TESE_O uso de grupos de permutação no estudo estatístico de sequências simbólicas

Texto

(1)O USO DE GRUPOS DE PERMUTAÇÃO NO ESTUDO ESTATÍSTICO DE SEQUÊNCIAS SIMBÓLICAS. DEVANIL JAQUES DE SOUZA. 2009.

(2) DEVANIL JAQUES DE SOUZA. O USO DE GRUPOS DE PERMUTAÇÃO NO ESTUDO ESTATÍSTICO DE SEQUÊNCIAS SIMBÓLICAS. Tese apresentada à Universidade Federal de Lavras, como parte das exigências do Programa de PósGraduação em Estatística e Experimentação Agropecuária, para a obtenção do título de “Doutor”. Orientador Prof. Dr. Lucas Monteiro Chaves Coorientador Prof. Dr. Marlos A. G. Viana. LAVRAS MINAS GERAIS – BRASIL 2009.

(3) Ficha Catalográfica Preparada pela Divisão de Processos Técnicos da Biblioteca Central da UFLA. Souza, Devanil Jaques de. O uso de grupos de permutação no estudo estatístico de sequências simbólicas / Devanil Jaques de Souza. – Lavras : UFLA, 2009. 194 p. : il. Tese (Doutorado) – Universidade Federal de Lavras, 2009. Orientador: Lucas Monteiro Chaves. Bibliografia. 1. Simetria. 2. Dados estruturados. 3. Permutação. 4. Grupo simétrico. 5. Projetores canônicos. 6. Análise de variância. I. Universidade Federal de Lavras. II. Título. CDD – 515.22.

(4) DEVANIL JAQUES DE SOUZA. O USO DE GRUPOS DE PERMUTAÇÃO NO ESTUDO ESTATÍSTICO DE SEQUÊNCIAS SIMBÓLICAS Tese apresentada à Universidade Federal de Lavras, como parte das exigências do Programa de Pósgraduação de Estatística e Experimentação Agropecuária, para a obtenção do título de “Doutor”. APROVADA em 25 de maio de 2009.. Prof. Dr. Marlos A. G. Viana. The University of Illinois at Chicago – USA. Prof. Dr. Renato Martins Assunção. UFMG. Prof. Dr. Daniel Furtado Ferreira. UFLA. Prof. Dr. Júlio Sílvio Sousa Bueno Filho. UFLA. Prof. Dr. Lucas Monteiro Chaves UFLA (Orientador). LAVRAS MINAS GERAIS – BRASIL.

(5) Às memórias de. Jorge Fernandes de Souza, meu pai. Maria dos Reis de Souza, minha mãe. Carlos Eduardo Leite de Castro Souza, meu filho.

(6) AGRADECIMENTOS. Agradeço aos meus colegas no Departamento de Ciências Exatas (DEX) da Universidade Federal de Lavras (UFLA), no mestrado e no doutorado, pela convivência sempre harmoniosa e enriquecedora.. Agradeço aos professores do DEX, sempre dispostos a dar atenção a mais uma pergunta, a prestar mais um esclarecimento.. Agradeço especialmente ao meu coorientador, prof. Marlos Viana, por ter se dedicado com tanto empenho a este trabalho.. Agradeço muito especialmente ao meu orientador, Prof. Lucas Monteiro Chaves. Muito mais que um orientador, tornou-se um grande amigo.. Por último, por ser o mais importante, agradeço a minha esposa Ângela. Sem o seu suporte, atenção e paciência, nada teria sido possível..

(7) SUMÁRIO. LISTA DE FIGURAS .................................................................. Página i. RESUMO........................................................................................ ii. ABSTRACT.................................................................................... iii. 1. INTRODUÇÃO................................................................. 1. 2. REFERENCIAL TEÓRICO.............................................. 3. 2.1. Grupos e representações..................................................... 3. 2.1.1. O grupo simétrico S n ........................................................ 4. 2.1.2. Representações de grupos.................................................. 8. 2.2. Teoria dos Caracteres......................................................... 14. 2.2.1. O caracter de uma representação........................................ 14. 2.2.2. Aplicações básicas............................................................. 15. 2.2.2.1 Lema de Schur.................................................................... 16. 2.2.3. Ortogonalidade dos caracteres........................................... 20. 2.2.4. A decomposição da representação regular......................... 23. 2.2.5. O número de representações irredutíveis........................... 24. 2.2.6. Decomposição canônica de uma representação................. 28. 2.2.7. A decomposição padrão..................................................... 33. 2.3. Aplicação da teoria das projeções canônicas à análise de variância........................................................................ 40. 2.3.1. Considerando as repetições................................................ 46. 2.4. Associação de um grupo a um delineamento experimental....................................................................... 48. 3. MATERIAL E MÉTODOS............................................... 56. 3.1. Ação de grupo à esquerda e à direita................................. 57. 3.2. Caracterização dos grupos considerados ........................... 58.

(8) 3.2.1. O grupo simétrico S3 ........................................................ 58. 3.2.2. O grupo cíclico C3 ........................................................... 59. 3.2.3. O grupo simétrico S 4 ........................................................ 62. 3.2.4 O grupo diedral D4 .......................................................... 69. 3.2.5. O grupo cíclico C4 ........................................................... 70. 3.2.6. O grupo alternado A4 ....................................................... 71. 3.2.7. O grupo de Klein K 4 ........................................................ 73. 4. RESULTADOS E DISCUSSÃO....................................... 76. 4.1. Projetores canônicos, invariantes e contrastes.................. 77. 4.1.1. A decomposição regular do grupo simétrico S3 ............... 77. 4.1.2. A decomposição regular do grupo cíclico C3 ................... 81. 4.1.3. A decomposição regular do grupo simétrico S 4 ............... 82. 4.1.4. A decomposição regular do grupo diedral D4 .................. 92. 4.1.5. A decomposição regular do grupo cíclico C4 ................... 97. 4.1.6. A decomposição regular do grupo alternado A4 ............... 98. 4.1.7. A decomposição regular do grupo de Klein K 4 ................ 100. 4.2. Simetrias em seqüências simbólicas.................................. 101. 4.2.1. Ação à esquerda do grupo simétrico S3 ........................... 102. 4.2.2. Ação à esquerda do grupo cíclico C3 ............................... 107. 4.2.3. Ação à direita do grupo simétrico S 4 ............................... 111. 4.2.4. Ação à direita do grupo diedral D4 .................................. 115. 4.2.5. Ação à direita do grupo cíclico C4 ................................... 120. 4.2.6. Ação à direita do grupo alternado A4 ............................... 121.

(9) 4.2.7. Ação à direita do grupo K 4 ............................................... 4.3. O grupo dos automorfismos de um delineamento. 123. experimental....................................................................... 125. 4.3.1. O grupo dos automorfismos de um quadrado latino 3x3... 125. 4.3.2. O grupo dos automorfismos de um delineamento em blocos incompletos balanceados.................................. 133. 5. CONCLUSÕES.................................................................. 142. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS............................... 143. 7. APÊNDICE........................................................................ 146.

(10) LISTA DE FIGURAS. Página FIGURA 1. Representação gráfica da relação entre duas Representações isomorfas ρ1 e ρ2 ....................... 10. Representação gráfica da propriedade f D ρs = ηs D f .................................................... 16. FIGURA 3. Movimentos rígidos no tetraedro (1)..................... 64. FIGURA 4. Movimentos rígidos no tetraedro (2)..................... 64. FIGURA 5. Obtenção de dupla transposição por composição de rotações, no tetraedro regular ..... 83. Composição de uma reflexão e uma rotação, no tetraedro regular.................................. 84. FIGURA 2. FIGURA 6. i.

(11) RESUMO. SOUZA, Devanil Jaques de. O uso de grupos de permutação no estudo estatístico de sequência simbólicas. 2009. 194 p. Tese (Doutorado em Estatística e Experimentação Agropecuária)-Universidade Federal de Lavras, Lavras.. Dados são, muitas vezes, indexados por um conjunto de rótulos que refletem certas condições experimentais de interesse. Quando esses rótulos têm, além disso, alguma simetria em sua estrutura particular, a metodologia dos estudos de simetria (VIANA, 2008) pode ser utilizada para facilitar a análise e a interpretação desses dados. Os componentes algébricos desses estudos levam, em particular, à aplicação de teoremas como o de FisherCochran na forma de analise de variância para se testarem várias hipóteses paramétricas relacionadas às simetrias. Neste trabalho, as propriedades relacionadas às simetrias, obtidas para dados indexados por sequências simbólicas de tamanho três, são estudadas em detalhe dentro deste contexto, e um método para a sua identificação sistemática é obtido, permitindo assim a formulação das correspondentes hipóteses estatísticas. As rotinas computacionais necessárias, usando linguagem simbólica, são também introduzidas.. ______________________ Comitê Orientador: Lucas Monteiro Chaves – UFLA (orientador) e Marlos G. Viana – University of Illinois.. ii.

(12) ABSTRACT. SOUZA, Devanil Jaques de. The use of permutation groups on the study of symbolic sequences. 2009. 194 p. Thesis (Doctorate in Statistics and Agricultural Experimentation) – Universidade Federal de Lavras, Lavras.. Data are often indexed by a set of labels that reflect certain experimental conditions of interest. When these labels have, in addition, some symmetry in their particular structure, the methodology of symmetry studies (Viana, 2008) can be used to facilitate the analysis and interpretation of data. The algebraic component of these studies leads, in particular, to the application of theorems of the Fisher-Cochran type in the form of analysis of variance for testing the several symmetry-related hypotheses in parametric form. In the present work, the symmetry-related properties derived for the study of data indexed by symbolic sequences in length of three are studied in detail within that context, and a method for their systematic identification is obtained - thus leading to the formulation of the corresponding statistical hypotheses. Supporting computational routines using symbolic logic language are also introduced in this work.. ______________________ Guidance Committee: Lucas Monteiro Chaves – UFLA (Major Professor) and Marlos G. Viana – University of Illinois.. iii.

(13) l. INTRODUÇÃO. Em estatística, resultados experimentais são, muitas vezes, indicados por. X = ( X 1 , X 2 , ..., X n ) , em que o conjunto de índices. {1, 2, ..., n}. não desempenha qualquer papel relevante. Contudo, em várias situações existe uma forte ligação entre os índices e os dados, entre o objeto do experimento e o respectivo dado experimental. Para ilustrar, considere os exemplos seguintes:. Exemplo 1.1 - Suponha que, em uma eleição, os candidatos sejam representados pelo conjunto. S = {a, g , c, t} e que os eleitores devam. descartar um dos candidatos e ordenar os três restantes, de acordo com sua ordem de preferência. Neste caso, os dados. (. X = X agc , X agt , ..., X gct. ). representam o número de eleitores que escolheram cada uma das 24 possíveis ordenações de 3 entre os 4 candidatos, representadas pelos índices. #. Exemplo. 1.2. -. Suponha. que. o. conjunto. de. símbolos. S = {a, g , c, t} represente as quatro bases presentes em sequências de DNA (ácido desoxirribonucleico): (a) adenina, (g) guanina, (c) citosina e (t) timina. Dada uma determinada sequência biológica (DNA), o experimento consiste em contar as frequências de ocorrência de cada uma das sequências de três dos quatro símbolos, de modo que os dados resultantes. (. ). X = X aaa , X aag , ..., X ttt são indexados por cada uma das 64 possíveis sequências.. #. 1.

(14) Observe que, no Exemplo 1.2, os índices utilizados podem ser vistos como o conjunto das funções. V = { f : L → S} em que. L = {1, 2, 3} e S = {a, g , c, t} . Restrito às funções injetivas,. tem-se o conjunto de índices do Exemplo 1.1.. Ambos são exemplos em que uma estrutura de símbolos atua como índices dos dados que, por esta razão, se denominam “dados estruturados”. Nesses casos, “labels are no longer static, but have the capability of interacting with (the interpretation of) the events”, permitindo “a broader framework within which data can be queried and interpreted and a richer domain within which newer research questions might be formulated” (Viana, 2008). Muitas vezes, as simetrias próprias da situação experimental implicam em um particionamento do conjunto de índices que reflete as invariâncias inerentes a essas simetrias. A ferramenta algébrica capaz de modelar esse tipo de situação é a ação de algum grupo no conjunto dos índices. Caso isso aconteça, o estudo fica extremamente enriquecido, pois todo o instrumental teórico da ação de grupos em espaços vetoriais fica disponível. Este trabalho trata de simetrias, projeções e invariantes em espaços vetoriais. Entende-se por simetria um conjunto de regras com as quais podem ser descritas certas regularidades entre objetos ou conceitos experimentais. As principais ferramentas são a teoria dos grupos, a representação de grupos, a ação de grupos em conjuntos finitos, a decomposição canônica e os subespaços invariantes.. 2.

(15) 2. REFERENCIAL TEÓRICO. Este capítulo está fortemente baseado em Serre (1977), Viana (2003), Viana (2008), Diaconis (1988) e Lima(1998).. 2.1. Grupos e representações Considere um conjunto G e uma operação binária ∗ entre seus. elementos. Diz-se que o par. ( G , ∗). constitui um grupo se as seguintes. propriedades são satisfeitas: Para todo s, t , u ∈ G ,. s ∗t ∈G. a). FECHAMENTO:. b). ASSOCIATIVIDADE: ( s ∗ t ) ∗ u = s ∗ ( t ∗ u ). c). IDENTIDADE:. Existe 1 ∈ G , tal que s ∗1 = 1 ∗ s = s. d). INVERSO:. Existe s −1 ∈ G , tal que s ∗ s −1 = s −1 ∗ s = 1. Se H é um subconjunto de G e o par então,. ( H , ∗). ( H , ∗) constitui um grupo,. é dito um subgrupo de ( G , ∗) . Se, para todo h ∈ H e todo. g ∈ G , g ∗ h ∗ g −1 ∈ H , então,. ( H , ∗) é. dito um subgrupo normal do. grupo ( G , ∗) . Se a operação binária ∗ é comutativa, isto é, se para todo s, t ∈ G ,. s ∗ t = t ∗ s , o grupo ( G, ∗) é denominado abeliano. Na maioria das vezes, omite-se a referência à operação binária ∗ (escreve-se s t no lugar de s ∗ t ) e denomina-se o grupo, simplesmente, por grupo G.. 3.

(16) 2.1.1. O grupo simétrico S n Trata-se do grupo cujos elementos se identificam com as funções. bijetivas {1, 2, ..., n} → {1, 2, ..., n} , conhecidas como permutações em n objetos e cuja operação binária é a usual composição de funções. Exemplo 2.1 - Considere o grupo simétrico S3 .. S3 = {[123],[132],[213],[231],[312],[321]} , identificável com o conjunto das funções bijetivas π : {1, 2,3} → {1, 2,3} . Por exemplo, a permutação [312] identifica-se com a função. ⎡ 1 2 3 ⎤ ⎢ ⎥ ↓ ↓ ⎥ ⎢ ↓ ⎢⎣ π (1) = 3 π ( 2 ) = 1 π ( 3) = 2 ⎥⎦ Na notação em ciclos, uma permutação π é escrita na forma. ( g1 g 2 g3...g n ) ,. significando. que. π ( g1 ) = g 2 ,. π ( g 2 ) = g3 ,. ...,. ( ). π ( g n −1 ) = g n e π ( g n ) = g1 , omitindo-se os casos em que π g j = g j . Por exemplo, a permutação. [3, 2, 4,1, 6,5] , em forma de ciclo, é escrita. como (134 )( 56 ) . Utilizando esta notação, o grupo S3 é escrito como:. S3 = {1, ( 23) , (12 ) , (123) , (132 ) , (13)}.. #. Em alguns pontos, neste trabalho faz-se referência à ordenação lexicográfica das permutações, que significa dispor as permutações na ordem em que elas apareceriam em um dicionário. Para uma definição de ordem lexicográfica no produto cartesiano de dois conjuntos totalmente ordenados,. 4.

(17) veja Lipschutz (1972). Como ilustração, o grupo S3 , no Exemplo 2.1, está ordenado lexicograficamente. Optou-se pela multiplicação de permutações da direita para a esquerda, à semelhança de composição de funções. Mais explicitamente, se. π e σ são duas permutações de tamanho N e j ∈ {1,..., N } , então. (π ∗σ )( j ) = (π σ )( j ) = (π σ )( j ) = π (σ ( j ) ) Por exemplo, se π = (12 ) e σ = ( 23) são permutações de tamanho 3, então, π σ significa aplicar primeiro a permutação. ( 23) ,. permutação (12 ) , de modo que π σ = (12 )( 23) = (123). ( e não (132 ) ) .. ( 23) (12 )( 23). 1 2 3 1 3 2 2 3 1. =. seguida da. (123). A importância do grupo simétrico é ressaltada pelo Teorema de Cayley: todo grupo finito é isomorfo a um subgrupo de um grupo simétrico.. Esse teorema permite que o estudo dos grupos se restrinja, praticamente, aos grupos simétricos.. Dados um conjunto finito X e um grupo G, uma ação do grupo G em X é uma função ϕ : G x X → X , com as propriedades: (1). ϕ (1, x ) = x para todo x ∈ X. (2). ϕ ( s, ϕ ( t , x ) ) = ϕ ( s t , x ) para todo x ∈ X e todo s, t ∈ G .. Muitas vezes, se adotará a simplificação de notação ϕ ( s, x ) = s x .. 5.

(18) {. }. O conjunto Ox = ϕ ( t , x ) ; t ∈ G. é denominado órbita do. elemento x ∈ X pela ação ϕ do grupo G em X. A ação de G em X é dita transitiva (ou, diz-se que o grupo G atua transitivamente no conjunto X) se,. para todo x ∈ X , Ox = X . Sendo assim, as órbitas resultantes de uma ação. ϕ : G x X → X compõem uma partição de X em cujos elementos (subconjuntos de X) o grupo G atua transitivamente. Dois. outros. conjuntos. de. interesse. são:. o. conjunto. fix ( t ) = { x ∈ X; ϕ ( t , x ) = x} dos elementos de X que permanecem fixos por. t ∈ G sob a ação ϕ e o conjunto Gx = {t ∈ G; ϕ ( t , x ) = x} dos. estabilizadores de x ∈ X , isto é, o conjunto dos elementos de G que fixam um elemento x ∈ X . Observe que Gx é um subgrupo de G. Realmente,. a). a identidade está em Gx : ϕ (1, x ) = x ;. b). se s, t ∈ Gx então s t ∈ Gx :. ϕ ( s t , x ) = ϕ ( s, ϕ ( t , x ) ) = ϕ ( s, x ) = x ; c). se t ∈ Gx , então t −1 ∈ Gx :. x = ϕ (1, x ) = ϕ ( t −1 t , x ) = ϕ ( t −1 , ϕ ( t , x ) ) = ϕ ( t −1 , x ) . Gx é também denominado o grupo das isotropias do elemento x. Observe também que elementos. G = Ox Gx . Realmente, denomine os. {. Gx = t1 = 1, t2 , ..., t G. de. x. }e. tome. um. elemento. y ∈ Ox , y ≠ x . Existe, então, s1 ∈ ( G − Gx ) , tal que ϕ ( s1 , x ) = y . Segue. {. }. que, para todo i ∈ 1, 2,..., Gx , existe si = s1 ti , tal que ϕ ( si , x ) = y. 6.

(19) ϕ ( si , x ) = ϕ ( s1 ti , x ). = ϕ ( s1 , ϕ ( ti , x ) ) = ϕ ( s1 , x ) = y Além disso, se ϕ ( u , x ) = y , existe v ∈ G tal que u = s1 v ,. ϕ ( s1 v, x ) = y = ϕ ( s1 , ϕ ( v, x ) ) , ϕ ( v, x ) = x e, portanto, v ∈ Gx . Segue que o conjunto dos s ∈ ( G − Gx ) , tais que ϕ ( s, x ) = y tem cardinalidade. Gx . Como isto vale para todo y ∈ Ox , G = Ox Gx . Lema de Burnside: o número de órbitas distintas η , resultantes da. ação ϕ : G x X → X , é dado pelo número médio de pontos fixos. η=. 1 G. ∑ fix ( t ) .. t∈G. Prova: Sejam O1 , ..., Oη as η distintas órbitas e o conjunto. { x1, ..., xη }. tal que xi ∈ Oi . A cardinalidade do conjunto A dos pares ( t , x ) ∈ ( G x X ) , tal que ϕ ( t , x ) = x pode ser calculada de duas maneiras: (1). A = ∑ fix ( t ). (2). A =. t∈G. ∑ x∈X. η. η. i =1. i =1. Gx = ∑ Ox i Gx i = ∑ Ox i =ηG. 7. G Ox i.

(20) Portanto, η G =. 2.1.2. ∑ fix ( t ) , ou seja, t∈G. η=. 1 G. ∑ fix ( τ ). #. τ∈G. Representações de grupos. Considere V =. ( z1 , z2 , ..., zn ) , em que. n. ( n = 1, 2, ...) o. espaço vetorial nas n-uplas. zi pertence ao conjunto dos números complexos. e GL(V) o espaço vetorial das matrizes não singulares n x n com entradas complexas. Uma representação linear de um grupo G em GL(V) é um homomorfismo ρ : G → GL ( V ) com a propriedade ρ ( s t ) = ρ ( s ) ρ ( t ) , para todo s, t ∈ G , isto é, ρ preserva a estrutura de grupo. Observe que isto. ( ). −1. implica em ρ (1) = I n e ρ s −1 = ρ ( s ) , em que I n é a matriz identidade de dimensão n. O número n é denominado grau da representação. Muitas vezes, escreve-se ρ ( s ) = ρ s . Diz-se que. V=. n. é um espaço de. representação do grupo G ou, simplesmente, que V é uma representação do grupo G. A representação ρ : G → GL (. ),. dada por ρ ( s ) = 1 para todo. s ∈ G , é denominada representação trivial. Se G é o grupo simétrico Sn (grupo. das. ρ : S n → GL (. permutações. de. n. objetos),. então,. a. representação. ) , que associa a cada permutação par o número 1 e a cada. permutação ímpar o número −1 , é denominada representação assinatura. Mais precisamente, se X é um conjunto finito totalmente ordenado por uma relação < e G é o grupo das permutações em X, então, existe um único homomorfismo H de G no grupo multiplicativo. 8. {−1,1} ,. dado por.

(21) H ( g ∈ G ) = ( −1). k(g). , em que k ( g ) é o número de pares ( x, y ) ∈ X x X , tal. que x < y e g ( y ) < g ( x ) . O valor de H ( g ) é denominado assinatura ou sinal da permutação g. Se H ( g ) = 1 , a permutação é dita uma permutação. par (ou de paridade par) e se H ( g ) = −1 , a permutação é dita uma permutação ímpar (ou de paridade ímpar). Considere um espaço vetorial V, cuja base ( ex ) x∈X seja indexada pelos elementos do conjunto X. Para cada s ∈ G , seja ρs o mapeamento linear que associa ex a es x ; a representação de G assim obtida é denominada representação permutação associada ao conjunto X. Se X = G , então, a. representação obtida é denominada representação regular. Exemplo 2.2 - A. GL. ( 3),. representação. do. grupo. simétrico. S3 em. denominada representação permutação, é realizada pelas. matrizes:. ⎡1 0 0 ⎤ ρ1 = ⎢⎢ 0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦. ⎡0 0 1 ⎤ ρ(123) = ⎢⎢1 0 0 ⎥⎥ ⎢⎣0 1 0 ⎥⎦. ⎡0 1 0⎤ ρ(132) = ⎢⎢ 0 0 1 ⎥⎥ ⎢⎣1 0 0 ⎥⎦. ⎡0 1 0⎤ ρ(12) = ⎢⎢1 0 0 ⎥⎥ ⎢⎣ 0 0 1 ⎥⎦. ⎡0 0 1 ⎤ ρ(13) = ⎢⎢0 1 0 ⎥⎥ ⎢⎣1 0 0 ⎥⎦. ⎡1 0 0 ⎤ ρ( 23) = ⎢⎢0 0 1 ⎥⎥ ⎢⎣0 1 0 ⎥⎦. A construção dessas matrizes é feita tomando-se a base canônica de 3. ( ). e definindo-se, para todo π ∈ S3 , ρπ e j = eπ j . Com isso, as ( ). representações são matrizes de zeros e uns, cujas entradas são dadas por. ( ρπ )i j = δi π( j ) , isto é, ( ρπ )i j = 1 se e somente se π ( j ) = i .. 9. #.

(22) ( ). Duas representações, ρ 1 : G → GL V1. e. ( ). ρ 2 : G → GL V2 ,. são ditas isomorfas (ou similares) se existe um isomorfismo linear (uma bijeção. linear). τ : V1 → V2. que. satisfaça. à. propriedade. τ ρ1 ( s ) = ρ2 ( s ) τ , para todo s ∈ G .. ρ1. V1. V1. τ. τ. V2. V2 ρ2. FIGURA 1 Representação gráfica da relação entre duas representações isomorfas ρ1 e ρ2 . Se ρ1 e ρ2 são duas representações similares, então existe uma matriz invertível T tal que:. ρ2 = T ρ1 T −1. ↔. ρ2 T = T ρ1. Claramente, neste caso, ρ1 e ρ2 são representações de mesmo grau. Dada uma representação ρs , um subespaço W de V é denominado estável (invariante) se, para todo s ∈ G e todo w ∈ W , ρs w ∈ W . Note. que a restrição ρW s : G → GL ( W ) define uma representação de G em W. W é usualmente denominado uma subrepresentação. Os subespaços. {0n } ,. formados apenas pelo vetor nulo e V são denominados subrepresentações. 10.

(23) triviais. Uma representação é denominada irredutível se admite somente as subrepresentações triviais. Considere dois subespaços W e W ' de um especo de representação V. Se cada elemento x ∈ V pode ser escrito unicamente como x = w + w ' , em que w ∈ W e w ' ∈ W ' , então, diz-se que V é a soma direta de W e. W ' , com notação V = W ⊕ W ' . w (respectivamente w ' ) é a projeção de x em W (respectivamente em W ' ). Diz-se, ainda, que W ' é um complemento de W em V.. Um produto interno (hermitiano) em V é definido como uma função V x V →. , que associa a cada par ordenado de vetores x, y ∈ V. (. ). um número complexo x y tal que, para todo x, y, w ∈ V e ξ∈ (1). ( x y) = ( y x). (2). ( x + y z) = ( x z) + ( y z). (3). (ξ x y ) = ξ ( x y). (4). ( x x) > 0. ,. se, e somente se, x ≠ 0. Das propriedades acima decorre que, (5). (x. y + w) = ( y + w x ) = ( y x ) + ( w x ) = ( y x ) + ( w x ) = ( x y ) + ( x w). (6). (x. ξ y ) = ξ ( x y ) em que ξ indica o complexo conjugado.. Todo espaço vetorial pode ser munido de um produto interno. Observação: Dado número complexo x = a + bi , denota-se por x o complexo conjugado x = a − bi . Não confundir com o caso em que x = ( x1 ,...., xn ) é um vetor e x é a sua média x = ( x1 + .... + xn ) n .. 11.

(24) Teorema 1:. Se W é um subespaço de V estável sob a ação de G,. então, existe um complemento W 0 de W também estável sob a ação de G. Prova:. (. ). Suponha um produto interno x y em V. Defina um novo produto. (. ρt y ) . Note que ( x y ) é invariante sob G:. ) ∑ ( ρt x t∈G. interno x y =. ( ρs x ρs y ). = ∑ ( ρt ρs x ρt ρ s y ) t∈G. (. = ∑ ρt s x ρt s y t∈G. ). = ( x y) Nesse caso, o complemento ortogonal W de W, sob este novo produto interno, também é invariante. Realmente, para quaisquer w ∈ W ,. v ∈W e g ∈G ,. (g v w ) = (g. −1. ) (. ). g v g −1w = v g −1w = 0. e, portanto, W é estável sob a ação de G e pode-se tomar W 0 = W . #. (. ). A invariância de x y significa que, se ei é uma base ortonormal para V, a representação ρs com respeito a essa base é uma matriz unitária, isto é, ρ s = ρ−s 1 (Serre, 1977). Se as representações de um grupo G em W e W 0 são dadas, em forma matricial, por R s e R 0s , então, a soma direta V = W ⊕ W 0 é dada por:. ⎡Rs ⎢ ⎣⎢ 0. 0⎤ ⎥ R 0s ⎦⎥. 12.

(25) Para qualquer número finito de representações, a soma direta é definida de maneira similar.. Teorema 2: Toda representação V pode ser decomposta na soma. direta de representações irredutíveis.. Prova:. Se V é irredutível, nada a fazer. Se não, decompõe-se V na soma direta de uma representação irredutível e o seu complemento ortogonal. A prova segue por indução.. Um. #. espaço. ( x1,x 2 ) ∈ V1 x V2 → x1. definido. V ⊗. pelo. mapeamento. x 2 ∈ V é chamado de produto tensor de V1 e. V2 , se duas condições são satisfeitas: (i). x1 ⊗ x 2 é linear em ambos os fatores;. (ii). se ei. então, ei. 1. ⊗ ei. 1. 2. Sejam. é uma base para V1 e ei é uma base para V2 , 2. é uma base para V. duas. ( ). ρ2 : G → GL V2 .. representações Para. lineares. s ∈G ,. todo. defina. ( ). ρ1 : G → GL V1 e o. mapeamento. ρ : G → GL ( V1 ⊗ V2 ) como: ρ s ( x1 ⊗ x2 ) = ρ1s x1 ⊗ ρ2s x2 , para todo x1 ∈ V1 e x2 ∈ V2 .. 13.

(26) O mapeamento ρ = ρ1 ⊗ ρ2 assim definido é uma representação linear de G denominada representação produto tensorial. Claramente,. ( ). ( ). dim ( ρ ) = dim ρ1 dim ρ2 . O produto tensorial pode ser realizado como o produto de Kronecker de matrizes.. 2.2. Teoria dos caracteres. 2.2.1. O caracter de uma representação. ( ). Entende-se por traço de uma matriz quadrada A = ai j. a soma. tr ( A ) = ∑ aii dos elementos de sua diagonal principal. O traço de uma matriz complexa é a soma dos seus autovalores, tomados, cada um, em sua multiplicidade. Se ρ : G → GL ( V ) , é uma representação linear (de dimensão n) do grupo G no espaço vetorial V, então, a função complexa χρ ( s ) = tr ( ρ s ) é denominada caracter da representação ρ , com as seguintes propriedades:. Proposição 1:. (i). χ (1) = n. (ii). χ s −1 = χ ( s ) para todo s ∈ G. (iii). χ (t s ) = χ ( s t ). ( ). ( ou, de forma equivalente, χ (t s t ) = χ ( s ) ) para todo s, t ∈ G −1. A propriedade (i) decorre imediatamente de. 14.

(27) ρ (1) = I n → tr ( ρ (1) ) = tr ( I n ) = n A propriedade (ii):. ( ) ( ). χ ( s ) = tr ( ρs ) = ∑ λ i = ∑ λ i−1 = tr ρ s−1 = χ s −1 em que λi. ( i = 1,..., n ) são os autovalores de. ρs , que sempre existem, pois. ρ está definida nos complexos, e têm módulo igual a um. A propriedade (iii) decorre de tr ( A B ) = tr ( B A ) . Funções que satisfazem à propriedade (iii) são chamadas funções de classe, isto é, funções constantes na classe de conjugação de qualquer. s ∈G .. ( ). ( ). Sejam ρ1 : G → GL V1 e ρ2 : G → GL V2 duas representações lineares de um grupo G e χ1 e χ 2 os respectivos caracteres. Então: (i). o caracter χ da representação soma direta V1 ⊕ V2 é dado por χ 1 + χ 2 ;. (ii). o caracter Ψ da representação produto tensorial V1 ⊗ V2 é dado por χ 1 χ 2 .. 2.2.2. Aplicações básicas. ( ) e η : G → GL ( V2 ) duas representações. Sejam ρ : G → GL V1. irredutíveis de um grupo G. Seja f um mapeamento linear de V1 em V2 tal que, para todo s ∈ G e todo x ∈ V , f ρ s = ηs. 15. f (FIGURA 2)..

(28) ρ V1. V1. f. f V2. η. V2. FIGURA 2 Representação gráfica da propriedade f ρ s = ηs. f. 2.2.2.1 Lema de Schur. (1). Se f ≠ 0 , segue que ρ e η são isomorfos (ou, de forma equivalente, se ρ e η não são isomorfos, então f = 0 ).. (2). Se V1 = V2 e ρ = η , então, f é uma homotetia (isto é, um múltiplo escalar da matriz identidade; f = λI n ).. Prova:. (1). Seja W1 o núcleo de f, isto é, o conjunto dos elementos. x ∈ V1 , tal que f ( x ) = 0 . Seja x ∈ W1 . Como f ( ρs x ) = ηs f ( x ) = 0 , segue que ρ s x ∈ W1 , o que significa que W1 é estável sob a ação de G. Como V1 é irredutível, W1 ou é igual a V1 ou é o conjunto {0n } . Mas, W1 é o núcleo da função f que não é identicamente nula. Portanto, só resta. W1 = {0n } . Seja W2 , o conjunto-imagem de f, ou seja, o conjunto dos. y ∈ V2 , tais que y = f ( x ) , para algum x ∈ V1 . Seja y = f ( x ) ∈ W2 ,. (. ). então, ηs y = ηs f ( x ) = f ρ s x ∈W2 . Portanto, W2 é estável sob a ação de G e, como V2 é irredutível e f ≠ 0 , segue que W2 = V2 . Essas duas. 16.

(29) condições, W1 = {0n } e W2 = V2 , caracterizam f como um isomorfismo de. V1 em V2 . Como ρ = f −1 η f , segue que ρ e η são isomorfos. Seja λ um autovalor de f (sempre existente, pois f é uma. (2). transformação linear complexa) e defina f ' = f − λI n . Como o núcleo de. f ' é diferente de 0, V1 = V2 e ρ = η , segue que f ρs = ρs f. ( f '+ λI n ). ρs = ρs. ( f '+ λI n ). f ' ρs = ρs f ' A primeira parte da prova mostra que, como. f ' não é um. isomorfismo, isto só é possível se f ' = 0 e, portanto, f = λI n . #. Se. ( ). ρ : G → GL V1. e. ( ). η : G → GL V2 são representações. irredutíveis, seguem os corolários:. Corolário 1:. Considere h um mapeamento linear de V1 em V2 e defina. h0 =. 1 G. ∑ (ηt ) t∈G. −1. h ρt. Então: (1). se h 0 ≠ 0 , segue que ρ e η são isomorfos;. (2). se V1 = V2 e ρ = η , então, h 0 é uma homotetia de razão. (1 n ) tr ( h ) , em que n é a dimensão de V1 . 17.

(30) Prova: O mapeamento h 0 satisfaz à condição h 0 ρ s = ηs h0 :. h0 ρs =. 1 G. = ηs. ∑ ( ηt ) t∈G 1 G. −1. h ρt ρs =. ∑ ( ηt s ) t∈G. −1. 1 G. ∑ ηs ( ηs ) ( ηt ) t∈G −1. −1. h ρt s. h ρt s = ηs h 0. Pelo lema de Schur, h 0 ≠ 0 e ρ e η são isomorfos.. ( ). No caso (2), h 0 = λI n . Portanto, tr h 0 = n λ e. ( ). 1 1 1 λ = tr h0 = n n G. ∑ tr ( ρt ) t∈G. −1. tr ( h ) tr ( ρt ) =. 1 1 n G. ∑ tr ( h ). t∈G. 1 = tr ( h ) n. #. Supondo que ρ e η são escritos em forma matricial como. { i}. { j },. j. i 2. ρt = ρt 1 1. η t = ηt2. e que o mapeamento h é descrito por uma matriz. h0 fica definido por uma matriz xi0 i = 21. 1 G. {x j j } , o mapeamento 2 1. {xi i } cujas entradas são dadas por: 0. 21. ∑ t, j , j 1. i j. ηt2−1 2 x j. 2. ji. j1. ρt 1 1 .. 2. O lado direito da igualdade acima é uma função linear em x j j . No 2 1 caso (1), se ρ e η não são isomorfos, segue que xi0 i = 0 para todo x j j , o 21 2 1 que só é possível se os coeficientes de x j j são nulos. Fica assim provado 2 1 que:. 18.

(31) Corolário 2: No caso (1), se ρ e η não são isomorfos,. 1 G. ηt2 ∑ t∈G. i j2 −1. ji. ρt 1 1 = 0. para quaisquer valores de i1 , i2 , j1 e j2 .. #. No caso (2), h 0 = λI n , isto é,. se i2 = i1 se i2 ≠ i1. ⎧1. em que δi i = ⎨ 2 1 ⎩0. xi0 i = λ δi i 2 1 2 1 Como. 1 1 λ = tr ( h ) = n n xi0 i = 21. 1 G. ∑ t, j , j 1. i j. ηt2−1 2 x j. 2 j1. ji. ∑ δj ,j. j1 , j2. ρt 1 1 =. 2. 1 n. 2 1. xj. ∑ δi i. j1 , j2. ,. 2 , j1. 2 1. δj. 2 , j1. xj. 2 , j1. .. Igualando-se os coeficientes de x j , j , obtém-se: 2 1 Corolário 3: No caso (2),. 1 G. ηt2 ∑ t∈G. i j2 −1. ji. ρt 1 1 =. ⎧1 n 1 δi i δ j , j = ⎨ n 21 2 1 ⎩ 0. se i1 = i2 e j1 = j2 caso contrário #. Observação:. Se φ e ψ são funções definidas no grupo G, então, a operação. φ, ψ =. 1 G. é linear em φ e ψ e. φ ( t −1 ) ψ ( t ) = φ ( t ) ψ ( t −1 ) ∑ ∑ G t∈G t∈G 1. φ, ψ = ψ, φ . Utilizando-se esta notação, os. corolários 2 e 3 acima se tornam, respectivamente. 19.

(32) i j2. η2. 2.2.3. ,ρ. j1i1. =0. i j. η 2 2 ,ρ. e. j1i1. =. 1 δ δ n i2 i1 j2 , j1. Ortogonalidade dos caracteres. Sejam φ e ψ duas funções (complexas) no grupo G. A operação. ( φ ψ ) = G1 ∑ φ ( t ) ψ ( t ) t∈G é um produto escalar no espaço vetorial das funções complexas, pois é. ( ). linear em φ , semilinear em ψ e, para todo φ ≠ 0 , φ φ > 0 . Definindo-se. ( ). ψ ( t ) = ψ t −1 , tem-se:. ( φ ψ ) = G1 ∑ φ ( t ) ψ ( t −1 ) = t∈G. φ, ψ .. Particularizando para o caracter χ de uma representação, pela Proposição 1 - (ii), temos que:. ( ). χ ( t ) = χ t −1 = χ ( t ) , de modo que. (φ χ) =. φ, χ , para qualquer função φ definida em G.. Resumindo, sempre que se trata da função caracter, pode-se usar à vontade. ( ). tanto φ χ como. Teorema 3:. φ, χ .. Caracteres (de representações) irredutíveis formam um. sistema ortonormal, ou seja, (1). o caracter de qualquer representação irredutível tem norma unitária, isto é,. (χ χ) = 1;. 20.

(33) (2). os caracteres χ e χ ' de duas representações irredutíveis não. (. ). isomorfas são ortogonais, isto é, χ χ ' = 0 .. Prova:. (1). Seja χ o caracter de uma representação irredutível ρ dada em forma. { i j } . Assim,. matricial por ρ ( t ) = ρt. χ ( t ) = ∑ ρii t. (χ χ) =. jj χ, χ = ∑ ρii t , ρt i, j. Conforme a observação seguinte ao corolário (3) do lema de Schur, i j. ji. η 2 2 ,ρ 1 1 =. 1 . δ δ n i2 i1 j2 , j1. Particularizando para o caso acima:. (χ χ) =. jj χ, χ = ∑ ρii = t , ρt i, j. (2). 1 n δi j = = 1 ∑ n i, j n. Conforme a mesma observação, se χ e χ ' são os caracteres de duas. { }e. i j representações irredutíveis não isomorfas η ( t ) = ηt2 2. { ji}. ρ ( t ) = ρt 1 1 ,. então, ri j , r j i = 0 e, portanto, 2 2 11. ( χ χ ') =. χ, χ ' =. ∑ i , j j ,i 2. i j. η 2 2 ,ρ. j1 i1. =0. #. 2, 1 1. Teorema 4:. Seja φ o caracter da representação linear ρ : G → GL (V ) . Suponha que V pode ser decomposto na soma direta de representações irredutíveis. 21.

(34) V = W1 ⊕ W2 ⊕ ... ⊕ Wk . Então, se W é uma representação irredutível com caracter χ , o número de Wi isomorfos a W é dado pelo produto escalar. (φ χ) =. φ, χ .. Prova:. Se χi é o caracter de Wi , então, φ = χ1 + χ 2 + ... + χ k . Portanto,. ( φ χ ) = ( χ1 χ ) + ( χ2 χ ) + ... + ( χk χ ) . De acordo com o teorema anterior, ( χi χ ). é igual a 0 se Wi não é isomorfo a W, ou 1 caso contrário. Sendo. ( ). assim, φ χ conta o número de Wi s isomorfos a W.. #. Note que o Teorema 4 implica no isomorfismo de presentações que tenham o mesmo caracter. Os resultados acima permitem o estudo das representações por meio de seus caracteres. Se χ1 ,..., χ h são os distintos caracteres irredutíveis de um grupo G e W1 ,..., Wh , as representações correspondentes, então, cada representação V é isomorfa a uma soma direta. V = m1W1 ⊕ ... ⊕ mhWh. ( mi ≥ 0,. inteiro ). com caracter dado por:. φ = m1χ1 + ... + mh χ h. (. ). em que mi = φ χi ≥ 0 . Considerando a ortogonalidade entre caracteres,. ( φ φ) = Como. φ, φ =. ∑ mi2. h. h. i =1. j =1. ∑ mi χi , ∑ m j χ j =. h. ∑. i , j =1. h. mi m j χi , χ j = ∑ mi2 i =1. só é igual a 1, se um dos mi s for igual a 1 e os outros. todos nulos, fica provado o teorema.. 22.

(35) Teorema 5. Se φ é o caracter de uma representação V, então,. ( φ φ). ( ). inteiro positivo e φ φ = 1 se e somente se V for irredutível.. é um #. Para um algoritmo de geração da tabela de caracteres do grupo simétrico Sn , veja Liu & Balasubramanian (1989).. 2.2.4. A decomposição da representação regular. No que segue, os caracteres irredutíveis de um grupo G são denominados χ1 ,..., χ h e os respectivos graus n1 ,..., nh dados, conforme a Proposição 1, por ni = χi (1) . Seja R a representação regular de um grupo G. Significa que é possível construir-se uma base ( et )t∈G para R, indexada pelos elementos de. G, tal que, para todo s, t ∈ G , ρ s et = est .. Proposição 2:. Os caracteres rG da representação regular são dados por:. rG (1) = G rG ( s ) = 0. a ordem de G se s ≠ 1. Prova:. Para s ≠ 1, s t ≠ t para todo t, o que mostra que, neste caso, os valores na diagonal principal de ρs são todos nulos, isto é, tr ( ρs ) = 0 . Se. ( ). s = 1 , tr ( ρs ) = tr I G = dim ( R ) = G .. 23. #.

(36) Corolário 1:. Conforme o Teorema 4, a multiplicidade de cada representação irredutível Wi na representação regular R é dada por:. rG , χi =. 1 G. r ( s 1 ) χi ( s ) = ∑ G s∈G 1. −. G. G χi (1) = χi (1) = ni ,. isto é, h. rG ( s ) = ∑ ni χi ( s ) i =1. Corolário 2:. 2.2.5. (a). Fazendo s = 1,. (b). Para todo s ≠ 1 ,. h. ni2 = G ∑ i =1 h. ni χi ( s ) = 0 ∑ i =1. O número de representações irredutíveis. Recordando: dois elementos, t e t ' , de um grupo G são ditos conjugados se existe s ∈ G , tal que t ' = s t s −1 . Esta relação de equivalência particiona G nas chamadas classes de conjugação. Uma função f : G →. (. ). com a propriedade f tst −1 = f ( s ) para todo s, t ∈ G é denominada uma função de classe (class function). Em outras palavras, funções de classe são. funções que são constantes nas classes de conjugação, doravante denominadas, simplesmente, classes de um grupo.. 24.

(37) Proposição 3:. Sejam f uma função de classe no grupo G e ρ : G → GL ( V ) uma representação linear de G. Defina o mapeamento linear f ( ρ ) : V → V. f (ρ ) =. ∑ f (t )ρ t. t∈G. Então, se V é irredutível de grau n e caracter χ , f ( ρ ) é uma homotetia de razão λ dada por:. λ=. ( ). G 1 f (t ) χ (t ) = f χ ∑ n t∈G n. Prova:. O lema de Schur se aplica, pois. ρ −s1 f (ρ ) ρ s = ∑ f ( t ) ρ−s1 ρt ρ s = ∑ f ( t ) ρs−1t s t∈G. t∈G. = ∑ f ( s u s −1 ) ρu = u∈G. ∑ f ( u ) ρu = f ( ρ ). u∈G. Pela segunda parte do lema de Schur:. f (ρ ) = λ I n ;. (. ). tr f (ρ ) = tr ( λ I n ) ;. ∑ f (t ) χ (t ) = n λ t∈G. ⇒. λ=. ∑ f ( t ) tr ( ρt ). t∈G. = nλ. ( ). G 1 f (t ) χ (t ) = f χ ∑ n t∈G n. Denomine por H o espaço das funções de classe em um grupo G. Os caracteres irredutíveis χ1 ,..., χ h pertencem a H.. 25.

(38) Teorema 6:. Os caracteres irredutíveis χ1 ,..., χ h formam uma base ortonormal para H.. Prova:. Conforme o Teorema 3, os caracteres irredutíveis formam um sistema ortonormal em H. Resta provar que χ1 ,..., χ h geram H. Para tanto, basta provar que, se f ∈ H é ortogonal a χi , para todo i, então, f = 0 . Seja. f (ρ ) =. ∑ f ( t ) ρt ,. t∈G. se ρ é uma representação irredutível, pela. proposição 3, f ( ρ ) é uma homotetia de razão λ =. ( ). G f χ . Como f é n. ortogonal χi , segue que. ( f χ) = 0. ⇒ λ = 0 ⇒ f (ρ ) = 0 .. Como, pelo Teorema 2, toda representação é soma direta de representações irredutíveis, ρ f = 0 para qualquer representação. Aplicando-se f ( ρ ) ao elemento e1 da base da representação regular R:. 0 = f (ρ ) e1 =. f ( t ) et ∑ f ( t ) ρt e1 = t∑ ∈G. t∈G. O resultado acima obriga que f ( t ) seja nulo para todo t ∈ G . Portanto, como qualquer elemento de H que não pode ser escrito como combinação linear de χ1 ,..., χ h é nulo, segue que χ1 ,..., χ h geram H.. 26. #.

(39) Teorema 7:. O número de representações irredutíveis de qualquer grupo G é igual ao número de suas classes de conjugação. Prova:. Sejam C1 , ..., Ck as classes de conjugação do grupo G. Se f é uma função de classe, então existem constantes λ1 , ..., λ k tais que f ( s ) = λ i para todo. s ∈ Ci . Como essas constantes podem ser escolhidas. arbitrariamente, o espaço H tem dimensão k. Como, pelo teorema 6,. χ1 ,..., χ h é base para H, segue que h = k , ou seja, o número de representações irredutíveis é igual ao número de classes de G.. #. Proposição 4:. Seja c ( s ) o número de elementos na classe de conjugação de. s ∈ G . Então: h. G. (a). χi ( s ) χi ( s ) = ∑ c (s) i =1. (b). Se t não pertence à classe de s, h. χi ( s ) χi ( t ) = 0. ∑ i =1 Prova:. Defina a função de classe. ⎧1 fs (t ) = ⎨ ⎩0. se t pertence à classe de s caso contrário. Pelo teorema 6, f s pode ser escrita como combinação linear dos caracteres irredutíveis χ1 ,..., χ h :. 27.

(40) h. f s = ∑ λ i χi. em que. i =1. λ i = ( f s χi ) =. c (s) χ (s) G i. Então, para cada t ∈ G ,. fs (t ) =. c (s) h ∑ χ ( s ) χi ( t ) G i =1 i. Se t pertence à classe de s, f s ( t ) = 1 , χi ( t ) = χi ( s ) e fica provado (a). Se t não pertence à classe de s, f s ( t ) = 0 e fica provado (b).. 2.2.6. #. Decomposição canônica de uma representação. Sejam. χ1 , ..., χ h os caracteres das distintas (não isomorfas). (. ). representações irredutíveis ρ1 , ..., ρh ρi : G → GL ( Wi ) de um grupo G e. n1 , ..., nh. os. respectivos. graus.. Seja. V = U1 ⊕ ... ⊕ U m uma. decomposição de V em soma de espaços de representações irredutíveis. Para i = 1,..., h , seja Vi a soma direta dos elementos de U1 ,..., U m que são isomorfos a Wi . A decomposição assim obtida, V = V1 ⊕ ... ⊕ Vh , chamada de decomposição canônica, é mais “grossa” que a decomposição em representações irredutíveis, mas tem a vantagem de ser única. Essa decomposição tem as propriedades:. Teorema 8:. Seja ρ : G → GL ( V ) uma representação linear de G. (i). A. decomposição. V = V1 ⊕ ... ⊕ Vh não. depende. decomposição inicial de V em representações irredutíveis. (ii). A projeção do espaço V no subespaço Vi é dada por:. 28. da.

(41) ni G. pi =. ∑ χi ( t ) ρt. t∈G. Prova: Seja qi a restrição de pi a uma representação irredutível W de caracter χ e grau n. Conforme a proposição 3, qi é uma homotetia de razão. λ=. =. ⎞ ni G ⎛ ni n χi χ = i ⎜⎜ χi χ ⎟⎟ = n ⎝G n ⎠ n. ( ). ni n. ∑ χ i ( t −1 ) χ ( t −1 ). −1. t ∈G. ⎧0. χ i ( t ) χ ( t ) = i ( χi χ ) = ⎨ ∑ 1 n t∈G n. ⎩. se χ = χi se χ ≠ χi. Significa que qi é a identidade em qualquer representação irredutível isomorfa a Wi e zero em qualquer outra. Como V = V1 ⊕ ... ⊕ Vh , qualquer elemento v ∈ V pode ser escrito como. v = v1 + ... + vh em que vi é o componente de v em Vi . Sendo assim,. qi v = qi v1 + ... + qi vh = vi . Isto é, qi é igual à projeção pi de V em Vi , isto é, vi = pi v. #. Então, considerando que as matrizes pi são projetores, os caracteres são ortogonais e v = p1 v + ... + ph v , segue que. pi2 = pi para i ≠ j. pi p j = 0. p1 + ... + ph = I .. 29.

(42) Em palavras, as três igualdades acima representam o aspecto fundamental da aplicação da decomposição canônica em análise de dados: os projetores canônicos são ortogonais e somam a identidade. A estabilidade de pi : para todo g ∈ G. Observações:. ρ g pi = ρ g. =. ni G. ni G. ∑ χi ( t ) ρt t∈G. =. ni G. ∑ χi ( g t g ) ρ g t g t∈G. = pi ρ g. −1. ∑ χi ( t ) ρ g ρt t∈G. −1. ρg =. ni G. =. ni G. ∑ χi ( t ) ρ g t. t∈G. ∑ χi ( s ) ρs ⋅ρ g. s∈G. ( isto é, pi ∈ Centro (ρ ) ). #. Exemplo 2.3 - Construção dos projetores canônicos da representação. regular do grupo simétrico S3 , ρ : S3 → GL. ( 6 ) . Os dados da tabela. seguinte mostram os elementos de S3 em formato de ciclos e em formato de permutações no conjunto {1,2,3} :. S3 : ciclos: permutações:. (123) (132 ) (12 ) (13) ( 23) [1,2,3] [ 2,3,1] [3,1,2] [ 2,1,3] [3,2,1] [1,3,2] 1. A ação do grupo S3 sobre si mesmo:. 30.

(43) (123) (132 ) (123) (132 ) (123) (132 ) 1 (132 ) 1 (123) (12 ) ( 23) (13) (13) (12 ) ( 23) ( 23) (13) (12 ) 1 1. 1. (123) (132 ) (12 ) (13) ( 23). (12 ) (12 ) (13) ( 23) 1. (13) (13) ( 23) (12 ) (132 ). ( 23) ( 23) (12 ) (13) (123) (132 ). (123) 1 (132 ) (123). 1. A representação regular de S3 :. ⎡1 ⎢ ⎢0 ⎢0 ρ1 = ⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0. ρ(132). ρ(13). 0 1 0 0 0 0. 0 0 1 0 0 0. 0 0 0 1 0 0. 0 0 0 0 1 0. 0⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥⎦. ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢1 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0. 1 0 0 0 0 0. 0 1 0 0 0 0. 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 1 0 0. ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢1 ⎢ ⎢⎣0. 0 0 0 1 0 0. 0 0 0 0 0 1. 0 1 0 0 0 0. 1 0 0 0 0 0. 0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥⎦ 0⎤ 0⎥⎥ 1⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥⎦. 31. ρ(123). ⎡0 ⎢1 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0. 0 0 1 0 0 0. 1 0 0 0 0 0. 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 0 0 1. 0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ 1⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥⎦. ρ(12). ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢1 ⎢0 ⎢ ⎢⎣0. 0 0 0 0 0 1. 0 0 0 0 1 0. 1 0 0 0 0 0. 0 0 1 0 0 0. 0⎤ 1⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥⎦. ρ( 23). ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢0 =⎢ ⎢0 ⎢0 ⎢ ⎢⎣1. 0 0 0 0 1 0. 0 0 0 1 0 0. 0 0 1 0 0 0. 0 1 0 0 0 0. 1⎤ 0⎥⎥ 0⎥ ⎥ 0⎥ 0⎥ ⎥ 0 ⎥⎦.

(44) As classes de conjugação de S3 , dadas pela relação de equivalência. t ' = s t s −1 , são três: a identidade. ( ) , as transposições (12 ) , (13) e ( 23). e as permutações cíclicas (123) e (132 ) .. t ' = s t s −1 1 1 (123). 1 1. (132 ) (12 ) (13) ( 23). 1 1 1 1. (123) (123) (123) (123) (132 ) (132 ) (132 ). (132 ) (132 ) (132 ) (132 ) (123) (123) (123). (12 ) (12 ) ( 23) (13) (12 ) ( 23) (13). (13) (13) (12 ) ( 23) ( 23) (13) (12 ). ( 23) ( 23) (13) (12 ) (13) (12 ) ( 23). São, portanto, três as representações irredutíveis: a representação trivial e a representação assinatura, ambas de dimensão 1 e multiplicidade 1, e uma representação de dimensão 2 com multiplicidade também 2. Note que estes números estão de acordo com o corolário 2 (a) da proposição 2, h. ni2 = G ∑ i =1. → 1 + 1 + 22 = 6 .. A tabela de caracteres:. χ1 χ2 χ3. 1 1 1 2. (123) (132 ) (12 ) (13) ( 23) 1 1 −1. 1 1 −1. 1 −1 0. 1 −1 0. 1 −1 0. Com isso, têm-se todos os elementos necessários à construção dos projetores canônicos:. 32.

(45) ⎡1 1 1 ⎢1 1 1 ⎢ 1 ⎢1 1 1 p1 = ⎢ 6 ⎢1 1 1 ⎢1 1 1 ⎢ ⎢⎣1 1 1 ⎡ 1 1 1 ⎢ 1 1 1 ⎢ 1⎢ 1 1 1 p2 = ⎢ 6 ⎢ −1 −1 −1 ⎢ −1 −1 −1 ⎢ ⎢⎣ −1 −1 −1 ⎡ 2 −1 −1 ⎢ −1 2 −1 ⎢ 1 ⎢ −1 −1 2 p3 = ⎢ 3⎢ 0 0 0 ⎢ 0 0 0 ⎢ ⎢⎣ 0 0 0 Observe que as matrizes pi. 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 −1 −1 −1 1 1 1 0 0 0 2 −1 −1. 1⎤ 1⎥⎥ 1⎥ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ 1⎥⎦ −1 −1 −1 1 1 1 0 0 0 −1 2 −1. −1⎤ −1⎥⎥ −1⎥ ⎥ 1⎥ 1⎥ ⎥ 1⎥⎦ 0⎤ 0 ⎥⎥ 0⎥ ⎥ −1⎥ −1⎥ ⎥ 2 ⎥⎦. ( i = 1, 2,3) são. projetores ( p12 = p1 ;. p22 = p2 ; p32 = p3 ), são ortogonais ( p1 p2 = p1 p3 = p2 p3 = 0 ), comutam ( pi p j = p j pi ; i , j = 1,2,3 ) e somam a identidade ( p1 + p2 + p3 = I 6 ) #. 2.2.7. A decomposição padrão. Se a decomposição canônica V = V1 ⊕ ... ⊕ Vh é organizada de modo que V1 corresponda à representação trivial, então, o projetor canônico. 33.

(46) p1 terá sempre a forma p1 = tamanho G x G com. todas. 1 J , em que J é uma matriz quadrada de G as. entradas. iguais. a. 1.. Como. p1 + p2 + ... + ph = I G ,. pode-se. escrever I G − p1 = p2 + ... + ph = Q .. Adotando-se a notação. p1 = A , observe que A 2 = A , Q 2 = Q e. AQ = QA = 0 . Esses projetores são os chamados projetores padrão e decompõem o espaço V em dois subespaços ortogonais de dimensões. tr ( A ) = 1 e tr (Q ) = V − 1 . Vale ressaltar que, sempre que o grupo simétrico S n atua naturalmente no conjunto. {1, 2, ..., n} ,. os únicos. projetores não nulos são A e Q = I n − A , isto é, os únicos subespaços irredutíveis da representação de S n em. n. são o subespaço das constantes. de dimensão 1 e o subespaço ortogonal a este, de dimensão n − 1 (Viana, 2008). Vale observar que, se o vetor de dados é escrito como X ' = ( x1 , x2 ,..., xn ) , então. X 'A X =. (). 1 2 ( x1 + x2 + ... + xn ) = n x n. 2. n. n. i =1. i =1. (. ). 2. X 'Q X = X ' X − X ' A X = ∑ xi2 − n x = ∑ xi − x . Isto é, as formas quadráticas X ' A X e X 'Q X só dependem dos dados via, respectivamente, sua média amostral e sua variância amostral.. 34.

(47) Exemplo 2.4 - A representação de S3 agindo em {1, 2, 3} foi construída no. Exemplo 2.2. Utilizando-se a tabela de caracteres das representações irredutíveis, dada no Exemplo 2.3, constroem-se os projetores canônicos:. ⎡1 1 1⎤ 1⎢ p1 = ⎢1 1 1⎥⎥ 3 ⎢⎣1 1 1⎥⎦. ⎡ 2 −1 −1⎤ 1⎢ p3 = ⎢ −1 2 −1⎥⎥ 3 ⎢⎣ −1 −1 2 ⎥⎦. p2 = 0. Observe que, conforme ressaltado acima, os projetores canônicos não nulos resultantes são projetores padrão, A = p1 , de dimensão 1 e. Q = I 3 − A = p3 , de dimensão 2. Seja um elemento qualquer de. 3. , X ' = ( x1 , x2 , x3 ) . As projeções. desse elemento, pelos projetores canônicos p1 e p3 , são. ⎡ x1 + x2 + x3 ⎤ ⎡ x ⎤ 1⎢ p1 X = ⎢ x1 + x2 + x3 ⎥⎥ = ⎢⎢ x ⎥⎥ 3 ⎢⎣ x1 + x2 + x3 ⎥⎦ ⎢⎣ x ⎥⎦ ⎡ 2 x1 − x2 − x3 ⎤ ⎡ x1 − x ⎤ ⎡ y1 ⎤ 1⎢ p3 X = ⎢ − x1 + 2 x2 − x3 ⎥⎥ = ⎢⎢ x2 − x ⎥⎥ = ⎢⎢ y2 ⎥⎥ , 3 ⎢⎣ − x1 − x2 + 2 x3 ⎥⎦ ⎢⎣ x3 − x ⎥⎦ ⎢⎣ y3 ⎥⎦. isto é, uma projeção no espaço unidimensional W1 das médias e outra projeção em um espaço bidimensional W3 , ortogonal a W1 . Considerando a base canônica, e1 , e2 e e3 , W1 tem por base qualquer múltiplo de. e1 + e2 + e3 . Quanto ao espaço W3 , observe que, para qualquer vetor X,. 35.

(48) {. y1 + y2 + y3 = 0 . Portanto, W3 = Y ∈. 3. }. ; y1 + y2 + y3 = 0 . A construção. de uma base para W3 :. ⎡ y1 ⎤ ⎡1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ Y = ⎢ y2 ⎥ = y1 ⎢ 0 ⎥ + y2 ⎢1 ⎥ + y3 ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎢⎣ y3 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣ 0 ⎥⎦ ⎢⎣1 ⎥⎦. y1 = α ∈ y2 = β ∈ y3 = −α − β. ⎡1 ⎤ ⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ = α ⎢0 ⎥ + β ⎢1 ⎥ − ( α + β ) ⎢⎢ 0 ⎥⎥ ⎣⎢0 ⎦⎥ ⎣⎢0 ⎦⎥ ⎣⎢1 ⎦⎥. ⎧ ⎡1 ⎤ ⎡0 ⎤ ⎫ ⎧ ⎡0⎤ ⎡0⎤ ⎫ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ = α ⎨ ⎢0 ⎥ − ⎢0 ⎥ ⎬ + β ⎨ ⎢⎢1 ⎥⎥ − ⎢⎢ 0⎥⎥ ⎬ ⎪ ⎢ 0 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎪ ⎪ ⎢0 ⎥ ⎢1 ⎥ ⎪ ⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭ ⎩⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎭ ⎡1⎤ ⎡0⎤ ⎢ ⎥ = α ⎢ 0 ⎥ + β ⎢⎢ 1 ⎥⎥ ⎢⎣ −1⎥⎦ ⎢⎣ −1⎥⎦ = α ( e1 − e3 ) + β ( e2 − e3 ) T T Assim, os vetores b1T = ( e1 − e3 ) = [1, 0, −1] e bT2 = ( e2 − e3 ) =. = [ 0,1, −1] constituem uma base para W3 . Com isso, pode-se construir uma representação irredutível de S3 em 2. . Seja uma base para. 2. indexada por b1 e b2 . Na tabela seguinte. mostra-se o resultado da ação de S3 nesses índices:. 36.

(49) e1 − e3 = b1. e2 − e3 = b 2. (). e1 − e3 = b1. e2 − e3 = b 2. (123). e2 − e1 = b 2 − b1. e3 − e1 = −b1. e3 − e2 = −b 2. e1 − e2 = b1 − b 2. e2 − e3 = b 2. e1 − e3 = b1. e3 − e1 = −b1. e2 − e1 = b 2 − b1. e1 − e2 = b1 − b 2. e3 − e2 = −b 2. (132 ) (12 ) (13) ( 23). A correspondente representação de S3 :. ⎡ 1 0⎤ ρ1 = ⎢ ⎥ ⎣0 1⎦. ⎡ −1 −1⎤ ρ 123 = ⎢ ( ) ⎣ 1 0 ⎥⎦. ⎡ 0 1⎤ ρ 132 = ⎢ ( ) ⎣ −1 −1⎥⎦. ⎡0 1⎤ ρ 12 = ⎢ ( ) ⎣ 1 0 ⎥⎦. ⎡ −1 −1⎤ ρ 13 = ⎢ ( ) ⎣ 0 1⎥⎦. ⎡ 1 0⎤ ρ 23 = ⎢ ( ) ⎣ −1 −1⎥⎦. #. Exemplo 2.5 - Existem representações de S 2 cuja decomposição canônica. mostra o fato básico de que toda matriz quadrada decompõe-se na soma de uma matriz simétrica mais uma matriz antisimétrica. Pode-se construir um. ( ). isomorfismo entre as matrizes (reais) A = a i j , n x n , e o espaço euclidiano. ⎡ a11 a12 ⎢ ⎢ a21 a22 ⎢ ⎢ ⎢⎣ an1 an 2. n2. pela relação:. a1n ⎤ ⎥ a2 n ⎥ ⎛ ⎞ ⎥ ↔ ⎜⎝ a11 , a22 ,.., ann , a12 , a21 ,..., a1n , an1 ,..., a( n−1) n , an ( n−1) ⎟⎠ ⎥ ann ⎥⎦. {. }. Considere a ação do grupo S 2 = 1, ( rc ). sobre as entradas da. A.. matriz. 37.

(50) Especificamente,. a 11. a 22. ann. a12. a21. a1n. an1. a n−1 n. an n −1. 1. a 11. a 22. ann. a12. a21. a1n. an1. a n−1 n. an n −1. ( rc ). a11. a 22. ann. a21 a12. an1 a1n. an n−1. a n−1 n. (. ). (. ). (. ). ( (. (. As representações resultantes:. ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ρ( rc ) = ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢⎢0 ⎣. ρ1 = I n2. 0 1. 0 0 0 0 0 0. 0 0 0. 1 0 0 0 0 1 0 1 0. 0 0. 0 0 0 0 0 0. 0 0⎤ 0 0 ⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 0⎥ 0 0⎥ ⎥ 0 0⎥ ⎥ ⎥ 0 1⎥ 1 0 ⎥⎥⎦. Os projetores canônicos:. ⎡1 ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢0 p1 = ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣. 0 1. 0 0. 0 0. 0 0. 0 0. 0. 1 0. 0. 0. 0 1 2 1 2. 0. 0. 0 1 2 1 2. 0. 0. 0. 0. 1. 0. 0. 0. 0. 1. 0 0. 38. 2 2. ). 0⎤ 0 ⎥⎥ ⎥ ⎥ 0⎥ ⎛ ⎞ 0⎥ ⎜ ⎟ ⎥ = diag I , A A⎟ n ⎜ ⎥ ⎜ 0⎥ n( n −1) / 2 ⎟⎠ ⎝ ⎥ ⎥ 1 ⎥ 2⎥ 1 ⎥ 2 ⎥⎦. ). ).

(51) ⎡0 ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢0 p2 = ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢0 ⎢⎣. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 1. −1. 0. 2 0 −1 2. 1. 2. 2. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. em que A =. 0 ⎤ 0 0 ⎥⎥ ⎥ ⎥ 0 0 ⎥ ⎛ ⎞ 0 0 ⎥ ⎜ ⎟ ⎥ = diag 0 , Q Q⎟ n ⎜ ⎥ ⎜ 0 0 ⎥ n( n −1) / 2 ⎟⎠ ⎝ ⎥ ⎥ −1 ⎥ 1 2 2⎥ −1 1 ⎥ 2 2 ⎥⎦ 0. 1 ⎡1 1⎤ 1 ⎡ 1 −1⎤ e Q . = 2 ⎢⎣1 1⎥⎦ 2 ⎢⎣ −1 1⎥⎦. 2 Tomando-se um vetor X ∈ n indexado convenientemente,. X ' = ⎛⎜ x11 , x22 ,.., xnn , x12 , x21 ,..., x1n , xn1 ,..., x n−1 n , xn n−1 ⎞⎟ , ( ) ( )⎠ ⎝ os vetores. x n−1 n + xn n−1 xn n −1 + x n−1 n ⎞ ⎛ x12 + x21 x21 + x12 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ , ,..., , p1 X = ⎜ x11 ,.., xnn , ⎜ ⎟ 2 2 2 2 ⎝ ⎠ x n−1 n − xn n−1 xn n −1 − x n −1 n ⎞ ⎛ x12 − x21 x21 − x12 ( ) ( ) ( ) ( ) ⎟ ⎜ , ,..., , p2 X = 0,.., 0, ⎜ ⎟ 2 2 2 2 ⎝ ⎠ correspondem às matrizes. 39.

(52) ⎡ ⎢ a11 ⎢ ⎢ a21 + a12 p1 X ↔ ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢a + a ⎢ n1 1n ⎢⎣ 2 ⎡ 0 ⎢ ⎢ ⎢ a21 − a12 p2 X ↔ ⎢ 2 ⎢ ⎢ ⎢a − a ⎢ n1 1n ⎢⎣ 2. a12 + a21. a1n + an1 ⎤ ⎥ 2 ⎥ a2 n + an 2 ⎥ ⎥ = A = A + A' 2 s ⎥ 2 ⎥ ⎥ ann ⎥ ⎥⎦. 2. a22 an 2 + a2 n 2. a12 − a21. a1n − an1 ⎤ ⎥ 2 ⎥ a2 n − an 2 ⎥ ⎥ = A = A − A' 2 as ⎥ 2 ⎥ ⎥ ⎥ 0 ⎥⎦. 2 0. an 2 − a2 n 2. que somam As + Aas = A , em que As é uma matriz simétrica e Aas é uma matriz antissimétrica.. 2.3. #. Aplicação da teoria das projeções canônicas à análise de. variância. No Exemplo 2.3, considerou-se a ação do grupo S3 no conjunto. {1, 2,3} e construíram-se os projetores padrões. ⎡1 1 1⎤ 1⎢ A = ⎢1 1 1⎥⎥ 3 ⎢⎣1 1 1⎥⎦. ⎡ 2 −1 −1⎤ 1⎢ Q = ⎢ −1 2 −1⎥⎥ . 3 ⎢⎣ −1 −1 2 ⎥⎦. e. Seja um elemento qualquer de. 3. , X ' = ( x1 , x2 , x3 ) . Como p1 e. p3 somam p1 + p3 = I 3 , pode-se escrever a soma de quadrados dos elementos de X :. 40.

(53) 3. = ∑ xi2. X' X. i =1. = X ' I3 X = X ' p1 X + X ' p3 X em que 2 1 1⎛ 3 ⎞ X p1 X = ( x1 + x2 + x3 ) = ⎜ ∑ xi ⎟ 3 3 ⎝ i =1 ⎠. 2. T. 2. 3. X ' p3 X = ∑ ( xi − x ) . i =1. Observe que, neste caso, a decomposição canônica resulta simplesmente na conhecida decomposição: 3. ( xi − x ) ∑ i =1. 2. 1⎛ 3 ⎞ = ∑ xi + ⎜ ∑ xi ⎟ 3 ⎝ i =1 ⎠ i =1 3. 2. 2. Considere o caso geral em que os dados sejam indexados por um conjunto V ∈. n. e a ação de um grupo G sobre esses índices resulte em. uma representação ρ : G → GL. ( n ) . Os projetores canônicos decompõem. a identidade como I n = p1 + p2 + ... + ph . A soma de quadrados de um. ' vetor X = ( x1 , x2 , ..., xn ) ∈ n pode ser escrita como:. X ' X = X ' I n X = X ' ( p1 + p2 + ... + ph ) X = X ' p1 X + X ' p2 X + ... + X ' ph X ,. ( ). em que h ≤ n e tr ( p1 ) + tr ( p2 ) + ... + tr ph = n . Caso os componentes do vetor X possam ser considerados como amostras independentes de uma. 41.

(54) distribuição normal, então, a soma de quadrados X ' X tem distribuição chiquadrado com n graus de liberdade e aplica-se o teorema de Fisher-Cochran:. Y = (Y1 , Y2 , ...., Yn ) um vetor de variáveis aleatórias '. . seja. independentes, cada uma com distribuição. Normal ( μi ,1) . Sejam. Y ' A1 Y , ..., Y ' Ak Y ( k ≤ n ) formas quadráticas em que as matrizes A j ( j = 1,..k ) são simétricas com postos, respectivamente, n1 , ..., nk , tais que: n. Y 'Y = ∑Yi2 = Y ' A1 Y + ... + Y ' Ak Y . i =1. Então, uma condição necessária e suficiente para que as formas. Y ' A j Y sejam independentes e tenham distribuição chi-. quadráticas. quadrado não central com n j graus de liberdade e parâmetros de nãocentralidade λ j é que:. n1 + n2 + ... + nk = n . n. k. i =1. j =1. ∑ μi2 = ∑ λ j e λ j = μT A j μ .. Nesse caso,. Prova: Rao (1973) Observação:. #. Na realidade, pode-se sempre supor que a matriz de uma. forma quadrática é simétrica, visto que, se na forma quadrática Y 'QY a matriz. (. Q. S = Q + Q'. é não simétrica, existe sempre uma matriz simétrica. ). 2 , tal que Y 'QY = Y ' S Y .. 42.

(55) Realmente, a matriz Q pode sempre ser escrita como Q =. É trivial verificar que. Q + Q' 2. é uma matriz simétrica e. antissimétrica. Sendo assim, Y 'QY = Y '. Y'. Q + Q' Q − Q' + . 2 2. Q − Q' 2. é. Q + Q' Q − Q' Y +Y' Y . Como 2 2. Q − Q' Y é um número, segue que: 2 '. ⎛ ' Q − Q' ⎞ Q − Q' Q' − Q Q − Q' ' ' ' Y Y = ⎜Y Y ⎟ =Y Y = −Y Y ⎜ ⎟ 2 2 2 2 ⎝ ⎠ e, portanto, Y '. Q − Q' Q + Q' Y = 0 e Y 'QY = Y ' Y 2 2. #. A hipótese paramétrica de interesse, em termos dos valores esperados de X , é a de que os parâmetros de não centralidade sejam nulos, isto é, λ i = μT Pi μ = 0 .. Caso os componentes de X sejam dados de contagem, então, o seguinte teorema permite que, assintoticamente, o teorema de FisherCochran possa ser aplicado:. Teorema (Diaconis, 1989):. Suponha que b bolas sejam distribuídas de forma equiprovável em um conjunto de caixas indexadas por um conjunto finito C = {1, 2,..., k } . Seja L ( C ) o conjunto de todas as funções reais em C, isto é, L ( C ) é isomorfo a. k. . Considere a variável aleatória Y = (Y1 , Y2 ,...Yk ) ∈ L ( C ) ,. 43.

(56) em que Yi é o número de bolas na caixa i. Seja V ⊂ L ( C ) o subespaço. ( k − 1) − dimensional constantes,. ou. de L ( C ) , ortogonal ao subespaço das funções. V=. seja,. {( y , ..., yk ) ; y + ... + yk = 0 } . 1. Então,. 1. assintoticamente, o quadrado da projeção de Y em V é aproximadamente distribuído. a). como b). ( b k ) χ2k −1 ;. g ∈V ,. se. g |Y. então, o produto interno. tem distribuição. aproximadamente normal com média zero e variância b g c). projeções. em. subespaços. ortogonais. são. 2. k;. assintoticamente. independentes.. Prova:. a) Como cada Yi tem distribuição binomial com média. b k e. variância b ( k − 1) k 2 , segue que. ⎛ ⎞ Yi ⎟ ≈ Normal ⎛⎜ b ,1⎞⎟ Yi = ⎜ ⎜ b ( k − 1) k 2 ⎟ ⎝k ⎠ ⎝ ⎠ Sabe-se que P1 = J n n (em que J n é uma matriz n x n com todas as entradas iguais a 1) é a matriz de projeção nas constantes e que P2 = I n − P1. (. ). '. é a matriz de projeção em V. Assim, fazendo Y = Y 1 , ..., Y k , Q1 = Y P1 Y e. '. Q2 = Y P1 Y são formas quadráticas de postos ( n1 , n2 ) = (1, k − 1) e, '. como P2 + P1 = I n e Y Y = Q2 + Q2 , pelo teorema de Fisher-Cochran,. 44.

(57) '. Q2 = Y P1 Y tem distribuição chi-quadrado com k − 1 graus de liberdade e parâmetro de não centralidade λ = ( b k , ..., b k ) P2 ( b k , ..., b k. ). '. =0.. Então,. PY. 2. =. b ( k − 1) PY k2. 2. ≅. b PY k. 2. ∼. b 2 χ k k −1. n. = ∑ gi Yi. g |Y. b). i =1. ⎛ b b ( k − 1) ⎞ ⎛ 1⎞ Yi ~ Binomial ⎜ b, ⎟ ≈ Normal ⎜ , ⎟ k2 ⎠ ⎝ k⎠ ⎝k. b ( k − 1) ⎞ ⎛ b gi Yi ≈ Normal ⎜ gi , gi2 ⎟ k2 ⎠ ⎝ k n. gi Yi ∑ i =1. n b ( k − 1) ⎞ ⎛ b ≈ ∑ Normal ⎜ gi , gi2 ⎟ k2 ⎠ i =1 ⎝ k. b ( k − 1) ⎞ ⎛ n b n ≈ Normal ⎜ ∑ gi , ∑ gi2 ⎟ k2 ⎠ ⎝ i =1 k i =1 ⎛ ≈ Normal ⎜ 0, g ⎝. 2. b ( k − 1) ⎞ ⎟ k2 ⎠. (g é orthogonal às. constantes) Portanto, variância c). g. 2. g |Y. é aproximadamente normal com média zero e. b ( k − 1) ≅ g k2. 2. b . k. O teorema de Fisher-Cochran garante a independência assintótica. das projeções em espaços ortogonais.. 45. #.

(58) Para um tratamento mais detalhado de dados de contagem provenientes de eleições veja Diaconis (1989), Diaconis & Eriksson (2006) e Viana (2007).. 2.3.1. Considerando as repetições. Suponha que I n = ∑ pi seja a decomposição canônica resultante i. da ação de algum grupo em um conjunto de índices V ∈. n. e que. I r = ∑ t j seja a decomposição padrão em outro espaço de dimensão r. j. Então, Viana (2008), proposição 4.6, I n r = ∑ pi ⊗ t j é uma decomposição i, j. canônica. Em particular, se μ é um vetor em r. e o grupo simétrico Sr atua em. r. n. e j = (1,...,1) um vetor em '. de modo que a decomposição da. identidade é a decomposição padrão I r = Ar + Qr , então,. ( μ ⊗ j ) ( p ⊗ t )( μ ⊗ '. (. ⎧⎪ r μ ' p μ j) = ⎨ 0 ⎪⎩. ). se t = A se t = Q. A proposição acima fornece os elementos necessários à composição de uma análise de variância baseada na decomposição canônica. Suponha n tratamentos com r repetições. O vetor de dados é escrito como X = ( X 11 , X 12 ,..., X 1r , X 21..., X nr ) , '. em que X i j é o resultado do i–ésimo tratamento na j-ésima repetição. A decomposição. 46.