-23) cavidade esferica e
Ati = [0,817af + 2 I n ( r / r ) ] C ( I I . 2-2 3a) cavidade cilindrica
0 parametro e s t a r e l a c i o n a d o com o parametro Af de Skempton da s e g u i n t e forma:
af = 0,707(3Af - 1) 1
Se tomarmos = ^ ( s o l o e l a s t i c o e i s o t r o p i c o em ensa i o t r i a x i a l nao d r e n a d o ) , encontraremos as s e g u i n t e s equagoes:
A U = 4C I n ( R / R ) ( I I . 2 - 2 4 ) cavidade e s f e r i c a e
A U = 2C I n ( r / r ) ( I I . 2 - 2 4 a ) cavidade c i l i n d r i c a
onde Rp e r ^ sao dados pelas expressoes ( I I . 2 - 1 4 ) e ( I I . 2 — 14a) para a expansao e s f e r i c a e c i l i n d r i c a , r e s p e c t i v a m e n t e .
Fora da zona p l a s t i c a , as mudangas na tensao media nor mal e n u l a , tendo como consequencia uma v a r i a g a o de poro pressao n u l a , desde que consideramos o_. = 0 .
As dedugoes f e i t a s a t e o presente consideraram o p r o b l e ma da expansao de cavidade p a r t i n d o de uma cavidade pre - e x i s
t e n t e . No caso porem da i n s t a l a g a o de estacas ou da cravagao de um piezocone dentro do s o l o , o r a i o i n i c i a l e n u l o . Esse pro-blema f o i estudado por C a r t e r e Wroth (1979), concluindo os au t o r e s que as t e o r i a s de expansao de cavidades p r e - e x i s t e n t e s po dem ser usadas tambem para expansao de cavidades com r a i o i n i _ c i a l n u l o , sem que i s s o conduza a e r r o s no que se r e f e r e ao es tudo da d i s t r i b u i g a o da poro pressao p a r t i n d o destas t e o r i a s .
21
I I .3 - MSTODOS NUMfiRICOS
- generalidades
Varios metodos de a n a l i s e numerica tern s u r g i d o nos u l t i mos anos com a f i n a l i d a d e de o b t e r soluc5es aproximadas para v a r i o s t i p o s de problemas. Devido a grande capacidade dos com putadores modernos hoje d i s p o n l v e i s , complexos problemas podem ser r e s o l v i d o s v i a solugoes numericas aproximadas.
Um dos metodos usados e o metodo das d i f e r e n g a s f i n i tas (MDF). 0 MDF u t i l i z a as equagoes d i f e r e n c i a i s que gover nam o problema. No dominio onde se procura a solugao, e i n t r o duzida uma malha de pontos nos quais a solugao sera c a l c u l a da. Os v a l o r e s das derivadas p a r c i a i s (ou o r d i n a r i a s ) que a parecem nas equagoes d i f e r e n c i a i s sao s u b s t i t u l d a s em cada ponto da malha por quociente de d i f e r e n g a s f i n i t a s envolvendo t a n t o o v a l o r no ponto quanto os v a l o r e s nos pontos adjacentes. 0 r e s u l t a d o f i n a l dessa d i s c r e t i z a g a o das equagSes d i f e r e n c i . a i s r e s u l t a em um sistema l i n e a r c u j a solugao fornece os v a l o res da fungao nos pontos da malha. Para se d e t e r m i n a r os v a l o res da fungao num ponto e n t r e os pontos da malha necessitam-se i n t e r p o l a r e n t r e os v a l o r e s da fungao encontrados nos pontos.
Em adigao ao MDF um o u t r o metodo mais r e c e n t e , conhecido como metodo dos elementos f i n i t o s (MEF) vem sendo desenvolvido e amplamente empregado. 0 MEF e uma t e c n i c a de a n a l i s e numer_i ca para o b t e r a solugao aproximada para uma grande variedade de problemas de engenharia. Ao c o n t r a r i o do MDF que v i s a a solugao do problema a t r a v e s de uma rede de pontos, o MEF v i s a a solugao c o b r i n d o a r e g i a o a ser estudada por uma q u a n t i dade f i n i t a de pequenas r e g i o e s ou elementos interconectados. 0 modelo do elemento f i n i t o da a aproximagao por "pedagos" da solugao do problema. A premissa basica do MEF e que a r e g i a o pode ser aproximada como r e u n i a o de um c o n j u n t o de elementos d i s j u n t o s . Desde que estes elementos possam ser justapos_ tos de modo v a r i a d o , e l e s podem ser usados para r e p r e s e n t a r formas de dominio de geometria complexa. A solugao g l o b a l so
bre toda a r e g i a o e o b t i d a por j u s t a p o s i g a o das solugoes c a l c u l a d a s sobre cada elemento da malha de elementos. Este metodo f o i u t i l i z a d o em nosso t r a b a l h o , e maiores comentarios sobre o mesmo, serao f e i t o s p o s t e r i o r m e n t e .
Alem dos metodos c i t a d o s , um o u t r o ainda mais r e c e n t e , chamado de metodo dos elementos de contorno (MEC) tern s i d o desenvolvido nos u l t i m o s anos. Neste metodo, a f r o n t e i r a (con t o r n o ) da r e g i a o e s u b d i v i d i d a em elementos de f r o n t e i r a e os v a l o r e s da fungao pesquisada e das suas d e r i v a d a s p a r c i a i s sao c a l c u l a d a s em alguns pontos sobre esses elementos da f r o n t e i r a . Os v a l o r e s da fungao no i n t e r i o r do dominio e c a l c u l a do em seguida por uma f 5 r m u l a i n t e g r a l .
Todos esses metodos tornaram-se cada vez mais u t i l i z a dos gragas ao desenvolvimento de computadores cada vez mais potentes e v e l o z e s , e que permitem em um espago de tempo re
l a t i v a m e n t e c u r t o r e a l i z a r grande quantidade de c a l c u l o s .
- abordagens para o uso do MEF
Em um problema onde se procura c a l c u l a r uma solugao sobre um dominio c o n t i n u o de qualquer dimensao, a v a r i a v e l de campo (pressao, deslocamento, tensao) p o s s u i i n f i n i t o s v a l o r e s e pertence igualmente a um espago v e t o r i a l de di-mensao i n f i n i t a . Consequentemente o problema t o r n a - s e um problema com i n f i n i t o numero de i n c o g n i t a s . 0 procedimento de d i s c r e t i z a g a o em elementos f i n i t o s j u n t o com a escolha sobre cada elemento das fungoes de aproximagao permitem a con~trugao de um subespago v e t o r i a l de fungoes d e n t r o do
qual sera procurada uma solugao aproximada do problema. Es t e procedimento t o r n a o problema com numero f i n i t o de incogni_ t a s , que serao as componentes da solugao aproximada, uma vez que uma base f o i e s t a b e l e c i d a para o subespa
As fungoes de aproximagao sao algumas vezes chamadas f u n goes de i n t e r p o l a g a o , e sao d e f i n i d a s era terraos dos v a l o r e s das v a r i a g o e s de campo era pontos e s p e c i f i c a d o s d e n t r o do elemento ou sobre sua f r o n t e i r a , chamados pontos nodais ou simplesraente nos. Os nos sao usualraente colocados no c o n t o r no dos elementos, onde os elementos adjacentes sao conside rados conectados. Os v a l o r e s das v a r i a v e i s de campo nos nos e as fungoes de i n t e r p o l a g a o definera completamente o compor tamento das v a r i a v e i s de campo d e n t r o do elemento. A n a t u r e za da solugao o b t i d a p e l o MEF e o grau de aproximagao depen dera nao somente do taraanho e do numero dos elementos usados
como tambem das fungoes de i n t e r p o l a g a o s e l e c i o n a d a s . Uma vez que o dominio da solugao f o i recortada em elementos , e que sobre cada elemento as fungoes de i n t e r p o l a g a o foram e s c o l h i d a s , o subespago v e t o r i a l d e n t r o do q u a l sera pesqui sada a solugao aproximada f i c a completamente d e f i n i d o . Ne c e s s i t a - s e entao um c r i t e r i o para e s c o l h e r a solugao apro -ximada d e n t r o desse subespago v e t o r i a l . Para i s s o , o metodo
dos elementos f i n i t o s possui basicamente q u a t r o d i f e r e n t e s ahordagens ou c r i t e r i o s .
A p r i m e i r a abordagem e chamada DIRETA porque provem d i r e t a m e n t e do metodo da r i g i d e z do c a l c u l o e s t r u t u r a l . Nes sa abordagem, o c r i t e r i o usado c o n s i s t e em e n c o n t r a r d e n t r o do subespago v e t o r i a l a solugao que s a t i s f a z a uma r e l a g a o do t i p o [ K ] | T ] — \f\ , sobre cada elemento, r e l a g a o e s t a que e s t a b e l e c i d a a t r a v e s de i n t e r p r e t a g o e s f i s i c a s do p r o bleraa em questao. A segunda abordagem e chamada VARIACIONAL, e e baseada no c a l c u l o da v a r i a g o e s . Consiste em se p r o c u r a r d e n t r o do subespago v e t o r i a l a solugao que minimize uma f u n c i o n a l correspondente as equagoes d i f e r e n c i a i s e as con digoes de contorno. A t e r c e i r a abordagem e d i t a dos RESl DUOS PONDERADOS e estabelece como c r i t e r i o e n c o n t r a r d e n t r o do suhespago v e t o r i a l a fungao solugao t a l que a sua imagem a t r a v e s do operador d i f e r e n c i a l representado p e l a s equagoes d i f e r e n c i a i s que regem o problema s e j a o r t o g o n a l a algumas fungoes p r e - e s t a b e l e c i d a s . Em p a r t i c u l a r , quando essas f u n goes p r e - e s t a b e l e c i d a s forraam uma base do subespago v e t o r i a l , obtemos o metodo d i t o de GALERKIN. A q u a r t a abordagem
esta l i g a d a ao BALANCO DE ENERGIA, e o c r i t e r i o de escolha usa do c o n s i s t e em e n c o n t r a r a fungao do subespago v e t o r i a l para a q u a l o balango e n e r g e t i c o seja s a t i s f e i t o . A natureza da ener g i a e n v o l v i d a depende do problema.
A solugao de um problema de elementos f i n i t o s semnre se gue um procedimento ordenado passo a passo. Este procedimento pode ser resumido como:
1 - DISCRETIZACAO DO DOMlNIO DE SOLUGAO 2 - SELECAO DAS FUNCOES DE INTERPOLAGAO 3 - CALCULO DAS MATRIZES ELEMENTARES
4 - MONTAGEM DAS MATRIZES ELEMENTARES PARA OBTER 0 SISTE MA GLOBAL DE EQUACOES.
5 - RESOLUCAO DO SISTEMA DE EQUACOES 6 - COMPUTAgOES A D I C I O N A I S , SE DESEJAVEL
I I . 4 - TEORIA DO ADENSAMENTO DOS SOLOS
Quando um s o l o saturado e submetido a um estado de t e n s5es com tensao normal media compressiva, o decrescimento do volume de s o l o e devido quase que t o t a l m e n t e ao decrescimo na quantidade da agua, p o i s t a n t o a agua quanto os graos de so l o podem ser considerados como imcompressiveis. Desde que as mudangas na quantidade de agua se dao a uma razao que depende da permeabilidade do s o l o , a compressao do solo e g r a d u a l e e v o l u i no tempo. 0 processo de expulsao de agua dos poros do s o l o com o consequente decrescimo de volume e chamado adensa mento.
Em 1 9 2 3 Terzaghi propos uma t e o r i a para o adensamento u n i d i m e n s i o n a l e e s t a t e o r i a teve uma i m p o r t a n t e fungao na me c a n i c a dos solos porque marcou o i n i c i o da mecanica dos so l o s como sendo uma c i e n c i a independente. A adequagao da t e o r i a u n i d i m e n s i o n a l ao comportamento r e a l do solo nao e p e r f e i t a devido as suas p r p r i a s l i m i t a g o e s (homogeneidade, i s o t r o p i a u n i d i m e n s i o n a l i d a d e ) . Com o orogresso da mecanica dos solos, f o ram s u r g i n d o t e o r i a s b i e t r i d i m e n s i o n a l s para o estudo do aden samento, em condigoes menos r e s t r i t i v a s , o que promoveu maior desenvolvimento no estudo do fenomeno.
25
Cryer (1963), fez um estudo comparativo das duas t e o r i a s t r i d i m e n s i o n a l s de adensamento mais d i f u n d i d a s , ou s e j a , a teo r i a t r i d i m e n s i o n a l de Terzaghi-Rendulic e a de B i o t . Cryer
(1963) a p l i c o u essas duas t e o r i a s para o problema do adensamen t o de uma e s f e r a submetida a uma pressao uniforme. Analisando a dissipagao da pressao gerada no c e n t r o da e s f e r a , Cryer (1963) notou que a t e o r i a de Terzaghi r e s u l t a numa curva que decresce monotonicamente, enquanto que a a p l i c a g a o da t e o r i a de B i o t r e
s u l t a numa curva c u j a pressao cresce i n i c i a l m e n t e , para depois decrescer ( e f e i t o de Mandel-Cryer).
£ conhecido tambem (Hwang e t a l . 1972) que a t e o r i a de Terzaghi nao e adequada para r e p r e s e n t a r a c o n t i n u i d a d e da mas sa de s o l o . Sob este ponto de v i s t a e p r e f e r i v e l o uso da teo r i a de B i o t , desde que e s t a acopla o e q u i l i b r i o das t e n soes t o t a i s a. c o m p a t i b i l i d a d e das deformagoes durante o aden samento.
No presente t r a b a l h o e usada a t e o r i a c adensamento de B i o t , e uma mais ampla discussao desta t e o r i a e dada a se g u i r .
- t e o r i a do adensamento de B i o t
As t e o r i a s do adensamento de B i o t (1941, 1955, 1956) levam em conta v a r i a s propriedades basicas do s o l o , t a i s como:
1- i s o t r o p i a ou a n i s o t r o p i a do s o l o
2- r e v e r s i b i l i d a d e das relagoes tensao-deformagao sob condigoes de e q u i l i b r i o f i n a l
3- l i n e a r i d a d e das relagoes tensao-deformagao 4- pequenas deformag5es
5- i n c o m p r e s s i b i l i d a d e da agua dos poros do s o l o 6- v a l i d a d e da l e i de Darcy
Esta t e o r i a pode ser considerada como generalizagao da t e o r i a da e l a s t i c i d a d e a p l i c a d a aos meios porosos.
As equagoes d i f e r e n c i a i s basicas que governam a t e o r i a de B i o t podem ser e s t a b e l e c i d a s como segue:
a) equagao de e q u i l i b r i o
b) equac :> da continuidade do f l u i d o
^ + P-^U + A l i . i = 0 ( I I . 4 - 2 )
Alem das duas equagoes b a s i c a s , existem mais duas e quagoes c o n s t i t u t i v a s :
c) r e l a g a o tensao-deformagao para o esqueleto do solo
S\6--C-^.e*\ t onde e t t s l ( u ^ + t t ^ ( I I . 4 - 3 ) d) . l e i de Darcy
^ ^
k i^ P . i + p V f p
( I I . 4 - 4 )Nestas equagoes, a v i r g u l a precedendo um s u b s c r i t o ,sig_ n i f i c a derivagao p a r c i a l em r e l a g a o a d i r e g a o i n d i c a d a p e l o s u b s c r i t o , e o ponto sobre a v a r i a v e l denota uma derivagao em r e l a g a o ao tempo.
As demais notagoes sao relacionadas abaixo. - componentes do t e n s o r de tensoes e f e t i v a s P - poro pressao da agua
p - densidade da massa de solo
- componentes do v e t o r f o r g a de volume 5*^ - d e l t a Kronecker
kv^ - componentes do t e n s o r de permeabilidade poj - densidade do f l u i d o
Q.H\ - componentes do tensor def ormagao
XU - componentes do v e t o r deslocamento na d i r e g a o i " t e n s o r tensao-def ormagao
As s e g u i n t e s condigoes de contorno sao p o s s i v e i s pa r a o problema da consolidagao, como e s t a esquematizado na f i g u r a I I . 4 - 1 .
1 - deslocaraentos Uj_ / conhecidos na p a r t e do c o n t o r no Sx
2 - pressoes p^ na p a r t e do contorno S2» P - P±
3 - t r a g a o a p l i c a d a ou carregamento na s u p e r f i c i e , Tj^ na p a r t e do contorno S^.
= ( + p ) n j onde n j sao as compo
nentes do v e t o r u n i t a r i o normal.
4 - vazao Q , a p l i c a d a na p a r t e do contorno
Q = q^.n^ , n^ sao as componentes do v e t o r u n i t a r i o normal
F i g u r a I I . 4 - 1 - Diagrama esquematico das condigoes de contorno para o problema da c o n s o l i d a gao.
- p r i n c i p l e - v a r i a c i o n a l
Para podermos t r a t a r as equagoes d i f e r e n c i a i s de B i o t atraves do metodo dos elementos f i n i t o s , vamos u t i l i z a r um p r i n c i p i o v a r i a c i o n a l para o tratamento do problema. De acor do com Sandhu (1972), para a classe dos problemas que envoi vem condigoes de c o n t o r n o e v a l o r e s i n i c i a i s e conveniente o uso de uma abordagem v a r i a c i o n a l . 0 fundamento do metodo dos elementos f i n i t o s para t a l abordagem c o n s i s t e em achar uma f u n c i o n a l t a l que as condig5es de minimo dessa f u n c i o n a l
(condigoes de E u l e r ) sejam exatamente i d e n t i c a s as equagoes d i f e r e n c i a i s que governam o problema j u n t o com as condigoes de contorno. A p r i m e i r a formulagao para elementos f i n i t o s que aparece na l i t e r a t u r a e aquela devida a Sanghu e Wilson
(1969). Esta formulagao e baseada num teorema v a r i a c i o n a l de convolugao que tem como p r i n c i p i o as formulagoes para p r o b l e mas de v a l o r e s i n i c i a i s de G u r t i n .
Yokoo, Yamagata e Nagaoka (1971) deduziram teoremas va r i a c i o n a i s de convolugao s i m i l a r e s aqueles desenvolvidos por Sandhu e Wilson (1969). Aqueles autores i n v e s t i g a r a m o uso de fungoes de d i s c o n t i n u i d a d e para melhorar a representagao da poro pressao i n s t a n t a n e a (no tempo zero) do f l u i d o .
Alem destes t r a b a l h o s podemos c i t a r , Hwang, Morgenstern e Murray (1972) que desenvolveram uma formulagao para a teo r i a do adensamento de B i o t baseada no metodo dos r e s l d u o s ponderados. Esta abordagem e conceitualmente mais simples no que d i z r e s p e i t o a i n t e r p r e t a g a o f l s i c a das equagoes envolvi_ das.
No presente t r a b a l h o f o i u t i l i z a d o o teorema v a r i a c i o n a l de convolugao desenvolvido por Sandhu e Wilson (1969), v i s t o que o mesmo tem se mostrado bastante e f i c i e n t e no t r a tamento do adensamento do s o l o . Segundo este p r i n c i p i o , a so lugao das equagoes ( I I . 4 - 1 ) e ( I I . 4 - 2 ) , juntamente com as condigoes de c o n t o r n o , corresponde a solugao m i n i m i z a n t e da seguinte f u n c i o n a l .
29 A,A, — ( I I . 1-5) Nesta eg u a ?a o * denote o p r o d u t o de c o n v o l v e que e a e f m i d o carao: z
-CAPlTULO I I I
FORMULACAO BASEADA NA FUNCIONAL E USADA NA ELABORACAO DO PROGRAMA
I I I . 1 - FUNCIONAL PARA ELEMENTOS FINITOS
Seja a f u n c i o n a l ( I I . 4 - 5 )
r
A ( u] ?)
-- J s ( T * uA) d s + | (^*Q*p ^ c i s
Uma prova d i r e t a de que a minimizagao desta f u n c i o n a l e e q u i v a l e n t e as equagoes d i f e r e n c i a i s da t e o r i a de B i o t , j u n t o com as condigoes de c o n t o r n o , f o i apresentada p o r Sandhu
(1975) e e c i t a d a por Sandhu (1976).
Esta f u n c i o n a l pode tambem ser e s c r i t a na forma m a t r i c i a l como segue:
J
( I I I . 1 - 1 )
Vamos e s t a b e l e c e r entao a formulagao por elementos f i n i tos do problema do elasto-adensamento a x i s s i m e t r i c o , usando e s t a f u n c i o n a l na abordagem v a r i a c i o n a l . Como o adensamento e um fenomeno que e v o l u i com o tempo, uma complicagao a mais e i n t r o d u z i d a , e esta sera t r a t a d a p o s t e r i o r m e n t e , quando desen volvermos a marcha no tempo.
31
I I I . 2 - PROCEDIMENTOS PARA A ELABORACAO DO PROGRAMA
Como f o i c i t a d o no i t e m I I . 3 , a a p l i c a g a o do metodo dos elementos f i n i t o s para a obtengao da solugao de um problema dentro de um dominio c o n t i n u o , permite que se s i g a uma sequen c i a de operagoes passo a passo. Estes passos serao desenvol vidos neste i t e m , um apos o o u t r o , visando e x p l i c a r o desen volvimento do programa u t i l i z a d o para a resolugao numerica das equag5es do adensamento em t o r n o do piezocone.
- d i s c r e t i z a g a o do dominio de solugao
A premissa b a s i c a do metodo dos elementos f i n i t o s e que o dominio c o n t i n u o representando a r e g i a o da solugao, aue tem uma forma a r b i t r a r i a , pode ser modelado por um c o n j u n t o de formas s i m p l e s , que sao os elementos f i n i t o s .
0 p r i m e i r o passo e, p o i s , d i v i d i r a r e g i a o da solugao em elementos. No caso dos problemas envolvendo s i m e t r i a de r e volugao, e em p a r t i c u l a r no caso do adensamento em t o r n o do piezocone, a r e g i a o da solugao r e s u l t a em um t o r o i d e de revo lugao, e consequentemente, cada elemento e uma subregiao em forma de t o r o i d e . 0 f a t o de e x i s t i r a s i m e t r i a p e r m i t e t r a b a lharmos sobre a r e g i a o c o r t a d a por um piano que contem o e i x o de revolugao. I s s o p e r m i t e desenvolver elementos p l a nos para o t r a t a m e n t o de problemas a x i s s i m e t r i c o s . V a r i a s f o r mas de elementos pianos podem ser usadas na r e g i a o da solugao. No presente t r a b a l h o , foram desenvolvidas formulagoes para d o i s t i p o s de elementos t o r o i d a i s ; com segao t r i a n g u l a r e com segao q u a d r i l a t e r a l . A escolha de d i f e r e n t e s elementos pode ser o t i m i z a d a a t r a v e s da comparagao da a p l i c a b i l i d a d e destas duas formas de elementos no problema do adensamento dos solos, seja isoladamente ou numa malha m i s t a . A forma mais f r e q u e n t e de elemento usada e a t r i a n g u l a r . A razao para i s t o e que uma reuniao de t r i a n g u l o s pode p e r m i t i r r e p r e s e n t a r um dominio b i - d i m e n s i o n a l ou t r i - d i m e n s i o n a l com s i m e t r i a de revolugao
de qualquer geometria. Neste t r a b a l h o f o i e s c o l h i d o o t i a n g u l o com 6 ( s e i s ) nos como mostrado na f i g u r a I I I . 2 - 1 . Apesar dos elementos t r i a n g v i l a r e s se adaptarem com b a s t a n t e p r e c i sao as mais v a r i a d a s formas de contorno, uma melhor aproxima gao para contornos curvos e p o s s i v e l com o uso de elementos com lados curvos. I s t o p e r m i t e o uso de um numero menor de elementos na d i s c r e t i z a g a o do dominio da solugao, p e r m i t i n d o uma melhor representagao do contorno. Para este t i p o de e l e mento, a i n t e r p o l a g a o da v a r i a v e l de campo e a i n t e r p o l a g a o da geometria do contorno curvo sao expressas por fungoes de i n t e r p o l a g a o da mesma ordem (ver item s e g u i n t e ) . No presente, usaremos um q u a d r i l a t e r o i s o p a r a m e t r i c o com 8 ( o i t o ) nos, co mo mostrado na f i g u r a I I I . 2 - 2 .
Dois aspectos, alem da forma, c a r a c t e r i z a m um elemento p a r t i c u l a r : o numero de nos no elemento e o numero e t i p o de v a r i a v e i s nodais a serem e s c o l h i d a s . 0 numero de nos para ca da elemento usado j a f o i d e f i n i d o a n t e r i o r m e n t e . As v a r i a v e i s nodais ou parametros para um elemento sao chamados de graus de l i b e r d a d e do elemento. Em relagao aos problemas de adensamento t r i - d i m e n s i o n a l com s i m e t r i a de r e v o l u g a o , temos t r e s v a r i a v e i s n o d a i s : o deslocamento h o r i z o n t a l (u) , o des_ locamento v e r t i c a l (v) e a poro pressao ( p ) . Alguns autores
(Desai, 1975; Sandhu, 1972), tem usado modelos nos quais a d i s t r i b u i g a o das tensSes e poro pressao da agua sao d e f i n i das p e l a mesma ordem de aproximagao. I s t o requer uma v a r i a gao q u a d r a t i c a para os deslocamentos e l i n e a r para a poro pressao. Modelos deste t i p o podem ser o b t i d o s usando elemen t o s nos quais sao calculados os deslocamentos• horizontals e verticals
(u e v) em todos os nos do elemento, e as press5es apenas nos nos i n t e r m e d i a r i e s . 0 uso destes elementos (elementos compos t o s ) envolve grande l a r g u r a de banda, o que l i m i t a a capaci_ dade de um programa, (Sandhu, 1972). Elementos com variagao q u a d r a t i c a para todas as v a r i a v e i s de campo ( u , v e p) tem sido usados por B e l k e z i z e Magnan (1982). Este t i p o de e l e mento f o i usado no presente desenvolvimento.
F i g u r a 111,2-2 - Anel a x i s s i m e t r i c o com segao q u a d r i l a t e r a l
1 rt 22 f i i j r j
Em p r i n c i p i o , nos podemos e x p r e s s a r as coordenadas ge n e r a l i z a d a s corao s o l u g l o das equagoes ( I I I .2 - 2 ) , i s t o e,
( I I I . 2 - 3 )
E x p r e s s a n d o os termos da equagao ( I I I .2 - 1 ) como produ t o de nm v e t o r l i n h a p o r um v e t o r c o l u n a , podemos e s c r e v e r : (p = L P l U I ( I I I . 2 - 4 ) onde \j>~] r L i ^ i r i rJ 3.2"] E n t a o , s u b s t i t u i n d o a equagao ( I I I . 2-4) na equagao ( I I I .2 - 3 ) teremos:
0 = L P I O V ' M - M M cm.2-5)
comDa equagao ( I I I . 2-5) e f a c i l c o n s t a t a r que as fungoes r e f e r e n t e s ao no i toma o v a l o r 1 no no i e o v a l o r 0 em t o d o s os o u t r o s nos do e l e r a e n t o .
P a r a a l g u n s t i p o s de e l e m e n t o s7 a i n v e r s a da m a t r i z [ G ]
pode nao e x i s t i r p a r a t o d a s as o r i e n t a g o e s do e l e m e n t o no s i s t e r a a g l o b a l de e i x o s . Uma o u t r a desvantagem dessa f o r m u l a gao e s t a no f a t o de que pode s e r r e q u e r i d o um e s f o r g o compu t a c i o n a l m u i t o grande p a r a a coraputagao da i n v e r s a de \_G J : Por e s t a s r a z o e s tem-se p r e f e r i d o o b t e r as fungoes de i n t e r p o l a g a o H i p o r i n s p e g a o . A dedugao d e s t a s fungoes p o r i n s p e
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gao n e c e s s i t a em g e r a l do uso de coordenadas NATURAIS. Para o caso do t r i a n g u l o e s t a s coordenadas sao charaadas BARICEN TRICAS. Podemos e n t a o d e f i n i r as coordenadas L]_, L2 e L3 pa
r a d e s c r e v e r a l o c a l i z a g a o de q u a l q u e r p o n t o d e n t r o do e l e raento ou no s e u c o n t o r n o . Com as n o t a g o e s da f i g u r a I I I . 2 - 3 , as f l i n g o e s de i n t e r p o l a g a o podem s e r e s c r i t a s como: N l = L i ( 2 LX -
